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【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题01 集合与常用逻辑用语一．基础题2.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，4.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】设全集错误！未找到引用源。
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A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
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【答案】D【解析】错误！未找到引用源。
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5.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】已知集合错误！未找到引用源。
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（）A. 0B. 3C. 4D. 3或4【答案】D【解析】错误！未找到引用源。
3或47.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】错误！未找到引用源。
是错误！未找到引用源。
的A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若错误！未找到引用源。
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成立，但是若错误！未找到引用源。
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不一定成立，例如错误！未找到引用源。
也满足，故答案为B.9.【广州市2013届高三年级1月调研测试】已知集合错误！未找到引用源。
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A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
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【答案】 D【解析】错误！未找到引用源。
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10.【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】已知集合错误！未找到引用源。
，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为A.错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
2013gct考试真题及答案一、语言表达能力测试1. 单选题：下列句子中，没有语病的一句是（）。
A. 通过这次活动，使我们认识到了环境保护的重要性。
B. 他虽然学习成绩优秀，但是工作能力一般。
C. 我们一定要防止类似事件不再发生。
D. 他的话深深地打动了在场的每一个人。
答案：D解析：A项成分残缺，缺少主语；B项关联词使用不当，应为“虽然工作能力一般，但是学习成绩优秀”；C项否定不当，应为“我们一定要防止类似事件再次发生”。
2. 单选题：下列句子中，标点符号使用正确的一句是（）。
A. 他问我：“你明天有空吗？”B. 他问我，你明天有空吗？C. 他问我：“你明天有空吗”？D. 他问我，你明天有空吗？答案：A解析：B项缺少引号；C项问号应为句号；D项缺少引号。
3. 单选题：下列句子中，成语使用正确的一句是（）。
A. 他做事总是马马虎虎，不拘小节。
B. 他虽然年纪轻轻，但是老气横秋。
C. 他做事总是一丝不苟，精益求精。
D. 他虽然年纪轻轻，但是少年老成。
答案：C解析：A项“马马虎虎”与“不拘小节”重复；B项“老气横秋”与“年纪轻轻”矛盾；D项“少年老成”与“年纪轻轻”矛盾。
二、数学基础能力测试4. 单选题：设函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(1)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B解析：将x=1代入函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，得到f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 1。
5. 单选题：设函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g(2)的值。
A. -2B. 0C. 2D. 4答案：C解析：将x=2代入函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，得到g(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2。
6. 单选题：设函数h(x) = 4x^2 - 12x + 9，求h(3)的值。
A. 0B. 9C. 18D. 27答案：B解析：将x=3代入函数h(x) = 4x^2 - 12x + 9，得到h(3) =4(3)^2 - 12(3) + 9 = 36 - 36 + 9 = 9。
2013年高考（505）广东省广州市高三考前训练题（一）广东省广州市2013届高三考前训练题语文试题一、本大题4小题，每小题3分，共12分。
A1.下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是A.触目/贬黜沏茶/堆砌复辟/开辟B.贡品/供品贬谪/嫡系忖度/度量C.发酵/校验嗔怪/缜密隽永/隽秀D.撰写/编纂粗犷/旷达挣扎/驻扎2.下面语段中画线的词语，使用不恰当的一项是近年来，重视中国传统文化的呼声越来越高，但与此形成鲜明对比的是传统文化在民间却渐行渐远。
对于这个问题，仁者见仁智者见智：有人认为此前一些传统节日没有被列为法定节日是导致传统文化传承危机的重要原因；但也有人认为这不能归咎于传统节日没有成为法定假日，春节一直都是法定假日，但其间的一些传统习俗却改弦易辙了。
A．渐行渐远B．仁者见仁智者见智C．归咎D．改弦易辙3.下列句子中，没有语病的一项是A.为避免不再出现大量旅客滞留火车站的局面，广州市春运办公室通过增加车票提示信息与应急候乘点匹配结合的方法，进一步提高了应急处置能力。
B.不知腊月谢年为何物，却对鸟叔圣诞节如数家珍，我们的下一代正生活在一个与我们的传统文化隔离的世界里，这种情况令人堪忧。
C.尽管现在乡村与城市的差异很大，但它们的文化同出一个源头，因此，古村落保护与城市化发展有相通之处，在文化上都有不能舍弃的根的情结。
D.两会代表们期盼国家医药管理局尽快制定措施，尽量降低药品的价格和流通环节，让老百姓能看得起病，更好地解决老百姓看病难的问题。
4.把下列句子组成语意连贯的语段，排序最恰当的一项是健康积极的草根文化会形成了对主流文化的重要补充，但愚昧落后的草根文化无可否认也会对传统意义上的主流文化带来了辐射、腐蚀和冲击。
我们应该剔除那些对我国优秀的传统文化造成颠覆性的破坏较大的草根文化，倡导和发展那些众所喜闻乐见又对社会发展有进步意义的草根文化。
草根文化因为其民间、生活，这些文化难免有的带有一定的糟粕和腐蚀性。
学校 班级 姓名 考号 考场密 封 线 内 不 要 答 题密 封 线 内 不 要 答 题2018广州学而思华杯赛决赛模拟卷2一、填空题（每小题10分，共80分）1、记形如()n ab 的数为n 进制下的两位数ab ．那么算式(11)+(22)(33)(44)(55)(66)(77)(88)(99)a b c d e f g h i +++++++结果的最小值为________．2、三个相邻奇数的乘积为五位数：6***7，这三个奇数之和为________．3、有一杯盐水，如果加入400克水，浓度就减低为原来的一半；如果不加水，反而加120克盐，浓度就增加为原来的2倍．这杯水原来的浓度是________%．4、完成图中的除法数字谜，这个竖式中的被除数是________．5、一个正整数数有6个因数，且它最小的三个因数之和为10．这个正整数为________．6、如图，6个大小相同的圆依次相切排列在一个圆环的周围，这6个圆的圆心都在圆环外侧的圆上．相邻两圆的切点（即两圆唯一的交点）都在圆环内侧的圆上．已知6个小圆的面积均为1，那么这个圆环的面积为________．7、一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是1，这样的六位数有________个． 8、妥善选择自然数a 、b 、c 、d 的数值，使得纯循环小数0.2018a bc d 化为分数之后的分母最小．此时四位数abcd 的值为________．二、简答题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9、小铁匠接到一个铸造圆柱储油罐的任务，这个储油罐包括完全密封的盖子，且要求这个储油罐的底面半径和高都是整数米．他现有的铁原料足够铸造表面积为18.84平方米的铁皮．问他可以铸造的最大容积的储油罐可以储存多少立方米油？（π 3.14=）10、如下图：6个点1A 、2A 6A 两两之间连线，构成一幅完全图．图中的任意三条连线都不相交于同一个点．那么这幅图中一共有多少个三角形？（三角形的顶点不一定是1A 、2A 6A ）11、如图，一张台球桌的长3AD =米，宽2AB =米，肥罗从AD 边中点E 的位置一杆将球击出，球依次在球桌另外三边上的点F 、G 、H 处反射后准确落入A 处的球袋中．球在球桌上划出一个平行四边形FGHI ，求这个平行四边形FGHI 的面积．（已知球反射时球入射的角度和出射的角度相同，例如球在点F 处反射时，AFE BFG ∠=∠）812A 3456FGH密 封 线 内 不 要 答 题密 封 线 内 不 要 答 题12、调皮的钟表匠在一个没有秒针的标准钟上装了一个逆时针匀速旋转的怪针．某一个时刻他观察到怪针与分针重合，而此时分针和时针的夹角为90︒．过了一段时间，发现怪针与时针重合了．又过了相同的一段时间，怪针又与分针重合了．并且在以上描述的每两次重合之间，怪针未与其他针重合过．问这个怪针每小时旋转多少度？三、解答题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13、定义一个多位数（不算一位数）从首位到末位每位的数字依次增加，则此多位数称为“单升数”，例如：12345是一个“单升数”．定义：如果a 和b 是相同位数的“单升数”（a b <），并且a 和b 的每位数字均无重复数码；当计算b a -的差值，列竖式时被减数的每位都不用借位，则称（a ,b ）为一组“学而思”数．问一共有多少组“学而思”数．（如：234和567是一组学而思数）．14、1~100的整数以任意次序分别写在50张纸片的正反两面（每面一数，互不相同）.纸片摆放在桌面上，只能看见每张朝上一面的数．肥罗将其中若干张（张数不限，也可不翻）翻面，翻面后,并计算全部朝上的50个数之和．他能保证得到的最大和数S 是多少？。
2013学年广州市初中毕业生学业考试初三历史试题说明：1.考试时间60分钟。
全卷满分100分。
2.请选出1—42小题的答案，并用2B 铅笔把答题卡上对应题选项的信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
3.43—45小题在答题．．卡．上作答。
一、单项选择题：（每题2分，共50分）1.恩格斯曾高度评价一场运动：“这是一次人类从来没有经历过的最伟大的、进步的变革，是一个需要巨人而且产生了巨人——在思维能力、热情和性格方面，在多才多艺和学识渊博方面的巨人的时代。
”这场运动是指A.文艺复兴B.宗教改革C.启蒙运动D.新文化运动2.14、15世纪时，欧洲人十分渴望到东方发财，哥伦布选择与其他航海家不同的航海方向，认为向西航行也可以到达东方。
支持他这一信念最重要的因素是 A.西班牙王室大力支持 B.他有西行航海图 C.郑和航海的启发 D.他相信地圆学说3.1688年，英国资产阶级和新贵族联合其他不满国王专制的人士发动宫廷政变，推翻了专制统治，另立新国王，历史上将这这次革命称为“光荣革命”。
之所以称之为“光荣革命”，是因为A.人民群众积极支持B.革命将查理一世推上断头台C.废除英国君主制D.不流血就推翻了国王的专制统治4. “议会除了不能使一个女人变成男人和使一个男人变成女人之外，能够做一切的事情”，这是人们对英国资产阶级革命后议会的描述。
这说明当时 A.权力重心在议会 B.权力重心在国王 C. 议会权力受国王限制 D.议会是国家的象征5.根据右边材料，指出华盛顿的主要功绩A.组建第一支美国军队B.维护了国家统一C.确立了民主政治体制D.恢复国家独立主权 6.每年的7月4日，是美国人民欢度国庆的日子。
与美国国庆日有直接关系的是A.来克星顿枪声B.《独立宣言》发表C.萨拉托加大捷D.英国承认美殖民地独立7. “拿破仑执政期间，对外战争连绵不断。
这些战争打击了欧洲各国旧的封建统治，传播了革命思想，但同时也掠夺了被占领国的财富，激起当地人民不满和反抗。
学而思奥数考试题及答案一、选择题1. 一个数的3倍加上5等于20，这个数是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B2. 一个正方形的边长增加2厘米后，面积增加了20平方厘米，原来正方形的边长是多少厘米？A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B二、填空题1. 一个数乘以2再加上3等于15，这个数是______。
答案：62. 一个长方形的长是宽的2倍，如果宽增加3厘米，长减少3厘米，那么面积不变，原来的宽是______厘米。
答案：6三、解答题1. 甲乙两人同时从A地出发，甲每小时走5千米，乙每小时走3千米。
甲到达B地后立即返回，与乙相遇时，甲比乙多走了20千米。
AB两地相距多少千米？答案：AB两地相距40千米。
2. 一个水池有甲乙两个进水管，甲管每小时注水10吨，乙管每小时注水12吨。
同时打开两个进水管，需要多少小时才能注满水池？答案：需要5小时才能注满水池。
四、简答题1. 一个数的5倍减去3等于22，这个数是多少？答案：这个数是5。
2. 一个长方形的长是宽的3倍，如果长增加5厘米，宽减少5厘米，那么面积减少50平方厘米。
原来的长和宽分别是多少厘米？答案：原来的长是30厘米，宽是10厘米。
五、应用题1. 一个班级有36名学生，其中女生人数是男生人数的2倍。
这个班级有多少名男生？答案：这个班级有12名男生。
2. 一个水池有甲乙两个出水管，甲管每小时排水10吨，乙管每小时排水8吨。
如果两个出水管同时打开，需要多少小时才能排空一个装满水的水池？答案：需要6小时才能排空水池。
下面是由10个小圆片摆成的三角形图案，请你移动3个小圆片，使三角形图案倒过来。 【例1拓展】★★ 用9个圆片组成一个三角形，移动3个圆片，使这个三角形正好方向相反。
请你交换两个数的位置，使每组中的三个数相加的和相等
请你移动二枚棋子，使横行、竖行上的几个数和相等。
勇闯迷魂阵 ★★
★★★ ★★★ 你们知道我喝的果汁多还是水多(详情见视频) ★★★★
★★★★
★★★ ★★★★★ 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 例1测： ☆☆下面是由6个小圆片摆成的三角形图案，请你只移动2个小圆片，使三角形图案倒过来．动手摆一摆．你能做到吗
A．能 B．不能 C．不确定 D．以上答案都不对
例2测： ☆☆☆ 请你交换两个数的位置，使每组中的三个数相加的和相等。交换哪两个数呢
图3图2图1
109
287365
4
A．5和10 B．6和9 C．4和9 D．4和8
例3测： ☆☆☆一杯纯果汁100毫升，小明喝了半杯后，加入半杯水，摇匀后，又喝了半杯，再加入半杯水，再喝半杯，又加了半杯水，最后一口气把一整杯喝完。那么小明一共喝了多少毫升的纯果汁 A．90 B．95 C．80 D．100 例4测： ☆☆☆☆明明在家玩装水实验，他有两个瓶子，一个可以盛水500毫升，一个可以盛水700毫升，现在明明想要300毫升的水，问利用这两只瓶子能取到300毫升的水吗
A．能 B．不能 C．不确定 D．以上答案都不对 例5测： ☆☆☆☆ 一块圆形大饼，切 6刀最多能切成几块
A．21 B．22 C．20 D．23
例6测： (☆☆☆☆☆)如图长方形一豆腐块，你能切3刀，切成8小块吗
A．不能，最多只能切成7块 B．能 C．不确定 D．以上答案都不对
试题简介模板模板一：本次期中测试题内容全面，知识点突出，注重学生知识的积累，既关注了学生的学习过程，又突显学习的收获成果，全部都是讲过的内容，覆盖面较广。
重点是学生对基础知识的掌握情况。
结构安排比较合理，有利于学生的审题发挥。
出题本着照顾全体，难易适度的原则。
做到基础考察全面，能力训练得到提高，让不同层次的学生通过这次都有提高，考出水平。
模板二：本套2020高三适应性调研考试试题题量适中，题型灵活，考查知识全面，语言知识与技能并重，能体现知识重难点。
，适合高三二轮复习使用模板三：说明：一年级上册检测形式单独设计，因为学生学习语文还刚刚起步，重点考察汉语拼音的拼读能力和学过的汉字、语境的掌握情况。
鉴于学生识字量较低，理解能力有限，为保障顺利答卷，建议统一安排监考教师用普通话中速读题两遍，在学生仍不明题意的情况下，予以适当地解释说明。
模板四：杯赛能力测评不同于平常的入学测试。
每年一度的10月份杯赛能力测评与4月份学而思杯两场考试肩负学而思高端班学员选拔的任务，其难度与平常的测试卷相比会有不少提升，试卷题量也会稍有上调。
因此，这一次的试卷题量比平时的考试增加了一道阅读判断题型，共5个小题。
但是这个调整与变动应该提早和各位家长进行重复强调与说明，给孩子推荐规划时间的分配。
但是我们和各位家长的初衷是一致的：检测学生阶段学习成果，反思前期学习短处与不足，为孩子下一阶段的提升找准方向。
模板五：此次试卷在前三道题目设置为选词填空，连词成句，以及句型转换。
涉及考点均来自学而思英语课程知识点，主要考察学生的基础课程知识掌握是否扎实。
比如连词成句所涉及素材中也选取自新概念课文原句或者重点语法句型，句型转换则是考察学生对于句型基本结构——肯定／否定／疑问——的掌握。
但是在这两题上，教研人在学生的书写量及占用时间上没有做好精确预估，导致不少考生在此处花费了较长时间，以至于后面题目时间紧张，甚至部分题目未及时完成。
模板六：我们的题库是中国题量最大、功能最为齐全的在线考试系统，涵盖职称资格考试等26个考试类别100多种考试，包含总量多达1000万道的试题（含详细答案）。
广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）参考公式：如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式x b y ax xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==ˆ,)())((ˆ121， 其中y x ,表示样本均值。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}4,2{=B ，则 A.B A U ⋃= B.B A C U U ⋃=)( C.)(B C A U U ⋃= D.)()(B C A C U U U ⋃=2.已知bi ia+=-11，其中a,b 是实数，i 是虚数单位，则a+bi= A.1+2i B.2+i C.2-i D.1-2i3.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+.01,1,12y y x y x ，则y x z 2-=的最大值为A.-3 B .0 C.1 D.3 4.直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是A.6π B.3π C.2πD.32π5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A.2B.1C.32 D.316.函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是A.奇函数且在]2,0[π上单调递增B.奇函数且在],2[ππ上单调递增C.偶函数且在]2,0[π上单调递增D.偶函数且在],2[ππ上单调递增7.已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b ，则下列不等式中成立的是A.)()1()(b f f a f <<B.)1()()(f b f a f <<C.)()()1(b f a f f <<D.)()1()(a f f b f <<8.如图2，一条河的两岸平行，河的宽度d=600m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往 河对岸的码头B.已知km AB 1=，水流速度为2km/h ，若客船行驶完航程所用最短时 间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为A.8km/hB.h km /26C.h km /342D.10km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题）9.不等式x x ≤-1的解集是_________.10.⎰=1._______cos xdx 11.根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=，据此模型估计，该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元（结果保留两位小数）.12.已知1,0≠>a a ，函数⎩⎨⎧>+-≤=1,1,)(x a x x a x f x ，若函数)(x f 在区间[0,2]上的最大值比最小值大25，则a 的值为________. 13.已知经过同一点的)3*,(≥∈n N n n 个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n 个平面将空间分成)(n f 个部分，则.________)(______,)3(n f f = （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点)23,2(πA ，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上 运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为______.15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 与⊙O交于点D ，若BC=3，516=AD ，则AB 的长为______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知函)4sin()(πω+=x A x f （其中0,0,>>∈ωA R x ）的最大值为2，最小正周期为8． (1)求函数)(x f 的解析式；(2)若函数)(x f 图象上的两点P ，Q 的横坐标依次为2，4，O 坐标原点，求POQ ∆的 面积.17.（本小题满分12分）甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为,21乙，丙做对的概率分别为m,n(m>n)，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1)求至少有一位学生做对该题的概率； (2)求m,n 的值； (3)求ξ的数学期望. 18.（本小题满分14分）如图4，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，⊥1AA 平面ABC ，D ，E 分别是CC 1，AB 的中点.(1)求证：CE//平面A 1BD ；(2)若H 为A 1B 上的动点，当CH 为平面A 1AB 所成最大角的正切值为215时，求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.19.（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且n na a a a ++++ 32132*)(2)1(N n n S n n ∈+-=.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若p,q,r 是三个互不相等的正整数，且p,q,r 成等差数列，试判断1,1,1---r q p a a a是否成等比数列？并说明理由.20.（本小题满分14分）已知椭圆C 1的中心在坐标原点，两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -，点A （2，3）在椭圆C 1上，过点A 的直线L 与抛物线y x C 4:22=交于B ，C 两点，抛物线C 2在点B ，C 处的切线分别为21,l l ，且1l 与2l 交于点P.(1)求椭圆C 1的方程；(2)是否存在满足||2121AF AF PF PF +=+的点P ？若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知二次函数1)(2+++=m ax x x f ，关于x 的不等式21)12()(m x m x f -+-<的解集为)1,(+m m ，其中m 为非零常数.设1)()(-=x x f x g . (1)求a 的值；(2))(R k k ∈如何取值时，函数)1ln()()(--=x k x g x φ存在极值点，并求出极值点； (3)若m=1，且x>0，求证：*)(22)1()]1([N n x g x g nnn∈-≥+-+参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．1sin 11．12.38 12．12或27 13．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ …………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===.…10分 ∴POQ sin ∠==. (11)分 ∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=. ………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴(4,OP OQ ==. ……………8分∴cos cos ,3OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===.……………10分 ∴POQ sin ∠==. (11)分 ∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴直线OP 的方程为y x =，即0x -=. ……………7分∴点Q 到直线OP 的距离为d ==……………9分∵OP = ……………11分∴△POQ 的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12PA PB m PC n ,,===. ……………1分 （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=.…………3分 （2）由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分 整理得 112mn =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分 （3）由题意知()()()()1aP P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， …9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分 ∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. …………12分H FABCA 1C 1B 1DE18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF .∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ，∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ，CE⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD . ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，2CEAB ==∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A = ，∴CE⊥平面1A AB . ……………6分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tanEHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tanCE EHC EH EH∠===2.∴5EH =. ……………9分 ∵CE ∥BF ，CE⊥平面1A AB ，z yxH ABCA 1C 1B 1DE F∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分 ∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分在R t △EHB中，BH ==，cos 1ABA∠BH EB ==…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分 解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点， ∴EF ∥1AA ，且112EFAA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF=CD . ……………2分∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD . ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，2CEAB ==∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A = ，∴CE⊥平面1A AB . ……………6分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tanEHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tanCE EHC EH EH∠===2.∴5EH =. ……………9分 在R t △EHB中，BH==∵R t △EHB ～R t △1A AB ，∴1EH BH AA AB =，即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分 以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -. 则()000A,,，1A ()004,,，B )10,，D ()02,,2.∴1AA = ()004,,，1A B =)14,-，1A D =()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，由n A 1⋅，n 01=⋅A ，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y =，则1zx ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA=()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA nAA 5. ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ ，∴ 当1n=时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++ , ② ……………2分 ② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分当2n≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分 法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分 ∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. …………8分 （2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. …………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列， 则()()()2111p r q a a a --=-， …………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222pr q +=⨯. （*） ……………11分∵p r ≠，∴2222pr q +>=⨯，这与(*)式矛盾，故假设不成立.…13分∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222412x x x y -=. ③ ………8分 设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -， 而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分 代入②得 2141x x y =， ……………10分 则212x x x+=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴1012y x x y -=. ① ……………6分 同理，20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ………8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分 若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120xkx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） （1）解：∵关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+，∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x m x m ---.∴()2212xa m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m mx x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m>时，0Δ>，方程（*）的两个实根为11x ,=<2212k x ,++=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分 ②当0m<时，由0Δ>,得k <-k >若k <-，则1212k x ,+-=<2212k x ,++=<故x∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m<时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分(其中1x =, 2x =解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m mx x x -++==-+--. ∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 若函数()()xg x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221xk x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为122k x +-=, 222k x ++=.设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立.则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k > ……………7分 则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m<时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分(其中1x =2x =(2)证法1：∵1m=， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++ . ……………10分令T 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ ， 则T122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++ 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ .∵x0>，∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C x x C x x C x x -------=++++++ …11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅ …12分()1212n n n nC C C -=+++()012102n n n n n n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分∴22nT ≥-，即()()1122nn n gx g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分 证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-.① 当1n=时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+……………12分 122k +=-. ……………13分也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。
试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2013．3 本试卷共4页，21小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式 121ni i i ni i x x y y bay bx x x ()(),()==--∑==--∑ ，其中y x ,表示样本均值. 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，则复数1-2i 的虚部为A ．2B ．1C ．1-D ．2- 2．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则 A ．U A B = B ．U =()U A ðB C ．U A = ()U B ð D ．U =()U A ð()U B ð3．直线3490x y +-=与圆()2211x y -+=的位置关系是A ．相离B ．相切C ．直线与圆相交且过圆心D ．直线与圆相交但不过圆心图1俯视图4．若函数()y fx =是函数2x y =的反函数，则()2f 的值是A ．4B ．2C ．1D ．0 5．已知平面向量a ()2m =-,，b (1=，且()-⊥a b b ，则实数m 的值为A．- B． C． D．6．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．3 7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B . 1C . 23D . 138. 已知函数()2fx x sin =，为了得到函数()22g x x x sin cos =+的图象，只要将()y fx =的图象A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移8π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度 9．“2m <”是“一元二次不等式210x mx ++>的解集为R ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．设函数()fx 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使()()2f x f y C C (+=为常数)成立，则称函数()fx 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①3yx =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y x ln =；④21y x sin =+, 则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．函数()()1f x x ln =+-的定义域是图2C12．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约 万元（结果保留两位小数）．13．已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()fn 个部分，则()3f = ，()f n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 与O 交于点D ，若3BC =，165AD =，则AB 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos ∠POQ的值.图3a0.06b 图4MDCBAP17．（本小题满分12分）沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg ），获得的所有数据按照区间(4045,,⎤⎦(((455050555560,,,,,⎤⎤⎤⎦⎦⎦进行分组，得到频率分布直方图如图 3.已知样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树株数是产量在区间(5060,⎤⎦上的果树株数的43倍. （1）求a ,b 的值；（2）从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，求产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中的概率.18．（本小题满分14分）如图4，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，60BCD ︒∠=，2AB AD =，PD ⊥平面ABCD ，点M 为PC 的中点.（1）求证:PA //平面BMD ； （2）求证：AD ⊥PB ；（3）若2AB PD ==，求点A 到平面BMD 的距离.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，()11452n n n S S S n +-+=≥，n T 是数列{}2n a log 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n T ； （3）求满足2311110101112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的最大正整数n 的值.20．（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,, 且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知n ∈N *，设函数2321()1,2321n n x x x f x x x n -=-+-+-∈- R . （1）求函数y =2()f x kx k (-∈R )的单调区间；（2）是否存在整数t ，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．(]1,2 12．1238. 13．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，∴2A =. ……………1分 ∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………3分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………4分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭， ……………5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………6分∴(4,P Q . ……………7分∴OP PQ OQ ===……………10分∴222222cos 2OP OQ PQPOQ OPOQ+-+-∠===……12分 解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭，……………5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………6分∴(4,P Q . ……………8分∴(4,OP OQ ==. ……………10分∴cos cos ,3OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===. ……………12分 解法3: ∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭5分(4)2sin 2sin44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭6∴(4,P Q . ……………7分作1PP x ⊥轴, 1QQ x⊥轴,垂足分别为11PQ ,,∴112,OP OP PP ====114OQQQ ,== (8)分设11POP QOQ,αβ∠=∠=,则13333sin ,cos ,sin,cos ααββ====. ……………10分 ∴cos cosPOQ ∠=()3cos cos sin sin αβαβαβ+=-=.………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解:样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树有520100a a ⨯⨯=（株），…………1分 样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树有()()002520100002b b ..+⨯⨯=+（株），……………2分依题意，有()41001000023a b .=⨯+，即()40023a b .=+.①…………3分 根据频率分布直方图可知()00200651b a ..+++⨯=， ② …………4分 解①②得:008004a b .,.==. ……………6分 （2）解：样本中产量在区间(5055,⎤⎦上的果树有0045204.⨯⨯=株，分别记为123A A A ,,,4A ，……………… 7分 产量在区间(5560,⎤⎦上的果树有0025202.⨯⨯=株，分别记为12B B ,. … 8分 从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：()()1213A A A A ,,,，()14A A ,()()()()()()111223242122A B A B A A A A A B A B ,,,,,,,,,,,,()34A A ,,()31A B ,,()32A B ,，()()4142A B A B ,,,,()12B B ,. ……………10分其中产量在(5560,⎤⎦上的果树至少有一株共有9种情况：()()1112A B A B ,,,,()()()()21223132A B A B A B A B ,,,,,,,,()()4142A B A B ,,,，()12B B ,. ………11分记“从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中”为事件M ，则()93155P M ==. ……………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1)证明:连接AC ，AC 与BD 相交于点O , 连接MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点. ……………1分 ∵M 为PC 的中点，∴MO AP //. ……………2分 ∵PA ⊄平面BMD ,MO ⊂平面BMD ,∴PA //平面BMD . ……………3分ON MDCBAP(2)证明:∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AD . ……………4分∵60BAD BCD ︒∠=∠=，2AB AD =，∴222260BDAB AD AB AD cos ︒=+-⋅⋅2222AB AD AD =+-22AB AD =-. ……………5分 ∴22ABAD =2BD +.∴AD BD ⊥. ……………6分∵PD BD D = ，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，∴AD ⊥平面PBD . ……………7分 ∵PB ⊂平面PBD ，∴AD PB ⊥. ……………8分（3）解：取CD 的中点N ，连接MN ，则MN PD //且12MN PD =. ∵PD ⊥平面ABCD ，2PD =，∴MN ⊥平面ABCD ，1MN =. ……………9分在Rt △PCD 中，2CD AB PD ===，1122DM PC ===，∵BC AD //,AD PB ⊥, ∴BC PB ⊥.在Rt △PBC中，12BM PC ==在△BMD 中，BM DM =，O 为BD 的中点, ∴MO BD ⊥.在Rt △ABD 中，6022BD AB sin ︒=⋅=⨯=.在Rt △MOB 中，MO ==2.∴122ΔABD S AD BD =⨯= ，124ΔMBD S BD MO =⨯=.…………11分 设点A 到平面BMD 的距离为h ，∵M ABD A MBD V V --=， ∴13MN 13ΔABD S h =ΔMBD S . ……………12分即13⨯12⨯13h =⨯⨯4， 解得5h =. ……………13分∴点A 到平面BMD ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1） 解：∵当2n ≥时，1145n n n S S S +-+=，∴()114n n n n S S S S +--=-. ……………1分 ∴14n n a a +=. ……………2分 ∵12a =，28a =，∴214a a =. ……………3分∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列.∴121242n n n a --=⋅=. ……………4分（2） 解：由（1）得：2122221n n a n log log -==-， ……………5分 ∴21222n n T a a a log log log =+++()1321n =+++- ……………6分()1212n n +-=……………7分2n = . ……………8分（3）解： 23111111n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………9分222222222131411234n n----=⋅⋅⋅⋅ ()()2222132********n n n⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅ ……………10分12n n+=. ……………11分 令12n n+10102013>，解得：42877n <. ……………13分 故满足条件的最大正整数n 的值为287. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分 ∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-， 即211412x x x y -=. ② ……………7分 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分 设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -， 而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分 代入②得 2141x x y =， ……………10分 则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分 若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上， ……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ， 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分 同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ……8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 两点的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ……………7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵232()1,23x x y f x kx x kx =-=-+-- ……………1分 ∴221(1)y x x k x x k '=-+--=--++. ……………2分 方程210x x k -++=的判别式()()214134Δk k =--+=--.当34k ≥-时，0Δ≤，2(1)0y x x k '=--++≤， 故函数y =2()f x kx -在R 上单调递减； ……………3分当34k <-时，方程210x x k -++=的两个实根为1x =，212x +=. ……………4分则()1x x ,∈-∞时，0y '<；()12x x x ,∈时，0y '>；()2x x ,∈+∞时，0y '<； 故函数y =2()f x kx -的单调递减区间为()1x ,-∞和()2x ,+∞，单调递增区间为()12x x ,. ……………5分（2）解：存在1t =，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，理由如下：当1n =时，1()1f x x =-，令1()10f x x =-=，解得1x =，∴关于x 的方程1()0f x =有唯一实数解1x =. ……………6分当2n ≥时，由2321()12321n n x x x f x x n -=-+-+-- ， 得22322()1n n n f x x x xx --'=-+-++- . ……………7分 若1x =-，则()(1)(21)0n n f x f n ''=-=--<，若0x =，则()10n f x '=-<, ……………8分若1x ≠-且0x ≠时，则211()1n n x f x x -+'=-+, ……………9分当1x <-时，2110,10,()0n n x xf x -'+<+<<,当1x >-时，2110,10,()0n n x xf x -'+>+><,∴()0n f x '<，故()n f x 在(,)-∞+∞上单调递减. ……………10分 ∵111111(1)(11)()()()23452221n f n n =-+-+-++--- 0>， ………11分23452221222222(2)(12)()()()23452221n n n f n n --=-+-+-++---24221212121()2()2()223452221n n n -=-+-+-++--- 2422132312222345(22)(21)n n n n --=-----⋅⋅-- 0<. …………12分 ∴方程()0n f x =在[]1,2上有唯一实数解. ……………13分 当()1x ,∈-∞时，()()10n n f xf >>；当()2x ,∈+∞时，()()20n n f x f <<.综上所述，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间12,⎡⎤⎣⎦上有唯一实数解. ∴1t =. ……………14分。
一年级学而思集题13套work Information Technology Company.2020YEAR一年级数学思维训练题（13套）一年级思维训练题1班级 姓名1、晾晒1块手帕，要用2只夹子；2块手帕，要用3只夹子；11块手帕，要用（ ）只夹子。
2、老师带了一些小朋友去看电影，一共买了11张票。
问和老师一起看电影的有（ ）个小朋友。
3、8名女同学站成一排，每隔2名女同学插进3名男同学，共插进（ ）名男同学。
4、把2、3、4、5分别填入（ ）中，每个数只能用一次。
（ ）+（ ）-（ ）=（ ）5、小朋友排队。
小平的左面有4个人，右面有8个人。
这一行有（ ）个人。
6、小朋友排队。
从左数过来小平是第4个，从右数过来是第8个。
这一行有（ ）个人。
7、按规律写数。
8、 15、10、13、12、11、（ ）、（ ）1、4、3、6、5、（ ）、（ ） 1、2、4、8、（ ）、（ ） 8、 （ ）个正方形（ ）个长方形9、小明、小林和小红一起比体重，结果是小明比小林重，小林比小红重，小明比小红重。
他们三人中（ ）最重，（ ）最轻。
10、小明、小红、小林进行100米跑步比赛。
小明用了13秒，小林用了12秒，小红用了11秒。
那么，（ ）是第一，（ ）是第二。
11、强强的体重是27千克，芳芳的体重是25千克。
东东的体重居于第三， 他和强强体重相差5千克，东东的体重是（ ）千克。
一年级思维训练题2班级姓名1、小猫、小狗、小兔、小猴、小熊排成一横排做广播操：兔的左边是狗；猴在熊的左边；猫的右边是狗；猴在兔的右边。
（）排在队伍的最左边。
2、1、2、4、5、7、8、（）、（）15、1、12、1、9、（）、（）、（）、（）75、（）、（）、60、（）、50、（）、（）、（）１０、５、９、６、８、７、７、（）、（）、（）３、拔河比赛结束后老师买了些饮料给同学们喝，可乐比雪碧多４瓶，可乐比芬达多６瓶。
老师买的是（）多，多（）瓶。
