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一个新超混沌系统的脉冲修正投影同步程杰;张兰【摘要】考虑一个新超混沌系统的脉冲控制与修正投影同步，基于脉冲控制系统的稳定性理论，给出了脉冲修正投影同步的充分判据，由定理易知当同步比例因子α1，α2，α3，α4满足α21＝1，α2＝α1a3时所给同步方法无需添加控制器U，所以此方法可以看做是脉冲完全同步的推广。
%The impulsive control and modified projective synchronization of a new hyperchaotic system is investigated in this paper .Applying the impulsive theory ,some sufficient conditions for its asymptotic sta-bility via impulsive control are derived .It is easy to see by Theorem that if the scaling factors α1 ,α2 ,α3 ,α4 satisfied α21=1,α2=α1α3 ,then sys tems will achieve modified projective synchronization without con-trollers,which implies that the proposed synchronized method can be regarded as the generalization of the complete synchronization via impulsive control .【期刊名称】《湖北民族学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】4页(P133-135,138)【关键词】超混沌系统;脉冲控制;修正投影同步【作者】程杰;张兰【作者单位】重庆师范大学数学学院，重庆401331;重庆师范大学数学学院，重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O415.5混沌同步在物理、保密通信、生物系统、神经网络等领域中有着广泛的应用前景．近年来，脉冲控制被广泛应用于混沌系统的稳定与同步［1－5］，该种控制方法有以下优点:控制器的设计较简单，控制装置所需成本低，控制时所需能量少等．然而，在有关脉冲同步的文献中大多数是考虑脉冲完全同步和投影同步．2007 年，Li［6］把完全同步和投影同步推广到修正投影同步．当修正投影同步中的同步比例因子α1，α2，a3，α4 分别取α1=α2=α3=α4=1 和α1=α2=α3=α4 时即为完全同步和投影同步．自1979 年以来一系列的超混沌系统被提出来，如超混沌Chen 系统、超混沌Lü 系统、超混沌Lorenz 系统等．2009 年，刘明华、冯久超［7］提出了一个新的超混沌系统:其中x1，x2，x3，x4 是状态变量，当参数a=35，b=3，c=35，而d∈(4．6，29．2］和d∈(33．5，53．7］时，系统(1)有两个正的Lyapunov 指数，是超混沌系统．本文对超混沌系统(1)进行脉冲控制后得到脉冲微分系统，然后运用脉冲比较系统方法，得到了脉冲修正投影同步的充分判据．1 基本定义与预备知识一个脉冲微分系统如下描述［8］:这里X∈Rn 是状态变量，f:R+×Rn→Rn 连续，Ui:Rn→Rn 是状态变量在时间瞬时τi 的改变换言之和分别定义为τi 前后的瞬时．{τi:i=1，2，…}满足当i→∞时．2 主要结果把方程(1)所刻画的混沌系统的线性部分与非线性部分分开，重写如下:这里x=(x1，x2，x3，x4)T，且:在脉冲同步构造模型中，驱动系统由(3)式确定，由于在离散时刻τi(i=1，2，…)，驱动系统的状态变量被传送到响应系统，因此响应系统的状态变量会经历一个瞬时的跳跃．所以受控的响应系统为:{τi:i=1，2，…}满足:这里ε 是一个给定的正常数．是同步误差，这里α1，α2，α3，α4 是同步因子，且其中U=(u1，u2，u3，u4)T 为控制器．设α=diag(α1，α2，α3，α4)．令φ(x，y)=φ(x)－αφ(y)，则:则脉冲投影同步的误差系统为:由于混沌系统的状态变量是有界的，因此存在正数Mi(i=1，2，3，4)使得|xi(t)|≤Mi，|yi(t)|≤Mi 对所有的t 成立，从而有如下定理．定理1 设是(AT+A)的最大特征值，d是矩阵(I+αB)T(I+αB)的最大特征值，如果存在常数ξ＞1 和在t≠τi 处可微的不增函数K(t)≥m＞0 满足:或者:则误差系统(8)的平凡解是渐近稳定的，也蕴含着系统(3)与(5)的脉冲修正投影同步是渐近稳定的．证明取Liapunov 函数V(t，e)=eTe，当t≠τi 时，有:当t=τi 时，有:由文献［9］可知系统(8)的渐近稳定性可由如下比较系统来判定:又因为其中，上述两不等式成立的原因是因为定理中的不定式(9)和(10)，因此由文献［9］中的相应定理可知系统(8)的平凡解是渐近稳定的．注1 :若令:则可得:这表明当同步因子α=diag(α1，α2，α3，α4)满足方程(12)时，不需要控制器U 也能够实现脉冲修正投影同步，从而本文所给方法可以看做是脉冲完全同步的推广(α4≠0)．注2:通过定理1，可估计出脉冲间隔Δ2 的上界:3 结论本文研究了一个新超混沌系统的脉冲控制与修正投影同步问题，在脉冲间隔变化的情况下得到了保证脉冲控制系统修正投影同步的充分判据，也可得到脉冲区间Δ的上界估计．参考文献:［1］ Yang T，Yang L B，Yang C M．Impulsive synchronization of Lorenz systems［J］．Phys Lett A，1997，226(6):349－354．［2］罗润梓．一个新混沌系统的脉冲控制与同步［J］．物理学报，2007(56):5655－5660．［3］ Zhao Y H，Yang Y Q．The impulsive control synchronization of the drive－response comples system［J］．Physics Letters A，2008，372:7165－7171．［4］ Liu G M，Ding W．Impulsive synchronization for a chaotic system with channel time delay［J］．Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2011，16:958－965．［5］ Sun Jitao，Wu Qidi．Impulsive control for the stabiliztion and synchronization of Lure system［J］．Applied Mathematics and Mechanics，2004，25(3):291－296．［6］ Li G H．Modified projective synchronization of chaotic system ［J］．Chaos Solitons Fractals，2007，32:1786－1790．［7］ Liu Minhua，Feng Jiuchao．A new hyperchaotic system［J］．Acta Physica Sinica，2009，58(7):4457－4462．［8］ Lakshmikantham V，Bainov D D，Simeonov P S．Theory of Impulsive Differential Equations［M］．Singapore:World Scientific，1989．［9］ Sun J T，Zhang Y P，Wu Q D．Less conservative conditions for asymptotic stability of impulsive control systems［J］．IEEE TransAutomatic Contr，2003，48(5):829－831．。
Chua's系统的追踪控制与同步
张正娣;田立新
【期刊名称】《江苏大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2003(024)006
【摘要】为对Chua's混沌系统进行控制,设计出一种含参控制器,使得受控系统的某一状态变量能追踪任意给定的参考信号.利用Lyapunov函数方法证明在此控制器作用下,该系统的状态变量按指数速率收敛到参考信号.在此基础上,研究受控Chua's混沌系统的自同步和异结构同步问题,数值仿真结果说明了此控制器设计方法的有效性.
【总页数】4页(P9-12)
【作者】张正娣;田立新
【作者单位】江苏大学非线性研究中心,江苏,镇江,212013;江苏大学非线性研究中心,江苏,镇江,212013
【正文语种】中文
【中图分类】O192
【相关文献】
1.统一混沌系统的追踪控制同步和自适应反馈同步 [J], 谢海
2.一个光滑Chua系统的同步问题研究 [J], 胡杨慧
3.基于Chua系统的无刷直流电机混沌系统同步控制 [J], 尹劲松;雷腾飞;陈恒;代严满
4.基于Chua电路的一个超混沌系统的控制同步 [J], 赵军产;魏耀斌;谢小良;罗智明
5.变形Chua混沌系统及其同步问题的研究 [J], 邓洪敏;李涛;王琼华;张洪润
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第23卷第2期Vol.23No.2控 制 与 决 策Cont rolandDecision2008年2月 Feb.2008收稿日期:2006211228;修回日期:2007203208.基金项目:陕西省自然科学基础研究计划项目(2005F20);空军工程大学理学院学位论文创新基金项目(2007B003).作者简介:王森(1979—),男,合肥人,博士生,从事单电子器件理论、非线性电路的研究;蔡理(1959—),女,福建永春人,教授,博士,从事单电子器件理论、电路与系统等研究. 文章编号:100120920(2008)022*******量子细胞神经网络超混沌系统的追踪控制与同步王 森,蔡 理,吴 刚(空军工程大学理学院,西安710051)摘 要:研究三细胞耦合的量子细胞神经网络超混沌系统的追踪控制问题.设计了一个非线性控制器,使得受控系统追踪任意给定的参考信号,并利用L yapunov 方法从理论上证明了该系统按指数速度收敛到给定的参考信号,同时实现了该系统的自同步以及与R ¨o ssler 混沌系统的异结构混沌同步.数值仿真进一步表明了该方法的有效性.关键词:量子细胞神经网络;R ¨o ssler 混沌系统;追踪控制;同步中图分类号:TP18;O415.5 文献标识码:AT racking control and synchronization of qu antum cellular neuralnet w ork ’s hyperchaotic systemW A N G S en ,CA I L i ,W U Gan g(The Sciences Institute ,Air Force Engineering University ,Xi ’an 710051,China.Correspondent :WAN G Sen ,E 2mail :wangsen199822002@ )Abstract :Tracking control of a hyperchaotic system called three 2cell coupled quantum cellular neural network is studied.A tracking control method is proposed for this hyperchaotic system.By using L yapunov f unction it is proved that the method can make the system approach to any desired smooth orbit at an exponent rate.Both the self synchronization and the synchronization with R ¨o ssler ’s chaotic system are also presented.Numerical simulations show the effectiveness of the proposed method.K ey w ords :Quantum cellular neural network ;R ¨o ssler ’s chaotic system ;Tracking control ;Synchronization1 引 言 量子细胞自动机(QCA )[1]是一种新型的单电子纳器件,具有超高集成密度、超低功耗和无引线集成等优点.特别地,它可朝着分子级方向发展,将是新一代的电子元件之一.近年来,国外有学者以Schr ¨o dinger 方程为基础,利用蔡氏细胞神经网络(CNN )[2]的结构,用QCA 构造了细胞局部耦合的网络,即所谓的量子细胞神经网络(QCNN )[3].由于量子点之间的量子相互作用,可从每个细胞的极化率获得复杂的动力学特性,文献[4]研究了3个QCA 耦合的QCNN 的非线性动力学特性,发现该系统具有超混沌特性. 混沌控制和同步是当前自然科学基础研究的热门课题之一,它在通讯、信息科学、医学、生物、工程等领域具有巨大的应用潜力和发展前途,引起了人们的广泛关注与兴趣.在混沌控制研究中,追踪问题即通过施加控制使受控系统的输出信号达到事先给定的参考信号,更具一般性.特别地,如果追踪的参考信号是由混沌系统产生的,这种追踪控制便演变成驱动系统与响应系统的同步,它包括自同步和异结构混沌同步.许多学者在这方面做了大量的研究工作[529]. 由QCA 耦合的QCNN 融合了QCA 和CNN 的优点,具有超高集成密度、超低功耗,易于超大规模集成实现,可对信号进行实时处理以及并行计算等特点.其在大规模信号处理上是一种崭新的结构,将是CNN 在纳米级实现的一个发展方向.为此,本文对三细胞耦合的QCNN 超混沌系统进行了追踪控制,使之追踪任意参考信号,并可实现自同步与异结构混沌同步;从理论上证明了受控QCNN 超混沌系统可以指数收敛到参考信号,并通过数值仿真进一步证明了该方法的有效性.这些结果对于未来的第2期王森等:量子细胞神经网络超混沌系统的追踪控制与同步 单电子纳器件在保密通信和控制上的应用是非常重要的.2 控制器的设计 以QCA细胞的极化率P和量子相位φ作为状态变量,可将由3个细胞耦合的QCNN的状态方程[4]表述为P1=-2b11-P21sinφ1,P2=-2b21-P22sinφ2,P3=-2b31-P23sinφ3,φ1=-w1(P1-P2-P3)+2b1P11-P21cosφ1,φ2=-w2(P2-P1-P3)+2b2P21-P22cosφ2,φ3=-w3(P3-P2-P1)+2b3P31-P23cosφ3.(1)其中:b1,b2和b3与每个细胞内量子点间的能量成正比,若细胞均相同,则有b1=b2=b3;w1,w2和w3表示对相邻细胞极化率之差的加权影响,相当于传统CNN中的A模板. 现在设计一个控制器U,使受控QCNN系统P1=-2b11-P21sinφ1,P2=-2b21-P22sinφ2,P3=-2b31-P23sinφ3,φ1=-w1(P1-P2-P3)+2b1P11-P21cosφ1+U,φ2=-w2(P2-P1-P3)+2b2P21-P22cosφ2,φ3=-w3(P3-P2-P1)+2b3P31-P23cosφ3(2)的输出信号P1(t)追踪给定的参考信号r(t),即满足limt→∞|e(t)|=0,(3)式中e(t)=P1(t)-r(t)称为误差信号. 对于受控系统(2),设V(t)=(P1(t)-r(t))2+(2b11-P21(t)sinφ1(t)-P1(t)+r(t)+ r(t))2.(4)式中:P1(t),φ1(t)为受控系统(2)的状态输出信号, r(t)为参考信号.对式(4)求导可得d V(t) d t =2(P1(t)-r(t))( P1(t)- r(t))+2(2b11-P21(t)sinφ1(t)-P1(t)+r(t)+ r(t))×(2b11-P21(t)cosφ1(t)φ1(t)-2b1P1(t)sinφ1(t) P1(t)/1-P21(t)-P1(t)+ r(t)+¨r(t)).(5)为方便起见,令k=w1(P1-P2-P3)-2b1P11-P21cosφ1,l=2b11-P21cosφ1,m=2b11-P21sinφ1,n=4b21P1sin2φ1.(6)将式(2)和(6)代入(5),可得d V(t)/d t=2(P1(t)-r(t))(-m- r(t))+2(m-P1(t)+r(t)+ r(t))×(l(-k+U)+n+m+ r(t)+¨r(t)).(7) 令d V(t)/d t=-2V(t),(8)将式(4)和(7)代入(8)可得控制器U=k+2P1-2m-n-2r-2 r-¨rl.(9) 下面证明对此控制器U,P1(t)按指数速率收敛到参考信号r(t). 定理1 对于受控系统(2),如果控制器U满足式(9),则有limt→+∞|e(t)|exp(-(1-σ)t)=0,式中σ为任意正常数. 证明 对于受控系统(2),设函数V(t)如式(4)所示,当控制器U满足式(9)时,可得d V(t)/d t=-2V(t),故可得V(t)=V(0)exp(-2t).因为e(t)=P1(t)-r(t),由式(4)可推出e2(t)≤V(t),从而e2(t)exp(-(2-2σ)t)≤V(t)exp(-(2-2σ)t)=V(0)exp(-2t)exp(-(2-2σ)t)=V(0)exp(2σt),因此Πσ>0,ϖlimt→+∞|e(t)|exp(-(1-σ)t)=0,即受控系统(2)的输出信号P1(t)按指数速率收敛到参考信号r(t)上.□502 控 制 与 决 策第23卷3 数值研究结果 当选取参数b 1=b 2=b 3=0.28,w 1=0.5,w 2=0.3,w 3=0.2时,系统(1)呈现超混沌状态,其系统相图如图1所示.图1 Q CNN 超混沌系统相图在P 1-P 2-φ1上的投影3.1 Q CNN 超混沌系统追踪正弦信号 取参考信号为正弦信号,即r (t )=0.5sin t ,此时控制器为U =k +2P 1-2m -n -0.5sin t -co s tl.采用Matlab 对QCNN 超混沌系统追踪给定正弦信号的情况进行了仿真,结果如图2所示.其中初值取为P 1(0)=0.8,P 2(0)=0.11,P 3(0)=0.11,φ1(0)=0.1,φ2(0)=0.1,φ3(0)=0.1,时间步长为τ=0.001,积分方法为4阶Runge 2Kutta 法.由图2可见,当归一化时间t 在5以后,Q C N N 超混沌(a ) r (t )和P 1(t )随时间t 的变化(b ) e (t )随时间t 的变化图2 Q CNN 超混沌系统追踪正弦信号的模拟结果系统已稳定地追踪上给定的正弦信号,误差e (t )已基本稳定在零附近.3.2 Q CNN 超混沌系统的自同步 选择驱动系统与响应系统的结构相同,即驱动系统为x 1=-2b 11-x 21sin x 4, x 2=-2b 21-x 22sin x 5, x 3=-2b 31-x 23sin x 6,x 4=-w 1(x 1-x 2-x 3)+2b 1x 11-x 21cos x 4,x 5=-w 2(x 2-x 1-x 3)+2b 2x 21-x 22cos x 5,x 6=-w 3(x 3-x 2-x 1)+2b 3x 11-x23cos x 6,(10)式中x 1(t )为参考信号.此时控制器U =k +(2P 1-2m -n )/l -(2x 1-4b 11-x 21sin x 4+2b 1w 11-x 21(x 1-x 2-x 3)cos x 4-4b 21x 1)/l初值取为x 1(0)=0.11,x 2(0)=0.11,x 3(0)=0.11,x 4(0)=0.1,x 5(0)=0.1,x 6(0)=0.1,P 1(0)=0.8,P 2(0)=0.11,P 3(0)=0.11,φ1(0)=0.1,φ2(0)=0.1,φ3(0)=0.1,时间步长为τ=(a ) x 1(t )和P 1(t )随时间t 的变化(b ) e (t )随时间t 的变化图3 Q CNN 超混沌系统自同步模拟结果602第2期王森等:量子细胞神经网络超混沌系统的追踪控制与同步 0.001,积分方法为4阶Runge 2Kutta 法.图3为QCNN 超混沌系统自同步的数值模拟结果.由图3(a )可见,当t 在5以后,QCNN 超混沌系统已稳定地追踪上参考信号x 1(t );由图3(b )也可看到,当t在5以后误差e (t )已基本稳定在零附近.3.3 Q CNN 超混沌系统的异结构混沌同步 1976年,R ¨o ssler 在研究具有中间产物的化学反应问题时,通过适当的标度变换,给出R ¨o ssler 方程为¨x =-(y +z ), y =x +αy ,z =β+z (x -γ).(11)当参数α=0.34,β=0.34,γ=4.5时,R ¨o ssler 系统(11)处于混沌状态,其吸引子如图4所示.图4 R ¨o ssler 吸引子 由受控系统(2)可知,其状态信号P 1(t )的值域为(-1,+1),而由图4可看出R ¨o ssler 系统状态信号的值域要比其大得多,从而需要将R ¨o ssler系统中(a ) r (t )和P 1(t )随时间t的变化(b ) e (t )随时间t 的变化图5 Q CNN 超混沌系统追踪R ¨o ssler 混沌系统的模拟结果状态信号的幅值缩小到P 1(t )的值域范围内.因此可令参考信号r (t )=x (t )/40,此时控制器U =k +(2P 1-2m -n )/l -[x -(2+α)y +(γ-2)z -xz -β]/(40l ).取初始条件为x (0)=4,y (0)=-5,z (0)=25,P 1(0)=0.8,P 2(0)=0.11,P 3(0)=0.11,φ1(0)=0.1,φ2(0)=0.1,φ3(0)=0.1,时间步长为τ=0.001,积分方法为4阶Runge 2Kutta 法.图5为QCNN 超混沌系统追踪R ¨o ssler 混沌系统的数值模拟结果.由图5(a )可见,当t 在5以后,QCNN 超混沌系统已稳定地追踪上参考信号r (t );由图5(b )也可看到,当t 在5以后误差e (t )已基本稳定在零附近.4 结 语 本文针对三细胞耦合的QCNN 超混沌系统,设计了一个非线性控制器,使得系统的第一个状态信号以指数收敛速度追踪任意给定的参考信号,同时实现了自同步以及与R ¨o ssler 混沌系统的异结构同步.该控制器形式简单,收敛速度快,大量的数值仿真验证了理论结果.这些结果对于未来的单电子纳器件在保密通信和控制上的应用是非常重要的.参考文献(R eferences)[1]Lent C S ,Tougaw P D ,Bernstein G H.Quantumcellular automata[J ].Nanotechnology ,1993,4(1):49257.[2]Chua L O ,Yang 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考虑到系统的状态往往是不能直接量测到的,所以本文基于输出反馈研究系统的极小极大控制问题.当系统所承受的干扰很大时,系统的性能指标和稳定性被严重破坏,状态偏离平衡点,控制能量的消耗很大,导致性能指标的上界达到充分大.针对不确定性和干扰破坏程度最大的情形,设计的极小极大控制器不需要耗费很大的代价就可以把性能指标的上界控制到最小,且闭环系统是渐近稳定的,说明其对干扰的抑制有着很好的效果.同时求解的控制器未知参数P并不需要假设是对角形的,减少了设计的保守性.参考文献(R eferences)[1]杨富文.具有结构不确定性系统的鲁棒H∞控制[J].控制理论与应用,1998,15(1):61268.(Yang Fu2wen.Robust H∞control for systems with structured uncertain[J].Control Theory and Applications,1998,15(1):61268.)[2]Wu H N,Cai K Y.H2guaranteed cost f uzzy control foruncertain nonlinear systems via linear matrix in2 equalities[J].Fuzzy Sets and System,2004,148(3): 4112429.[3]Eduardo F C,Vilma A O.On the design of guaranteedcost controllers for a class of uncertain linear systems [J].Systems&Control Letters,2002,46(1):17229.[4]Moheimani R,Petersen I R.Optimal guaranteed costcontrol of uncertain systems via static and dynamic output feedback[J].Automatica,1996,32(4):5752 579.[5]Yang G H,Wang J L,Soh Y C.Guaranteed costcontrol for discrete time linear systems under controllergain 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