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抽象代数中的伽罗瓦域扩张理论抽象代数中的伽罗瓦域扩张理论是代数学的一个重要分支，它研究了域的扩张以及扩张域之间的关系。
这一理论由法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦在19世纪初提出，通过研究多项式方程的根的性质，揭示了一种连接域扩张和多项式方程的深刻关系。
以下将详细阐述伽罗瓦域扩张理论的基本概念、主要结果和应用。
一、基本概念1.1 域在抽象代数中，域是一种包含加法和乘法运算的代数结构。
域具有两个二元运算，满足一定的运算法则，例如加法满足交换律、结合律和存在零元素等。
常见的域包括有理数域、实数域和复数域等。
1.2 扩张域给定域F和包含F的域K，K被称为F的扩张域，记作K/F。
扩张域的引入是为了研究多项式方程在不同域上的根的性质。
通过扩张域，我们可以找到多项式方程在更大的域上有根的情况。
1.3 代数元和超越元对于一个给定的扩张域K/F，元素α∈K，α是F上一个多项式方程的根，则称α是K/F上的代数元。
如果α不是任何一个F上多项式方程的根，则称α是K/F上的超越元。
二、主要结果2.1 伽罗瓦理论伽罗瓦理论是伽罗瓦域扩张理论的核心部分，它研究了扩张域K/F上的自同构群与中间域的对应关系。
根据伽罗瓦理论的基本定理，如果L是K的一个中间域，则存在一个一一对应关系，将K/F的伽罗瓦自同构群与L/F的伽罗瓦自同构群联系起来。
2.2 域的次数在伽罗瓦域扩张理论中，域的次数是一个重要的概念。
给定扩张域K/F，如果K是F的有限维向量空间，则称K/F是有限次扩张，K/F的次数即为K作为向量空间的维数。
域的次数是研究伽罗瓦域扩张的重要工具，它可以帮助我们理解扩张域的结构和性质。
三、应用3.1 代数方程的求解伽罗瓦域扩张理论为解析代数方程提供了重要的工具。
对于给定的多项式方程，我们可以通过构造适当的伽罗瓦扩张域，利用伽罗瓦群的性质来推导方程的解的性质和个数。
3.2 密码学伽罗瓦域扩张理论在密码学中有着广泛的应用。
通过利用有限域上的运算性质和伽罗瓦扩张域的结构，可以设计出高效安全的密码算法。
伽罗瓦定理讲解
伽罗瓦定理是一个重要的数学定理，它描述了一个多边形的
内角和外角之和的关系。
它可以用来解决许多复杂的几何问题，
也可以用来证明许多几何定理。
伽罗瓦定理的公式是：n个多边形的内角和等于（n-2）×180°。
其中，n是多边形的边数，180°是一个完整的圆的角度。
例如，一个三角形的内角和等于180°，因为它有3条边，所
以n=3，根据伽罗瓦定理，（3-2）×180°=180°。
另一个例子是一个四边形，它有4条边，所以n=4，根据伽
罗瓦定理，（4-2）×180°=360°，因此四边形的内角和等于360°。
伽罗瓦定理可以用来证明许多几何定理，例如三角形的内角
和等于180°，四边形的内角和等于360°等等。
它也可以用来解决
许多复杂的几何问题，例如求多边形的内角和，求多边形的外角
和等等。
总之，伽罗瓦定理是一个重要的数学定理，它描述了一个多
边形的内角和外角之和的关系，可以用来证明许多几何定理，也
可以用来解决许多复杂的几何问题。
阿廷《伽罗瓦理论》的若干历史注记伽罗瓦理论是代数学中十分精彩的一部分内容。
在它不断完善的整个过程中,奥地利代数学家阿廷作出了突出贡献。
阿廷作为20世纪初德国代数学派的代表性人物之一,吸收了戴德金、希尔伯特、施坦尼茨等人的数学思想,用抽象代数的语言和域论的观点重写了伽罗瓦理论。
他于1926年在汉堡大学开设代数学讨论班,以严格、清晰、优美的数学语言为范德瓦尔登等人讲授了域论和伽罗瓦理论,相应内容后续在1930年范德瓦尔登的著作《近世代数学》中出现,并且于1942年、1946年单独出版了《伽罗瓦理论》一书的英文版本,1959年出版了德文版本。
这一系列的著作将伽罗瓦理论写进了抽象代数学,标志着伽罗瓦理论成为单独的高等数学教学内容,极大地完善了此方面的教材。
此书激发了伽罗瓦理论的勃勃生机,推动了其百年以来的快速发展。
有人说《伽罗瓦理论》使得阿廷成为了伽罗瓦理论的集大成者,本人认为这与20世纪初期其在代数学、代数数论和类域论中的贡献有着密切的关系。
那一时期代数学的抽象化发展为阿廷提供了有力的数学工具。
本文在充分查找相关历史文献的基础上,对1959年德文版《伽罗瓦理论》一书的内容以及3个版本著作的深远影响进行系统的分析和相应的历史注记。
主要研究结果如下:1.概述了阿廷创作《伽罗瓦理论》的历史渊源。
在域论抽象化发展的大环境下,加之阿廷本人的兴趣爱好、学术经历、前人影响与研究内容等诸多因素的影响,孕育出了这本书的雏形。
在分析了导致这本书出现的若干历史因素的同时,也对阿廷重新解读伽罗瓦理论的必然性作出说明。
并且试图对这本书在历史上的来龙去脉进行深入阐述。
2.在研究本书内容的同时,对本书的写作特点和独特之处作出详细的归纳与概括。
着重对本书在编排上相关内容的与众不同之处加以分析。
3.剖析了作者写作本书时,未提及的数学思想的相应来源,阐述了戴德金、希尔伯特、施坦尼茨等人的相关工作对阿廷产生的影响,这体现在阿廷在对前人数学思想深入理解的基础之上,用抽象代数的思路让古典的伽罗瓦理论有了新的发展与完善。
伽罗瓦群论
伽罗瓦群论又称为非可满群论、变群论、抽象代数群论或群论，是古典数学的一个分支，它研究了有联系的和类似的数学概念，其中包括群、代数、拓扑、向量空间以及分析。
伽罗瓦群及其研究是 20 世纪早期最重要的发明之一，它为许多新的数学理论奠定了基础，有助于突破传统数学局限，使得抽象应用加入到数学公理和定理构想之中。
伽罗瓦群理论最早是1800年由威廉·赫尔布兰在他的小说《拉斐尔的向导》中提出的，他把群论理论作为数学的一个重要分支。
1902年，蒙古犬拿延提出置换群概念，将群理论作为一个专门的学科，开拓了群的数学分支。
1932年，西班牙数学家索尔瓦尼亚菲埃提出了严格定义群的概念，将伽罗瓦群论建立起来。
伽罗瓦群论主要关注群和群范畴，它着重于群上可以表示的各种结构，以及那些可以
通过积分或延伸来发掘出其中的群表示的数学定理。
另外，它还研究群中的不可约化的特
征变换，许多其他的数学对象，以及研究如何将群理论和其他数学研究领域联系起来。
伽罗瓦群论概念有很多应用，最大的应用之一是数论，它有助于测量将具有代数特性
的几何形状整合到数学上。
伽罗瓦群论还被应用在结构完备性定理、几何学、分析学等数
学领域中，并且可以用于计算机科学和物理学等其他学科领域。
伽罗瓦群论是一门活跃的研究领域，素有数学家们不断发现各种新的的群及其普遍性
定义，开发出许多新的数学定理，以及更加深入地探讨群的基本性质，发展和完善伽罗瓦
群论理论。
数域上的伽罗瓦理论数域上的伽罗瓦理论是一种著名的数学理论，它是由法国数学家让·德·伽罗瓦于1799年提出的，并以他的名字命名。
它涉及如何利用数学方法对正整数的分解，以及如何使用这种分解来解决复杂的数学问题。
1、伽罗瓦理论的概要伽罗瓦理论又称为“质因数分解”，是指将大于1的正整数用乘积形式表示，这些乘积中最小的正整数叫做“质因数”，而其他正整数则叫做“合数”。
例如，数字24可以表示为2 × 2 × 2 × 3，其中2和3是质因数，而24是合数。
质因数分解可以用来解决各种数学问题，比如求最大公约数、求最小公倍数、计算阶乘等。
因此，伽罗瓦理论在数学中有着广泛的应用。
2、伽罗瓦理论的历史伽罗瓦理论起源于古希腊数学家艾西蒙托斯，他在公元前300年左右提出了质因数分解的概念，但是，他并没有将其应用于实际问题，而是将其用于有关数学实验的讨论。
直到1799年，法国数学家让·德·伽罗瓦重新提出了这一理论，并将其应用于复杂的数学问题，这才是伽罗瓦理论的最初版本。
他还将质因数分解方法用于求解不定方程，从而为数学发展做出了贡献。
随着研究的深入，伽罗瓦理论也在不断发展，19世纪的数学家又添加了新的结论和定理，比如伽罗瓦猜想和伽罗瓦准则。
3、伽罗瓦理论的应用伽罗瓦理论在数学中有着广泛的应用，它可以用来计算阶乘、求最大公约数和最小公倍数，甚至可以用来解决贝祖等复杂的数学问题。
另外，伽罗瓦理论在计算机领域的应用也非常广泛，它可以用来提高计算机的运算效率，比如利用质因数分解来简化大数的运算，从而提高计算机的运算速度。
4、伽罗瓦理论的发展伽罗瓦理论自1799年发表以来，已经发展了将近200年，它的应用也越来越广泛。
在近两个世纪里，伽罗瓦理论经历了从质因数分解到伽罗瓦猜想和伽罗瓦准则的发展历程，在数学及其相关领域都发挥了重要作用。
在未来，伽罗瓦理论可能会发展出更多的定理和结论，并发挥更大的作用。
伽罗瓦定理证明伽罗瓦定理是数学中的一个重要定理，由法国数学家Évariste Galois在19世纪提出并证明。
该定理探讨了一个群在代数方程中的行为，揭示了代数方程是否能被求解的重要条件。
本文将详细解释和证明伽罗瓦定理的相关内容。
首先，我们将对伽罗瓦定理进行简要的说明。
伽罗瓦定理主要讨论的对象是一个群（Galois Group），该群是由某个代数方程的所有可行解所构成的。
伽罗瓦定理的核心观点是，一个代数方程可被求解的充分必要条件是该方程的群是可解的。
在证明伽罗瓦定理之前，我们需要了解一些基本的数学概念。
首先是域的概念。
域是一个数学结构，它包含了加法和乘法两个运算，并且满足一些特定的公理。
常见的域有有理数域、实数域和复数域。
域中的元素可以是实数、复数或其他抽象的数。
接下来，我们将研究多项式方程。
一个多项式方程是一个形如f(x) = 0的方程，其中f(x)是一个多项式函数。
多项式方程的次数指的是多项式中最高次幂的次数。
对于一个多项式方程，我们可以通过求根的方式来找到方程的解。
现在我们可以开始证明伽罗瓦定理。
为了简化讨论，我们将重点关注一元多项式方程，并假设这个方程的系数属于一个域F。
我们的目标是研究方程的群在域F上的行为。
首先，我们将思考方程的根在域F的扩张中的映射关系。
根据伽罗瓦定理的证明，我们可以将方程的根映射到一个新的域扩张，该扩张域的元素可以表示为方程的根的多项式。
这个映射是可逆的，也就是说我们可以通过这个映射找到原方程的根。
接下来，我们将研究方程的群在域扩张中的行为。
根据群的定义，我们知道群是一个集合，其中包含了一组元素和一个运算，满足一些特定的公理。
对于我们的讨论，群中的元素将是方程的根，并且运算将是加法或乘法。
通过研究方程的根和群在域扩张中的行为，我们可以得出一个结论：当方程的根在域扩张中的映射可逆时，方程的群是一个可解群。
这是因为我们可以通过方程的根和域扩张中的映射来找到原方程的解。
伽罗瓦理论用群论的方法来研究代数方程的解的理论。
在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。
早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。
在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。
但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事。
三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。
从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。
经过两个多世纪，一些著名的数学家，如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的进展。
19世纪上半叶，阿贝尔受高斯处理二项方程(p为素数)的方法的启示，研究五次以上代数方程的求解问题，终于证明了五次以上的方程不能用根式求解。
他还发现一类能用根式求解的特殊方程。
这类方程现在称为阿贝尔方程。
阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成这项工作。
伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论(当时他并不了解阿贝尔的工作)，他试图找出为了使一个方程存在根式解，其系数所应满足的充分和必要条件。
到1832年他完全解决了这个问题。
在他临死的前夜，他将结果写在一封信中，留给他的一位朋友。
1846年他的手稿才公开发表。
伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”。
伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。
在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。
伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。
戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。
随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。
伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。
1940年前后，美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。
伽罗瓦理论是现代数学中的一个重要分支，它探讨了数论中的一个经典问题：五次方程不可解。
该问题在数学史上曾经引起了巨大的争议和困惑，直到19世纪初，法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦建立了现代群论和伽罗瓦理论，才最终解决了这一难题。
在本文中，我们将深入探讨伽罗瓦如何证明了五次方程的不可解性，并对其理论进行全面的评估和解读。
1. 伽罗瓦理论的概念和基本原理伽罗瓦理论是群论的一个重要应用领域，它主要研究了有限域与多项式方程的根之间的关系。
在伽罗瓦的理论中，一个多项式方程的可解性与其对应的有限域的结构密切相关。
通过研究方程的对称性和置换群的结构，伽罗瓦理论建立了方程可解性的准则，从而证明了五次及以上的一般多项式方程的不可解性。
2. 伽罗瓦对五次方程不可解的证明伽罗瓦最重要的工作之一是对五次方程不可解性的证明。
他首先通过传统的代数方法证明了五次方程的一般解不存在，并进一步利用了群论的概念，分析了五次方程的置换群，证明了其不可约性和不可解性。
这一成果极大地推动了数学领域的发展，为代数基本定理的证明奠定了坚实的基础。
3. 伽罗瓦理论的深度和广度伽罗瓦理论不仅解决了五次方程不可解性的经典问题，更深刻地影响了数学领域的发展。
它在代数、几何、数论等领域都有着重要的应用，并且从根本上改变了数学家们对可解性和不可解性的认识。
伽罗瓦理论的深度和广度超出了人们的想象，成为了现代数学中不可或缺的一部分。
4. 个人观点和理解作为一个数学爱好者，我对伽罗瓦理论深深着迷。
它不仅解决了一个经典的数学难题，更重要的是，它改变了人们对数学可解性的认识，开拓了数学领域的新视野。
伽罗瓦理论的严谨性和美妙性让我深有感触，我相信它将继续在数学领域发挥重要作用，激发数学家们不断探索未知领域的激情。
总结回顾伽罗瓦理论的证明伽罗瓦对五次方程不可解的经典成果，标志着现代代数学的发展达到了一个新的高度。
通过对多项式方程的深入研究和对称性的探讨，伽罗瓦理论揭示了方程可解性的本质，为数学领域带来了革命性的变革。
数论中的伽罗瓦域的应用数论中的伽罗瓦域的应用伽罗瓦理论是数论中的重要分支，它以法国数学家伽罗瓦的名字命名。
伽罗瓦域是伽罗瓦理论中的关键概念之一，它在数论中有着广泛的应用。
本文将介绍伽罗瓦域及其应用，并探讨其在数论中的重要性。
一、伽罗瓦域的概念伽罗瓦域是一个含有无穷个元素的域，它是一个代数闭域，同时也是一个代数扩域。
伽罗瓦理论中的主要研究对象是有限域，而伽罗瓦域是有限域的代数闭包。
伽罗瓦域的一个重要性质是它是一个分裂域，即拆解为不可约多项式的根的集合。
二、伽罗瓦域的应用1. 密码学伽罗瓦域在密码学领域中有着广泛的应用。
通过伽罗瓦域的理论，可以构建强大的密码算法，保障数据的安全性。
伽罗瓦域的性质使得它具有很好的随机性和离散性，这些性质使得伽罗瓦域在密码学中成为一个重要的工具。
2. 编码理论伽罗瓦域在编码理论中也有着重要的应用。
通过伽罗瓦域的理论，可以设计出高效的纠错编码和解码算法，有效地提高数据传输的可靠性。
伽罗瓦域的特性使得它能够正确地检测和修复数据传输过程中的错误。
3. 数论伽罗瓦域在数论中起到了至关重要的作用。
通过伽罗瓦域的理论，可以研究数的性质、素数、整数解等问题。
伽罗瓦域的工具和方法在解决数论问题中具有独特的优势，它有效地提高了数论研究的效率。
4. 代数几何伽罗瓦域在代数几何中也有着广泛的应用。
它可以用来研究代数曲线和代数簇等几何对象的性质。
通过伽罗瓦域的理论，可以得到更多关于曲线和簇的信息，从而推动了代数几何的发展。
5. 数量关系伽罗瓦域在数量关系中也有着重要的应用。
通过伽罗瓦域的理论，可以研究数的各种关系和运算。
伽罗瓦域的性质使得它能够描述数的结构和相互关系，从而在数量关系的研究中发挥着重要的作用。
三、伽罗瓦域的重要性伽罗瓦域作为伽罗瓦理论的核心概念，对于数论的研究具有重要的意义。
它不仅扩展了数论的应用领域，而且为解决复杂的数论问题提供了有力的工具和方法。
伽罗瓦域的理论为数学家们在数论研究中开辟了新的道路，推动了数学领域的发展。
伽罗瓦理论：人类至今无解的五次方程用汗水和生命浇灌出来的理论之花，困扰人类300多年的高阶谜团1832年，自知必死的伽罗瓦奋笔疾书，写出了一篇几乎半个世纪都没人看懂、只有32页纸的论文，并时不时在一旁写下“我没有时间”，第二天他毅然决然参与决斗并身亡，一个瘦弱而极富激情的天才就这样走了，最后闪现出的是绝世才华，他的生命只有21岁！群论、数学质变的前夕为什么数学家对五次方程如此迷恋，因为在五次方程的求解过程中，数学家们第一次凿开了隐藏在冰山下的现代科学，将数学带入了精妙绝伦的现代群论。
群论的出现，直接奠定了20世纪的物理基础，从此，统治人类近200年的牛顿机械宇宙观开始迈入随机和不确定性的量子世界和广袤无垠的时空相对论。
一场空前伟大的科学革命如疾风骤雨般来临。
在这次暴风雨的前夜，历史上最伟大的数学家们悉数登场，他们为五次方程的求解而苦苦思索。
在五次方程获得求解之前，一元三、四次方程在数学大神塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里的努力下，顺利得到了解决，然而到了五次方程，再传统地以根用系数的代数式求解却始终行不通。
在各大高手尝试失败后，它很快成了数学家心中的顶尖难题，这是属于神的命题，与人类无关。
在这条解方程的漫漫长路上，最先为五次方程求解提供了新思路的是上帝之子欧拉，他通过一个巧妙的变换把任何一个全系数的五次方程转化为具有“x+ax+b=0”的形式。
出于对这一优美表达的倾心喜爱，欧拉自以为是地认为可以找出五次方程的通解表达式。
与此同时，数学天才拉格朗日也在为寻找五次方程的解而废寝忘食。
很快，他便欣喜地发现了一种特别的方法，若将四次方程降阶为三次方程，就能找到一种求解四次方程的简单方法。
但遗憾的是，同样的变换却将五次方程升阶为六次方程。
此后，五次方程的进展一度陷入迷局。
当时五次方程的焦点主要集中在两大问题上，第一个问题是，对N次方程，至少都有一个解吗？第二个问题则更进一步：N次方程如果有解，那么它会有多少个解呢？人类历史上另一伟大数学家高斯挥动如椽巨笔，成功解决了这两大问题，证明了分圆多项式-1+xp（p为素数）可以用根式求解，但拨开迷雾之后，一个更加狰狞的难题仍然浮现在眼前，五次方程是否可以用根式求解的难题依旧困扰着人类，挥之不去.数学本无种，业余民科遭歧视为了求解五次方程，欧洲大陆的数学家正紧锣密鼓地开展深入研究。
伽罗瓦理论---域的扩张与分裂域命题1.如果k 域，(())I p x =,()p x ∈[]k x ,则[]k x I 是域iff ()p x 在[]k x 中不可约.Proof: 假设()p x 不可约，我们证[]k x I 是域。
任取[]k x I中的非零元()f x I +,只需找到其逆即可。
由于()f x I +非零，则()f x ∉I ，即|p f /，又()p x 不可约， 故(,)1p f =，从而存在,[]s t k x ∈使得1sf tp +=，为此我们有1sf tp I -=∈ 即()()1s I f I sf I I ++=+=+，这说明1()f I s I -+=+。
由()f x I +的任意性知[]k x I是域。
另一方面假设[]k x I是域。
假设()f x 可约，（此处用()f x 代替()p x ）。
则()f x 在[]k x 中有分解式()()()f x g x h x =，且deg()deg(),deg()deg()g f h f <<。
下面说明,g I h I ++是[]k x I中非零元，否则(())g I f x ∈= 则有|f g ，即deg()deg()f g ≤，这与deg()deg()g f <矛盾，故,g I h I ++是[]k x I 中非零元。
注意到()()g I h I f I I ++=+=，即,g I h I ++是[]k x I 的零因子，这与假设[]k x I是域矛盾（域是整环，无零因子）。
#命题2.设k 是域，()p x ∈[]k x 是d 次首一不可约多项式（monic irreducible ）, 设[]k x K I =，其中(())I p x =，且设x I K β=+∈. (i) K 是域，且{,}k a I a k '=+∈是同构于k 的K 的子域，因此K 可以看做是域k 的扩张.(ii) β是()p x 在K 中的根.(iii)如果()[]g x k x ∈，且β是()g x 的根，则|p g .(iv) ()p x 是[]k x 中唯一的以β为根的首一不可约多项式.(v)若将K 看做k 上的线性空间，则211,,,,d βββ-是K 的一组基，记[:]K k 为其维数，则[:]K k d =.Proof: (i)命题1已证K 是域，下找出k '于k 之间的同构。
取环[]k x 到其商环K 的自然同态:[]k x K π→，取其在k 下的限制:k K ϕ→，()a a I ϕ=+。
下证明ϕ是k '于k 之间的同构。
首先其是同态，且im k ϕ'=，即亦为满设，又k 是域，其理想只能是平凡理想，且ker ϕ是k 的理想，显然ker ϕ只能是{0}，从而ϕ是单射，综上ϕ是k '于k 之间的同构.(ii)设01()d d p x a a x a x =+++，其中i a k ∈，在[]k x K I=中把β带入()p x 得，注意在带入β时需利用(i)中的同构把()p x 的系数换作k '，于是我们有： 01010101()()()() =()()()()() =()()() =()d d d d d d d d p a I a I a I a I a I x I a I x I a I a x I a x I a a x a x I p x I Iβββ=++++++++++++++++++++++++=+=即β是()p x 在K 中的根.(iii)设 ()[]g x k x ∈，且β是()g x 的根，假设|p g /，则(,)1p g =)（p 不可约）存在,[]s t k x ∈使得1sg tp +=，将其看做K 中的等式，且将β带入得0=1,这显然是矛盾。
故|p g .(iv)设()h x 是[]k x 中以β为根的首一不可约多项式，由(iii)知|p h ,又h 不可约所以h cp =，c 为常数，又,p h 均为首一多项式故p h =.(v)任取()f x I K +∈，对(),()f x p x 使用带余除法，存在,[]q r k x ∈使得f pq r =+，且0r =或者deg()deg()r d p <=，因为f r pq I -=∈，这意味着f I r I +=+。
设1011()d d r x b b x b x --=+++其中i b k ∈，则在(ii)的证明中我们知道()()r x I r β+= 故1011()(),d d i f x I r b b b b k βββ--+==+++∈，即21{1,,,,}d span K βββ-=。
只需证211,,,,d βββ-线性无关，为此我们证明()f x I +的表示是唯一的。
假设11011011d d d d b b b c c c ββββ----+++=+++，且定义()[]g x k x ∈，10()()d i i ii g x b c x -==-∑，若0g =则得证。
若g 非零，显然g 以β为根，由(ii)得|p g ，则deg()deg()d p g =≤矛盾故0g =从而()f x I +的表示是唯一的.即211,,,,d βββ-是K 作为k 上线性空间的一组基，显然[:]K k d =.#定义1.如果域K 包含k 作为子域，则称K 为域k 的域扩张（field extension ）记作K k 。
一个扩张K k 称为有限扩张，如果K 可以作为k 上有限维线性空间。
其维数记作[:]K k ，称为扩张K k 的度（degree ）.例1．21[]x x +∈中的不可约多项式，由命题2知2[](1)K x x =+是度为2的域扩张K k 。
如果β是21x +的根，则21β=-；K 中的每一个元素都有唯一的表示,,a b a b β+∈，显然K 是的另一种构造方式。
下面以一种自然的方式建立K 于之间的同构。
一般以i 记上述β，考虑赋值映射:[]x ϕ→，(())()f x f i ϕ=,首先ϕ是满射，()a bi a bx ϕ+=+，其次ker {()[],()0}f x x f i ϕ=∈=是以i 为根的全体多项式。
我们知道21ker x ϕ+∈，所以2(1)ker x ϕ+⊆；对于反包含关系，任取()ker g x ϕ∈，且()g x 以i 为根， 则2(,1)1g x +≠在[]x 中，因此2(,1)1g x +≠在[]x 中也成立，而21x +在[]x 不可约得21|()x g x +，从而2()(1)g x x ∈+，故2(1)ker x ϕ+=。
由同态基本定理知2[](1)K x x =+同构于。
定义2.设K k 是域扩张.元素K α∈称为域k 上的代数元，如果存在以α为根的非零多项式()[]f x k x ∈；否则，称α为域k 上的超越元.域扩张K k 是代数扩张，如果对任意的K α∈都是域k 上的超越元. 一个实数是超越数，如果它是上的超越元.命题3.如果K k 是有限扩张，则K k 是代数扩张.Proof: 设K k 是有限扩张，根据定义K 是域k 上的有限维线性空间，设[:]K k d =，则任意K α∈，21,,,,dααα线性相关，存在不全为零的i a k ∈使得00di i i a α==∑，即多项式0()[]d iii f x a x k x ==∈∑以α为根，故α是域k 上的代数元， 由α的任意性K k是代数扩张.#注命题的逆命题不成立.定义3.如果K k 是域扩张，且K α∈，则()k α是所有那些包含k 及α的K 的子域的交，称()k α为K 的添加α到k 得到的子域.更一般的设A K ⊆，则()k A 是所有那些包含k 及A 的K 的子域的交，称()k A 为K 的添加A 到k 得到的子域，特别当A 为有限子集12{,,,}n z z z 时记作12(,,,)n k z z z . 显然()k A 是包含k 及A 的K 的最小子域，即若B 是包含k 及A 的K 的子域，则()k A B ⊆.下面的命题将指出，命题2中的域[](())K k x p x =（()p x 是[]k x 中首一不可约多项式）与根的添加有密切关系.命题4. (i)如果K k 是域扩张，且K α∈是k 上的代数元，则存在唯一的首一不可约多项式()[]p x k x ∈以α为根.此外，如果(())I p x =，则[]()k x I k α≅，事实上存在同构:[]()k x I k ϕα→使得(),(),x I c I c c k ϕαϕ+=+=∈(ii) 如果K α'∈是()p x 的另一个根，则存在同构:()()k k θαα'→使得(),(),c c c k θααθ'==∈.Proof: (i)考虑赋值映射:[]()k x k φα→，(())(),()[]f x f f x k x φα=∈显然φ是同态，由同态基本定理知[]ker k x im φφ≅，ker φ是一切以α为根的多项式组成的[]k x 中的理想，而[]k x 的理想都是主理想，故存在首一多项式()[]p x k x ∈使得ker (())I p x φ==；im φ是一切由α组成的多项式是K 的子环，由于[]k x I im φ≅由命题2知，()p x 在[]k x 中不可约，且im φ是域，这样的()p x 是唯一的.又im φ包含α及k ，反之任何包含α及k 的K 的子域必包含im φ，故()im k φα=，则同构1ϕφπ-=其中π是自然同态，则1()()()x I x I x ϕφπφα-+=+==，1()()(),c I c I c c c k ϕφπφ-+=+==∈.(ii)由(i)知存在同构:[](),:[]()k x I k k x I k ϕαψα'→→，则1θψϕ-=，11()()(),()()(),x I c c c c c k θαψϕαψαθψϕψ--'==+====∈.#命题4说明对一个给定的域扩张K k 每一个代数元K α∈，若将α添加至k 得到域()k α，则()k α相当于[](())k x p x ,()[]p x k x ∈是以α为根的首一不可约多项式.把该多项式称为α的域k 上的最小多项式.定义4.如果K k 是域扩张，且K α∈是k 上的代数元，则唯一的以α为根的首一不可约多项式()[]p x k x ∈称为α的域k 上的最小多项式（minimal polynomial ）,记作()(,)p x irr k α=最小多项式和基域k 有关，如，2(,)1,(,)irr i x irr i x i =+=-.命题5.设k E K ⊆⊆是域，且E 是k 的有限扩张，K 是E 的有限扩张，则K 是k 的有限扩张，且[:][:][:]K k K E E k =Proof: 设1,,n A a a =是E 关于k 的一组基，1,,m B b b =是K 关于E 的一组基，下面证明所有的i j a b 记作C 是K 关于k 的一组基;设u K ∈，存在j E λ∈使得1m j j j u b λ==∑，对每个j E λ∈存在ij k μ∈使得1n j ij i i a λμ==∑ 则11m n ij ij j i u a b μ===∑∑，故spanC K =，下面证C 线性无关，假设0ij i j ij a b μ=∑，若设j ij i i a E λμ=∈∑，则0j j j b λ=∑，由于B 是K 关于E 的一组基，则有0j ij i i a λμ==∑又A 是E 关于k 的一组基，故0ij μ=，故C 线性无关，综上C 是K 关于k 的一组基，显然有[:][:][:]K k K E E k =#例2 .设42()101[]f x x x x =-+∈.若β是它的一个根，则25β=±25±=，于是,1a b =±是()f x 的四个根.容易知道f 的有理根只有1±，故其在[]x 中不可约.设(2,3),(23)F E ==+，则显然有E F ⊆，于是存在域塔E F ⊆⊆，由命题5知[:][:][:]F F E E =，因为(23)E =+[]x 中不可约多项式()f x 的根，所以[:]4E =；另一方面[:][:(2)][(2):]F F =，注意到[(2):]2=，因2)2irr x =-(2)则[:(2)]1F =，或者23x -在(2)不可约此时[:(2)]2F =，总之[:]4F ≤，综上[:]4F =，故[:]1F E =，即F E =，这意味着F 可以通过添加()f x 的根得到，亦可以添加22()(2)(3)g x x x =--的根得到.下面的命题至关重要，它表明对于任意多项式()[]f x k x ∈存在包含k 的域E 包含()f x 的所有跟. 命题6.（Kronecker ）如果k 是域且()[]f x k x ∈，则存在域K 包含k 作为子域且()f x 在[]K x 可分解为线性多项式的乘积.Proof: 对deg()f 做数学归纳法，当deg()1f =时K k =；如果deg()1f >，设()()()f x p x g x =，其中()p x 是[]k x 中不可约多项式，由命题2知存在域F 包含k 即()p x 的根z ，从而在[]F x 中我们有()()()p x x z h x =-且()()()()f x x z h x g x =-.由归纳假设存在域K 包含F 且()()h x g x 在[]K x 可分解为线性因式乘积，从而()f x 在[]K x 亦可分解为线性因式的乘积.#对于,,k =,上述定理即为代数基本定理，但,()([])p k x Frac x ==命题6比代数基本定理走得远，如存在一个域包含()x .上述命题也保证了对于任意给定的多项式()[]f x k x ∈，1(,,)n k z z 总是存在的1,,n z z 是()f x 的根.定义5.设k 是域K 的子域，且()[]f x k x ∈,我们称()f x 在K 上分裂（splitting over K ）如果1()()()n f x a x z x z =-- 其中1,,n z z 在K 中且a k ∈非零.如果()[]f x k x ∈是多项式，则域扩张E k 称为()f x 在k 上的一个分裂域（splitting field ），如果()f x 在E 上分裂，但()f x 不在任意E 的真子域上分裂.例3. 考虑2()1[]f x x x =+∈，()f x 的根是i ±故()f x 在上分裂；但不是21x +在上的一个分裂域，因为不是包含及i ±的最小域.一般()[]f x k x ∈的分裂域与k 及()f x 都有关系；21x +在上的分裂域是()i ，而在上的分裂域是()i =. 推论1.设k 是域且()[]f x k x ∈，则存在()f x 在k 上的分裂域.Proof ： 由命题6知存在域K ，()f x 在K 上分裂，即1()()()n f x a x z x z =--其中1,,n z z 在K 中且a k ∈非零.则子域1(,,)n E k z z =是()f x 在k 上的分裂域.。
