专题15 直线与椭圆的位置关系-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(解析版)

1. 直线必须经过椭圆的中心。 3. 切点必须在椭圆的边界上。
02
弦长公式
弦长的定义
弦长
直线与椭圆相交形成的线段称为 弦，弦的长度即为弦长。
焦点与弦长
椭圆的两焦点与弦长所形成的两 个夹角称为焦点弦角，焦点弦角 的大小会影响弦的长度。
弦长公式的推导
1 2
基于椭圆的参数方程
椭圆的一般方程可表达为x=a×cosθ,y=b×sinθ ，其中a为长半轴，b为短半轴。
判断直线与椭圆的位置关系
通过比较弦长与长短轴的大小关系，可以判断直线与椭圆的位置关系，即相交 、相切或相离。
03
弦中点问题
中点的定义
定义
如果一个点平分一条线段，那么这个 点叫做这条线段的中点。
数学定义
如果点$P$将线段$AB$分成两条相等 的线段$AP$和$BP$，则称$P$为线段 $AB$的中点。
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弦长公式的应用实例
描述
已知椭圆的方程为$\frac{x^{3}}{9} + \frac{y^{3}}{4} = 1$，求该椭圆上一点P到直线l：3x - y - 7 = 0的距离最 短点的坐标。
分析
首先设出平行线方程为$3x - y + m = 0$，利用点到直线的距离公式和平行线之间的距离公式找到距离最短的点 。
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦 中点问题
汇报人： • 弦长公式 • 弦中点问题 • 实例分析
01
直线与椭圆的位置关系
定义与性质
01
02
03
椭圆
一个椭圆是一个二维曲线 ，它是由所有点组成，这 些点到两个固定点的距离 之和等于常数。
直线
直线是二维空间中的一个 几何对象，它通过连接两 个点并延伸至无限而形成 。

求 △F1 AB 的面积.
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个 是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、 的, 0右 面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点

专题十七直线与椭圆、抛物线的位置关系【母题原题1】【2018浙江，17】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设，由得因为A,B在椭圆上,所以，与对应相减得，当且仅当时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.【母题原题2】【2018浙江，21】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）详解：（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.【母题原题3】【2017浙江，20】如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求的最大值【答案】（I）（-1，1）；（II）.【解析】试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.满分15分.（Ⅰ）由斜率公式可得AP的斜率为，再由，得直线AP的斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达与的长度，通过函数求解的最大值．试题解析：（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，，因为，所以直线AP斜率的取值范围是．（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是．因为|PA|==，|PQ|= ，所以．令，因为， 所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减， 因此当k=时，取得最大值．【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．【母题原题4】【2016浙江，理19】如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（Ⅱ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22221a k a k +（Ⅱ）02e <≤【解析】试题分析：（Ⅰ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得1x ，2x ，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（Ⅰ）知，1AP =，2AQ =，12=， 所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此22221211(1)(1)1(2)a a k k ++=+-， ① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a <≤由c e a a==得，所求离心率的取值范围为02e <≤【考点】弦长，圆与椭圆的位置关系，椭圆的离心率．【思路点睛】（Ⅰ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）利用对称性及已知条件任意以点()0,1Α为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求得a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．【命题意图】考查圆锥曲线的标准方程及几何性质，考查数学式子变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想及分析问题与解决问题的能力．【命题规律】纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查椭圆、双曲线的方程及几何性质为主，离心率问题居多，难度在中等以下；大题则是对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，较多的考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题；有时，先求轨迹方程，再进一步研究直线与曲线的位置关系.命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 【答题模板】求解直线圆锥曲线位置关系问题的一般思路： 第一步：依题意确定圆锥曲线方程.第二步：联立直线方程与圆锥曲线方程，通过消元，应用韦达定理，构建目标关系式. 第三步：针对目标关系式的特点，选择利用函数、不等式、导数等知识，按要求运算求解. 【方法总结】1.涉及直线与椭圆的基本题型有： （1）位置关系的判断 （2）弦长、弦中点问题 （3）轨迹问题（4）定值、最值及参数范围问题 （5）存在性问题2．常用思想方法和技巧有：（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系3. 若直线与椭圆有两个公共点1122()()M x y N x y ，，，，可结合韦达定理，代入弦长公式MN ＝MN ＝ 2.(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用． 3.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 4．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5．定点的探索与证明问题：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y kx m =+，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．6.解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，解决这类问题需要正确运用转化思想、函数与方程思想、数学结合思想，其中运用最多的是利用方程根与系数关系构造等式或者函数关系式，注意根的判别式来确定或者限制参数的范围．1．【浙江省湖州、衢州、丽水三地市2017-2018学年高二上学期期末】已知抛物线2:2E x y =的焦点为F ， ,A B 是E 上两点，且AF BF m +=.（1）若4m =，求线段AB 中点M 到x 轴的距离；（2）若线段AB 的垂直平分线与y 轴仅有一个公共点()0,2C ，求m 的值. 【答案】（1）32M y =.（2）3m =.试题解析：（1）设()11,A x y ， ()22,B x y ，由抛物线定义可知：1234232M M y y p y y ++=⇒=⇒=. （2）设:AB l y kx n =+（显然斜率存在），联立22{ 2202y kx nx kx n x y=+⇒--==，所以122x x k +=，得()2,M k k n +，又1212121y y m kx kx n m ++=⇒+++=，得2221k n m ++=（*），又212MCk n k k k+-=-⇒ 211k n k =-⇒=-，代入（*）式，得： 3m =.2.【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】如图，已知圆，抛物线的顶点为，准线的方程为，为抛物线上的动点，过点作圆的两条切线与轴交于.（Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）若，求△面积的最小值.【答案】(1).(2)32.【解析】分析：（Ⅰ）根据抛物线的准线方程可得，故抛物线的方程可求出. （Ⅱ）求出过的圆的切线的方程后可得两点的横坐标，它们可用及其相应的斜率表示，因此也与这三者相关.再利用圆心到直线的距离为半径得到斜率满足的方程，利用韦达定理和消元后可用关于的函数表示，求出该函数的最小值即可.详解：（Ⅰ）设抛物线的方程为，则，∴，所以抛物线的方程是.（Ⅱ）设切线，即，切线与轴交点为，圆心到切线的距离为，化简得设两切线斜率分别为，则=，当且仅当时取等号.所以切线与轴围成的三角形面积的最小值为32.3．【腾远2018年（浙江卷）红卷】如图，直线与抛物线相交于两点，是抛物线的焦点，若抛物线上存在点，使点恰为的重心.（1）求的取值范围；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）设，联立方程组，求得，进而利用重心的坐标公式，求得，由题意得不等式组，即可求解；详解：（1）设，由，得，由，得①，则，所以，由点为的重心可得，则，且②，而，即，代入①②得，解得，所以的取值范围为.（2）原点到直线的距离，，设，则，由得或，则在上递增，在上递减，即在或处取得最大值，而，所以，所以.点睛：本题主要考直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.4．【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性考试】已知椭圆：的左，右焦点分别是，点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的内角平分线交的长轴于点．（1）求实数的取值范围；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）设，则，求出的方程，利用角平分线的性质，由点到直线距离公式可得，，结合，可得结果；（2），设，利用导数研究函数的单调性，结合单调性可得，从而可得结果.详解：（1）设，则.又，所以直线的方程分别为：．因为．所以．因为，可得，所以，因此．（2）．．所以．设，则．所以，所以．当且仅当时取到等号．另解：．当且仅当时取到最大值．所以．点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.5．【天津市部分区2018年质量调查（二）】已知抛物线的焦点与椭圆：的一个顶点重合，且这个顶点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的上顶点为，过作斜率为的直线交椭圆于另一点，线段的中点为，为坐标原点，连接并延长交椭圆于点，的面积为，求的值.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）根据抛物线的性质可得椭圆中的，再根据三角形的面积求出，根据，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）过点的直线方程为，代入到由得，可求出点的坐标，再求出的坐标和的坐标，以及|和点到直线的距离，根据三角形的面积求出的值．详解：（2）由题意设直线的方程为，设点由得解得∴，∴直线斜率，直线的方程为，由得点到直线：的距离为∵，∴，又，∴令，则，解得，∴，解得或（舍）∴的值为.6．【2017年天津卷】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点， F 到抛物线的准线l 的距离为12.（I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ， Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD AP 的方程.【答案】（Ⅰ）22413y x +=， 24y x =.（Ⅱ）330x -=，或330x -=. 【解析】试题分析：由于A 为抛物线焦点， F 到抛物线的准线l 的距离为12，则12a c -=，又椭圆的离心率为12，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则()1,0A ，设直线AP 方程为设()10x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD m ，得出直线AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，12c a =， 2p a =， 12a c -=，解得1a =， 12c =， 2p =，于是22234b ac =-=. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =. （Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点21,P m ⎛⎫--⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得()223460m y my ++=，解得0y =，或2634m y m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭.由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得直线BQ 的方程为()222623*********mm x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.所以222223613232m m AD m m -=-=++.又因为APD 的面积为2，故221622322m m m ⨯⨯=+，整理得2320m m -+=，解得m =m =.所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=. 7．【2018年浙江省模拟】设抛物线24y x =的焦点为F ，过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的动直线交抛物线于不同两点,P Q ，线段PQ 中点为M ，射线MF 与抛物线交于点A .（1）求点M 的轨迹方程； （2）求APQ ∆面积的最小值.【答案】（1）221y x =-；（2详解：（1）设直线PQ 方程为12x ty =+，代入24y x =得2420.y ty --= 设()()1122,,P x y Q x y ，则124y y t +=， 122y y =-， 21241x x t +=+. ∴212,22M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 设(),M x y ，由212,{ 22,x t y t =+=消去t 得中点M 的轨迹方程为22 1.y x =-（2）设()00(0),FA FM A x y λλ=<，. ∵()1,0F ， 212,22M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭∴200121,{ 22.x t y t λλλ=-+= 由A 点在抛物线24y x =上，得()221212t λλλ-=-+. 又∵0λ<∴212t λ=-，点A 到直线PQ的距离d =又12PQ y y =-=所以， APQ ∆面积12S PQ d =⋅⋅=1-=设()()31,0f λλλλ-=<，有()()()22121'f λλλλ-+=，故()f λ在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是减函数，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，因此，当12λ=-时()f λ取到最小值.所以， APQ ∆面积的最小值是4. 8．【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知抛物线和：，过抛物线上的一点，作的两条切线，与轴分别相交于，两点.（Ⅰ）若切线过抛物线的焦点，求直线斜率；（Ⅱ）求面积的最小值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由抛物线的焦点坐标设切线的方程为：.利用圆心到直线的距离等于半径解方程可得，结合图形可知直线斜率.（Ⅱ）设切线方程为，由点在直线上，则，直线与圆相切，则，据此可得，则，，而，.令，则，故，的最小值为.试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，设切线的斜率为，则切线的方程为：，即.∴，解得：.∵，∴.（Ⅱ）设切线方程为，由点在直线上得：①圆心到切线的距离，整理得：②将①代入②得：③设方程的两个根分别为，，由韦达定理得：，，从而，.记函数，则，，的最小值为，当取得等号.9．【2018届浙江省镇海中学高三上学期期末】如图，已知椭圆：的左、右顶点分别为，是椭圆上异于的两点，直线交于点，且P位于第一象限．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；（Ⅱ）记的面积分别是，求的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）时，.【解析】试题分析：（Ⅰ）第一问，联立直线AM和BN的方程得到它们的交点P的坐标，由题得，得到的值，得到t的值. (Ⅱ)第二问，先算出的表达式，再得到的解析式，再利用导数或二次函数求它的最小值.(Ⅱ)直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得：解得直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得：解得所以当，即时，.10．【2018届浙江省嵊州市高三上期末】如图，已知抛物线2y x =，点()11A ，， ()42B -，，抛物线上的点()P x y ， (1)y >，直线AP 与x 轴相交于点Q ，记PAB ， QAB 的面积分别是1S ， 2S .（1）若AP PB ⊥，求点P 的纵坐标； （2）求125S S -的最小值.【答案】（1）y =；（2）24-. 【解析】试题分析：（1）由斜率公式可得2111111AP y y k x y y --===--+， 2221442AP y y k x y y ++===---.由AP BP ⊥，得11112AP BP k k y y ⋅=⋅=-+-即210y y --=，得y =（2）设直线AP ： ()11y k x -=-，则110Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，联立()211{ y k x y x -=-=，消去x 得210ky y k -+-=，则1P k y k -=， 211k k P k k ⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，由弦长公式及点到直线距离公式可得212151531532422222S S AP d AQ d AP AQ d k ⎛⎫⎛⎫-=-=-==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用二次函数的性质可得结果. 试题解析：（1）因为2111111AP y y k x y y --===--+，2221442AP y y k x y y ++===---. 由AP BP ⊥，得11112AP BP k k y y ⋅=⋅=-+- 即210y y --=，得y =（2）设直线AP ： ()11y k x -=-，则110Q k ⎛⎫-⎪⎝⎭，，由1y >，知102k <<.联立()211{ y k x y x -=-=，消去x 得210ky y k -+-=，则1P k y k -=， 211k k P k k ⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.所以11P AP =-= ()212k k -=1111Q AQ k ⎫=-=--⎪⎭k =点B 到直线AP 的距离d ==31k +=.所以12151552222S S AP d AQ d AP AQ d ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭2311122k k k +-=()2312512k k k k -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭2237612k k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭ 2313242k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故当13k =时， 125S S -有最小值24-. 方法2：设()2P t t ，（1t >），则11AP k t =+，所以直线AQ ： ()1111y x t -=-+，则()0Q t -，. 又直线AB ： 20x y +-=， AB =则点P 到直线AB的距离为21d ==点Q 到直线AB的距离为2d ==所以()212121552S S AB d d -=-= ()232242t =--. 故当2t =时， 125S S -有最小值24-.11．【2018届浙江省杭州市高三上期末】已知椭圆22:132x y C +=，直线():0l y kx m m =+≠，设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.（Ⅰ）若m >k 的取值范围；（Ⅱ）若直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列（其中O 为坐标原点），求OAB ∆的面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）k >k <.（Ⅱ）S ⎛∈ ⎝⎭【解析】试题分析：(1)由直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，联立直线与椭圆方程，解得()()()2226423360km k m ∆=-+->，根据m >求出实数k 的取值范围(2) 设()11,A x y ， ()22,B x y ，由直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列，得2121212y y k k k x x ==，计算得223k =，再由点到直线的距离算出h m ==，算出面积表达式OAB S ∆126AB h =⋅=，计算出范围解析：（Ⅰ）联立方程22132x y +=和y kx m =+，得 ()222236360k xkmx m +++-=，所以()()()2226423360km km∆=-+->，所以2223m k <+，所以2233k +>，即213k >，解得k >k <. （Ⅱ）设()11,A x y ， ()22,B x y ，则122623kmx x k -+=+， 21223623m x x k -=+，设直线,OA OB 的斜率12,k k ，因为直线,,OA AB OB 的斜率成等比数列， 所以2121212y y k k k x x ==，即()()12212kx m kx m k x x ++=， 化简，得22236k k +=，即223k =.因为12AB x =-=原点O 到直线AB的距离h ==， 所以OAB S ∆12AB h =⋅=≤22336222m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=当m =时，直线OA 或OB 的斜率不存在，等号取不到，所以S ⎛∈ ⎝⎭. 12.【河南省周口市2016-2017学年高二下学期期末】已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离为3，且点在圆：上．（1）求抛物线的方程；（2）已知椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．直线：交椭圆于，两个不同的点，若原点在以线段为直径的圆的外部，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设点 的坐标为，利用已知条件列出的方程组，求出即可得到抛物线方程．试题解析：（1）设点的坐标为．由题可知，，解得，∴抛物线的方程为；（2）由（1）得，抛物线的焦点，∵椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，∴椭圆的半焦距，即，又椭圆的离心率为，∴，即，∴椭圆的方程为，设，由，得，由韦达定理，得，由，得，解得或，①∵原点在以线段的圆的外部，则，∴，即，②由①，②得，实数的范围是或，即实数的取值范围是．。

点， O 为坐标原点，若 AB ∥ OP ，则椭圆的焦距为（
C. 1
）
D. 2
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目录
高中总复习·数学
解析： 由题意知， F 1（－ c ，0）， A （ a ，0）， B （0，1），
1
1
则点 P （－ c ， ），所以直线 BA 的斜率 kBA ＝－ ，直线 PO 的斜


1

1
1
1
率 kPO ＝ ＝－ .由 BA ∥ PO ，得 kBA ＝ kPO ，所以－ ＝－ ，则
−



c ＝1，所以椭圆的焦距为2 c ＝2.故选D.
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目录
高中总复习·数学
4.
2
（2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C ： ＋ y 2＝1的左、右焦点分别
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
＝0，
1 −2
2 1 ＋2
2
1
∴
＝－ 2 ×
＝2，∴ 2 ＝ ，
1 −2


2
1 ＋2
2

故椭圆的离心率 e ＝ ＝

1−
2
2
＝ .
2

2
目录
高中总复习·数学
1
2
2
（2）已知斜率为－ 且不经过坐标原点 O 的直线与椭圆 ＋ ＝1相