8.作图法

八、作图法方法简介作图法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性的表示成物理图像，将物理问题转化成一个几何问题，通过几何知识求解，作图法的优点是直观形象，便于定性分析，也可定性计算，灵活应用作图法会给解题带来很大方便。

赛题精析例1：如图8—1所示，细绳跨过定滑轮，系住一个质量为m的球，球靠在光滑竖直墙上，当拉动细绳使球匀速上升时，球对墙的压力将（）A、增大B、减小C、先增大后减小D、先减小后增大解析：球在三个力的作用下处于平衡。

当球上升时，θ角增大，可用动态的三角形定性分析，作出圆球的受力图，如图8—1甲所示。

从图可见，当球上升时，θ角增大，墙对球的支持力增大，从而球对墙的压力也增大。

故选A正确。

例2：用两根绳子系住一重物，如图8—2所示。

绳OA与天花板间夹角θ不变，当用手拉住绳子OB ，使绳OB由水平方向转向竖直方向的过程中，OB绳所受的拉力将（）A、始终减小B、始终增大C、先减小后增大D、先增大后减小解析：因物体所受重力的大小、方向始终不变，绳OA拉力的方向始终不变，又因为物体始终处于平衡状态，所受的力必然构成一个三角形，如图8—2甲所示，由图可知OB 绳受的拉力是先减小后增大。

可知答案选C例3：如图8—3所示，质量为m的小球A用细绳拴在天花板上，悬点为O ，小球靠在光滑的大球上，处于静止状态。

已知：大球的球心O′在悬点的正下方，其中绳长为l ，大球的半径为R ，悬点到大球最高点的距离为h 。

求对小球的拉力T和小球对大球的压力。

解析：力的三角形图和几何三角形有联系，若两个三角形相似，则可以将力的三角形与几何三角形联系起来，通过边边对应成比例求解。

以小球为研究对象，进行受力分析，如图8—3甲所示，小球受重力mg 、绳的拉力T 、大球的支持力N ，其中重力mg 与拉力T 的合力与支持力N 平衡。

观察图中的特点，可以看出力的矢量三角形（灰色）与几何三角形AOO ′相似，即：T l =mg h R +，N R =mg h R+ 所以绳的拉力：T =l h R+mg 小球对大球的压力：N ′= N =R h R +mg 例4：如图8—4所示，质点自倾角为α的斜面上方定点O沿光滑的斜槽从静止开始下滑，为使质点在最短时间内从O 点到达斜面，斜槽与竖直方向的夹角β应等于多少？解析：如图8—4甲所示，以经过O 点的竖直线上的一点O ′ 为圆心，OO ′ 为半径作圆，并使该圆与斜面恰好相切于A 点，与OO ′延长线交于B 点。

已知从O 点由静止出发沿倾角不同的光滑斜面下滑的质点，到达圆周上不同点所需时间相等，显然，质点沿OA 方向从静止开始滑到斜面上所需时间比沿其他方向滑到斜面上所需时间短。

连接O ′A ，由几何关系得：∠AO ′B = α所以所用时间最短时，斜槽与竖直方向的夹角：β =2α （所题也可用极限法求解，读者可试试。

）例5：一条小河，河水以v 1 = 5m/s 的速度匀速流动，一条小船在静水中的速度为v 2 = 3m/s 。

欲使小船渡河的航程最短，小船的船头应指向何方向？解析：若v 1＜v 2 ，可垂直渡河，船程最短。

但本题v 1＞v 2 ，小船就不能垂直渡河。

但欲使航程最短，则应使合速度方向与河岸夹角最大。

根据矢量合成的三角形法，v 1 、v 2 、v 合 ，构成封闭三角形，作图如8—5所示，作有向线段OA 表示河水流速v 1 ，以表示 v 2的有向长度为半径，以A 为圆心画圆，过O 该圆的切线，切点为B ，作有向线段AB ，有向线段AB 的方向就是所求的方向。

由直角三角形AOB ，得：cos θ =21v v =35所以：θ = 53°即小船的船头应指向上游并沿与上游的河岸成53°角的方向。

例6：一木箱重为G ，与地面动摩擦因数为μ ，现用斜向上的力F 拉木箱使之沿水平地面匀速前进，如图8—6所示。

求拉力F 与水平方向夹角θ为何值时拉力最小？这个最小值多大？解析：木箱受重力G 、弹力N 、摩擦力f 及拉力F 四个力的作用，但此题也可以把木箱看做只受三个力作用，即重力G 、拉力F 和摩擦力f 与支持力N 的合力F ′，设F ′与N 的夹角为φ ，则tan φ =f N= μ ，再应用矢量三角形求解。

木箱受力情况如图8—6甲所示，已知G 的大小和方向，F ′的方向，显然，要使封闭的矢量三角形中F 值最小，只有由G 的端点作F ′的作用线的垂线时，F 值最小，如图8—6乙所示，此时F 的最小值为F min = Gsin φ其中φ = arctan μ ，所以最小的拉力F 与水平方向的夹角为θ = φ = arctan μ 。

F 的最小值可以表达为：Fmin。

例7：如图8—7所示，一带电质点，质量为m ，电量为q ，以平行于Ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域，为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于Ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。

重力忽略不计。

解析：当带电质点以垂直于磁场方向的速度v 进入磁场，在磁场中将做匀速圆周运动，由此要从a 点进入从b 点射出其圆轨道为14圆弧，因而可用作图法求解。

过a 点作平行Ox 轴的直线，过b 作平行Oy 的直线，两直线相交于c 点，如图8—7甲所示，可见只要能保证带电质点的14圆轨道处在匀强磁场中，即可使带电质点从b 点射出，由此可知，磁场区域有一最小值，其最小半径为14圆形轨道两个端点连线的一半，即： 由qvB = m 2v r可得粒子在磁场中的偏转半径为：r =mv qB所加磁场的最小半径为：例8：图8—8中AB表示一横放的平面镜，P1P2是水平放置的米尺（有刻度的一面朝着平面镜），MN是屏，三者互相平行，屏MN上的ab表示一条直缝（即a 、b之间是透光的）。

某人眼睛紧贴米尺上的小孔S（其位置见图），可通过平面镜看到米尺上的一部分刻度。

试在本题的图上用三角板作图求出可看到的部分，并在P1P2上解析：根据物像位置镜面对称可知：人眼通过平面镜看到的米尺刻度范围，好像人眼在平面镜中的像直接去看刻度范围，不过要受到挡板MN的像M′N′的阻挡，所以先将眼睛在平面镜中成像点S′作出，再作出挡板MN在平面镜中的像M′N′，如图8—8—甲，其中a′b′是挡板上的缝ab在平面镜中的像，连接S′a′并延长交AB 、P1P2于c 、d两点，再作S′和b的连线交AB于E点，并延长后交P1P2于F点，则dF即为人眼通过平面镜和挡板后能看到的刻度范围。

例9：光线透过空气中的平行平面厚玻璃板，问下图8—9所示四种情形中，哪一种是正确的？解析：根据光的折射定律，光由光疏介质进入光密介质时，光线要向着法线的方向偏析，相反时，向远离法线的方向偏折，且在传播中光路是可逆的。

由上分析可知，B图是正确的。

例10：某人通过焦距为10cm ，直径为4.0cm的薄凸透镜观看方格纸，每个方格的边长为0.3cm 。

他使透镜的主轴与方格纸垂直AB ，透镜与纸面相距10cm ，眼睛位于透镜主轴上离透镜5.0cm处。

问他至多能看到同一行上几个完整的方可格？解析：可以用光路的可逆性来做，若在S 点放一点光源，则成像于S ′点，能照亮方格纸上一定面积，其直径为x ，如图8—10所示，根据光路的可逆性，来自面积x 上的方格的光经透镜折射后都能进入人眼，即能被人看到。

由1p +1p '=1f可得：p ′=－10cm 由相似三角形对应边成比例得：x d =2010，所以x = 8cm ，格数n =x l =80.3= 26.7 即最多能看到同一行上26个完整．．的方格。

例11：凸透镜L 1与凹透镜L 2同轴放置，L 1左侧媒质的折射率n ，L 2右侧媒质的折射率也是n ，两透镜之间的价质折射率为n 0 ，且n ＜n 0 。

F 1是L 1的物方焦点，F 2是L 2的物方焦点，2F '是L 2的像方焦点。

有一物点S 位于L 1的物方焦平面上，如图8—11所示。

（1）画出成像光路图，求出像点S 1的位置。

简述作图的依据；（2）若L 1的物方焦距f 1 = 20厘米，L 2的物方焦距f 2 = 10厘米，物点S 离光轴的距离为2厘米，问像点S 1离光轴的距离为多少？解析：放于焦平面上的点光源发出的光经凸透镜折射后平行于副光轴，平行于副光轴的平行光经凹透镜发散后，反向延长线将交一凹透镜的副焦点，光路图如图8—11—甲所示。

（1）作法：①过S 作过光心O 点的光线，传播方向不改变；②过O ′点作平行于SO 的辅助线及过F 2作垂直于主轴的直线（焦平面），两线相交于S 1（副焦点）。

平行于副光轴的光线，经凹透镜折射后，折射线的反向延长线将通过S 1点，即S 1为所求的像点。

（2）由图可知：112SF S F =12f f ，所以：12S F = 1cm 即S 1离主光轴的距离为1cm 。

针对训练1．如图8—12所示，一个重为G 的匀质球，放在光滑的斜面上，斜面倾角为α ，在斜面上有一光滑的斜木板挡住球处于静止状态。

如果挡板与斜面间的夹角β缓慢增大到挡板呈水平状态，此过程中挡板对球的弹力N 1和斜面对球的弹力N 2如何变化？2．一重为G 的物块放在倾角为α的斜面上，物块与斜面间的摩擦因数为μ ，今在物块上的作用力为F ，F 可与斜面成任意夹角，如图8—13所示，求拉动物块沿斜面上升所需力F 的最小值及对应的θ角。

3．如图8—14所示，小环m 1 、m 2能沿着一轻绳光滑地滑动，绳的两端固定于直杆AB 的两端，杆与水平线成角度θ 。

在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环，并使m 1 、m 2在其两边，设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时，直杆与轻环两边的绳夹角为φ ，试证明：tan tan θϕ=1212m m m m -+。

4．一条在湖面上以恒定速度行驶的船上，有一与船固定的竖直光滑墙壁。

有一个小球沿水平方向射到墙上。

相对于岸，小球的速度大小为v 1 ，方向与墙的法线成60°角，小球自墙反弹时的速度方向正好与小球入射到墙上时的速度方向垂直。

问船的速度应满足什么条件。

设小球与墙壁的碰撞是完全弹性的。

5．F = 400N 的力拖着小船，使它沿着河中心线运动。

现甲、乙两人在河两岸共同拖船，已知甲拉力的方向与河中心线的夹角为30°，要使两人共同产生的效果与F 单独作用的效果相同，乙拉力的最小值应为多少？方向如何？6．如图8—15所示，一储油圆桶，底面直径与桶高均为d 。

当桶内无油时，从某点A 恰能看到桶底边缘上的某点B 。

当桶内油的深度等于桶高一半时，在A 点沿AB 方向看去，看到桶底上的C 点，C 、B 相距d 4。