高数阶段练习第三章参考答案

中值及相关定理：连续函数的介值定理，零点定理，费马引理Cauthy Lagrange Rolle ,,注意要点：1.验证定理条件2.构造辅助函数中值定理条件：1）在闭区间[],a b 上连续 2）在开区间(),a b 内可导 罗尔定理：1）+2）+3）()()()()(),,,'0.f a f b a b a b f ξξξ=⇒<<=有一点使得 拉格朗日：1）+2）=有一点()()()(),'.f b f a a b f b aξξξ-<<=-使得 柯西：1）+2）+3）()()()()()()()''0.'f b f a f F x F b F a F ξξ-≠⇒=-例题：1若)(x f 在),(b a 可导且)()(b f a f =，则存在什么样的点属于),(b a ，使0)('=ξf 2一些构造函数+中值定理的题：[])(')()()(222ξξf a b a f b f -=-.2211sin '()tan '()2cos a b f f ξξξξ+= 3设R x x f ∈>,0)("，任取),(,b a c x ∈且c x ≠， 求证：)()()()()()())(('a f a x ab a f b f x fc f c x c f +---<<+-，即曲线介于切线与割线之间.3.2洛必达 4求极限：211000lim .xx e x-→ 5设函数()f x 具有一阶连续导数，且 ()()()201cos 00,'02,lim tan x f x f f x →-=== 3.3泰勒公式：6.一些类似的taylor 展开题：1.)(x f 在),(b a 上连续，在),(b a 内有二阶导，若|)("|4)(|)()(|,0)(')('2ξf a b a f b f b f a f -≤-==2.)(x f 在[]1,0有二阶导，b a b x f a x f ,,|)("|,|)(|≤≤非负，)1,0(∈c ，求证：.22|)('|b a c f +≤ 3.)(x f 在()+∞∞-,上具有二阶导数，且220)("|,|)(|M x f M x f ≤≤，求证：202|)('|M M x f ≤4. 设在[]0,a 上有()()'',f x M f x ≤在()0,a 内存在最大值， 证明：()()'0'f f a aM +≤。

高一上册数学第三章测试题及答案：函数的应用函数是发生在非空数集之间的一种对应关系。

查字典数学网为大家推荐了高一上册数学第三章测试题及答案，请大家仔细阅读，希望你喜欢。

1.设U=R，A={x|x0}，B={x|x1}，则A?UB=( )A{x|01} B.{x|0C.{x|x0}D.{x|x1}【解析】 ?UB={x|x1}，A?UB={x|0【答案】 B2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0，且a1)的反函数，且f(2)=1，则f(x)=( )A.log2xB.12xC.log12xD.2x-2【解析】 f(x)=logax，∵f(2)=1，loga2=1，a=2.f(x)=log2x，故选A.【答案】 A3.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是( )A.f(x)=ln xB.f(x)=1xC.f(x)=|x|D.f(x)=ex【解析】∵y=1x的定义域为(0，+).故选A.【答案】 A4.已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)=12x;当x4时，f(x)=f(x+1).则f(3)=( )A.18B.8C.116D.16【解析】 f(3)=f(4)=(12)4=116.【答案】 C5.函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上( )A.没有零点B.有一个零点C.有两个零点D.有无数个零点【解析】∵y=-x2+8x-16=-(x-4)2，函数在[3,5]上只有一个零点4.【答案】 B6.函数y=log12(x2+6x+13)的值域是( )A.RB.[8，+)C.(-，-2]D.[-3，+)【解析】设u=x2+6x+13=(x+3)2+44y=log12u在[4，+)上是减函数，ylog124=-2，函数值域为(-，-2]，故选C.【答案】 C7.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )A.y=x2+1B.y=|x|+1C.y=2x+1，x0x3+1，x0D.y=ex，x0e-x，x0【解析】∵f(x)为偶函数，由图象知f(x)在(-2,0)上为减函数，而y=x3+1在(-，0)上为增函数.故选C.【答案】 C8.设函数y=x3与y=12x-2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C(2,3) D.(3,4)【解析】由函数图象知，故选B.【答案】 B9.函数f(x)=x2+(3a+1)x+2a在(-，4)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A.a-3B.a3C.a5D.a=-3【解析】函数f(x)的对称轴为x=-3a+12，要使函数在(-，4)上为减函数，只须使(-，4)?(-，-3a+12)即-3a+124，a-3，故选A.【答案】 A10.某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间的关系的是( )A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=502xD.y=100log2x+100【解析】对C，当x=1时，y=100;当x=2时，y=200;当x=3时，y=400;当x=4时，y=800，与第4个月销售790台比较接近.故选C. 【答案】 C11.设log32=a，则log38-2 log36可表示为( )A.a-2B.3a-(1+a)2C.5a-2D.1+3a-a2【解析】 log38-2log36=log323-2log3(23)=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.故选A.【答案】 A12.已知f(x)是偶函数，它在[0，+)上是减函数.若f(lg x)f(1)，则x的取值范围是( )A.110，1B.0，110(1，+)C.110，10D.(0,1)(10，+)【解析】由已知偶函数f(x)在[0，+)上递减，则f(x)在(-，0)上递增，f(lg x)f(1)?01，或lg x0-lg x1?110，或0-1?110，或110x的取值范围是110，10.故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知全集U={2,3，a2-a-1}，A={2,3}，若?UA={1}，则实数a的值是________.【答案】 -1或214.已知集合A={x|log2x2}，B=(-，a)，若A?B，则实数a 的取值范围是(c，+)，其中c=________.【解析】 A={x|04，即a的取值范围为(4，+)，c=4.【答案】 415.函数f(x)=23x2-2x的单调递减区间是________.【解析】该函数是复合函数，可利用判断复合函数单调性的方法来求解，因为函数y=23u是关于u的减函数，所以内函数u=x2-2x的递增区间就是函数f(x)的递减区间.令u=x2-2x，其递增区间为[1，+)，根据函数y=23u是定义域上的减函数知，函数f(x)的减区间就是[1，+).【答案】 [1，+)16.有下列四个命题：①函数f(x)=|x||x-2|为偶函数;②函数y=x-1的值域为{y|y③已知集合A={-1,3}，B={x|ax-1=0，aR}，若AB=A，则a的取值集合为{-1，13};④集合A={非负实数}，B={实数}，对应法则f：求平方根，则f是A到B的映射.你认为正确命题的序号为：________. 【解析】函数f(x)=|x||x-2|的定义域为(-，2)(2，+)，它关于坐标原点不对称，所以函数f(x)=|x||x-2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确;函数y=x-1的定义域为{x|x1}，当x1时，y0，即命题②正确;因为AB=A，所以B?A，若B=?，满足B?A，这时a=0;若B?，由B?A，得a=-1或a=13.因此，满足题设的实数a的取值集合为{-1,0，13}，即命题③不正确;依据映射的定义知，命题④正确.【答案】②④三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-3x-10的两个零点为x1，x2(x1【解析】 A={x|x-2，或x5}.要使AB=?，必有2m-1-2，3m+25，3m+22m-1，或3m+22m-1，解得m-12，m1，m-3，或m-3，即-121，或m-3.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2ax+2，x[-5,5].(1)当a=-1时，求f(x)的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.【解析】 (1)当a=-1时，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，x[-5,5].由于f(x)的对称轴为x=1，结合图象知，当x=1时，f(x)的最小值为1，当x=-5时，f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为x=-a，∵f(x)在区间[-5,5]上是单调函数，-a-5或-a5.故a的取值范围是a-5或a5.19.(本小题满分12分)(1)计算：27912+(lg5)0+(2764)-13;(2)解方程：log3(6x-9)=3.【解析】 (1)原式=25912+(lg5)0+343-13=53+1+43=4.(2)由方程log3(6x-9)=3得6x-9=33=27，6x=36=62，x=2.经检验，x=2是原方程的解.20.(本小题满分12分)有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售，甲商场用下面的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少?【解析】设购买x台，甲、乙两商场的差价为y，则去甲商场购买共花费(800-20x)x，由题意800-20x440.118(xN).去乙商场花费80075%x(xN*).当118(xN*)时y=(800-20x)x-600x=200x-20x2，当x18(xN*)时，y=440x-600x=-160x，则当y0时，1当y=0时，x=10;当y0时，x10(xN).综上可知，若买少于10台，去乙商场花费较少;若买10台，甲、乙商场花费相同;若买超过10台，则去甲商场花费较少.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;【解析】 (1)由1+x0，1-x0，得-1函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)定义域关于原点对称，对于任意的x(-1,1)，有-x(-1,1)，f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)f(x)为奇函数.22.(本小题满分14分)设a0，f(x)=exa+aex是R上的偶函数.(1)求a的值;(2)证明：f(x)在(0，+)上是增函数.【解析】 (1)解：∵f(x)=exa+aex是R上的偶函数，f(x)-f(-x)=0.小编为大家提供的高一上册数学第三章测试题及答案，大家仔细阅读了吗？最后祝同学们学习进步。

第三章导数与微分[单选题]1、设函数，则高阶导数=（）A、12!B、11!C、10!D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶导数计算.因为多项式的最高次幂为11，故=0.[单选题]2、f(x)=4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程为( )A、y＝x－2B、y＝x＋2C、y＝－x＋2D、y＝－2x＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】f(x)＝4x－x3, f(－1)＝－4＋1＝－3,故(－1,－3)在所给的曲线上. 又f ' (x)＝4－3x2故f ' (－1)＝4－3＝1∴过(－1,－3)的切线方程为y＝(x＋1)－3＝x－2.[单选题]3、y＝cos3x－cos3x的导数为( )A、3(sin3x－sinxcos2x)B、3(sin3x＋sinxcos2x)C、3(sinx－sinxcos2x)D、3(sin3x－sin3xcos2x)【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】 y’＝(cos3x)' －(cos3x) '＝3cos2x(－sinx)－(－sin3x)×3＝3(sin3x－sinxcos2x)[单选题]4、设y＝x n＋e－x，则y(n)(0)＝（）A、n!＋(－1)nB、n!C、n!＋(－1)n－1D、n!－1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y(n)(x)＝n！＋(－1)n e－x，从而y(n)(0)＝n!＋(－1)n[单选题]5、设函数f(x)＝arctanx,求=( )A、-2B、1C、3D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]6、设y＝lnx，则y(n)＝()A、(－1)n n!x－nB、(－1)n(n－1)!x－2nC、(－1)n－1(n－1)!x－nD、(－1)n－1n!x－n＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】y′＝x－1,y′′＝－1!x－2, y′′′＝2!x－3,…. y(n)＝ (－1)n－1(n－1)!x－n[单选题]7、已知函数，则f(x)在点x=0处()A、连续但导数不存在B、间断C、导数f ’(0)=－1D、导数f ’(0)=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】所以，f(x)在点x=0处间断，答案为B.[单选题]8、y＝(2x2－x＋1)2的导数为( )A、2(2x2－x＋1)(4x－1)B、(2x2－x＋1)(4x－1)C、(2x2－x＋1)(4x＋1)D、(2x2＋x＋1)(4x－1)【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y’＝2(2x2－x＋1)(2x2－x＋1)’＝2(2x2－x＋1)(4x－1)[单选题]9、设函数f（x）在x0点可微是f（x）在该点可导的( )A、充分必要条件B、充分条件C、必要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】设函数f（x）在x0点可导是f（x）在该点可微的充要条件，对于一元函数，两者是等价的。

3.1函数的概念及其表示法习题练习3.1.11、求y=3x-1的定义域：2、指出下列各函数中，哪个与函数y x=是同一个函数：（1）2xyx=；（2）y；（3）s t=．3、已知f(x)=3x+6,求f(0)、f(2)、f(-2)。

参考答案：1、R2、（3）3、6、12、0练习3.1.21、利用“描点法”作出函数xy=的图像，并判断点（16，4）是否为图像上的点2、市场上苹果的价格是8元／kg ，应付款额y是购买苹果数量x的函数．请写出其解析法。

3、市场上中性笔的价格是2元／只，应付款额y是购买中性笔数量x的函数．请写出其解析法。

参考答案：1、作图略，在。

2、y=8x,(x为正整数)3、y=2x(x为正整数)3.2函数的性质习题练习3.2.11、判断函数y=-2x+3的单调性．23、判断函数y=8X+3的单调性．参考答案：1、减2、左增、右减3、增练习3.2.21、判断y=8X+3的奇偶性：2、判断y=4X 的奇偶性3、判断y=X 2的奇偶性 参考答案：1、非奇非偶函数2、奇函数3、偶函数3.3函数的实际应用举例习题练习3.31、．求()221,20,1,0 3.x x y f x x x +-<⎧⎪==⎨-<<⎪⎩的定义域； 2、求函数()221,0,,0.x x y f x x x -⎧⎪==⎨>⎪⎩的定义域；3、求函数() 1.6,010,2.812,10.x x y f x x x <⎧==⎨->⎩的定义域； 4、作出函数()1,0,1,0x x y f x x x -<⎧==⎨+⎩的图像 5、设函数()221,20,1,0 3.x x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<<⎪⎩作出函数的图像．6、设函数7,03,4,310,1.51,10.x y x x x x <⎧⎪=+<⎨⎪->⎩作出函数的图像 参考答案：1、-2<=x<=32、R3、x>=04、略5、略6、略。

一、填空题.(·南京、盐城调研)函数()＝(－)的单调递增区间是.解析函数()＝(－)的导数为′()＝[(－)]′＝＋(－)＝(－).由函数导数与函数单调性的关系，得当′()＞时，函数()单调递增，此时由不等式′()＝(－)＞，解得＞.∴()单调递增区间是(，＋∞).答案(，＋∞).若函数()＝－在区间(，＋∞)单调递增，则的取值范围是.解析依题意得′()＝－≥在(，＋∞)上恒成立，即≥在(，＋∞)上恒成立，∵＞，∴＜＜，∴≥.答案[，＋∞).已知＝＋＋(＋)＋在上不是增函数，则的取值范围是.解析′＝＋＋＋，由题意知Δ＝－(＋)>，解得>或<－.答案(－∞，－)∪(，＋∞).函数()在定义域内可导，若()＝(－)，且当∈(－∞，)时，(－)′()<，设＝()，＝，＝()，则，，从小到大的顺序为.解析依题意得，当<时，′()>，()为增函数；又()＝(－)，且－<<<，因此(－)<()<，即有()<()<，<<.答案<<.函数()＝＋的单调递减区间为.解析′()＝－(≠)，由′()＜得－＜＜或＜＜.故()的单调递减区间为(－，)，(，).答案(－，)，(，).如果函数()＝－＋－在上单调递增，则的取值范围是.解析′()＝－＋，由题意知′()＝－＋≥在上恒成立，则解得≥.答案.(·安徽卷改编)函数()＝＋＋＋的图象如图所示，给出以下命题：①>，<，>，>；②>，<，<，>；③<，<，>，>；④>，>，>，<.则以上命题正确的是(填序号).解析∵函数()的图象在轴上的截距为正值，∴＞.∵′()＝＋＋，且函数()＝＋＋＋在(－∞，)上单调递增，(，)上单调递减，(，＋∞)上单调递增，∴′()＜的解集为(，)，∴＞，又，均为正数，∴＞，－＞，可得＞，＜.答案①.若函数()＝－＋＋在上存在单调递增区间，则的取值范围是.解析对()求导，得′()＝－＋＋＝－＋＋.当∈时，′()的最大值为′＝＋.令＋＞，解得＞－.所以的取值范围是.答案二、解答题.设()＝(－)＋，其中∈，曲线＝()在点(，())处的切线与轴相交于点(，).()确定的值；()求函数()的单调区间.解()因为()＝(－)＋，故′()＝(－)＋.令＝，得()＝，′()＝－，所以曲线＝()在点(，())处的切线方程为－＝(－)(－)，由点(，)在切线上，可得－＝－，解得＝.()由()知，()＝(－)＋ (>)，′()＝－＋＝.令′()＝，解得＝或.当<<或>时，′()>，故()的递增区间是(，)，(，＋∞)；当＜＜时，′()＜，故()的递减区间是(，). .(·苏、锡、常、镇调研)已知函数()满足()＝＋′－＋(其中′为()在点＝处的导数，为常数).()求函数()的单调区间；。

当 时， ，
所以 在 处可导，且 。
当 时， ， ，
所以 在 处可导，且 。
。
10、解： 时，
时，容易判断，当 时， 不连续，因而函数 在 处不可导，当 时， 在 处连续，但由于 不存在，所以极限 不存在，这时我们要根据导数的定义来判断函数 在 处的可导性，由导数定义：
可知： 在 可导，且 。
所以当 时，
B类
1、解：割线的斜率为 ，而
由题设知 ，即 ，所以， 上点 处的切线平行于上述割线。
2、解：由定义：
3、解：
4、解：
5、证：由于 ， 在 处可微，所以有：
而
6、解：方法1：令 ，则：
从而
。
所以 ，即 。
方法2：利用公式 ，得原式
而 ，
故原式
7、证：设 ，则由 连续性， ，使当 时， ，于是任意 。
所以有：
7、解：要 在 处可导，必须在 处连续，故有 ，即有 ，要 在 处可导，必须
而 ，
故有 ，所以 在 处可导时， 。
8、证：1）由 ，而
故 为奇函数。
由 ，而
故 为偶函数。
2）设 的周期为 ，即
而
所以 是周期仍为 的周期函数。
9、解：因为 在 处连续，于是
故
10、证：对于 ，有,
令 ，则得 ，由 的任意性知， 。
第
§3—1导数的概念
A类
1、解：
2、解：1）
故 ;
2） ，故 ；
3）
，故 ;
4） ;
，由3）知
故
3、解：1）
2）
4、解：由
，故 （米/秒）
5、解：1）由 ，故 在 处连续。
而
，所以 不存在，故 在 处不可导。

第三章⎪⎪⎪导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算突破点(一) 导数的运算基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式 原函数 sin x cos x a x (a >0) e x log a x (a >0，且a ≠1)ln x 导函数cos x－sin_xa x ln_ae x1x ln a1x(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”已知函数的解析式求导数[例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x ； (3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e ； (5)y ＝ln (2x ＋3)x 2＋1.[解] (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x －12－x 12，∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2 ＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e)′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.(5)y ′＝[ln (2x ＋3)]′(x 2＋1)－ln (2x ＋3)(x 2＋1)′(x 2＋1)2＝(2x ＋3)′2x ＋3·(x 2＋1)－2x ln (2x ＋3)(x 2＋1)2＝2(x 2＋1)－2x (2x ＋3)ln (2x ＋3)(2x ＋3)(x 2＋1)2.[方法技巧]导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．导数运算的应用[例2] (1)(2016·济宁二模)已知函数f (x )＝x (2 017＋ln x )，f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 017)＋2 017ln x ，则f ′(1)＝________.[解析] (1)由题意可知f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ·1x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 017)＋2 017x ， 所以f ′(2 017)＝2 017＋2f ′(2 017)＋2 0172 017， 即f ′(2 017)＝－(2 017＋1)＝－2 018. 故f ′(1)＝1＋2×(－2 018)＋2 017＝－2 018. [答案] (1)B (2)－2 018[方法技巧]对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f (x )＝f ′(x 0)x ＋sin x ＋ln x (x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求的导数值．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一]已知y ＝ 2 017，则y ′＝( ) A.12 2 017 B ．－12 2 017C.2 0172 017D ．0解析：选D 因为常数的导数为0，又y ＝ 2 017是常数函数，所以y ′＝0. 2.[考点二]已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选A ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，∴sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.3.[考点二]已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.故选C.4.[考点二]在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．解析：因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.又数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝4 096.答案：4 0965.[考点一]求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ； (3)y ＝cos xe x； (4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x . (4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .突破点(二) 导数的几何意义基础联通抓主干知识的“源”与“流”函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求切线方程[例1]已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解](1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.[方法技巧]求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程(高考常考类型)，则点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程，则切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．[提醒] “过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．求切点坐标[例2] 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则点P的坐标为________．[解析] y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1.y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，设P (m ，n )，则曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m ＞0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)． [答案] (1,1)求参数的值[例3] 直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2[解析] 依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ×1＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ×1＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.[答案] C[方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知f (x )＝2e x sin x ，则曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝xD ．y ＝－2x解析：选B ∵f (x )＝2e x sin x ，∴f (0)＝0，f ′(x )＝2e x (sin x ＋cos x )，∴f ′(0)＝2，∴曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .2.[考点三]曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选C f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，∵f ′(1)＝tan 3π4＝－1，即3－a 4＝－1，∴a ＝7.3.[考点二]在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x +1上，且在第二象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：由y ′＝3x 2－1＝2，得x ＝±1，又点M 在第二象限内，故x ＝－1，此时y ＝1，故点M 的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)4.[考点三](2017·衡阳八中模拟)已知函数f (x )＝a x ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a >0且a ≠1，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：因为f (x )＝a xln x ，所以f ′(x )＝ln a ·a xln x ＋a xx .又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案：35.[考点二]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线 2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．答案：(e ，e)6.[考点一]如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x ) 是g (x )的导函数，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0. 答案：y －3＝0[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 2．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：易得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点横坐标为x 1，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点横坐标为x 2，则y ＝ln x ＋2的切线方程为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1，y ＝ln(x ＋1)的切线方程为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1.根据题意，有⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案：1－ln 23．已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x －3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －14．已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋1x－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－a(x－1)x＋1＞0.设g(x)＝ln x－a(x－1) x＋1，则g′(x)＝1x－2a(x＋1)2＝x2＋2(1－a)x＋1x(x＋1)2，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－(a－1)2－1，x2＝a－1＋(a－1)2－1.由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.综上，a的取值范围是(－∞，2]．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)解析：选C∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．2．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是()A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0解析：选C∵y＝sin x＋e x，∴y′＝cos x＋e x，∴y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2，∴曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.3．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝3x＋4sin x－cos x的拐点是M(x0，f(x0))，则点M()A．在直线y＝－3x上B．在直线y＝3x上C．在直线y＝－4x上D．在直线y＝4x上解析：选B f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题可知f ″(x 0)＝0，即4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．故选B.4．曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则ab 的值为( ) A ．－12eB ．－2e C.2e D.12e解析：选D y ′＝e x ＋x e x ，则y ′|x ＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，∴－a b ＝－12e ，∴a b ＝12e，故选D.5．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a e x 图象的切线，则实数a ＝________. 解析：设切点为(x 0，y 0)．f ′(x )＝－1a e x ，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.答案：e 2[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C 由题可知，f (π)＝－1π，f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π. 2．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1. 3．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B.2 C.22D. 3 解析：选B 由题可得，y ′＝2x －1x .因为y ＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以由2x －1x ＝1，得x ＝1，则P 点坐标为(1,1)，所以曲线在点P 处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝2，即点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为 2. 4．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 5．已知函数f (x )＝2e x＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 017)＋f (－2 017)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)的值为( )A ．0B ．2C ．2 017D ．－2 017解析：选B ∵f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，∴f ′(x )＝－2e x (e x ＋1)2＋cos x ，f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋sin x ＋2e －x ＋1＋sin(－x )＝2，f ′(x )－f ′(－x )＝－2e x (e x ＋1)2＋cos x ＋2e －x (e －x ＋1)2－cos(－x )＝0，∴f (2 017)＋f (－2 017)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)＝2.6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2. 二、填空题7．已知函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(2)，则函数f (x )的解析式为________． 解析：由题意得f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，则f ′(2)＝4＋2f ′(2)，所以f ′(2)＝－4，所以f (x )＝x 2－8x .答案：f (x )＝x 2－8x8．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意知，A (2,8)在y ＝x n 上，∴2n ＝8，∴n ＝3，∴y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2,8)．∴y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝09．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0，即a ＝－13x3(x >0)，故a ∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)10.已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝________；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为________．(用“<”连接)解析：(1)依题意，f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ，g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2， 故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ，由f (1)＝1得c ＝12，则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ，则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ，h (1)＝16＋c －n ，故h (0)<h (1)<h (－1)．答案：(1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1) 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．12．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2， 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ， 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ， 即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.第二节导数与函数的单调性突破点(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间1．函数的单调性与导数的关系 函数y ＝f (x )在某个区间内可导：(1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内单调递增； (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内单调递减； (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数． 2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论(1)函数f (x )在(a ，b )内可导，且f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0⇔函数f (x )在(a ，b )上单调递增； f ′(x )≤0⇔函数f (x )在(a ，b )上单调递减．(2)f ′(x )>0(<0)在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的充分条件.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”证明或讨论函数的单调性判断函数单调性的三种方法 定义法在定义域内(或定义域的某个区间内)任取x 1，x 2，且x 1<x 2，通过判断f (x 1)－f (x 2)与0的大小关系来确定函数f (x )的单调性图象法利用函数图象的变化趋势直观判断，若函数图象在某个区间内呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；若函数图象在某个区间内呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数导数法利用导数判断可导函数f (x )在定义域内(或定义域的某个区间内)的单调性[例1] 已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax ＋1，讨论函数f (x )的单调性． [解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x . (1)当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； (3)当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ 1－a 2a ，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 上单调递减，在 1－a2a，＋∞上单调递增．[方法技巧]导数法证明或讨论函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)得出结论：当f ′(x )>0时，函数f (x )在(a ，b )内单调递增；当f ′(x )<0时，函数f (x )在(a ，b )内单调递减．[提醒] 讨论含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．求函数的单调区间[例2] 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，求函数f (x )的单调区间．[解] 对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.所以f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5，因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 所以函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)． [方法技巧]用导数求函数单调区间的三种类型及方法(1)当不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，求出实数根，把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f ′(x )在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0及方程f ′(x )＝0均不可解时求导并化简，根据f ′(x )的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f ′(x )的符号，得单调区间．1.[考点二]函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，所以f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.2.[考点一]下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )>0，得x >33或x <－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )>0，得0<x <1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.3.[考点二]函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,2)解析：选A 对于函数y ＝12x 2－ln x ，易得其定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ，令x 2－1x <0，又x >0，所以x 2－1<0，解得0<x <1，即函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1)．4.[考点一]已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性． 解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a (x >0)， ①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0， 即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0； 当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 由①②知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 5.[考点二]已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间． 解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋1＝c ，g (1)＝1＋b ＝c ，2a ＝3＋b ，解得a ＝b ＝3.(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 24，令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6，∵a >0，∴x 1<x 2，由F ′(x )>0得，x <－a 2或x >－a6；由F ′(x )<0得，－a 2<x <－a6.∴函数f (x )＋g (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2，⎝⎛⎭⎫－a6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6.突破点(二) 利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．(2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质求解．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”已知函数的单调性求参数的取值范围由函数的单调性求参数取值范围的方法(1)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，即f ′(x )max >0(或f ′(x )min <0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．[例1] 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围； (3)若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值．[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3]．(2)因为f (x )在区间(－1,1)上为减函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，即a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x ＜1，所以3x 2＜3，所以a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．(3)因为f (x )＝x 3－ax －1，所以f ′(x )＝3x 2－a .由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)． 因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)， 所以3a3＝1，即a ＝3. 应用结论“函数f (x )在(a ，b )上单调递增⇔f ′(x )≥0恒成立；函数f (x )在(a ，b )上单调递减⇔f ′(x )≤0恒成立”时，切记检验等号成立时导数是否在(a ，b )上恒为0. [易错提醒]比较大小或解不等式[例2] (1)若0<x 1<x 2<1，则( ) A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1>x 1e x 2 D ．x 2e x 1<x 1e x 2(2)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] (1)构造函数f (x )＝e x－ln x ，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x －1x .令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此f (x )＝e x －ln x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A ，B 错；构造函数g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，故函数g (x )＝e x x 在(0,1)上单调递减，故g (x 1)>g (x 2)，即e x 1x 1>e x 2x 2，则x 2e x 1>x 1e x 2，故选C.(2)设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] (1)C (2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)[方法技巧]利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．1.[考点一]已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋a ln x ，若函数f (x )在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－6，＋∞)B ．(－∞，－16)C ．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D ．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)解析：选C ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋4＋a x ＝2x 2＋4x ＋ax ，f (x )在(1,2)上是单调函数，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，即2x 2＋4x ＋a ≥0或2x 2＋4x ＋a ≤0在(1,2)上恒成立，即a ≥－(2x 2＋4x )或a ≤－(2x 2＋4x )在(1,2)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋4x )，1<x <2，则－16<g (x )<－6，∴a ≥－6或a ≤－16，故选C.2.[考点二]已知函数f (x )＝x 3－3x ，若在△ABC 中，角C 是钝角，则( ) A ．f (sin A )>f (cos B ) B ．f (sin A )<f (cos B ) C ．f (sin A )>f (sin B ) D ．f (sin A )<f (sin B )解析：选A ∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，故函数f (x )在区间(－1,1)上是减函数，又A 、B 都是锐角，且A ＋B <π2，∴0<A <π2－B <π2，∴sin A <sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，故f (sin A )>f (cos B )，故选A.3.[考点一]若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )>0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)，由f ′(x )<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3.答案：(－3，－1)∪(1,3)4.[考点一]已知函数f (x )＝x 33－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上为单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意可得f ′(x )≥0在x ∈R 上恒成立，所以Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)＝4(m 2－6m ＋8)≤0，解得2≤m ≤4.答案：[2,4]5.[考点二]已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意的x ∈R 总有f ′(x )<3，则不等式f (x )<3x －15的解集为________．解析：令g (x )＝f (x )－3x ＋15，则f (x )<3x －15的解集即为g (x )<0的解集．又g ′(x )＝f ′(x )－3<0，所以g (x )在R 上是减函数．又g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0，所以g (x )<g (4)，故x >4.所以f (x )<3x －15的解集为(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 解析：选C 取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C.2．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选A 设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.3．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x . 因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立， 即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立． 因为x >1，所以0<1x <1，所以k ≥1.故选D.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D. 2．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A f ′(x )＝32x 2＋a ，当a >0时，f ′(x )>0，即a >0时，f (x )在R 上单调递增，由f (x )在R 上单调递增，可得a ≥0.故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．3.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．4．若函数f (x )＝sin x ＋ax 为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝cos x ＋a ，由题意可知，f ′(x )≤0对任意的x ∈R 都成立，∴a ≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，x ∈(－1,1)，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋f (1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________．解析：∵导函数f ′(x )是偶函数，且f (0)＝0，∴原函数f (x )是奇函数，∴所求不等式变形为f (1－x )<f (x 2－1)，∵导函数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，又f (x )的定义域为(－1,1)，∴－1<1－x <x 2－1<1，解得1<x <2，∴实数x 的取值范围是(1，2)．答案：(1，2)[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2)解析：选C 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x ＝(x －2)(2x －1)x >0，解得0<x <12或x >2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12，(2，＋∞)．2．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[]1，4上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，518 B.(]－∞，3 C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞ D.[)3，＋∞解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[]1，4上单调递减，则有f ′(x )≤0在[]1，4上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518，故选C. 3.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．[3，＋∞) C ．[－2,3]D ．(－∞，－2)解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <12时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)．4．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：选C 因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)<f (0)＝a ，所以c <a <b ，故选C.5．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝1－b x 2，∵函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－bx 2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D.6．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f (x )x>0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a >b 时，有( )A ．af (a )<bf (b )B ．af (a )>bf (b )C ．af (b )>bf (a )D ．af (b )<bf (a )解析：选B 由f ′(x )＋f (x )x >0得xf ′(x )＋f (x )x >0，即[xf (x )]′x>0，即[xf (x )]′x >0.∵x >0，∴[xf (x )]′>0，即函数y ＝xf (x )为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a >b ，得af (a )>bf (b )，故选B.二、填空题7．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)8．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 9．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )>0的解集为________．解析：由题图可知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)∪(－∞，－1)，f ′(x )<0，x ∈(－1，1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，解得x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)10．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 三、解答题11．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．12．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x .当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x. ∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0， 即m ＜－5且m ＜－9， 即m ＜－9；由g ′(3)＞0，得m ＞－373.所以－373＜m ＜－9. 即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9.第三节导数与函数的极值、最值 突破点(一) 利用导数解决函数的极值问题1．函数的极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近的其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．2．函数的极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．3．函数的极值极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.。

第三章⎪⎪⎪导数及其应用 第一节变化率与导数、导数的计算突破点(一) 导数的运算1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx→0ΔyΔx ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx→0ΔyΔx ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝li m Δx→f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.本节主要包括2个知识点： 1.导数的运算；导数的几何意义.[例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln xx ； (3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e ； (5)y ＝ln (2x ＋3)x 2＋1.[解] (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x －12－x 12，∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e)′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.(5)y ′＝[ln (2x ＋3)]′(x 2＋1)－ln (2x ＋3)(x 2＋1)′(x 2＋1)2＝(2x ＋3)′2x ＋3·(x 2＋1)－2x ln (2x ＋3)(x 2＋1)2＝2(x 2＋1)－2x (2x ＋3)ln (2x ＋3)(2x ＋3)(x 2＋1)2.[方法技巧]导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．导数运算的应用[例2] (1)(2016·济宁二模)已知函数f (x )＝x (2 017＋ln x )，f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 017)＋2 017ln x ，则f ′(1)＝________.[解析] (1)由题意可知f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ·1x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 017)＋2 017x ， 所以f ′(2 017)＝2 017＋2f ′(2 017)＋2 0172 017， 即f ′(2 017)＝－(2 017＋1)＝－2 018. 故f ′(1)＝1＋2×(－2 018)＋2 017＝－2 018. [答案] (1)B (2)－2 018[方法技巧]对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f (x )＝f ′(x 0)x ＋sin x ＋ln x (x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求的导数值．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一](2017·东北四市联考)已知y ＝ 2 017，则y ′＝( ) A.12 2 017 B ．－12 2 017C.2 0172 017D ．0解析：选D 因为常数的导数为0，又y ＝ 2 017是常数函数，所以y ′＝0. 2.[考点二](2016·大同二模)已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选A ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，∴sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.3.[考点二](2017·湖北重点中学月考)已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.故选C.4.[考点二]在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．解析：因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.又数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝4 096.答案：4 0965.[考点一]求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos xe x； (4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x .(4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .突破点(二) 导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.[例1] 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. [方法技巧]求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程(高考常考类型)，则点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程，则切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．[提醒]“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．求切点坐标[例2]设曲线y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P 的坐标为________．[解析]y＝e x的导数为y′＝e x，则曲线y＝e x在点(0,1)处的切线斜率k1＝e0＝1.y＝1x(x＞0)的导数为y′＝－1x2(x＞0)，设P(m，n)，则曲线y＝1x(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2 (m＞0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．[答案](1,1)求参数的值[例3]直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于() A．2 B．－1 C．1 D．－2[解析]依题意知，y′＝3x2＋a，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a×1＋b＝3，3×12＋a＝k，k×1＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－1，b＝3，k＝2，所以2a＋b＝1，选C.[答案] C[方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知f(x)＝2e x sin x，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为()A ．y ＝0B ．y ＝2xC ．y ＝xD ．y ＝－2x解析：选B ∵f (x )＝2e x sin x ，∴f (0)＝0，f ′(x )＝2e x (sin x ＋cos x )，∴f ′(0)＝2，∴曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .2.[考点三]曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选C f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，∵f ′(1)＝tan 3π4＝－1，即3－a 4＝－1，∴a ＝7.3.[考点二]在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x +1上，且在第二象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：由y ′＝3x 2－1＝2，得x ＝±1，又点M 在第二象限内，故x ＝－1，此时y ＝1，故点M 的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)4.[考点三](2017·衡阳八中模拟)已知函数f (x )＝a x ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a >0且a ≠1，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：因为f (x )＝a xln x ，所以f ′(x )＝ln a ·a xln x ＋a xx.又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案：35.[考点二]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线 2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．答案：(e ，e)6.[考点一]如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x ) 是g (x )的导函数，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0. 答案：y －3＝0[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3.2．(2016·全国甲卷)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：易得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点横坐标为x 1，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点横坐标为x 2，则y ＝ln x ＋2的切线方程为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1，y＝ln(x ＋1)的切线方程为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1.根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案：1－ln 23．(2016·全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x －3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －14．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)， f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2.故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a (x －1)x ＋1＞0.设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1， 则g ′(x )＝1x －2a (x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0.①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此g (x )＞0；②当a ＞2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1.由x 2＞1和x 1x 2＝1得x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)上单调递减， 因此g (x )＜0.综上，a 的取值范围是(－∞，2]．[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．2．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ＝sin x ＋e x ， ∴y ′＝cos x ＋e x ， ∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0. 3．(2016·安庆二模)给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：选B f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题可知f ″(x 0)＝0，即4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．故选B.4．(2016·贵阳一模)曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b 的值为( )A ．－12eB ．－2e C.2e D.12e解析：选D y ′＝e x ＋x e x ，则y ′|x ＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，∴－a b ＝－12e ，∴a b ＝12e，故选D.5．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a e x 图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)．f ′(x )＝－1a e x ，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.答案：e 2[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C 由题可知，f (π)＝－1π，f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π. 2．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1. 3．(2017·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( )A ．1 B. 2 C.22D. 3 解析：选B 由题可得，y ′＝2x －1x .因为y ＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以由2x－1x ＝1，得x ＝1，则P 点坐标为(1,1)，所以曲线在点P 处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝2，即点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为 2. 4．(2016·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 5．(2017·重庆诊断)已知函数f (x )＝2e x＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 017)＋f (－2 017)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)的值为( )A ．0B ．2C ．2 017D ．－2 017解析：选B ∵f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，∴f ′(x )＝－2e x (e x ＋1)2＋cos x ，f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋sinx ＋2e －x ＋1＋sin(－x )＝2，f ′(x )－f ′(－x )＝－2e x(e x ＋1)2＋cos x ＋2e －x(e －x ＋1)2－cos(－x )＝0，∴f (2 017)＋f (－2 017)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)＝2.6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2. 二、填空题7．已知函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(2)，则函数f (x )的解析式为________． 解析：由题意得f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，则f ′(2)＝4＋2f ′(2)，所以f ′(2)＝－4，所以f (x )＝x 2－8x .答案：f (x )＝x 2－8x8．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意知，A (2,8)在y ＝x n 上，∴2n ＝8，∴n ＝3，∴y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2,8)．∴y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝09．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0，即a ＝－13x3(x >0)，故a ∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)10.已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝________；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为________．(用“<”连接)解析：(1)依题意，f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ，g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2， 故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ，由f (1)＝1得c ＝12，则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ，则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ，h (1)＝16＋c －n ，故h (0)<h (1)<h (－1)． 答案：(1)1(2)h (0)<h (1)<h (－1) 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．12．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2， 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ， 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.第二节导数与函数的单调性突破点(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间1．函数的单调性与导数的关系 函数y ＝f (x )在某个区间内可导：(1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内单调递增； (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内单调递减； (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数． 2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论(1)函数f (x )在(a ，b )内可导，且f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.当x ∈(a ，b )时，本节主要包括2个知识点：1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间； 2．利用导数解决函数单调性的应用问题.f ′(x )≥0⇔函数f (x )在(a ，b )上单调递增； f ′(x )≤0⇔函数f (x )在(a ，b )上单调递减．(2)f ′(x )>0(<0)在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的充分条件.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”证明或讨论函数的单调性判断函数单调性的三种方法 定义法在定义域内(或定义域的某个区间内)任取x 1，x 2，且x 1<x 2，通过判断f (x 1)－f (x 2)与0的大小关系来确定函数f (x )的单调性图象法利用函数图象的变化趋势直观判断，若函数图象在某个区间内呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；若函数图象在某个区间内呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数导数法利用导数判断可导函数f (x )在定义域内(或定义域的某个区间内)的单调性2[解]f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x .(1)当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(3)当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 上单调递减，在 1－a2a，＋∞上单调递增．[方法技巧]导数法证明或讨论函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)得出结论：当f ′(x )>0时，函数f (x )在(a ，b )内单调递增；当f ′(x )<0时，函数f (x )在(a ，b )内单调递减．[提醒] 讨论含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．求函数的单调区间[例2] 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，求函数f (x )的单调区间．[解] 对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x2－1x ，由曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. 所以f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5，因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 所以函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)． [方法技巧]用导数求函数单调区间的三种类型及方法(1)当不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，求出实数根，把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f ′(x )在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0及方程f ′(x )＝0均不可解时求导并化简，根据f ′(x )的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f ′(x )的符号，得单调区间．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，所以f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.2.[考点一]下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )>0，得x >33或x <－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )>0，得0<x <1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.3.[考点二]函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,2)解析：选A 对于函数y ＝12x 2－ln x ，易得其定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ，令x 2－1x <0，又x >0，所以x 2－1<0，解得0<x <1，即函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1)．4.[考点一]已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性． 解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a (x >0)， ①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0， 即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 由①②知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 5.[考点二]已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间． 解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋1＝c ，g (1)＝1＋b ＝c ，2a ＝3＋b ，解得a ＝b ＝3.(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 24，令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6，∵a >0，∴x 1<x 2，由F ′(x )>0得，x <－a 2或x >－a6；由F ′(x )<0得，－a 2<x <－a6.∴函数f (x )＋g (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2，⎝⎛⎭⎫－a6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6.突破点(二) 利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．(2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质求解．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”已知函数的单调性求参数的取值范围由函数的单调性求参数取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．[例1]已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求a的取值范围；(3)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．[解](1)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．(2)因为f(x)在区间(－1,1)上为减函数，所以f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即a的取值范围为[3，＋∞)．(3)因为f(x)＝x3－ax－1，所以f′(x)＝3x2－a.由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)．因为f(x)的单调递减区间为(－1,1)，所以3a3＝1，即a ＝3.应用结论“函数f (x )在(a ，b )上单调递增⇔f ′(x )≥0恒成立；函数f (x )在(a ，b )上单调递减⇔f ′(x )≤0恒成立”时，切记检验等号成立时导数是否在(a ，b )上恒为0. [易错提醒][例2] (1)若0<x 1<x 2<1，则( ) A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1>x 1e x 2 D ．x 2e x 1<x 1e x 2(2)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] (1)构造函数f (x )＝e x－ln x ，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x .令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此f (x )＝e x －ln x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A ，B 错；构造函数g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，故函数g (x )＝e x x 在(0,1)上单调递减，故g (x 1)>g (x 2)，即e x 1x 1>e x 2x 2，则x 2e x 1>x 1e x 2，故选C.(2)设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] (1)C (2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)[方法技巧]利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋a ln x ，若函数f (x )在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－6，＋∞)B ．(－∞，－16)C ．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D ．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)解析：选C ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋4＋a x ＝2x 2＋4x ＋ax，f (x )在(1,2)上是单调函数，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，即2x 2＋4x ＋a ≥0或2x 2＋4x ＋a ≤0在(1,2)上恒成立，即a ≥－(2x 2＋4x )或a ≤－(2x 2＋4x )在(1,2)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋4x )，1<x <2，则－16<g (x )<－6，∴a ≥－6或a ≤－16，故选C.2.[考点二](2016·南昌三模)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若在△ABC 中，角C 是钝角，则( ) A ．f (sin A )>f (cos B ) B ．f (sin A )<f (cos B ) C ．f (sin A )>f (sin B ) D ．f (sin A )<f (sin B )解析：选A ∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，故函数f (x )在区间(－1,1)上是减函数，又A 、B 都是锐角，且A ＋B <π2，∴0<A <π2－B <π2，∴sin A <sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，故f (sin A )>f (cos B )，故选A.3.[考点一]若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )>0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)，由f ′(x )<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3.答案：(－3，－1)∪(1,3)4.[考点一]已知函数f (x )＝x 33－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上为单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意可得f ′(x )≥0在x ∈R 上恒成立，所以Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)＝4(m 2－6m ＋8)≤0，解得2≤m ≤4.答案：[2,4]5.[考点二]已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意的x ∈R 总有f ′(x )<3，则不等式f (x )<3x －15的解集为________．解析：令g (x )＝f (x )－3x ＋15，则f (x )<3x －15的解集即为g (x )<0的解集．又g ′(x )＝f ′(x )－3<0，所以g (x )在R 上是减函数．又g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0，所以g (x )<g (4)，故x >4.所以f (x )<3x －15的解集为(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国乙卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 解析：选C 取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C.2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选A 设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立， 即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立． 因为x >1，所以0<1x <1，所以k ≥1.故选D.[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D. 2．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A f ′(x )＝32x 2＋a ，当a >0时，f ′(x )>0，即a >0时，f (x )在R 上单调递增，由f (x )在R 上单调递增，可得a ≥0.故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．3.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．4．若函数f (x )＝sin x ＋ax 为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝cos x ＋a ，由题意可知，f ′(x )≤0对任意的x ∈R 都成立，∴a ≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，x ∈(－1,1)，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋f (1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________．解析：∵导函数f ′(x )是偶函数，且f (0)＝0，∴原函数f (x )是奇函数，∴所求不等式变形为f (1－x )<f (x 2－1)，∵导函数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，又f (x )的定义域为(－1,1)，∴－1<1－x <x 2－1<1，解得1<x <2，∴实数x 的取值范围是(1，2)．答案：(1，2)[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2)解析：选C 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x ＝(x －2)(2x －1)x >0，解得0<x <12或x >2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12，(2，＋∞)．2．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[]1，4上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，518 B.(]－∞，3C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞D.[)3，＋∞ 解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[]1，4上单调递减，则有f ′(x )≤0在[]1，4上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518，故选C. 3.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．[3，＋∞) C ．[－2,3]D ．(－∞，－2)解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <12时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)．4．(2017·甘肃诊断考试)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：选C 因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)<f (0)＝a ，所以c <a <b ，故选C.5．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝1－b x 2，∵函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－bx 2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D.6．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f (x )x >0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a >b 时，有( )A ．af (a )<bf (b )B ．af (a )>bf (b )C ．af (b )>bf (a )D ．af (b )<bf (a )解析：选B 由f ′(x )＋f (x )x >0得xf ′(x )＋f (x )x >0，即[xf (x )]′x >0，即[xf (x )]′x >0.∵x >0，∴[xf (x )]′>0，即函数y ＝xf (x )为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a >b ，得af (a )>bf (b )，故选B.二、填空题7．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)8．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞9．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )>0的解集为________．解析：由题图可知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)∪(－∞，－1)，f ′(x )<0，x ∈(－1，1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，解得x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)10．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 三、解答题11．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2. 所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．12．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x .当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x . ∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，。

第三章导数与微分[单选题]1、设函数，则高阶导数=（）A、12!B、11!C、10!D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶导数计算.因为多项式的最高次幂为11，故=0.[单选题]2、f(x)=4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程为( )A、y＝x－2B、y＝x＋2C、y＝－x＋2D、y＝－2x＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】f(x)＝4x－x3, f(－1)＝－4＋1＝－3,故(－1,－3)在所给的曲线上. 又f ' (x)＝4－3x2故f ' (－1)＝4－3＝1∴过(－1,－3)的切线方程为y＝(x＋1)－3＝x－2.[单选题]3、y＝cos3x－cos3x的导数为( )A、3(sin3x－sinxcos2x)B、3(sin3x＋sinxcos2x)C、3(sinx－sinxcos2x)D、3(sin3x－sin3xcos2x)【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】 y’＝(cos3x)' －(cos3x) '＝3cos2x(－sinx)－(－sin3x)×3＝3(sin3x－sinxcos2x)[单选题]4、设y＝x n＋e－x，则y(n)(0)＝（）A、n!＋(－1)nB、n!C、n!＋(－1)n－1D、n!－1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y(n)(x)＝n！＋(－1)n e－x，从而y(n)(0)＝n!＋(－1)n[单选题]5、设函数f(x)＝arctanx,求=( )A、-2B、1C、3D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]6、设y＝lnx，则y(n)＝()A、(－1)n n!x－nB、(－1)n(n－1)!x－2nC、(－1)n－1(n－1)!x－nD、(－1)n－1n!x－n＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】y′＝x－1,y′′＝－1!x－2, y′′′＝2!x－3,…. y(n)＝ (－1)n－1(n－1)!x－n[单选题]7、已知函数，则f(x)在点x=0处()A、连续但导数不存在B、间断C、导数f ’(0)=－1D、导数f ’(0)=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】所以，f(x)在点x=0处间断，答案为B.[单选题]8、y＝(2x2－x＋1)2的导数为( )A、2(2x2－x＋1)(4x－1)B、(2x2－x＋1)(4x－1)C、(2x2－x＋1)(4x＋1)D、(2x2＋x＋1)(4x－1)【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y’＝2(2x2－x＋1)(2x2－x＋1)’＝2(2x2－x＋1)(4x－1)[单选题]9、设函数f（x）在x0点可微是f（x）在该点可导的( )A、充分必要条件B、充分条件C、必要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】设函数f（x）在x0点可导是f（x）在该点可微的充要条件，对于一元函数，两者是等价的。

第三章 一元函数积分学习题题解(P108)一、判断题题解1. 错。

是)(x f 的所有原函数。

2. 错。

)(x f 的任意两个原函数之差为常数。

3. 错。

是C x F +)(。

4. 正确。

5. 错。

被积函数在x =0处无界。

6. 正确。

x y sin ='，00='=x y7. 正确。

被积函数是奇函数，积分区间对称。

8. 正确。

二、选择题题解1. )()(x f x x x f -=--=-被积函数是奇函数，积分区间对称，定积分为零。

或⎰-11dx x x =⎰⎰+--12012dx x dx x=1030 133131x x+--=[]0)01(31)1(031=-+---。

(A ) 2.⎰+∞∞-+dx x 211=⎰∞-+0 211dx x +⎰+∞+0 211dx x =0 arctan ∞-x ++∞0arctan x =πππ=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--0220。

(A ) 3. 正确的是C 。

4. dx x f aa⎰-- )(xu dudx -=-=====令du u f aa⎰-- )(=dx x f aa⎰- )(。

(D )5.)()(1)(ax b d ax b f a dx ax b f ---=-⎰⎰=C ax b F a+--)(1。

(B ) 6. 令x e x F -=)(，则x e x f --=)(，dx xe dx x xf x ⎰⎰--=)(=()⎰-x e xd =⎰---dx e xe x x =C x e x++-)1(。

(D )7.⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰dt t dx d x 1 41=)()(14'+x x =x xx x +=+1212112。

(D ) 8. ⎰'''dx x f x f )()(=⎰'')()(x f d x f =[][]C x f x f d +'='⎰22)(21)(21，2)(x e x f -=，22)(x xe x f --='[]C x f +'∴2)(21 =()C xe x +--22221=C e x x +-2222。

2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋5，则f(5)与f′(5)分别为() A．5，－1B．－1,5C．－1,0D．0，－1答案D解析由题意可得f(5)＝－5＋5＝0，f′(5)＝－1，故选D.2．已知函数f(x)＝x sin x＋ax，且f1，则a等于()A．0B．1C．2D．4答案A解析∵f′(x)＝sin x＋x cos x＋a，且f1，∴sin π2＋π2cosπ2＋a＝1，即a＝0.3．若曲线y＝mx＋ln x在点(1，m)处的切线垂直于y轴，则实数m等于() A．－1B．0C．1D．2答案A解析f(x)的导数为f′(x)＝m＋1x，曲线y＝f(x)在点(1，m)处的切线斜率为k＝m＋1＝0，可得m＝－1.故选A.4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N*，则f2020(x)等于()A．－sin x－cos x B．sin x－cos xC．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x答案B解析∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x＝f1(x)，∴f n(x)是以4为周期的函数，∴f2020(x)＝f4(x)＝sin x－cos x，故选B.5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)等于()A ．1B ．－1C ．－eD ．－e －1答案D解析已知f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，其导数f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，令x ＝e ，可得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，变形可得f ′(e)＝－1e ，故选D.6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为()A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案B解析由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝x 2＋m ，g (x )＝6ln x －4x ，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共点处的切线相同，则m 值等于()A ．5B ．3C ．－3D ．－5答案D解析f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝6x －4，令2x ＝6x－4，解得x ＝1，这就是切点的横坐标，代入g (x )求得切点的纵坐标为－4，将(1，－4)代入f (x )得1＋m ＝－4，m ＝－5.故选D.8．(2019·新乡模拟)若函数f (x )＝a e x ＋sin x 在－π2，0上单调递增，则a 的取值范围为()B ．[－1,1]C ．[－1，＋∞)D ．[0，＋∞)答案D解析依题意得，f ′(x )＝a e x ＋cos x ≥0，即a ≥－cos xe x 对x ∈－π2，0恒成立，设g (x )＝－cos xe x ，x ∈－π2，0，g ′(x )g ′(x )＝0，则x ＝－π4，当x ∈－π2，－g ′(x )<0；当x －π4，0时，g ′(x )>0，故g (x )max ＝g (0，则a ≥0.故选D.9.(2019·河北衡水中学调研)如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为()A.2000π9B.4000π27C ．81πD ．128π答案B解析小圆柱的高分为上下两部分，上部分同大圆柱一样为5，下部分深入底部半球内设为h (0<h <5)，小圆柱的底面半径设为r (0<r <5)，由于r ，h 和球的半径5满足勾股定理，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h <5)，求导V ′＝－π(3h －5)·(h ＋5)，当0<h ≤53时，体积V 单调递增，当53<h <5时，体积V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱体积取得最大值，V max ＝＝4000π27，故选B.10．(2019·凉山诊断)若对任意的0<x 1<x 2<a 都有x 2ln x 1－x 1ln x 2<x 1－x 2成立，则a 的最大值为()A.12B ．1C ．eD ．2e答案B解析原不等式可转化为1＋ln x 1x 1<1＋ln x 2x 2，构造函数f (x )＝1＋ln x x ，f ′(x )＝－ln xx2，故函数在(0,1)上导数大于零，单调递增，在(1，＋∞)上导数小于零，单调递减．由于x 1<x 2且f (x 1)<f (x 2)，故x 1，x 2在区间(0,1)上，故a 的最大值为1，故选B.11．(2019·洛阳、许昌质检)设函数y ＝f (x )，x ∈R 的导函数为f ′(x )，且f (x )＝f (－x ),f ′(x )<f (x )，则下列不等式成立的是(注：e 为自然对数的底数)()A ．f (0)<e －1f (1)<e 2f (2)B ．e －1f (1)<f (0)<e 2f (2)C ．e 2f (2)<e －1f (1)<f (0)D ．e 2f (2)<f (0)<e －1f (1)答案B解析设g (x )＝e －x f (x )，∴g ′(x )＝－e －x f (x )＋e －x f ′(x )＝e －x (f ′(x )－f (x ))，∵f ′(x )<f (x )，∴g ′(x )<0，∴g (x )为减函数．∵g (0)＝e 0f (0)＝f (0)，g (1)＝e －1f (1),g (－2)＝e 2f (－2)＝e 2f (2)，且g (－2)>g (0)>g (1)，∴e －1f (1)<f (0)<e 2f (2)，故选B.12．(2019·廊坊省级示范高中联考)已知函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b 的图象在x ＝0处的切线方程为2x －y －a ＝0，若关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，则m 的取值范围为()A.－323，－B.－2－323，－2答案D解析由函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b ，可得f ′(x )＝－x 2－x ＋a ，则f (0)＝－b ＝－a ，f ′(0)＝a ＝2，则b ＝2，即f (x )＝－13x 3－12x 2＋2x －2，f ′(x )＝－x 2－x ＋2＝－(x －1)(x ＋2)，所以函数f (x )在(－2,1)上单调递增，在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，又由关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，等价于函数f (x )的图象与直线y ＝m 在x ∈(0，＋∞)，上有两个交点，又f (0)＝－2，f (1)＝－56，所以－2<m <－56，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·陕西四校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为________________．答案x －y －3＝0解析∵f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，∴f ′(x )＝1x ＋4x －4，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝－2，∴所求切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.14．已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．答案－1e2，解析f ′(x )＝ln x ＋1x (x －a )＝ln x ＋1－ax，函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则f ′(x )有两个变号零点，即f ′(x )＝0有两个不等实根，即a ＝x (ln x ＋1)有两个不等实根，转化为y ＝a 与y ＝x (ln x ＋1)的图象有两个不同的交点．令g (x )＝x (ln x ＋1)，则g ′(x )＝ln x ＋2，令ln x ＋2＝0，则x ＝1e 2，即g (x )＝x (ln x ＋1)[g (x )]min ＝－1e 2，当x →0时，g (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以结合f (x )的图象(图略)可知a －1e 2，15．(2019·山师大附中模拟)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．答案－1，12解析由函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥－2＋e x ＋1ex ≥－2＋2e x ·1e x＝0，当且仅当x ＝0时等号成立，可得f (x )在R 上递增，又f (－x )＋f (x )＝(－x )3＋2x ＋e －x －e x ＋x 3－2x ＋e x －1e x 0，可得f (x )为奇函数，则f (a －1)＋f (2a 2)≤0，即有f (2a 2)≤0－f (a －1)＝f (1－a )，即有2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12.16．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且对任意的不相等的实数x 1，x 2∈[0，＋∞)有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，若关于x 的不等式f (2mx －ln x－3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)在x ∈[1,3]上恒成立，则实数m 的取值范围是______________．答案12e ，1＋ln 36解析∵函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．又f (2mx －ln x －3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)＝2f (3)－f (2mx －ln x －3)，∴f (2mx －ln x －3)≥f (3)．由题意可得函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．∴|2mx －ln x －3|≤3对x ∈[1,3]恒成立，∴－3≤2mx －ln x －3≤3对x ∈[1,3]恒成立，即ln x2x ≤m ≤ln x ＋62x对x ∈[1,3]恒成立．令g (x )＝ln x2x ，x ∈[1,3]，则g ′(x )＝1－ln x 2x 2∴g (x )在[1，e ]上单调递增，在(e,3]上单调递减，∴g (x )max ＝g (e)＝12e .令h (x )＝ln x ＋62x ，x ∈[1,3]，则h ′(x )＝－5－ln x2x 2<0，∴h (x )在[1,3]上单调递减，∴h (x )min ＝h (3)＝6＋ln 36＝1＋ln 36.综上可得实数m 的取值范围为12e ，1＋ln 36.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·辽宁重点高中联考)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m >0)有极大值9.(1)求m 的值；(2)若斜率为－5的直线是曲线y ＝f (x )的切线，求此直线方程．解(1)f ′(x )＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )(3x －m )＝0，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝13m ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：f ′(x )＋0－0＋f (x )增极大值减极小值增从而可知，当x ＝－m 时，函数f (x )取得极大值9，即f (－m )＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9，∴m ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋1，依题意知f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－13，又f (－1)＝6，＝6827，所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1)或y －6827＝－即5x ＋y －1＝0或135x ＋27y －23＝0.18．(12分)(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )＝x sin x ＋2cos x ＋ax ＋2，其中a 为常数．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝π2处的切线斜率为－2，求该切线的方程；(2)求函数f (x )在x ∈[0，π]上的最小值．解(1)求导得f ′(x )＝x cos x －sin x ＋a ，由f a －1＝－2，解得a ＝－1.此时2，所以该切线的方程为y －2＝－2x ＋y －2－π＝0.(2)对任意x ∈[0，π]，f ″(x )＝－x sin x ≤0，所以f ′(x )在[0，π]内单调递减．当a ≤0时，f ′(x )≤f ′(0)＝a ≤0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递减，故f (x )min ＝f (π)＝a π.当a ≥π时，f ′(x )≥f ′(π)＝a －π≥0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递增，故f (x )min ＝f (0)＝4.当0<a <π时，因为f ′(0)＝a >0，f ′(π)＝a －π<0，且f ′(x )在区间[0，π]上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一x 0∈(0，π)，使得f ′(x 0)＝0，且f (x )在[0，x 0]上单调递增，在[x 0，π]上单调递减．故f (x )的最小值等于f (0)＝4和f (π)＝a π中较小的一个值．①当4π≤a <π时，f (0)≤f (π)，故f (x )的最小值为f (0)＝4.②当0<a <4π时，f (π)≤f (0)，故f (x )的最小值为f (π)＝a π.综上所述，函数f (x )的最小值f (x )min，a ≥4π，π，a <4π.19．(12分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )＝4ln x －mx 2＋1(m ∈R )．(1)若函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，求实数m 的值；(2)若对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)∵f (x )＝4ln x －mx 2＋1，∴f ′(x )＝4x －2mx ，∴f ′(1)＝4－2m ，∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，∴f ′(1)＝4－2m ＝2，∴m ＝1.(2)∵对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立，∴4ln x －mx 2＋1≤0，在x ∈[1，e ]上恒成立，即对于任意x ∈[1，e ]，m ≥4ln x ＋1x 2恒成立，令g (x )＝4ln x ＋1x 2，x ∈[1，e ]，g ′(x )＝2(1－4ln x )x 3，令g ′(x )>0，得1<x <14e ，令g ′(x )<0，得14e <x <e ，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化如下表：x 14(1,e )14e14(e ,e)g ′(x )＋0－g (x )极大值∴函数g (x )在区间[1，e ]上的最大值g (x )max ＝g (14e )＝141244ln e 1(e )+＝2e e ，∴m ≥2ee，即实数m 的取值范围是2ee ，＋20．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (ax ＋1)，其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，求实数a 的取值范围．解(1)依题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x －2a 2x －a ＝2a 2x 2＋ax －1－x ＝(2ax －1)(ax ＋1)－x，当a ＝0时，f (x )＝ln x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <12a，由f ′(x )<0，得x >12a，函数f (x )当a <0时，由f ′(x )>0，得0<x <－1a ，由f ′(x )<0，得x >－1a ，函数f (x )－1a，＋.(2)①当a ＝0时，函数f (x )在(0，1]内有1个零点x 0＝1;②当a >0时，由(1)知函数f (x )若12a ≥1，即0<a ≤12时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞且f (1)＝－a 2－a <0知，函数f (x )在(0,1]内无零点；若0<12a <1，即当a >12时，f (x )1上单调递减，要使函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，只需满足0，即ln 12a ≥34，又∵a >12，∴ln 12a <0，∴不等式不成立．∴f (x )在(0,1]内无零点；③当a <0时，由(1)知函数f (x )－1a，＋若－1a ≥1，即－1≤a <0时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞，且f (1)＝－a 2－a >0，知函数f (x )在(0,1]内有1个零点；若0<－1a <1，即a <－1时，函数f (x )－1a，1上单调递减，由于当x →0时，f (x )→－∞，且当a <－1时，，知函数f (x )在(0,1]内无零点．综上可得a 的取值范围是[－1,0]．21．(12分)(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)在工业生产中，对一正三角形薄钢板(厚度不计)进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件，现有一边长为3(单位：米)的正三角形钢板(如图)，沿平行于边BC 的直线DE 将△ADE 剪去，得到所需的梯形钢板BCED ，记这个梯形钢板的周长为x (单位：米)，面积为S (单位：平方米)．(1)求梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式；(2)若在生产中，梯形BCED 试确定这个梯形的周长x 为多少时，该零件才可以在生产中使用？解(1)∵DE ∥BC ，△ABC 是正三角形，∴△ADE 是正三角形，AD ＝DE ＝AE ，BD ＝CE ＝3－AD ，则DE ＋2(3－AD )＋3＝9－AD ＝x ，S ＝(3＋AD )·(3－AD )·sin 60°2＝3(12－x )(x －6)4(6<x <9)，化简得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)．故梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式为S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)．(2)∵由(1)得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)，令f (x )＝S x ＝x －72x ＋x <9)，∴f ′(x )1令f ′(x )＝0，得x ＝62或x ＝－62(舍去)，f (x )，f ′(x )随x 的变化如下表：x(6,62)62(62，9)f ′(x )＋0－f (x )单调递增极大值单调递减∴当x ＝62时，函数f (x )＝S x有最大值，为f (62)＝923－36.∴当x ＝62米时，该零件才可以在生产中使用．22．(12分)(2019·衡水中学调研)已知函数f (x )＝k e x －x 2(其中k ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若k ＝2，当x ∈(0，＋∞)时，试比较f (x )与2的大小；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求k 的取值范围，并证明：0<f (x 1)<1.解(1)当k ＝2时，f (x )＝2e x －x 2，则f ′(x )＝2e x －2x ，令h (x )＝2e x －2x ，h ′(x )＝2e x －2，由于x ∈(0，＋∞)，故h ′(x )＝2e x －2>0，于是h (x )＝2e x －2x 在(0，＋∞)上为增函数，所以h (x )＝2e x －2x >h (0)＝2>0，即f ′(x )＝2e x －2x >0在(0，＋∞)上恒成立，从而f (x )＝2e x －x 2在(0，＋∞)上为增函数，故f (x )＝2e x －x 2>f (0)＝2.(2)函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是f ′(x )＝k e x －2x ＝0的两个根，即方程k ＝2x ex 有两个根，设φ(x )＝2x e x ，则φ′(x )＝2－2x ex ，当x <0时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )<0；当0<x <1时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减且φ(x )>0.作出函数φ(x )的图象如图所示，要使方程k ＝2x e x 有两个根，只需0<k <φ(1)＝2e，故实数k f (x )的两个极值点x 1，x 2满足0<x 1<1<x 2，由f ′(x 1)＝1e x k －2x 1＝0得k ＝112e x x ，所以f (x 1)＝1e x k －x 21＝112e x x 1e x －x 21＝－x 21＋2x 1＝－(x 1－1)2＋1，由于x 1∈(0,1)，所以0<－(x 1－1)2＋1<1，所以0<f (x 1)<1.。

习题3-11．设某产品的总成本C 是产量q 的函数:2+1C q =，求 (1) 从100q =到102q =时，自变量的改变量q ∆； (2) 从100q =到102q =时，函数的改变量C ∆； (3) 从100q =到102q =时，函数的平均变化率； (4) 总成本在100q =处的变化率. 解：(1) q ∆=102-100=2,(2) (102)(100)C C C ∆=-=22102+1)-(100+1)=404( (3) 函数的平均变化率为00()()4042022C q q C q C q q +∆-∆===∆∆. (4) 总成本在100q =处的变化率为100()(100)lim100q C q C q →--22100100100limlim (100)200100q q q q q →→-==+=-2．设()f x =(4)f '. 解44()(4)(4)lim lim44x x f x f f x x →→-'==--41lim2x →==3．根据函数导数定义，证明(cos )sin x x '=-.证 根据函数导数定义及“和差化积”公式，得cos()cos (cos )limh x h xx h→+-'=0sin 2lim sin()22h hh x h →=-+⋅sin x =-.4．已知()f a k '=，求下列极限： (1) 0()()lim ;x f a x f a x→--(2) 0()()limx f a x f a x x→+--解 (1) 00()()()()lim lim();x x f a x f a f a x f a f a k xx→→----'=-=-=--(2) 0()()limx f a x f a x x→+--=0()()()()limx f a x f a f a f a x x→+-+--()()()()limlimx x f a x f a f a x f a xx→→+---=+-()()2f a f a k ''=+= 5．已知.0)0(=f (0)1f '=，计算极限0(2)lim .x f x x→解 0(2)(2)(0)lim=2lim2(0)22x x f x f x f f xx→→-'==6．求下列函数的导数： (1) 5y x =；(2) y =(3) x y e -=； (4) 2x x y e =; (5) lg y x =；(6) sin 4y π=解(1) ()545x x '=；(2) 31443()4x x-''==；(3) 1()ln x x x e e e e ----'==-；(4) (2)[(2)](2)ln(2)2(ln 21)x x x x x x e e e e e ''===+; (5) 1(lg )ln 10x x '=；(6) (sin)04π'=7．问函数⎩⎨⎧=,,sin )(x x x f0≥<x x 在0=x 处是否可导？如可导，求其导数.解 考察0=x 处的左、右导数(0)f -'=0(0)(0)lim h f h f h-→+-0sin lim 1,h h h -→==(0)f +'=0(0)(0)lim h f h f h+→+-0lim 1h h h+→==,所以，函数在0=x 处的可导，且(0)1f '=. 8．讨论函数2,0()2,011,1x x f x x x x x ⎧-≤⎪=<<⎨⎪+≥⎩在点0=x 和1x =处的连续性与可导性.解 (1)考察0=x 处的左、右导数(0)f -'=0(0)(0)lim h f h f h -→+-0lim 1,h h h -→-==- (0)f +'=0(0)(0)lim h f h f h+→+-02lim 2h h h+→==,所以，函数在0=x 处不可导；又0lim ()lim ()0(0)x x f x f x f -+→→===,所以，函数在0=x 处连续.(2) 考察1x =处的左、右导数(1)f -'=1()(1)lim 1x f x f x -→--122lim 2,1x x x -→-==-(1)f +'=1()(1)lim 1x f x f x +→--21(1)2lim 2,1x x x +→+-==-所以，函数在1x =处的可导，且(1)2f '=.9．求等边双曲线xy 1=在点⎪⎭⎫⎝⎛2,21处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.解 由导数的几何意义，得切线斜率为31/21x x k y x =='⎛⎫'== ⎪⎝⎭1/2214x x ==-=-.所求切线方程为,⎪⎭⎫⎝⎛--=-2142x y 即.044=-+y x法线方程为,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-21412x y 即.01582=+-y x10．求曲线ln y x =在点(),1e 处的切线与y 轴的交点. 解 曲线ln y x =在点(),1e 处的切线斜率为111x x ek y x e==⎛⎫'=== ⎪⎝⎭故切线方程为11()y x e e-=-.上式中，令0x =，得0y =.所以，曲线ln y x =在点(),1e 处的切线与y 轴的交点为()0,0.习题3-21．求下列函数的导数：(1) 23sin y x x x =+-；(2) y x=(3) ln 2s t =+； (4) cos ln y x x x =⋅ (5) 11x y x +=-； (6) 21xey x =+解 (1) y '=23cos x x +-;(2) 57332422()2()()353y x xx x xx----''''=+-=+-;(3) sin )0s t t '''=++=t ;(4) cos ln (cos )ln cos (ln )y x x x x x x x x x ''''=⋅+⋅+cos ln sin ln cos x x x x x x =⋅-⋅+ (5) 22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x ''+--+--'==--； (6) 22222()(1)(1)1(1)xx xee x x ey x x ''+-+'==++222222(1)2(1)(1)(1)xxxe x xex e x x +--==++ .2．求下列函数在给定点处的导数： (1) arccos ,y x x =求12x y ='； (2) tan sec ρθθθ=+，求4;d d πθρθ=(3) ()lnf x =(0)f '.解 (1) y '=arccos +(arccos )x x x x ''=arccos x -12x y ='=11arccos2-3π-(2) 2d tan sec sec tan d ρθθθθθθ=++4d 121d 4πθρπθ==+⋅+=2π(3) 331()ln(1)22xf x x e =-+，333()22(1)xf x e'=-+故(0)f '333(0)22(11)4f '=-=+3．曲线32y x x =-+上哪一点的切线与直线210x y --=平行？ 解 231y x '=-,令2y '=，即231=2x -，得=1x 或=-1x ， 代入原曲线方程都有：2y =，故所求点为：()1,2或()-1,2.4．求下列函数的导数： (1) x y sin ln =；(2) 310(1)y x =-；(3) 23(cos )y x x =+；(4) lny =(5) 22sin sin y x x =⋅； (6) 2tan[ln(1)]y x =+ ；(7) 1sin2x y = ;(8)ln xx y e =；(9)ln(y x =+；(10))0(arcsin22222>+-=a a xax a x y解(1) y '=()1sin sin x x'⋅cos cot sin xx x==；(2) 39323910(1)(1)30(1)y x x x x ''=--=-； (3) 2223(cos )(cos )y x x x x ''=++223(cos )(12cos (sin ))x x x x =++⋅-223(cos )(1sin 2)x x x =+-；(4) 211lnln(2)ln(1)32y x x ==--+y '=22111(1)3(2)21x x x '-+-+=213(2)1x x x --+; (5) 2222sin cos sin sin cos 2y x x x x x x '=⋅+⋅⋅222sin 2sin 2sin cos x x x x x =⋅+⋅；(6) 222sec [ln(1)][ln(1)]y x x ''=+⋅+=222222212sec [ln(1)](1)sec [ln(1)]11x x x x xx'+⋅+=+++ ；(7) 1sin12ln 2(sin )xy x''=⋅=1sin112ln 2cos ()xx x'⋅1sin22ln 21cos x x x =-;(8)ln ()ln xx xy e x''= ln 2ln (ln )ln xxx x x x e x''-==ln 2ln 1ln xx x e x-；(9)y x ''=+22'=+=+(10)22y '=+22=+5．已知)(u f 可导，求下列函数的的导数：(1) (csc )y f x =； (2) (tan )tan[()]y f x f x =+.解 (1) (csc )(csc )y f x x '''=⋅=(csc )csc cot f x x x '-⋅⋅ (2) 2(tan )(tan )sec [()]()y f x x f x f x ''''=⋅+⋅=22sec (tan )sec [()]()x f x f x f x ''⋅+⋅.习题3-31．求下列由方程所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x：(1) 4444x y xy -=-； (2)； sin cos()0y x x y +-=;(3) sin 0x ye e xy --=；(4) arctanln y x=.解 (1)方程两边同时对自变量x 求导，得33d d 4444d d y y x yy xxx-=--, 整理得 33d ()d y y x x y x-=+,故33d d y x y xy x+=-；(2) d d cos sin sin()(1)0d d yy y x x x y xx +⋅--⋅-=整理求得d d y x=sin()cos sin()sin x y y xx y x---+(3) d d cos ()0d d xyy y e e xy y xxx --+=求得d d y x=cos cos xye y xy e x xy-+(4)2222111.(22)21()xy y x yy y xx yx '-'=+++整理求得 2222xy yx yy x yx y''-+=++故d d y x=x y x y+-.2．求曲线3335x xy y ++=在点(1,1)处的切线方程和法线方程. 解 方程两边同时对自变量x 求导，得2233330x y xy y y ''+++=解得d d y x=22y xy x+-+，在点(1,1)处，(1,1)1y '=-，于是，在点(1,1)处的切线方程为11(1)y x -=--，即20x y +-=,法线方程为 11(1)y x -=-即y x =.3．用对数求导法求下列各函数的导数d d y x:(1) sin (0)x y x x =>； (2) a x x y x a x =++；(3) y =(4) (sin )(cos )y x x y =.解 (1)等式两边取对数ln sin ln y x x =⋅两边对x 求导得11cos ln sin ,y x x x yx'=⋅+⋅故 s i nd 1cos ln sin d x y xx x x xx ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭.(2) ()1ln a x x y ax a a x -''=++()1ln ln 1a x x ax a a x x x -=++⋅+(3) []1ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)2y x x x x =-+-----11111121234y y x x x x ⎛⎫'=+-- ⎪----⎝⎭得11111234y x x x x ⎫'=+--⎪----⎭. (4) ln sin ln cos y x x y =ln sin cot ln cos tan y x y x y x y y ''+=-⋅ d d y x=ln cos cot tan ln sin y y x x y x-+4．求下列参数方程所确定的函数的导数d d y x：(1) 221x t t y t⎧=-⎨=-⎩； (2) 33cos sin x a y a θθ⎧=⎨=⎩. 解 (1) d ()d ()y y t x x t '='212t t -=- (2)22d ()3sin cos d ()3cos (sin )y y a xx a θθθθθθ'⋅=='⋅-=tan θ-5．求椭圆6cos 4sin x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=相应点处的切线方程.解 d ()d ()y y t xx t '='()()4sin 4cos 2cot 6sin 36cos t t t tt '===--'.4t π=时，切线斜率为4d 2d 3t y xπ==-，()4x π=()4y π=.故所求切线方程为2(3y x -=-- .习题3-41．求函数2x y =当x 由1改变到1.005的微分. 解 因为d d 2d ,y y x x x '== 由题设条件知 1x =，d 1.00510.005x x =∆=-= 故所求微分为 d 210.0050.y =⨯⨯= 2．求函数sin 2y x =在0x =处的微分. 解 所求微分为00d (sin 2)d 2cos 2d x x y x x x x =='===2d x 3．求下列各微分d y : (1) 3cos xy ex =；(2) 2sin 2x y x=；(3) 2ln(1)x y e -=+；(4) arctan y = (5) 23xyex y =+；(6) 221xy x y +=.解 (1) 33d cos d ()d (cos )xxy x e e x =+=33cos 3d sin d xxx e x ex x ⋅-⋅=3(3cos sin )d xe x x x -；(2) 22244d sin 2sin 2d 2cos 2d 2sin 2d d x x x x x x x x xy x xx--==32(cos 2sin 2)d x x x x x-=；(3) 222212d d (1)d 11xxxxxe y exe----=+=-++；(4) d y =21(1)x =+=;(5)方程两边对求微分(d d )3d 2d xye x y y x x y y +=+.整理得 (2)d (3)d xy xy xe y y ye x -=- 解得 3d d 2xyxyye y x xey-=-；(6) 方程两边对求微分22d 2d 2d d =0y x xy y xy x x y +++.整理得 22(2)d (2)d xy x y y xy x +=-+ 解得 222d d 2xy yy x x xy+=-+4．计算下列各数的近似值:(1) 0.03e ；(2)解(1) 0.0310.03e ≈+=1.03；(2)==112(1)516=≈-⋅=1.975.5．在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立. (1) d()3d x =; (2) d()2d x x =;(3) d()sin d t t ω=； (4) 2d (cos )()d x =.解(1) 3x c +; (2) 2x c +; (3) 1cos t ωω-；(4) 22d (cos )2sin d x x x x =-dx =即d x =，故22d (cos )4d x x =-.习题3-51．求下列函数的二阶导数：(1) 38cos y x x x =+-； (2) 2(1)arctan y x x =+； (3) 2x y xe =；(4) xy x =.解(1) 238sin y x x '=++,6cos y x x ''=+； (2) y '=2arctan 1x x +,y ''=222arctan 1x x x++；(3) y '=2222xxex e+,y ''=2222244xxxxexex e++=222(32)xxe x +；(4) ln ln y x x =,1ln 1y x y'=+,y '=(ln 1)xx x +y ''=21()(ln 1)(ln 1)(1ln )xxxx x x x x x x x -''+++=++2. 验证函数2312x xy C e C e -=+(其中12,C C 为任意常数)满足方程60y y y '''+-=.证：23122-3x x y C e C e -'=,231249x x y C e C e -''=+232323121212(49)(2-3)6()xxx xxxC eC eC e C eC eC e---++-+0=.3．设函数()y f x =二阶可导，求下列函数的二阶导数： (1) (sin )y f x =； (2) 2(ln )y x f x =. 解 (1)求导数d (sin )(sin )cos (sin )d y f x x x f x x'''=⋅=⋅，于是22d (cos )(sin )cos (sin )(sin )d y x f x x f x x x'''''=⋅+⋅⋅=2cos (sin )sin (sin )x f x x f x '''⋅-⋅ (2) d 2(ln )(ln )d y xf x xf x x'=+22d d y x=2(ln )2(ln )(ln )(ln )f x f x f x f x ''''+++=2(ln )3(ln )(ln )f x f x f x '''++.4．对下列方程所确定的函数)(x y y =求22d d y x：(1) 2y e xy e +=；(2) ln arctan y x=.解 (1)方程两边对x 求导0ye y y xy ''++=得 yy y e x'=-+.因此求得222d ()(1)d ()y yy y y e x y e y xe x ''+-⋅+=-+ =2()(1)()yyyyyy y e x y e e xe xe x --+-⋅+++-+=2322()yy yxy ye y ee x +-+；(2) 方程两边对x 求导2222211()1xy y x yy y x yxx'-'+=++得 x y y x y+'=-.因此求得222d (1)()()(1)d ()y y x y x y y xx y ''+--+-=-= 2232()()x y x y +-5．对下列参数方程所确定的函数)(x y y =求22d d y x：(1) 2323x t t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(1)t ≠； (2) ⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x . 解(1)d ()d ()y y t xx t '='2333(1)222t t t -==+-.故22d d y x3(1)222t t '+=-=34(1)t -；(2)d ()d ()y y t xx t '='()()1cos sin 1cos sin a t t ta t t '-==-'-.故22d d y xsin ()1cos (1cos )tt a t '-=-2cos (1cos )sin sin (1cos )(1cos )t t t t t a t --⋅-=-21(1cos )a t --).,2(Z n n t ∈≠π6．求下列函数的n 阶导数：(1) 2sin y x =； (2) ln(1)y x =+； (3) 112-=x y ； (4) (1)(2)()y x x x x n =+++ .解(1) 2()()1cos 2(sin )()2n n xx -=1cos 211()2(sin 2)2cos 2,2222xx x π-⎛⎫'=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭ 221cos 211()2sin 22cos 2,222222xx x πππ+⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=-⋅-+=-⋅++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2()()1cos 2(sin )()2n n x x +==12cos(2)2n n x π--+；(2) []1ln(1)1x x '+=+[]21ln(1)(1)x x ''+=-+ ,[](3)32ln(1)(1)x x +=+ []()1(1)!ln(1)(1)(1)n n nn x x --+=-+；(3) 21111()1211y x x x ==---+,故()11(1)!112(1)(1)nn n n n yx x ++⎡⎤-=-⎢⎥-+⎣⎦;(4) 1(1)(2)()(12)n ny x x x x n x n x +=+++=+++++()(1)(1)!!()(1)!22n n n n yn x n x n +=++=++复习题3（A ）1．已知0()f x k '=(k 为常数)，则 (1) 000(2)()limx f x x f x x ∆→+∆-=∆;(2) 001lim [()()] n n f x f x n→∞+-=(3) 000()(2)limh f x h f x h h→+--=.1.解 (1)2k ; (2) k ; (3) 3k . (1) 00000(2)()(2)()lim2lim2x x f x x f x f x x f x xx∆→∆→+∆-+∆-=∆∆=2k ;(2) 00001()()1lim [()()]lim1n n f x f x n n f x f x nn→∞→∞+-+-==k ; (3) 000()(2)limh f x h f x h h→+--=00000()()()(2)limh f x h f x f x f x h h→+-+--00000()()(2)()lim+2lim2h h f x h f x f x h f x hh→→+---=-=3k .2．函数)(x f y =在点0x 处的左导数0()f x -'和右导数0()f x +'都存在，是()f x 在0x 可导的( )A . 充分必要条件；B . 充分但非必要条件；C . 必要但非充分条件；D . 既非充分又非必要条件. 2 ．答C . ()f x 在0x 可导的充分必要条件是0()f x -'和0()f x +'都必须存在且相等；反之，0()f x -'和0()f x +'都存在，不能保证()f x 在0x 可导.3．函数()sin f x x =在0=x 处 ( )A . 可导；B . 连续但不可导；C . 不连续；D . 极限不存在.3．答B . 函数()sin f x x =在0=x 连续；但(0)1(0)1f f -+''=-≠=，故()sin f x x =在0=x 不可导.4．设()f x 对定义域中的任意x 均满足(1)()f x mf x +=，且(0)f n '=则必有 ( )A . (1)f '不存在；B . (1)f m '=；C . (1)f n '=；D . (1)f mn '=.4．答D . 0(1)(1)(1)limh f h f f h→+-'=()(0)()(0)limlimh h m f h m f f h f m hh→→--==(0)mf mn '==5．解答下列各题： (1)设ln 2y =，求y '；(2) 设a x x a y x a x a =+++(0,1)a a >≠，求d d y x； (3)设22()x y x f e =⋅，)(u f 可导，求d y ；(4) y =，求d d y x ； (5) 求曲线sin()0xy x y -+=在点(0)π，的切线与法线方程;(6) 已知函数)(x y y =由方程 ⎩⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 确定，求d d y x ，22d d yx ; (7) 设(sin )cos 2csc f x x x '=+，求()f x '';(8) 设31xy x =+，求()n y (3)n ≥.5.解(1)y '=22'=2cot x x ⋅(2) y '=1ln ()a x x ax a a x -'++ 由对数求导法，可求得()(1ln )x x x x x '=+故y '=1ln (1ln )a x x ax a a x x -+++； (3) 2222d 2d ()()d x x x y x x f e x f e e '=⋅+⋅=22222()d ()2d x x x xf e x x f e e x '+⋅⋅ =2222[()()]d x x x x f e xe f e x '+⋅；(4)取对数 1ln ln (ln ln )(ln ln )2b y x b a x a x b a ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦两边求导1y y '=1ln 2b b a a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭故y '=1ln 2b a b a x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭(5) 两边求导cos()(1)0y xy x y y ''+-++=得cos()cos()x y y y x x y +-'=-+，故(0)1+1y ππ-'=，因此切线方程为 1()1y x ππ=--+,法线方程为(1)()y x ππ=+-;(6) d ()d ()y y t x x t '='223sin cos 3cos (sin )a t t a t t ⋅=⋅-=tan t -22d d y x2(tan )3cos (sin )t a t t '-=⋅-22sec 3cos (sin )t a t t -=⋅-=4sec 3sin t a t；(7) 由21(sin )cos 2csc 12sin sin f x x x x x'=+=-+知21()12f x x x'=-+故()f x ''=214x x--;(8) 3321111111xx y x x x x x -+===-+++++()n y=1(1)!(1)n nn x +-⋅+(3)n ≥.6．设函数2,(),ax b f x x +⎧=⎨⎩ 11x x <≥在1x =处可导，求,a b 的值.6．解：因可导必连续，所以211lim ()lim 1x x ax b x -+→→+==,得1a b +=考察1x =处的左、右导数(1)f -'=1()(1)lim 1x f x f x -→--111lim lim 11x x ax b ax a a x x --→→+--===--(1)f +'=1()(1)lim 1x f x f x +→--211lim 2,1x x x +→-==-所以，得到2,1a b ==-.7. 设函数()g x 在x a =点连续, 且()()()f x x a g x =-, 证明()f x 在x a =的可导，并求出()f a '.7.证:因()g x 在x a =点连续,故lim ()()x ag x g a →=，又()()limx af x f a x a→-- ()()0limlim ()()x ax ax a g x g x g a x a →→--===-故()f x 在x a =的可导，()f a '=()g a8．验证函数12y C C e=+其中12,C C 为任意常数)满足方程420xy y y '''+-=.8．证：因121y C C e'=-,12121(4y C C eC C ex''=--++故12121424(4xy y y x C C eC C ex⎡⎤'''+-=--++⎢⎥⎣⎦(121220C C eC C e⎤+--+=⎥⎦232323121212(49)(2-3)6()xxx xxxC eC eC e C eC e C e---++-+0=.（B ）1. 设函数()f x 在0x =连续，下列命题错误的是( ) A . 若0()lim x f x x →存在，则(0)0f =；B . 若0()limx f x x→存在，则(0)f '存在；C . 若0(2)()limx f x f x x→+存在，则(0)0f =；D . 若0()()limx f x f x x→--存在，则(0)f '存在.1.答：D .A .正确，因为0()limx f x x→存在，则0l i m ()=0x f x →，又()f x 在0x =连续，所以(0)l i m ()=0x f f x →=； B .正确，因为若0()lim x f x x→存在，则0()(0)(0)limx f x f f x→-'==0()limx f x x→存在；C .正确，因若0(2)()limx f x f x x→+存在，则0lim (2)()=lim (2)lim ()=2(0)0x x x f x f x f x f x f →→→++=［］,故(0)0f =； D .错，如()f x x =, 0()()lim 0x f x f x x→--=，但(0)f '不存在.2. 若21()lim (1)txx f t t x→∞=+，则()f t '= .2. 2(12)t t e +，221()lim (1)txt x f t t te x →∞=+=,所以()f t '=2()t te '=2(12)tt e +.3．设周期函数()f x 在()-∞∞,周期为3，且0(1)(1)l i m 13x f f xx→--=，则曲线)(x f y =在点(4(4))f ,的切线斜率为 . 3． -3，(4)(4)(1)(1)(4)lim limx x f x f f x f f x x →→+-+-'==0(1)(1)limx f f x x→-+=-=(1)(1)limx f f t t→--=-0(1)(1)3lim33x f f x x→--=-=-,4. 已知(1)(2)(10)()(1)(2)(10)x x x f x x x x ---=+++ ，求(1)f '.4. 解：(1)f '1()(1)lim1x f x f x →-=-1(1)(2)(10)(1)(2)(10)lim1x x x x x x x x →---+++=-1(2)(10)1(2)(9)lim (1)(2)(10) 2391011x x x x x x →---⋅--==+++⋅⋅⋅ =1110 - 5.设()f a '存在，求()()limx axf a af x x a→--.5. 解：()()()()()()lim lim x a x a xf a af x xf a af a af a af x x a x a→→--+-=--()()()lim x a f x f a f a a x a→-=--=()()f a af a '-6.设()m ax{f x x =，在区间(02)，内求()f x '.6.解：()m ax{,f x x x ==⎪⎩0112x x <≤<<, 考察1x =处的左、右导数(1)f -'=1()(1)lim 1x f x f x -→--111lim lim ,12x x x --→→===-(1)f +'=1()(1)lim 1x f x f x +→--11lim 1,1x x x +→-==-所以，函数在1x =处不可导.故所求导数为：1()1,f x ⎧⎪'=⎨⎪⎩0112x x <<<< 7. 设函数()g x 在0x x =点连续, 且()()f x x a g x =-, 讨论()f x 在0x x =的可导性. 7. 解：00000()()()()limlimx x x x x x g x f x f x f x x x x x →→--'==--(1)若0()0g x ≠，则0000()limx x x x g x x x →--不存在，此时()f x 在0x x =不可导(2)若0()0g x =，则0000() ()lim0x x x x g x f x x x →-'==-，此时()f x 在0x x =可导.8. 验证下列命题：(1) 若定义在()-∞∞,内以周期为T 的周期函数()f x 可微，则()f x '也是以周期为T 的周期函数.(2) 若函数()f x 在()a a -,内是可微奇(偶)函数，则()f x '()a a -,内必为偶(奇)函数. 8. 证: (1)因()()f x T f x +=,又0()()()limh f x h f x f x h→+-'=,因此()()()()()limlimh h f x T h f x T f x h f x f x T hh→→++-++-'+===()f x '(2) 若函数()f x 在()a a -,内是可微奇函数，则有()()()lim h f x h f x f x h→-+--'-=0()()limh f x h f x h→--+=()()limh f x h f x h→--=-=()f x ',即证得：若函数()f x 在()a a -,内是可微奇函数，则()f x '()a a -,内必为偶函数. 同理可证得：若函数()f x 在()a a -,内是可微偶函数，则()f x '()a a -,内必为奇函数.9. 设函数()f x 可微，且()()()2f x y f x f y xy +=+-，(0)3f '=，求()f x . 9. 解：由()()()2f x y f x f y x y +=+-，令0x y ==,则(0)(0)(0)f f f =+，得(0)0f =()()()lim y f x y f x f x y→+-'=0()()2()limy f x f y xy f x y→+--=()lim2y f y x y→=-(0)232f x x '=-=-因此()f x 23x x C =-+(C 为任意常数)，又(0)0f =则C =0，故()f x 23x x =- 10. 设在()-∞∞,内函数()f x 有定义, 且(0)0f =，(0)f C '=(0C ≠)，又2()s i n c o s xg x e x x =+, 对任意,x y 有关系式()()()()()f x y f x g y f y g x +=+成立，证明()()f x C g x '=⋅10. 证：0()()()limy f x y f x f x y→+-'=0()()()()()limy f x g y f y g x f x y→+-=()1()()lim()limy y g y f y f x g x y y→→-=+()(0)()(0)()lim()limy y g y g f y f f x g x yy→→--=+=()(0)()(0)f x g g x f ''+又 2()sin sin 2sin x x g x e x e x x '=+-，得(0)0g '= 故 ()()f x C g x '=⋅.。

第三章习题3-11．设s=gt２，求．解：2．设f(x)= ，求(x0) (x0≠0)．解：3．试求过点（3，8）且与曲线相切的直线方程。

解：设切点为，则切线的斜率为，切线方程为。

由已知直线过点(3,8),得(1)又点在曲线上，故(2)由(1),(2)式可解得或，故所求直线方程为或。

也即或。

4．下列各题中均假定f′(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：(1) =A;(2) f(x0)=0, ＝A；(3) =A．解：(1)(2)(3)5．求下列函数的导数：(1) y=；(2) y=；(3) y=．解：(1)(2)(3)6．讨论函数y=在x=0点处的连续性和可导性．解：函数在点处连续但不可导。

7．如果f(x)为偶函数，且f′(0)存在，证明f′(0)=0．证：为偶函数，即故8．求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导：(1) y＝； (2) y=；(3) y=．解：(1)函数在处不可导。

(2)函数在处不可导。

(3)函数在处不可导。

9．已知f(x)＝求f′(x)．解：当时，，当时，综上所述10．设函数f(x)=为了使函数f(x)在x=1点处连续且可导，a，b应取什么值?解：为使在处连续，必须，，(1)为了使在处可导，必须，代入（1）式得当，时在处连续且可导。

11．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性：(1) y=｜sin x｜，x=0;(2) y=点；(3) y=点．解：(1)在处连续。

又所以不存在，即在处不可导。

(2)在处连续。

在处可导。

(3)而故在处连续。

故在处不可导。

12．证明：双曲线xy＝a２上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2．证：设是双曲线上任一点，则，该双曲线在处切线的斜率该双曲线在处切线的方程为：令得该切线在轴上的截距为，令得该切线在轴上的截距为，于是，它与两坐标轴构成的三角形的面积。

13．垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为h(t)＝10t－gt ２(m)，求：(1) 物体从t=1(s)到t=1．2(s)的平均速度；(2) 速度函数v(t)；(3) 物体何时到达最高点．解：(1)(2)(3)当时，物体到达最高点。

第三章总练习题111121221.N ew to n -L eib n iz 1(1).[1,1],.tan (2).tan (0,2)2tan2.,x x xd de d x e e d x d x x d x d x u x xf F F ππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+⎰⎰为什么用公式于下列积分会得到不正确结果?无界从而不可积在的一些点不可导.证明奇连续函数的原函数为偶函数,而偶连续函数的原函数之一为奇函数.设奇连续函数的原函数为 现在证明是偶证.()().(()())()()()()0,()(),(0)(0)0.()()0.,.()().(()())()()()()0,()().(0)0,(F x f x F x F x F x F x f x f x F x F x C C F F F x F x f F F F x f x F x F x F x F x f x f x F x F x C F C F ''''=--=---=---=--==--=--=''''=-+=--+=--+=--===函数设偶连续函数的原函数为现在证明是奇函数设则3003440010100)(0)0.()()0.sin ,0,3.()()()?0,0., 0,()()()sin co s |1co s .444.sin ().sin ()s b ab b b a aaabF F x F x x x f x f x f x d x a b x x f x d x f x d x f x d x x d x xd xxax b d x t d x d xd d x t d x d xd x--=-+=≥⎧==<>⎨<⎩=+=+=-=+-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰求定积分其中求微商解解()()110001201/2221210221in ()sin (1)sin ().5.lim()(),().1lim()()().6.lim(1).(2)!!(1)co s.(21)!!2x xh x h u xh u xnn nn n n u d u x x f x h t d x f x f x f x h t d u f t d tf x hx d x n x d x td t I n I π+→+→=→∞+++=+-+='+==--===+<⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰试证明其中是实轴上的连续函数求极限证解12210(2)!!(21)!!1,(21)!!(22)!!1100(),lim(1)0.sin co s 7..2sin 3co s sin co s (2sin 3co s )(2sin 3co s )(2sin 3co s )(2co s 3sin )(23)sin (32)co s nn n n n n n n I n x d x x x d x x xx x A x x B x x A x x B x x A B x A B +→∞+=+++<<→→∞-=+-'+=-+-=-++=++-+⎰⎰令解,x23115,,.3211313sin co s 2sin 3co s (2sin 3co s )(2sin 3co s )2sin 3co s ln |2sin 3co s |15ln |2sin 3co s |.1313A B A B A B x xd x x x A x x B x x d xx xA xB x xC x x x C +=⎧=-=⎨-+=⎩+=-'-+-=-=+-+=-+-+⎰⎰222228.:2(1),ln (2),.22222222.(2)(2)222xxu d u x u x u d x uu d u d u x u uu u C C xex x e xd==+=+⎛⎫==- ⎪++⎝⎭⎛⎛=-+=-+ ⎝⎝=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰通过适当的有理化或变量替换求下列积分()24.2).22(3)33.(4)(11ln .2x C x C x CC d x x C ⎛⎫=+⎝=-++==-⨯=-=+-==-+⎰⎰⎰⎰⎰224444224222244sec tan(1)9..sin co s1tan11112111.21111((arctan1)arctansin co sd x xd x u d ux x x uuuu ud xx x+==++++⎛==++⎝⎛⎫⎪⎪=+⎪⎛⎛⎪++-+⎪⎝⎝⎝⎭=+++⎰⎰⎰⎰)1).110.()(,),,()()(),:()()( 3.424)11.()[,],()0.:(,),()0.,()(,),,TxbaCf x Tg x f x f x d xTh x g t d t Tf x a b f x d x a b cf cf x a b ff-+-∞+∞=-===⎰⎰⎰设函数在上连续以为周期令证明函数也以为周期.此即习题第题设函数在区间上连续且证明在内至少存在一点使若不然在没有零点由的连续性和连续函数的中间值定理在证证(,).()0,(,).,,,[,]0.()()()()()0..b c d ba a c da b f x x a b c d a c d b f c dmf x d x f x d x f x d x f x d x m d c>∈<<<>=++≥->⎰⎰⎰⎰不变号不妨设取满足则在取最小值于是矛盾22222212.[,],()0,:()0,[,].[,][,],|()||()|,[,].2|()|()()()0.2.bab ea da b f x d x f x x a bd e a bf cf x x d ef cf x d x f x d x d e=≡∈∈≠⊆>∈≥>->⎰⎰⎰设函数f在区间上连续且证明若不然,存在c[a,b],f(c)0.由f在c的连续性,存在区间矛盾证00222/200013.()(-,),(1),()();sin(2);1co s4sin1(3)(1co s sin()()()()().a aa a aaf xa f x d x f a x d xx xd xxxd xx xf x d x x a t f a t d t f a t d t f a x d xπππ∞+∞=-=+=++=-=--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设在上可积证明对于任意实数有证(1)22220211022222sin ()sin ()sin sin (2),1co s 1co s 1co s 1co s sin co s arctan |.21co s 21co s 14sin sin (/2)(3)co s sin co s(/2)s x x x x x x xI d x d x d x d x I x x xx xd xd x d uI u xxux x I d x x xx ππππππππππππππππ--==-==-++++==-===+++-==+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰/2/20222/2/2/20/2/2/2in (/2)co s co s sin ,2co s sin co s sin co s sin 1|csc(/4)co t(/4)||co s sin 11ln1ln co s s 4d xx x xx d x I d x d xx xx xx xd x d xd x x x x xππππππππππππ==++++===+-++⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=+-⎥ ⎪⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11),in 411).I π⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭=232221123222014.()(23)m /s .004m /s,(1);(2)3(1)()23,3,4,34,4,3230.()4.34(4)(1)0, 4.32(5)a t t t x v tx t t x t t C C x t t x t t C tC x t t t x t t t t t s x =-===-''''=-=-+-==--=--+'==--=--=-+===一质点作直线运动,其加速度若时且求质点改变动方向的时刻头5秒钟内质点所走的总路程.解3322543343(4)|(4)|424m.32322t t t t x x t t t t ==⎛⎫⎛⎫-+=-----=⎪⎪⎝⎭⎝⎭000200022002200215.100m ,10.2s,25m ,25m ., 0;(), 10.2., 0;()210.2./2/2253m /s .10010.2a t t t v t a t t t a tt t s t a t t C t t a t a t Ca t a a t C ≤≤⎧=⎨≤≤⎩⎧≤≤⎪=⎨⎪+≤≤⎩⎧=+⎪=≈⎨⎪=+⎩一运动员跑完共用了在跑头时以等加速度进行然后保持等速运动跑完了剩余路程.求跑头时的加速度解16.(1):利用积分的几何意义证明111111ln,1,2,111(2)1ln ,211111ln ,21,.111(3)lim 1ln E u ler 211ln |111ln (1)ln lnn n n n n n n n n nnn n n n nx n n y n n nx y n n n d x d x x n n xn n n n→∞++++<<=+=+++--=++++--⎛⎫++++- ⎪-⎝⎭=<=+++=+-=<⎰⎰令证明序列单调上升而序列单调下降证明极限存在(此极限称为常数).证 (1)1121.1111(2)1ln (1)1ln 22111ln 10((1)).111111ln (1)1ln 21211ln 10((1)).1(3)1ln 20(2)n n n n n n d x n n x x n n n n n n y y n n n n n n n y x x n ++=⎛⎫⎛⎫-=+++-+-+++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-=++++-+-+++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭>>=->>⎰由由n +1n11/22111/1/2222112.,lim .17.:0,11.111111(1/).111/118.()(,),,(2)().2,()0.(2)()n n n xxxxxay y x d t d t ttd t x u d x d t tuutf x x f x f x a f x d x f x f x →∞>=++==⨯=+++-∞+∞-=-≠=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰单调下降有下界故有极限证明当时设在上连续(书上为可积，欠妥)且对一切实数均有求实数使条件证解(22220221(11)(11))()(2)(),()0.0.19.ln (1)arctan ,0 1.11,[0,1],[0,],1111ln (1)arctan ,0 1.20.(1)x x f x f x f x f x d x f u d u f u d u f x d x a x x x d t d t t x ttttx x x =+-=-+-=-=-==+≤≤≤≤∈≤+++++≤≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰相当关于为奇函数取即可利用定积分的性质，证明不等式在上积分得设证()()[0,];()()2(2)a f x d x a f x a d x f x f a x =+-⎰在上可积，证明利用(1)中的公式求下列积分的值：22/2222sin ;22sin co s ()()(1)()()()()()()2()()()()()(-)1,.()()()()22a a a a a a a xx d x d xx x x xf x f a u I d x d uf x f a x f u f a u f x f a u I d x d uf x f a x f u f a u f x f a x a d x d x d x a I f x f a x f x f a x xx x π-++-==+-+--=++-+-=+===+-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰证解(2)22222/20222 2.2(2)2sin /2.sin sin (/2)24xd x d x x x xd x x x ππππ==⨯=++-==+-⎰⎰⎰tan 2sin tan tan 22sin sin tan 22222sin tan 32222sin 2()21.()(1).()(1)tan sin ,()sec co s tan sec sin co s sec co s tan sec sin co s 3sec x xx x x xx xxxd f x f x xt d td x d xf x xt d t x x x t d t d f x x x x x x x x x t d td xt x x x x x x x x =+=+=-+=-+-+=-+-+==⎰⎰⎰⎰设求解()()22233222331co s tan sec sin co s tansin 31sec (1tan )co s (1sin )tansin .3x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+-=+-++-()/22/2/22/220/20/2/2022.co s 3.11co s 3(1co s 6)sin 6|.2412423.|sin co s |.|sin co s ||sin co s ||sin co s ||sin co s ||sin ()2I d I d d I x x d x x x d xx x d x x x d x x x d x t ππππππππππθθππθθθθθπ===+=+==--=-+--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰求定积分的值求定积分的值解解I =22=2()()()()/20/2/20/4/2/20/4/4/2/2/40co s()|2|sin co s ||co s sin |(co s sin )(sin co s )(co s sin )2sin co s |(co s sin )|(sin co s )|t d x x x d x t t d xx x d x x x d x t t d xx x x x x x ππππππππππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-++=-+-++=++--+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰221010101010100110()/224.0,.2x x x x x x x x x x x x x x I x I xxx x x x u x --<<====+⎛⎫==- ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰设求定积分的值解10()/210222102()2arcsin().28x x a aux x x a u a a x x aππ--==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-==⎰⎰4342(2)16468 4.y x x x y x x x =++-=++-与43323242224342442432164164684,680,6840,680,(2)(4)0,2,4.{(164)(684)][(684)(164)]y x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x S x x x x x x d xx x x x x x d x⎧=++-⎪+-=+--+=⎨=++-⎪⎩=-+=--===++--++-+++--++-⎰⎰解222212552233532325.:(1)6827.682768,278150,(3)(5)0.3, 5.(27(68))(815)4415.33y x x y x y x x x x x y x x x x x x x S x x x d x x x d xx x x =-+=-⎧=-+-=-+⎨=-⎩-+=--====---+=-+-⎛⎫=-+-=⎪⎝⎭⎰⎰求下列曲线所围图形的面积与解/2/2/4/45/45/4/2/2(4)sin ,cos /2.(sin -cos )(cos sin )|1;(sin cos )(cos sin )| 1.y x y x x S x x dx x x S x x dx x x πππππππππ=====--==-=--=⎰⎰与解/21102/211226.co s ,1/2,,.,)2arcco s 2arcsin 2(1co s 2).242arcsin arcsin y x y x x V V V x d x y y d y y yd y V x d x V y yd y yd yππσπσππππππππ===⎛⎫=-==⎪⎝⎭=-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰设区域由曲线及所围成将绕轴旋转一周得一旋转体试用两种不同的积分表示体积并且求的值. 2解V =(1-c o s 24323222444323202(68)(68)24248.44x x x d x x x x d xx x x x x x =-++-+-⎡⎤⎡⎤=-++-+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰2222212321(3)1 3.(3)1,7100,(2)(5)0,2,5.1,2.[(3)(1)]92.322y x y x x x x x x x x y S y y d x yy y --=-=--=--+=--===-=+-+⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭⎰与解4π2π54π112212222arcsin ()1arcsin .22244y y y xyπππππππ=-⨯⎤=-=-=⎥⎦⎰22111/21/2200213397200257025027.:(1)arcsin |.4612(2)(918055801)400.28.()[0,7],()5,()6,() 3.(1)();(2)x xxx d x f x f x d x f x d x f x d x f x d x f πππ-===-=-++====⎰⎰⎰⎰⎰⎰求下列定积分的值设在上可积且一直已知求的值求7552500277557755().(3):(5,7),()0.(1)()()()5611.(2)()()()3118.(3),()0,(5,7),()0,()80,.x d x f x f x d x f x d x f x d x f x d x f x d x f x d x f x x f x d x f x d x <=+=+==-=-=-≥∈≥=-<⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰的值证明在内至少存在一点使若不然但是矛盾解证2/23/21/2/2/2/2/232111, 2,129.()sin ,(),()2, 2.(1)()();(2)()();(3)()().(1)()()sin 0.(2)()()()()()xx f x x h x g x x x f x g x d x g x h x d x f t g t d x f x g x d x xd x g x h x d x g x h x d x g x πππππππππ----≤≤⎧===⎨<≤⎩===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设试求下列定积分的值或表达式:解322323221212/22/2/22()12125.6sin co s ,2(3)()()sin 2sin co s 22co s ,2.xxx h x d x d x d x xxxxtd t x t x f t g t d x td t td t x x πππππ=+=--=⎧=--≤≤⎪=⎨⎪+=-<≤⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()30()[,](0),()()()()()().b f b af a f x a b ag y f x f x d x b f b a f a g y d x >=--⎰⎰设函数在区间上连续，严格单调递增是的反函数,利用定积分的几何意义证明下列公式并作图解释这一公式.解11()10031.(1)()[0,),()0,0()()()()()()()(*).00(0),()a B a aa x x x a B a B x d x x d xx x x d x x d x a a B B x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---+∞→∞→+∞≥≥≤++==>=→∞→+∞⎰⎰⎰⎰⎰设函数在上连续且严格单调递增又设当+时且(0)=0.证明:对于任意实数,下列不等式成立:其中是的反函数.由题时不等式显然成立.设由于+时证30,111101100()11()1()1,0,(),[0,],,0,().,*)()().,()()()()()()()()(())(a B aBa a B a Ba a a B a a a B a a a B x d x x d x a a x d x x d xx d x x d x x d xa a x d xa a a B ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ------'>''>>===+>+=++=++≥+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰存在在连续根据连续函数的中间值定理存在若则由(得若则1100()()11()11()).,()()()()()()()()(())(()).11(2)(1),0,,11,M in k o w sk i.1aB a a a Ba B pqa a B a a x d x x d xx d x x d x x d xa a x d xa a a a B a B ab p q p qaba b pqp ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ------=<+=+-=-≥--=≥≥+=≤+>⎰⎰⎰⎰⎰⎰若则利用中的不等式,对于任意实数证明下列不等式不妨设证111/(1)1/(1)1/(1)1/0.(),()..1/(1)1/(1)p p pp pp p pqa b ppx x x x abababa b x d x xd x pp pp p pqϕϕ----+-==≤+=+=+=+-+-⎰⎰在中取则(1)232.0,,1,112.xa a y y x a y π>=+===设求的值使由曲线及所围成的区域绕直线旋转所得之旋转体的体积等于b22222202222220002.)2,112,22,2,18,2ln 9,44aa x aa a x x u a d x d x xe d x e d x e d u e a a ππ=====-===⎰⎰⎰⎰⎰20解(y -1) 20033.1sin 21co s 43(1sin 2)(12sin 2).22r S d d ππθθπθθθθ=+-=+=++=⎰⎰作由极坐标方程所确定的函数的图形,并求它所围区域的面积.解。

第三章单元自测题答案一、填空题：1．满足，2=ξ； 2． 满足,3415=ξ； 3． 3； 4． 1-=a ，4-=b ． 二、选择题:1. B ；2.A ；3.C ；4.A ；5.B .三、计算下列各题: 1.解 ∞→x lim 1lim 1lim 11lim )1(0011==-=-=-→→∞→u u u u x x x e ue xe e x . 2.解 2000)1ln(lim )1ln()1ln(lim )1)1ln(1(lim xx x x x x x x x x x x +-=++-=-+→→→21)1(2lim 2111lim 00=+=+-=→→x x x x x x x . 3.解 设21)(cos x x y =，取对数有2cos ln ln xx y = 因为212tan lim cos ln lim 020-=-=→→x x x x x x ，所以21cos ln 01022lim )(cos lim -→→==e e x x xx x x . 四、应用题:1.解 函数的定义域为),(+∞-∞，因为 x x x e x x e x xe y ----=-=')24(2422,令0='y ，解得2,021==x x .当,0,0<'<y x 当,0,20>'<<y x 当,0,2<'>y x因此,]2,0[为单调增加区间，]0,(-∞)和),2[+∞为单调减少区间.2.解 函数的定义域为),(+∞-∞，因为2222)1(22,12x x y x x y +-=''+=', 令0=''y ，解得1,121=-=x x .当,0,1<''-<y x 时当11<<-x 时,0>''y ,当0,1<''>y x 时，故曲线的凹区间为]1,1[-，凸区间为]1,(--∞和),1[+∞.拐点为)2ln ,1(-，)2ln ,1(.3.解 )5,0(2,2,01232∈=±==-='x x x y 解得, 70)5(,5)0(,11)2(==-=f f f ,故,70max =f 11min -=f .4.解 ,26,232b ax y bx ax y +=''+='由已知得0)2(=''y ，即6,0212b a b a -==+. 又)5,2(为曲线23bx ax y +=上的点,因此有815,42653=+⋅-=b b b .于是16581561-=⋅-=a . 5.解 由已知得x y 2=，且72=xyh ，于是有236xh =， 长方体带盖箱子的表面积)362362(2)(2)(222x x x x x yh xh xy x S S ⋅+⋅+=++== )0(,21642>+=x x x 因为22168)(x x x S -='，令0)(='x S ，解得唯一驻点3=x ， 由问题实际意义知，当长3=x m 时，箱子的用料最省，此时宽m y 6=，高m h 4=.五、证明题:1.证明 令x x f ln )(=，显然)(x f 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理条件，于是有 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ,)(b a <<ξ,即 ξa b a b a b -==-ln ln ln ，)(b a <<ξ， 因为b a <<<ξ0，所以aa b a b b a b -<-<-ξ，因此aa b a b b a b -<<-ln . 2.证明 令221)1ln()(x x x x f +-+=，则)(x f 在],0[x 上连续，且xx x x x f +=+-+='1111)(2， 当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在),0[+∞上单调增加，又0)0(=f ， 从而，当0>x 时有)0()(f x f >，即当0>x 时，221)1ln(x x x ->+. 3.证明 令1)(5-+=x x x f ，则)(x f 在区间]2,0[上连续,且0122)2(,01)0(5>-+=<-=f f ，由零点定理知方程015=-+x x 在区间)2,0(内有一正根.又在),(+∞-∞内，,015)(4>+='x x f 故)(x f 在),(+∞-∞上单调增加, 因此正根唯一，即方程015=-+x x 只有一个正根.。

1．对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f (x )的零点B ．1是f (x )的极值点C ．3是f (x )的极值D ．点(2,8)在曲线y ＝f (x )上 答案 A解析 由A 知a －b ＋c ＝0；由B 知f ′(x )＝2ax ＋b,2a ＋b ＝0；由C 知f ′(x )＝2ax ＋b ，令f ′(x )＝0可得x ＝－b 2a ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝3，则4ac －b 24a ＝3；由D 知4a ＋2b ＋c ＝8.假设A 选项错误，则⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ≠0，2a ＋b ＝0，4ac －b24a ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－10，c ＝8，满足题意，故A 结论错误．同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意，故选A.2．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d (b ，c ，d 为常数)，当x ∈(0,1)时，f (x )取得极大值，当x ∈(1,2)时，f (x )取得极小值，则⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫372，5 B ．(5，5) C.⎝⎛⎭⎪⎫374，25D ．(5,25)答案 D解析 因为f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，f ′(x )的两个根分别在(0,1)和(1,2)内，所以f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧c >0，3＋2b ＋c <0，12＋4b ＋c >0，作出可行域如图中阴影部分所示(不包括b 轴)，⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2表示可行域内一点到点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3的距离的平方，由图象可知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3到直线3＋2b ＋c ＝0的距离最小，即⎝⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|3－1＋3|52＝5，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，6的距离最大，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2＝25，因为可行域的临界线为虚线，所以所求范围为(5,25)，故选D.3．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－5，1)B ．时，h (x )<0，又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e 2>1－1＝0，所以存在x 0∈(1,2)，使得h (x 0)＝0. 因为h ′(x )＝ln x ＋1x＋1＋xx －2ex，所以当x ∈(1,2)时，h ′(x )>1－1e >0，当x ∈时，若x ∈(0,1]，m (x )≤0； 若x ∈(1，x 0]，由′()＝ln ＋1x＋1>0.可知0<m (x )≤m (x 0)．故m (x )≤m (x 0)． 当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x 2－xex，可得x ∈(x 0,2)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增；x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )<0，m (x )单调递减．可知m (x )≤m (2)＝4e 2，且m (x 0)<m (2)．综上可得，函数m (x )的最大值为4e2.8.设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0.点击观看解答视频(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0. ①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在上单调递增，在上单调递减． 所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．9.设函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．点击观看解答视频(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝e x ·x 2－2x e x x4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x ＝x －2e x－kxx 3(x >0)，由k ≤0，知e x－kx >0，令f ′(x )＝0，则x ＝2， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数． 综上，f (x )的减区间为(0,2)，增区间为(2，＋∞)．(2)由题意知f ′(x )＝0，即e x－kx ＝0在(0,2)内存在两个不等实根． 令g (x )＝e x －kx ，g ′(x )＝e x－k ，令g ′(x )＝0，x ＝ln k ，则0<ln k <2，即1<k <e 2.当0<x <ln k 时，g ′(x )<0，g (x )为减函数．当ln k <x <2时，g (x )为增函数．∵g (0)＝1>0，只需⎩⎪⎨⎪⎧g2>0，g ln k<0，即⎩⎪⎨⎪⎧e 2－2k >0，e ln k－k ·ln k <0，得e<k <e22.综上可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22 10．已知函数f (x )＝ln x －a (x 2－x )(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )在上的最大值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1x－2x ＋1.∴f (1)＝0，f ′(1)＝0，即所求切线方程为：y ＝0. (2)∵f ′(x )＝1x －2ax ＋a ＝－2ax 2＋ax ＋1x，x >0.∴当a ＝0时，f ′(x )>0，f (x )在上单调递增． ∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2.当a ≠0时，可令g (x )＝－2ax 2＋ax ＋1，x ∈，g (x )的对称轴x ＝14且过点(0,1)．∴当a <0时，f ′(x )>0在上恒成立，f (x )在上单调递增， ∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2－2a .当a >0时，若g (1)≤0，即a ≥1时，f ′(x )<0在上恒成立．f (x )在上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝0.若g (1)>0，g (2)<0，即16<a <1时，f ′(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a ＋a 2＋8a 4a 上大于零，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋a 2＋8a 4a ，2上小于零，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，a ＋a 2＋8a 4a 上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋a 2＋8a 4a ，2上单调递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋8a 4a ＝lna ＋a 2＋8a 4a ＋a 2＋8a ＋a －48. 若g (1)>0，g (2)≥0，即0<a ≤16时，f ′(x )>0在上恒成立，f (x )在上单调递增，a <10，a ≥1.11．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)当a ＝2时，对于任意的m ∈，n ∈，求f (m )＋f ′(n )的最小值； (2)若存在x 0∈(0，＋∞)，使f (x 0)>0，求a 的取值范围． 解 (1)由题意得f (x )＝－x 3＋2x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋4x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或43.当x 在上变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∴对于∵f ′(x )＝－3x 2＋4x 的对称轴为直线x ＝23，且抛物线开口向下，∴对于n ∈，f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－7. ∴f (m )＋f ′(n )的最小值为－11.(2)∵f ′(x )＝－3x ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a 3.①若a ≤0，当x >0时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 又f (0)＝－4，则当x >0时，f (x )<－4. ∴当a ≤0时，不存在x 0>0，使f (x 0)>0. ②若a >0，则当0<x <2a3时，f ′(x )>0；当x >2a3时，f ′(x )<0.从而f (x )在 ⎛⎥⎤0，2a 上单调递增，在⎢⎡⎭⎪⎫2a 3，＋∞上单调递减，4. >3.。

高一数学第三章函数的应用测试题及答案函数是数集上的映射，映射是特指的对应。

查字典数学网为大家推荐了高一数学第三章函数的应用测试题，请大家仔细阅读，希望你喜欢。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设U=R，A={x|x0}，B={x|x1}，则AUB=()A{x|01} B.{x|0C.{x|xD.{x|x1}【解析】 UB={x|x1}，AUB={x|0【答案】 B2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0，且a1)的反函数，且f(2)=1，则f(x)=()A.log2xB.12xC.log12xD.2x-2【解析】 f(x)=logax，∵f(2)=1，loga2=1，a=2.f(x)=log2x，故选A.【答案】 A3.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是()A.f(x)=ln xB.f(x)=1xC.f(x)=|x|D.f(x)=ex【解析】∵y=1x的定义域为(0，+).故选A.【答案】 A4.已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)=12x;当x4时，f(x)=f(x+1).则f(3)=()A.18B.8C.116D.16【解析】 f(3)=f(4)=(12)4=116.【答案】 C5.函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上()A.没有零点B.有一个零点C.有两个零点D.有无数个零点【解析】∵y=-x2+8x-16=-(x-4)2，函数在[3,5]上只有一个零点4.【答案】 B6.函数y=log12(x2+6x+13)的值域是()A.RB.[8，+)C.(-，-2]D.[-3，+)【解析】设u=x2+6x+13=(x+3)2+44y=log12u在[4，+)上是减函数，ylog124=-2，函数值域为(-，-2]，故选C.【答案】 C7.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()A.y=x2+1B.y=|x|+1C.y=2x+1，x0x3+1，xD.y=ex，x0e-x，x0【解析】∵f(x)为偶函数，由图象知f(x)在(-2,0)上为减函数，而y=x3+1在(-，0)上为增函数.故选C.【答案】 C8.设函数y=x3与y=12x-2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C(2,3) D.(3,4)【解析】由函数图象知，故选B.【答案】 B9.函数f(x)=x2+(3a+1)x+2a在(-，4)上为减函数，则实数a 的取值范围是()A.aB.a3C.aD.a=-3【解析】函数f(x)的对称轴为x=-3a+12，要使函数在(-，4)上为减函数，只须使(-，4)(-，-3a+12)即-3a+124，a-3，故选A.【答案】 A10.某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间的关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=502xD.y=100log2x+100【解析】对C，当x=1时，y=100;当x=2时，y=200;当x=3时，y=400;当x=4时，y=800，与第4个月销售790台比较接近.故选C. 【答案】 C11.设log32=a，则log38-2 log36可表示为()A.a-2B.3a-(1+a)2C.5a-2D.1+3a-a2【解析】 log38-2log36=log323-2log3(23)=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.故选A.【答案】 A12.已知f(x)是偶函数，它在[0，+)上是减函数.若f(lg x)f(1)，则x的取值范围是()A.110，1B.0，110(1，+)C.110，10D.(0,1)(10，+)【解析】由已知偶函数f(x)在[0，+)上递减，则f(x)在(-，0)上递增，f(lg x)f(1)lg x1，或lg x0-lg x1x10，或0-1x10，或110x的取值范围是110，10.故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知全集U={2,3，a2-a-1}，A={2,3}，若UA={1}，则实数a的值是________.【答案】 -1或214.已知集合A={x|log2x2}，B=(-，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，+)，其中c=________.【解析】 A={x|04，即a的取值范围为(4，+)，c=4.【答案】 415.函数f(x)=23x2-2x的单调递减区间是________.【解析】该函数是复合函数，可利用判断复合函数单调性的方法来求解，因为函数y=23u是关于u的减函数，所以内函数u=x2-2x的递增区间就是函数f(x)的递减区间.令u=x2-2x，其递增区间为[1，+)，根据函数y=23u是定义域上的减函数知，函数f(x)的减区间就是[1，+).【答案】 [1，+)16.有下列四个命题：①函数f(x)=|x||x-2|为偶函数;②函数y=x-1的值域为{y|y③已知集合A={-1,3}，B={x|ax-1=0，aR}，若AB=A，则a的取值集合为{-1，13};④集合A={非负实数}，B={实数}，对应法则f：求平方根，则f是A到B的映射.你认为正确命题的序号为：________. 【解析】函数f(x)=|x||x-2|的定义域为(-，2)(2，+)，它关于坐标原点不对称，所以函数f(x)=|x||x-2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确;函数y=x-1的定义域为{x|x1}，当x1时，y0，即命题②正确;因为AB=A，所以BA，若B=，满足BA，这时a=0;若B，由BA，得a=-1或a=13.因此，满足题设的实数a的取值集合为{-1,0，13}，即命题③不正确;依据映射的定义知，命题④正确.【答案】②④三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-3x-10的两个零点为x1，x2(x1【解析】 A={x|x-2，或x5}.要使AB=，必有2m-1-2，3m+25，3m+22m-1，或3m+22m-1，解得m-12，m1，m-3，或m-3，即-121，或m-3.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2ax+2，x[-5,5].(1)当a=-1时，求f(x)的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.【解析】 (1)当a=-1时，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，x[-5,5].由于f(x)的对称轴为x=1，结合图象知，当x=1时，f(x)的最小值为1，当x=-5时，f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为x=-a，∵f(x)在区间[-5,5]上是单调函数，-a-5或-a5.故a的取值范围是a-5或a5.19.(本小题满分12分)(1)计算：27912+(lg5)0+(2764)-13;(2)解方程：log3(6x-9)=3.【解析】 (1)原式=25912+(lg5)0+343-13=53+1+43=4.(2)由方程log3(6x-9)=3得6x-9=33=27，6x=36=62，x=2.经检验，x=2是原方程的解.20.(本小题满分12分)有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售，甲商场用下面的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少?【解析】设购买x台，甲、乙两商场的差价为y，则去甲商场购买共花费(800-20x)x，由题意800-20x440.118(xN).去乙商场花费80075%x(xN*).当118(xN*)时y=(800-20x)x-600x=200x-20x2，当x18(xN*)时，y=440x-600x=-160x，则当y0时，1当y=0时，x=10;当y0时，x10(xN).综上可知，若买少于10台，去乙商场花费较少;若买10台，甲、乙商场花费相同;若买超过10台，则去甲商场花费较少.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;【解析】 (1)由1+x0，1-x0，得-1函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)定义域关于原点对称，对于任意的x(-1,1)，有-x(-1,1)，f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)f(x)为奇函数.22.(本小题满分14分)设a0，f(x)=exa+aex是R上的偶函数.(1)求a的值;(2)证明：f(x)在(0，+)上是增函数.【解析】 (1)解：∵f(x)=exa+aex是R上的偶函数，f(x)-f(-x)=0.exa+aex-e-xa-ae-x=0，即1a-aex+a-1ae-x=01a-a(ex-e-x)=0.由于ex-e-x不可能恒为0，当1a-a=0时，式子恒成立.又a0，a=1.(2)证明：∵由(1)知f(x)=ex+1ex，在(0，+)上任取x1f(x1)-f(x2)=ex1+1ex1-ex2-1ex2=(ex1-ex2)+(ex2-ex1)1ex1+x2.∵e1，01，ex1+x21，(ex1-ex2)1-1ex1+x20，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x)在(0，+)上是增函数.小编为大家提供的高一数学第三章函数的应用测试题，大家仔细阅读了吗？最后祝同学们学习进步。