直线与圆讲义(学生版)(1)
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学习笔记第一部分
知识笔记
直线与圆
1.知识梳理
1直线方程
1．已知直线l
1：A
1x+B
1y+C
1=0(A
1，B
1不同时为零)，直线l
2：A
2x+B
2y+C
2=0(A
2，
B
2不同时为零)，则l
1∥l
2⇔A
1B
2-A
2B
1=0，且A
1C
2-A
2C
1≠0，l
1⊥l
2⇔A
1A
2+B
1B
2=
0.
2.点P(x
0，y
0)到直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为零)的距离d=
|Ax
0+By
0+C|
A2+B2.
3.两条平行直线l
1：Ax+By+C
1=0，l
2：Ax+By+C
2=0(A，B不同时为零)间的距离
d=|C
1-C
2|
A2+B2.
2圆的定义
在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
3圆的标准方程
设圆心的坐标Ca，b
，半径为r，则圆的标准方程为：x-a
2+y-b
2=r2
4圆的一般方程
圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心坐标：(-D
2，-E
2)，半径：r=
1
2D2+E2-4F
注意：①对于D、E、F的取值要求：D2+E2-4F>0
当D2+E2-4F=0时，方程只有实数解x=-D
2，y=-E
2．它表示一个点(-D
2，-E
2)
当D2+E2-4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
②二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，表示圆的充要条件是
A=C≠0
B=0
D2+E2-4AF>0
5以两点为直径的圆
以A(x
1，y
1)，B(x
2，y
2)为直径端点的圆的方程为(x-x
1)⋅(x-x
2)+(y-y
1)(y-y
2)=0
6阿波罗尼斯圆
设A，B为平面上相异两定点，且|AB|=2a(a>0)，P为平面上异于A，B一动点且
·1·
学习笔记|PA|
|PB|=λ(λ>0且λ≠1)则P点轨迹为圆.
7直线与圆的位置关系
设圆心到直线的距离d，圆的半径为r，则
位置关系相交相切相离
公共点个数2个1个0个
判断
方法几何法：设圆心到直线的距离为d=|Aa+Bb+C|
A2+B2dr
代数法：由Ax+By+C=0，
(x-a)2+(y-b)2=r2
，
消元得到一元
二次方程，可得方程的判别式Δ=b2−4acΔ>0Δ=0Δ<0
8直线与圆相交的弦长问题
1.几何法：设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则有
关系式:|AB|=2r2−d2
。
2.代数法：若斜率为k的直线l与圆C相交于A(x
A,y
A)，B(x
B,y
B)两点，则|AB|=
(x
A−x
B)2+(y
A−y
B)2=1+k2⋅(x
A+x
B)2−4x
Ax
B=1+1
k2⋅|y
A−y
B|(其中k≠
0).
特别地，当k=0时，|AB|=|x
A−x
B|；
当斜率不存在时，|AB|=|y
A−y
B|
9圆与圆位置关系
1.若两圆的半径分别为r
1，r
2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系外离外切相交内切内含
图示
d与r
1，
r
2的关系d>r
1+r
2d=r
1+r
2|r
1-r
2|
1
+r
2d=|r
1-r
2|d<|r
1-
r
2|
2.两相交圆的公共弦所在直线方程及公共弦长的求法
若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到，即若圆C
1：x2+y2
+D
1x+E
1y+F
1=0与圆C
2：x2+y2+D
2x+E
2y+F
2=0相交，则两圆公共弦所在直线
的方程为(D
1−D
2)x+(E
1−E
2)y+F
1−F
2=0。(两式相减即可)
10圆的切线方程
1.求过圆上一点(x
0，y
0)的圆的切线方程的方法
·2·
学习笔记先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y=y
0；若
k=0，则结合图形可直接写出切线方程为x=x
0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线
的斜率为一1
k，由点斜式可写出切线方程.
2.求过圆外一点(x
0，y
0)的圆的切线方程的两种方法
(1)几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y-y
0=k(x-x
0)，即kx-y+y
0-kx
0=0.由圆心
到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程.
(2)代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y-y
0=k(x-x
0)，即y=kx-kx
0+y
0，代入圆的方
程，得到一个关于x的一元二次方程，由△=0，求得k，进而写出切线方程.
·3·
2.题型总结
题型一:直线方程
1考向一 直线的倾斜角与直线方程
1过圆(x+2)2+y2=4的圆心且与直线x+y=0垂直的直线方程为()
A.x+y-2=0 B.x-y-2=0
C.x-y+2=0 D.x+y+2=0
2瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线
上.后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-4,0),B(0,4),其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点
C的坐标可以是()
A.(2,0) B.(0,2) C.(-2,0) D.(0,-2)
3若过点P(1-a,1+a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角,则实数a的取值范围是.
2考向二 两条直线间的位置关系
1已知直线l
1:a2x+y-2=0与直线l
2:x-(2a+3)y+1=0垂直,则a=()
A.3 B.1或-3 C.-1 D.3或-1
2已知直线l
1:4x-3y+4=0,l
2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m∈R),则()
A.直线l
2过定点(-3,-1)B.当m=1时,l
1⊥l
2
C.当m=2时,l
1∥l
2D.当l
1∥l
2时,两直线l
1,l
2之间的距离为1
3直线l
1:mx+2y+1=0,l
2:x+(m-1)y-1=0,若l
1∥l
2,则m=.
4已知直线l
1:y=(2a2-1)x-2与直线l
2:y=7x+a平行,则a=.
3考向三 距离公式
1点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()
A.1 B.2 C.3 D.2
2若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为()
A.5
5 B.25
5 C.35
5 D.45
5
3已知直线l:3x-y+1=0,则下列结论正确的是()
·4·
A.直线l的倾斜角是π
3
B.若直线m:x-3y+1=0,则l⊥m
C.点(3,0)到直线l的距离是2
D.过点(23,2)与直线l平行的直线方程是3x-y-4=0
4对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y),若点P到直线l
1:3x-4y-9=0和l
2:3x-4y+a=0的距
离和都与x,y无关,则a的取值范围为.
4题型专练
1若直线l
1：x+ay+6=0与l
2：(a-2)x+3y+2a=0平行，则l
1与l
2间的距离为( )
A.2B.82
3C.3D.83
3
2直线ax+y+3a-1=0恒过定点N，则直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为( )
A.2x+3y-12=0B.2x+3y+12=0C.2x-3y+12=0D.2x-3y-12=0
方法归纳易错提醒
解决直线方程问题的三个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A
1B
2-A
2B
1=0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两
条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程即
不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
3已知直线l经过直线l
1：x+y=2与l
2：2x-y=1的交点，且直线l的斜率为-2
3，则直线l的方
程是( )
A.-3x+2y+1=0B.3x-2y+1=0C.2x+3y-5=0D.2x-3y+1=0
4已知直线l
1：kx-y+4=0与直线l
2：x+ky-3=0(k≠0)分别过定点A，B，又l
1，l
2相交于点
M，则|MA|·|MB|的最大值为________．
5下列说法正确的是( )
A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件
B.直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2-1=0互相平行,则a=-1
C.过(x
1,y
1),(x
2,y
2)两点的所有直线的方程为y-y
1
y
2-y
1=x-x
1
x
2-x
1
D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0
6如图,已知A(4,0)、B(0,4), 从点P(2, 0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后
经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )
A.25 B.33C.6 D.210
·5·
![中考圆的切线证明题(学生版)[1]](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/ed3e711b4431b90d6c85c72a.webp)
