第二章 线性不变系统.

§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2j
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2

r ' J 0 (r ' )dr'

§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
用算符表示系统
g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
线性系统定义:
输入
f(x, y)
ℒ{
}
输出
g(x, y)
令 g1(x, y) = ℒ{f1(x, y)}， g2(x, y) = ℒ{f2(x, y)} 若对任意复常数a1， a2有： ℒ{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = ℒ{a1 f1 (x, y)} + ℒ{a2 f2 (x, y) } = a1 ℒ{f1 (x, y)} + a2 ℒ{f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)
g ( ) H ( f ) exp( j 2pf )d


应用位移定理
H ( f ) g ( ) exp( j 2pf )d


H ( f ).G ( f )
应用F.T.定义
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
二、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换 特别适合于圆对称函数的F.T.
四、 F.T.定理 -- Parseval定理的证明



g ( x) dx g ( x) g * ( x)dx
2

G ( f ) exp( j 2pfx)df G * ( f ' ) exp( j 2pf ' x)df ' dx
g (r , ) d G( , ) exp[ j 2pr cos( )]d
0 0
2p

§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
当 f 具有圆对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)= g(r,) = g (r). 依F.T.定义:
F.T.是线性变换
2. 空间缩放 Scaling (相似性定理）
1 fx f y {g (ax, by) G , ab a b
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理 空间缩放
注意空域坐标(x,y)的扩展,导致频域中坐标(fx,fy)的 压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.
交换积分顺序,先对x求积分:





G( f )G * ( f ' )dfdf ' exp[ j 2p ( f f ' ) x]dx


利用复指函数的F.T.
G( f )G * ( f ' )d ( f ' f )dfdf '

f 2 f 2 x y f x cos 频域 1 f y tan ( f ) f y sin x
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
极坐标下的二维傅里叶变换
则在极坐标中:
F ( cos , sin ) d f (r cos , r sin ) exp[ j 2pr cos( )]rdr
复指函数的F.T.是移位的d 函数
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理

4. 帕色伐(Parseval)定理
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
g ( x, y )
2
dxdy

G( f x , f y )
2
df x df y
空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数 振幅分布不变,但位相随频率线性改变.
{g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2p(fxa+fyb)]
频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.
{g(x,y) exp[j2p(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb) 推论: 由 {1}= d (fx,fy) {exp[j2p(fax+fby)]}= d (fx- fa, fy- fb)
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
卷积定理的证明
左 exp( j 2pfx)dx g ( )h( x )d



交换积分顺序:
g ( ) h( x ) exp( j 2pfx) dx d
g(x) g(ax) a=2
1
x 1/2 0 1/2
空域压缩
1
x 1/4 0 1/4
F.T. 频域扩展 F.T.
G(f) 1 1/2
f 1 G( x ) a a
-1
0
1
f
-2
0
2
f
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
3. 位移定理 Shifting
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
常用傅里叶变换对
1. 2 2. {1}=d (fx,fy); {d (fx,fy)}=1 1 与d 函数互为F.T.
{comb( x) comb( f )
x 1 f ) comb( ) comb(
梳状函数的F.T.仍为梳状函数
3. 4.
{rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}= rect(f) rect与sinc 函数互为F.T. {Gaus(x)} = Gaus(f ) 高斯函数的F.T.仍为高斯函数
则称该系统为线性系统。
§2.1
输入
线性系统
}
输出
线性系统具有叠加性质
f1(x, y)
输入
ℒ{ ℒ{Βιβλιοθήκη g1(x, y)输出
f2(x, y)
}
g2(x, y)
输入
ℒ{
}
输出
线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于 单个激励所产生的响应的线性组合。
§2.1 线性系统
线性系统具有叠加性质 线性系统对各个输入的响应是互相独立的。
2、脉冲响应和叠加积分
系统对输入脉冲函数的输出称为脉冲响应
系统对处于原点的脉冲函数的响应：
h(x, y) = ℒ {d(x, y)}
系统对输入平面上坐标为(h)处的脉冲函数的响应：
h(x, y; h) = ℒ {d (x-, y- h)}
在线性系统中引入脉冲响应的意义: 1. 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函 数的线性组合;
0 0 2p
令:
G( , ) F ( cos , sin ) g (r , ) f (r cos , r sin )
G( , ) d rg (r , ) exp[ j 2pr cos( )]dr
0 0 2p
则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：
{g(x,y)* h(x,y)}= G(fx,fy) . H(fx,fy)
空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.
{g(x,y) . h(x,y)}= G(fx,fy) * H(fx,fy)
将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积
复习
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
四、 F.T.定理 -- F.T.的基本性质
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy), h(x,y)
1. 线性定理 Linearity
F.T.
H(fx,fy),
{ag(x,y)+b h(x,y)}=a G(fx,fy) + b H(fx,fy)
G( , ) rg (r ) exp[ j 2pr cos( )]d d r
0 0

{
2p

利用贝塞尔函数关系

2p
0
exp[ ja cos( )]d 2pJ 0 (a)
0
G( ) 2p rg (r ) J 0 (2pr )dr g (r ) 2p G( ) J 0 (2pr )d