[专升本类试卷]江苏省专转本(高等数学)模拟试卷64.doc

江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学专转本高数试卷结构知识分类与历年真题●函数、极限和连续●一元函数微分学●一元函数积分学●向量代数与空间解析几何●多元函数微积分●无穷级数●常微分方程时间排序与参考答案◆20XX年高等数学真题参考答案◆20XX年高等数学真题参考答案◆20XX年高等数学真题参考答案◆20XX年高等数学真题参考答案◆20XX年高等数学真题参考答案◆20XX年高等数学真题参考答案◆20XX年高等数学真题参考答案◆20XX年高等数学真题参考答案◆20XX年高等数学真题参考答案◆20XX年高等数学真题参考答案江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学试卷结构全卷满分150分一、单选题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）知识分类与历年真题一、函数、极限和连续（一）函数（0401）[](]333,0()0,2xx f x x x ⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩是（）A.有界函数B.奇函数C.偶函数D.周期函数（0801）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是（）A.()y f x =-B.)(43x f x y = C.()y f x =-- D.)()(x f x f y -+=（二）极限（0402）当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的（）A.高阶无穷小B.同阶无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小（0407）设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛++=32)(，则=∞→)(lim x f x ．（0601）若012lim 2x x f x →⎛⎫ ⎪⎝⎭=，则0lim 3x xx f →=⎛⎫ ⎪⎝⎭（） A.21 B.2C.3D.31 （0607）已知0→x 时，(1cos )a x ⋅-与x x sin 是等价无穷小，则=a ．（0613)计算311lim1x x x →--． （0701）若0(2)lim2x f x x→=，则1lim 2x xf x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A.41B.21 C.2D.4（0702）已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小，而x n sin 又是x cos 1-的高阶无穷小，则正整数=n （ ） A.1B.2C.3D.4（0813）求极限：32lim xx x x →∞-⎛⎫⎪⎝⎭． （0901）已知22lim32x x ax bx →++=-，则常数b a ,的取值分别为（ ） A.2,1-=-=b a B.0,2=-=b a C.0,1=-=b a D.1,2-=-=b a（0907）已知lim 2xx x x C →∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数=C ． （1001）设当0x →时，()sin f x x x =-与()ng x ax =是等价无穷小，则常数,a n 的值为 ( )A.1,36a n == B.1,33a n == C.1,412a n == D.1,46a n ==（1007） 1lim 1xx x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭． （1101）当0→x 时，函数1)(--=x e x f x是函数2)(x x g =的( ) A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶无穷小 D.等价无穷小（1107）已知22lim kxx x e x →∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则=k _________． （1201）极限1sin 3lim 2sin x x x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.0B.2C.3D.5（1301）当0x →时，函数()ln(1)f x x x =+-是函数2()g x x =的（ ） A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小（1310）设10lim xx a x e a x →+⎛⎫=⎪-⎝⎭，则常数a =． （三）连续（0413）求函数xxx f sin )(=的间断点，并判断其类型． （0501）0=x 是xx x f 1sin)(=的（ ） A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点（0513）设()2sin 0()0f x xx F x xa x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在R 内连续，并满足0)0(=f ，(0)6f '=，求a ． （0602）函数21sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（ ） A.连续但不可导 B.连续且可导 C.不连续也不可导 D.可导但不连续（0608）若A x f x x =→)(lim 0，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0x x =处连续．（0707）设函数1(1)0()20x kx x f x x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩，在点0=x 处连续，则常数=k ．（0807）设函数21()(1)x f x x x -=-，则其第一类间断点为．（0808）设函数0()tan 30a x x f x x x x+≥⎧⎪=⎨<⎪⎩在点0=x 处连续，则a ＝．（0902）已知函数423)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的（ ）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.震荡间断点（1123）设210arctan ()1010sin 2ax axe x ax x x xf x x e x x ⎧---<⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪⎩，问常数为何值时：（1）0=x 是函数)(x f 的连续点？ （2）0=x 是函数)(x f 的可去间断点？ （3）0=x 是函数)(x f 的跳跃间断点？ （1202）设()2(2)sin ()4x xf x x x -⋅=⋅-，则函数)(x f 的第一类间断点的个数为（ ） A.0B.1C.2D.3（1207）要使函数()1()12xf x x =-在点0=x 处连续，则需补充定义(0)f =_________．（1303）设sin 20()011xx x f x x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪+-⎩，这点0x =是函数()f x 的（ ）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.连续点（1307）设1sin0()0x x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处连续，则常数a =． 二、一元函数微分学（一） 导数与微分（0403）直线L 与x 轴平行且与曲线x e x y -=相切，则切点的坐标是（ ） A.()1,1 B.()1,1- C.()0,1- D.()0,1 （0409）设()(1)(2)()f x x x x x n =+++，N n ∈，则=)0('f ．（0415）设函数)(x y y =由方程1=-yxe y 所确定，求22d d x yx=的值．（0502）若2=x 是函数1ln 2y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的可导极值点，则常数=a （ ） A.1-B.21C.21- D.1 （0514）设函数)(x y y =由方程cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0614）若函数)(x y y =是由参数方程2ln (1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定，求d d y x 、22d d yx ．（0708）若直线m x y +=5是曲线232++=x x y 的一条切线，则常数=m ．（0714）设函数)(x y y =由方程xy e e yx=-确定，求d d x yx=、22d d x y x =．（0802）设函数)(x f 可导，则下列式子中正确的是（ ）A.0(0)()lim(0)x f f x f x →-'=- B.000(2)()lim ()x f x x f x f x x→+-'=C.0000()()lim()x f x x f x x f x x ∆→+∆--∆'=∆ D.0000()()lim 2()x f x x f x x f x x∆→-∆-+∆'=∆ （0814）设函数)(x y y =由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩（2t n π≠，n Z ∈）所决定，求d d y x 、22d d y x ．（0903）设函数00()1sin 0x f x x x x α≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为（ ） A.10<<αB.10≤<αC.1>αD.1≥α（0914）设函数)(x y y =由参数方程2ln (1)23x t y t t =+⎧⎨=+-⎩所确定，d d y x 、22d d yx ． （0923）已知函数0()10x e x f x x x -⎧<=⎨+≥⎩，证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导．（1008）.若(0)1f '=，则0()()limx f x f x x→--=．（1014）设函数()y y x =由方程2x yy ex ++=所确定，求d d y x 、22d d y x ． （1022）设()0()1x x f x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其中函数()x ϕ在0x =处具有二阶连续导数，且(0)0ϕ=，(0)1ϕ'=，证明：函数()f x 在0x =处连续且可导．（1102）设函数)(x f 在点0x 处可导，且4)()(lim000=+--→hh x f h x f h ，则=')(0x f ( )A.4-B.2-C.2D.4（1110）设函数x y arctan =，则1d x y==_____________．（1114）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=22ty e tt x y 所确定，求d d y x ． （1208）设函数()22221xy x x x e =⋅+++，则=)0()7(y ________．（1209）设xy x =（0x >），则函数y 的微分=dy ___________．（1214）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=tt y tt x ln 212所确定，求d d y x 、22d d y x ． （1304）设1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶导数，则22d d y x =（ ）A.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1306）已知函数()f x 在点1x =处连续，且21()1lim 12x f x x →=-，则曲线()f x 在点()1,()f x 处切线方程为（ ）A.1y x =-B.22y x =-C.33y x =-D.44y x =-（1309）设函数由参数方程2211x t y t ⎧=+⎨=-⎩所确定，则221d d t yx ==．（二）中值定理及导数的应用（0423）甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元．问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？（0507）02limsin x x x e e xx x-→--=-． （0508）函数x x f ln )(=在区间[]1,e 上满足拉格郎日中值定理的=ξ． （0521）证明方程：0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根．（0603）下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ） A.xe y =B.1y x =+C.21x y -= D.xy 11-= （0621）证明：当2x ≤时，332x x -≤．（0703）设函数()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则方程()0f x '=的实根个数为（ ） A.1B.2C.3D.4（0713）求极限01lim tan x x e x x x→--．（0722）设函数9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质：（1）在点1-=x 的左侧临近单调减少； （2）在点1-=x 的右侧临近单调增加； （3）其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变． 试确定a ，b ，c 的值．（0724）求证：当0>x 时，22(1)ln (1)x x x -⋅≥-．（0809）已知曲线543223++-=x x x y ，则其拐点为． （0821）求曲线1y x=（0x >）的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值． （0823）设函数)(x f 在闭区间[]0,2a （0a >）上连续，且)()2()0(a f a f f ≠=，证明：在开区间(0,)a 上至少存在一点ξ，使得()()f f a ξξ=+． （0824）对任意实数x ，证明不等式：(1)1x x e -⋅≤． （0904）曲线221(1)x y x +=-的渐近线的条数为（ ） A.1B.2C.3D.4（0913）求极限30lim sin x x x x→-．（0921）已知函数13)(3+-=x x x f ，试求： （1）函数)(x f 的单调区间与极值； （2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；（3）函数)(x f 在闭区间[2,3]-上的最大值与最小值．（0924）证明：当12x <<时，24ln 23x x x x >+-．（1002）曲线223456x x y x x -+=-+的渐近线共有 ( )A.1条B.2条C.3条D.4条 （1006）设3()3f x x x =-，则在区间(0,1)内 ( )A.函数()f x 单调增加且其图形是凹的B.函数()f x 单调增加且其图形是凸的C.函数()f x 单调减少且其图形是凹的D.函数()f x 单调减少且其图形是凸的 （1013）求极限2|011lim tan x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭．（1021）证明：当1x >时，121122x e x ->+． （1103）若点(1,2)-是曲线23bx ax y -=的拐点，则（ ） A.3,1==b a B.1,3-=-=b a C.3,1-=-=b a D.6,4==b a（1113）求极限()()22limln 1xx x eex -→-+．（1121）证明：方程()2ln 12x x ⋅+=有且仅有一个小于2的正实根．（1122）证明：当0>x 时，x x201120102011≥+． （1203）设232152)(xx x f -=，则函数)(x f ( )A.只有一个最大值B.只有一个极小值C.既有极大值又有极小值D.没有极值（1213）求极限()2302cos 2lim ln 1x x x x x →+-+． （1223）证明：当10<<x 时，361arcsin x x x +>． （1302）曲线22232x xy x x +=-+的渐近线共有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条（1313）求极限01lim ln (1)x x e x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．（1323）证明：当1x >时，2(1ln )21x x +<-．三、一元函数积分学（一）不定积分（0410）求不定积分32arcsin d 1x x x=-⎰．（0416）设)(x f 的一个原函数为xe x，计算(2)d x f x x '⎰．（0503）若()d ()f x x F x C =+⎰，则sin (cos )d x f x x =⎰（ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C F +(cos)D.C x F +-)(cos（0515）计算3tan sec d x x x ⎰．（0522）设函数)(x f y =的图形上有一拐点(2,4)P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数6y x a ''=+，求)(x f ．（0604）已知2()d x f x x e C =+⎰，则()d f x x '-=⎰（ ）A.C ex+-22B.C e x +-221 C.C e x +--22 D.C e x +--221（0615）计算1ln d xx x+⎰． （0622）已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2，求此曲线方程． （0704）设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ，则(2)d f x x '=⎰（ ）A.C x +4cosB.C x +4cos 21C.C x +4cos 2D.C x +4sin（0715）求不定积分2d xx e x -⎰．（0810）设函数)(x f 的导数为x cos ，且21)0(=f ，则不定积分()d f x x =⎰． （0815）求不定积分3d 1x x x +⎰． （0905）设()ln (31)F x x =+是函数)(x f 的一个原函数，则(21)d f x x '+=⎰（ ）A.C x ++461 B.C x ++463 C.C x ++8121 D.C x ++8123（0915）求不定积分sin21d x x +⎰．（1015）求不定积分arctan d x x x ⎰．（1115）设)(x f 的一个原函数为x x sin 2，求不定积分()d f x x x⎰． （1215）求不定积分sin 2d x x x ⎰． （1315）求不定积分sin 2d x x x ⎰．（二）定积分（0404）2228R y x =+设所围的面积为S ，则222208d R R x x -⎰的值为（ ）A.SB.4S C.2SD.S 2 （0421）证明：0(sin )d (sin )d 2x f x x f x x πππ=⎰⎰，并利用此式求20sin d 1cos xxx xπ+⎰．（0509）1211d 1x x xπ-+=+⎰．（0516）计算10arctan d x x ⎰．（0609）设)(x f 在[]0,1上有连续的导数且(1)2f =，10()d 3f x x =⎰，则1()d x f x x '=⎰．（0616）计算220cos d x x x π⎰．（0709）定积分()223241cos d x x x x --+⎰的值为．（0716）计算定积分212221d x x x-⎰． （0811）定积分1212sin d 1xx x -++⎰的值为．（0816）求定积分10d xe x ⎰．（0916）求定积分：212d 2x x x-⎰．（1009）定积分31211d 1x x x -++⎰的值为． （1016）计算定积分403d 21x x x ++⎰． （1111）定积分()32221sin d xx x ππ-+⋅⎰的值为____________．（1116）计算定积分3d 11x xx ++⎰ ． （1216）计算定积分21d 21xx x -⎰．（1316）计算定积分22d 24x x+-⎰．（1324）设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：[]2()d ()()d a b b aaf x x f x f a b x x +=++-⎰⎰．（三）变限积分与广义积分（0417）计算广义积分2d 1xx x +∞⋅-⎰．（0422）设函数)(x f 可导，且满足方程20()d 1()x t f t t x f x =++⎰，求)(x f ．（0705）设221()sin d x f x t t =⎰，则()f x '=（ ）A.4sin x B.2sin 2x x C.2cos 2x x D.4sin 2x x （0803）设函数)(x f 122sin d xt t t =⎰，则()f x '等于（ ）A.x x 2sin 42B.x x 2sin 82C.x x 2sin 42- D.x x 2sin 82-（0908）设函数20()d x t x te t ϕ=⎰，则()x ϕ'＝．（1003）设函数22()cos d t xx e t t Φ=⎰，则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于( )A.222cos x xe x B.222cos x xe x - C.2cos xxe x - D.22cos x e x -（1108）设函数2()ln (1)d x x t t Φ=+⎰　，则=Φ'')1(____________．（1211）设反常积分1d 2x ae x +∞-=⎰，则常数=a ______． （1222）已知定义在(),-∞+∞上的可导函数)(x f 满足方程31()4()d 3xx f x f t t x -=-⎰，试求：（1）函数()f x 的表达式； （2）函数)(x f 的单调区间与极值； （3）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点．（1224）设0()d 0()(0)0x g t t x f x g x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中函数)(x g 在(,)-∞+∞上连续，且3cos 1)(lim 0=-→xx g x ．证明：函数)(x f 在0=x 处可导，且1(0)2f '=． （1322）已知251320()95d x F x t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰是()f x 的一个原函数，求曲线()y f x =的凹凸区间、拐点． （四）定积分的几何应用（0523）已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求：（1）曲边三角形的面积；（2）曲边三角形绕x 轴旋转一周的旋转体体积．（0623）已知一平面图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成．（1）求此平面图形的面积；（2）求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积．（0721）设平面图形由曲线21x y -=（0≥x ）及两坐标轴围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数a 的值，使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0822）设平面图形由曲线2x y =，22x y =与直线1=x 所围成．（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积；（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分．（0922）设1D 是由抛物线22x y =和直线x a =，0y =所围成的平面封闭区域，2D 是由抛物线22x y =和直线x a =，2x =及0=y 所围成的平面封闭区域，其中20<<a ．试求：（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V ； （2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等．（1023）设由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ，由抛物线2y x =（0x ≥），直线2y a =（01a <<）与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ，另12()()()V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值．（1024）设函数()f x 满足方程()()2xf x f x e '+=，且(0)2f =，记由曲线'()()f x y f x =与直线1y =，x t =（0t >）及y 轴所围平面图形的面积为()A t ，试求lim ()t A t →+∞． （1124）设函数)(x f 满足微分方程()2()(1)x f x f x a x '-=-+（其中a 为正常数），且1)1(=f ，由曲线()y f x =（1x ≤）与直线1x =，0y =所围成的平面图形记为D ．已知D 的面积为32． （1）求函数)(x f 的表达式；（2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积x V ； （3）求平面图形D 绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积y V ．（1221）在抛物线2y x =（0x >）上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为32，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． （1321）设平面图形D 是由曲线2x y =，y x =-与直线1y =所围成，试求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．四、向量代数与空间解析几何（一）向量代数（0510）设向量{}3,4,2=-a 、{}2,1,k =b ；a 、b 互相垂直，则=k ． （0610）设1=a ，⊥a b ，则()⋅+=a a b ． （0710）已知a 、b 均为单位向量，且12⋅=a b ，则以a 、b 为邻边的平行四边形面积为． （0804）设向量(1,2,3)=a ，(3,2,4)=b ，则⨯a b 等于（ ） A.(2,5,4)B.(2,5,4)-- C.(2,5,4)- D.(2,5,4)--（0909）已知向量{}1,0,1=-a ，{}1,2,1=-b ，则+a b 与a 的夹角为． （1010）设{}1,2,3=a ，{}2,5,k=b ，若a 与b 垂直，则常数k =．（1109）若1=a ，4=b ，2⋅=a b ，则⨯=a b ____________．（1210）设向量a 、b 互相垂直，且3=a ，2=b ，则2+=a b ________． （1308）已知空间三点(1,1,1)A ，(2,3,4)B ，(3,4,5)C ，则ABC ∆的面积为．（二）平面与直线（0518）求过点(3,1,2)A -且通过直线L ：43521x y z-+==的平面方程． （0619）求过点(3,1,2)M -且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程．（0719）求过点(1,2,3)且垂直于直线20210x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩的平面方程．（0817）设平面∏经过点(2,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,5)C ，求经过点(1,2,1)P 且与平面∏垂直的直线方程． （0917）求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程． （1017）求通过点(1,1,1)，且与直线23253x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩垂直，又与平面250x z --=平行的直线的方程．（1117）求通过x 轴与直线132zy x ==的平面方程． （1217）已知平面∏通过(1,2,3)M 与x 轴，求通过(1,1,1)N 且与平面∏平行，又与x 轴垂直的直线方程．（1318）已知直线10330x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩在平面∏上，又知直线23132x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩与平面∏平行，求平面∏的方程．五、多元函数微积分（一）多元函数微分学（0418）设(,)z f x y xy =-，且具有二阶连续的偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0505）设yx y x u arctan ),(=，22(,)lnv x y x y =+，则下列等式成立的是（ ）A.y v x u ∂∂=∂∂ B.x v x u ∂∂=∂∂ C.x v y u ∂∂=∂∂ D.yvy u ∂∂=∂∂（0517）已知函数2(sin ,)z f x y =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、yx z∂∂∂2．（0611）设x e u xysin =，=∂∂xu． （0620）设2(,)z x f x xy =⋅其中(,)f u v 的二阶偏导数存在，求y z ∂∂、xy z∂∂∂2．（0711）设yxz =，则全微分d z =．（0717）设(23,)z f x y xy =+其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（0805）函数xyz ln=在点(2,2)处的全微分d z 为（ ） A.11d d 22x y -+ B.11d d 22x y + C.11d d 22x y - D.11d d 22x y --（0818）设函数,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（0910）设函数(,)z z x y =由方程12=+yz xz 所确定，则xz∂∂＝． （0919）设函数(sin ,)z f x xy =，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（1011）设函数2ln4z x y =+，则10d x y z===．（1018）设()2,xz y f xy e =⋅，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂．（1104）设),(y x f z =为由方程8333=+-x yz z 所确定的函数，则=∂∂==00y x yz （ ）A.21-B.21C.2-D.2（1118）设)(y x y xf z ，=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．（1204）设3ln 2z x y=+在点()1,1处的全微分为 ( )A.d 3d x y -B.d 3d x y +C.1d 3d 2x y +D.1d 3d 2x y -（1218）设函数22(,)()z f x xy x y ϕ=++，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()x ϕ具有二阶连续导数，求yx z∂∂∂2．（1314）设函数(,)z z x y =由方程3331z xy z +-=所确定，求d z 及22zx∂∂．（1317）设()223,x yz fx e+=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zy x ∂∂∂．（二）二重积分（0411）交换二次积分的次序2120d (,)d x x x f x y y -=⎰⎰．（0419）计算二重积分sin d d Dy x y y ⎰⎰，其中D 由曲线x y =及x y =2所围成． （0504）设区域D 是xoy 平面上以点(1,1)A 、(1,1)B -、(1,1)C --为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )d d Dxy x y x y +=⎰⎰（ ）A.⎰⎰1)sin (cos 2D dxdy y x B.⎰⎰12D xydxdyC.⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xyD.0（0511）交换二次积分的次序20111d (,)d x x x f x y y --+=⎰⎰；（0524）设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，1()d ()d uuyF u y f x x =⎰⎰（1u >）． （1）交换)(u F 的积分次序； （2）求(2)F '．（0606）设对一切x 有(,)(,)f x y f x y -=-，22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥，=1D 22{(,)|1,0,0}x y x y x y +≤≥≥，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰（ ）A. 0B.1(,)d d D f x y x y ⎰⎰ C.21(,)d d D f x y x y ⎰⎰ D.41(,)d d D f x y x y ⎰⎰（0612）D 为以点(0,0)O 、(1,0)A 、(0,2)B 为顶点的三角形区域，d d Dx y =⎰⎰．（0624）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1)(t a t dxdy x f t t g tD ，其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域，函数)(x f 连续．（1）求a 的值使得)(t g 连续；（2）求)('t g ．（0720）计算二重积分22d d Dx y x y +⎰⎰，其中{}22(,)|2,0D x y x y x y =+≤≥．（0723）设0>>a b ，证明：()232d ()d ()d b b b x y xx a ayay f x e x ee f x x ++⋅=-⎰⎰⎰．（0819）计算二重积分2d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线xy 1=，直线y x =，2x =及0=y 所围成的平面区域．（0918）计算二重积分d Dy σ⎰⎰，其中22{(,)02,2,2}D x y x x y x y =≤≤≤≤+≥．（1005）二次积分1101d (,)d y y f x y x +⎰⎰交换积分次序后得 ( ) A.1101d (,)d x x f x y y +⎰⎰B.2110d (,)d x x f x y y -⎰⎰C.2111d (,)d x x f x y y -⎰⎰D.2111(,)d x dx f x y y -⎰⎰（1019）计算d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线21x y =-，直线y x =及x 轴所围成的闭区域．（1105）若(,)d d Df x y x y ⎰⎰可转化为二次积分1201d (,)d y y f x y x +⎰⎰ ，则积分域D 可表示为（ ） A.{}(,)01,11x y x x y ≤≤-≤≤ B.{}(,)12,11x y x x y ≤≤-≤≤ C.{}(,)01,10x y x x y ≤≤-≤≤ D.{}(,)12,01x y x y x ≤≤≤≤- （1119）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线22y x =-，直线x y -=及y 轴所围成的平面闭区域． （1205）二次积分dx y x f dy y),(11⎰⎰ 在极坐标系下可化为（ ）A.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρ⎰⎰ B.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρρ⎰⎰C.sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρ⎰⎰ D.sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρρ⎰⎰（1220）计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中D 是由曲线1y x =-，直线2xy =及x 轴所围成的平面闭区域．（1320）计算二重积分d d Dx x y ⎰⎰，其中D 是由曲线24y x =-（0x >）与三条直线y x =，3x =，0y =所围成的平面闭区域．六、无穷级数（一）数项级数（0506）正项级数（1）∑∞=1n nu、（2）∑∞=13n nu，则下列说法正确的是（ ）A.若（1）发散、则（2）必发散B.若（2）收敛、则（1）必收敛C.若（1）发散、则（2）不确定D.（1）、（2）敛散性相同（0605）设∑∞=1n nu为正项级数，如下说法正确的是（ ）A.若0lim 0=→n n u ，则∑∞=1n n u 必收敛 B.若l u u nn n =+∞→1lim )0(∞≤≤l ，则∑∞=1n n u 必收敛C.若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=12n nu必定收敛 D.若∑∞=-1)1(n n nu 收敛，则∑∞=1n n u 必定收敛（0706）下列级数收敛的是（ ）A.∑∞=122n n n B.∑∞=+11n n n C.∑∞=-+1)1(1n n n D.∑∞=-1)1(n n n（0906）设α为非零常数，则数项级数∑∞=+12n n n α（） A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性与α有关（1004）下列级数收敛的是（ ）A.11n nn ∞=+∑ B.2121n n n n ∞=++∑ C.11(1)n n n ∞=+-∑ D.212n n n ∞=∑（1206）下列级数中条件收敛的是（ ）A.1(1)21nn nn ∞=-+∑B.13(1)2nn n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C.21(1)nn n ∞=-∑ D.1(1)nn n ∞=-∑（1305）下列级数中收敛的是（ ）A.211n n n∞=+∑ B.11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑ C.1!2n n n ∞=∑ D.13n n n ∞=∑（二）幂级数（0412）幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛区间为． （0420）把函数21)(+=x x f 展开为2-x 的幂级数，并写出它的收敛区间． （0512）幂级数1(21)nn n x∞=-∑的收敛区间为．（0519）把函数222)(xx x x f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间． （0618）将函数()ln (1)f x x x =+展开为x 的幂函数（要求指出收敛区间）．（0812）幂函数12nnn x n ∞=⋅∑的收敛域为． （0911）若幂函数21n nn a x n∞=∑（0a >）的收敛半径为21，则常数=a ．（1012）幂级数0(1)n nn x n ∞=-∑的收敛域为．（1106）若x x f +=21)(的幂级数展开式为0()n n n f x a x ∞==∑（22x -<<），则系数=n a ( )A.n 21B.121+nC.(1)2n n- D.1(1)2nn +- （1112）幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域为___________． （1212）幂级数1(1)(3)3n nnn x n ∞=--⋅∑的收敛域为____________． （1312）幂级数12n nn x n∞=∑的收敛域为． 七、常微分方程（一）一阶微分方程（0520）求微分方程0'=-+xe y xy 满足1x ye ==的特解．（0617）求微分方程22x y xy y '=-的通解． （0718）求微分方程22007xy y x '-=满足初始条件12008x y ==的特解．（0820）求微分方程22xy y x '=+的通解．（0912）微分方程2(1)d (2)d 0x y x y x y +--=的通解为． （1311）微分方程d d y x yx x+=的通解为． （二）二阶线性微分方程（0406）微分方程232x y y y xe '''-+=的特解*y 的形式应为（ ） A.xAxe 2 B.x e B Ax 2)(+C.xeAx 22 D.x e B Ax x 2)(+（0712）设x x e C e C y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为． （0806）微分方程321y y y '''++=的通解为（ ）A.1221++=--x x e c e c yB.21221++=--x xe c e c y C.1221++=-x x e c e c yD.21221++=-xx ec e c y （0920）求微分方程y y x ''-=的通解． （1020）已知函数xy e =和2xy e-=是二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的两个解，试确定常数p 、q 的值，并求微分方程xy py qy e '''++=的通解．（1120）已知函数(1)xy x e =+⋅是一阶线性微分方程2()y y f x '+=的解，求二阶常系数线性微分方程)(23x f y y y =+'+''的通解．（1219）已知函数)(x f 的一个原函数为xxe ，求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解． （1319）已知函数()y f x =是一阶微分方程d d yy x=满足初始条件(0)1y =的特解，求二阶常系数非齐次线性微分方程32()y y y f x '''-+=的通解．时间排序与参考答案20XX 年高等数学真题参考答案1、A ．2、B ．3、C ．4、B ．5、A ．6、D ．7、1-e ．8、32241-+==-z y x ．9、!n ．10、C x +4arcsin 41． 11、12201d (,)d d (,)d yy y f x y x y f x y x -+⎰⎰⎰⎰．12、()3,1-．13、解：间断点为πk x =（Z k ∈），当0=x 时，1sin lim)(lim 00==→→xxx f x x ，为可去间断点；当πk x =（0≠k ，Z k ∈）时，∞=→xxx sin lim0，为第二类间断点．14、解：原式0430(tan sin )d tan sin limlim312xx x t t tx xx x →→--==⎰233001tan (1cos )12lim lim 121224x x x x x x x x →→⋅-===． 15、解：0=x 代入原方程得1)0(=y ，对原方程求导得0''=--y xe e y y y ，对上式求导并将0=x 、1=y 代入，解得：22''e y =．16、解：因为)(x f 的一个原函数为x ex ，所以2')1()(x e x x e x f xx -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 原式11(2)d(2)d (2)22xf x x x f x '==⎰⎰11(2)(2)d 22x f x f x x =-⎰222211(21)1(2)(2)d(2)24884x x x x x e e x x f x f x x C e C x x x--=-=-+=+⎰． 17、解：原式2111122d d 22arctan (1)12t x t tt t t t t π+∞=∞-+∞+===++⎰⎰．18、解：12zf f y x∂''=+⋅∂； []21112221221112222(1)(1)()zf f x f y f f x f x y f xy f f x y∂''''''''''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅=-+-⋅+⋅+∂∂． 19、解：原式21100sin sin d d d d (1)sin d y y Dyy x y y x y y y y y ===-⎰⎰⎰⎰⎰ 1100(1)cos cos d 1sin1y y y y =--=-⎰．20、解：01111(2)()(1)24244414n n nn x f x x x ∞=-==⋅=--+-+∑)62(<<-x ． 21、证：00(sin )d ()[sin ()]d ()(sin )d t xx f x xt f t t t f t I t πππππππ=-=---=-⎰⎰⎰(sin )d (sin )d (sin )d f x x x f x x f x x I πππππ=-=-⎰⎰⎰解得：0(sin )d (sin )d 2f x x f x x I x πππ==⎰⎰， 原命题证毕．222000sin sin d d arctan (cos )1cos 21cos 24x x x x x x x x ππππππ⋅==-=++⎰⎰． 22、解：等式两边求导得()2()x f x x f x '=+，即()()2f x x f x x '-=-，且(0)1f =-，x p -=，x q 2-=，而2()d 2x x xe e --⎰=，由公式求得通解：222222()2d 2x x x f x e xq x C C e -⎡⎤⎛⎫=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰， 将初始条件(0)1f =-代入通解，解得：3-=C ，故22()23x f x e =-．23、解：设污水厂建在河岸离甲城x 公里处，则22()50070040(50)M x x x =++-（500≤≤x ），由2212(50)5007000240(50)x M x -'=+⨯⨯=+-解得：650050-=x （公里），唯一驻点，即为所求．20XX 年高等数学真题参考答案1、A ．2、C ．3、D ．4、A ．5、A ．6、C ．7、2．8、1-e ．9、2π．10、5． 11、2111d (,)d y y y f x y x ---⎰⎰．12、(1,1)-．13、解：因为)(x F 在0=x 处连续，所以)0()(lim 0F x F x =→，'00()2sin ()(0)lim ()limlim 2(0)28x x x f x x f x f F x f x x→→→+-==+=+=， 解得：a F =)0(，故8=a ．14、解：d d cos cos sin d d d sin d yy t t t t t t x x t t-+===--，22d ()csc d (cos )y t t x t '-=='． 15、解：原式22tan tan sec d (sec 1)d(sec )x x x xx x =⋅-⎰⎰积进去231sec d(sec )d(sec )sec sec 3x x x x x C =-=-+⎰⎰．16、解：原式211120002d 1d(1)arctan 1421x x x x x x x π+=--++⎰⎰积进去 ()12011ln 1ln 24242x ππ⎡⎤=-+=-⎣⎦．17、解：1cos z x f x ∂'=⋅∂，()21212cos 22cos zx f y y x f x y∂''''=⋅⋅=⋅∂∂． 18、解：直线L 的方向向量{}5,2,1=s ，过点()4,3,0B -，{}1,4,2AB =-；所求平面的法向量{}5218,9,22142AB =⨯==---i j kn s ，点法式为8(3)9(1)22(2)0x y z ----+=，即592298=--z y x ．19、解：2222101111(1)()13216313212n nn n x x x x f x x x x x x ∞+=⎡⎤-⎛⎫=+=⋅+⋅=+⋅ ⎪⎢⎥+--⎝⎭⎣⎦+∑， 收敛域为：11<<-x ．20、解：1x e y y x x '+⋅=，即1p x =，x e q x =，而1d 1x x e x-⎰=；故通解为1d xx e e C y x x C x x x ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭⎰． 把初始条件1x ye ==解得：0=C ；故所求特解为：xe y x=．21、证：令13)(3+-=x x x f ，[]1,1x ∈-，且(1)30f -=>，(1)10f =-<，(1)(1)0f f -⋅<；由连续函数零点定理知：)(x f 在(1,1)-内至少有一实根；对于()1,1x ∈-恒有()22()33310f x x x '=-=-<，即)(x f 在(1,1)-内单调递减，故方程0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根； 原命题获证．22、解：设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，(2)3f '=-，(2)0f ''=；由()6f x x a ''=+和(2)0f ''=解得：12-=a ，即()612f x x ''=-，故21()312f x x x C '=-+，由(2)3f '=-解得：91=C ，故22396C x x x y ++-=，由(2)4f =解得：22=C ； 所求函数为：29623++-=x x x y ．23、解：（1）112300111d 266S y y y ===⎰；（如图1所示） （2）()()112222012d 4x V x x x x πππ=-=-=⎰．24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤；（1）111()()d d ()d (1)()d u xuDF u f x x f x y x f x x σ===-⎰⎰⎰⎰⎰；（2）()(1)()F u u f u '=-，(2)(21)(2)(2)1F f f '=-==．20XX 年高等数学真题参考答案1、C ．2、B ．3、C ．4、C ．5、C ．6、A ．7、2． 8、)(0x f ． 9、1-． 10、1．11、(sin cos )xy e y x x +． 12、1．13、解：原式322131lim 21341==--→x xx ． 14、解：2211d 12d 21t t y y t t t x x t -'+==='+，2222d 1d d 122d 41t y x y t t x x t t '⎛⎫ ⎪+⎝⎭==='+． 15、解：原式3221ln d(1ln )(1ln )3x x x C =++=++⎰．16、解：原式()2222220d(sin )sin 2sin d x x x xx x πππ=-⎰⎰积进去222220sin 2sin d 2d(cos )4x xx x xx x ππππ-+⎰⎰积进去导出来yOS1x12y x=图1222202cos 2cos d 244x x x x ππππ=+-=-⎰．17、解：方程变形为2y y y x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，即得到了形如d d y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭齐次方程；令y u x =，则d d d d y u u x x x =+，代入得：2d d ux u x=-，分离变量得：211d d u x u x -=； 两边积分，得：211d d u x u x -=⎰⎰，1ln x C u =+，故ln xy x C=+． 18、解：令()ln (1)g x x =+，则(0)0g =；由于01()(1)1n n n g x x x ∞='==-+∑（(]1,1x ∈-）， 所以010(1)((1))d x n n n g x n x g t t ∞+='=+=-∑⎰（(]1,1x ∈-），故 20(1)()1n n n f x x n ∞+=-=+∑，收敛域为：11x -<≤．19、解：由题意知：{}11,1,1=-n ，{}24,3,1=-n ；{}12311232,3,1431=⨯=-=++=-i j ks n n i j k ，故所求直线方程的对称式方程为：123123+=-=-z y x ． 20、解：22z x f x ∂'=∂，2'2'''''3''2''22122221222(2)22z x f x f x f y x f x f x y f y x∂=+⋅+⋅=++∂∂． 21、证：令33)(x x x f -=，[]2,2x ∈-，由2()330f x x '=-=解得驻点：1±=x ，比较以下函数值的大小：(1)2f -=-，(1)2f =，(2)2f =-，(2)2f -=；所以2min -=f ，2max =f ，故2)(2≤≤-x f ，即332x x -≤，原命题获证．22、解：0)0(=y ，2y x y '=+，通解为：xCe x y +--=)22(；将0)0(=y 代入通解解得：2=C ，故所求特解为：xe x y 222+--=．23、解：（1）()2222648d 3S xx x -=--=⎰；（2）()()224804d 8d 16y V y y y y πππ=+-=⎰⎰．24、解：()d d d ()d ()d tt t tD f x x y x f x y t f x x ==⎰⎰⎰⎰⎰，0()d 0()0t f x x t g t a t ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰； （1）00lim ()lim()d 0t t t g t f x x →→==⎰，由)(t g 的连续性可知：0)(lim )0(0===→t g g a t ；（2）当0≠t 时，()()g t f t '=，当0=t 时，0000()d ()(0)(0)limlim lim ()(0)hh h h f x x g h g g f h f h h→→→-'====⎰； 综上，()()g t f t '=．20XX 年高等数学真题参考答案1、B ．2、C ．3、C ．4、A ．5、D ．6、D ．7、2ln ．8、1．9、π2． 10、23．11、21d d xx y y y-． 12、06'5''=+-y y y ． 13、解：212lim 21lim 1lim tan 1lim00200==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e ． 14、解：当0=x 时，0=y ；在方程xy e e yx=-两边对x 求导得：''xye e y y x y -⋅=+⋅，故d 'd x yy e y y x e x-==+； 将0=x ，0=y 代入解得：d 1d x x yy x=='==．在方程''x ye e y y x y -⋅=+⋅两边再次对x 求导得：()2'2x y y e e y e y y x y '''''-⋅-⋅=+⋅将0=x ，0=y ，01x y ='=代入解得：2200d 2d x x yy x==''==-．15、解：原式()()222d d x x x xe x e e x ---⎡⎤-=--⎣⎦⎰⎰积进去22d x x x e xe x ---+⎰导出来。

专转本数学模拟试卷一．选择题（本大题共5小题，每小题2分,共10分,每项只有一个正确答案，请把所选项前的字母填在括号内） 1.若A x f x =-→)(lim 2，则对于给定的任意小的正数δ，使得当满足条件（ ）时，恒有ε<-A x f )((A)δ<-<00x x (B)δ<-<20x (C) δ<-<x 20 (D) δ<-<20x2.函数68x y -=的值域是（ ）(A)()+∞,0 (B) (]1,0 (C) ()1,0 (D) ()+∞∞-,3.⎰=)(sec xdx(A) c x x ++tan sec ln (B) c x x ++-tan sec ln (C) c x x +-cot csc ln (D) c x x +--cot csc ln 4.设在[]b a ,上0)(>x f ，0)(<'x f ，0)(>''x f ，令dx x f y b a⎰=)(1，))((2a b b f y -=,[]()a b b f a f y -+=)()(213，则有（ ）(A) 321y y y << (B) 312y y y << (C) 213y y y << (D) 132y y y <<5.两个非零向量a 与b垂直的充分必要条件是（ ）(A) 0=⋅b a(B) 0=⨯b a (C) 0=⨯a b (D) 0=⋅a a二．填空题（本大题共5小题，每小题2分,共10分，请把正确结果填在划线上） 1.方程()yx yee y x +=-确定的函数dxdy在()1,1的导数为 2. 函数x y sec =的导数为 3. xey y -=+'的通解是4.积分⎰'dx x v x u )()(＝5.dx x ⎰-22sin ππ＝三．计算题（本大题共14题，1-10题每题4分, 11-14题每题10分） 1. xxy cos 1sin 5+=，求导数y '2.求极限xx x x 2sin 1sinlim20→ 3.已知⎩⎨⎧=+=ty t x cos )1ln(2，求dx dy4.⎰+dx x x2cos 1cos5.⎰e edx x 1ln6.求方程xe y y y 36=-'+''的通解7.求)](cos[x f y =的一阶导数dx dy，二阶导数22dxy d8.试讨论函数x y sin =在0=x 处的连续性及可导性 9.求二重积分σd y x D⎰⎰22sin 3，其中D 为y 轴与曲线段y x cos =，22ππ≤≤-y 所围成的区域10.讨论函数)41(18363223≤≤+--=x x x x y 在何处取最大值11.设)(x f 在[]2,1上具有二阶导数)(x f ''，且0)1()2(==f f ，如果)()1()(x f x x F -=，试证明至少存在一点()2,1∈ξ，使0)(=''ξF12.求由曲线)1ln(+=x y 在点()0,0处的切线与抛物线22-=x y 所围成的平面图形的面积13.设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且0)()(==b f a f ，证明：在()b a ,内至少有一点ξ，使)(2)(ξξf f ='14.某公司年产量为x 百台机床，总成本为c 万元，其中固定成本为２万元，每产１百台增加１万元，市场上每年可销售此商品4百台，其销售总收入)(x R （单位：万元）是x 的函数，⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-=4840214)(2x x x x x R 问每年生产多少台利润最大?参考答案一．选择题1. C2. B3. A4. B5. A 二．填空题 1．ee +-11 2． x x tan sec 3．xe c x y -+=)( 4．⎰'-dx x u x v x v x u )()()()( 5．2 三．计算题1．解：'⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x y cos 1sin 5=2)cos 1()sin 0(sin )cos 1(cos 5x x x x x +--+⋅=x cos 15+ 2．解：x x x x 2sin 1sinlim20→=xx x x x 22sin 21sinlim 0⋅→= 0120=⨯（注意本题不可用洛必塔法则） 3．解：t t t t t t dt dx dt dydx dy 2sin )1(12sin 22+-=+-==4．解：⎰+dx x x 2cos 1cos =⎰dx xx 2cos 2cos =⎰dx x cos 121=⎰xdx sec 21=c x x ++tan sec ln 215．解：⎰e edx x 1ln =⎰11ln edx x +⎰e dx x 1ln =⎰-11ln exdx +⎰exdx 1ln=[]⎰⋅+-11111ln e edx x x x x +[]dx x x x x e e⎰⋅-111ln=)1(01110---+-+-e e e e =)11(2e- 6．解：对应的齐次方程的特征方程为062=-+λλ得2,321=-=λλ于是对应的齐次方程的通解为x xe c ec y 2231+=-（其中21,c c 是任意常数）因为3=μ不是特征根，所以设特解为xAe y 3=*代入原方程，得61=A ，x e y 361=* 故原方程的通解为xx x e e c e c y y y 3223161++=+=-*（其中21,c c 是任意常数） 7．解：[])()(sin x f x f y '-='[][]2)()(cos x f x f y '-=''[])()(sin x f x f ''-8．解：)0(0sin lim )(lim 0f x x f x x ===→→∴x y sin =在0=x 处连续又1sin lim 0sin lim )0()(lim )0(000-=-=-=-='---→→→-x x x x x f x f f x x x 1sin lim 0sin lim )0()(lim )0(000==-=-='+++→→→+xxx x x f x f f x x x ∴x y sin =在0=x 处不可导9．解：σd y xD⎰⎰22sin 3=⎰⎰-22cos 022sin 3ππy ydx x dy =⎰-2232cos sin ππydy y=⎰232cos sin 2πydy y =()⎰-2022sin sin 1sin 2πy d y y=()⎰-2042sin sin sin2πy d y y=02sin 52sin 3253π⎪⎭⎫ ⎝⎛-y y =154 10．解：)2)(3(636662+-=--='x x x x y 令0='y ，得3,)(2=-=x x 舍去计算19)1(-=y ，63)3(-=y ，46)4(-=y 故)41(18363223≤≤+--=x x x x y 在1=x 处取得最大值19)1(-=y11．证明：设)1()2()()(f x x F x G --=，则)(x G 在[]2,1上连续，在)2,1(内可导而)1()1(f G =，)2()2(f G = 于是由0)1()2(==f f 知)2()1(G G =由罗尔定理知在)2,1(内至少有一点1ξ使0)(1='ξG ，即)1()(1f F ='ξ 又由)()1()()(x f x x f x F '-+='知)1()1(f F ='显然)()1()()(x f x x f x F '-+='在[]1,1ξ上满足罗尔定理条件于是在),1(1ξ内至少有一点ξ使0)(=''ξF 即在)2,1(内至少有一点ξ使0)(=''ξF 12．解：111)0(0=+='==x x y k ，切线方程为x y =切线与抛物线交点为()1,1--与()2,2 于是29)]2([212=--=⎰-dx x x S 13．证明：设)()(2x f ex F x-=，则)(x F 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b F a F于是由罗尔定理知在()b a ,内至少有一点ξ，使0)()(2)(22='+-='--ξξξξξf e f e F即)(2)(ξξf f ='14．解：设每年的产量为x 百台时利润为y 万元则⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---=-=428402214)()(2x x x x x x x C x R y ⎩⎨⎧>-≤≤-='41403x x x y 令0='y 得3=x 计算()20-=y ,()253=y ,()24=y 故每年生产3百台时利润最大为()253=y 万元。

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知连续函数f(x)满足f(x)=x2+x∫01f(x)dx，则f(x)=( )。

A．f(x)=x2+xB．f(x)=x2-xC．f(x)=x2+D．f(x)=x2+正确答案：C解析：用代入法可得出正确答案为C。

2．函数在x=0处( )。

A．连续但不可导B．连续且可导C．不连续也不可导D．可导但不连续正确答案：B解析：3．关于的间断点说法正确的是( )。

A．x=kπ+为可去间断点B．x=0为可去间断点C．x=kπ为第二类无穷间断点D．以上说法都正确正确答案：D解析：对于x=kπ，当k=0，即x=0时，，x=0为可去间断点。

当k≠0时，，x=kπ为第二类无穷间断点。

4．设D：x2+y2≤R2，则=( )。

A．＝πR3B．∫02πdθ∫0Rrdr＝πR2C．∫02πdθ∫0Rr2dr＝πR3D．∫02πdθ∫0RR2dr＝2πR3正确答案：C解析：在极坐标中，0≤r≤R，0≤θ≤2π，。

5．抛物面在点M0(1，2，3)处的切平面是( )。

A．6x+3y-2z-18=0B．6x+3y+2z-18=0C．6x+3y+2z+18=0D．6x-3y+2z-18=0正确答案：B解析：设切平面方程为6x+3y+2z-18=0。

6．幂级数的收敛半径是( )。

A．0B．1C．2D．+∞正确答案：B解析：，收敛半径。

填空题7．，则a=＿＿＿＿＿＿，b=＿＿＿＿＿＿。

正确答案：-4，3解析：并且x2+ax+b=0，所以a=-4，b=3。

8．u=f(xy，x2+2y2)，其中f为可微函数，则＝＿＿＿＿＿＿。

正确答案：yf’1+2xf’2解析：令w=xy，v=x2+y2，则u=f(w，v)，=f’w(w，v)·y+f’v(w，v)·2x。

江苏省普通高校专转本统一考试高等数学模拟试卷(一)一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）1．已知当时，函数是的等价无穷小，则常数（ ）．(A) (B) (C) (D)2．若是奇函数，在点处可导，则是函数的（ ）．(A) 跳跃间断点 (B) 可去间断点 (C) 无穷间断点 (D) 连续点3．对于反常积分的收敛性，正确的结论是（ ）．（A）当时收敛 （B）当时收敛　（C）当时收敛 （D）对的任意取值均不收敛4．直线与的位置关系是（ ）．（A）平行 （B）重合 （C）斜交 （D）垂直5．设曲线与在点处相切，则的值分别为（ ）．（A） （B） （C） （D）6．．对级数，以下说法中正确的是（ ）．(A) 对任意常数，级数都发散 (B) 对任意常数，级数都条件收敛(C) 对任意常数，级数都绝对收敛 (D) 对不同常数，级数的敛散性不同二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）7．设函数在点处连续的，则 ．8．设，则 ．9．设，则 ．0．设, 则 ．11．设，则 ．12．将展开为的幂级数，得．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分．）13．求极限．14．设函数由方程确定，求．15． 求不定积分.16．计算定积分．17．求过点且与平面垂直，又与直线平行的平面的方程．18．计算二重积分，其中为由直线围成的闭区域．19．设函数可导，且满足，求．20．求微分方程的通解．四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）21．设，求(1) 函数的单调区间与极值；(2) 曲线的凹凸区间与拐点；(3) 函数在区间上的最大值与最小值．22．求常数22．求常数的值，使直线位于曲线的上方（即对一切，恒有 ≥），且直线，，和曲线所围成的平面图形的面积最小．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分．）23．设函数有二阶连续导数，令，若复合函数满足，证明：满足．24．设在上可导，且，证明：在内存在唯一的点，使所围平面图形被直线分成面积相等的两部分．江苏省普通高校专转本统一考试高等数学模拟试卷(二)一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）1．若，则分别为（ ）．(A) (B) (C) (D)2．点是函数的（ ）．(A)无穷间断点 (B)跳跃间断点 (C)可去间断点 (D)连续点3．设当时，是的高阶无穷小，而又是的高阶无穷小，则正整数=( )．(A) (B) (C) (D)4．考虑下列5个函数： ①；　②；　③；　④；　⑤．上述函数中，当时，极限存在的是 ( )．(A) ②③⑤ (B) ①④ (C) ③⑤ (D) ①②③⑤5．设二阶可导，，则( )．（A） (B)(C) (D)6．下列级数中，收敛的是( )．(A) (B) (C) (D)二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）7．设为多项式，，，则 .8．曲线在点处的切线方程为 ．9．若函数在点处可导,且,则 .10．函数在闭区间上的最小值为 .11．设，则．12．幂级数的收敛域为 ．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分．）13．求极限．14．设，求．15. 求不定积分.16．计算定积分．17．求过点，且平行于平面，又与直线相交的直线方程．18．计算，其中．19．设具有二阶连续偏导数，求．20．求微分方程的通解．四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）21．求由曲线，直线，和曲线的一条切线所围成图形面积的最小值．22．已知，试求： （1）函数的单调区间与极值； （2）曲线的凹凸区间与拐点；（3）曲线的渐近线．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分．）23．设函数在上连续，且是偶函数，证明也是偶函数．24．设是大于的常数，且，证明：对任意，有.江苏省普通高校专转本统一考试高等数学模拟试卷(三)一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）1．下列极限正确的是（ ）．(A) (B)(C) (D)2.设，则（ ）．(A)等于 (B)等于 (C)等于 (D)不存在3.函数的第一类间断点共有（ ）．(A)个 (B)个 (C)个 (D)个4.设，则( )．(A) (B) (C) (D)5.二次积分交换积分次序后得（ ）．（A） （B）（C） （D）6.下列级数中，收敛的是（ ）．(A) (B) (C) (D)二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）7．定积分的值为 ．8．设，则 ．9．设，，且，则 .10．设的一个原函数为，则 ．11．幂级数的收敛域为 ．12．若是某二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解，则该微分方程为 ．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分．）13．求极限．14设函数由参数方程所确定，求 ，．15. 已知，求16．求定积分．17．求通过直线且平行于直线的平面方程．18．计算二重积分，其中是由曲线，直线及轴所围成的平面闭区域．19．设，其中具有二阶连续偏导数，求20．求微分方程 的通解．四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）21．已知函数， （1）求函数的单调区间与极值； （2）讨论曲线的凹凸性；（3）求函数在闭区间上的最大值与最小值．22．设曲线与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面区域．（1）求平面区域绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积；（2）问为何值时，取得最大值？五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分．）23．设函数的定义域为，且对任意和均有，又在处连续，．试证明函数在上连续．24．证明：当时，．江苏省普通高校专转本统一考试高等数学模拟试卷(四)一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）1．设函数在点处可导，且，则( )．(A) (B) (C) (D)2．点是函数的( )．(A) 跳跃间断点 (B) 可去间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点3．若抛物线与曲线相切，则( )．(A) (B) (C) (D)4．是可导函数的极大值的充分条件为：对满足 的任意，都有（　）．（A） (B) (C) (D)5．若的原函数为，则（ ）．(A) (B)(C) (D)6．设函数与在上均具有连续导数，且为奇函数，为偶函数，则（　）．（A）　（B） （C） （D）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）7．设，则 ．8．设，则 ．9．曲线在点处的切线方程为 ．10．若向量与平行，且，则 ．11．设，则 ．12．将函数展开为的幂级数，得．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分．）13．求极限．14．设, 求. 15．设，求．16．计算定积分．17．求过点，并与直线垂直又与平面平行的直线方程．18．计算，其中为由直线，及围成的闭区域．19．设，其中具有二阶连续偏导数，求．20．求微分方程 满足初始条件的特解．四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）21．设在取得极值，求常数的值，并求该曲线的凹凸区间与拐点．22．已知函数与满足下列条件：（1），； （2）,,记由曲线与直线，，所围平面图形的面积为，求．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分．）23．证明：当，时，．24．证明：．江苏省普通高校专转本统一考试高等数学模拟试卷(五)一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）1．设, ,则、的值分别为( ).(A) (B) (C) (D)2．设在处可导,且,则曲线在点处的切线的斜率为( ).(A) (B) (C) (D)3．设与都是恒大于零的可导函数,且,则当时,有( ).(A) (B)(C) (D)4．直线与平面的位置关系是( ).（A）平行 （B）垂直 （C）斜交 （D）直线在平面上5．设是连续函数，则( ).（A）（B）（C）　（D）6．幂级数的收敛域为（）．(A) (B) (C) (D)二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）7．设函数在处连续，则 ．8．设直线是曲线的一条切线，则 ．9． ．10．设，则 ．11．设，则．12．微分方程的通解为 ．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分．）13．求极限．14．设，求．15．求不定积分.16．计算定积分．17．求通过点，，且平行于轴的平面方程．18．计算，其中为由曲线，直线，围成的闭区域．19．已知函数由方程确定, 求，.20．求微分方程的通解．四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）21．设某平面图形由曲线与直线围成，求该平面图形的面积，以及该平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积．22．已知，试求： （1）函数的单调区间与极值； （2）曲线的凹凸区间与拐点；（3）函数在闭区间上的最大值与最小值．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分．）23．设在处连续，，证明：在处可导的充分必要条件是. 24．证明：．江苏省普通高校专转本统一考试高等数学模拟试卷(六)一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）1．若，则分别为（ ）．(A) (B) (C) (D)2．点是函数的（ ）．(A)无穷间断点 (B)跳跃间断点 (C)可去间断点 (D)连续点2．若当时，与是等价无穷小，则（ ）．（A） （B） （C） （D）4．曲线的渐近线共有（ ）．（A）条 （B）条 （C）条 （D）条5．若为函数的一个原函数，则【 】（A） (B)（C） （D）6．设，则【 】（A） （B） （C） （D）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）7．设，则 ．8．设, 则 ．9．设，则 ．10． ．11．微分方程的通解为 ．12．级数的收敛半径为 ．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分．）13．求极限．14．求由方程所确定的二元函数的全微分．15. 求不定积分.16．计算定积分．17．求过点且垂直于直线的平面方程．18．计算，其中为由直线及围成的平面闭区域．19．设其中具有连续二阶偏导数，求．20．求微分方程 满足初始条件的特解．21．求由曲线与直线，所围平面图形的面积以及该平面图形分别绕轴、轴旋转一周所形成的旋转体的体积．22．试确定常数、、，使函数的图形有一拐点，且在处有极值，并求出的图形的凸区间．23．设在[]上连续，且，证明：在（）内有且仅有一点，使．24．证明：当时，.江苏省普通高校专转本统一考试高等数学模拟试卷(七)一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）1．设函数，则在点处（　）（A）极限不存在 （B）极限存在但不连续(C) 连续但不可导 (D) 可导且导数为2．设在点处可导，且，则点是函数的（　）(A)无穷间断点 (B)跳跃间断点 (C)可去间断点 (D)连续点3．设，则（）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 34．方程在内（）(A) 仅有一个实根 (B) 有二个实根 (C) 至少有二个实根 (D) 没有实根5．设，，且与轴垂直，则 ( )(A) (B) (C) (D)6．下列级数中，发散的是（ ）（A）　（B）　（C） （D）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）7．设时，是比高阶的无穷小，则常数 .8．设，则．9．曲线的铅直渐近线的方程为 ．10．函数在区间上的最大值为 .11．设，则全微分．12．幂级数的收敛域为 ．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分．）13．求极限．14．设 ,　求．15．设，求．16． 求不定积分.17．计算定积分．18．求过点，且与直线垂直，又与平面平行的直线方程19．计算，其中．20．求微分方程的通解．四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）21．求曲线上的一点，使在该点的切线和,,围成平面图形的面积最小．22．设函数在的某一邻域内具有二阶导数，且，，试求．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分．）23．证明：当时，．24．设，，，其中具有二阶连续偏导数，证明：.江苏省普通高校专转本统一考试高等数学模拟试卷(八)一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）1．设 存在，且 ，则 （ ）(A) １ (B) ０ (C) ２ (D) －２2．当时， 是 的（ ）（A）同阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 低阶无穷小 (D)等价无穷小3．设在点处连续，则在点处取得极大值的充分条件为：对满足的任意，都有（ ） （A） (B) (C) (D)4．若函数在点处可导,则在点处( ).(A)一定连续但不一定可导 (B)一定连续但不可导(C)一定连续且可导 (D)不一定连续且不一定可导5．设，则在区间上( )(A) 函数单调减少且其图形是凹的　(B) 函数单调减少且其图形是凸的(C) 函数单调增加且其图形是凹的　(D) 函数单调增加且其图形是凸的6．级数条件收敛的充要条件是（）(A) (B) (C) (D)二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．）7．设，则 ．8．设存在，且，则．9．已知是偶函数，且，则 ．10．，则 ．11．设，且是互相垂直的单位向量，则以为邻边的平行四边形面积为．12．将展开为的幂级数，得 ．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分．）13．求极限．14．设，求．15． 求不定积分.16．计算定积分．17．一直线通过平面与直线的交点，且与直线平行，试求该直线方程．18．计算，其中D是直线所围成的闭区域．19．设，其中具有二阶连续偏导数，求．20．求微分方程的通解．四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）21．求由曲线与直线所围平面图形的面积以及该平面图形分别绕轴、轴旋转一周所形成的旋转体的体积．22．设22．设，．（１）求的具体解析表达式；（２）讨论的连续性；（３）讨论的连续性．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分．）23．设函数具有连续偏导数，证明由方程 所确定的函数满足 ．24．证明方程有且仅有一个实根．。

江苏省普通高校专转本模拟试题及参考答案高等数学 试题卷一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分,共 32 分.在下列每小题中选出一个正确答 案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1. 要使函数21()(2)xx f x x −−=−在区间(0,2) 内连续，则应补充定义 f (1) =（ ）A. 2eB. 1e −C. eD. 2e − 2. 函数2sin ()(1)xf x x x =−的第一类间断点的个数为（ ）A. 0B. 2C. 3D. 1 3. 设'()1f x =，则0(22)(22)limh f h f h h→−−+=（ ）A. 2−B. 2C. 4D. 4−4.设()F x 是函数()f x 的一个原函数，且()f x 可导，则下列等式正确的是（ ） A. ()()dF x f x c =+∫ B. ()()df x F x c =+∫ C.()()F x dx f x c =+∫ D.()()f x dx F x c =+∫5. 设2Dxdxdy =∫∫，其中222{(,)|,0}D x y x y R x =+≤>，则R 的值为（ ）A. 1B.D.6.下列级数中发散的是（ ）A 21sin n nn∞=∑. B. 11sin n n ∞=∑C. 1(1)nn ∞=−∑ D.211(1)sinnn n ∞=−∑ 7.若矩阵11312102A a −−= 的秩为2，则常数a 的值为（ ）A. 0B. 1C. 1−D. 28. 设1100001111111234D =−−，其中ij M 是D 中元素ij a 的余子式，则3132M M +=（ ） A. 2− B. 2 C. 0 D. 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 9. 1lim sinn n n→∞=____________________________.10.设函数2sin ,0()10,0xx f x x x ≠ =+ =，则'(0)f =______________________________________.11.设函数()cos 2f x x =, 则(2023)(0)f =__________________________________________. 12.若21ax e dx −∞=∫，则常数a =___________________________________.13. 若幂级数1nnn a x +∞=∑的收敛半径为2，则幂级数11(1)nn n x a +∞=−∑的收敛区间为__________________. 14.若向量组1(1,0,2,0)α=，2(1,0,0,2)α=，3(0,1,1,1)α=，4(2,1,,2)k α=线性相关，则k =_____________________________________.三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 15. 求极限22sin lim(cos 1)x x t tdtx x →−∫；16.求不定积分22x x e dx ∫；17.求定积分21sin 2x dx π−∫； 18.设函数(,)z z x y =由方程cos y x e xy yz xz =+++所确定的函数，求全微分dz . 19.求微分方程''4'5x y y y xe −−−=的通解； 20.求二重积分Bxydxdy ∫∫，其中D 为由曲线2(0)y x x ≥及直线2x y +=和y 轴所围成的平面闭区域；21.设矩阵A 与B 满足关系是2AB A B =+，其中301110014A= ，求矩阵B .22.求方程组12341234123436536222x x x x x x x x x x x x ++−=−++=− −+−= 的通解； 四、证明题（本大题10分）23.证明：当04x π−<<时，0sin xt e tdt x <∫.五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）24.求曲线x =及直线2y =与y 轴所围成的平面图形的面积并计算该图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积..25.设定义在(,)−∞+∞上的函数()f x 满足方程'()()f x f x x −=，且(0)0f =，求： （1）函数()f x 的解析式；（2）曲线()y f x =的单调区间和极值点.参考答案一、单项选择题1. B2. D3. D4. D5. B6. B7. A8. B9. C 二、填空题9. 1 10. 1 11. 0 12. 1ln 2213. (1,3)− 14. 4三、计算题15. 2232022250022sin sin 2sin()4lim lim 4lim (1cos )63()2x x x x x t tdt t tdt x x x x x x x →→→===−∫∫； 16. 2222222222222222222224x x x x x x x xxe e x e e e x e e e x e dx x x dx x dx x c =−=−+=−++∫∫∫；17.26206111sin (sin )(sin )22212x dx x dx x dx πππππ−=−+−−∫∫∫； 18. 因为sin sin ,,z zz x y zx y yz x x x x y x ∂∂∂−−−−=+++=∂∂∂+ 且0,y yz zz e x z e x z y x y yy y x∂∂∂−−−=++++=∂∂∂+ 所以可得sin y x y z e x zdzdx dy y x y x−−−−−−=+++. 19. 解：因为特征方程为2450r r −−=，特征值为125,1r r ==−，所以齐次微分方程''4'50y y y −−=的通解为5112x x y c e c e −=+； 设''4'5x y y y xe −−−=的一个特解为*()x y x ax b e −=+，可得11*()1236x y x x e −=−+，所以原方程的通解为：511211*()1236x x x y y y c e c e x x e −−=+=+−+.20. 由22y x x y =+= 可得交点坐标(11)，， 可得21116xBxydxdydx xydy ==∫∫∫∫； 21. 因为2AB A B =+，所以可得(2)A E B A −=，从而可得：1(2)B A E A −=−；又因1211(2)221111A E −−−−=−−− ，所以可得1522(2)432223B A E A −−− =−=−− − ； 22.求方程组12341234123436536222x x x x x x x x x x x x ++−=−++=− −+−= 的通解； 解：111361113611136101241513601012010120101212212031240011200112100120101200112−−−−−−→−→−→− −−−−−−− →− − 一个特解为2220 ，齐次线性方程组12341234123430530220x x x x x x x x x x x x ++−=−++= −+−= 的一组基础解系为：11111η= ，所以原方程组的通解为：123412121210x x c x x=+. 四、证明题 23.证明：当04x π−<<时，0sin xt e tdt x <∫.证明：令0()sin xt f x x e tdt =−∫，则有'()1sin x f x e x =−，令：''()sin cos 0x x f x e x e x =−−=，可得4x π=−，当04x π−<<，''()0f x <，所以当04x π−<<时，'()1sin x f x e x =−为递减函数，可得'()1sin '(0)1x f x e x f =−>=，所以当04x π−<<时，0()sin xt f x x e tdt =−∫为递增函数，因此可得：0()sin (0)0xt f x x e tdt f =−>=∫，从而可证得：0sin x t e tdt x <∫； 五、综合题 24.求曲线x =及直线2y =与y 轴所围成的平面图形的面积并计算该图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积..解：x x y = ⇒ =，则图形面积为：20Aydx dx = 旋转体的体积：2222200022y V x dy ydy ππππ====∫∫； 25.设定义在(,)−∞+∞上的函数()f x 满足方程'()()f x f x x −=，且(0)0f =，求： （1）函数()f x 的解析式；（2）曲线()y f x =的单调区间和极值点. 解：（1）()()()1dxdxx x x f x e xe dx c e xe dx c x ce −−−−−∫∫=+=+=−++∫∫，又因为(0)0f =，所以可得：1c =−，即：()1x f x x e −=−+−； （2）令'()10x f x e −=−+=，可得0x =； x(,0)−∞ 0 (0,)+∞ '()f x −+因此可知：(,0)−∞为函数()1x f x x e −=−+−的递减区间，(0,)+∞为函数()1x f x x e −=−+−的递增区间，点(0,0)为函数()1x f x x e −=−+−的极小值点.。

1 江苏省专转本高等数学模拟试卷（一）一．选择题（本大题共5小题，每小题2分,共10分,每项只有一个正确答案，请把所选项前的字母填在括号内）1.)(2sinlim =¥®xx x p (A) 0 (B) 1 (C) ¥(D) p22.设)(x F 是)(x f 在()+¥¥-,上的一个原函数，且)(x F 为奇函数，则)(x f 是（）(A) 奇函数(B) 偶函数(C) 非奇非偶函数(D) 不能确定3.ò=)(tan xdx (A) c x +cos ln (B) cx +-cos ln (C) cx +-sin ln (D) cx +sin ln 4.设)(x f y =为[]b a ,上的连续函数，则曲线)(x f y =，a x =，b x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为（）(A)òbadxx f )((B) òb adxx f )((C) òb adxx f )((D) ò-ba dxx f )(5.方程0132222=+-+++y x z y x 所表示的曲面为（）(A)球(B) 柱面(C) 双曲线(D) 双曲面二．填空题（本大题共5小题，每小题2分,共10分，请把正确结果填在划线上）1.方程0333=-+axy y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数为2.)3(tan 312y x y +=¢的通解为3.函数3x y =在处不可导4.积分ò-21121dx x ＝ 5.二次积分òò124xxdy dx＝三．计算题（本大题共14题，1-10题每题4分, 11-14题每题10分）分）1. 532+-=x x y ，求导数y ¢2.求极限11lim 31--®x x x3.已知x x xy y x sin )ln(22+=+，求=x dx dy4.ò+dx x x2cos 1sin 5.ò1arctan xdx x6.求方程22x y y y =-¢+¢¢的通解的通解 7.求)(2x f y =的一阶导数dx dy ，二阶导数22dxyd 8.试讨论函数ïîïíì=¹+=001)(1x x exx f x在0=x 处的连续性及可导性处的连续性及可导性9.求二重积分s d yxDòò22，其中D 是由直线2=x ，x y =及直线1=xy 所围成的闭合区域成的闭合区域 10.求函数)0(12³+=x xxy 在何处取最大值在何处取最大值11.设)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内二阶可导，且)()(==b f a f ，且存在点()b a c ,Î使得0)(>c f ，试证明至少存在一点()b a ,Îx ，使0)(<¢¢x f12.设函数ïîïíì>-££--<-=2161221121)(32x x x x x xx f求（１）写出)(x f 的反函数)(x g 的表达式；的表达式；（２）)(x g 是否有间断点，不可导点，若有请指出。

江苏省专转本高数模拟试题与解析第六套江苏省2022年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（六）解析高等数学注意事项：1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。

2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。

3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。

1、下列各极限正确的是（）1某A、lim(1)e某0某C、lim某in某1B、lim(1)某e某某1111D、lim某in1某0某某2、已知当某0时，某2ln(1某2)是inn某的高阶无穷小，而inn某又是1co某的高阶无穷小，则正整数n（）A、1B、2C、3D、43、若f(某)f(某)，且在0,内f(某)0、f(某)0，则在(,0)内必有（）''A、f(某)0,f(某)0''B、f(某)0,f(某)0C、f(某)0,f(某)0D、f(某)0,f(某)0某244、曲线y2的渐近线共有（）某5某6A、1条B、2条C、3条D、4条5、设f(某)有连续的导函数，且a0、1，则下列命题正确的是（）A、f(a某)d某1f(a某)CB、f(a某)d某f(a某)CaC、(f(a某)d某)af(a 某)D、6、下列级数条件收敛的是（）f(a某)d某f(某)C2nA、2n1nB、n1nn11(1)nC、nn1D、n1(1)nn二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。

7、已知f(0)2，则limh0f(h)f(h)h8、已知曲线y2某33某24某5，则其拐点为9、设函数(某)1te2cotdt，则函数(某)的导数(某)某2某tan2某21某)d某10、(11某211、交换积分次序20d某f(某,y)dy某2某12、如果a3,,2,b,2,1，且ab，则____________三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。

2018 年江苏省普通高校 “专转本 ”统一考试一、 选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）1、当 x0 时，下列无穷小与f xxsin 2 x 同阶的是 ()A. cos x 21B.1 x 3 1C. 3x 1D. 1 x2312、设函数 f (x)x a ，若 x1 为其可去间断点，则常数 a ，b 的值分别为()x2x bA. 1, 2B. 1,2C.1, 2D. 1,23、设 f ( x)1 x ，其中x 为可导函数，且1 3 ，则 f 0 等于 ()1 xA. 6B. 6C.3D. 34、设 F x e 2 x 是函数 f x 的一个原函数，则xf x dx()A. e2 x1x 1 C B. e 2x 2x 1 C C. e 2x1x 1 C D. e 2 x 2x 1 C225、下列反常积分发散的是( )x111e dx3 dx dxdx A.B.x C.1 x 2D.11 x6、下列级数中绝对收敛的是()(1)n1 21nsin n( 3)nA.B.C.nnn 1n 2D.n 1n 1n 1n 3二、填空题（本大题共6 小题，每小题 4 分，共 24 分）127 设 lim 1ax x lim xsin，则常数 a _________．x 0xx8、设函数 y x xx 0 ，则 y____________．9、设 zz x, y 是由方程 z 2 xyz 1所确定的函数，则z ___________ ．x10、曲线 y3x 4 4x 3 6x 2 12 x 的凸区间为 ___________ ．11、已知空间三点 M 1,1,1 ， A 1,1,0 ， B 2,1,2 ，则AMB 的大小为 __________ ．12、幂级数 ( x 4) n的收敛域为 ____________ ．n 1n5n三、计算题（本大题共8 小题，每小题8 分，共 64 分）13、求极限lim 1 1 ．x2 ln 1 x2x 014、设函数y y( x) 由参数方程x3 xt 2 t 1 0y t 3 t 1 所确定，求dy ．dx t 015、求不定积分1 dx ．x x 116、计算定积分22x 1 ln xdx ．1x 1 3t17、求通过点M 1,2,3 及直线y 1 4t 的平面方程．z 1 5t18、求微分方程y3 2 x2 y dx 2x3dy 0 的通解．19、设z xf y,x，其中函数具有一阶连续偏导数，求全微分dz ．y20、计算二重积分xydxdy，其中 D x, y2y2 1,0 y x ．x 1D四、证明题（本大题共 2 小题，每小题9 分，共18 分）21、证明：当x20 时，ln x x ．ex22、设F ( x)f (t )dt 0，其中函数 f ( x) 在 ( , ) 上连续，且 lim f ( x) 1，证明： F ( x) 在0 xx＝x 0xx 0点 x 0处连续。

江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。

（2）理解和把握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。

（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。

（4）把握函数的四则运算与复合运算。

（5）理解和把握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。

（6）了解初等函数的概念。

重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。

会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，把握极限的四则运算法则。

（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。

（4）把握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。

（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。

（6）熟练把握用两个重要极限求极限的方法。

重点：会用左、右极限求解分段函数的极限，把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。

（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的中断点及其分类。

（2）把握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的中断点及确定其类型。

（3）把握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。

（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。

重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的中断点。

一．选择题( 每小题 4 分, 共24 分)1. 当x 0 时, 1 cos 2x 与l n(1 ax ) 是等价无穷小，则常数a的值为( )2A. 1B. 2C.3D. 4解：本题考查无穷小阶的比较，就是求两个函数比值的极限，条件说是等价无穷小，那么比值的极限是1，即有12(2 x)x1 cos2 2 2lim lim 12 2x 0 x 0ln(1 ax ) ax a则a 2 ，选B。

2. 曲线y2x xx(x 1)(x 2)的垂直渐近线是( )A. x 0B. x 1C. x 2D. 没有垂直渐近线解：所谓垂直渐近线就是若lim f (x) （也可以是单侧极限，即左极限或右极限为无穷大），则称x x0 x x 为垂直渐近线。

一般拿来讨论极限的x 为函数中无定义的点，本题有三个无定义的点，即x 0 ，x1，x 2，但是在求极限时01y函数经过化简后变成，因此只有x 2 limx 2 x12，所以选C。

3. 设sin x( ) ln(1 )x t t dt ，则(x) ( ) 0A. sin x cos x ln(1 sin x)B. sin x l n(1 sin x)C. sin x c os x l n(1 sin x)D. sin x l n(1 sin x)解：本题考查变上限积分函数求导公式，选A。

4. 下列级数中条件收敛的是( )A.n ( 1)2n n 1 B.n( 1)n n11C.n1n( 1)n12n1D.n 1n( 1)n2解：本题考查绝对收敛与条件收敛的概念，首先要知道无论是绝对收敛还是条件收敛都是满足收敛，只是收敛的“强度”不同罢了。

选项 A 与D都是满足绝对收敛的，选项C一般项的极限不是零，显然发散，只有选项 B 满足条件收敛。

5. 将二重积分D2 2x y dxdy ，D{( x, y) |x y 2 x2 ,0 x 1}化成极坐标下的二次积分，则得( )A.2 24 d r dr B.0 02 24 d r dr C.0 0242 2d r dr D.242 2d r dr解：本题考查二重积分的极坐标变换，首先关键是画出积分区域来，作图如下：本题积分区域形如右图阴影部分，显然答案选D。

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷10(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．若=( )。

A．B．C．2D．4正确答案：B解析：令，当x→∞时，t→0，则。

2．要使f(x)=在点x=0处连续，应给f(0)补充定义的数值是( )。

A．kmB．C．lnkmD．ekm正确答案：A解析：＝lnekm=km，∴f(0)=km，选A项。

3．设f(x2)=x4+x2+1，则f’(1)=( )。

A．1B．3C．-1D．-3正确答案：C解析：(1)∵f(x2)=(x2)2+x2+1，∴f(x)=x2+x+1。

(2)f’(x)=2x+1，f’(-1)=-2+1=-1，选C项。

4．已知f(x)=(x-3)(x-4)(x-5)，则f’(x)=0有( )。

A．一个实根B．两个实根C．三个实根D．无实根正确答案：B解析：(1)∵f(x)在[3，4]连续在(3，4)，可导且f(3)=f(4)=0，∴f(x)在[3，4]满足罗尔定理条件，故有f’(ξ1)=0(3=( )。

A．e-x(x+1)+CB．-e-x(x+1)+CC．e-x(1-x)+CD．e-x(x-1)+C正确答案：A解析：∵F(x)=e-x，f(x)=F’(x)=-e-x，∴原式=∫xdF(x)=xF(x)-∫F(x)dx=xe-x-∫e-xdx=(x+1)e-x+C选A项。

填空题7．＝＿＿＿＿＿＿。

正确答案：解析：本题是考查幂指函数求极限，先把极限变形为，此题是形如1∞型的不定式，可以利用两个重要极限公式的推广公式求解：，注：等价无穷小替换，x→0+。

8．函数f(x)=2x2-x+1在区间［-1，3]上满足拉格朗日中值定理的ξ＝＿＿＿＿＿＿。

正确答案：ξ=1解析：由已知可得f’(x)=4x-1，令4x-1＝＝3，解该方程即为满足拉格朗日定理的ξ=1。

9．＝＿＿＿＿＿＿，其中D为以点O(0，0)、A(1，0)、B(0，2)为顶点的三角形区域。

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷64(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知连续函数f(x)满足f(x)=x2+，则f(x)=( )。

A．f(x)=x2+xB．f(x)=x2—xC．f(x)=x2+D．f(x)=x2+正确答案：C解析：用代入法可得出正确答案为C。

2．函数f(x)=在x=0处( )。

A．连续但不可导B．连续且可导C．不连续也不可导D．可导但不连续正确答案：B解析：=0f(x)=f(x)=f(0)=0，则此分断函数在x=0处连续，又=0，=0，则，故分段函数x=0可导。

3．关于y=的间断点说法正确的是( )。

A．x=kπ+为可去间断点B．x=0为可去间断点C．x=kπ为第二类无穷间断点D．以上说法都正确正确答案：D解析：f(x)=的间断点为x=kπ，kπ+，k∈Z f(x)=0，所以x=kπ+为可去间断点，对于x=kπ，当k=0，即x=0时，=1，x=0为可去间断点，当k≠0时，=∞，x=kπ为第二类无穷间断点。

4．设D：x2+y2≤R2，则=( )。

A．=πR3B．=πR2C．D．=2πR3正确答案：C解析：在极坐标中，0≤r≤R，0≤θ≤2π，5．抛物面++=1在点M0(1，2，3)处的切平面是( )。

A．6x+3y—2z一18=0B．6x+3y+2z一18=0C．6x+3y+2z+18=0D．6x一3y+2z一18=0正确答案：B解析：设F(x，y，z)=—1，则Fx=x，Fy=，Fz=，Fx(1，2，3)=，Fy(1，2，3)=，Fz(1，2，3)=切平面方程为6x+3y+2z一18=0。

6．幂级数的收敛半径是( )。

A．0B．1C．2D．+∞正确答案：B解析：ρ==1收敛半径R==1填空题7．x+y=tany确定y=y(x)，则dy=________。

正确答案：8．函数y=，y″(0)=________。

专升本（高等数学一）模拟试卷64(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．＝( )A．e－2B．e－1C．eD．e2正确答案：D解析：＝e，∴原式＝e2．附：该式属于公式记忆性运用，答题时可直接拿出．2．设y＝e－5x，则dy＝( )A．一5e－5xdxB．一e－5xdxC．e－5xdxD．5e－5xdx正确答案：A解析：y′＝e－5x.(一5x)′＝－5e－5x，∴dy＝－5e－5xdx．3．设函数f(x)＝xsinx，则f′()一( )A．B．1C．D．2π正确答案：B解析：f′(x)＝x′sinx＋x(sinx)′＝sinx＋xcosx ∴f′()＝1．4．设函数f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f′(x)＞0．若f(a).f(b)＜0，则y＝f(x)在(a，b) ( )A．不存在零点B．存在唯一零点C．存在极大值点D．存在极小值点正确答案：B解析：∵f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导且f′(x)＞0，∴f(x)在(a，b)上严格递增且无极值；f(a).f(b)＜0，满足零点存在条件，存在唯一零点．5．∫x2ex3 dx＝( )A．x2ex3＋CB．3x2ex3＋CC．ex3＋CD．3ex3＋C正确答案：C解析：∴原式＝ex3＋C．6．(3x2＋sin5x)dx＝( )A．一2B．一1C．1D．2正确答案：D解析：∫( 3x2＋sin5x)dx＝x3一cos3x－cosx＋C∴原式＝1－cos3(一1)－cos(一1)]＝2．7．e－x dx＝( )A．一eB．－e－1C．e－1D．e正确答案：C解析：∫e－xdx＝一e－x＋C．∴原式＝－e－∞＋e－1＝e－18．设二元函数z＝x2y＋xsiny，则＝( )A．2xy＋sinyB．x2＋xcosyC．2xy＋xsinyD．x2y＋siny正确答案：A解析：将y看作常数，＝y(x2)′＋x′siny＝2xy＋siny．9．设二元函数z＝，则＝( ) A．1B．2C．x2＋y2D．正确答案：A解析：将y，x分别看作常数，∴原式＝＝1．10．设球面方程为(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2＝4，则该球的球心坐标与半径分别为( )A．(一1，2，一3)；2B．(一1，2，一3)；4C．(1，一2，3)；2D．(1，一2，3)；4正确答案：C解析：依表达式可知：球心坐标为(1，一2，3)，半径的平方为4，半径为2．填空题11．＝__________．正确答案：解析：12．设y＝，则y′＝___________．正确答案：解析：y′＝13．设函数y＝arccos，则dy＝__________．正确答案：dx解析：dy＝(arccos dx．14．dx＝_________．正确答案：ln ｜1＋x3｜＋C解析：＝ln｜1＋x3｜＋C．15．dx＝_________．正确答案：解析：16．设二元函数z＝ln(x＋y2)，则dz＝__________．正确答案：dx＋dy解析：zx＝，zy＝＝1，所以dx＋dy．17．设函数z＝x2＋yex，则＝_________．正确答案：ex解析：＝ex．18．过点P(2，3，一1)，且与点P和原点的连线垂直的平面方程为___________．正确答案：2x＋3y—z一14＝0解析：平面的法向量n＝289＝｛2，3，—1｝，又平面过点P(2，3，一1)，所以由点法式可知平面的方程为：2(x一2)＋3(y一3)一(z＋1)＝0，化简得：2x＋3y—z一14＝0．19．设D为x2＋y2≤9且y≤0，则2dxdy＝__________．正确答案：9π解析：由题意可知，积分区域为圆x2＋y2＝9的下半圆，所以2dxdy＝2××32π＝9π．20．微分方程y′＝x3＋cos 2x的通解为y＝_________．正确答案：sin 2x＋C解析：y＝(x3＋cos 2x)dx＝sin 2x＋C．解答题21．计算．正确答案：＝e－2 22．设求．正确答案：所给问题为参数方程求导问题，由于＝6.sin t.cost，因此23．设函数f(x)＝试确定a，b的值，使f(x)在点x＝1处既连续又可导．正确答案：f(1一0)＝x2＝1，f(1＋0)＝(ax ＋b)＝a＋b，因f(x)在x＝1连续，f(1一0)＝f(1＋0)，故a＋b＝1，b＝1一A．又(x＋1)＝2，＝a，要使f(x)在x＝1可导，必须(1)故a＝2．于是b＝1一a，b＝－1．所以，当a＝2，b＝一1时，函数f(x)在点x＝1处既连续又可导．24．计算xln xdx．正确答案：25．求方程(y—x2y)y′＝2x的通解．正确答案：分离变量得ydy＝dx，两边积分得d(1－x2)，即y2＝－ln ｜1－x2｜＋C，或y2＝－2ln｜1一x2｜＋C．26．求幂级数x2n＋1的收敛区间．正确答案：当x2＜1，即x2＜2时，所给级数收敛，因此，收敛区间为(一)．27．求过点M0(0，3，2)，且与两个平面π1，π2都平行的直线方程，其中π1：x＋y一2x一1＝0，π2：x＋2y—z＋1＝0．正确答案：平面π1的法向量n1＝｛1，1，一2｝，平面π2的法向量n2＝｛1，2，一1｝，设直线的方向向量s＝｛x，y，z)，由题意知，s⊥n1，且s⊥n2，所以有：得即直线的方向向量为｛3，一1，1｝．直线方程为：28．计算xydxdy，，其中D由y＝x，y＝1与y轴围成．正确答案：解法1解法2。