【课博会】与对数函数有关的定义域问题

指数函数对数函数定义域
指数函数定义域：指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是 a 大于 0 且不等于 1，对于 a 不大于 0 的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时 a 等于 0 函数无意义一般也不考虑。

对数函数定义域：函数y=logax (a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂 (真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是 (0，+∞)。

指数函数是y=常数的x次数方,x在指数的位置，底数为大于0且不等于1的常数。

不管是指数函数还是对数函数，底数大于1时为增函数，底数大于0小于1时为减函数。

对数函数的定义域解题策略：函数定义域(是使解析式有意义的自变量的取值集合) 一般有以下几种问题:①已知函数解析式，求函数的定义域;②在实际问题中，函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义;③已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域. 2． 求函数定义域的常用方法技巧( 1) 根据解析式要求如偶次根式的被开方式大于零，分母不能为零． ( 2) 根据实际问题的要求确定自变量的范围．( 3) 复合函数的定义域: 若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()b a g x ≤≤解出即可．3.求对数型函数定义域的方法同前面讲到的求的一般函数定义域的方法一样，但应特别注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于1.典例精析：考点一 具体函数的定义域【例1】若对数()()21log 62a a --有意义，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（-∞，3） B ．1(,3)2 C ．1(,1)2∪（1，+∞）D ．1(,1)2∪（1，3） 【解析】由已知，得3620112103222111a a a a a a a <⎧->⎧⎪⎪⎪->⇒>⇒<<⎨⎨⎪⎪-≠⎩≠⎪⎩且1a ≠，故选：D .【例2】函数()22log 6y x x =--的定义域为 （ ）A ．()2,3-B ．()3,2-C ．()(),32,-∞-+∞D ．()(),23,-∞-+∞【解析】函数()22log 6y x x =--的定义域为：260x x -->，即3x >或2x <-，所以定义域为：()(),23,-∞-+∞.故选：D.:变式1：函数()21log 4xf x x -=-的定义域为（ ） A ．()1,4 B ．[)1,4 C ．()(),14,-∞⋃+∞ D ．(](),14,-∞⋃+∞【解析】由题意得104xx ->-，即()()140x x --<，解得14x <<.故选:A .变式2：函数1(1)y ln x =-的定义域为( )A ．(1,)+∞B ．[1，)+∞C ．(1，2)(2⋃，)+∞D ．(1,2)[3，)+∞【解析】解：要使函数1(1)y ln x =-有意义则(1)010ln x x -≠⎧⎨->⎩解得1x >且2x ≠∴函数1(1)y ln x =-的定义域为(1，2)(2⋃，)+∞故选：C ．【例3】函数()lg(2)f x x =-的定义域是（ ）A ．(,2)-∞B ．[0,2)C ．[0,2]D ．[0,)+∞【解析】由题意，有200x x ->⎧⎨≥⎩，解得02x ≤<.∴函数定义域为[0,2).故选：B.变式1：函数()(1)f x ln x =+的定义域为( )A ．(2,)+∞B ．(1-，2)(2⋃，)+∞C ．(1,2)-D ．(1-，2]【解析】:由题意得：2010x x ->⎧⎨+>⎩，解得：12x -<<，故选：C ．变式2：函数y =( )A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1-，1]【解析】解：由题意知，函数y =210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，解得11x -<<，故选：C ．变式3：()22log 4y x =--的定义域是（ ） A ．(2,0)(1,2)- B ．(2,0](1,2)-⋃ C ．(2,0)[1,2)-⋃ D ．[2,0][1,2]-⋃【解析】要使函数有意义，则21022040x xx x -⎧≥⎪⎪⎨≠⎪⎪->⎩， 解得20x -<<或12x ≤<，所以函数的定义域为(2,0)[1,2)-⋃.故选：C ．变式4：函数3()log (21)xf x x =-的定义域是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1,)+∞D ．1(,1)2【解析】由已知得1021>0x x ->⎧⎨-⎩，解得112x <<，所以函数()f x 的定义域为112⎛⎫⎪⎝⎭，，故选：D变式5：函数(2)y x =-的定义域为( )A ．(0,2)B ．[0，2)C ．(0，2]D ．[0，2]【解析】解：要使原函数有意义，则200x x ->⎧⎨⎩，解得：02x <．所以原函数的定义域为[0，2)． 故选：B ．变式6：函数()ln 1x f x -=）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4【解析】对于函数()f x =有1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()f x =的定义域为()1,4.故选：C.【例4】函数()f x）A．12x x⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭B．12x x⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C．12x x⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭D．{}0x x≥【解析】因为()f x()12log210x+≥，即()1122log21log1x+≥，所以0211x<+≤，解得12x-<≤，即函数的定义域为12x x⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，故选：C变式1：函数y=()A．[1，)+∞B．3(,)4+∞C．3(,1]4D．(-∞，1]【解析】函数y=0.5log(43)0{|}430xxx-⎧⎨->⎩，即431{|}34xxx-⎧⎪⎨>⎪⎩，解得3{|1}4x x<．故选：C．变式2：函数y=__________.【解析】由411x-≥可得222x≥，得12x≥.所以函数y=1[,)2+∞.【例5】函数()00.5log21y x=-⎡⎤⎣⎦的定义域为（）A．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C．()1,+∞D．()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】要使函数有意义，只需()0.5log210x-≠，即210211xx->⎧⎨-≠⎩，解得112x<<或1x>．故选：D ．变式1：函数20()(54)lg(43)x f x x x =+-+的定义域为 【解析】若要使函数有意义，则lg(43)0430540x x x +≠⎧⎪+>⎨⎪-≠⎩，解得34x >-且12x ≠-，45x ≠，所以该函数的定义域为31144,,,42255⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【例6】函数12y x=-的定义域为 【解析】若要使函数有意义，则22010x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩，解得1≥x 或1x ≤-且2x ≠±，所以该函数的定义域为][)()(,2)(2,11,22,-∞-⋃--⋃⋃+∞；变式1：函数2()f x =的定义域为【解析】若要使函数有意义，则2210log (1)010x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩，解得3x ≥，所以该函数的定义域为[)3,+∞；考点二 抽象函数的定义域【例7】若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]， 【解析】因为函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，所以112x ≤+≤，所以1lg 2x ≤≤， 解得：10100x ≤≤，所以(lg )f x 的定义域为[10 100]，，故选：A.变式1：已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（ ）A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3 D．【解析】由[]1,1x ∈-，得1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以x ⎤∈⎦．故选：D.考点三 逆用函数的定义域【例8】若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1 B ．－1 C ．2D ．无法确定【解析】函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-.故选：B.【例9】若函数()2()log 1a f x x ax =-+的定义域为R ，则实数a 取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,1)(1,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞【解析】()2log 1a y x ax =-+的定义域为R ；210x ax ∴-+>的解集为R ；∴240a ∆=-<；22a ∴-<<；又0a >且1a ≠；01a ∴<<或12a <<； ∴实数a 的取值范围是()()0,11,2．故选：B ．变式1：已知函数()2lg 1y kx kx =-+的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________． 【解析】由题意可知，kx 2﹣kx +1＞0恒成立，当k ＝0时，1＞0恒成立， 当k ≠0时，240k k k ⎧⎨∆=-⎩＞＜，解可得，0＜k ＜4，综上可得，k 的范围[0，4）.【例10】若2()log (log )a a f x x x =-+对任意1(0,)2x ∈恒有意义，则实数a 的范围 ．【解析】要使函数()f x 有意义，则当意1(0,)2x ∈时，2log 0a x x -+>恒成立，即2log a x x >．若1a >时，当1(0,)2x ∈时log 0a x <，此时不成立．若01a <<，当1(0,)2x ∈时，作出函数log a y x =和2y x =的图象，当12x =时，11log 24a =，得1412a =，即116a =，∴若2()log (log )a a f x x x =-+对任意1(0,)2x ∈恒有意义， 则1116a <，即实数a 的范围是1[,1)16．故答案为：1[,1)16．变式1：()(42)xf x lg k =-在(-∞，2]上有意义，则实数k 的取值范围是 ．【解析】由题意函数(42)x k -在(-∞，2]上，恒为正值， 即：(42)0x k ->恒成立，42x k <，因为2x 在(-∞，2]上是增函数，所以1k < 故答案：(,1)-∞【例11】已知函数()()2lg 21f x ax x =++.（1）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.【解析】（1）∵()f x 的值域为R ，∴要求221u ax x =++的值域包含()0,∞+. 当0a <时，显然不可能；当0a =时，21u x R =+∈成立； 当0a >时，若221u ax x =++的值域包含()0,∞+， 则440a ∆=-≥，解得01a <≤. 综上所述，可知a 的取值范围是01a ≤≤.（2）由题意，知221u ax x =++的值恒为正，∴0440a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >，故a 的取值范围是1a >.巩固训练：1、已知对数式()12log 4a a+-（a ∈Z ）有意义，则a 的取值范围为（ ） A ．()1,4- B ．()()1,00,4-⋃ C ．{}1,2,3 D ．{}0,1,2,3【解析】由题意可知:101110244a a a a a a⎧⎪+>>-⎧⎪⎪+≠⇔≠⎨⎨⎪⎪<⎩⎪>-⎩，解之得:14a -<<且0a ≠.∵a ∈Z ，∴a 的取值范围为{}1,2,3.故选：C.2、函数(1)log (164)xx y +=-的定义域是【解析】要使函数有意义需，10111640x x x +>⎧⎪+≠⎨⎪->⎩，解得12x -<<且0x ≠，即10x -<<或02x <<，所以函数(1)log (164)xx y +=-的定义域是(1,0)(0,2)-.3、函数(2)y lg x =-的定义域是( ) A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．[1，)+∞D ．[2，)+∞【解析】函数2log (2)y x =-有意义，必须20x ->，即：2x >，故选：A ．4、函数()(31)f x lg x =++的定义域是( ) A ．1(3-，)+∞B ．[2-，1)3C ．1(3-，2]D ．(-∞，2]【解析】要使函数有意义，则20310x x -⎧⎨+>⎩，即213x x ⎧⎪⎨>-⎪⎩，∴123x -<，即函数的定义域为1(3-，2]，故选：C ．5、函数2()log (62)f x x =-的定义域是( )A ．{|3}x x >B ．{|43}x x -<<C ．{|4}x x >-D ．{|43}x x -<【解析】对于2log (62)x -，得出620x ->3x ∴<40x +4x ∴-∴函数2()log (62)f x x =-的定义域是{|43}x x -<故选：D ．6、函数1y x=+的定义域是（ ） A ．[1,0)(0,1)- B ．[1,0)(0,1]-⋃ C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,0)(0,1]-⋃【解析】由题意得10,10,0,x x x ->⎧⎪+>⎨⎪≠⎩解得10x -<<或01x <<.所以原函数的定义域为(1,0)(0,1)-.故选：C.7、函数()f x ( ) A ．(0,2)B ．(0，1)(1⋃，2)C ．(0，2]D ．(0，1)(1⋃，2]【解析】要使函数()f x 有意义，只需要2000x x lgx -⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得01x <<或12x <，所以定义域为(0，1)(1⋃，2]． 故选：D ．8、函数y =的定义域是【解析】（1）要使函数有意义需，2400lg 30x x x ⎧-≥⎪>⎨⎪+≠⎩，解得2x ≥，所以函数lg 3y x =+的定义域是[2,)+∞；9、()f x 的定义域 ．【解析】()f x =的定义域为1310log (1)0x x ->⎧⎪⎨-⎪⎩，解得12x <．故答案为：(1，2]．10、已知函数()f x 的定义域为M ，()(1)g x ln x =+的定义域为N ，则()(RMN =⋃ )A ．{|1}x x <B ．{|1}x x -C ．∅D ．(|11}x x -<【解析】因为函数()f x ={|11}M x x =-<<；()(1)g x ln x =+的定义域为{|1}N x x =>-，所以{|1}RN x x =-(){|11}{|1}{|1}R MN x x x x x x =-<<-=<．故选：A ．11、已知函数()()()log 2log 2a a f x x x =+--，(0a >且1)a ≠. （1）求()f x 的定义域； （2）判断并证明()f x 的奇偶性； （3）求满足()0f x ≤的实数x 的取值范围. 【解析】（1）()()()log 2log 2a a f x x x =+--，要使函数有意义可得2020x x +>⎧⎨->⎩，解得22x -<<，所以函数的定义域为()2,2-，（2）由（1）可知，函数的定义域关于原点对称，()()()()log 2log 2a a f x x x f x -=--+=-，所以函数为奇函数， （3）由()0f x ≤，则()()log 2log 2a a x x +≤-，当1a >时，可得22x x +≤-，解得0x ≤，此时实数x 的取值范围为(],0-∞，第 11 页 共 12 页当01a <<时，可得22x x +≥-，解得0x ≥，此时实数x 的取值范围为[)0,+∞.12、已知函数()()22log 1f x x ax =-+. （1）若()f x 的定义域，值域都是R ，求a 的值；（2）当2a =时，讨论()f x 在区间[]0b ，上的值域.【解析】（1）因为()f x 的定义域是R ，所以210x ax -+>在实数集上恒成立， 故一元二次方程210x ax -+=的根的判别式22404a a ∆=-<⇒<；()f x 的值域是R ，说明21y x ax =-+能取遍所有的正实数，因此一元二次方程210x ax -+=的根的判别式22404a a ∆=-≥⇒≥，显然这与刚得到24a <矛盾，故不存在这样的实数a ；（2）因为2a =，所以()()()2222log 21log 1f x x x x =-+=-，函数的定义域为不等于1的全体实数，故区间[]0b ，的右端点不能等于1，即0b >且1b ≠，显然函数在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.当01b <<时，函数在[]0b ，上是减函数，故函数的最大值为()20log 10f ==，函数的最小值为：()()22log 21f b b b =-+，因此函数的值域为：()22[log 21,0]b b -+； 当12b <≤，函数没有单调性，故函数的最大值为()20log 10f ==，而1x ≠，所以函数的值域为(,0]-∞；当2b >时，函数的最大值为：()()22log 21f b b b =-+，而1x ≠，所以函数的值域为： ()22(,log 21]b b -∞-+.第12 页共12 页。

对数函数及定义域知识点对数函数是指以一些正数为底的幂函数，其定义为y=loga(x)，其中a为底数，x为底数的幂。

对数函数的定义域和值域取决于底数和自变量的取值范围。

首先，对于对数函数的定义域，我们需要注意两个条件。

首先，由于对数的底数必须是正数且不能等于1，所以底数a的值必须大于0且不能等于1、其次，对于自变量x的取值范围，由于对数函数的定义要求底数的幂必须大于0，即x>0。

因此，对数函数的定义域为x>0。

其次，对于对数函数的值域，我们需要注意底数的取值范围。

当底数a>1时，对数函数的值域为y∈R（实数集）。

当底数0<a<1时，对数函数的值域为y∈R-\{0}（实数集减去0）。

接下来，我们来讨论一些具体的例子。

1. 以10为底的对数函数，即y=log10(x)。

定义域：x>0值域：y∈R2. 以2为底的对数函数，即y=log2(x)。

定义域：x>0值域：y∈R3. 以e（自然对数的底数）为底的对数函数，即y=ln(x)。

定义域：x>0值域：y∈R4. 若底数a<1，例如a=0.5，对数函数为y=log0.5(x)。

定义域：x>0值域：y∈R-\{0}5. 若底数a=1，对数函数为y=log1(x)，即常值函数y=0。

定义域：x>0值域：y=0从上述例子可以看出，对数函数的定义域通常为x>0，但值域则依赖于底数的取值范围。

对数函数在数学中具有广泛的应用，特别是在解决指数方程、指数函数的反函数以及复杂计算中起到了重要的作用。

了解对数函数的定义域和值域有助于我们理解其性质和应用。

总结起来，对数函数的定义域为x>0，值域的范围视底数的取值而不同。

学习对数函数的定义域和值域有助于我们应用其性质解决实际问题。

对数函数知识点总结对数函数是指可以用对数形式表示的函数，它的定义域为正实数集合，值域为实数集合。

对数函数具有一些特殊的性质和运算规则，在数学中得到广泛应用。

本文将对对数函数的定义、性质、运算规则以及常见的应用进行总结。

一、对数函数的定义与性质：1. 对数的定义：对于任意的正实数a和b (a ≠ 1)，对数函数 y = loga(b) 表示满足 a^y = b 的唯一实数y。

2.对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。

3. 常见的对数函数是以自然常数e为底的自然对数函数 y = ln(x)和以常数10为底的常用对数函数 y = log10(x)。

4. 对数函数与指数函数是互逆变换关系，即 loga(a^x) =a^(loga(x)) = x。

5. 对数函数的图像特点：以对数函数 y = loga(x) 为例，当 a > 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递增的，当x趋于0时，y趋于负无穷；当 a < 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递减的，当x趋于0时，y趋于正无穷。

6. 对数函数具有对称性，即 loga(a/x) = -loga(x)。

二、对数函数的运算规则：1. 对数的乘法规则：loga(mn) = loga(m) + loga(n)。

2. 对数的除法规则：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)。

3. 对数的幂次规则：loga(m^p) = p * loga(m)。

4. 对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c为任意的正实数（c ≠ 1）。

5. 对数函数的反函数：对于对数函数 y = loga(x)，其反函数为指数函数 x = a^y。

三、对数函数的应用：1.解指数方程和指数不等式：对于形如a^x=b或a^x<b的方程或不等式，可以通过取对数将其转化为对数方程或对数不等式进行求解。

对数函数简单解析对数函数是数学中的一种常见函数形式。

它与指数函数相对应，可以解决一些与指数函数相关的问题。

本文将对对数函数进行简单解析，介绍其定义、性质和应用。

一、定义对数函数可以用以下方式表示：y = logₐ(x)，其中a为底数，x为实数。

对于对数函数而言，底数必须大于0且不等于1，被取对数的实数必须大于0。

二、性质1. 对数函数与指数函数的反函数关系。

即对于指数函数y = aˣ ，对应的对数函数为y = logₐ(x) ，其中 a 为底数。

2. 对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

3. 对于底数 a 和正实数 x，有以下性质：- 若 a > 1，则对数函数为递增函数，即随着 x 的增大，对数值logₐ(x) 也增大。

- 若 0 < a < 1，则对数函数为递减函数，即随着 x 的增大，对数值logₐ(x) 减小。

- 当 x = a 时，对数函数值为 1。

- 当 x = 1 时，对数函数值为 0。

- 当 x > 1 时，对数函数值为正数。

- 当 0 < x < 1 时，对数函数值为负数。

- 当 x < 0 或 x = 0 时，对数函数无意义。

三、应用对数函数在各个领域都有广泛的应用，以下是其中几个常见的应用场景：1. 对数函数在数学中的应用- 对数函数可以用于求解指数方程。

例如，通过将指数方程转化为对数方程，可以更方便地求解。

- 对数函数可以用于简化复杂的数学运算。

例如，通过将乘法运算转化为对数函数的加法运算，可以简化计算过程。

2. 对数函数在经济学中的应用- 对数函数可以用于描述财富分布的不平等程度。

例如，洛伦兹曲线和基尼系数等概念可以通过对数函数进行建模。

- 对数函数可以用于计算利息。

例如，复利计算中的利率可以通过对数函数来表示。

3. 对数函数在生物学中的应用- 对数函数可以用于衡量物种数量的增长和减少。

例如，人口模型中的对数函数可以描述人口数量随时间的变化趋势。

对数函数知识点总结对数函数知识点一：对数函数的概念1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域为),(+∞-∞.它是指数函数xa y = )10(≠>a a 且的反函数．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5xy = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 两个常用对数： (1)常用对数简记为: lgN （以10为底） (2)自然对数简记为: lnN （以e 为底）例1、求下列函数的定义域、值域：(1)41212-=--xy ( 2))52(log 22++=x x y (3))54(log 231++-=x x y (4))(log 2x x y a --=知识点二：对数函数的图象方法一：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于x y =的对称图形，即可获得。

同样：也分1>a 与10<1log =为例方法二：①确定定义域; ②列表; ③描点、连线。

（1）x y 2log =（2） x y 21log =y=x o 11 yxy =log 2x o 11 yxy=xy =x 21log（3）x y 3log =（4） x y 31log =思考：函数x y 2log =与y =3log x 与y对函数的相同性质和不同性质. 相同性质：不同性质：例2、作出下列对数函数的图象：知识点三：对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．思考：底数a 是如何影响函数x y a log =的．（学生独立思考，师生共同总结）规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．例3、比较下列各组数中两个值的大小：⑴ 5.8log ,4.3log 22；⑵7.2log ,8.1log 3.03.0；⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a ．变式训练：（1）若3log 3log n m <，求n m 和的关系。

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N .②log aNM =log a M －log aN .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象xy > Ox y<a <y = l o g x a 111()).（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算）1．求下列各式的值． （1）355log ＋212log 1505log －145log ； （2）log 2125×log 318×log 519.练习题 1．计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 278；2.log 535＋212log －log 5150－log 514； 3.log 2125×log 318×log 519.4. 3991log log 4log 32+-． 5. 4lg 2lg 5lg 22+-221(6).log 24lg log lg 2log 32+-- 7.2lg 2lg3111lg 0.36lg823+++例2．已知实数x 、y 、z 满足3x ＝4y ＝6z＞1. (1)求证：2x ＋1y ＝2z； (2)试比较3x 、4y 、6z 的大小．练习题．已知log 189＝a ，18b＝5，用a 、b 表示log 3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数()22log 1xf x x -=-的定义域为集合A ，关于x 的不等式22a a x --<的解集为B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．2．设函数22log (22)y ax x =-+定义域为A ．（1）若A R =，求实数a 的取值范围；（2）若22log (22)2ax x -+>在[1,2]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．练习题1．已知函数()()2lg 21f x ax x =++（1）若()f x 的定义域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的值域； （2）若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围及()f x 的定义域2 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及其单调性）例题1．已知定义域为R 的函数f(x)为奇函数，且满足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x－1. (1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(12log 24)的值．2. 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.3.已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.4．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （Ⅰ）求函数()y f x =的定义域； （Ⅱ）判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅲ）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)(a ＞0，a≠1) (1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a ＞1时，求使f(x)＞0的x 的取值范围2．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，(0)0f =，当0x >时，12()log f x x =.（1）求函数()f x 的解析式； （2）解不等式2(1)2f x ->-；3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()log (1)f x x =-+．（Ⅰ）求(0)f ，(1)f ； （Ⅱ）求函数()f x 的表达式；（Ⅲ）若(1)1f a -<-，求a 的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y OA BC D2.求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.3．设f(x)＝|lg x|，a ，b 为实数，且0＜a ＜b. (1)求方程f(x)＝1的解； (2)若a ，b 满足f(a)＝f(b)＝2f 2a b +⎛⎫⎪⎝⎭，求证：a·b＝1，2a b+＞1.练习题：1．已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a -=11log )(，记)()(2)(x g x f x F += （1）求函数)(x F 的定义域及其零点；（2）若关于x 的方程2()2350F x m m -++=在区间)1,0[内仅有一解，求实数m 的取值范围. 2．已知函数f(x)＝log 4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．3.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于题型五：函数方程1方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.2.已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为4．已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数）.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若2a =，[]1,9x ∈,求函数()f x 的值域； （Ⅲ）若函数()f x y a =的图像恒在直线21y x =-+的上方，求实数a 的取值范围.5．已知函数221log log (28).242x xy x =⋅⋅≤≤ （Ⅰ）令x t 2log =，求y 关于t 的函数关系式及t 的取值范围； （Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x 的值.6.设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.。

对数函数的定义域练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 集合A ={x|y =log 2(x −1)}，B ={x|x −a >0}，且(∁R A)∩B =(0,1]，则a =( ) A.−1 B.0 C.1 D.22. 已知集合A ={x|1−x ≥0}，集合B ={x|y =lg (2x −1)}，则A ∩B =（ ） A.(0,1] B.(0,12)C.(12,1]D.(12,+∞)3. 已知集合M ={x|2x 2−9x −5<0}，N ={x|y =−lg (10−x )}，则M ∩N =( ) A.{x|x <10} B.RC.{x|−12<x <5} D.{x|5<x <10}4. 设集合A ={x|y =lg (1−x )}，B ={y|y =(12)x }，则A ∩B =( ) A.(0,+∞) B.[−1,0) C.(0,1) D.(−∞,1)5. 函数f (x )=log 5(x 2−2x )的单调递增区间是( ) A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(−∞,1) D.(−∞,0)6. 已知log 7(2x)<log 7(x +2)，则x 的取值范围为( ) A.x <2 B.x >0 C.x >−2 D.0<x <27. 函数f (x )=1x−2+lg (x +3)的定义域是（ ） A.[−3,2) B.[−3,+∞）C.(2,+∞)D.(−3,2)∪(2,+∞)8. 已知函数y =log a (−x 2+log 2a x)对任意x ∈(0,12)时都有意义，则实数a 的范围是（ ）A.0<a <1B.132≤a <12C.12<a <1D.a >19. 已知集合A ={y|y =(13)x −1,x ∈R }，B ={x|y =lg (2−x )}，则∁R (A ∩B )=( )A.(−1,2)B.(−∞,−1]C.[2,+∞）D.(−∞,−1]∪[2,+∞)10. 函数f(x)=log a(1−x2)的定义域为________.的定义域是________.11. 函数y=√4−x212. 函数y=ln(x2−x−2)的定义域是________．13. 函数的定义域为________.14. 已知函数的定义域是(−1, 2)，则的定义域是________15. 若函数f(x)=log2(x2−3ax+2a2)的单调递减区间是(−∞,a2)，则a=________.(−x2+2x+3)的单调递减区间为________.16. 函数f(x)=log1217. 函数y=ln(x2−x−2)的定义域是________.18. 已知函数f(x)=log32x2+bx+c的值域为[0, 1]，则b2+c=________．x2+1的定义域．19. 求函数f(x)=√|x−2|−1log2(x−1)20. 已知函数f(x)=log a(x+1)−log a(1−x)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)求使f(x)>0的x的解集．21. 已知函数f(x)=log a(1−x)+log a(x+3)(0<a<1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为−2，求a的值．22. 已知函数f(x)=log12(x+2)+log12(x−2).(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)求解关于x的不等式f(x)≥log12(3x).23. 已知函数f(x)=log2(|2x−1|+|x−4|−m)(m∈R) .(1)若函数f(x)的定义域为R，求m的取值集合M；(2)在(1)的条件下，正数a，b满足a，b∈M，求证：a+b4ab+49<114.24. 已知函数f(x)=log a(x+1)−log a(1−x)，a>0，且a≠1．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并予以证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围．25. 已知f(x)＝log a1+x1−x(a>0, a≠1)．（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性并予以证明；（3）求使f(x)>0的x取值范围．参考答案与试题解析对数函数的定义域练习题含答案一、选择题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算对数函数的定义域【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得A=(1,+∞)，B=(a,+∞)，∁R A=(−∞,1]，又因为(∁R A)∩B=(0,1]，所以B=(0,+∞)，a=0．故选B.2.【答案】C【考点】交集及其运算对数函数的定义域【解析】此题暂无解析【解答】,+∞)，解：A=(−∞,1]，B=(12,1]．故A∩B=(12故选C．3.【答案】C【考点】交集及其运算一元二次不等式的解法对数函数的定义域【解析】本题考查不等式的解法，函数的定义域，交集运算．【解答】<x<5}，解：因为M={x|2x2−9x−5<0}={x|−12N={x|y=−lg(10−x)}={x|x<10}，所以M ∩N ={x|−12<x <5}. 故选C . 4.【答案】 C【考点】对数函数的定义域指数函数的定义、解析式、定义域和值域 交集及其运算【解析】先分别求出集合A 和B ，由此利用交集定义能求出集合A ∩B ． 【解答】解：∵ 集合A ={x|y =lg (1−x )}={x|x <1}, B ={y|y =(12)x}={y|y >0},∴ A ∩B =(0,1). 故选C . 5. 【答案】 B【考点】对数函数的单调区间 对数函数的定义域【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由x 2−2x >0，得x >2或x <0， 即函数的定义域为(−∞,0)∪(2,+∞)， 设t =x 2−2x ，则y =log 5t 是增函数，则要求f(x)的单调递增区间，即求t =x 2−2x 的单调递增区间， ∵ t =x 2−2x 在定义域内的单调递增区间为(2,+∞)， ∴ f(x)的单调递增区间为(2,+∞). 故选B . 6.【答案】 D【考点】对数函数的单调性与特殊点 对数函数的定义域【解析】根据对数函数的定义与性质，把对数不等式化为等价的不等式组，求出解集即可． 【解答】解：由log 7(2x)<log 7(x +2)可得：{2x >0，x +2>0，x +2>2x ， 解得0<x <2， 故选D ． 7.【答案】 D【考点】函数的定义域及其求法 对数函数的定义域 【解析】 无【解答】解：由题意{x +3>0，x −2≠0，解得x >−3且x ≠2. 故选D ． 8.【答案】 B【考点】对数函数的定义域 【解析】由题意，−x 2+log 2a x >0在 x ∈(0,12)上恒成立，即log 2a x >x 2恒成立，可结合函数的图象求解． 【解答】解：由题意，−x 2+log 2a x >0在 x ∈(0,12)上恒成立，即log 2a x >x 2恒成立，如图：当2a >1时不符合要求；当0<2a <1时，若y =log 2a x 过点( 12, 14)，即 14=log 2a 12，所以a =132，故 132≤a <12， 综上所述，a 的范围为：[132, 12)故选B．9.【答案】D【考点】对数函数的定义域交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】)x−1,x∈R}=(−1,+∞)，解：∵ A={y|y=(13B={x|y=lg(2−x)}={x|x<2}.∴ A∩B={x|−1<x<2}.∴∁R(A∩B)=(−∞,−1]∪[2,+∞).故选D.二、填空题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）10.【答案】(−1,1)【考点】对数函数的定义域【解析】令真数部位大于0即可求解【解答】解：要使函数有意义，则1−x2>0，解得−1<x<1.故答案为：(−1,1).11.【答案】(−1,2)【考点】函数的定义域及其求法对数函数的定义域【解析】此题暂无解析 【解答】解：由题意得{4−x 2>0,x +1>0,解得−1<x <2，∴ 函数y =√4−x 2的定义域是(−1,2).故答案为：(−1,2)． 12.【答案】(−∞, −1)∪(2, +∞) 【考点】对数函数的定义域 【解析】根据对数函数的定义，真数大于0，列出不等式，求出解集即可． 【解答】解：∵ 函数y =ln (x 2−x −2)， ∴ x 2−x −2>0， 即(x +1)(x −2)>0， 解得x <−1或x >2；∴ 函数y 的定义域是(−∞, −1)∪(2, +∞)． 故答案为：(−∞, −1)∪(2, +∞)． 13.【答案】（—,0）U(0.1] 【考点】函数的定义域及其求法 对数函数的定义域 对数函数的单调性与特殊点【解析】根据二次根式的性质及分母不为0，列不等式求解即可． 【解答】由{1−x ≥0,1−√1−x ≠0解得x ≤1，且x ≠0 故答案为:(−∞,0)∪(0,1]I 加加】由于函数的定义域、值域均为集合，因此在填空题中，必须将函数的定义域、值域写成集合或区间的形式，否则是错误的． 14.【答案】 (−1芳} 【考点】函数的定义域及其求法 对数函数的定义域 函数奇偶性的性质【解析】根据函数定义域的概念列不等式，由此求得f (2x +1)的定义域．【解答】由于f(x)的定义域是(−1,2)，所以对于函数f(2x+1)有−1<2x+1<2，解得−1< x<1．所以函数f(2x+1)的定义域2)为(−1,12)故答案为：(−1,1215.【答案】0或1【考点】对数函数的图象与性质复合函数的单调性对数函数的定义域【解析】【解答】解：x2−3ax+2a2=(x−a)(x−2a)，当a=0时，显然符合题意；当a<0时，因为2a<a，所以f(x)的单调递减区间为(−∞,2a)，由a2=2a，得a=0或2，均不合题意；当a>0时，因为2a>a，所以f(x)的单调递减区间为(−∞,a)，由a2=a，得a=0（舍去）或1．综上，a=0或1 .故答案为：0或1.16.【答案】(−1,1]【考点】对数函数的单调性与特殊点复合函数的单调性对数函数的定义域一元二次不等式的解法【解析】由题设得函数的定义域为(−1,3)，再利用复合函数的单调性得解.【解答】解：由对数函数的定义，得−x2+2x+3>0，解得−1<x<3.所以函数f(x)的定义域为(−1,3).设g(x)=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，则函数g(x)在(−1,1]单调递增，所以函数f(x)在(−1,1]上单调递减，故f(x)=log 12(−x 2+2x +3)的单调递减区间为(−1,1].故答案为：(−1,1]. 17. 【答案】(−∞，−1)∪(2，+∞) 【考点】一元二次不等式的解法 对数函数的定义域【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意可知，x 2−x −2>0， 解得x <−1或x >2，所以函数y =ln (x 2−x −2) 的定义域是(−∞，−1)∪(2，+∞). 故答案为：(−∞，−1)∪(2，+∞). 18.【答案】 6【考点】对数函数的值域与最值 对数函数的定义域 函数的值域及其求法 【解析】根据f(x)的值域为[0, 1]，及对数函数的单调性便可得到1≤2x 2+bx+c x 2+1≤3，可设y =2x 2+bx+c x 2+1，可整理成关于x 的一元二次方程的形式：(y −2)x 2−bx +y −c =0，方程有解，从而便有△≥0，从而得到4y 2−(4c +8)y +8c −b 2≤0，根据1≤y ≤3便知1，3为方程4y 2−(4c +8)y +8c −b 2=0的两实数根，由韦达定理即可求出b ，c ，从而可以得出b 与c 的和． 【解答】解：由0≤f(x)≤1得：1≤2x 2+bx+c x 2+1≤3，即{2x 2+bx+c x 2+1≥1，2x 2+bx+cx 2+1≤3，解得：{x 2+bx +c −1≥0，x 2−bx +3−c ≥0，即{Δ1=b 2−4(c −1)≥0，Δ2=b 2−4(3−c)≥0，当{Δ1=0Δ2=0时，0≤log 32x 2+bx+c x 2+1≤1取等号.解得{b =±2，c =2，∴ b 2+c =6.故答案为：6．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ）19.【答案】解：函数f(x)=√|x−2|−1log 2(x−1)的定义域满足：{|x −2|−1≥0x −1>0x −1≠1，解得x ≥3．∴ 函数f(x)=√|x−2|−1log 2(x−1)的定义域为[3, +∞)．【考点】对数函数的定义域【解析】函数f(x)=√|x−2|−1log 2(x−1)的定义域满足{|x −2|−1≥0x −1>0x −1≠1，由此能求出结果．【解答】解：函数f(x)=√|x−2|−1log 2(x−1)的定义域满足：{|x −2|−1≥0x −1>0x −1≠1，解得x ≥3．∴ 函数f(x)=√|x−2|−1log 2(x−1)的定义域为[3, +∞)．20.【答案】解：(1)要使f(x)有意义，必须1+x >0且1−x >0，解得−1<x <1，∴ f(x)的定义域为(−1, 1)．(2)由f(x)>0，得log a (x +1)>log a (1−x)，当a >1时，∵ y =log a x 为增函数，∴ x +1>1−x >0，解得：0<x <1．当0<a <1时，∵ y =log a x 为减函数， ∴ 0<x +1<1−x ，解得−1<x <0．综上可知，当a >1时，x 的取值范围为(0, 1)；当0<a <1时，x 的取值范围为(−1, 0).【考点】对数函数的定义域对数函数的图象与性质【解析】（1）根据对数的真数大于0，可得x 的范围，即定义域；（2）利用定义即可判断奇偶性；（3）运用对数的运算法则化简，对底数a 讨论，求解f(x)>0的x 的取值范围即可，注意考虑定义域范围．【解答】解：(1)要使f(x)有意义，必须1+x >0且1−x >0，解得−1<x <1，∴ f(x)的定义域为(−1, 1)．(2)由f(x)>0，得log a (x +1)>log a (1−x)，当a >1时，∵ y =log a x 为增函数，∴ x +1>1−x >0，解得：0<x <1．当0<a <1时，∵ y =log a x 为减函数，∴ 0<x +1<1−x ，解得−1<x <0．综上可知，当a >1时，x 的取值范围为(0, 1)；当0<a <1时，x 的取值范围为(−1, 0).21.【答案】解：(1)要使函数f (x )有意义，则有{1−x >0，x +3>0，解得−3<x <1，∴ 函数f (x )的定义域为(−3,1)．(2)f (x )=log a (1−x )+log a (x +3)=log a [(1−x )(x +3)]=log a (−x 2−2x +3)=log a [−(x +1)2+4]，∵ −3<x <1，∴ 0<−(x +1)2+4≤4．∵ 0<a <1，∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4，即f (x )min =log a 4，又∵ 函数f (x )的最小值为−2，∴ log a 4=−2，∴ a −2=4，∴ a =12.【考点】对数函数的定义域对数及其运算对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)要使函数f (x )有意义，则有{1−x >0，x +3>0，解得−3<x <1，∴ 函数f (x )的定义域为(−3,1)．(2)f (x )=log a (1−x )+log a (x +3)=log a [(1−x )(x +3)]=log a (−x 2−2x +3)=log a [−(x +1)2+4]，∵ −3<x <1，∴ 0<−(x +1)2+4≤4．∵ 0<a <1，∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4，即f (x )min =log a 4，又∵ 函数f (x )的最小值为−2，∴ log a 4=−2，∴ a −2=4，∴ a =12.22.【答案】解：(1)由{x +2>0,x −2>0,得函数f (x )的定义域为(2,+∞)，所以函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)因为f (x )=log 12(x +2)+log 12(x −2)=log 12(x 2−4)， 所以不等式f (x )≥log 12(3x )等价于log 12(x 2−4)≥log 12(3x ). 因为y =log 12x 在(0,+∞)是减函数， 所以0<x 2−4≤3x ，解得2<x ≤4，所以不等式f (x )≥log 12(3x )的解集为{x|2<x ≤4} . 【考点】对数函数的定义域函数奇偶性的判断指、对数不等式的解法【解析】（1）由{x +2>0x −2>0，得函数f (x )的定义域为(2,+∞)，所以函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．【解答】解：(1)由{x +2>0,x −2>0,得函数f (x )的定义域为(2,+∞)，所以函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)因为f (x )=log 12(x +2)+log 12(x −2)=log 12(x 2−4)， 所以不等式f (x )≥log 12(3x )等价于log 12(x 2−4)≥log 12(3x ). 因为y =log 12x 在(0,+∞)是减函数， 所以0<x 2−4≤3x ，解得2<x ≤4，所以不等式f (x )≥log 12(3x )的解集为{x|2<x ≤4} . 23.【答案】(1)解：因为函数f (x )的定义域为R ，所以|2x −1|+|x −4|−m >0，即m <|2x −1|+|x −4|在x ∈R 恒成立．设g (x )=|2x −1|+|x −4|，则g (x )={−3x +5，x <12，x +3，12≤x ≤4，3x −5，x >4， g(x)图象如图所示，所以g (x )min =g (12)=72，所以m <72，即集合M ={m|m <72}．(2)证明：由题意得，0<a <72，0<b <72，要证a+b 4ab+49<114，即证4ab +49>14(a +b )，即证4ab +49−14(a +b )>0，即证(2a −7)(2b −7)>0，又0<a <72，0<b <72，所以(2a −7)(2b −7)>0，故a+b 4ab+49<114得证．【考点】绝对值不等式的解法与证明对数函数的定义域不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：因为函数f (x )的定义域为R ，所以|2x −1|+|x −4|−m >0，即m <|2x −1|+|x −4|在x ∈R 恒成立．设g (x )=|2x −1|+|x −4|，则g (x )={−3x +5，x <12，x +3，12≤x ≤4，3x −5，x >4， g(x)图象如图所示，所以g (x )min =g (12)=72， 所以m <72，即集合M ={m|m <72}． (2)由题意得，0<a <72，0<b <72， 要证a+b 4ab+49<114，即证4ab +49>14(a +b )，即证4ab +49−14(a +b )>0，即证(2a −7)(2b −7)>0，又0<a <72，0<b <72，所以(2a −7)(2b −7)>0，故a+b4ab+49<114得证．24.【答案】解：(1)要使f(x)有意义，必须1+x>0且1−x>0，解得−1<x<1，所以f(x)的定义域为(−1, 1)．(2)f(x)是奇函数．证明如下：由(1)知f(x)的定义域为(−1, 1)，关于原点对称，∵f(−x)=loga (−x+1)−loga(1+x)=−[loga(x+1)−loga(1−x)]=−f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)由f(x)>0，得loga (x+1)>loga(1−x)，当a>1时，∵y=loga x为增函数，∴x+1>1−x>0，解得：0<x<1．当0<a<1时，∵y=loga x为减函数，∴0<x+1<1−x，解得−1<x<0．综上可知，当a>1时，x的取值范围为(0, 1)；当0<a<1时，x的取值范围为(−1, 0).【考点】对数函数的定义域函数奇偶性的判断对数函数的图象与性质【解析】（1）根据对数的真数大于0，可得x的范围，即定义域；（2）利用定义即可判断奇偶性；（3）运用对数的运算法则化简，对底数a讨论，求解f(x)>0的x的取值范围即可，注意考虑定义域范围．【解答】解：(1)要使f(x)有意义，必须1+x>0且1−x>0，解得−1<x<1，所以f(x)的定义域为(−1, 1)．(2)f(x)是奇函数．证明如下：由(1)知f(x)的定义域为(−1, 1)，关于原点对称，∵f(−x)=loga (−x+1)−loga(1+x)=−[loga(x+1)−loga(1−x)]=−f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)由f(x)>0，得loga (x+1)>loga(1−x)，当a>1时，∵y=loga x为增函数，∴x+1>1−x>0，解得：0<x<1．当0<a <1时，∵ y =log a x 为减函数，∴ 0<x +1<1−x ，解得−1<x <0．综上可知，当a >1时，x 的取值范围为(0, 1)；当0<a <1时，x 的取值范围为(−1, 0).25.【答案】由对数函数的定义知1+x 1−x >0．如果{1+x >01−x >0 ，则−1<x <1； 如果{1+x <01−x <0，则不等式组无解．故f(x)的定义域为(−1, 1) ∵ f(−x)=log a 1−x 1+x =−log a 1+x 1−x =−f(x)，∴ f(x)为奇函数．(ⅰ)对a >1，log a 1+x 1−x >0等价于1+x 1−x >1，①而从（1）知1−x >0，故①等价于1+x >1−x ，又等价于x >0．故对a >1，当x ∈(0, 1)时有f(x)>0．(ⅱ)对0<a <1，log a 1+x 1−x >0等价于0<1+x 1−x <1．②而从（1）知1−x >0，故②等价于−1<x <0．故对0<a <1，当x ∈(−1, 0)时有f(x)>0．【考点】函数奇偶性的性质与判断对数函数的定义域【解析】（1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可，转化为解分式不等式．（2）利用奇偶性的定义，看f(−x)和f(x)的关系，注意到1+x 1−x 和1−x 1+x 互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f(−x)+f(x)＝0得到．（3）由对数函数的图象可知，要使f (x)>0，需分a >0和a <0两种境况讨论．【解答】由对数函数的定义知1+x 1−x >0．如果{1+x >01−x >0 ，则−1<x <1； 如果{1+x <01−x <0，则不等式组无解．故f(x)的定义域为(−1, 1) ∵ f(−x)=log a 1−x 1+x =−log a 1+x 1−x =−f(x)，∴ f(x)为奇函数．(ⅰ)对a >1，log a 1+x 1−x >0等价于1+x 1−x >1，①而从（1）知1−x >0，故①等价于1+x >1−x ，又等价于x >0．故对a >1，当x∈(0, 1)时有f(x)>0．(ⅱ)对0<a<1，loga 1+x1−x>0等价于0<1+x1−x<1．②而从（1）知1−x>0，故②等价于−1<x<0．故对0<a<1，当x∈(−1, 0)时有f(x)>0．。

高三对数函数相关知识点近年来，高考数学的考题中出现了越来越多与对数函数相关的题目。

对数函数作为数学的一个重要分支，对于高三学生来说非常重要。

在复习高考数学的过程中，我们不得不深入了解和掌握对数函数的相关知识点。

一、对数函数的定义和性质对数函数是指以一个正数为底数的指数函数，常见的对数函数有以10为底数的常用对数（log）和以自然常数e为底数的自然对数（ln）。

对数函数的定义为：若a>0且a≠1，那么对于任意的正实数x，a^x 的对数叫做以a为底的对数，记作logₐx。

对数函数的性质有以下几点：1. 对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

2. 对数函数的图像与指数函数的图像关于y=x对称。

3. 对数函数的导数为其自身的倒数。

二、对数函数的基本关系式1. logₐ(x·y) = logₐx + logₐy2. logₐ(x/y) = logₐx - logₐy3. logₐ(x^k) = k·logₐx这些基本关系式在解决对数函数相关问题时非常有用，熟练掌握它们能够大大提高解题的效率。

三、对数函数的性质和图像对数函数具有以下几个重要的性质：1. 对数函数的递增性：当0<a<1时，logₐx随着x的增加而增加；当a>1时，logₐx随着x的增加而减小。

2. 对数函数的奇偶性：logₐ(-x)不存在实数解，所以对数函数是定义在正实数集上的。

3. 对数函数的零点：logₐ1=0，即对数函数的底数的1次幂的结果为1。

对数函数在数学中的图像具有一定的特点：1. 当0<a<1时，对数函数的图像在一象限内，且逐渐逼近x轴。

2. 当a>1时，对数函数的图像在一象限内，且逐渐逼近y轴。

了解对数函数的性质和图像，能够帮助我们更好地理解和运用对数函数。

四、对数函数的应用对数函数在实际应用中有着广泛的应用，以下介绍两个常见的应用场景：1. pH值的计算：pH值是用来表示溶液酸碱程度的指标，其计算公式为pH = -log[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子（酸性物质）的浓度。

专题：对数函数知识点总结1.对数函数的定义：一般地，函数x y a log =()叫做对数函数.定义域是 2.对数函数的性质为一般的,函数y=a x 与y=log a x(a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1(x)如:f(x)=2x ,则f -1(x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x 对称函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称专题应用练习一、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-；（2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++（4）y = (5)y=lg11-x (6)y=x 3log 1.y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________3.4.5.6.7.8.（19.10.11.12.13.14222loglog log y x =的定义域是1.设f (x )＝lg(ax 2－2x ＋a ),(1)如果f (x )的定义域是(－∞,＋∞)，求a 的取值范围； (2)如果f (x )的值域是(－∞,＋∞)，求a 的取值范围． 15.已知函数)32(log )(221+-=ax x x f（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围 （3）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （4）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值.16.若函数()2x y f =的定义域为[]1,0-，则函数()2log y f x =的定义域为 17.已知函数f(2x ）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域. 18若函数y=lg(4-a ·2x )的定义域为R ，则实数a 的取值范围为19已知x 满足不等式06log 7)(log 222≤++x x ，函数=)(x f )2(log )4(log 42x x ∙的值域是 2021（1（解：因为函数的定义域为非空数集，故(1,p). （2=log p),时，0＜-(x-∴log 2⎢⎣⎡2log 2(p+1)-2. 时，∵-(x-2-p 1+log 2(p-1). 综合①②可知：当p 的值域是（ 当1＜p 时，函数∞,1+log 二、利用对数函数的性质，比较大小 例1、比较下列各组数中两个数的大小：（1）2log 3.4，2log 3.8； （2）0.5log 1.8，0.5log 2.1； （3）7log 5，6log 7；（4）2log 3，4log 5，321.0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8的大小关系是____________2.已知a 2>b>a>1，则m=log a b ，n=log b a ，p=log b ab的大小关系是____________3.已知log m 5>log n 5,试确定m 和n 的大小关系4.已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是5.已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.6.设323log ,log log a b c π===7.()()()221,,log log log log d d d d x d a x b x c x ∈===已知试比较，的大小。

初中数学知识归纳对数函数的性质与像对数函数是数学中常见的一类函数，它在数学、物理、经济等领域中发挥着重要的作用。

对数函数的性质与像是初中数学知识中的一个重要概念，本文将对对数函数的性质与像进行归纳和总结。

一、对数函数的性质1. 对数函数的定义域与值域对数函数的定义域为正实数集，即x>0，值域为实数集。

对数函数y=logx的定义可以表示为x=10^y。

2. 对数函数的图像特点对数函数的图像在x轴的左侧逐渐上升，呈现出右凸的形状。

对于对数函数y=logx，当x>1时，y>0；当x=1时，y=0；当0<x<1时，y<0。

这一特点在函数图像中体现出来。

3. 对数函数的性质对数函数具有以下性质：（1）对数函数的反函数是指数函数，即指数函数y=a^x与对数函数y=loga(x)互为反函数。

（2）对数函数与指数函数之间存在对应关系，即y=loga(x)与y=a^x在直角坐标系中对应点关于y=x对称。

（3）对数函数的图像关于直线y=x对称，即对于点(x,y)，若y=loga(x)，则x=loga(y)。

（4）不同底数的对数函数之间可以通过换底公式进行转换，即对于任意正实数x和任意正整数a、b，在同一定义域上，loga(x)=logb(x)/logb(a)。

二、对数函数的像1. 对数函数的像的定义对于对数函数y=loga(x)，x属于定义域，所对应的y值即为像。

像是自变量x通过函数变换所得到的因变量y的数值。

2. 对数函数的像的特性（1）对数函数的像随着自变量x的增加而增大，但增速逐渐减缓。

当x趋于无穷大时，对数函数的像也会趋于无穷大。

（2）当自变量x等于1时，对数函数的像等于0。

这是因为任意底数的对数函数，底数1的对数都等于0。

（3）当自变量x在(0,1)区间内时，对数函数的像为负数。

这是因为在这个区间内的自变量通过对数函数的映射，得到的值在0附近，所以是负数。

（4）当自变量x大于1时，对数函数的像为正数。

有关指、对数函数的热点问题一、定义域问题对一求定义域问题主要掌握三大限制：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数不小于零；③对数的真数为正，底数大于零且不为1．例1 （2005年全国高考江苏卷）函数y =的定义域为 ． 解：由题意知，20.5log (43)0x x -≥，即2243043 1.x x x x ⎧->⎪⎨-⎪⎩，≤ 从而可得函数的定义域为130144⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，，． 二、互化问题在处理反函数问题时，常常运用指、对数式的互化来解决，主要有以下两类：（1）log (010)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，，，经常还伴随着对数运算性质的应用； （2）0)b a N a a N b =⇔=>∈Q ，，，经常还伴随着幂运算性质的应用．例2 （2005全年全国高考江苏卷）函数123()x y x -=+∈R 的反函数的解析表达式为（ ）A ．22log 3y x =- B ．23log 2x y -= C ．23log 2x y -= D ．22log 3y x =- 解：由已知得123x y -=-，运用指、对数式的互化，得21log (3)x y -=-， 所以其反函数的解析式为21log (3)y x =--，即22log 3y x =-． 故选（A ）．三、单调性问题主要是判断增减性，求单调区间，利用单调性比较大小等．例3 （全国高考卷Ⅲ）若ln 2ln 3ln 5235a b c ===，，，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<解法1：（转化法）2325ln 3ln 232ln 3ln 2ln 532ln 2ln 53252525⎫>⇒>⎪⎪⇒>>⎬⎪>⇒>⎪⎭． 故选（C ）．解法2：（作差法）ln 2ln 33ln 22ln 31(ln8ln 9)02336a b --=-==-<，所以a b <；同理可得c a <，所以c a b <<．故选（C ）．四、参数范围问题主要是有关指、对数函数的逆向求解，如已知单调性求参数范围，已知函数值求自变量，已知恒成立求参数等．例4 （全国高考卷Ⅰ）设01a <<，函数()f x 2log (22)x x a a a =--，则使()0f x <的x的取值范围是（ ）A ．(0)-∞，B ．(0)+∞，C ．(log 3)a -∞，D ．(log 3)a +∞，解：由()0f x <，得2log (22)0log 1x x a a a a --<=，又01a <<，故2221x x a a -->，解得3x a >或1xa <-（舍去），所以log 3a x <．故选（C ）．五、图象问题主要有知图定式、知式定图、图象变换等问题，运用单调性、过特殊点及图象变换规律来解决．例5 （全国高考福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题： 若函数2()3log f x x =+的图象与()g x 的图象关于 对称，则函数()g x = ．（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）解：运用常用对称结论：若关于x 轴对称，则用()x g x -，分别代替原函数中的()x f x ，，可得2()3log g x x =-； 若关于y 轴对称，则用()x g x -，分别代替原函数中的()x f x ，，可得2()3log ()g x x =-+-；若关于原点对称，则用()x g x --，分别代替原函数中的()x f x ，，可得2()3log ()g x x =--；若关于y x =对称，则用()g x x ，分别代替原函数中的()x f x ，，可得3()2x g x -=等等．。

对数函数性质对数函数性质是：对数函数y=logax的定义域是{x⼁x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意⼤于0以外，还应注意底数⼤于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满⾜x>0且x≠1...对数函数性质定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x⼁x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意⼤于0以外，还应注意底数⼤于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满⾜x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x⼁x>1/2且x≠1}。

值域：实数集R，显然对数函数⽆界定点：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数0<a<1时，在定义域上为单调减函数奇偶性：⾮奇⾮偶函数周期性：不是周期函数对称性：⽆最值：⽆零点：x=1基本性质1、a^(log(a)(b))=b2、log(a)(a^b)=b3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)其他性质1.换底公式log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)2.log(a)(b)=1/log(b)(a)3.对数函数的图象都过(1,0)点。

4.对于y=log(a)(n)函数，①,当0<a<1时,图象上函数显⽰为(0,+∞)单减。

随着a的增⼤,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1。

②当a>1时,图象上显⽰函数为(0,+∞)单增,随着a的增⼤,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1。

5.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称。