01-第二讲 平面线积分与路径无关

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(3)

1 0
z cos z d z z d sin z
0
1


1 0
sin z d z
分部积分公式：
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(4) 试沿区域 Im( z) 0 , Re( z) 0 内的圆弧 i ln( z 1) 计算积分 1 z 1 d z 的值. ln( z 1) 且 积函数在所设区域内解析， 被积函数 解： z 1 1 2 它的一个原函数为 ln ( z 1 ) , 所以 2 i ln( z 1) 1 1 2 [ ln 2 ( 1 i ) ln 2 2 ] 1 z 1 d z 2 ln ( z 1) 2 2 1 1 2 2 3 2 ln 2 [ ( ln 2 i ) ln 2 ] ln 2 i 2 2 4 32 8 8
内，
C2

C
2z dz 2 z 4

C1
2z 2z dz 2 dz 2 C2 z 4 z 4
C1
1 1 1 1 dz dz dz dz C1 z 2i C1 z 2i C2 z 2i C2 z 2i
2z 1 1 4 i 2 i 20 2ii z 2i z 4 0 z 2
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三、闭路变形定理和复闭路定理
对闭路作不经过被积函数 变成 奇点的连续变形

C3
f ( z) d z
C3


C2
f ( z) d z
f ( z) d z

L
−1
从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等.
3. 格林公式及其应用
格林公式: 设平面闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P(x, y) 及
Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则
∫∫
D
(
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
=
∫L+
Pdx
+
Qdy
其中 L+ 是 D 的正向边界曲线。
C
C +c0
C0
∫∫ ∫ ∫ ∫ =
(2 − 3 y 2 )dxdy −
0
(1 +
03 )dx
=
π
dx
a sin x (2 − 3 y 2 )dy + π =π + 4 a 3 − 4a 。
π
0
0
D
3
用一元函数极值的方法得 a = 1 时达到最小值π − 8 。 3
4. 平面曲线积分与路径无关的条件
只能直接计算.这一圆周
L
的参数方程为
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
r cosθ r sinθ
,
Байду номын сангаас(0
≤
ϑ
≤
2π
)
,
则
∫ ∫ I = xdy − ydx = 2π r 2 (cos2 θ + sin 2 θ )dθ = 2π .
L x2 + y2
0
r2
例 5 设函数ϕ ( y) 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分
∫ 则曲线积分 f (x, y)ds 存在，且 L

平面曲线积分与路径无关，也称为路径无关的曲线积分，是指在平面上，若曲线积分的值与路径的选取无关，则称该曲线积分为路径无关的。

具体定义如下：
设曲线C为由参数方程r(t) = (x(t), y(t))，t ∈[a, b]表示的一条光滑曲线，函数f(x, y)定义在C的范围上。

如果对于C上的任意两条参数化表示r₁(t)和r₂(t)，都有
∫[C] f(x, y) ds₁= ∫[C] f(x, y) ds₂
其中，[C]表示对曲线C的积分，f(x, y) ds₁表示沿路径r₁(t)的曲线C的积分，f(x, y) ds₂表示沿路径r₂(t)的曲线C的积分。

如果上述等式对于所有满足条件的函数f(x, y)成立，则称曲线积分与路径无关，或者说该曲线积分是路径无关的。

路径无关的曲线积分在物理学和数学中有广泛的应用，例如电场的线积分和流体力学中的流量积分等。

路径无关的曲线积分可以简化计算过程，同时也可以提供与路径无关的物理量。

验证：表达式xy 2 dx + x 2 ydy是某个二元函数的全微分，
并求出这个函数．
证明 : 令P( x, y ) = xy 2 , Q( x, y ) = x 2 y, 则
∂P ∂Q ∂P ∂Q P , Q, 和 在整个xoy面上连续，且 = 2 xy = . ∂x ∂x ∂x ∂x
故表达式xy 2 dx + x 2 ydy是某个二元函数的全微分.
L
(2)对于D内任意一条分段光滑曲线L, 积分∫ Pdx + Qdy
L
与路径无关 ;
(3)存在某一函数u = u ( x, y )定义在D上, 使得 du = Pdx + Qdy
在D内恒成立;
∂P ∂Q (4)在D内才处处有 = . ∂y ∂x 证明路线图 : (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1).
(2) L是从点A(1,0)沿上半圆y = 1 − x 2 到点B (−1,0)的圆弧；
(3) L是从点A(1,0)到点M (0,−1)再到点B (−1,0)的折线.
y
解: 在(1),(2)和(3)的各自条件下
1
I = ∫ (3 x 2 + y )dx + ( x − 2 y )dy = −2
L
−1
说明: 说明
(1)比较此定理的条件与格林公式条件的差别；
(2)应用判别积分与路径无关的条件 : ∂P ∂Q = ; ∂y ∂x
(3)二元函数的＂原函数＂及其求法．
方法(i) 方法
u ( x, y ) = ∫ P ( x, y 0 ) dx
x0
x
y
• A( x0 , y0 )
• B ( x, y )
由点A(0, )移动到点B ( ,0), 求此力场所作的功.(其中r = x + y ) 2 2