北师大版 高考数学总复习 平面向量-从位移、速度、力到向量 课时练习13

第二章§1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度、力与向量的概念 1.2 向量的基本关系A 级必备知识基础练1.(多选)下列说法正确的是( ) A.长度相等的向量是相等向量 B.零向量的长度等于0C.共线向量是在同一条直线上的向量D.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线是A,B,C,D 四点共线的必要不充分条件 2.设a,b 是两个非零向量,下列四个条件中,使a |a |=b|b |成立的充分条件是( )A.|a|=|b|且a ∥bB.a=-bC.a ∥bD.a=4b3.在下图田字格中,以图中的结点为向量的起点或终点.(1)写出与A 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量; (2)写出与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的向量.B 级关键能力提升练4.(多选)下列结论中正确的是( ) A.a ∥b 且|a|=|b|是a=b 的必要不充分条件 B.a ∥b 且|a|=|b|是a=b 的既不充分也不必要条件 C.a 与b 方向相同且|a|=|b|是a=b 的充要条件 D.a 与b 方向相反或|a|≠|b|是a≠b 的充分不必要条件5.(多选)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD 是全等的菱形,则下列说法正确的是( )A.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗ |B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线C.BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线D.CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =FG ⃗⃗⃗⃗C 级学科素养创新练6.如图,A 1,A 2,…,A 8是☉O 上的八个等分点,则在以A 1,A 2,…,A 8以及点O 这九个点中任意两点为起点与终点的向量里,模等于圆半径的向量有多少个?模等于半径√2倍的向量有多少个?参考答案第二章 平面向量及其应用 §1 从位移、速度、力到向量 1.1 位移、速度、力与向量的概念1.2 向量的基本关系1.BD 相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故A 说法错误;B 说法显然正确;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故C 说法错误;A,B,C,D 四点共线⇒向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,反之不成立,所以向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线是A,B,C,D 四点共线的必要不充分条件,故D 说法正确.故选BD.2.D 对于选项A,|a|=|b|且a ∥b,则a,b 两个为相等向量或相反向量,当a=-b 时,a |a |=-b|b |,a|a |=b |b |不成立,所以|a|=|b|且a ∥b 不是a|a |=b |b |成立的充分条件,故选项A 错误;对于选项B,a=-b 时,a |a |=-b|b |,所以得不出a |a |=b |b |,a=-b 不是a|a |=b |b |成立的充分条件,故选项B 错误;对于选项C,a ∥b,若a,b 两个向量方向相反时,得不出a |a |=b|b |,所以a ∥b 不是a|a |=b |b |成立的充分条件,故选项C 错误;对于选项D,a=4b 满足a,b 同向共线,所以a 的单位向量与b 的单位向量相等,即a |a |=b|b |,所以a=4b 是a|a |=b|b |成立的充分条件,故选项D 正确.故选D.3.解(1)如图(1)标出了与A 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同、大小相等的向量,是与A 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量,有A 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1C 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 2C 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(2)与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的向量是指与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同或相反的向量,长度可以相等也可以不相等,故有A 1C 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 2C 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 2A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 3A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 3A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图(2)所示.图(1)图(2)4.ACD 若a=b,则a 与b 方向相同,模相等,所以A,C,D 正确,B 错误.5.ABD 由四边形ABCD,CEFG,CGHD 是全等的菱形知,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗ |,即A 正确;由图形可知,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相反,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FG ⃗⃗⃗⃗ 方向相同且长度相同,即CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =FG ⃗⃗⃗⃗ ,故B,D 正确;而BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定共线,故C 不一定正确.故选ABD.6.解由图可知,模等于圆半径的向量为OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A i O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i=1,2,…,8)共16个; 图中两个正方形的每条边对应了2个模等于圆半径√2倍的向量,共16个.。

从位移、速度、力到向量一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·汉中高一检测)下列命题中,正确的是( )A.两个相等的向量的起点、方向、长度必须都相同B.若a,b是两个单位向量,则a=bC.若向量a和b共线,则向量a,b的方向相同D.零向量的长度为0,方向是任意的【解析】选D.两个向量相等,只要长度相等,且方向相同即可,起点可以不同,故A不正确;两个单位向量的方向不一定相同,所以它们不一定相等,故B不正确;方向相同或相反的向量为共线向量,故C不正确;零向量的长度为0,其方向是任意的,故D正确.2.(2014·潍坊高一检测)设O是正△ABC的中心,则向量,,是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量【解析】选C.向量,,分别是以三角形的顶点和中心为起点和终点的向量,因为O是正三角形的中心,所以O到三个顶点的距离相等,即||=||=||,故选C.3.下列三个说法正确的个数是①零向量是长度为0的向量,所以零向量与非零向量不平行.②若非零向量与是共线向量,则A,B,C,D四点共线.③因为向量∥,所以AB∥CD. ( )A.0B.1C.2D.3【解析】选A.零向量与任意向量都平行,故①错误;方向相同或相反的向量为共线向量,若与无公共点,则A,B,C,D四点不一定共线,故②错误;当向量∥,AB与CD平行或共线,故③错误.本题应选A.4.四边形ABCD中,如果=,且||=||,则四边形ABCD为( )A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形【解题指南】由=,可得四边形ABCD为平行四边形,再由||=||,可得此平行四边形是矩形,从而得出结论.【解析】选C.四边形ABCD中,如果=,则四边形ABCD为平行四边形.再由||=||,可得平行四边形的对角线相等,四边形ABCD是矩形,故选C.5.如图,设ABCD是菱形,下列可以用同一条有向线段表示的两个向量是( )A.和B.和C.和D.和【解析】选B.由菱形的性质知:和大小相等,方向相同,故选B.【误区警示】本题容易出现因概念不清而错选的情况.“用同一条有向线段表示”即“两个向量相等”.6.如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中不成立的是( )A.||=||B.与共线C.与共线D.=【解析】选C.由题目条件可知AB=EF,AB∥CD∥FG,CD=FG,但是∠DEH≠∠BDC,故BD与EH不平行,所以A,B,D 成立,C不成立.二、填空题(每小题4分,共12分)7.把所有单位向量的起点集中于一点O,则它们终点的轨迹是.【解析】如图所示,轨迹是以O为圆心,半径为1的圆.答案:以O为圆心,以1为半径的圆8.把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点,则这些向量的终点构成的图形是.【解析】由于这些向量平行于同一条直线,故这些向量为共线向量,当把这些向量的起点移到同一起点时,终点在过定点与已知直线平行的直线上.答案:直线9.如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中:(1)与相等的向量有.(2)与共线的向量有.(3)与的模相等的向量有.(4)向量与(填“相等”“不相等”)【解析】因为O是正方形ABCD对角线的交点且四边形OAED,OCFB都是正方形.(1)结合相等向量的定义可知与相等的向量有.(2)结合共线向量的定义可知与共线的向量有,,.(3)与的模相等的向量有,,,,,,.(4)向量与方向不同,故不相等.答案:(1)(2),,(3),,,,,,(4)不相等【误区警示】解此类题目时一定要分清相等向量、共线向量等概念的区别.三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·锦州高一检测)如图是4×5的矩形(每个小方格都是正方形),试作出与相等的向量,要求向。

状元随笔 1.理解向量概念应关注三点
(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样 的向量可以作任意平移．
(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个 因素．
(3)向量与向量之间不能比较大小．
2．相等向量的理解 任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并 且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有 向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定． 3．向量与有向线段的关系 如果有向线段A→B表示一个向量，通常我们就说向量A→B，但有向 线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．
有向线段
具有___方_向____和__长 __度____的线段称为有向线段．以 A 为 起点，B 为终点的有向线段记作___A→_B____，线段 AB 的 长度称为有向线段A→B的长度，记作___|A→_B_|___．
向量的模 向量 a 的大小，记作|a|，又称作向量的模．
零向量
长度为__0__的向量称为零向量，记作 0.
单位向量 模等于__1__个单位长度的向量，称为单位向量．
共线向量
两个非零向量 a，b 的方向___相__同___或___相__反___称这两个 向量为共线向量或平行向量，记作 a∥b
规定：零向量与__任__一____向量共线．
相等向量 长度相等且方向__相__同____的向量称为相等向量．
相反向量
解析：A 项考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向 线段共线要求线段必须在同一直线上，而向量共线时，表示向量的有向线 段可以在两条平行直线上，不一定在同一直线上．故 A 项错误．
由于零向量与任一向量平行，因此，若 a，b 中有一个为零向量时， 其方向是不确定的，故 B 项错误．

第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.已知向量a与b是两个不平行的向量,若a∥c且b∥c,则c等于()A.0B.aC.bD.不存在这样的向量解析:零向量与任一向量是共线向量,故c=0.答案:A3.正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,a n,则这n个向量()A.都相等B.都共线C.都不共线D.模都相等解析:正n边形的n条边长都相等,但它们所在的直线不都平行,相邻两条边一定相交,所以这n个向量的模都相等.答案:D4.若a为任一非零向量,b是模为1的向量,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是()A.①④B.③C.①②③D.②③解析:题中只明确了b的模的大小,而没有指明a的模,因此,①错误;④错误;题中没有说明a,b的方向,故不能判断两向量是否平行,因此,②错误;向量的模是一个长度,其值大于等于0,故③正确.答案:B5.导学号03070076已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,则下列说法中错误的是()A.C⫋AB.A∩B={a}C.C⫋BD.A∩B⫌{a}解析:A∩B含有a的相反向量,所以B错误.答案:B6.如图所示,E,F,G,H为正方形ABCD各边的中点,O为其中心,则下列结论中不正确的是()A.B.C.D.||=||=||=||解析:由题图可知,故A错.答案:A7.如图所示,在四边形ABCD中,,且||=||,则四边形ABCD的形状为.解析:∵,∴四边形ABCD为平行四边形.又||=||,∴平行四边形ABCD为菱形.答案:菱形8.如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AD与BC的中点,则在以A,B,C,D四点中的任意两点组成的所有向量中,与向量方向相反的向量为.解析:由于AB∥EF∥CD,所以与共线的向量有,其中方向相反的是.答案:9.如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中选取2个交点组成向量,则与平行且长度为2的向量个数是.解析:题图中共有四个边长为2的正方形,每个正方形中有符合条件的向量两个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量,方向相同或相反),故满足条件的向量共有8个.答案:810.导学号03070077如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA边上的点,已知,试推断向量是否为相等向量,说明你的理由.解:,理由:∵,∴||=||,点D是AB边的中点.∵,∴是平行向量,∴DF∥BE,即DF∥BC.∴=1,∴点F是AC边的中点.∵点D是AB边的中点,∴由三角形中位线定理知,DF=BC.又||=||,即DF=BE,∴BE=BC,∴点E为BC边的中点.∵点D是AB边的中点,于是DE∥AC,且DE=AC.∵点F是AC边的中点,∴AF=AC,∴DE AF,故.11.(2015江西吉安一中上学期期中)如图所示,平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,设点集S={A,B,C,D,O},向量集合T={|M,N∈S且M,N不重合},试求集合T的子集的个数.解:由题意可知,集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段,共有20个,即.由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即.又集合元素具有互异性,故集合T中的元素共有12个,从而集合T共有212个子集.。