曲线积分及其与路径无关问题
- 格式：docx
- 大小：40.11 KB
- 文档页数：9
曲线积分与路径无关问题
1. 第一型曲线积分
(1) 对弧长的曲线积分的模型： 设给定一条平面曲线弧L : AB,其线密度为
「(x,y)求弧AB的质量m。
m = L f (x, y)ds ,
⑵若L^ AB, L^ BA，贝U L f(x,y)ds= L f(x, y)ds，即对弧长的曲线积分
■Li "L2
与积分弧段有关，但与积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算
设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为」x"(t),
片屮(t)
(：rt冬'-),其中(t)、(t)在J」上具有一阶连续导数，且 」2(t)宀'2(t) = 0, 则曲线积分［f
(x, y)ds存在，且
L f (x, y)ds=「f “t)「⑴丨 T2(t)r‘2(t)dt (: J) 特别，当f(x,y)=1时,〔f(x,y)ds表示曲线弧L的弧长。
当曲线弧L的方程为y=g(x) (a乞x乞b), g(x)在a,b】上有连续的导数，则
f f (x,y)ds= a f Rg(x)】Jl + g'2(x)dx ；
L a
r
x = x
把线弧L的方程为y=f(x)化作参数方程丿 ,(a兰x^b),
^ = g(x)
L f (x, y)ds= f f 片(y),yhjl +h'2(y)dy (c 疋 y Md)
2. 第二型曲线积分
(1) 第二型曲线积分的模型：设有一平面力场F(x, y)二P(x, y)i Q(x,y)j ,
其中P(x, y),Q(x, y)为连续函数，一质点在此力场的力作用下，由点 A沿光滑曲线 L运动到点B，求力场的力所作的功 W
W = [ P(x, y)dx +Q(x, y)dy ,
(2) 设L为有向曲线弧，-L为与L方向相反的有向曲线弧，则
L P(x, y)dx Q(x, y)d^ -丄 P(x, y)dx Q(x, y)dy
即第二型曲线积分方向无关
"x=d(t) 一
(3) 设xoy平面上的有向曲线L的参数方程为丿 '丿，当参数t单调地由ot
(t)
变到1时，曲线的点由起点A运动到终点B, (t)、(t)在以〉及 为端点的闭区
间上具有一阶连续导数，且：:'2(t)」「'2(t) = 0，函数P(x, y)、Q(x,y)在L上连续,
则曲线积分l P(x, y)dx Q(x, y)dy存在，且
P(x,y)dx Q(x, y)dy= 中；:(t)「(t) ：'(t) Q ：:(t),‘- (t)】
这里的〉是曲线L的起点A所对应的参数值，1是曲线L的终点B所对应的参数 值，并不要求〉：：：1 o
若曲线L的方程为y二f (x), x = a对应于L的起点，x二b应于L的终点，则 L
P(x, y)dx Q(x, y)dy = ^ P -x, f (x)〕Q f (x) If (x) dx ;
若曲线L的方程为x =g(y), y =c对应于L的起点，y =d应于L的终点， 则
(p(x, y)dx +Q(X, y)dy = f Sb(y),y右(y) +Q^(y),y山y。
同样，以上并不要求a ::: b， c ：：： d o
公式可推广到空间曲线C上对坐标的曲线积分的情形，
若空间曲线L的参数方程为x二(t), y八(t), z二(t)，则
C P(x,y,z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y,z)dz
=.「P；(t)「(t),，(t)；：'(t) Q；(t)「(t), (t)： '(t) R (t)? (t); (t/ '(t)dlt 这里
下限〉为曲线C的起点所对应的参数值，上限1为曲线C的终点所对应的参数 例1计算 L xydx ydy , 其中
(1)L为抛物线y2 =x上从点到点B(1,1)的一段弧。
⑵L为从A到点B的直线段.
解法1 (1)由 y2 =x知y不是x的单值函数，因此不能运用公式(2),但可运 用公式(3)，这里x = y2，y从-1变到1,于是
L xydx ydy =二『 .y (y2) y dy = 4 ° y4dy = 4。
解法2当把曲线L分成AO与OB两部分时，在每一部分上y都是x的单值 函数。在AO上y= -,?x，x由1变到0 ;在OB 上, x，x由0变到1。于是
L xydx ydy = OA xydx ydy + OB xydx ydy
=1 x( _X)x)(_ .. X)dx+ 0 x、.. X 一 x(.. X)dx
3 3
0 1 1 刁 1 4
二八-x2 )dx 0(x2 )dx = 2 2 5
⑵ 直线AB的方程为x =1,dx =0,y从-1到1,于是
1
Lxydx ydy =.」ydy = 0
从这个例子可以看出，对坐标的曲线积分沿不同的路径，曲线积分不一定相等•
3. 格林公式及其应用
格林公式：设平面闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x, y)及Q(x, y)
在D上具有一阶连续偏导数，则
DWWPdX 8
其中L ■是 D的正向边界曲线。
在公式(1)中取 P - -y,Q =x，可得 2 11 dxdy 二 I xdy-ydx，
D
上式左端为闭区域D的面积A的两倍，因此计算有界闭区域的 D面积的公式为：
1 A xdy - ydx。 例2计算星形线x = acos3t,y = as in31所围图形的面积.
解由公式⑵得
1 A = 2 [ xdy -ydx
1 2?. 3 2 3 2
=尹 [acos t 3asin tcost -asin t 3acos t(_sint)]dt
3a2
例3在过点O (0,0)和A ( n ,0)的曲线族y=asi nx中，求一条曲线C,使沿
该曲 线从O到A的线积分 / * y3)dx - (2x - y)dy的值最小。
解本题可用代入法直接求解，这里采用 “补线法”用格林公是求解。
令 C0 ： y = 0, x ： •： r 0，即 AO 直线段。
3 3 3
C(1 +y )dx +(2x +y)dy =1 机(1 +y )dx + (2x + y)dy — (1 + y )dx + (2x+ y)dy
用一元函数极值的方法得a =1时达到最小值二一§。
3
4. 平面曲线积分与路径无关的条件
从定义我们知道，曲线积分的值与被积函数与积分的路径有关，但也有特殊
情形，如重力对物体作的功只与起点、终点位置有关，与物体移动的路径无关；
定义：(曲线积分与路径无关问题)设D是xoy平面上的一个开区域，P(x,y) 以及Q(x, y)在D内具有一阶阶连续偏导数.如果对D内任意两点A与B，以及D
内从点A到点B的任意两条曲线L-!、L2，恒有.Pdx Qdy = . Pdx Qdy，则称
“L1 J
曲线积分L Pdx Qdy在D内与路径无关
定理：以下条件等价
(1) 在区域D内曲线积分与路径无关的充分；
(2) D内沿任一闭曲线的积分为零；
(3) 设开区域D是一个单连通域，函数P(x,y)以及Q(x,y)在D内具有一阶连"si n2tcos2tdt = 3 二 a2. 0 8
二(2 -3y2)dxdy - °(1 03)dx 二
D 二 asin x 2
dx (2 - 3y )dy 二=二 Tt
• 0 …•
0 么a3 -4a。 3 续偏导数且 兰二卫在D内恒成立；
■y .x
(4) Pdx Qdy为全微分.
例3计算［(1+xe2y)dx+ (x2e2y - y2)dy,其中L是从点0(0,0)经圆周
(x-2)2 y2 =4上半部到点A(4,0)的弧段。
解 直接计算曲线积分比较难，先判断是否与积分路径无关•
这里 P(x,y)胡 xe2y,Q(x,y) =x2e2y -y2.
有2 =2xe2y ，且 P(x, y)与Q(x, y)在全平面上有一阶连续偏导数.
.x ；:y
因此这个曲线积分与路径无关.为便于计算,取直线段OA作为积分路径.于是
L (1 +xe2y )dx +(x2e2y - y2)dy = 0A(^ xe2y)dx +(x2e2y - y2)dy
4
=o(1 x)dx = 12
例4计算| -字營,其中L为：
匚 x2 +y2
(1) 任一简单闭曲线，该闭曲线包围的区域不含有原点；
(2) 以原点为圆心的任一圆周.
阶连续偏导数.
(1)这个曲线积分与路径无关，所以
(2)由这一圆周所包围折区域内含有原点，因此不满足定理(3)及格林公式的条件
只能直接计算.这一圆周L的参数方程为＜ "x = r cos 日 亠
这里 P(x,y)二 -y
x2 y2 ,Q(x,y) x
x2 y2
Q
:x 2 2 y -x
(x2 y2) =兰，且P(x, y)与Q(x, y)在不含原点的任意一个区域内具有一
x
=.xdy - ydx _ L
x2 y2 =0.
Q _2y(2x2 y4) -4xL2xy _ -4x2y 2y5 2'4\2 2'4\2 x (2x y ) (2x y )
一卩 _ (y)(2x2 y4) -4「(y)y3 _ 2x2 ： (y) ： (y)y4 -4 (y)y3
2«4、2 2«4\2 y (2x y ) (2x y ) x2 y2 2 二 r2(co2s si A v). 0 兴
d =
例5设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L上，曲线积分
5吟2響『的值恒为同一常数
2x y
(I)证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有」(y)dx ' 2卩
」c 小 2 4 2x y =0 ；
(Il)求函数 (y)的表达式.
【分析】 证明(I)的关键是如何将封闭曲线 C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲
线相联系，这可利用曲线积分的可加性将 C进行分解讨论；而(II)中求(y)的表达式,
显然应用积分与路径无关即可
【详解】(I)
如图，将C分解为：C ・|2，另作一条曲线
「(y)dx 2xy d y ..
2x2 y4 " 1 (y)dx 2xy d y
1 |3 2x2 y4 (y)dx 2xyd y 0
L O A — U ■
2 13 2x2 y4
(II)设 P -2 4 2x y 2x2 2xyr , P,Q在单连通区域x 0内具有一阶连续偏导数, y
由(I)知, 曲线积分 (y)dx 今0在该区域内与路径无关，故当 x 0时，总有
L 2x2 y4
:Q
:x ■P
■y
