直线与椭圆的位置关系(高中数学课件)

第二课时

直线与椭圆的位置关系(习题课)

[新知初探]

1．点与椭圆的位置关系 点P(x0,y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：

点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1.

2．直线与椭圆的位置关系

直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系,判断方法：

联立 y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消y得一元二次方程．

当Δ>0时,方程有两解,直线与椭圆相交；

当Δ＝0时,方程有一解,直线与椭圆相切；

当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆相离．

3．直线与椭圆相交的弦长公式

(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．

(2)求弦长的方法

①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求．

②根与系数的关系法：

如果直线的斜率为k,被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则弦长公式为：

|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2

＝ 1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.

[小试身手]

1．已知点(2,3)在椭圆x2m2＋y2n2＝1上,则下列说法正确的是( )

A．点(－2,3)在椭圆外

B．点(3,2)在椭圆上

C．点(－2,－3)在椭圆内

D．点(2,－3)在椭圆上

答案：D

2．直线y＝x＋1被椭圆x24＋y22＝1所截得的弦的中点坐标是( )

A.23，53 B.43，73

C.－23，13 D.－132，172

答案：C

3．设F1,F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|＝3,则P点到椭圆左焦点的距离为________．

答案：4

直线与椭圆的位置关系

2．1.2 椭圆的简单几何性质(二)

[教材研读]

预习课本P41例6，思考以下问题

1．点与椭圆的位置关系如何判断？

2．直线与椭圆的位置关系如何判断？

[要点梳理]

1．点与椭圆的位置关系

点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：

点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；

点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；

点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1.

2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立 y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1.

消去y得到一个关于x的一元二次方程．

3.弦长公式

设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，曲线方程f(x，y)＝0，直线与曲线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB|＝x1－x22＋y1－y22，

∴|AB|＝x1－x22＋kx1－kx22

＝1＋k2x1－x22

＝1＋k2x1＋x22－4x1x2，

或|AB|＝ 1ky1－1ky22＋y1－y22

＝ 1＋1k2 y1－y22 ＝ 1＋1k2 y1＋y22－4y1y2.

其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与曲线方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得．

[自我诊断]

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是m>1.( )

2．椭圆2x2＋3y2＝m(m>0)的离心率为33.( )

3．点A(2,2)在椭圆x2＋4y2＝36的内部．( )

[答案] 1.× 2.√ 3.√

题型一 直线与椭圆的位置关系

思考1：如何判断直线与椭圆的位置关系？

提示：联立直线与椭圆方程，求解的个数．

思考2：如何求椭圆上的点到直线的最小距离？

高二数学椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精讲

一. 本周教学内容：

椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系

［知识点］

1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数

ecaeM()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为

椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，xaybabFc22222100()()

方程是，对应于左焦点，的准线为左准线xacFcxac2120()

②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

2. 焦半径及焦半径公式：

椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。

对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：xaybabPxy22210()()

左焦半径∴·左左rxaccarexcaacaex02020

右焦半径右右racxcaraex200

3. 椭圆参数方程

问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。

解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为Mxy()Ox

参数。

那么∴xONOAyNMOBxayb||cos||sincossin()1

这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”

说明：<1> 对上述方程（1）消参即

xaybxaybcossin22221普通方程

<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

4. 补充

名称 方程 参数几何意义

第二节直线与椭圆的位置关系(一)

-备考方向明确h --------------------------- 一方向比勢力更重要 ------------

复习目标 学法指导

1.直线与椭圆相切 1.直线与圆锥曲线的位置关系一直为咼考的热

问题. 点.这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的

2.直线与椭圆相交 基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，

问题 因此分析问题时利用数形结合思想来设而不

(1)交点个数. 求,或与弦长公式及韦达定理联系去解决.

(2)相交弦问题. 2.解析几何题目部分都以方程形式给定直线和

3.直线与椭圆的对 圆锥曲线，因此相交的弦长问题利用韦达定理

称问题. 进行整体处理，将简化解题运算量.

- 知识链条完善 h -------------------------- 把散落的知识连起来 ------------

阿络构建

一、直线与椭圆的位置关系

1. 若直线斜率不存在，数形结合分析.

2. 若直线斜率k存在,设直线方程为y=kx+m,联立［厂2収1"； 22得关于

b x a y a b

x 的方程(b 2+a2k2)x 2+2km

直线与椭圆相交？有两个交点？ △ >0,

直线与椭圆相切？有一个交点？ 上0,

直线与椭圆相离？没有交点？ g.

1. 概念理解 (1) 直线与椭圆位置关系的判定有两种方法：几何法和代数法，几何法 即借助椭圆与直线的图形进行判定，代数法即直线方程与椭圆方程联 立得到关于x(或y)的一元二次方程，然后再判定直线与椭圆的关系， 解题时应根据情况，进行判定.

(2) 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有 一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交，这与直线 与圆的位置关系类似.

2. 与直线与椭圆的位置相关的结论

, , 2 2 , ,

(1) 若Po(xo,yo)在椭圆刍+再=1上,则过P0的椭圆的切线方程是

a b