2019年湖南省株洲市高考数学一模试卷(理科)

湖南省株洲市2019-2020学年高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S【答案】C 【解析】 【分析】设公差为d ，则由题意可得()()113479a d a d +=+，解得1451a d =-，可得1(554)51n n a a -=.令554051n -<，可得 当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <，由此可得数列{}n a 前n 项和()*n S n N ∈中最小的. 【详解】解：等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，设公差为d ， 则()()113479a d a d +=+，解得 1451a d =-， 11(554)(1)51n n a a a n d -∴=+-=.令554051n -<，可得545n >，故当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <， 故数列{}n a 前n 项和()*n S n N ∈中最小的是13S.故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.2．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π【答案】D 【解析】 【分析】根据底面为等边三角形，取BC 中点M ，可证明BC ⊥平面PAM ，从而BC PM ⊥，即可证明三棱锥P ABC -为正三棱锥.取底面等边ABC ∆的重心为O '，可求得P 到平面ABC 的距离，画出几何关系，设球心为O ，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积. 【详解】设M 为BC 中点，ABC ∆是等边三角形， 所以AM BC ⊥，又因为PA BC ⊥，且PA AM A =I ， 所以BC ⊥平面PAM ，则BC PM ⊥， 由三线合一性质可知,PB PA PC ==所以三棱锥P ABC -为正三棱锥，43,AB =25,PA PB PC === 设底面等边ABC ∆的重心为O '， 可得226433AO AM '==⨯=，2220162PO PA AO '=-'=-=， 所以三棱锥P ABC -的外接球球心在面ABC 下方，设为O ，如下图所示：由球的性质可知，PO ⊥平面ABC ，且,,P O O '在同一直线上，设球的半径为R ， 在Rt AOO ∆'中，222AO AO OO ='+'， 即()22162R R =+-， 解得5R =，所以三棱锥P ABC -的外接球表面积为24425100S R πππ==⨯=， 故选：D. 【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 3．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A试题分析：由题意可得：131 255iii-=--. 共轭复数为3155i+，故选A.考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系4．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20 B．27 C．54 D．64【答案】B【解析】【分析】设大正方体的边长为x，从而求得小正方体的边长为3122x x-，设落在小正方形内的米粒数大约为N，利用概率模拟列方程即可求解。

湖南省株洲市2019-2020学年高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A B 1C D 1【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 11）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ． 【详解】直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -，F 1（0，2p ），F 2（0，2p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx+p 2＝0， ∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：2222y x a b-=1，丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨==，2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（ 1）p ，2c ＝p ，∴离心率eca ===1， 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ） A ．6里 B ．12里C ．24里D ．48里【答案】C【分析】设第一天走1a 里，则{}n a 是以1a 为首项，以12为公比的等比数列，由题意得1661(1)2378112a S -==-，求出1192a =（里)，由此能求出该人第四天走的路程． 【详解】设第一天走1a 里，则{}n a 是以1a 为首项，以12为公比的等比数列， 由题意得：1661(1)2378112a S -==-， 解得1192a =（里)，∴34111()1922428a a =⨯=⨯=（里)．故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．3．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为( ) A．3B．3C．3D．3【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥底面圆的半径为r，由轴截面面积为r ，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r，由已知，122r ⨯=r =所以圆锥的体积213V r π==3. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.4．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论. 【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的， 正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形， 顶点O 在平面11ADD A 上，高为2， 所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=， 所以该几何体的体积为816833-=. 故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题. 5．若不等式22ln x x x ax -+…对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．(,1]-∞C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】B 【解析】转化22ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞…为2ln a x x +„，构造函数()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解. 【详解】由22ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞…，可知2ln a x x +„．设()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，则2()10h x x'=+>， 所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增， 所以min ()(1)1h x h ==． 所以min ()1a h x =„． 故a 的取值范围是(,1]-∞． 故选：B 【点睛】本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6．已知向量()3,2AB =u u u r ，()5,1AC =-u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】C 【解析】 【分析】求出()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r ,即能求出向量夹角.【详解】解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r. 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r所以AB BC ⊥u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuu r的夹角为90︒. 故选:C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a b a b a b⋅=r rr r r r 进行计算.7．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A ．33263cm B ．36463cm C ．33223cm D ．36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则32h a =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=，所以四棱锥的体积2313646=(42)423V cm ⨯⨯=，应选答案B ． 8．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米 B ．480米 C ．520米 D ．600米【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx +=，解得()10021x =；且满足2100yx =+故解得塔高()1002001480y x =+=≈米，即塔高约为480米.故选：B 【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.9．已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin a C A b c +=+，则A =（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C 【解析】 【分析】sin cos sin sin C A A C C =+，由于sin 0C ≠，0A π<<可求A 的值. 【详解】解：由cos sin a C A b c +=+及正弦定理得sin cos sin sin sin A C C A B C +=+. 因为B A C π=--，所以sin sin cos cos sin B A C A C =+代入上式化简得sin cos sin sin C A A C C =+.由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.故选：C. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.10．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】先求得()'fx ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.【详解】 依题意()'553cos 33cos 33sin 33626fx x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以由()sin(3)3f x x π=+向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像.故选：D 【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.11．已知函数3sin ()(1)()x x x xf x x m x e e-+=+-++为奇函数，则m =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出m 的值. 【详解】依题意()f x 是奇函数.而3sin y x x =+为奇函数，x xy e e -=+为偶函数，所以()()()1gx x m x =+-为偶函数，故()()0gx g x --=，也即()()()()110x m x x m x +---+=，化简得()220m x -=，所以1m =.故选：B 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.12．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x+6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ） A ．[2，4] B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，对t 进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】画出不等式组0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+=⎩所表示的可行域如图△AOB当t ≤2时，可行域即为如图中的△OAM ，此时目标函数z ＝9x+6y 在A （2，0）取得最大值Z ＝18不符合题意t ＞2时可知目标函数Z ＝9x+6y 在224x y t x y +=⎧⎨+=⎩的交点（82433t t --，）处取得最大值，此时Z ＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6 故选：B ． 【点睛】此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年湖南省株洲市新市中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=﹣xcosx的部分图象是( )A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象；奇偶函数图象的对称性；余弦函数的图象．【专题】数形结合．【分析】由函数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进行鉴别．【解答】解：设y=f（x），则f（﹣x）=xcosx=﹣f（x），f（x）为奇函数；又时f（x）＜0，此时图象应在x轴的下方故应选D．【点评】本题考查函数的图象，选择图象的依据是根据函数的性质与函数本身的局部特征．2. 若??{x|x2≤a，a∈R}，则a的取值范围是（）A．[0，+∞） B．（0，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）参考答案：A【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题．【分析】由题意可得 {x|x2≤a，a∈R}≠?，从而得到a≥0．【解答】解：∵??{x|x2≤a，a∈R}，∴{x|x2≤a，a∈R}≠?，∴a≥0．故选 A．【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，得到{x|x2≤a，a∈R}≠?，是解题的关键，属于基础题．3. 某校为了了解高一年级1203名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）A．40 B. 30.1 C.30 D. 12参考答案：C略4. 满足“对定义域内任意实数，都有”的函数可以是（）A． B． C． D．参考答案：D5. 若的内角满足，则 ( )A. B. C. D.参考答案：A6. 函数在区间上是增函数，且则cos的值为（）A. 0B.C.1 D. －1参考答案：C7. 设集合A＝{x|－5≤x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|－5≤x＜1} B．{x|－5≤x≤2}C．{x|x＜1} D．{x|x≤2}参考答案：D略8. 2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B（）A. 是互斥事件，不是对立事件 B. 是对立事件，不是互斥事件C. 既是互斥事件，也是对立事件D. 既不是互斥事件也不是对立事件参考答案：A【分析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.9. 函数y=的值域是[-2,2]，则函数y=的值域是（）A．[-2,2] B．[-4,0] C．[0,4] D．[-1,1]参考答案：A略10. 已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则?U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴?U（A∪B）={4}．故选D【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图（如右上图），估计这次环保知识竞赛的及格率________（60分及以上为及格）．参考答案：75%12. 在△ABC中，若，，成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，则△ABC的形状为____．参考答案：等边三角形分析：由lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列得到角A，B，C的三角函数关系，再由A，B，C也成等差数列得到角B等于60°，然后联立并展开两角和与差的正弦求解答案．详解：因为lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，得lgsinA+lgsinC=2lgsinB，即sin2B=sinAsinB①又三内角A，B，C也成等差数列，所以B=60°．代入①得sinAsinB=②假设A=60°-α，B=60°+α．代入②得sin（60°+α）sin（60°-α）=．展开得，cos2α?sin2α＝．即cos2α=1．所以α=0°．所以A=B=C=60°．故答案为等边三角形．点睛：本题考查了等差数列的性质，考查了三角函数的化简与求值，训练了对数的运算性质，是中低档题．13.参考答案：14. 若数列是一个单调递减数列，且，则实数的取值范围是．参考答案：15. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________。

2019届湖南省株洲市高三一模考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,2A =，集合{}2,3B =，则()C A B ⋃⋃=（ ）A. ∅B. {}1,2,3,4C. {}2,3,4D. {}0,1,2,3,4【答案】C【解析】【分析】先求C A ⋃，再根据并集定义求结果.【详解】因为{}3,4C A ⋃=，所以(){}2,3,4C A B ⋃⋃=，选C.2.在区间[2,2]-上任意取一个数x ，使不等式20x x -<成立的概率为（ ） A. 16 B. 12 C. 13 D. 14【答案】D【解析】【分析】先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果.【详解】由20x x -<得01x <<，所以所求概率为1012(2)4-=--，选D. 【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．3.已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ）A. 64B. 32C. 16D. 4 【答案】B【解析】【分析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a【详解】由2416a a =得2445516116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===选B.4.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4ii e e ππ表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】 根据欧拉公式计算4ii e e ππ，再根据复数几何意义确定象限.【详解】因为42244ii e cos isin i cos isin e ππππππ+===-++，所以对应点22-（，，在第二象限，选B.。

2019年高考数学(理科)模拟试卷(一) 2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|y=lg(3-2x)}，B={x|x²≤4}，则A∪B=（）A。

{x|-2≤x<2}B。

{x|x<2}C。

{x|-2<x<2}D。

{x|x≤2}2.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A。

(-∞,1)B。

(-∞,-1)C。

(1,+∞)D。

(-1,+∞)3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A。

6斤B。

9斤C。

9.5斤D。

12斤4.某三棱锥的三视图如图M1-1，则该三棱锥的体积为（）A。

60B。

30C。

20D。

105.设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数。

若存在实数t，使得[t]=1，[t²]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A。

3B。

4C。

5D。

66.执行两次如图M1-2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（）A。

0,0B。

1,1C。

0,1D。

1,07.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A。

10B。

11C。

12D。

138.若x，y满足约束条件x+y-3≥0，x-2y≤0，则x≥（）A。

[0,6]B。

[0,4]C。

[6,+∞)D。

[4,+∞)13.首先求出向量a和b的夹角，由向量点乘公式可得cosθ = (a·b)/(|a||b|) = 9/√20，其中θ为夹角。

2019年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂在答题卡上）1．（5分）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}2．（5分）在区间[﹣2，2]上任意取一个数x，使不等式x2﹣x＜0成立的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）已知各项为正数的等比数列{a n}满足a1＝1，a2a4＝16，则a6＝（）A．64B．32C．16D．44．（5分）欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（5分）已知M，N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值是（）A．B．C．D．6．（5分）若均不为1的实数a、b满足a＞b＞0，且ab＞1，则（）A．log a3＞log b3B．3a+3b＞6C．3ab+1＞3a+b D．a b＞b a7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8+B．8+2C．12D．8．（5分）如图，边长为1正方形ABCD，射线BP从BA出发，绕着点B顺时针方向旋转至BC，在旋转的过程中，记∠ABP＝x（x∈[0，]），BP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积为y＝f（x），则函数f（x）的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（）A．0，3B．0，4C．2，3D．2，410．（5分）已知函数f（x）＝的图象关于y轴对称，则y＝sin x的图象向左平移（）个单位，可以得到y＝cos（x+a+b）的图象A．B．C．D．π11．（5分）已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD的四个顶点，其中AB＝4，BC＝CD ＝AD＝2，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（）A．B．C．D．212．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，若AM⊥平面α，且B∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为（）A．3+2B．4+4C．2D．6二、填空题（本大題共4小題，每小题5分，共20分请将答案填在答题卷上）13．（5分）已知点P（2，1）在双曲线C：＝1（a，b∈R+）的渐近线上，则C的离心率为14．（5分）（2x﹣）6展开式中常数项为（用数字作答）．15．（5分）设△ABC的外心P满足＝（+），则cos∠BAC＝．16．（5分）数列{a n}的首项为1，其余各项为1或2，且在第k个1和第k+1个1之间有2k ﹣1个2，即数列{a n}为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…记数列{a n}的前n项和为S n，则S2019＝（用数字作答）三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A＝﹣，c＝，sin A＝sin C．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．18．（12分）如图（1），等腰梯形ABCD，AB＝2，CD＝6，AD＝2，E、F分别是CD的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线AE、BF折起，使得点C和点D重合，记为点P如图（2）．（Ⅰ）求证：平面PEF⊥平面ABEF；（Ⅱ）求平面P AE与平面P AB所成锐二面角的余弦值．19．（12分）已知F1，F2分别为椭圆＝1（a＞b＞0）左、右焦点，点P（1，y0）在椭圆上，且PF2⊥x轴，△PF1F2的周长为6；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点T（0，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得+＝﹣7恒成立？请说明理由．20．（12分）某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N人，若逐个检验就需要检验N次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为k+1次，假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p．（1）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若p＝0.1，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率（Ⅱ）设ξ为k个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数．①当k＝5，P＝0.1时，求ξ的分布列；②试运用统计概率的相关知识，求当k和p满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数．21．（12分）已知函数f（x）＝4x2﹣4x+mln（2x），其中m为大于零的常数．（Ⅰ）讨论y＝f（x）的单调区间；（Ⅱ）若y＝f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），且不等式f（x1）≥ax2恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1与曲线C2的极坐标方程分别为cosθ，ρ＝3sinθ．（Ⅰ）求直线l的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C1与曲线C2的一个交点为点A（A不为极点），直线l与OA的交点为B，求|AB|．[选修45：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+a|x﹣2|（a为实数）．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的最小值．（Ⅱ）若a＞1，解不等式f（x）≤a．2019年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂在答题卡上）1．【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，∴∁U A＝{3，4}，则（∁U A）∪B＝{2，3，4}，故选：C．2．【解答】解：由x2﹣x＜0，得0＜x＜1．∴在区间[﹣2，2]上任意取一个数x，使不等式x2﹣x＜0成立的概率为．故选：D．3．【解答】解：各项为正数公比为q的等比数列{a n}满足a1＝1，a2a4＝16，则：，解得：q＝2（负值舍去），所以：．故选：B．4．【解答】解：由欧拉公式e ix＝cos x+i sin x，可得＝＝＝＝，∴表示的复数位于复平面中的第二象限．故选：B．5．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD，其中A（1，1），B（5，1），C（，），D（1，2）∵M、N是区域内的两个不同的点∴运动点M、N，可得当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，距离最远因此|MN|的最大值是|BD|＝＝故选：B．6．【解答】解：均不为1的实数a、b满足a＞b＞0，且ab＞1，所以：a＞b＞1，故：对于选项A：log a3＞log b3不成立，故A错误．对于选项C，当a＝1.02，b＝1.01，所以：ab+1＜a+b，故：3ab+1＜3a+b，故：C，D错误．故选：B．7．【解答】解：几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图，可得该几何体的体积为8+＝8+，故选：A．8．【解答】解：当∠ABP＝x（x∈[0，]），f（x）＝tan x，当∠ABP＝x（x∈[，]），f（x）＝1﹣tan（﹣x）＝1﹣，故只有D符合，故选：D．9．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a＝6，b＝8，i＝0，i＝1，不满足a＞b，不满足a＝b，b＝8﹣6＝2，i＝2满足a＞b，a＝6﹣2＝4，i＝3满足a＞b，a＝4﹣2＝2，i＝4不满足a＞b，满足a＝b，输出a的值为2，i的值为4．故选：D．10．【解答】解：函数f（x）＝的图象关于y轴对称，故：f（x）＝f（﹣x），所以：sin（x+a）＝cos（﹣x+b）＝cos（x﹣b），整理得：2k＝﹣b（k∈Z），所以：a+b＝（k∈Z）．则：y＝cos（x+a+b）＝cos（x+2k）＝﹣sin x即：y＝sin x的图象向左平移π个单位，得到：y＝sin（x+π）＝﹣sin x．故选：D．11．【解答】解：设抛物线方程为：y2＝2px，一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD的四个顶点，其中AB＝4，BC＝CD＝AD＝2，D（a，1），则A（a+，2），可得，解得p＝．则该抛物线的焦点到其准线的距离是．故选：B．12．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中BD⊥AC，∴BD⊥AM（三垂线定理），取BB1中点N，A1B1中点E，连MN，AN，BE，可知BE⊥AN，∴BE⊥AM（三垂线定理），∴AM⊥平面DBE，取A1D1中点F，则α即为截面BEFD，易求周长为3，故选：A．二、填空题（本大題共4小題，每小题5分，共20分请将答案填在答题卷上）13．【解答】解：双曲线C：＝1（a，b∈R+）的渐近线方程为y＝±x，由题意可得＝1，即a＝2b，c＝＝a，可得e＝＝．故答案为：．14．【解答】解：（2x﹣）6展开式的通项为＝令得r＝4故展开式中的常数项．故答案为6015．【解答】解：∵△ABC的外心P满足＝（），∴P是△ABC的重心，∴△ABC是等边三角形，∴A＝60°，∴cos A＝cos60°＝．故答案为：．16．【解答】解：由题意可得，k＝45时，有45个1，有1+3+5+…+89＝2025个2，该数列中前2019项中共有45个1，有共有1974个2，S2019＝45+1974×2＝3993．故答案为：3993．三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，由正弦定理，得．…（6分）（Ⅱ）由得，，由得，，则，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，化简得，b2﹣2b﹣15＝0，解得b＝5或b＝﹣3（舍负）．所以．…（13分）18．【解答】证明：（Ⅰ）∵等腰梯形ABCD，AB＝2，CD＝6，AD＝2，E，F是CD的两个三等分点，∴ABEF是正方形，∴BE⊥EF，∵BE⊥PE，且PE∩EF＝E，∴BF⊥面PEF，又BF⊂平面ABEF，∴平面PEF⊥平面ABEF．解：（Ⅱ）过P作PO⊥EF于O，过O作BE的平行线交AB于G，则PO⊥面ABEF，以O为原点，OE，OP为y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），E（0，1，0），P（0，0，），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，﹣1，），＝（0，2，0），＝（2，﹣1，﹣），设平面P AE的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（，，1），设平面P AB的法向量＝（x，y，z），则，∴，取x＝，得＝（，0，2），设平面P平面P AE与平面P AB所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴平面P AE与平面P AB所成锐二面角的余弦值为．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意，F1（﹣1，0），F2（1，0），c＝1，∵△PF1F2的周长为6，∴|PF1|+|PF2|+2c＝2a+2c＝6，∴a＝2，b＝，∴椭圆的标准方程为+＝1．（Ⅱ）假设存在常数λ满足条件．（1）当过点T的直线AB的斜率不存在时，A（0，），B（0，﹣），∴•+＝﹣3+λ[（）（﹣）]＝﹣3﹣2λ＝﹣7，当λ＝2时，+＝﹣7．（2）当过点T的直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简，得（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0，∴，，∴＝x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]＝（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝﹣﹣+1＝+1＝﹣7，∴，解得λ＝2，即λ＝2时，+＝﹣7，综上所述，存在常数λ＝2，使得+＝﹣7恒成立．20．【解答】解：（Ⅰ）对3人进行检验，且检验结果是独立的，设事假A：3人中恰好有1人检测结果为阳性，其概率P（A）＝C32×0.1×（1﹣0.1）2＝0.243，（Ⅱ）①k＝5，P＝0.1，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为0.95，每人所检验的次数为，若混合检验结果为阳性，则其概率为1﹣0.95，每人所检验的次数为，故ξ的分布列为分组时，每人检验次数的期望如下，P（ξ＝）＝（1﹣p）k，P（ξ＝+1）＝1﹣（1﹣p）k，∴E（ξ）＝•（1﹣p）k+（+1）[1﹣（1﹣p）k]＝1﹣（1﹣p）k+，不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，则1﹣（1﹣p）k+＜1，即1﹣p＞，∴当1﹣p＞时，用分组的办法能减少检验次数．21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（x＞0），①m≥时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增；②0＜m＜时，设方程8x2﹣4x+m＝0的两根为x1，x2，则x1＝，x2＝，∴0＜x1＜，＜x2＜，∴f（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，+∞）递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，0＜m＜且x1+x2＝，x1•x2＝，由f（x1）≥ax2，故a≤，f（x1）＝4﹣4x1+mln2x1＝﹣1+4x1（1﹣2x1）ln2x1，故＝＝2（1﹣2x1）﹣+8x1ln2x1，设t＝2x1，0＜t＜，令h（t）＝2（1﹣t）﹣+4lnt（0＜t＜），h′（t）＝2[1﹣+2lnt]，当0＜t＜时，1﹣+2lnt＜0，故h（t）在（0，）递减，故h（t）＞h（）＝﹣3﹣2ln2，综上，a∈（﹣∞，﹣3﹣2ln2]时，f（x1）≥ax2恒成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：x+y﹣1＝0，转换为极坐标方程为：ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0．（Ⅱ）由于：曲线C1与曲线C2的极坐标方程分别为cosθ，ρ＝3sinθ．所以：，得到：tan，所以：．所以：点A（），由于点B在直线OA上，所以：点B的极坐标为（），由于x+y＝1，所以：ρcosθ+ρsinθ＝1，得到：，所以：，所以|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝．[选修45：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|＝1，故f（x）的最小值是1；（Ⅱ）①x＞2时，f（x）＝x﹣1+ax﹣2a≤a，x≤，∵﹣2＝＞0，解得：2＜x≤；②1≤x≤2时，f（x）＝x﹣1﹣ax+2a≤a，x≥1，解得：1≤x≤2；③x＜1时，f（x）＝1﹣x﹣ax+2a≤a，x≥1，无解，综上：x∈[1，]．。

绝密★启用前株洲市2019届高三年级教学质量统一检测（一）数学试题（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂在答题卡上）1. 设全集{0,1,2,3,4}U =,集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，则()BU C A ?( )A ．fB ．{1,2,3,4}C ．{2,3,4}D ．{0,1,2,3,4} 2. 在区间[]2,2-上任意取一个数x ，使不等式20x x -<成立的概率为( )A ．61 B ．12 C ．13 D ．41 3.已知各项为正数的等比数列{}n a 满足1241,16a a a ==，则6a = ( ) A ．64 B ．32 C ．16 D ．4PD BA 4.欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，4iie e ππ表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.已知M N 、是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是 ( )6．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ） A. log 3log 3a b > B. 336ab+> C.b a ab ++>331 D. b a a b >7． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 83+B. 8+283 D. 108．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为)(x f y =，则函数()f x 的图像是 ( )正视图俯视图（第7题图）9．右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著 《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图， 若输入a b i 、、的值分别为6、8、0，则输出a 和i 的值分别为( )A ． 0,3B ． 0,4C ． 2,3D ． 2,410．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩的图象关于y 轴对称，则sin y x =的图象向左平移( )个单位，可以得到cos()y x a b =++的图象．A ．4πB ．3πC ．2πD ．π11．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的的四个顶点，其中4AB =，BC =CD =2AD =，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）A BCD（第8题图）（第9题图）A ．4 B ．2C D ．12．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，M 为CC 1的中点．若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为（ ）A ．B ．C ． ．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷上）13．已知点P （2,1）在双曲线C ：),(12222+∈=-R b a by a x 的渐近线上，则C 的离心率为 .14．62x⎛- ⎝的展开式中的常数项的值是 ．（用数字作答）15．设的外心P 满足1()3AP AB AC uu u r uu u r uuu r=+,则BAC ∠cos =错误！未找到引用源。

湖南省株洲市2019-2020学年高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ）A ．28B ．14C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()772a a S a +==，即可求出结果． 【详解】因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()7142a a S a +===， 故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题．2．已知集合{}{13,},|2x A x x x Z B x Z A =|-≤∈=∈∈，则集合B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2 【答案】D【解析】【分析】弄清集合B 的含义，它的元素x 来自于集合A ，且2x 也是集合A 的元素.【详解】因|1|3x -≤，所以24x -≤≤，故{}2,1,0,1,2,3,4A =--，又x ∈Z ，2x A ∈ ，则0,1,2x =， 故集合B ={}0,1,2.故选：D.【点睛】本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题. 3．已知函数()22018tan 1xx m f x x x m =+++()0,1m m >≠，若()13f =，则()1f -等于（ ） A ．-3 B ．-1 C ．3 D ．0【解析】分析：因为题设中给出了()1f 的值，要求()1f -的值，故应考虑()(),f x f x -两者之间满足的关系.详解：由题设有()2212018tan 2018tan 11x x x m f x x x x x m m ---=-+=-+++， 故有()()212f x f x x +-=+，所以()()113f f +-=， 从而()10f -=，故选D.点睛：本题考查函数的表示方法，解题时注意根据问题的条件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满足的关系.4．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( )A ．B ．C ．D ．±【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可．【详解】解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =，此时y =±(2,A ±．则直线AF 的斜率k ==±． 故选：D ．【点睛】 本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．5．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个【答案】B【解析】【分析】由题意，结合集合,A B ，求得集合M ，得到集合M 中元素的个数，即可求解，得到答案．由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=，所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ．【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M ，再由真子集个数的公式21n -作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π 【答案】D【解析】【分析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积．【详解】如图，正三棱锥A BCD -中，M 是底面BCD ∆的中心，则AM 是正棱锥的高，ABM ∠是侧棱与底面所成的角，即ABM ∠＝60°，由底面边长为3得23333BM =⨯=， ∴tan 60333AM BM =︒=⨯=．正三棱锥A BCD -外接球球心O 必在AM 上，设球半径为R ，则由222BO OM BM =+得222(3)(3)R R =-+，解得2R =，∴3344322333V R πππ==⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．7．已知全集为R ，集合122(1),{|20}A x y x B x x x -⎧⎫⎪⎪==-=-<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则()A B =R I ð（ ） A ．(0,2)B ．(1,2]C ．[0,1]D ．(0,1]【答案】D【解析】【分析】 对于集合A ,求得函数()121y x -=-的定义域,再求得补集；对于集合B ,解得一元二次不等式, 再由交集的定义求解即可.【详解】{}12(1)|1,{|1}R A x y x x y x x A x x -⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-===>∴=≤⎨⎬⎨⎪⎪⎩⎩⎭ð, 2{|20}{|(2)0}{|02}B x x x x x x x x =-<=-<=<<,()(0,1]A B ∴=R I ð.故选:D【点睛】本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.8．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ）A ．2B ．2iC ．4D ．4i 【答案】A【解析】【分析】对复数z 进行乘法运算，并计算得到42z i =+，从而得到虚部为2.【详解】因为(1)(3)42z i i i =+-=+，所以z 的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意21i =-.9．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u v u u u v的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】【分析】【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD V 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅u u u v u u u v分拆，设(01)DE tDC t =≤≤u u u v u u u v ，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

湖南省株洲市2019届高三教学质量统一检测（一）理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求，再根据并集定义求结果.【详解】因为，所以，选C.【点睛】本题考查集合的补集与并集，考查基本分析求解能力，属基本题.2.在区间上任意取一个数，使不等式成立的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果.【详解】由得，所以所求概率为，选D.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．3.已知各项为正数的等比数列满足，，则（）A. 64B. 32C. 16D. 4【解析】【分析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求【详解】由得选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.4.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据欧拉公式计算，再根据复数几何意义确定象限.【详解】因为，所以对应点，在第二象限，选B. 【点睛】本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.5.已知、是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】先作可行域，再根据图象确定的最大值取法，并求结果.【详解】作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以的最大值为BD=,选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6.若均不为1的实数、满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】举反例说明A,C,D不成立，根据基本不等式证明B成立.【详解】当时; 当时; 当时;因为，，所以，综上选B.【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 10【答案】A【解析】【分析】根据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为2的正方体与三棱锥的组合体，根据体积公式分别计算即可.【详解】几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为,故选A.【点睛】本题主要考查了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题.8.如图，边长为1正方形，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记，所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积为，则函数的图像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件列，再根据函数图象作判断.【详解】当时，;当时，;根据正切函数图象可知选D.【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.9.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入、、的值分别为6、8、0，则输出和的值分别为（）A. 0，3B. 0，4C. 2，3D. 2，4【答案】C【解析】【分析】执行循环，直至终止循环输出结果.【详解】执行循环，得，结束循环，输出，此时,选C. 【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10.已知函数的图像关于轴对称，则的图像向左平移（）个单位，可以得到的图像（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件确定关系，再化简，最后根据诱导公式确定选项.【详解】因为函数的图像关于轴对称，所以，，即，因此，从而,选D.【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.11.已知一条抛物线恰好经过等腰梯形的四个顶点，其中，，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不妨设抛物线标准方程，将条件转化为坐标，代入解出，即得结果.【详解】不妨设抛物线标准方程，可设，则，即抛物线的焦点到其准线的距离是，选B.【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.12.已知正方体的棱长为2，为的中点.若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直确定平面，再根据截面形状求周长.【详解】显然在正方体中平面,所以,取AC中点E, 取AE中点O,则,取A1C1中点E1, 取A1E1中点O1,过O1作PQ//B1D1,分别交A1B1,A1D1于P,Q从而平面,四边形为等腰梯形，周长为，选A.【点睛】本题考查线面垂直判断以及截面性质，考查综合分析与求解能力，属难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知双曲线C：，点P (2，1) 在C的渐近线上，则C的率心率为．【答案】【解析】试题分析：根据双曲线的方程，可知焦点在x轴上，结合P (2，1)在渐近线上，所以即所以，从而有其离心率．考点：双曲线的离心率．14.的展开式中的常数项的值是__________．（用数学作答）【答案】60【解析】【分析】根据二项式定理确定常数项的取法，计算得结果.【详解】因为，所以令得，即常数项为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.15.设的外心满足，则__________．【答案】【解析】【分析】根据向量表示确定外心为重心，即得三角形为正三角形，即得结果.【详解】设BC中点为M,所以,因此P为重心，而为的外心，所以为正三角形，.【点睛】本题考查向量表示以及重心性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.16.数列的首项为1，其余各项为1或2，且在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则__________．（用数字作答）【答案】3993【解析】【分析】先根据条件确定前2019项有多少个1和2，再求和得结果.【详解】第个1为数列第项，当时；当时；所以前2019项有45个1和个2，因此【点睛】本题考查数列通项与求和，考查综合分析与求解能力，属难题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角、、的对边分别是、、，已知，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ） 若角为锐角，求的值及的面积.【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）b=5,.【解析】 【分析】（Ⅰ）先根据二倍角余弦公式求 ，再根据正弦定理求的值；（Ⅱ）根据余弦定理求的值，再根据三角形面积公式求面积.【详解】（Ⅰ）由得因为，∴由，，由正弦定理得（Ⅱ）角为锐角，则由余弦定理得即，或（舍去）所以的面积【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.18.如图（1），等腰梯形，，，，、分别是的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线、折起，使得点和点重合，记为点，如图（2）.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据平几知识得，，再根据线面垂直判定定理得面，最后根据面面垂直判定定理得结论;（Ⅱ）根据条件建立空间直角坐标系，设点坐标，利用方程组以及向量数量积求各平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（Ⅰ），是的两个三等分点，易知，是正方形，故又，且所以面又面所以面（Ⅱ）过作于，过作的平行线交于，则面又所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系则，，，所以，，，设平面的法向量为则∴设平面的法向量为则∴所以平面与平面所成锐二面角的余弦值【点睛】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．19.已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，【解析】【分析】（Ⅰ）由三角形周长可得，求出，再根据即可写出椭圆标准方程（Ⅱ）假设存在常数满足条件，分两类讨论（1）当过点的直线的斜率不存在时，写出A,B坐标，代入可得（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，联立方程组，利用根与系数的关系代入中化简即可求出.【详解】（Ⅰ）由题意，，，∵的周长为6，∴∴，∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）假设存在常数满足条件.（1）当过点的直线的斜率不存在时，，，∴，∴当时，；（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，联立，化简得，∴，.∴∴，解得：即时，；综上所述，当时，.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，分类讨论的思想，属于难题.20.某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有人，若逐个检验就需要检验次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验，这时个人的检验次数为次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为.（Ⅰ）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；（Ⅱ）设为个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.①当，时，求的分布列；②是运用统计概率的相关知识，求当和满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①见解析，②当时，用分组的办法能减少检验次数. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据独立重复试验概率公式得结果;（Ⅱ）①先确定随机变量，再分别计算对应概率，列表可得分布列，②先求数学期望，再根据条件列不等式，解得结果.【详解】（Ⅰ）对3人进行检验，且检验结果是独立的，设事件：3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率（Ⅱ）①当，时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为，每人所检验的次数为次，若混合检验结果为阳性，则其概率为，则每人所检验的次数为次，故的分布列为②分组时，每人检验次数的期望如下∴不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需即所以当时，用分组的办法能减少检验次数.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.21.已知函数，其中为大于零的常数（Ⅰ）讨论的单调区间；（Ⅱ）若存在两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）先求导数，再根据导函数零点情况分类讨论导函数符号，最后根据导函数符号确定函数单调区间; （Ⅱ）先根据参变分离法转化为求对应函数最值问题，再根据极值点条件化函数为一元函数，最后利用导数求对应函数单调性以及最值，即得结果.【详解】（Ⅰ），（1）当时，，在在上单调递增（2）当时，设方程的两根为，则，∴，，∴在，上单调递增，上单调递减（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，由∴因为所以设，令当时，故在上单调递减，所以综上所述，时，恒成立.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.请考生在22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线与曲线的极坐标方程分别为，. （Ⅰ）求直线的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线与曲线的一个交点为点（不为极点），直线与的交点为，求.【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】（Ⅰ）消参得直线的普通方程，再利用公式转化为极坐标方程即可（Ⅱ）利用极坐标的极径的几何意义分别求，根据求解.【详解】（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数）消参得：，由代入直角坐标方程可得（Ⅱ）法1：由得，所以点的极坐标，又点在直线上，所以设的极坐标为由得，所以，所以.法2：曲线与曲线的直角坐标为，由得点的坐标所以直线的方程为由得点的坐标为所以，或者：【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，极坐标方程，利用极坐标中极径求弦长，属于中档题.23.已知函数（为实数）（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）若，解不等式.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的性质即可求出的最小值（Ⅱ）分区间讨论去掉绝对值号，解含参不等式即可.【详解】（Ⅰ）时，所以的最小值为1（Ⅱ）①时，，，因为所以此时解得：②时，，，此时：③时，，，此时无解；综上：不等式的解集为【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的最小值，含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想方法，属于中档题.。

2019年湖南省株洲市南桥中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C． D．参考答案：D2. 棱长为的正方体的外接球的体积为（）A．B．C．D．参考答案：C略3. 以下说法错误的是A.命题“若”,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则”B.“x=1”是“”的充分不必要条件C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题D.若命题p:?∈R,++1<0,则﹁p:?x∈R,≥0参考答案：C略4. 已知函数，则关于x的不等式的解集为（）A . B. C.(0,+∞) D.(－∞,0)参考答案：A设，则故是奇函数由解析式易知在上单调递增由可得：，，即，解得原不等式的解集为5. 某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x的函数关系为y＝－(x－6)2＋11(x∈N*)，则每两客车营运多少年，其运营的年平均利润最大()A．3 B．4C．5 D．6参考答案：C略6. 把函数的图象向左平（）个单位，得到一个偶函数，则的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：D7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．4πD．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为四棱锥侧面为左视图，PE⊥平面ABC，E、F分别是对应边的中点，底面ABCD是边长是2的正方形，设外接球的球心到平面ABCD的距离为h，则h2+2=1+（2﹣h）2，求出h，并求出球的半径，利用球的表面积公式求解．【解答】解：由三视图知该几何体为四棱锥侧面为左视图，PE⊥平面ABC，E、F分别是对应边的中点，底面ABCD是边长是2的正方形，设外接球的球心到平面ABCD的距离为h，则h2+2=1+（2﹣h）2，∴h=，R2=，∴几何体的外接球的表面积S=4πR2=π，故选B．【点评】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，由三视图正确复原几何体以及正确确定外接球球心的位置是解题的关键，考查空间想象能力．8. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则它的一个对称中心是A． B． C． D．参考答案：C9. 与椭圆有公共焦点，且离心率互为倒数的双曲线的方程是（A）（B）（C）（D）参考答案：A10. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域互不相同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”。

湖南省株洲市2019年高考数学一模试卷（理科）（解析版）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．∅2．已知复数（其中i是虚数单位，满足i2=﹣1），则z的共轭复数是（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i3．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜04．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣5．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4]D．（4，+∞）6．有关以下命题：①用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；②已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5，16，27，38，49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60；其中正确的命题的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个7．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）A．2+2+B．16+2 C．8+2D．8+8．若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为2，则实数a的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣29．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．10．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.14159…，若令＜π＜，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置．13．二项式的展开式中的常数项为．14．（5分）（2004上海）圆心在直线2x﹣y﹣7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），则圆C的方程为．15．（5分）（2019嘉定区一模）已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为．16．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，S6=60，且满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，且b1=3，求数列的前n项和T n．18．（12分）（2019株洲一模）2019年7月31日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季奥运会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办．某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛．随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图，若规定成绩在75分以上（包括75分）的学生定义为甲组，成绩在75分以下（不包括75分）定义为乙组．（1）在这30名学生中，甲组学生中有男生7人，乙组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；（2）①如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在甲组的概率是多少？②用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取3人，用ξ表示所选3人中甲组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．附：；其中n=a+b+c+d独立性检验临界表：19．（12分）（2019株洲一模）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．20．（12分）（2019株洲一模）在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．21．（12分）（2019株洲一模）已知函数f（x）=2e x+2ax﹣a2，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若x≥0时，f（x）≥x2﹣3恒成立，求实数a的取值范围．四.选做题请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2019江西校级二模）在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2asinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．（2019唐山一模）已知函数f（x）=|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．2019年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．∅【分析】求解函数的值域化简A，求解对数不等式化简B，然后取交集得答案．【解答】解：∵A={y|y=2x+1}=R，B={x|lnx＜0}=（0，1），∴A∩B=（0，1）．故选：A．【点评】本题考查交集及其运算，考查了函数值域的求法，训练了对数不等式的解法，是基础题．2．已知复数（其中i是虚数单位，满足i2=﹣1），则z的共轭复数是（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i【分析】由i2=﹣1化简分母，然后再由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：=，则．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【分析】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项【解答】解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．【点评】本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律．4．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可．【解答】解：3cos2α=sin（﹣α），可得3cos2α=（cosα﹣sinα），3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∵α∈（，π），∴sinα﹣cosα≠0，上式化为：sinα+cosα=，两边平方可得1+sin2α=．∴sin2α=．故选：D．【点评】本题主要考查二倍角的余弦函数，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．5．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4]D．（4，+∞）【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件；故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，解得：a∈（4，10]，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．有关以下命题：①用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；②已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5，16，27，38，49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60；其中正确的命题的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】①根据相关指数的性质进行判断，②根据正态分布的性质进行判断，③根据系统抽样的定义进行判断．【解答】解：①相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此①不正确．②已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ＞4）=1﹣0.79=0.21，则P（ξ≤﹣2）=0.21不成立，故②错误；③学号为5，16，27，38，49的同学，样本间隔为16﹣5=11，则人数为11×5=55，应该是55人，故③错误，故正确的命题的个数为0个，故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．7．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）A．2+2+B．16+2 C．8+2D．8+【分析】由题意作图，从而求各个三角形的面积即可．【解答】解：由题意作图如右，△ABC与△ADC是全等的直角三角形，其中AB==3，BC=2，故S△ADC=S△ABC=×2×3=3，△BDC是等腰直角三角形，BC=CD=2，故S△BCD=×2×2=2，△ADB是等腰三角形，AB=AD=3，BD=2，故点A到BD的距离d==，故S△BAD=×2×=，故表面积S=3+3+2+=8+，故选：D．【点评】本题考查了学生的空间想象力与数形结合的思想应用．8．（5分）（2019洛阳二模）若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为2，则实数a的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【分析】先作出不等式组的图象，利用目标函数z=x+y的最大值为2，求出交点坐标，代入3x﹣y﹣a=0即可．【解答】解：先作出不等式组的图象如图，∵目标函数z=x+y的最大值为2，∴z=x+y=2，作出直线x+y=2，由图象知x+y=2如平面区域相交A，由得，即A（1，1），同时A（1，1）也在直线3x﹣y﹣a=0上，∴3﹣1﹣a=0，则a=2，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的意义是解决本题的关键．9．（5分）（2019天津二模）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a n}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴a n=2n﹣1，∴S n==n2，∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．10．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】根据题意直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程，求出A的坐标，进而求得B的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中a和c的关系．11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为和（a ，b ，c ，d ∈N *），则是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.14159…，若令＜π＜，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】利用“调日法”进行计算，即可得出结论．【解答】解：第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，故选：A ．【点评】本题考查“调日法”，考查学生的计算能力，比较基础．12．已知函数f （x ）=﹣，g （x ）=xcosx ﹣sinx ，当x ∈[﹣3π，3π]时，方程f （x ）=g （x ）根的个数是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2【分析】先对两个函数分析可知，函数f （x ）与g （x ）都是奇函数，且f （x ）是反比例函数，g （x ）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g （0）=0，g （π）=﹣π；g （2π）=2π；g （3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．【解答】解：由题意知，函数f （x ）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g （x ）=xcosx ﹣sinx 在[﹣3π，3π]是奇函数； g ′（x ）=cosx ﹣xsinx ﹣cosx=﹣xsinx ；故g （x ）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置．13．二项式的展开式中的常数项为24．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=x4﹣r2r x﹣r=x4﹣2r．令x的幂指数4﹣2r=0，解得r=2，故展开式中的常数项为=4×6=24，故答案为24．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．（5分）（2004上海）圆心在直线2x﹣y﹣7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），则圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5．【分析】由垂径定理确定圆心所在的直线，再由条件求出圆心的坐标，根据圆的定义求出半径即可．【解答】解：∵圆C与y轴交于A（0，﹣4），B（0，﹣2），∴由垂径定理得圆心在y=﹣3这条直线上．又∵已知圆心在直线2x﹣y﹣7=0上，∴联立，解得x=2，∴圆心C为（2，﹣3），∴半径r=|AC|==．∴所求圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5．故答案为（x﹣2）2+（y+3）2=5．【点评】本题考查了如何求圆的方程，主要用了几何法来求，关键确定圆心的位置；还可用待定系数法．15．（5分）（2019嘉定区一模）已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为3．【分析】先建立坐标系，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设P（0，b）（0≤b≤1），根据向量的坐标运算和模的计算得到，=≥3，问题得以解决．【解答】解：如图，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（1，1），D（2，0）设P（0，b）（0≤b≤1）则=（1，1﹣b），=（2，﹣b），∴+=（3，1﹣2b），∴=≥3，当且仅当b=时取等号，∴的最小值为3，故答案为：3．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．16．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（0，]．【分析】曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P （t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．【解答】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0即t4﹣t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）=alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt（**）令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于0＜a≤，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．故答案为：（0，]．【点评】本题考查分段函数的运用，注意向量垂直条件的运用和中点坐标公式，考查构造法和函数的单调性运用，属于中档题．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2019株洲一模）已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，S6=60，且满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，且b1=3，求数列的前n项和T n．【分析】（1）通过设等差数列{a n}的公差为d，利用S6=60、计算可知首项、公差，进而可得结论；（2）通过b n+1﹣b n=a n可知b n﹣b n﹣1=a n﹣1（n≥2，n∈N*），利用b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1计算可知当n≥2时b n=n（n+2），验证b1=3也适合，裂项可知=（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得，∴a n =2n +3；（2）由b n+1﹣b n =a n ，∴b n ﹣b n ﹣1=a n ﹣1（n ≥2，n ∈N *）， 当n ≥2时，b n =（b n ﹣b n ﹣1）+（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+（b 2﹣b 1）+b 1 =a n ﹣1+a n ﹣2+…+a 1+b 1 =（n ﹣1）（n ﹣2+5）+3 =n （n +2）， 又∵b 1=3也适合，∴b n =n （n +2），=（﹣），∴．【点评】本题考查数列的通项及前n 项和，考查裂项相消法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12分）（2019株洲一模）2019年7月31日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季奥运会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办．某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛．随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图，若规定成绩在75分以上（包括75分）的学生定义为甲组，成绩在75分以下（不包括75分）定义为乙组．（1）在这30名学生中，甲组学生中有男生7人，乙组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；（2）①如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在甲组的概率是多少？②用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取3人，用ξ表示所选3人中甲组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．附：；其中n=a +b +c +d独立性检验临界表：【分析】（1）作出2×2列联表，由列联表数据代入公式求出K2≈1.83＜2.706，从而得到没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关．（2）①用A表示“至少有1 人在甲组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在甲组的概率．②由题意知，ξ～，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）作出2×2列联表：由列联表数据代入公式得，因为1.83＜2.706，故没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关．（6分）（2）①用A表示“至少有1人在甲组”，则．（8分）②由题知，抽取的30名学生中有12名学生是甲组学生，抽取1名学生是甲组学生的概率为，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，又因为所取总体数量较多，抽取3名学生可以看出3次独立重复实验，于是ξ服从二项分布．显然ξ的取值为0，1，2，3．且．所以得分布列为：数学期望（12分）【点评】本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，考查二项分布的性质的合理运用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．19．（12分）（2019株洲一模）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．【分析】（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP∥DE，且FP=，而AB∥DE，且AB=则ABPF为平行四边形，则AF∥BP，AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；（2）根据AB⊥平面ACD，DE∥AB，则DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，根据线面垂直的性质可知DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，满足线面垂直的判定定理，证得AF ⊥平面CDE，又BP∥AF，则BP⊥平面CDE，BP⊂平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据可求出所求．【解答】（1）证：取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．…（2分）又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．…（4分）（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．…（6分）又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．…（8分）（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，则C（0，﹣1，0），．…（9分）设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则令z=1，则n=（0，﹣1，1）．…（10分）显然，m=（0，0，1）为平面ACD的法向量．设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，则．α=45°，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．…（12分）【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及面面垂直的判定和利用空间向量定理二面角的平面角，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于中档题．20．（12分）（2019株洲一模）在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．【分析】（1）设P（x，y），由点到直线的距离公式和两点的距离公式，可得，，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），运用两点的距离公式和斜率公式，结合点A、B在椭圆C上，可得x12+x22=4，讨论①当x1=x2时，则四边形ABA1B1为矩形；②当x1≠x2时，通过三角形的面积公式和椭圆的对称性，即可得到所求面积为定值．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得，，化简得3x2+4y2=12，所以，动点P的轨迹C的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，，因为点A、B在椭圆C上，所以，，所以，=，化简得．①当x1=x2时，则四边形ABA1B1为矩形，y2=﹣y1，则，由，得，解得，，S=|AB||A1B|=4|x1||y1|=；②当x1≠x2时，直线AB的方向向量为，直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2=0，原点O到直线AB的距离为，所以△AOB的面积，根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|，所以，=，所以．所以，四边形ABA1B1的面积为定值．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查直线的斜率公式和两点的距离公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）（2019株洲一模）已知函数f（x）=2e x+2ax﹣a2，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若x≥0时，f（x）≥x2﹣3恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，问题得以解决，（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间，（3）先构造函数g（x）=f（x）﹣x2+3，求导后再构造函数h（x）=2（e x﹣1），根据导数和函最值关系，分类讨论，当a≥﹣1时，求出a的范围，当a＜1时，∃x0＞0，使h（x0）=0，x∈（0，x0）时，g（x）单调递减，x∈（x0，+∞）时，g（x）单调递增，求出函数的最值，再构造函数M（x）=x﹣e x，0＜x≤ln3，求导，即可求出a的范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2e x+2x﹣1，∴f′（x）=2e x+2，f（0）=2e0﹣1=1∴k=f′（0）=2e0+2=4，∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=4x，即4x﹣y+1=0，（2）∵f′（x）=2e x+2a，当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增，当a＜0时，当f′（x）＞0，即x＞ln（﹣a）时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x＜ln（﹣a）时，函数单调递减，综上所述：当a≥0时，f（x）在R上单调递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，﹣ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）单调递增，（3）令g（x）=f（x）﹣x2+3=2e x﹣（x﹣a）2+3，x≥0，∴g′（x）=2（e x﹣x+a），再令h（x）=2（e x﹣1）≥0，∴h（x）在[0，+∞）单调递增，且h（0）=2（a+1），当a≥﹣1时，g′（x）≥0，即函数g（x）在[0，+∞）单调递增，从而须满足g（0）=5﹣a2≥0，解得﹣≤a≤，又a≥﹣1，∴﹣1≤a≤，当a＜﹣1时，则∃x0＞0，使h（x0）=0，且x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，即g（x）单调递减，x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，即g（x）单调递增，g（x）min=g（x0）=﹣（x0﹣a）2+3≥0，又h（x0）=2（﹣x0﹣a）=0，从而=x0﹣a，即a=x0﹣，令M（x）=x﹣e x，0＜x≤ln3，∴M′（x）=1﹣e x＜0，∴M（x）在（0，ln3]上单调递减，则M（x）≥M（ln3）=ln3﹣3，又M（x）＜M（0）=1，∴ln3﹣3≤a＜﹣1，综上所述ln3﹣3≤a≤【点评】本题考查了函数的单调性与导数的几何意义，考查导数的应用，考查函数恒成立问题，属于难题四.选做题请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2019江西校级二模）在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2asinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l 的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ=2asinθ（a＞0）．∴ρ2=2aρsinθ，即x2+y2=2ay，即x2+（y﹣a）2=a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2=a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5=0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5=0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R=a，则圆心到直线的距离d=，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．【点评】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的关系，以及直线和圆相交的弦长公式的应用，考查学生的转化能力．[选修4-5：不等式选讲]23．（2019唐山一模）已知函数f（x）=|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．【分析】（Ⅰ）将a=2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，f（x）=，由f（x）的单调性及f（﹣）=f（2）=5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（5分）（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x ﹣1|+|x +3|≥2|x +1|得≤，得a ≥．（当且仅当x ≥1或x ≤﹣3时等号成立）故a 的最小值为．…（10分） 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分段函数，是一道中档题．。

株洲市2019届高三年级教学质量统一检测（一）文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合N,根据集合的交集运算即可.【详解】因为,所以,【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于中档题.2.已知复数满足，为虚数单位，则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，根据复数的除法运算即可.【详解】由，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的模，属于中档题.3.下列说法中，错误．．的是A. 若命题：，，则命题：，B. “”是“”的必要不充分条件C. “若，则，中至少有一个不小于2”的逆否命题是真命题D. 函数的图像关于对称【答案】D【解析】【分析】根据命题的否定，必要不充分条件，逆否命题，正弦型函数的对称性,结合选项逐一分析即可.【详解】对于A，若命题：，，则命题：，正确；对于B，推不出，而能推出，所以是的必要不充分条件正确；对于C, “若，则，中至少有一个不小于2”的逆否命题是真命题正确,因为命题与其逆否命题同真假，而若，则，中至少有一个不小于2正确，故其逆否命题正确；对于D，函数的图像关于对称，因为当时，，所以不正确.故选D.【点睛】本题主要考查了命题的否定，必要不充分条件，逆否命题，正弦型函数的对称性，属于中档题.4.如下的茎叶图表示甲乙两人在5次测评中的成绩，已知甲的中位数是90，则从乙的5次测评成绩中随机抽取一次成绩，其分数高于甲的平均成绩的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据甲的中位数知，计算甲的平均数，找到乙中大于甲平均数的个数，根据古典概型求解.【详解】因为甲的中位数是90，所以，由茎叶图知甲的平均数为90，乙中共有分数5个，大于90的分数共有2个，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了茎叶图，中位数，古典概型，属于中档题.5.已知正项等比数列的前项和为，与的等差中项为5，且，则A. 21B. 28C. 31D. 32【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为q，根据题意可以列出方程组解出，q,根据等比数列前n项和求即可.【详解】设等比数列的公比为q,根据题意可得，解得：，又由正项等比数列知，，所以，，故选C.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题.6.已知直线的倾斜角为，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据直线方程可知直线斜率，即，根据同角三角函数的基本关系及正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由直线方程可知，所以，，故选A.【点睛】本题主要考查了直线的斜率，倾斜角，同角三角函数的基本关系，二倍角，属于中档题.7.在中，点为斜边的中点，，，则A. 48B. 40C. 32D. 16【答案】C【解析】【分析】根据中点为D可知，,利用向量的数量积公式运算即可.【详解】因为点为斜边的中点，所以，所以,又中所以,故选C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，属于中档题.8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 10【答案】A【解析】【分析】根据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为2的正方体与三棱锥的组合体，根据体积公式分别计算即可.【详解】几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为,故选A.【点睛】本题主要考查了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题.9.将函数的图像向右平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像，则下列关于函数的说法正确的是A. 最小正周期为B. 图像关于直线对称C. 图像关于点对称D. 在上是增函数【答案】B【解析】【分析】根据图像变换得出，结合其图象和性质即可选出正确答案.【详解】的图像向右平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得，其周期为,选项A错误；由可得对称轴方程为,当时，对称轴为，选项B正确，对称中心为,选项C错误；增区间为, 故选项D错误.故选B.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，三角函数的图像变换，属于中档题.10.过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是A. 1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】取对角线顶点所不在的两个侧棱的中点M,N,与对角线两个顶点相连，所得四边形即为所有过对角线的截面中面积最小的，由此可求出截面面积.【详解】如图：在正方体中，取的中点,连接,过的平面截得正方体的截面中，当截面为菱形时，截面面积最小，,故选D.【点睛】本题主要考查了正方体的截面面积的求法，考查了空间想象能力，属于中档题.11.双曲线的渐近线与抛物线相切，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题双曲线的一条渐近线方程为y=，代入抛物线方程整理得ax2-bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2-4a2=0，即c2=5a2⇔e=故选择C．12.已知函数，若只有一个极值点，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，令，解得或，令，利用导数研究其单调性、极值，得出结论.【详解】，令，解得或，令，可得，当时，函数取得极小值，，所以当时，令，解得，此时函数只有一个极值点，当时，此时函数只有一个极值点1，满足题意，当时不满足条件，舍去.综上可得实数的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，属于难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，，若，则__________．【答案】【解析】【分析】根据可求出，求出的坐标，计算向量的模即可.【详解】因为，所以，解得，则所以.【点睛】本题主要考查了向量的平行，向量的坐标运算，向量的模，属于中档题.14.若满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】6【解析】【分析】作出不等式组对应的可行域，利用目标函数的截距的几何意义即可求解.【详解】作出可行域如图：由得，平移直线，当直线经过点时，有最大值，.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，属于中档题.15.在锐角中，角的对边分别为，已知,，，则的面积为__________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可得，又，可求出，再求出，利用余弦定理可解的，利用面积公式计算求解即可.【详解】由正弦定理及，得，又，所以,锐角中,所以，解得，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，属于中档题.16.已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线定义可得,所以，故当PA 和抛物线相切时，最小，再利用斜率公式及导数的几何意义确定切点P的坐标，即可求解.【详解】抛物线的焦点F(0,1),准线方程为，过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线定义可得,所以,为锐角，故当最小时，最小，故当PA和抛物线相切时，最小，设切点P，由的导数为则PA的斜率为，求得，可得P(4,4),所以，，,即的最小值是.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线的斜率，导数的几何意义，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列的前项和为，已知，.（1）求通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据与的关系即可求出数列的通项公式（2）,利用裂项相消法即可求出数列的和.【详解】（1），相减得：，又，∴∴（2）【点睛】本题主要考查了数列中与的关系，通项公式，裂项相消法，属于中档题.18.如图，平面平面，其中为矩形，为直角梯形，,，.（1）求证：平面平面；（2）若三棱锥体积为，求与面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）作于，平面平面，且AD为交线，只需证明即可（2）连接，易知为线与面所成的角,利用等体积法求，，解三角形即可求解.【详解】（1）证明：作于，∵，.∴∴，∵，∴∴.∴，即：∵面面，为两个面的交线∴面.（Ⅱ）因为平面平面，，所以平面，所以，∴连接，易知为线与面所成的角，在直角中，，∴所以与面所成角的正弦值为．【点睛】本题主要考查了线线垂直，线面垂直，面面垂直，线面角，属于中档题.19.经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在，的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有黄桃均以20元/千克收购；B.低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.（参考数据：）【答案】（1）（2）B【解析】【分析】（1）由题得黄桃质量在和的比例为，记抽取质量在的黄桃为，，，质量在的黄桃为，，列出取出2个的所有可能，找出其中质量至少有一个不小于400克的事件个数，根据古典概型即可求解（2）分别计算两种方案的收益，比较收益大小即可确定需选择的方案. 【详解】（1）由题得黄桃质量在和的比例为，∴应分别在质量为和的黄桃中各抽取3个和2个.记抽取质量在的黄桃为，，，质量在的黄桃为，，则从这5个黄桃中随机抽取2个的情况共有以下10种：，，，，，，，，，其中质量至少有一个不小于400克的7种情况，故所求概率为.（2）方案好，理由如下：由频率分布直方图可知，黄桃质量在的频率为同理，黄桃质量在，，，，的频率依次为0.16，0.24，0.3，0.2，0.05若按方案收购：∵黄桃质量低于350克的个数为个黄桃质量不低于350克的个数为55000个∴收益为元若按方案收购：根据题意各段黄桃个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是总收益为（元）∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，古典概型，分层抽样，属于中档题.20.已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，【解析】【分析】（Ⅰ）由三角形周长可得，求出，再根据即可写出椭圆标准方程（Ⅱ）假设存在常数满足条件，分两类讨论（1）当过点的直线的斜率不存在时，写出A,B坐标，代入可得（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，联立方程组，利用根与系数的关系代入中化简即可求出.【详解】（Ⅰ）由题意，，，∵的周长为6，∴∴，∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）假设存在常数满足条件.（1）当过点的直线的斜率不存在时，，，∴，∴当时，；（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，联立，化简得，∴，.∴∴，解得：即时，；综上所述，当时，.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，分类讨论的思想，属于难题.21.已知函数（其中）.（1）讨论的单调性；（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分，，三种情况讨论即可（2）根据题意利用导数求出，，所以)，构造，利用导数知在上单调递减，求其最小值即可.【详解】（1）的定义域为，（i）若，则.由得或；由得∴在，上单调递增，在上单调递减；（ii）若，则，∴在上单调递增；（iii）若，则，由得或；由得∴在，上单调递增，在上单调递减.（2）∵，，由得，∴，，∴∵∴解得∴设，则∴在上单调递减；当时，∴【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，极值，不等式恒成立，涉及分类讨论，构造函数的方法，属于难题题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线与曲线的极坐标方程分别为，.（Ⅰ）求直线的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线与曲线的一个交点为点（不为极点），直线与的交点为，求.【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】（Ⅰ）消参得直线的普通方程，再利用公式转化为极坐标方程即可（Ⅱ）利用极坐标的极径的几何意义分别求，根据求解.【详解】（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数）消参得：，由代入直角坐标方程可得（Ⅱ）法1：由得，所以点的极坐标，又点在直线上，所以设的极坐标为由得，所以，所以.法2：曲线与曲线的直角坐标为，由得点的坐标所以直线的方程为由得点的坐标为所以，或者：【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，极坐标方程，利用极坐标中极径求弦长，属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数（为实数）（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）若，解不等式.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的性质即可求出的最小值（Ⅱ）分区间讨论去掉绝对值号，解含参不等式即可.【详解】（Ⅰ）时，所以的最小值为1（Ⅱ）①时，，，因为所以此时解得：②时，，，此时：③时，，，此时无解；综上：不等式的解集为【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的最小值，含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想方法，属于中档题.。

湖南省株洲市云麓高级中学2019年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若的二项展开式中的系数为，则( )A.1B.2C. 3D. 4参考答案：B2. 若a＝50.2，b＝0.50.2，c＝0.52，则()A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a参考答案：A3. 设，其中x,y是实数，则在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：D由，其中是实数，得：，所以在复平面内所对应的点位于第四象限.本题选择D选项.4. 设全集，，，则（）A．B．C．D．参考答案：B5. 若M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|y=log2（x﹣1）}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{﹣2，0} D．{x|1＜x≤2}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中y=log2（x﹣1），得到x﹣1＞0，解得：x＞1，即N={x|x＞1}，∵M={x|﹣2≤x≤2}，∴M∩N={x|1＜x≤2}，故选：D．6. 命题“对任意，都有” 的否定为A、存在，使得;B、不存在，使得;C、存在，使得;D、对任意，都有；参考答案：A略7. 若集合A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A略8. 已知奇函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．[，） C．（，）D．[，）参考答案：A考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数的性质可知，f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，从而可求得f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围．解答：解：令x1＜x2＜0，则﹣x1＞﹣x2＞0，∵奇函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，∴f（﹣x1）＞f（﹣x2）＞f（0）=0，∵f（x）为奇函数，∴﹣f（x1）＞﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＜f（x2）＜0，∴f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数；∵f（2x﹣1）＜f（），∴2x﹣1＜，∴x＜．∴满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（﹣∞，）．故选A．点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，分析得到f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数是关键，属于中档题9. 果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：A10. 有下列关系：①学生上学的年限与知识掌握量的关系；②函数图象上的点与该点的坐标之间的关系；③葡萄的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中有相关关系的是（）A．①②③B．①②C．②③D．①③④参考答案：D【考点】BG：变量间的相关关系．【分析】相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，①③④是一种函数关系，②中的两个变量具有相关性，即可得答案．【解答】解：根据题意，相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，依次分析所给的4个关系：①③④是相关关系，②是确定的函数关系，故选：D．【点评】本题考查变量间相关关系的判断，注意区分相关关系与函数关系的概念．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在用二分法求方程f(x)＝0在0,1上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．参考答案：0.75或0.687512. 若展开式中含项的系数等于含项系数的8倍，则正整数.参考答案：略13. 给出下列命题：①若是奇函数，则的图像关于轴对称；②若函数对任意满足，则8是函数的一个周期；③若，则；④若在上是增函数，则,其中正确命题的序号是 .参考答案：①②④14. 若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于y轴对称，则的最小正值是.参考答案：15. 三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，，则球O的表面积为参考答案：略16. .参考答案：117. 已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=8x，则f （﹣）= ．参考答案：﹣2【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性．【分析】利用函数的周期性和奇偶性可得f（﹣）=f（﹣）=﹣f（），计算可得结果．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=8x，则f（﹣）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣2，故答案为：﹣2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。