高等数学(一)第三章(下)练习题

《高等数学》习题答案二〇一四年六月三日《高等数学》习题答案第1章 函数练习题1.11.（1）不是。

定义域不相同。

函数x y =的定义域为R ，函数xx y 2=的定义域为}{0≠x x 。

（2）不是。

对应法则不相同。

x x y ==2。

2.（1）⎩⎨⎧>-≠-0120)12lg(x x ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠>121x x x 且。

（2）022≥-x }2-x 2x {x ≤≥∴或定义域为。

（3）⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-321230231ln )23ln(0230)23ln(x x x x x x {}1≥∴x x 定义域为。

3.25)23(,23)21(==f f 。

4.[()]12xf f x x=- 5.（1）⎩⎨⎧≥-≠0102x x {}011≠≤≤-∴x x x 且定义域为 （2）1211≤-≤-x {}31≤≤-∴x x 定义域为 （3）⎩⎨⎧≠≥-003x x {}03≠≤∴x x x 且定义域为6. 不是。

定义域不相同。

{}{}0lg 2)(,0lg )(2>=≠=x x x x g x x x x f 的定义域为的定义域为。

练习题1.21.（1）偶函数（2）偶函数（3）奇函数2.（1）π2=T （2）ππ==-=-==22,2cos 212122cos 1sin 2T x x x y （3）ππ==22T练习题1.31.（1）x y 2tan = （2）)1sin(2+=xe y2.（1）23,10+==x u u y （2）21,x u u y -==（3）x u y u-==,10 （4）2,2x u y u== （5）1,log 22+==x u u y （6）x u u y 5,sin == （7）5,sin x u u y == （8）x u u y sin ,5== （9） x v v u u y lg ,lg ,lg === （10）2,arcsin x u u y == 3.（1）由)(21,2112R x x y y x x y ∈-=-=+=故其反函数为可得 （2）由)(2,22333R x x y y x x y ∈-=-=+=故其反函数为可得练习题1.41.（1）R （2）⎩⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧>>0101lg lg 00lg x x x x x x {}1>∴x x 定义域为 （3）⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-321230231ln )23ln(0230)23ln(x x x x x x {}1≥∴x x 定义域为 （4）1211≤-≤-x {}31≤≤-∴x x 定义域为第一章复习题一、判断题:1.√2.×3.√4.√5.√6.√ 二、填空题:1. 0>x2. e 、13. 5,,tan -===x v v u u y4. 22-x 5. {}122±≠≤≤-x x x 且 三、解答题:42)(,4)0(3++-=-=x x x f f第2章 极限练习题2.11.（1）极限为0 （2）极限为0 （3）极限为1 （4）极限为1（5）当n 无限增大时，n)1(1-+无休止地反复取0和2两个数，而不会无限接近于任何一个确定的常数，故该数列当∞→n 时没有极限（6）数列{}n n)1(-即为-1,2，-3,4，-5…… ，故该数列当∞→n 时没有极限（7）极限为22. 该数列的奇子数列为1,2,3,…，n … 没有极限 偶子数列为111,,23n⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 极限为0 所以该数列的极限不存在。

高等数学作业题（一）第一章 函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（ ）。

A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（ ）。

A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算xf x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。

6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。

第二章 极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是 （2）0=x 是函数x x y +=1的第 类间断点。

（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的 渐近线。

（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是 无穷小。

（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。

（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ， 则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y(10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（ ）。

A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。

高等数学作业题（一）第一章 函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（ ）。

A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（ ）。

A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算xf x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。

6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。

第二章 极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是 （2）0=x 是函数x x y +=1的第 类间断点。

（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的 渐近线。

（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是 无穷小。

（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。

（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ， 则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y (10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（ ）。

A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。

一、填空题1．函数)(x f 在点0x 处极限)(lim 0x f x x →存在是)(x f 在点0x 处连续的_____条件.2．)(x f 在点0x 处连续是函数)(x f 在点0x 处可导的______条件. 3．)(x f 在点0x 处可导是函数)(x f 在点0x 处连续的______条件.4．x ＝3是函数22)3()3sin()(--=x x x f 的_______(可去、跳跃、无穷)间断点.5．x ＝3是函数2)3()3sin()(--=x x x f 的_______(可去、跳跃、无穷)间断点. 6．x ＝2是函数)2()2tan()(--=x x x f 的_______(可去、跳跃、无穷)间断点.二计算下列极限 1．30sin sin tan limx x x x -→. 2．20)1(sin tan lim --→x x e x x x . 3．)1ln(sin tan lim 20x x xx x +-→. 4．)1(ln sin tan lim 20x x x x x +-→5．232)11(lim n n n +∞→ 6．nn n 3)111(lim ++∞→ 7．n n n 5)11(lim +∞→ 8．242)11(lim n n n -∞→ 9．13)111(lim -∞→--n n n 10．23)11(lim -∞→-n n n第二章练习题1．7sec sin ln 2-+=x x x x y ，求y ' 2．⎰++=21cos ln sin xdx x x x x y 求y '.3．方程y xe y=+1确定函数)(x y y =，求=x dxdy.4．方程0sin cos 52=-++y y y x 确定函数)(x y y =，求dx dy .5．方程0sin 21=+-y y xe y确定函数)(x y y =，求dy dx dy 及.一、利用罗比达法则求极限 1．30sin limx x x x -→ 2．30sin tan limx xx x -→3．)1(ln sin tan lim 20x x x x x +-→ 4．20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→5．)3ln()1ln(lim 2x x x +++∞→ 6．)3ln()1ln(lim 7x x x +++∞→二、求函数251 +=-xy 的凹凸区间和拐点。

第一章测试1.A:B:C:D:答案:B2.A:B:C:D:答案:B3.A:是奇函数，非偶函数B:既非奇函数，又非偶函数C:既是奇函数，又是偶函数D:是偶函数，非奇函数答案:C4.下列数列收敛的是（）.A:B:C:D:答案:C5.A:充分必要条件B:必要条件C:充分条件D:无关条件答案:D6.下列极限存在的是（）.A:B:C:D:答案:A7.A:0B:2C:0.5D:不存在答案:C8.A:-1B:0C:1D:2答案:D9.下列极限中结果等于e的是（）.A:B:C:D:答案:A10.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（）.A:B:C:D:答案:A第二章测试1.A:1B:4C:2D:3答案:D2.下列函灵敏在点x=0外均不连续，其中点x=0是f(x)的可去间断点的是（）．A:B:C:D:答案:B3.A:充要条件B:必要非充分条件C:充分非必要条件D:无关条件答案:B4.A:B:C:D:答案:B5.A:B:C:D:答案:B6.A:第二类间断点B:连续点C:跳跃间断点D:可去间断点答案:D7.A:B:C:D:答案:A8.A:0B:1C:2D:3答案:D9.A:跳跃间断点B:连续点C:可去间断点D:无穷间断点答案:A10.A:B:C:D:答案:D第三章测试1.A:B:C:D:答案:D2.A:2B:不存在C:4D:0答案:C3.A:4B:3C:5D:2答案:B4.A:-2B:-1C:1D:0答案:A5.A:连续不可导B:可导C:极限不存在D:极限存在，但不连续答案:A6.A:无定义B:可导C:连续但不可导D:不连续答案:C7.下列结论错误的是（）.A:如果函数f(x)在点x=x0处连续，则f(x)在点x=x0处可导.B:如果函数f(x)在点x=x0处不可导，则f(x)在点x=x0处也可能连续C:如果函数f(x)在点x=x0处可导，则f(x)在点x=x0处连续D:如果函数f(x)在点x=x0处不连续，则f(x)在点x=x0处不可导答案:A8.设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3),则f’(0)=( ) .A:6B:2C:3D:0答案:A9.A:B:C:D:答案:D10.A:B:C:D:答案:A第四章测试1.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）.A:B:C:D:答案:D2.求下列极限能直接使用洛必达法则的是（）.A:B:C:D:答案:A3.A:f(x)与x是同阶非等价无穷小量B:f(x)是比x较高阶的无穷小是C:f(x)是比x较低阶的无穷小量D:f(x)与x是等价无穷小量答案:A4.A:不增不减B:单调增加C:有增有减D:单调减少答案:C5.A:有极大值B:有极小值C:单调减少D:单调增加答案:D6.函数y=f(x)在x=x0处取得极大值，则必有（）.A:f ”(x0)<0B:f ‘(x0)=0或f ‘(x0)不存在C:f ‘(x0)=0且f “(x0)<0D:f’(x0)=0答案:B7. f ’(x0)=0，f “(x0)>0是函数f(x)在点x=x0处以得极小值的一个（）.A:既非必要也非充分条件B:必要非充分条件C:充分非必要条件D:必要充分条件答案:C8.函数y=x3+12x+1在定义域内（）.A:图形上凹B:单调增加C:图形下凹D:单调减少答案:B9.f(x)在点x=x0处可微，是f(x)在点x=x0处连续的（）.A:必要非充分条件B:充分非必要条件C:充分且必要条件D:既非充分也非必要条件答案:B10.A:B:C:D:答案:C第五章测试1.A:B:C:D:答案:C2.A:B:C:D:答案:B3.A:B:C:D:答案:C4.A:B:C:D:答案:D5.A:B:C:D:答案:A6.A:B:C:答案:B7.A:xsinx+cosx+CB:xcosx+sinx+CC:xcosx-sinx+CD:xsinx-cosx+C答案:C8.A:B:C:D:答案:D9.A:B:C:D:答案:D10.A:B:C:D:答案:D第六章测试1.下列积分可直接使用牛顿-莱布尼茨公式的是（）.A:B:C:D:答案:D2.A:B:C:D:答案:D3.A:40B:-80C:80D:-40答案:C4.A:B:C:答案:C 5.A:-1B:-2C:2D:1答案:C。

高等数学（一）（第三章练习题）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0x ,x sin 0x ,x ，则)0(f '=（ ）A.-1B.1C.0D.不存在2.设函数f(x)在点a 可导，且1h 2)h 5a (f )h 5a (f lim 0h =--+→，则=')a (f （ ）A.51B.5C.2D.21 3.设函数y=2x 2，已知其在点x 0处自变量增量3.0x =∆时，对应函数增量y ∆的线性主部为-0.6，则x 0=（ ） A.0B.1C.-0.5D.-44.设某商品的需求函数为Q=a-bp ，其中p 表示商品价格，Q 为需求量，a 、b 为正常数，则需求量对价格的弹性=EPEQ（ ）A.bp a b --B. bp a b- C. bp a bp -- D. bp a bp -5．函数f(x)在点x=x 0处连续是f(x)在x=x 0处可导的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分条件又非必要条件 6.设函数f(x)在x=a 处可导，则f(x)在x=a 处（ ） A.极限不一定存在 B.不一定连续 C.可微 D.不一定可微 7.设函数(x)(x),a)-(x f (x)ϕϕ=在x=a 处可导，则（ ） A.)x ()x (f ϕ=' B.)a ()a (f ϕ'=' C.)a ()a (f ϕ=' D.)a x ()x ()x (f -+ϕ=' 8.设y=lnsinx,则dy=（ ） A.-cotx dx B.cotx dx C.-tanx dx D.tanx dx9.设y=a x (a>0,a ≠1),则y (n)==0x （ ）A.0B.1C.lnaD.(lna)n10.设一产品的总成本是产量x 的函数C(x),则生产x 0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是（ ） A.x )x (C B.0x x x )x (C = C.dx )x (dC D.0x x dx )x (dC =11.设函数y=f(x)在点x 0可导，且,a )x (f 0='则 =∆-∆-→∆x)x (f )x 2x (f lim 000x （ ）A.aB.2aC.-2aD.-2a 12.若函数f(x)在点x 0处自变量增量Δx=0.25，对应函数增量Δy 的线性主部为2，则函数在该点的导数值=')x (f 0（ ） A.4B.8C.0.5D.0.12513.设某商品的供给函数为S=a+bp ，其中p 为商品价格，S 为供给量，a,b 为正常数，则该商品的供给价格弹性=EPES（ ） A.bpa bp+B.bp a b+ C.bpa bp +- D.bpa b+- 14．设D=D （p ）是市场对某一商品的需求函数，其中p 是商品价格，D 是市场需求量，则需求价格弹性是（ ） A ．)p ('D p D - B ．)p ('D D p - C ．)D ('p pD-D ．)D ('p Dp-15．设△y=f(x 0+△x)-f(x 0)且函数f(x)在x=x 0处可导，则必有（ ） A ．0x lim →∆△y=0 B ．△y=0 C ．dy=0 D ．△y=dy16．设产品的利润函数为L （x ）,则生产x o 个单位时的边际利润为（ ） A ．00x )x (L B ．dx)x (dL C ．0x x dx )x (dL =D ．)dx)x (L (dx d 17．设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（ ） A ．16! B ．15! C ．14!D ．018.设f (x )为可微函数，且n 为自然数，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)n x (f )x (f 1lim n =（ ）A.0B.)x (f 'C.-)x (f 'D.不存在19.设函数f(x)可导，又y=f(-x)，则y '=（ ） A.)x (f ' B.)x (f -' C.-)x (f 'D.-)x (f -'20.设某商品的需求函数为D(P)=475-10P-P 2,则当P = 5时的需求价格弹性为（ ） A.0.25 B.-0.25 C.100D.-10021已知某商品的成本函数为500302)(++=Q Q Q C ，则当产量Q =100时的边际成本（ ） A ．5 B ．3 C ．3.5D ．1.522.设f(x)=⎩⎨⎧<≥+0x ,x 0x ),x 1ln(, 则=')0(f （ ）A.0B.1C.-1D.不存在23.设供给函数S=S(p)(其中p 为商品价格), 则供给价格弹性是（ ）A.)p (S S p '-B. )p (S S p 'C. )p (S p 'D. )p (S S 1'24.设f (x )=x |x |，则f ′(0)=( ) A.1 B.-1 C.0 D.不存在25.设某商品的需求量D 对价格p 的需求函数为D =50-5p，则需求价格弹性函数为( ) A.250-p p B.p p -250 C.51pp -250D.51250-p p 26.设生产x 个单位的总成本函数为C （x ）=7x 2012x 2++，则生产6个单位产品时的边际成本是（ ）A.6B.20C.21D.2227．设函数y =150-2x 2,则其弹性函数ExEy=（ ） A ．221504x - B ．221504x x- C ．150242-x xD ．1502422-x x28.设f (x )=2x,则f ″(x )=（ ）A.2x ·ln 22B.2x ·ln4C.2x ·2D.2x ·429．设f (x )=arccos(x 2)，则f ＇(x )=（ ） A ．211x--B ．212xx --C ．411x--D ．412xx --二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.曲线y =x +ln x 在点（1，1）处的切线方程为________________.2.设函数y =ln x ,则它的弹性函数ExEy=_____________. 3.函数f(x)在点x 0处左、右导数存在且相等是函数f(x)在x 0可导的___________条件.4．设某商品的市场需求函数为D=1-7P，P 为商品价格，则需求价格弹性函数为 .5．设y=2x 2e x ，则y ''(0)= .6. 已知某商品的产量为q 件时总成本为C （q ）=100q+160q 2(百元)，则q=500件时的边际成本为___________.7.设f(x)在x=a 处可导，则=--→h)a (f )h 2a (f lim 0h ___________.8.曲线y=sinx 在点π=32x 处的切线方程为___________. 9．若f(x)在x=x 0处可导，且.__________)x ('f ,3h)h 5x (f )x (f lim0000h ==+-→则10. 设f(x)=⎩⎨⎧≥<-1|x |,01|x |,x 12,则'-f (1)=_____.11.设y=cos 2x 1+，则'y =_____.12.已知某产品的产量为g 时，总成本是C(g)=9+800g 2，则生产100件产品时的边际成本MC|g=100=_____.13.设⎩⎨⎧>≤-=0x ,x 0x ,e 1)x (f 2x ，则-'f (0)=___________。

高等数学习题册（上册）目录习题1-1 函数 (1)习题1-2 常用的经济函数 (5)习题2-1 极限 (9)习题2-2 无穷小与无穷大，极限运算法则 (13)习题2-3 极限存在准则，两个重要极限及无穷小的比较 (17)习题2-4 函数的连续性 (21)习题2-5 闭区间上连续函数的性质 (25)第二章综合题 (29)第二章自测题 (36)习题3-1 导数概念 (40)习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（一） (44)习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（二） (48)习题3-3 高阶导数 (52)习题3-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 (56)习题3-5 函数的微分 (60)习题3-6 边际与弹性 (64)第三章综合题 (68)第三章自测题 (74)习题4-1 中值定理 (78)习题4-2 洛必达法则 (82)习题4-3 导数的应用（一） (86)习题4-3 导数的应用（二） (90)习题4-4 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用 (94)习题4-5 泰勒公式 (98)第四章综合题 (100)第四章自测题 (104)习题5-1 不定积分的概念、性质 (108)习题5-2 换元积分法（一） (112)习题5-2 换元积分法（二） (116)习题5-3 分部积分法 (120)习题5-4 有理函数的积分 (122)第五章综合题 (124)第五章自测题 (128)微积分（上）模拟试卷一 (134)微积分（上）模拟试卷二 (138)参考答案 (142)习题1-1 函数1. 填空题：（1）()x y 32log log =的定义域 。

（2）523arcsin3xx y -+-=的定义域 。

（3）xxy +-=11的反函数 。

（4）已知31122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx x x f ，则=)(x f 。

2. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3x , 0 3 , sin )(ππϕx x x ，求()2,6-⎪⎭⎫⎝⎛ϕπϕ，并作出函数()x ϕη=的图形。

大学高等数学各章节练习题在大学阶段的学习中，高等数学是一个必修课程，它包含了各个章节和知识点的练习题。

练习题是帮助学生巩固理论知识、提高解题能力和应用能力的重要工具。

本文将根据大学高等数学的各个章节，对其练习题进行介绍和总结。

第一章导数与微分在高等数学的第一章中，导数与微分是其中的基础知识。

通过学习导数与微分的定义和性质，可以掌握求导法则和应用，从而解决各种函数的极值、单调性、函数图像以及相关应用问题。

以下是几道典型的练习题：1. 求函数f(x)=3x^2-2x+1的导函数。

2. 设函数f(x)=√(x+1)，求f'(x)。

3. 设函数f(x)=e^x+2x，求f''(x)。

通过练习这些题目，可以加深对导数与微分概念的理解，熟练掌握运用导数的方法。

第二章不定积分在高等数学的第二章中，不定积分是其中的重要内容。

学习不定积分可以学会对函数的原函数进行求解，从而求出函数的不定积分。

以下是几道典型的练习题：1. 求函数f(x)=3x^2-2x+1的不定积分。

2. 求∫(2x+1)dx的结果。

3. 求∫sinx^2dx的结果。

通过练习不定积分的题目，可以提高对不定积分的理解和熟练应用。

第三章定积分与曲线长度在高等数学的第三章中，定积分是其中的关键知识点。

学习定积分可以求解曲线下面积、定积分的性质以及曲线长度等问题。

以下是几道典型的练习题：1. 求∫[0,1]x^2dx的结果。

2. 求曲线y=x^2在[0,1]上的下曲边与y轴围成的面积。

3. 求曲线y=√(1-x^2)在[-1,1]上的弧长。

通过练习定积分的题目，可以加深对定积分概念的理解，并且掌握运用定积分求解相关问题的方法。

第四章微分方程在高等数学的第四章中，微分方程是其中的核心内容。

学习微分方程可以理解微分方程的概念和基本解法，并且可以应用微分方程解决实际问题。

以下是几道典型的练习题：1. 求解微分方程dy/dx = 2x。

2. 求解微分方程 dy/dx = y/x。

>第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是　的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。

★高等数学(ZK104A)第一章 函数1、【43992】（单项选择题）下列各对函数中，表示相同函数的是（ ）． A.11)(2+-=x x x f ，1)(-=x x gB.2)(x x f =，x x g =)(C.2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D.11)(+-=x x x f ，11)(+-=x x x g【答案】C2、【44001】（单项选择题）设xx f 21)21(-=-，则=)(x f （ ）．A.x -+141B.x 2121--C.x --141D.x 2121-+【答案】C3、【44003】（单项选择题）设2)(x x f =，xx g 2)(=，则=)]([x g f （ ）．A.x 22B.22xC.x22D.xx 2【答案】A4、【44006】（单项选择题）设)(x f 在),(+∞-∞有定义，则下列函数中为奇函数的是（ ）．A.)(x f xB.)(x f x -C.xx f sin )(D.)(23x f x【答案】D5、【65043】（单项选择题）函数1sin )(2++=x x x x f 在定义域内是（ ）． A.偶函数 B.奇函数 C.有界函数 D.周期函数 【答案】A6、【65051】（单项选择题）下列各组函数中表示相同函数的是（ ）．A.x y =与xy 2log 2=B.x y =与2x y =C.xy 2cos 1+=与x y cos 2=D.x y ln 2=与2ln x y = 【答案】B7、【65052】（单项选择题）下列各项函数中，互为反函数的是（ ）． A.1-=xe y 与1ln +=x y B.x y tan =与x y cot = C.xy 3log =与xy 31log =D.13-=x y 与)1(31+=x y【答案】D8、【65054】（单项选择题）函数xx x f -=2ln )(的定义域是（ ）．A.),0(+∞B.)1,(-∞C.)1,0(D.),1()1,0()0,(+∞-∞ 【答案】D9、【65056】（单项选择题）函数3)1()(x x f -=在),(+∞-∞内（）．A.单调增加B.单调减少C.不增不减D.有增有减 【答案】B10、【80814】（单项选择题）函数xy 1cos=在定义域内是（ ）．A.单调函数B.周期函数C.无界函数D.有界函数 【答案】D11、【102058】（单项选择题）函数xx y -=1的定义域是（ ）．A.）（+∞∞-,B.]0,∞-（ C.）（）（1,00,⋃∞- D.）（0,∞- 【答案】D12、【102060】（单项选择题）设211)(x x f +=，则=])(1[x f f （ ）．A.221x+B.22)1(11x ++C.21x+D.22)1(1x ++ 【答案】B13、【102061】（单项选择题）函数2log log 44+=x y 的反函数是（ ）．A.124-=x y B.14-=x y C.12-=x yD.14-=x y【答案】A14、【102070】（单项选择题）设)(x f 在),(+∞-∞有定义，则下列函数中必为奇函数的是（ ）．A.)(x f y =B.)(x f y -=C.C y =（C 是常数）D.)(2x xf y = 【答案】D15、【102071】（单项选择题）设121)(+-=x x x f ，若曲线)(x f 与)(x g 关于直线x y =对称，则)(x g 表达式为（ ）．A.121-+x xB.x x 211-+C.x x +-112D.x x +-121【答案】B16、【102072】（单项选择题）下列函数中，函数图形关于原点对称的是（ ）． A.x y sin = B.x xy sin 2=C.x x y sin 3= D.1sin +=x y 【答案】B17、【102073】（单项选择题）下列各组函数中，表示相同函数的是（ ）． A.x x x g x x f 32)(;)(==B.)2cos 1(21)(;sin )(2x x g x x f -==C.2)(;)(x x g x x f ==D.21)(;)2)(1()(+⋅+=++=x x x g x x x f【答案】B18、【163321】（单项选择题）设函数()1-=x x f ，则()=1f （ ）. A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A19、【163325】（单项选择题）()x n y +=11的定义域为（ ）. A.()+∞-,1 B.[)+∞-,1 C.()+∞-∞, D.()+∞,0【答案】A20、【163326】（单项选择题）x y +=1的定义域为（）.A.()+∞-∞,B.(]0,-∞C.[)+∞,0D.(]1,-∞【答案】C21、【163327】（单项选择题）xy =的定义域为（ ）.A.()+∞-∞,B.(]0,-∞C.(]1,-∞D.[)+∞,0【答案】D22、【163328】（单项选择题）()31x x f +=是（ ）. A.偶函数 B.奇函数C.非奇非偶函数D.周期函数 【答案】C23、【163330】（单项选择题）()1+=x x f 是（ ）. A.偶函数 B.奇函数 C.周期函数D.非奇非偶函数 【答案】D24、【163331】（单项选择题）()x x f cos 7=是（ ）.A.偶函数B.奇函数C.单调函数D.非奇非偶函数 【答案】A25、【163333】（单项选择题）x y sin 5=是（ ）. A.偶函数 B.奇函数 C.单调函数D.非奇非偶函数 【答案】B26、【163335】（单项选择题）()922+=x x f 是()+∞-∞,内的（ ）. A.有界函数 B.单调函数 C.奇函数 D.偶函数【答案】D27、【163336】（单项选择题）函数()x x f cos 3+=在()+∞-∞,内是（ ）. A.偶函数 B.奇函数 C.无界函数 D.单调函数 【答案】A28、【163338】（单项选择题）()x x f 2sin =在()+∞-∞,内是（ ）. A.偶函数 B.奇函数 C.无界函数 D.单调函数 【答案】B29、【163339】（单项选择题）()xe xf =在()+∞-∞,内是（ ）. A.有界函数 B.单调函数 C.奇函数 D.偶函数【答案】B30、【163340】（单项选择题）设2sin x y =，则y 为（ ）. A.偶函数 B.奇函数C.非奇非偶函数D.恒等于零的函数 【答案】A31、【163341】（单项选择题）()x x f sin =在()+∞-∞,内是（ ）. A.奇函数 B.偶函数 C.无界函数 D.单调函数 【答案】A32、【163342】（单项选择题）()x x f sin 3+=是（ ）. A.单调函数 B.无界函数 C.周期函数 D.奇函数【答案】C33、【163343】（单项选择题）()x x f cos 5-=是（ ）. A.单调函数 B.周期函数 C.无界函数 D.偶函数【答案】B34、【163344】（单项选择题）()x x f sin =是()+∞-∞,内的（ ）. A.单调函数 B.有界函数 C.无界函数 D.偶函数【答案】B35、【163345】（单项选择题）()x x f cos 1+=是()+∞-∞,内的（ ）. A.奇函数 B.偶函数 C.无界函数 D.有界函数 【答案】D36、【163346】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （ ）. A.在()a ,0内单调减少，在区间()+∞,a 内单调增加 B.在()a ,0内单调增加，在区间()+∞,a 内单调减少 C.在()+∞,0内单调增加 D.在()+∞,0内单调减少 【答案】B37、【163347】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （ ）. A.在()+∞-∞,内单调增加B.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加C.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少D.在()+∞-∞,内单调减少 【答案】C38、【163348】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （ ）. A.在()+∞-∞,内单调增加 B.在()+∞-∞,内单调减少C.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少D.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加 【答案】B39、【163349】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （ ）. A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少 B.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加 C.在()+∞-∞,内单调增加 D.在()+∞-∞,内单调减少 【答案】C40、【163350】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （ ）. A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少 B.在()+∞-∞,内单调增加C.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加D.在()+∞-∞,内单调减少 【答案】B41、【163351】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （ ）. A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少 B.在()+∞-∞,内单调增加C.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加D.在()+∞-∞,内单调减少 【答案】C42、【163352】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （ ）. A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少 B.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加 C.在()+∞-∞,内单调增加 D.在()+∞-∞,内单调减少 【答案】B43、【163353】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （ ）. A.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加 B.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少 C.在()+∞-∞,内单调增加 D.在()+∞-∞,内单调减少 【答案】A44、【163354】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f 的单调减少区间为（ ）.A.()0,-∞B.()+∞,aC.()a ,0D.()+∞-∞,【答案】C45、【163355】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （ ）. A.在()a ,-∞内单调增加，在区间()+∞,a 内单调减少 B.在()+∞-∞,内单调增加C.在()a ,-∞内单调减少，在区间()+∞,a 内单调增加D.在()+∞-∞,内单调减少 【答案】C46、【163356】（单项选择题）函数()()21+=x x x f 的图形如图示，则曲线()x f y =的单调减少区间为（ ）.A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31, B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,1C.()+∞,0D.()+∞-∞,【答案】B47、【163357】（单项选择题）函数()x x x f ln 22-=的图形如图示，则曲线()x f y =（ ）. A.在()1,0内单调增加，在区间()+∞,1内单调减少 B.在()+∞,0内单调增加C.在()1,0内单调减少，在区间()+∞,1内单调增加D.在()+∞,0内单调减少 【答案】C48、【163358】（单项选择题）函数()()x x e e x f --=21的图形如图示，则曲线()x f y =（ ）.A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少B.在()+∞-∞,内单调增加C.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加D.在()+∞-∞,内单调减少 【答案】B49、【163359】（单项选择题）函数()()x xe e xf -+=21的图形如图示，则曲线()x f y =（ ）.A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少B.在()+∞-∞,内单调增加C.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加D.在()+∞-∞,内单调减少 【答案】C50、【163360】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f 的单调减少区间为（ ）.A.()a ,0B.()b a ,C.()+∞,bD.()+∞,0【答案】B51、【193641】（单项选择题）()x x f sin 1+=是（ ）. A.偶函数 B.奇函数C.非奇非偶函数D.无界函数 【答案】C52、【193645】（单项选择题）()3x x f -=是（ ）. A.偶函数 B.奇函数 C.周期函数D.非奇非偶函数 【答案】B53、【98433】（填空题）函数xx f 44log 2log )(+=的图形与)(x g 的图形关于直线x y =对称，则=)(x g _____．【答案】124-x54、【102089】（填空题）函数xx y ln =的单调减区间为_____．【答案】),(+∞e55、【163367】（填空题）函数2211x x y +-=的定义域为 .【答案】()+∞-∞,56、【163368】（填空题）设函数()xe xf =，则()=1f . 【答案】e57、【163369】（填空题）设函数()x x f sin =，则()=1f . 【答案】1sin58、【163370】（填空题）函数x y 3=的定义域为 .【答案】[)+∞,059、【163371】（填空题）函数()3x x f =的定义域为 . 【答案】()+∞-∞,60、【163372】（填空题）函数()26x x f +=的定义域为 . 【答案】()+∞-∞,61、【163373】（填空题）函数()1+=x x f 的定义域为 . 【答案】[)+∞,062、【163374】（填空题）函数()x x f ln 2=的定义域为 . 【答案】()+∞,063、【163375】（填空题）函数()()2ln +=x x f 的定义域是 . 【答案】()+∞-,264、【163376】（填空题）函数()3+=x x f 的定义域是 . 【答案】[)+∞-,365、【163377】（填空题）函数()x x f -=21的定义域为.【答案】[)+∞,066、【163378】（填空题）函数()x x f ln 8+=的定义域为 . 【答案】()+∞,067、【163379】（填空题）函数()xe xf 2=的定义域为 . 【答案】()+∞-∞,68、【163380】（填空题）函数()x x f 4=的定义域为 . 【答案】[)+∞,069、【163381】（填空题）函数()x x f sin 7+=的定义域为 . 【答案】()+∞-∞,70、【163382】（填空题）函数()x x f cos 2=的定义域为 . 【答案】()+∞-∞,71、【163383】（填空题）函数()2ln x x f =的定义域为 . 【答案】0≠x72、【163384】（填空题）函数21)(x x x f +=的定义域是 .【答案】()+∞-∞,73、【163385】（填空题）函数21)(2+=x x f 的定义域为 .【答案】()+∞-∞,74、【163386】（填空题）函数xx f +=11)(定义域是 .【答案】1-≠x75、【163387】（填空题）函数1sin )(+=x x f 的定义域是.【答案】()+∞-∞,76、【163388】（填空题）函数2)(3+=x x f 的定义域是 . 【答案】()+∞-∞,77、【163389】（填空题）函数x x y sin -=的定义域是 . 【答案】()+∞-∞,78、【163390】（填空题）函数1)(2+=x x f ，则函数()=2x f.【答案】14+x79、【163391】（填空题）设函数()u u f 3=，x u sin =，则函数()=u f . 【答案】x sin 380、【163392】（填空题）设函数()2u u f =，1+=x u ，则()=u f . 【答案】()21+x81、【163393】（填空题）函数()u u f cos =，1+=x u ，则()=u f . 【答案】()1cos +x82、【163394】（填空题）函数()u u f sin =，x u 2=，则()=u f . 【答案】x 2sin83、【163395】（填空题）函数()2u u f =，x u -=，则()=u f .【答案】2x84、【163396】（填空题）设函数()u e u f =，()3x x g u ==，则()()=x g f .【答案】3xe第二章 极限与连续85、【44012】（单项选择题）若)(lim x f 存在，)(lim x g 不存在，则)]()(lim[x g x f +（ ）． A.不存在 B.存在C.可能存在可能不存在D.存在且极限为零 【答案】A86、【44014】（单项选择题）)(0x f 存在是)(lim 0x f x x →存在的（ ）．A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.无关条件 【答案】D87、【44018】（单项选择题）若∞→x 时，x xsin α为无穷小量，则α应满足的条件是（ ）．A.0≤αB.0≥αC.0<αD.0>α【答案】C88、【65062】（单项选择题）当∞→x 时，x x y arctan 1=是（）． A.无穷大量 B.无穷小量 C.常量D.无界变量 【答案】B89、【65064】（单项选择题）下列命题中正确的是（ ）． A.函数)(x f 在点0x 无定义，则)(x f 在点0x 无极限 B.函数)(x f 在点0x 不连续，则)(x f 在点0x 不可导 C.函数)(x f 在点0x 不可导，则)(x f 在点0x 不连续 D.函数)(x f 在点0x 不可导，则)(x f 在点0x 不取极值 【答案】B90、【65081】（单项选择题）当∞→n 时，与n1sin 2等价的无穷小量是（ ）．A.n 1B.n 1C.21nD.n 2【答案】C91、【65086】（单项选择题）下列变量中，当1→x 时，不是无穷小量的是（ ）． A.11cos)1(2--x xB.1)1sin(2--x xC.113--x xD.2)1(22-+-x x x 【答案】C92、【65093】（单项选择题）当1→x 时下列变量中不是无穷小量的是（ ）． A.12-xB.1232--x x C.1)2(+-x xD.1242+-x x 【答案】D93、【65100】（单项选择题）当∞→x 时，下列变量中是无穷小量的是（ ）． A.x x 1sinB.x eC.x x sin 1 D.2-x x【答案】C94、【65120】（单项选择题）若在0x x →时，)(x α与)(x β都是无穷小量，且0)(≠x β，则在0x x →时，下列各式不一定是无穷小量的是（ ）．A.)()(x x βα-B.22)]([)]([x x βα+ C.)]()(1ln[x x βα⋅+ D.)()(2x x βα【答案】D95、【65128】（单项选择题）若31)131(2lim =-++-∞→x x bx ax x ，则b a ,值为（ ）．A.2,3=-=b aB.2,3-==b aC.2,3==b aD.2,3-=-=b a 【答案】B96、【65131】（单项选择题）=-∞→x xx sin )21(1lim（ ）． A.0 B.1 C.∞D.不存在【答案】A97、【65136】（单项选择题）设)(x f 在),(+∞-∞连续，下列为偶函数的是（ ）． A.)(x fB.)(x fC.)()(x f x f --D.2)]([x f【答案】B98、【65139】（单项选择题）当1→x 时，x ln 与1-x 比较是（ ）． A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小 【答案】D99、【99268】（单项选择题）若Ax f x =∞→)(lim ，则当∞→x 时，A x f -)(是（ ）．A.0B.振荡变量C.无穷大量D.无穷小量 【答案】D100、【102062】（单项选择题）=-++∞→)2)34((lim x x x x （ ）．A.0B.1C.43D.∞【答案】C101、【102063】（单项选择题）若⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,)1()(x a x kx x f x m在0=x 处连续，则=a （ ）．A.m eB.ke C.kmeD.mk e【答案】C102、【102074】（单项选择题）当0→x 时，下列无穷小中不是x 的等价无穷小的是（ ）．A.x x sin -B.x arcsinC.)1ln(x +D.2tan x x +【答案】A103、【102075】（单项选择题）当0→x 时，xx 1arctan是（ ）．A.无穷大量B.无穷小量C.无界变量D.无法判定 【答案】B 104、【102076】（单项选择题）当0x x →时，若)(x f 有极限，)(x g 无极限，则当0x x →时，)()(x g x f ⋅（ ）．A.无极限B.有极限C.可能有，也可能没有极限D.若有极限，极限必为零【答案】C105、【102077】（单项选择题）当1→x 时，下列变量不是无穷小量的是（ ）． A.12-xB.1)2(+-x xC.1)1sin(--x xD.1232--x x 【答案】C106、【102082】（单项选择题）设21)1(sin lim21=--→x x k x ，则=k （ ）．A.2B.1C.4D.0【答案】C107、【193642】（单项选择题）=+-+-+∞→1434)2(lim22n n n n n n x （ ）．A.43B.34C.32D.38【答案】B108、【98431】（填空题）=++→2310)31(lim xx x _____．【答案】e109、【98435】（填空题）若112lim)1(lim 0+-=-∞→→x x x x x kx ，则=k _____．【答案】2ln -110、【98440】（填空题）=+∞→xx x x)1(lim _____．【答案】e 1111、【98442】（填空题）若kxx e x =-→10)21(lim ，则=k _____．【答案】2-112、【98443】（填空题）=-∞→)sin 11sin (lim x xx x x _____．【答案】1113、【98447】（填空题）=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→231lim x x x x _____．【答案】3-e114、【98448】（填空题）=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→211lim 22x x x x _____．【答案】2e115、【98451】（填空题）=--→22)sin(limπππx x x _____．【答案】π21116、【98453】（填空题）=--→x x x x 33lim33_____．【答案】)3ln 1(27-117、【98455】（填空题）=-→x x x 10)21(lim _____．【答案】2-e118、【98457】（填空题）设⎪⎩⎪⎨⎧-=k x x x f )sin()(π0,0,=≠x x 在点0=x 处间断，则k应满足的条件是_____．【答案】1≠k119、【98467】（填空题）=-+∞→1)2(lim x x xx _____．【答案】2-e120、【98468】（填空题）=∞→nn n 2sin lim π_____．【答案】2π121、【98469】（填空题）若函数⎪⎩⎪⎨⎧---=k x x x x f 22)(22,2,=≠x x 在2=x 处连续，则=k _____．【答案】3122、【98471】（填空题）=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-∞→32lim x x x x _____．【答案】2e123、【98473】（填空题）=++-∞→302010)13()3()12(limx x x x _____．【答案】301032124、【98474】（填空题）=⋅∞→t x t t sinlim _____．【答案】x125、【98476】（填空题）=-→x x x 20)1(lim _____．【答案】2-e126、【102090】（填空题）=--→xx x 10)21(lim _____．【答案】2e127、【102091】（填空题）=+→x x x 1)sin 1(lim _____．【答案】e128、【102092】（填空题）若k xx e xx =-∞→)2(lim ，则=k_____．【答案】2-129、【81962】（解答题）设⎪⎩⎪⎨⎧-=k x x x x f 1ln )(1,10,=≠>x x x 且，求k值，使)(x f 在),0(+∞连续．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛-→001ln lim 1x x x x =11ln lim1-+→x x =1-依题意应满足()()1lim 1f x f x =→，所以1-=k130、【102120】（解答题）求极限xxx x tan sin 2sin 2lim0--+→．【答案】解：x xx x tan sin 2sin 2lim0--+→()xx x x x sin 2sin 2tan sin 2lim0-++=→=21第三章 导数与微分131、【44028】（单项选择题）设)(x f 在点0x 处可导，则hx f h x f h )()(lim000-+→（ ）．A.与h x ,0都有关B.仅与h 有关与0x 无关C.仅与0x 有关与h 无关D.与h x ,0都无关 【答案】C132、【44034】（单项选择题）设2)(),()(x x h x g x f dx d ==，则=)]([x h f dx d （）．A.)(2x xgB.)(22x xgC.)(2xgD.)(22x g x【答案】B133、【44038】（单项选择题）设2xe y -=，则=''y （ ）．A.2x e - B.224xe x - C.2)12(22x e x -- D.2)12(22x e x -+【答案】C134、【44040】（单项选择题）)(x f 在点0x 处连续是)(x f 在点0x 处可微的（ ）． A.充分条件 B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 【答案】B135、【44041】（单项选择题）设)(sin )()sin (ln x d x g x d =，则=)(x g （ ）． A.x cos B.x sinC.x cos 1D.x sin 1【答案】D136、【44042】（单项选择题）=)sin (x xd （）．A.dxx xx x 3sin cos -B.dxx x x x 4222sin cos -C.dxx xx x 2sin cos -D.dxx xx x 32sin cos -【答案】C137、【65146】（单项选择题）设)(x f 在ax =处可导，且1)(='a f ，则ha f h a f h )()3(lim--→等于（ ）．A.3-B.3C.31-D.31【答案】A138、【99269】（单项选择题）设)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （）．A.0B.6C.6-D.3【答案】C139、【99272】（单项选择题）设)(x f 在0=x 可导，且0)0(=f ，则=→x x f x )(lim（）．A.)0(f 'B.1C.0D.不存在【答案】A140、【102064】（单项选择题）设)(x f 在点0x 处可导，则=--+→h h x f h x f h )()3(lim000（）．A.)(0x f 'B.)(20x f 'C.)(30x f 'D.)(40x f '【答案】D141、【102083】（单项选择题）设1)1(2-=+xx f ，则=')1(f （）．A.0B.1C.2D.1-【答案】A142、【98458】（填空题）设x y tan ln =，则=22dx yd _____．【答案】x x 2cot 2csc 4⋅-143、【98463】（填空题）设222e xy x ++=，则='y _____．【答案】2ln 22xx +144、【98464】（填空题）若)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则=')2(f _____．【答案】4145、【102093】（填空题）设xx x f 3)(⋅=，则='')0(f _____．【答案】3ln 2146、【102094】（填空题）设xx y -+=11ln，则='y _____．【答案】212x-147、【65143】（解答题）设xx y arccos 1ln-=，求)0(y '．【答案】解：x x y arccos ln 21)1ln(21--=148、【65154】（解答题）求曲线21xe y -=的平行于直线012=+-y x 的切线方程．【答案】解：设切点为),(00y x直线012=+-y x 的斜率为2．()()()0101022202x x x x x y e e x x -==-='--，依题意，应有可解得：1,100=-=y x 即：切点为)1,1(- 故所求为：032),1(21=+-+=-y x x y ．149、【81963】（解答题）求曲线xy 1=过点)0,2(的切线方程．【答案】解：设切点为),(00y x ，由题设，切线过切点与已知点）（0,2，其斜率为2000--x y又21x y -='，210x y x x -='=为切线斜率，从而2010020--=-x y x切点在曲线上，又有01x y =解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-000020121x y x y x 得10=x ，10=y ，而11-='=x y故所求切线方程为：)1(11-⋅-=-x y 即02=-+y x150、【81965】（解答题）设曲线)(x f y =上任意一点),(y x 处的切线斜率为该点纵坐标与横坐标之差，且曲线过坐标原点，求此曲线方程．【答案】解：依题意，有x y y -='，即x y y -=-'，且00==x y⎰⋅-dx 1=x -⎰⎰----=⋅-)(x xe xd dx ex =dxe xe x x ⎰---=x xe xe--+通解为)(c e xe e y x x x ++=--=xce x ++1将00==x y 代入通解，得1-=c 故所求为xex y -+=1151、【102102】（解答题）求曲线211x y +=的平行于x 轴的切线方程．【答案】解：22)1(2x x y +-='，由题设，应有0,02==x x又当1,0==y x故所求为：01=-y ，即1=y152、【102123】（解答题）求曲线2+=xxe y 上0=x 处的切线方程．【答案】将0=x 代入方程，得2=yx x xe e y +='，10='=x y故所求为：)0(12-⨯=-x y ，即2+=x y第四章 微分中值定理与导数应用153、【44045】（单项选择题）设)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x ，在点0x 的空心邻域)(),(x g x f ''存在，且0)(≠'x g ，a 是常数，则下列命题中正确的是（ ）．A.若a x g x f x x =→)()(lim0，则a x g x f xx =''→)()(limB.若∞=→)()(lim0x g x f x x ，则∞=''→)()(limx g x f xxC.若a x g x f x x =''→)()(lim 0，则a x g x f xx =→)()(limD.若)()(lim 0x g x f x x ''→不存在，则)()(lim0x g x f x x →不存在 【答案】C154、【44050】（单项选择题）)(0x f '不存在是)(0x f 为极值的（ ）． A.充分条件 B.必要条件C.充分必要条件D.以上说法都不对 【答案】D155、【44051】（单项选择题）设)(x f 处处连续，且)(,0)(21x f x f '='不存在，则下列说法正确的是（ ）．A.1x x =与2x x =都一定不是)(x f 的极值点B.1x x =与2x x =都可能是)(x f 的极值点C.1x x =是)(x f 的极值点，而2x x =一定不是极值点D.2x x =是)(x f 的极值点，而1x x =一定不是极值点【答案】B156、【44052】（单项选择题）设0)(,0)(00=''='x f x f ，则)(0x f （ ）． A.必是)(x f 的极大值 B.必是)(x f 的极小值 C.一定不是)(x f 的极值D.可能是也可能不是)(x f 的极值 【答案】D157、【44054】（单项选择题）设)(x f 是),(a a -内的连续偶函数，且当0<<-x a 时，)0()(f x f <，则下述结论正确的是（）．A.)0(f 是)(x f 在),(a a -的极大值，但不是最大值B.)0(f 是)(x f 在),(a a -的最小值C.)0(f 是)(x f 在),(a a -的极大值，也是最大值D.点))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点【答案】C158、【65205】（单项选择题）0)(0='x f 是函数)(x f y =在点0x 处取得极值的（）．A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.以上说法都不对 【答案】D159、【65245】（单项选择题）曲线xx x f +=1)(2的拐点的个数是（ ）．A.0B.1C.2D.3【答案】B160、【99278】（单项选择题）函数x x x f ln 21)(2-=的单调增区间是（）．A.)1,0(B.),1()0,1(+∞⋃-C.),1(+∞D.)1,1(-【答案】C161、【102065】（单项选择题）若函数)(x f 在),(b a 内是单调减函数，则)(x f '（）．A.0≤B.0<C.0≥D.0>【答案】A162、【102078】（单项选择题）函数2)1(3+-=x y 的拐点的个数是（ ）．A.3B.2C.1D.0【答案】C163、【102084】（单项选择题）曲线)1ln(2x y +=的拐点的个数是（ ）．A.0B.1C.2D.3【答案】C164、【102088】（单项选择题）0)(,0)(00>''='x f x f 是函数)(x f y =在点0x x =处有极值的（ ）． A.必要条件 B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件 【答案】B165、【98490】（填空题）曲线xxe y -=的拐点坐标是_____． 【答案】)2,2(2e166、【98491】（填空题）函数)2()1()(2+-=x x x f 的极大值点是_____． 【答案】1-=x167、【98492】（填空题）函数)1ln()(x x x f +-=的凹区间是_____．【答案】),1(+∞-168、【98493】（填空题）函数xx x f )3()(-=在]4,0[上的最小值是_____．【答案】2-169、【98499】（填空题）曲线xxe y -=的拐点坐标是_____． 【答案】)2,2(2e170、【102095】（填空题）曲线3)2(3--=x y 的拐点坐标是_____．【答案】)3,2(-171、【102096】（填空题）函数x xe x f 2)(-=的凹区间为_____．【答案】),1(∞+172、【65196】（解答题）求极限xxex xx sin lim20-→．【答案】解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00sin lim20x xe x xx=⎪⎭⎫⎝⎛-+→00cos 2lim0x xe e xx x x =xxe e e x xxx sin 2lim0+++→=1173、【65198】（解答题）求函数x xy -=2的极值．【答案】解：定义域为]2,(-∞令0='y 由034=-x 得驻点34=x当234<<x 时，0<'y ；当34<<∞-x 时，0>'y ，所以y 在34=x 取极大值．所以694323434234)34(==-==y y 极大174、【65201】（解答题）求极限xe x xx sin 1lim 20-→--．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛---→00sin 1lim 20x e x x x175、【65217】（解答题）求极限xxe x x cos 1sin )1(lim0--→．=()⎪⎭⎫⎝⎛-+→00sin cos 1sin lim 0x x x e e x xx=()()xx x x x e e e exx x xx cos sin 1cos cos sin lim 0--+++→=2176、【65220】（解答题）求极限x x x ln 1lim21-→．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛-→00ln 121limx x x=2177、【65234】（解答题）用12米塑钢做一个如图所示形状的窗框，其中1:2:=BC AB ．问：如何设计宽高的尺寸，可使采光最好？【答案】解：设宽为x ，高为y ，由题设，面积s 可表为xy s =①且y x ,满足 12373=+y x ②由②：)4(79)312(73x x y -=-=③③代入①，有：)4(792x x s -=x s 718736-='，令0='s ，得驻点2=x 又718-=''s ，0718)2(<-=''s ，s 在2=x 取最大值． 当2=x 时，由③可得718=y故当2=x ，718=y 时，面积最大，即采光最好．178、【65240】（解答题）将边长为定值a 的正方形铁皮各角剪去大小相同的正方形小块，做成无盖的盒子，问剪去的正方形小块的边长为何值时，可使盒子的容积最大？【答案】解：示意图见图11-2设剪去的正方形小块的边长为x ，记体积为V ，则令0='V ，由081222=+-a ax x，得6a x =，2a x =（舍去）故当正方形小块边长为6a 时，小盒容积最大．179、【65243】（解答题）求极限x e e xx x 2sin 0lim-→．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛-→00lim2sin 0x e e x x x180、【65252】（解答题）求极限xx x x cos 1)12(lim--→．181、【65257】（解答题）计算极限2222lim--→x x x x ．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛--→0022lim22x x x x182、【65261】（解答题）设函数x bx x a x f 3ln )(2-+=在1=x 处取得极值，且极值为0，求b a ,的值．【答案】解：32)(-+='bx x ax f在1=x 处取极值，有032=-+b a 极值为0，有01311ln 2=⋅-⋅+b a 即03=-b 所3=b 将3=b 代入032=-+b a 中，知036=-+a ，3-=a 故3-=a ，3=b183、【65263】（解答题）求函数13)(23--+=x x xx f 的凹凸区间和拐点坐标．【答案】解：定义域),(+∞-∞令0)(=''x f ，得1-=x 当)1,(--∞∈x ，0)(<''x f ； ),1(+∞-∈x ，0)(>''x f凹区间为),1(+∞-，凸区间为)1,(--∞，拐点为)2,1(-184、【65269】（解答题）欲建一个底面为正方形的蓄水池，使其容积为定值α，若池底单位面积造价是四壁单位面积造价的二倍，当底面边长为多少时，可使总造价最低．【答案】解：设底面边长为x ，深为y ，四壁单位面积造价为m ，记总造价w图3-3依题意， mxy mx w 422+=①且 a y x=2②由②：2x a y =③③代入①：xma mx w 422+= ),0(+∞∈x令0='w ，由0443=-ma mx，得唯一驻点3ax =又384x mam w +=''，012)(3>=''m a w ，w 在3ax =取唯一极小值，即当底面边长为3a时，总造价最低．185、【65272】（解答题）借用一面墙，围成一个矩形的场地，使其面积为72平方米，问：与现有墙平行的一面墙的长度为多少时，可使周长最小．【答案】解：示意图见图2-3，设置与现有墙平行的墙的长度为x ，宽为y ，依题意，有：周长 y x L 2+=①且 72=xy ②由②，xy 72=，代入①:xx L 144+=令0'=L x ，得驻点12=x 又x Lx3''288=，61)12(''>=L x ，所以12=x 时，可使周长最小．186、【65273】（解答题）求函数xx x f 2)(-=在区间]4,0[上的最大值与最小值．【答案】解：xx xx f 111)(-=-='，令0)(='x f ，由01=-x 得)4,0(1∈=x 0)0(=f ，1)1(-=f ，0)4(=f所以0max =f ；1min -=f187、【65277】（解答题）求极限x x x cos ln 2lim →．【答案】解：⎪⎭⎫ ⎝⎛→00cos ln lim 20x x x188、【82445】（解答题）求x xe x xx sin 20lim -→． 【答案】解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00sin lim20x xe x xx189、【82446】（解答题）求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0．【答案】解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0)(∞-∞190、【91935】（解答题）求曲线xxe y =的拐点坐标．【答案】解：x xxe ey +='令0=''y ，由02=+x 得2-=x将2-=x 代入xxe y =中，有22e y -= 当2->x 时，0>''y ，当2-<x 时，0<''y 拐点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--222e ， 191、【102101】（解答题）求曲线1234+-=x xy 的凹凸区间及拐点．【答案】解：定义域为),(+∞-∞)1(121212,64223-=-=''-='x x x x y x x y 令0=''y ，有1,0==x x)1(=y ，1)0(=y凹区间为),1()0,(+∞-∞ ，凸区间为)1,0(，拐点为)0,1(),1,0(192、【102103】（解答题）欲围一个面积为150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元，问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用材料费最少？【答案】解：设所围场地正面长为x 米，另一边长为y 米，围墙高度为一个单位（米），由场地面积150=xy ，从而xy 150=．设四周围墙所使用的材料总费用为)(x f ，则有215069)(x x f ⨯-='，令0)(='x f 得驻点10=x （10-=x 舍去）31800)(x x f =''，且08.1)10(>=''f ．所以)10(y 为最小值． 由于只有一个驻点，由实际意义可知最小值存在，一般情形下不必再求0)10(>''y （或0<），即可判定10=x ，15=y 为所求．也即当围墙正面长为10米，侧面长为15米时，所用的材料费最少．193、【102104】（解答题）设点)1,1(是曲线c bx ax xy +++=23的拐点，且曲线在2=x 取极值，求c b a ,,的值．【答案】解：b ax xy ++='232，由y 在2=x 取极值，应有2=x 时，0='y ，即：0124=++b a ……①=''y a x 26+，由)1,1(为拐点，应有1=x 时，0=''y ， 即：062=+a ……②由拐点)1,1(在曲线上，其坐标应满足曲线方程，即 11=+++c b a ③由②，3-=a 代入①，0=b ；一并代入③，3=c ．194、【102105】（解答题）用薄铁皮做一个横截面为半圆的无盖水槽，使其容积为定值V ，当截面圆半径和水槽的长各为多少时，可使所用薄铁皮的面积最小？【答案】解：设横截面半径为x ，水槽长为y ，记表面积为S ，则xy x S ππ+=2①且V y x =221π②由②：22x Vy π=③③代入①：xVx x Vx x S 22222+=⋅+=ππππ令2222232=-=-='xVx xV x S ππ，得3πVx =又342x VS +=''π，063>=⎪⎪⎭⎫⎝⎛''ππV s所以S 当3πVx =时取最小值，当3πVx =，32πVy =时，表面积最小．195、【102106】（解答题）设点)2,1(-是曲线b ax xy +-=23的拐点，求ba ,的值．【答案】解：ax xy 232-='a x y 26-=''，依题设，应有02)1(6=--⋅a ，从而3-=a又拐点在曲线上，知b a +---=23)1()1(2，于是0=b196、【102107】（解答题）用总长度为l 米的墙围成一个矩形的场地，并加一个隔墙将矩形场地分成两部分，问隔墙长度为多少时，可使矩形场地的面积最大？【答案】解：设隔墙长度为x ，与隔墙垂直的墙的长度为y ，矩形场地面积记为s ，依题意：xy s =①且 l y x =+23②由②，有)3(21x l y -=③③代入①：)3(21x l x s -⋅=x l s 321-='，令0='s ，得l x 61=又3-=''s ，0361<-=⎪⎭⎫⎝⎛''l s ，s在l x 61=取唯一极大值，即最大值．即隔墙长为l 61时，矩形场地面积最大．197、【102108】（解答题）用L 米塑钢做一个矩形窗框，如何设计尺寸使采光最好．【答案】解：设矩形宽，高分别为y x ,，记面积为s ，依题意xy s =且L y x =+)(2，即)2(21x L y -=从而Lx x x L x s 21)2(212+-=-=L x s 212+-='，令0='s 得L x 41=，L y 41=当宽、高相等时采光最好．198、【102118】（解答题）求)ln 111(lim 1x x x --→．【答案】解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x x ln 111lim 1)(∞-∞199、【102119】（解答题）求极限xxe x x sin cos lim20-→． 【答案】解：)00(sin cos lim20x x e x x -→=xxe x x cos sin 2lim20+→=2 200、【102121】（解答题）求极限xx xe e x x x sin 2lim0----→．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛----→00sin 2lim 0x x x e e x x x =⎪⎭⎫⎝⎛--+-→00cos 12lim 0x e e x x x=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→00sin lim 0x e e x x x =xe e xx x cos lim 0-→+=2201、【102122】（解答题）求函数322)(x x x f -=在)2,0(内的极值．【答案】解：()()()32232223)1(22322x x x x x x x f -⋅-=-⋅-='令()0='x f ,得驻点1=x 和不可导点1,0==x x ，在)2,0(内只有1=x ，其余舍去． 当21<<x 时，()0<'x f ，当10<<x 时，()0>'x f所以()x f 在1=x 取极大值，()11==f f 极大第五章 不定积分202、【44059】（单项选择题）下列等式中，正确的是（ ）．A.⎰=')()(x F dx x FB.⎰+='C x f dx x f )(])([C.⎰=dx x F x dF )()(D.⎰=dx x F dx x F d )()( 【答案】D203、【44062】（单项选择题）函数x 2sin 的原函数是（ ）．A.x 2cosB.x 2sinC.x x cos sin 2D.x 2cos -【答案】B204、【44063】（单项选择题）设xe xf -=)(，则⎰='dx x x f )(ln （）．A.C x +-1B.C x +1C.C x +-lnD.C x +ln【答案】B205、【44065】（单项选择题）设x x f ln )(=，则⎰='dx e f e xx )(（）．A.C x +B.C ex+C.C e x+221 D.C e x+331【答案】A206、【44066】（单项选择题）设xx sin 是)(x f 的一个原函数，则⎰='dx x fx )(（ ）．A.Cx xx x +-sin cos B.Cx xx x +-sin 2cosC.Cxxx x +-2sin cosD.Cx xx x +-2sin 2cos【答案】B207、【44068】（单项选择题）⎰=+dx x x )1(1（ ）．A.C x +arctanB.C x +arctan 2C.Cx +arctan 21D.C x +-arctan 21【答案】B208、【66282】（单项选择题）设)(x f 有连续的二阶导数，则⎰=''dx x f x )(（ ）． A.C x f x f x +'-')()( B.C x f x f x +-')()( C.C x f x f x +'+')()( D.C x f x f x ++')()( 【答案】B209、【66283】（单项选择题）若)()(x g x f '='，则下式中一定成立的是（ ）． A.)()(x g x f = B.)()(x g C x f ⋅=C.⎰⎰=dx x g d dx x f d )()(D.⎰⎰=)()(x g d x f d 【答案】D210、【66285】（单项选择题）若⎰⎰=)()(x dg x df ，则下列等式不一定成立的是（ ）．A.)()(x g x f =B.)()(x g x f '='C.)()(x dg x df =D.⎰⎰'='dx x g d dx x f d )()( 【答案】A211、【66286】（单项选择题）设⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰--dx e f e x x )(等于（ ）．A.C e F x+--)(B.C e F x+-)( C.C eF x+-)(D.C e F x+)(【答案】A212、【70477】（单项选择题）设)(x f 是某区间内的非零连续函数，若)(),(x G x F 是)(x f 的两个原函数，则在该区间内（ ）．A.C x G x F =+)()(B.C x G x F =-)()(C.)()(x CG x F =D.)()(x G x F = 【答案】B213、【80779】（单项选择题）设C x dx x f +=⎰1)(，则⎰dx x f x )1(12等于（）．A.C x +B.C x +-C.C x +1 D.C x +-1【答案】B214、【85206】（单项选择题）下列函数中，以x x x -ln 为原函数的是（ ）．。

《高等数学》习题册参考答案说明 本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错.第一册参考答案第一章 §1.11.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤≤--<≤<≤+=--. ),(2, , ,0 , 211010101T t T T t a v T t v t at v v a va vv a v v 图形为：2.B.3.)]()([)]()([)(2121x f x f x f x f x f --+-+=， 其中)]()([)(21x f x f x F -+=为偶函数，而)]()([)(21x f x f x G --=为奇函数. 4.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<≤-<≤-<≤=.6 ,0,64 ,)4(,42 ,)2(,20 ,)(222x x x x x x x x f 5.⎩⎨⎧.)]([,)2()]([,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则x g f g f x g f g f6.无界.7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同.§1.21.（1）)1 ,0()0 ,1(⋃-=D ；（2）} , ,{2Z ∈+≠=k k k x x D πππ；（3）)1 ,0(=D . 2.1 ,4-==b a . 3.⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=,0 ,1,0 ,0 ,0 ,1 )]([x x x x g f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=-.1 ,,1 ,1 ,1 , )]([1x e x x e x f g4.（1）]2 ,0[,)1arcsin(2=-=D x y ； （2）Y ∞=+=+=022),( , )(tan log 1k a k k Dx y πππ. 5.（1）xx x f f 1)]([-=； （2）xx f f 1)(1][=. 6.+∞<<=-h r V rh hr 2 ,23122π.7.（1）a x =)(ϕ； （2）h x x +=2)(ϕ； （3）ha a h x x )1()(-=ϕ.§1.91.1-=e a .2.（1）1=x 和2=x 都是无穷间断点（属第Ⅱ类）；（2）1 ,0==x x 和1-=x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为21）（属第Ⅰ类）； 0是跳跃间断点（左极限1-，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （3）0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类），1=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类）（注意：+∞==∞+-→-ee xx x 11lim ，而0lim 11==∞--→+e e xx x ）；（4）)( 2Z ∈+=k k x ππ为无穷间断点（属第Ⅱ类）； （5）⎩⎨⎧=≠=+=∞→,0 ,0,0 ,1lim )(12x x nx nx x f xn ∴ 0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类）； （6）∵ )(lim , 0)(lim 11+∞==+-→→x f x f x x ， ∴ 1=x 为第Ⅱ类间断点，（注意：这类间断点既不叫无穷间断点，也不叫跳跃间断点，不要乱叫）； ∵ 1)(lim , 0)(lim -→→==+-e x f x f x x ， ∴ 0=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类）.3.（1）1 ,0≠=b a ； （2）1 ,≠=a e b .4.（1）21)0(=f ； （2）0)0(=f .5.证：由)()0()0(22x f f x f +=+，得0)0(=f ，于是，再由0)0()(lim )]()()([lim )]()([lim 0==∆=-∆+=-∆+→∆→∆→∆f x f x f x f x f x f x x f x x x ，∴ )(x f 在x 点连续.§1.101.)(x f 在),(+∞-∞内连续，则0≥a ；又0)(lim =-∞→x f x ，则0<b ，故选D.2.) ,2()2 ,3()3 ,(∞+⋃-⋃--∞； 210)0()(lim ==→f x f x （0是连续点）， 5858213)2)(3()3()3(3322limlim)(lim -====----→-++-+-→-→x x x x x x x x x x x f （-3是可去间断点）， ∞==-++-+→→)2)(3()3()3(222lim )(lim x x x x x x x x f （2是无穷间断点）.3.（1）a1； （2）0； （3）2e （提示：原极限x e x xe x x x x x e e )ln(lim)ln(00lim ++→→==，而=+→110 )ln(lim 加分子减x e x x x 2)1(lim )]1(1ln[lim 00==-+-++→→拆分分子等价无穷小代换x e x x e x x x x x ）； （4）21-e（提示：原极限xxx e 2sin cos ln 0lim→=，而21cos 11cos 11cos 0cos 1)]1(cos 1ln[0sin cos ln 0lim lim lim lim222-====+-→--→--+→→x x xx x x x x xxx ）； 注意：（3）和（4）都用到了等价无穷小代换：□0→时，ln (1+□)～□. （5）1； （6）不存在（左极限2-，右极限2）.4.（1）0=a ，e b =； （2）a 任意，1=b .§1.111.令)sin ()(b x a x x f +-=，则)(x f 在] ,0[b a +上连续，且0)0(<-=b f ，=+)(b a f 0)]sin(1[)sin(≥+-=-+-+b a a b b a a b a .若0)(=+b a f ，则b a +就是一个正根；若0)(>+b a f ，则由零点定理，)(x f 在) ,0(b a +内有一正根.总之，)(x f 在],0[b a +内有一正根.2.作辅助函数x x f x F -=)()(，则)(x F 在] ,[b a 上连续，且0)()(<-=a a f a F ，)(b F0)(>-=b b f ，由零点定理，) ,(b a ∈∃ξ，使得0)(=ξF ，即ξξ=)(f .3.由题设：)(x f 在] ,[1n x x 上连续，设m M 、分别为)(x f 在] ,[1n x x 上的最大值和最小值，则M x f x f x f c m n n≤+++=≤)]()()([211Λ，于是，由介值定理可知：) ,() ,(1b a x x n ⊂∈∃ξ，使得c f =)(ξ，即)]()()([)(211n nx f x f x f f +++=Λξ. 4.令)()()(a x f x f x F +-=，则)(x F 在] ,0[a 上连续.若)()0()0(a f a f f =+=，则取 00=x ，命题成立；设)()0(a f f ≠，则由)()0()0(a f f F -=，而)2()()(a f a f a F -= )]()0([)0()(a f f f a f --=-=，所以，)0(F 与)(a F 异号，于是，由零点定理可知：) ,0(a ∈∃ξ，使得0)(=ξF ，即)()(a f f +=ξξ，命题成立.第一章 总复习题1.⎪⎩⎪⎨⎧>≤=+.0,1 ,0 ,)]([211x x x f x ϕ 2.22sin 2x. 3.) ,(∞+e .4.证：∵A x f x x =→)(lim 0，∴对于事先给定的无论多么小的正数ε，都存在正数δ，只要δ<-<00x x ，就必有ε<-A x f )(成立①（这就是函数极限的“δε-定义”）； 又∵)( lim 00x x x x n n n ≠=∞→，∴对①中的正数δ（因这样的正数是任意的），必存在自然数N ，只要N n >，就必有δ<-0x x n 成立（这就是数列极限的“N -ε定义”）.但对任何n ，0x x n ≠，所以这时也就有δ<-<00x x n 成立②.把①②两步结合起来就是(从②推回到①)：对于事先给定的无论多么小的正数ε，（由①，0>∃δ，从而由②）必存在自然数N ，只要N n >，（①②同时成立）就必有 ε<-A x f n )( 成立. 故由极限的定义可知：A x f n n =∞→)(lim .附注：本题是函数极限与数列极限相结合的题目，抽象且有点难，但提供了一个重要的求极限的方法，即数列极限可作为函数极限的特殊情况来处理，比如下面：∵a xa x x e x a x a x x x x ln ln lim 1lim 1lim0ln 00==-=-→→→（用到了□→0时，e □-1～□）, ∴a xa naa n x x nn nn ln 1lim 11lim)1(lim 01=-=-=-+→∞→∞→. 5.（1）23-； （2）2011 ,20111； （3）5，531. 6.提示：因)(x f 在],[b a 上连续，而 )(m ax )(m in ],[2)()(2],[x f M m x f b a x d f c f kb a x ∈+∈=≤=≤=，对)(x f 在],[b a 上用介值定理.7.（1）21（提示：每个括号通分，分子因式分解，并与分母约分，再整理得n n 21+）； （2）a-11（提示：给极限式子乘)1(a -，打开括号得)1(4na -，并利用一个重要结果)1( 0lim <=∞→q q n n ）；（3）ab--11（提示：分子、分母都利用等比数列前n 项和公式：1减公比分之首项减去末项乘公比，再利用（2）中的重要结果）；（4）21（提示：有理化，分子、分母再同除以n 或利用重要结果：当0 ,000≠≠b a 时，⎪⎩⎪⎨⎧>>∞>=<<==++++++++∞→----∞→.0 ,,0 ,,0 ,0 lim lim 00002211022110m k m k m k n b na b n b n b n b a n a n a n a b a mkn m m m m n k k kn ΛΛ ）； （5）t （提示：利用重要极限）；（6）2-（提示：分母就是x 2sin -～2x -，再拆分）；（7）2b a +（提示：有理化，再利用（4）中重要结果）； （8）4（提示：分子减1加1并拆分，再利用等价无穷小代换：□→0时，cos 1-□～21□2）； （9）e （提示：原极限e e e x x x x x x ==→+→=22220tan )1ln(0lim lim 等价无穷小代换）； （10）2)1(+n n （提示：分子因式分解，先分出个因式)1(-x 并与分母约简，再分出个因式)1(-x 仍可与分母约简，聪明的人一下子就可分出因式2)1(-x ）； （11）π2（提示：令x t -=1，则原极限]2 cos sin [lim 20t t t t ππ→=，再利用重要极限）. 8.提示：把根号进行放缩得不等式：n n n n n n n n n A nA a a a A ⋅=<+++<Λ21，并注意：1lim=∞→nn n （会推证吗？），再用夹逼定理（或叫夹挤准则，俗称“两头夹”）.第二章 §2.61.（1）)cos(21sin )cos(2xy x x xy y --； （2）)1(2xy e e e e y xyy xxy +-+； （3）y x y x -+； （4）22ln ln xx xy y y xy --（两端取对数）；（5）]111[ln )1(x x x x x x ++++（两端取对数或利用一个重要公式：若)()]([x g x f y =，则])()(ln )([)]([)()()(x f x f x g x g x f x g x f y '⋅+'⋅='）；（6）])1)(1(2)2()1(2[111222x x x x x x x x x x x x x ++++-+--+++-（利用对数求导法）. 2.（1）3222)1(])1()1[(--+--y x x y y ； （2）])1()1(213[2322422+-++y y x y y x . 3.])(arctan )()(arctan )([2222x y x y f y x f y x x y '-+'++-（提示：令xyv v u == ,arctan 而，则原方程变为 y x u f =)(，两端对x 求导得 y x y u f x y x y v '+=⋅⋅'⋅-⋅'+22111)(，再解出y '）.4.提示：求出一、二、三阶导数，代入左端化简.5.切线方程：)1(152-=-x y ； 法线方程：)1(125--=-x y . 6.（1）2t； （2）23-. 7.（1）21)1(cos ----t a ； （2）1)]([-'t f .8.)2)(1(1e e t t-+（提示：第二个方程两端对t 求导，得0d d =+t y e e y t ，解出y t e e t y -=d dee e e e e t t t t 22-=--=，并代入 t x t y x y d d d d d d = 之中再约简）.9.在时刻t ，甲船所走路程t t s 40)(1=，乙船所走路程t t s 30)(2=，两船间的距离为 t t t t d 50)30()40()(22=+=，两船间的距离增加的速度为50)(='t d .10.设y OP x ON == ,，则由木杆匀速前移知：c tx=d d （为常数）， 由题图知：OA MN y x y =-，即 x MN OA OA y -=，从而 txMN OA OA t y d d d d -=. 可见tyd d 为常量，即P 点前移的速度是匀速的.§2.71.（1）增量为-0.09，微分为-0.1；（2）增量为-0.0099，微分为-0.01.评注：①结果表明：x ∆愈小，则y y d 与∆愈接近，这就是微分的数量特征；②微分的几何特征是“以直代曲”.2.（1）C x x ++3； （2）C x +-2cos 21； （3）C e x +--； （4）C x +2arctan 21. 3.（1）x d 2； （2）x a d ； （3）x d 42； （4）x d .4.（1）x x x d 13)]13ln(2sin[3++； （2）t t t t e t t d )52(2)23(332)52ln(323+--⋅+-；（3）x x x x d )21(sec )21tan(8222++. 5.150110+. 第二章 总复习题1.A 、E .2.)(x f 在0=x 处可导必连续.由连续有：)0()2sin (lim lim 0f x b e x ax x =+=+-→→，求极限得：1=b ；由可导有：⎪⎩⎪⎨⎧=='=--=''='--+→+→-+-+-,2lim )0(,01lim )0( , )0()0(01)2sin 1(00x x x ax x f a x e f f f 而 所以，2=a . 3.由)0(f '存在，则)0()0(+-''f f 、存在且相等. 而x f x f x x f x f x f )0()(00)0()(0lim lim )0(-→--→+++=='， )0(lim lim lim )0()0()(0)0()(0)0()(0+-→----→--→-'-=-==='++-f f xf x f x x f x f x x f x f x ， 要使)0()0(+-'='f f ，只有0)0()0()0(='='='+-f f f . 4.（1）222211))((x a x ax axa +++-+； （2）]ln [ln 12xx x x x x x x ++（提示：===xx x x xexy lnxexx e ln ln ⋅，再利用指数复合函数求导；或者利用取对数求导法）；（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥<=--,1 ,,1 ,)(11x e x e x f x x 则 1<x 时，x e x f --='1)(； 1>x 时，1)(-='x e x f ；1=x 时，)1(lim 11lim )1(11111111+--→--→-'==≠-=='-+--f f x e x x e x x x ，则在1=x 处不可导.（4）4 ,1--； （5）tet t t t t t t t 22222)2sin cos 2()2cos 2(sin 4 , 2sin cos 22sin sin 2-+-+； （6）])6(1)5(1[!100101101+-+x x （提示：分母因式分解，并拆分，再求导）. 5.1)0(=g ，11)sin 1(lim 0)0()(lim)0(1200=-++=--='→→xx x x g x g g x x x ， 0≠x 时，x x x x x x x g 1112cos sin 21)sin 1()(-+='++='. 6.)0(lim 1lim )0( ,0)0(00)11(000)1ln(0+----+→--+→-'===='=+-f f f x x x x x x x ， 所以，函数)(x f 在点0=x 处可导，且1)0(='f ，从而必在0=x 处连续.评注：2、3、4（3）、5、6都涉及函数在一点处的导数，特别是分段函数在分界点处的导数，导数的定义以及左右导数的概念起到关键的作用，务必要高度注意.7.（1）由xy y f x f y x f 2)()()(++=+，得0)0(=f .当0≠y 时，x y y f y x f y x f 2)()()(+=-+. 由已知并由导数定义，得 y y f y y f y f y f k )(0)0()(0lim lim )0(→-→=='=， k x x f y x f y x f y +=='-+→2lim )()()(0.故对一切) ,(∞+-∞∈x ，)(x f 皆可导，且 k x x f +='2)(.（2）由k x x f +='2)(，知C kx x x f ++=2)(，再由0)0(=f ，得kx x x f +=2)(.第三章 §3.31.)0( !2)(32之间与介于x x e x x x f ξξ++=. 2.) 1( )1()1(])1()()(1[)(1212之间与介于x x x x x x f n n n n-+-++++++++-=+++ξξΛ.3.2)1(2)1(76)(-+-+=x x x f .4.（1）61-（提示：分母的x sin ～x ，从而只需把分子的x sin 展开到3x 阶）； （2）121-（提示：把分子的x cos 和22xe-都展开到4x 阶）.§3.41.（1）) ,0(21∈x 单减，),(21+∞∈x 单增；（2）),(4 3a x -∞∈单增，),(4 3+∞∈a x 单减. 2.（1）证①：利用拉格朗日中值定理.令xe xf =)(，则x x e x f e e f x f x >⋅=-'=-=-ξξ)0)(()0()(0.证②：利用单调性.令1)(--=x e x f x ，则1)(-='xe xf .当0<x 时，0)(<'x f ，从而)(x f 单调减；而当0>x 时，0)(>'x f ，从而)(x f 单调增.故对一切0≠x ，0)0()(=>f x f ，即要证的不等式成立.评注：①虽抽象，但更简洁；②虽通俗，但稍显麻烦.（2）令)1sec 2(sin )( ,2sec cos )( ,2tan sin )(22-=''-+='-+=x x x f x x x f x x x x f .当20π<<x 时，)(0)(x f x f '⇒>''单调增0)0()(='>'⇒f x f )(x f ⇒单调增， 故当20π<<x 时，0)0()(=>f x f ，即要证的不等式成立（好好体会推理过程）. 评注：本题与（1）和下面的（3）的不同之处在于：需两次利用单调性.（3）参考上题方法或用泰勒公式：①利用单调性方法：令331tan )(x x x x f --=，则 ))(tan (tan tan 1sec )(2222x x x x x x x x x f -+=-=--='， 当20π<<x 时，0)(>'x f ，所以，)(x f 单调增，故当20π<<x 时，0)0()(=>f x f . ②利用泰勒公式：令x x f tan )(=，则x x f 2sec )(='，x x x x f tan sec sec 2)(=''， )1tan 4tan 3(2)sec sec tan 3(2)(24222++=+='''x x x x x x f ，x x x x x x x x f23223)4(sec )tan 2tan 3(8)sec tan 8sec tan 12(2)(+=+=（很麻烦），，之间与介于其中) 0 ( )( !4)(!3)0(!2)0()0()0()(tan 43314)4(32x x R x x x f x f x f x f f x f x ξξ++=+'''+''+'+== 当20π<<x 时，0)(4!4)(4)4(>=x x R f ξ，故 331tan x x x +> 成立. 评注：对本题而言，①似乎简单一些，但对②而言，得到泰勒公式（实际上是麦克劳林公式）后，其结果却更显而易见.擅长泰勒公式（或麦克劳林公式）的同学建议用②，其它几个题目也有类似的情况.总之，此类方法要好好掌握.（4）参考（1）题方法或用泰勒公式：4)1(14132432)1ln(x x x x x ξ+⋅-+-=+，而 0)(4)1(14134>⋅=+x x R ξ（ξ介于0与x 之间），故 3232)1ln(x x x x +-<+. 3.原不等式化为a a x a x a ln )ln(<++，设x xx f ln )(=，则2ln 1)(xx x f -='.所以，当e x >时， 0)(<'x f ，从而)(x f 单调减，故aax a x a ln )ln(<++，即原不等式成立. 评注：把要证的不等式先等价转化再利用单调性的方法会大大简化.4.不一定，例如，x x x f sin )(+=在) ,(∞+-∞内单增，但x x f cos 1)(+='在) ,(∞+-∞内不单调.5.) ,(512-∞∈x 单增，),(512+∞∈x 单减；10205205241m ax 512)(===f f ，无极小. 6.函数)(x f y =处处连续，322232a x x y -⋅='，有一个驻点0=x 和两个不可导点a x ±=；0)(=±a f 为极小值，也是最小值；34)0(a f = 为极大值，但无最大值.7.在]1 ,0[上函数单减，故4)0(π=f 最大，0)1(=f 最小. 8.令x bx x a x f ++=2ln )(，则应有 012)1(=++='b a f ，014)2(2=++='b f a ， 求得 32-=a ，61-=b ；而)1(f 极小，)2(f 极大. 9.提示：因函数处处可导，而可导的极值点必为驻点. 但 c bx ax x f ++='23)(2 当0)3(434)2(22<-=⋅⋅-≡∆ac b c a b ，即 032<-ac b 时无零点.§3.51.)1 ,0(∈x 时，凸；) ,1(∞+∈x 时，凹；拐点)7 ,1(-.2.82±=k ，各有两个拐点) ,1(22±±. 3.3 ,0 ,1-===c b a .4.tt y 1143)1(2⋅-=''，0=''y 的点 1±=t ，y '' 不存在的点 0=t ；有三个拐点：)2 ,1(11-↔-=t ，)0 ,0(02↔=t ，)4 ,1(13↔=t .§3.61.其图形如下所示：2.点) ,(22ln 22-处曲率半径有最小值233. 4.（1）铅锤渐近线两条：2=x 和3 -=x ；水平渐近线一条：1=y ；（2）铅锤渐近线：ex 1-=；斜渐近线：x y =.第四章 §4.11.（1）x e x 2cos 233+--； （2）C x x x +--33222 ,22； （3）C x x ++441221； （4）1ln +=x y .2.（1）C x x x x ++++22123232；（2）C x x ++-4147474；（3）C x x x ++-arctan 331； （4）C x +7272ln 121； （5）C x x +-arcsin 2arctan 3； （6）C e xxe ++1)5ln(1)5(； （7）C x +-cot 21；（8）C x x +-sec tan ；（9）C x x ++cos sin ；（10）C x x +-cot tan . §4.21.（1）C x x ++++])1[ln(411441； （2）C b ax nn n a n++++1)(2)1(2；（3）C x +)arcsin(tan ； （4）C x x +-ln 1； （5）C x+-10ln 1arccos 22110；（6）C x +2)(arctan； （7）C x+2sin 2212arctan ； （8）C x xe e ++1ln . 2.（1）C x x ++21； （2）C x x+--32arccos 39； （3）C xx +-442；（4）C x x x +++-)21ln()2()2(32323433132； （5）C x x x x +---)1(4arcsin 2222122； （6）提示：令 sin t x =（只需 20π<<t 即可），则 原式]d [d d cos sin )sin (cos d 21cos sin cos sin sin cos 21cos sin cos ⎰⎰⎰⎰++++-+++===t t t t tt tt t t tt tt t t （很巧妙）C x x x Ct t t t +-+++++==]1ln [arcsin ]cos sin ln [22121回代把.第五章 §5.11.提示：把区间n ]1 ,0[等份，每份长都是n1，每个小区间),,2,1( ],[1n i n in i Λ=-都取右端点，则a a a n a a an a a ax a nn n n n n n n ni ninn x ln 1)ln (]1[lim )1(])(1[limlimd 11111111-=--=--==∞→∞→=∞→∑⎰. 附注：其中①利用了分解式 )1)(1(112-++++-=-n n b b b b b Λ（上式中n ab 1=）；②利用了等价无穷小代换：□→0时，1-a □～-□ln a .2.（1）极限中的和式相当于：把区间n ]1 ,0[等份，每份长都是n1，每个小区间 ],[1n in i - ),,2,1( n i Λ=都取右端点，函数x x f +=1)(在所取点处的值再乘以小区间的长度并把它们加起来的结果（这种和有个名称，叫“积分和”），于是，按定义：原极限=⎰+1d 1x x ；（2）同理，极限中的和式是函数x x f πsin )(=在区间]1 ,0[上的积分和，于是，按定义： 原极限=⎰1d sin x x π.另外，该极限式子又可变为 ∑=∞→ni n ni n11sinlimπππ，暂不管π1，而这极限中的和式是函数 x x f sin )(= 在区间] ,0[π上的积分和，所以，仍按定义：又有 原极限⎰=ππ 01d sin x x .（同一式子导致两种不同的表示说明：“会看看门道”的道理）3.（1）不可积，无界；（2）可积，连续.4.（1）⎰πd sin x x ； （2）⎰-112d x x .§5.21.（1）2110 152d 2≤≤⎰+x xx （提示：在]1 ,0[上，211522≤≤+x x ，再利用定积分的估值不等式性质）； （2）412222d 2---≤≤-⎰e x e e xx（提示：在]2 ,0[上，2241e e e x x ≤≤--，再利用定积分的估值不等式性质，注意：下限大，而上限小）.2.（1）反证法：若存在一点] ,[0b a x ∈，使0)(0≠x f ，则由题设可知，必有0)(0>x f ，又因)(x f 连续，从而存在0x 的一个邻域) ,(00δδ+-x x ，在这邻域内0)(>x f .于是，就有0d )(00>⎰+-δδx x x x f ；但另一方面，又由题设可知0d )(d )( 00=≤⎰⎰+-bax x x x f x x f δδ，矛盾. 故对一切] ,[b a x ∈，都有0)(=x f ，即在] ,[b a 上，0)(≡x f .（2）证：由题设可知：存在一点] ,[0b a x ∈，使0)(0>x f ，从而存在0x 的一个邻域) ,(00δδ+-x x ，在这邻域内0)(>x f .于是，就有0d )(00 >⎰+-δδx x x x f ，故0d )(d )(00 >≥⎰⎰+-δδx x bax x f x x f .（3）这是（1）的直接推论. 3.提示：①先对定积分用“积分中值定理”再取极限.②也可以“两头夹”：01sin d sin 01sin sin 01−−→−≤≤⇒≤≤∞→⎰n n n nnx x x .§5.31.（1）0； （2）⎰-xt t e 0 d 2； （3）)0()(f x f -； （4）0 ,0 ,0 ,2x xe -； （5）x e ycos --.2.（1）81221213x x x x ++-； （2）x x x x cos )sin cos()sin ()cos cos(22⋅--⋅ππ.3.（1）2（连续用两次洛必达法则，还可先把分母等价无穷小代换后再用洛必达法则）；（2）提示：0→x 时，2sin x ～2x ，12-x e ～x 21，x arctan ～x ，所以，原极限=01)1ln(lim 22lim d lim2201)1ln(0221 01)1ln(022002=++⋅→++→++→==⎰x x xx x tx x x x x t t x 约简型洛； （3）原极限21lim 2]1d [lim 2d 2lim202222200 02 0=⋅⋅→→→=⎰=⎰=xx x x t x xx x t x e e xte xe et e 型洛约简型洛； 注意：在极限的运算过程中，极限为1的变量式子21xe 直接“抹掉了”（想想合法吗 ？）.（4）原极限)(lim 1)(d )(1 0a f a x f x t t f ax xa=⎰⋅+⋅→=型洛.4.（1）原式4d sin 42 0==⎰πx x ； （2）原式1d )1(210 =-=⎰x x ；（3）原式⎰-++=+=0141121d )3(2πx x x ； （4）原式3821 2211 0d d )1(=++=⎰⎰x x x x . 5.当)1 ,0[∈x 时，231 02d )(x t t x x==Φ⎰； 当]2 ,1[∈x 时，=+=Φ⎰⎰xt t t t x 11 02d d )(61221-x （这一步是关键）. 故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=Φ,21,,10 , )(61221331x x x x x 显然，)(x Φ在]2 ,0[内连续（显然吗?）.6.当)0 ,(-∞∈x 时，0d 0 d )()(00 =-==Φ⎰⎰xx t t t f x ；当] ,0[π∈x 时，=Φ)(x )cos 1(d sin 2121x t t x-=⎰； 当) ,(∞+∈πx 时，⎰⎰⎰+==Φxx t t t t t f x 0 210 d 0d sin d )()(ππ1=.故 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<=Φ. , 1 , 0 , )cos 1(,0 , 0 )(21ππx x x x x 7.先用一次洛必达法则得 xb xa x x cos lim120-=+→，因分子极限为0，所以分母极限也一定是0（想想为什么？），从而 1=b ；这时分母 x cos 1-～221x ，再一次取极限得 4=a . 8.提示：当) ,(b a x ∈时，2)(d )())(()(a x tt f a x x f xax F ---⎰='，只需证分子 0≤ 即可.于是，若令⎰--=x at t f x f a x x g d )()()()(，则)()()()()()()(x f a x x f x f a x x f x g '-=-'-+='，因在),(b a 内0)(≤'x f ，所以，在),(b a 内0)(≤'x g ，从而在),(b a 内0)()(=<a g x g .§5.71.（1）22ωω+p （连续两次分部积分，并注意会出现循环现象，再移项求解）； （2）2π. 2.1>k 收敛；1≤k 发散； 当1>k 时，11)2(ln 1112)(ln 1112)(ln 1d --⋅=⋅=-∞+-∞+⎰k k kk x k x x x ，而函数 )0( )()2(ln 1>=x x f xx 当 2ln ln 1-=x 时取得它在) ,0(∞+内的最小值=m in f 12ln ln 1)2ln (ln +-，所以，当2ln ln 11-=-=k x ，即 2ln ln 11-=k 时广义积分的值最小.3.左c x cx c x e 22)1(lim =+=-∞→， 右⎰⎰∞-∞-∞--==ct ctct t e te e t 221221 221d )(dc c c tc c e e e 241224122)(-=-=∞-， 应有 1412=-c ，所以 25=c . 第五章 总复习题1.（1）A ； （2）C ；（3）提示：0=M 是奇函数在对称区间上的积分；P 的第一部分积分为0，第二部分积分为负，所以，0<P ；而N 的第一部分积分为0，第二部分积分为正（很容易算出，等于几呢？），所以，0>N ，故选D ；（4）提示：⎰⎰-=x xt t f t t t f xx F 02 02d )(d )()(，则⎰='xt t f x x F 0d )(2)(，而极限10 0 00d )(2lim d )(2lim )(lim -→→→⎰⎰=='k xx k x x k x x t t f x t t f x x x F 2000)1()(2lim-→-=k x x k x f 型洛0)0()(lim0 3 ≠'=→==f x x f x k 时当才会存在，故选C ；（5）提示：如图所示，由题设可知：)(x f 的图形在x 轴的上方单调下降且是凹的，2S 是下边小矩形的面积，最小；3S 是梯形的面积，最大；而1S 是阴影的面积，介于其间，故选B ；（6）提示：利用周期函数的积分性质：若)()(t f T t f =+，则对任意的常数a ，积分⎰⎰=+TTa at t f t t f 0 d )(d )( 与a 无关，现在t e t f t sin )(sin = 的 π2=T ，可知：⎰⎰⎰⎰+===πππππ2 sin 0sin 2 0sin 2 0d sin d sin d sin d )()(t te t t et t et t f x F t tt，对第二个积分令 π+=u t 换元而化为 ⎰⎰-=--ππsin 0sin d sin d )sin (t etu u e t u ， 故可知：0d sin ]1[)( 0sin sin >-=⎰πt t ee x F tt 为正常数，故选A ；（7）提示：先通过换元把被积函数符号)(22t x f -中的x “拿出来”，再求导.=⎰=⎰-=-⋅---换凑22)()(d )( d )( 21 02222 0 22t x u xxtx t x f t t xf t⎰⎰=-=2221021d )(d )(x x u u f u u f ，故选A. （评注：本题的关键是换元）2.（1）0； （2）a 2sec ； （3）0； （4）0； （5）0；（6）x x f 3sin )3(cos 3-； （7）2sin x ； （8）8π； （9）3ln ； （10）π1231+. 3.（1）证①：⎰⎰⎰⎰--=-11 0d )(d )()1(d )(d )(λλλλλλx x f x x f x x f x x f （积分中值定理）)10( 0)]()()[1()1)(()()1(≤≤≤≤≥--=--⋅-=ηλξηξλλληλλξλf f f f .证②：⎰⎰⎰⎰--=-11 0d )(d )()1(d )(d )(λλλλλλx x f x x f x x f x x f0)()1()()1(=---≥λλλλλλf f .评注：两种证法仅是考虑问题出发点不同：①的核心是积分中值定理与单调性的结合；②的核心是积分的不等式性质与单调性的结合.（2）提示：分部积分，得原式⎰⎰----+=⋅-=πππππππππ 0)( 0sin 0d sin )( d )(x x f x x x xf xx x x2)( d sin )( d d sin )( 00 sin 0=-+=-+=⎰⎰⎰-πππππππππππf x x f x x x f xx ；评注：本题的特点是含有“积不出”的积分 ⎰-xt tt 0 sin d π，但并不影响要求的定积分. （3）)32ln(23++-（提示：令xet 21--=，则原积分⎰-=231d 22t t t ，再拆分）； （4）)()](2)([42222t f t f t t f ''+'（特点是参数方程，但含有变限积分）；（5）令xt u =，则u t xd d 1=，xu t 010↔，⎰=x x u u f x 01d )()(ϕ，由A xx f x =→)(0lim及)(x f连续知：0)0(=f ，A f =')0(；由 ===→⎰→→=)0(limlim)(lim 1)(0d )(00 0f x x f x xt t f x x x型洛ϕ0)0(d )0(1==⎰ϕt f ，知)(x ϕ在点0=x 处连续；==='→--→xx x x x x )(00)0()(0lim lim )0(ϕϕϕϕ 22)(0d )(0lim lim 02 0 Ax x f x x tt f x x=→⎰→=型洛； 0≠x 时，20 d )()()(x tt f x f x x x ⎰-='ϕ，且因)0(][lim lim)(lim 22d )()(0d )()(02 0 2ϕϕ'==-=⎰-⎰='→-→→=A A x tt f x x f x x t t f x f x x x A x xx拆分，故可知)(x ϕ'在点0=x 处连续，从而处处连续.评注：本题是属于对变限积分所定义的函数的可导性的研究的题目.核心是导数的定义.（6）π2（提示：先放缩分母得不等式 ∑∑∑===+<+<ni n n i i n i ni n ni n n i 1111111sinsin sin πππ， 而左端的极限（利用定积分）πππππ2111 0 111111d sin sin lim ]sin [lim sin lim ===⋅=∑∑⎰∑==∞→+∞→=+∞→n i n i n n n n n n ni n n x x n i n i n i ， 右端的极限（利用定积分）πππ21 0 11d sin sin lim ==⎰∑=∞→x x n i ni nn ，再利用夹逼定理）； 评注：本题是利用夹逼准则和定积分相结合的方法而求和式极限的题目，加大了难度. （7）首先，因分子极限为0，所以，分母极限也一定是0，于是得0=b ；由洛必达法则得 20)1ln(0cos limcos lim 3x x a xa c x x x x --=→+→=分母等价无穷小代换，可知 1=a ；进而知21=c ； （8）原式⎰⎰--+=23 1)1(1121 )1(1d d x x x x x x ，第一个积分令2x x t -=，则012121t x ↔， )411(221t x -+=，所以，221)2(110214121 21)1(1)d(2d d 22π===⎰⎰⎰----t t x t tx x ；而对第二个积分令x x t -=2，则2323tx ↔，)411(221t x ++=，所以， ⎰⎰+-=23412231)1(1d d 2t x t x x 2320223)2(11))2(12ln()d(2t t t t ++==⎰+)32ln(+=， 故原式)32ln(2++=π.评注：本题中所作的两个换元虽有相似，但却本质不同，因此，相当于两个不同的积分. （9）提示：⎰∑⎰⎰∑--=-=-+-=-=nn n k n nnk n x x f n f x x f k f x x f k f a 1111111d )()(]d )()([d )()()](d )([ 11n f x x f a nn n --=⎰--，因)(x f 单调减，则)1(d )()( 1-≤≤⎰-n f x x f n f n n ，从而 0)](d )([1 ≥-⎰-n f x x f nn ，所以 1-≤n n a a ，即n a 单调减；另一方面，对一切n ，)(]d )()([d )()(11111n f x x f k f x x f k f a n k k knnk n +-=-=∑⎰⎰∑-=+=0)()()]()([11>=+-≥∑-=n f n f k f k f n k ，即n a 有下界. 综上：n a 单调递减有下界，故由单调有界准则（或原理）可知：A a n n =∞→lim 存在. 评注：上述分析推到过程中，积分的不等式性质起到关键作用. （10）] )( )([ )( )(22222222d 1d 21 12d 1d 2⎰⎰⎰=⎰+++=++=a auuu a auuu a a uuu a u x axxx a u f u f u f x f 令 而上式右端第二个积分⎰=⎰-⋅++=1d )d ()( )(2222222a t a a t ta u a au u ua t t f u f ta 令⎰⎰+=+=au u u a a t t t a u f t f 1d 1 d )( )(22（恰与第一个积分相等）. ∴ ⎰+a x x x ax f 1 d 2 )(22⎰+=a u uu a u f 1 d )(2⎰+=a x x x a x f 1d )(2. 评注：通过两次不同的换元才最终达到目的是本题的特点.第六章 §6.51.由虎克定律：kx x F =)(（x 为弹簧伸长厘米数），由5=x 时，100=F ，即k 5100=，得 20=k ，于是，x x F 20)(=，故 2250d 20d )(150 15===⎰⎰x x x x F W （克厘米）.2.如图所示，沙堆母线AB 的方程为 1=+hyr x ，即)1(h yr x -=.沙的比重2000=ρ公斤/米3.对应于薄层]d ,[y y y +，则y yr y x y V y W h y d )1( d d d 222-===πρρπρ，故 22350022 d )1( h r y yr W hh y ππρ=-=⎰. 3.（1）660d )8(10 ,d )8(10d 6=+=+=⎰x x F x x F （吨）；（2）设应升h 米，则 )11(60d )8(10 2 ,d )8(10d 60 +=++=++=⎰h x h x F x h x F ，于是，应有 )11(606602+=⋅h ，故 11=h （米）.4.（1）AB 的线密度为l M，)(d )( 0 2a l a kmM x a x l kmM F l +=+=⎰（k 为引力常数）； （2）引力分解为两个分力，由对称性，x x a l kmMF F x d )(d ,022+==，x x a l kmMax x a l kmM F y d )(cos d )(d 232222+=⋅+=ϕ， 222 2 232242d )(la a kmMx x a l kmMa F l l y +=+=⎰-. §6.61.232211d 2 e x x xe y -==⎰-. 2.12d )23( 3231=+=⎰t t t v （m/s ）.3.mT T I t t i 21 021d )(I ==⎰. 第六章 总复习题1.23+-=x y ； )3 ,( , )1 ,(2921-； 31613 22123d ])[(=--=⎰-y y y A . 2.) , 2(4πa ；⎰⎰+2 42214 0221d )cos 2( d )sin 2( πππθθθθa a ； 22)1(a -π. 3.4ln 141+-=x y （提示：曲线]6 ,2[ ln ∈=t x y 在处的切线 方程为)(ln 1t x t y t -=-，即1ln 1-+=t x y t.题设中所指的 面积为⎰--+=-=62 8d ln )2ln 2(2)(x x t S S t S t曲边梯形梯形6ln 62ln 2ln 416-++=t t. 令0)(4162=+-='ttt S ，求得唯一驻点为]6 ,2[4∈=t ，从而曲线上的点为)4ln ,4(）.4.)32ln(6++（提示：抛物线221x y =与圆322=+y x 的右交点为)1 ,2(A ，如图：由对称性，所求的弧长为⎰⎰⎰+='+==2220 2 d 12d 12d 2x x x y s l OA）.5.222342 , ab ab ππ（提示：椭圆绕直线b y =旋转所得的 立体与把椭圆向上平移b 个单位再绕x 轴旋转所得的立体一样大小.如图所示：所求的体积为⎰--=aax y y V 2221d ])()[(π⎰-----+=aaa x a x xb b b b 22d ])1()1[(2222π⎰⎰-⋅⋅=-=-aabaa a x x x a xb 022 2d 42d 14222ππ 2 8 222412ab a a b πππ=⋅⋅=）. 6.0 , 2 , 35==-=c b a （提示：因抛物线过原点，∴0=c .如图：由题意，得图中阴影的面积为231 0294d )(ba x bx ax +=+=⎰ ①；此阴影绕x 轴旋转所得的立体的体积为)(d )(23121251122b ab a x bx ax V ++=+=⎰ππ.由①得)(2394a b -=，并代入V 的表达式而转化为求)(a V 的最小值问题，令0)(='a V ，可得唯一驻点35-=a ，从而2=b ）. 7.提示：与曲线221-+=x x y 关于点)2 ,(p p 对称的曲线方程，是从21211-+=x x y 以及p x x =+)(121 和p y y 2)( 121=+中消去1y 和1x 而得到的，即 224)14(222++-++-=p p x p x y .设1y 与2y 的交点横坐标为)( βαβα<、，则所围面积为33112)(d )()(αββα-=-=⎰x y y p S .令21y y 、右端相等，得022222=--+-p p px x ，解之得βα、，并令判别式大于0解得 21<<-p ，23231])12(9[)(--=p p S ，21=p 时，)(p S 取最大值9.8.如图所示，设球的比重1≡ρ，半径为r ，则对应于 薄层]d ,[x x x +上的体积微元V d 上的功的微元为,d ])([1d d d 222x r x r gx x g x y x g V W --=⋅⋅⋅=⋅⋅=ππρ∴=-=⎰r x x rx x g W 2 02d )2(π)s /m 8.9( 2434=g g r π. 9.如图所示，水深x 处宽为x d 的面积微元x y A d 2d =上所受的压力微元为 x x gxA gx F d 2d d 22ρρ==，∴ ===⎰g x x x g F ρρ5162 0d 2N 31360； 设压力加倍时闸门下降m h , 则⎰+=2d )(22x x h x g F ρh g F ρ38+=，即 51638=h ，∴ =h m 2.1.其中ρ为水的比重. 定积分应用总评住：对所有专业而言，面积、体积和弧长应是最基本的；力学、物理方面的应用因专业而异；限于篇幅，未涉及经济和其它方面的应用.第二册参考答案第一章 §1.31.（1）B ；（2）C ；（3）C ；（4）A .2.（1）证：∵a x n n =∞→lim ，∴对于事先给定的无论多么小的正数ε（简记为0>∀ε），都存在自然数N （记为N ∃），只要N n >，就必有不等式ε<-a x n 成立，从而对任一自然数k ，当N k n >+（即k N n ->）时，不等式ε<-+a x k n 仍成立，故由数列极限的定义可知：a x k n n =+∞→lim .（2）证：∵a a n n =∞→lim ，∴N n N >∃>∀ , , 0ε时，ε<-a a n ，这时也必有ε<-≤-a a a a n n ，故a a n n =∞→lim .反例：n n a )1(-=，则1)1(lim lim =-=∞→∞→n n n n a 存在，但nn n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在（即n n a )1(-=发散）.（3）证：∵0lim =∞→n n x ，∴N n N >∃>∀ , , 0ε时，ε<-0n x ε<-⇔0n x 成立，故0lim =∞→n n x .（4）证：∵)2( 112)12(232231232223222>=<==--+-+-+n nn n nn n n n nn ，∴][ , 01εε=∃>∀N （取整）只要N n > （从而ε1>n ），必有ε<><--+)2( 12312322n n n nn 成立，故2312322lim =-+∞→n n n n . 3.证：∵数列}{n x 有界，∴0>∃M ，使得对一切N ∈n ，都有M x n ≤成立①；又∵0lim =∞→n n y ，∴N n N >∃>∀ , ,0ε时，Mn n y y ε<=-0②. 于是，0>∀ε，对②中的N ，当N n >时，①②同时成立，所以这时εε=⋅<⋅<=-M n n n n n n M y x y x y x 0，故 0lim =∞→n n n y x .§1.41.（1）分析：因为22)2)(2(42-+=-+=-x x x x x ，而2→x ，所以可设31<<x ，于是，252242-<-+=-x x x x ，对于给定的0>ε，为了ε<-42x ，则只要δε=<-52x 即可，于是有如下的证明： 证：对于事先给定的无论多么小的正数ε，取5εδ=，只要δ<-<20x ，就必有 ε<-42x 成立，所以，4lim 22=→x x .（2）分析：因为)4)(2(2)106(2--=-+-x x x x ，而2→x ，所以可设31<<x ，于是，234)2(2)106(2-<--=-+-x x x x x ，对0>∀ε，为了ε<-+-2)106(2x x ，只要δε=<-32x 即可，从而证明如下：证：0>∀ε，03>=∃εδ，只要δ<-<20x ，就必有ε<-+-2)106(2x x成立，故 2)106(lim 22=+-→x x x .评注：以上的证法就是函数极限的“δε-论证法”，虽然抽象，但很严密，望认真体会.2.（1）证：∵21211212222x xxx x ≤=-++-，∴0>∀ε，取2εδ=，只要δ<-<00x ，就必有ε<≤=-++-21211212222x xxx x 成立，故 1lim 22110=+-→x x x . （2）证：∵34312221++-=-x x x ，∴0>∀ε，取34-=εX （10<<ε），则当X x >时，必有ε<=-++-34312221x x x 成立，故 1lim 3122=+-∞→x x x . 当01.0=ε时，397=X .评注：（2）的证法就是函数∞→x x f )(当时极限的“X -ε论证法”，望认真体会.3.（1）1)00( ,1)00(=+-=-f f ，所以，)(lim 0x f x →不存在；（2）0)00( ,1)00(=+=-f f ，所以，)(lim 0x f x →不存在； 而 1)(lim 1=→x f x .4.⎪⎩⎪⎨⎧>-><-=. 0 ,1, 0 ,1 ,0 ,1)(为无理数且为有理数且x x x x x x f。

第一章 极限与连续一、填空 1、设11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，则[]()___________.f f x = 2、假设数列{}n x 收敛，则数列{}n x 肯定 。

3、假设0lim ()x x f x A →=，而0lim ()x x g x →不存在，则0lim(()())x x f x g x →+ 。

4、当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则_______=a 5、设函数()f x 在点0x x =处连续，则()f x 在点0x x =处是否连续。

6、设21))((,sin )(x x f x x f -==ϕ，则)(x ϕ的定义域为_________7、如果⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,12sin )(2x x xe x xf ax 在),(+∞-∞内连续，则__=a8、 曲线22x e x y -=的渐近方程为__________________二、选择9、如果)(),(x g x f 都在0x 点处间断，那么〔 〕〔A 〕)()(x g x f +在0x 点处间断 〔B 〕)()(x g x f -在0x 点处间断 〔C 〕)()(x g x f +在0x 点处连续 〔D 〕)()(x g x f +在0x 点处可能连续。

10、设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则以下断言正确的选项是〔 〕〔A 〕假设n x 发散，则n y 必发散。

〔B 〕假设n x 无界，则n y 必有界 〔C 〕假设n x 有界，则n y 必为无穷小〔D 〕假设1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小。

11、已知0()lim0x f x x→=，且(0)1f =，那么〔 〕〔A 〕()f x 在0x =处不连续。

〔B 〕()f x 在0x =处连续。

〔C 〕0lim ()x f x →不存在。

〔D 〕0lim ()1x f x →=12、设2()43x xf x x x+=- ，则0lim ()x f x →为〔 〕〔A 〕12 (B)13 (C) 14 (D)不存在13、设2(1)sin ()(1)x xf x x x-=-，那么0x =是函数的〔 〕〔A 〕无穷间断点。

高等数学练习册及答案### 高等数学练习册及答案#### 第一章：极限与连续练习题1：计算下列极限：1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)2. \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}\)3. \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)\)答案：1. 根据洛必达法则，我们首先对分子分母同时求导，得到 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。

2. 由于 \(\sin x\) 的周期为 \(2\pi\)，当 \(x\) 趋向无穷大时，\(\frac{\sin x}{x}\) 趋向于0。

3. 直接代入 \(x = 1\)，得到 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0\)。

练习题2：判断函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在 \(x =1\) 处是否连续。

答案：函数 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处的极限为2，但 \(f(1)\) 未定义，因此 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处不连续。

#### 第二章：导数与微分练习题1：求下列函数的导数：1. \(f(x) = x^3 - 2x\)2. \(g(x) = \sin x + e^x\)答案：1. \(f'(x) = 3x^2 - 2\)2. \(g'(x) = \cos x + e^x\)练习题2：利用导数求函数 \(h(x) = x^2\) 在 \(x = 2\) 处的切线方程。

答案：首先求 \(h'(x) = 2x\)，然后计算 \(h'(2) = 4\)，切点坐标为\((2, 4)\)。

切线方程为 \(y - 4 = 4(x - 2)\)，简化得 \(y = 4x - 4\)。

#### 第三章：积分学练习题1：计算下列不定积分：1. \(\int x^2 dx\)2. \(\int \frac{1}{x} dx\)答案：1. \(\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C\)2. \(\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C\)练习题2：计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

第三章试题库一、选择题。

1.若)(u f 可导,且)(x e f y =,则有=dy （）A.()x f e dx' B.()x xf e de ' C.()x x f e de '⎡⎤⎣⎦D.()x x f e e dx '⎡⎤⎣⎦2.当n →+∞，55,ln ,ln ,5n n n 趋于无穷大速度最快的是()A.5n B.5ln n C.ln D.5n3.当n →+∞，55,ln ,ln ,5n n n 趋于无穷大速度最慢的是()A.5ln n B.5ln n C.ln D.5n4.设()(1)(2)(), f x x x x n =--- 则()=0f x '在开区间(2,)n 有（）个零点A.1n - B.1n - C.2n - D.n5.设()(1)(2)(), x x x f x e e e n n Z +=---∈ 则(0)=f '（)A.1(1)(1)!n n --- B.(1)(1)!n n -- C.1(1)!n n -- D.(1)!n n -6.设()(1)(2)(), f x x x x n n Z +=---∈ 则(1)=f '（)A.1(1)(1)!n n --- B.(1)(1)!n n -- C.1(1)!n n -- D.(1)!n n -7.设()(1)(2)(10), f x x x x =--- 则(1)=f '（)A.9!- B.0C.9!D.10!8．设2()ln(1)f x x =+,则该函数在(0,)+∞内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧9．设()ln(1)f x x x =+-,则该函数在(1,0)-内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧10．设()x f x e x =-,则该函数在(1,0)-内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧11.设函数()f x 在[,]a b 上连续，且在(,)a b 内()0f x ''>，则在(,)a b 内等式()()()f b f a f b aξ-'=-成立的ξ()A．存在B．不存在C．惟一D．不能断定存在12．曲线53(1)5y x =-+()A．有极值点1x =,但无拐点B．有拐点(1,5),但无极值点C．有极值点1x =,有拐点(1,5)D．既无极值点,又无拐点13.下列函数中，在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（）.A．2ln(1)y x =-B．21y x =-C．||x y e =D．sin y arc x =14.若函数)(x f y =在点0x 处取得极大值，则必有().A.0()0f x '= B.0()0f x '<C.0()0f x '=且0()0f x ''< D.0()0f x '=或0()f x '不存在15.若在区间),(b a 内有()0,f x '>()0,f x ''<则曲线弧)(x f y =为().A.递增的凸弧B.递增的凹弧C.递减的凸弧D.递减的凹弧16.下列函数中在区间]3,0[上不满足拉格朗日定理条件的是（）.A.221x x ++ B.cos(1)x + C.22(1)x x - D.ln(1)x +17．若)(x f 在a x =处取得极值，则（）。

高等数学（一）智慧树知到课后章节答案2023年下广东石油化工学院广东石油化工学院第一章测试1.下面哪个叙述与数列极限的定义等价：（）答案:，只有的有限项落在区间之外；2.在的某一去心邻域内有界是存在的（）.答案:必要条件；3.设，则是的（）答案:可去间断点；4.下列极限正确的是（）答案:；5.下列变量中，当时，与等价的无穷小量有（）答案:6.设函数，如果在处连续，则（）；答案:3；7.函数的连续区间是（）答案:；8. =（）答案:9. =（）答案:810. =（）答案:；11.方程在区间(0,1)上（）。

答案:有且仅有一个实根12.极限（）。

答案:2第二章测试1.设，则（）。

答案:2.函数，则在处（）。

答案:不连续，不可导3.曲线在点处切线斜率等于（）。

答案:24.下列式子正确的是（）。

答案:5.参数方程所确定的函数的导数（）。

答案:6.参数方程所确定的函数的二阶导数（）。

答案:7.设函数则（）。

答案:8.函数的微分（）。

答案:第三章测试1.函数在区间[0，2]上满足拉格朗日中值定理的条件的（）。

答案:2.极限（）。

答案:3.极限（）。

答案:4.对函数，则其n阶麦克劳林展开式中的拉格朗日余项为（）。

答案:5.已知 f (x) 在 [a,b] 上可导，则是f (x) 在 [a,b] 上单调递增的（）。

答案:充分条件6.下面关于函数y =f (x) 的凹凸性与拐点表述正确的是（）。

答案:若函数y =f (x) 在 (a,b) 区间内 f '' (x) <0，则函数y =f (x)的图形是凸的7.曲线拐点的横坐标为，则常数（）。

答案:8.函数y =f (x) 在点处连续且取得极小值，则在处必有（）。

答案:或不存在9.下面有关曲线的渐近线表述正确的是（）。

答案:水平渐近线为 , 铅直渐近线为 x =210.下面有关曲率的表述哪一个是不正确的（）。

答案:转角越大，曲线的弯曲程度就越大第四章测试1.下列各式中成立的是（）。