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1.2.1几个常见函数的导数

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常见函数导数表

常见函数导数表

以下是一些常见函数的导数：
1. 常数函数：f(x)=c的导数为0。

2. 幂函数：f(x)=x^n的导数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 指数函数：f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x*lna。

4. 对数函数：f(x)=lnx的导数为f'(x)=1/x。

5. 三角函数：
* 正弦函数：f(x)=sinx的导数为f'(x)=cosx。

* 余弦函数：f(x)=cosx的导数为f'(x)=-sinx。

* 正切函数：f(x)=tanx的导数为f'(x)=sec^2x。

6. 反三角函数：
* 反正弦函数：f(x)=arcsinx的导数为f'(x)=1/√(1-x^2)。

* 反余弦函数：f(x)=arccosx的导数为f'(x)=-1/√(1-x^2)。

* 反正切函数：f(x)=arctanx的导数为f'(x)=1/(1+x^2)。

7. 双曲函数：
* 自然双曲正弦函数：f(x)=shx的导数为f'(x)=chx。

* 自然双曲余弦函数：f(x)=chx的导数为f'(x)=shx。

8. 幂函数：对于形如f(x)=ax^n的幂函数，其导数为
f'(x)=nax^(n-1)。

9. 分式函数：对于形如f(x)=u/v的函数，其中u和v都是可导的，其导数为f'(x)=(u'v-uv')/v^2。

这只是一部分常见函数的导数，实际上还有很多其他类型的函数，这些函数的导数都需要根据具体情况进行计算。

1.2.1几个常用函数的导数及基本初等函数导数公式(教学设计)

1.2.1几个常用函数的导数及基本初等函数导数公式(教学设计)

1.2导数的计算（教学设计）（1）1．2．1几个常用函数的导数；1.2.2基本初等函数的导数公式教学目标：知识与技能目标：（1）能够用定义求五个常用函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤。

（2）使学生应用由定义求导数的三个步骤推导五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =的导数公式；并能运用这四个公式正确求函数的导数． 过程与方法目标：通过本节的学习，掌握利用导数的定义求导数的方法。

情感、态度与价值观目标：（1）通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识。

（2）通过本节的学习，培养学生对问题的分析能力与认识能力，进一步明白数学在研究整个自然科学中的重要位置。

教学重点： 五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =、y =的导数公式及应用教学难点： 五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =的导数公式教学过程： 一、复习回顾：1．求f(x)在x 0年的导数的步骤为： 1）求增量：∆y=f(x+∆x)-f(x)2)算比值：()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆ 3）求极限：y ’=0lim x yx∆→∆∆2．导数的几何意义。

二．创设情景，新课引入我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 三．师生互动，新课讲解： 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y 0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00limlim 11x x yy x ∆→∆→∆'===∆以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x +∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 2y x '=表示函数y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim ()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆5．函数()y f x =因为()()y f x x f xx x ∆+∆-==∆∆==所以0lim lim x x y y x ∆→∆→∆'===∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'= 小结：基本初等函数的导数公式：例1（课本P14例1）假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．变式训练1：（课本P15思考）如果上式（例1）中某种商品的P 0=5，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？例2 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2.解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝1434x -＝344x；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3；(6)y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x .反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导． 变式训练2：(1)下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ln 2；③1(ln x )′＝x ；④若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.A ．1B ．2C ．3D ．4(2) ①已知f (x )＝5x ，则f ′(2)＝________. ②已知f (x )＝ln x ，且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________.答案 (1)C (2)①25ln 5 ②1解析 (1)①中(3x )′＝3x ln 3，②③④均正确． (2)①f ′(x )＝5x ln 5，f ′(2)＝25ln 5. ②f ′(x )＝1x ，∴f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，解得x 0＝1.例3：求过曲线y=cosx 上点P 132π（，）且与在这点的切线垂直的直线方程。

1.2.1_几何常用函数的导数

1.2.1_几何常用函数的导数

'
n '
n 1
y` 1表示函数 y x图象1.2 2上每一点处的 切线的斜率都为1.若y x表示路程关于时间的 函数, 则 y` 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1的匀速运动. y
yx
O
x
图1.2 2
3. 函数 y f x x 的导数 y` 2 x 表示函数 y x 2 图象1.2 3 上点 x, y 处


（1）
（2） (3)
yx
yx
4
y 4x
'
'
3
99
100
y 100 x
yx
3
y' 3x
4
课堂小结：
1、两个公式 (c ) 0 ( x ) nx 2、利用定义求导的步骤 3、导数的几何意义及物理意义，利用导数求直线 的斜率 4、在学习中体会极限思想，转化思想，数形结合 等思想
2
切线的斜率为2 x, 说明随着x的变化, 切线的斜率 也在变化.另一方面, 从导数作为函数在一点的瞬 ' 时变化率来看, y 2 x 表明 : 当x 0时, 随着x 的增
加, y x 减少得越来越慢;当x 0时,
2
y
随着x的增加, y x 增加得越来越快.
2
y x2
O
x
图1.2 3
1. 函数 y f x c的导数
y` 0表示函数 y c图象1.2 1 上每一点处的 切线的斜率都为0.若y c表示路程关于时间的 函数, 则 y` 0 可以解释为某物体的瞬时速度始 终为0, 即一直处于静止状态. yycOx图1.2 1
2. 函数 y f x x的导数

1.2导数的计算(4课时)

1.2导数的计算(4课时)

作业： P18习题1.2A组：1.
1.2
导数的计算
1.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则 第一课时
问题提出 1.如何求函数f(x)的导数？
y= 2.函数y＝c，y=x，y=x2，
，
f (x + Vx ) - f (x ) f¢ (x ) = lim Vx ® 0 Vx 1
x 的导数分别是什么？.
思考3：若y＝c表示路程关于时间的函数， 则y′＝0的物理意义如何解释？
物体的瞬时速度始终为0，即物体处于静 止状态.
探究（二）：函数y＝f(x)＝x的导数 思考1：函数f(x)＝x的图象是什么？相 对于x的函数值增量△y等于什么？ y y ＝x
v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m / s ) 0.5 - 0
f¢ (x ) = k
思考5：函数f(x)＝kx(k≠0)的图象是什 么？其导数表示什么？ y＝kx的图象是过原点的一条直线
f¢ (x ) = k 表示直线y＝kx的斜率.
思考6：函数f(x)＝kx(k≠0)增(减)的快 慢与k的取值有什么关系？ k＞0时，k越大，f(x)增加得越快； k＜0时，k越大，f(x)减少得越慢.
= ln x 的
导数是什么？
1 (loga x )¢= x ln a
1 (ln x )¢= x
探究（二）：导数的四则运算法则
[f (x ) + g(x )]¢ (x ) + g (x ) 相等吗？ 思考1： 与 fⅱ 为什么？
[f (x ) + g(x )]ⅱ = f (x ) + g (x )
(x ), g (x ) 有什么关 [f (x ) - g(x )]¢与 f ⅱ 思考2： 系？ [f (x ) - g(x )]ⅱ = f (x ) - g (x )

高中数学 选修2-2 第一章 1.2 导数的计算 1.2.1 1.2.2讲解

高中数学 选修2-2 第一章 1.2 导数的计算 1.2.1 1.2.2讲解

3 2.
不正确．因为sin 6π ＝ 12 是一个常数，而常数的导
数为零，所以sin6π′＝0.
指数函数、对数函数的导数公式的记忆对于公式(ln
x)′＝
1 x
，(ex)′＝ex很好记，但公式(logax)′＝
1 xln
a
，(ax)′
＝axln a的记忆比较难，设平行于直线y＝x的直线与曲线y ＝ex相切于点P(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点， 如图所示．
则在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，
得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为|0－1|＝ 2
5．一质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝ 5 t ， 求质点在t＝4时的速度．
解：∵s＝5 t＝t51，∴s′＝(t15)′＝15t－45.
t＝4时，s′＝15·4－54＝
1 5
.
10 8
即质点在t＝4时的速度为 1 . 5
10 8
∴y′＝(x32)′＝32x21＝32
x .
(2)y＝x5，∴y′＝(x5)′＝5x4.
求曲线y＝lg x在点M(10,1)处的切线的斜率 和切线方程．
【分析】 M(10,1)在曲线上，故所求切线斜率就是 函数y＝lg x在x＝10处的导数．
【解】 ∵y′＝(lg x)′＝xln110，∴y′|x＝10＝10l1n 10. ∴曲线y＝lg x在点M(10,1)处的切线的斜率为k＝10l1n 10. ∴切线方程为y－1＝10l1n 10(x－10)， 即x－(10ln 10)y＋10(ln 10－1)＝0.
(x0，x02)．

高中数学第一章几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课件

高中数学第一章几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课件

课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
【跟踪训练 2】 已知点 P(－1,1)，点 Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点，求 与直线 PQ 平行的曲线 y＝x2 的切线方程．
解 因为 y′＝(x2)′＝2x，设切点为 M(x0，y0)， 则 y′| x＝x0＝2x0. 又因为 PQ 的斜率为 k＝42－ ＋11＝1，而切线平行于 PQ，
3．曲线 y＝cosx 在点 Aπ6， 23处的切线方程为________．
答案 解析
x＋2y－ 3－π6＝0 因为 y′＝(cosx)′＝－sinx，所以 k＝－sinπ6＝－12，所以在点 A
处的切线方程为 y－ 23＝－12x－π6，即 x＋2y－ 3－π6＝0.
课前自主预习
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随堂达标自测
课后课时精练
(3)第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝ax·ln a，当 a＝e 时，ex 的导数是(ax)′
的一个特例．
(4)
第
四
类
为
对
数
函
数
，
y′
＝
(logax)′
＝
1 x·ln
a
，
也
可
记
为
(logax)′
＝
1x·logae，当 a＝e 时，ln x 的导数也是(logax)′的一个特例．
课后课时精练
随堂达标自测
1．已知函数 f(x)＝5，则 f′(1)等于( ) A．5 B．1 C．0 D．不存在
答案 C 解析 因为 f(x)＝5，所以 f′(x)＝0，所以 f′(1)＝0.
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1.2.1几个常用函数的导数

1.2.1几个常用函数的导数

e (3) f ( x) e x ,则f ' ( x)等于 ____x__;
f ' (1)等于 ___e___
1
(4) (1ogax )' __x_l_n_a___
三.典例分析 题型：求曲线的切线方程
例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点， (1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。 (2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。 (3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。
公式6.若f (x) ex , 则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 x ln a
(a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
练习:
1、求下列函数的导数
(1) y sin t (4)u cos v (7) y 2
x
lim C C x0 x
lim 0 0 x0 x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：f '(x) C 0 (C为常数)
归纳总结：
常函数y=f（x）=c的导数等于 0 它表示函数y=c图象上各点切线的 斜率都是0；
事实上，各点切线就是 原来的直线。
二、几种常见函数的导数
切线的斜率k y ' |xx0 2x0 1,
x0
1 2
,
切点M (1 , 1)
24
与PQ平行的切线方程:y 1 x 1 ,即：4x 4 y 1 0。 42
1
1
练习解1：：∵求y双′曲＝线－yx1＝2，x在∴点y′(2|，x＝22)＝处－的14切. 线方程．

高中数学 121 几种常用函数的导数及导数的运算法则课件 新人教版选修22

高中数学 121 几种常用函数的导数及导数的运算法则课件 新人教版选修22
第二十三页，共41页。
(2)y′＝(xl＋nx1)′ ＝1xx＋x＋11－2lnx ＝1－x＋lnx1＋2 1x ＝x－xxx＋lnx1＋2 1.
第二十四页，共41页。
(3)∵f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5) ＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5， ∴f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′ ＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
第三十页，共41页。
规律技巧 1在求曲线的切线方程时，注意两个“说 法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程. 在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线， 不论 点P在不在曲线上，点P不一定是切点.
2求过点P的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标 为x0，y0，然后写出切线方程y－y0＝f′x0x－x0，代入点P 的坐标，求出x0，y0，再写出切线方程.
(3)f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)
第十页，共41页。
名师讲解 1.有理数幂函数的导数(xn)′＝nxn－1(n为有理数)，应注意 其特点 (1)y＝xn中，x为自变量，n为常数． (2)它的导数等于幂指数n与自变量x的(n－1)次幂的乘积． (3)公式中n∈Q，但对于n∈R公式也成立． (4)特别注意n为负数或分数时，求导不要搞错．如( x )′ ＝(x12)′＝12x12－1＝12·x－12＝21 x.
第四十页，共41页。
(3)∵y＝1＋ sin2xcos2x＝1＋12sinx，
∴y′＝(1＋12sinx)′＝12cosx.
(4)y′＝(
x x＋1
)′－(2x)′＝
x＋1－x x＋12
－2xln2＝
1 x＋12
－
2xln2.

课件9：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用

课件9：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用

2
2x
f′(x)＝___
f(x)＝x
原函数
1
f(x)＝x
f(x)＝ x
导函数
1
－x2
f′(x)＝_____
1
f′(x)＝_______
2 x
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
y＝c
0
y′＝____
y＝xn(n∈N＋)
nx
y′＝______
y＝xμ(x>0，μ≠0 且 μ∈Q)
y′＝_______
1
4 3
x
(1)y＝sin3；(2)y＝5 ；(3)y＝x3；(4)y＝ x ；(5)y＝log3x.
x
x
(2)y′＝(5
)′＝5
ln 5；
解：(1)y′＝0；
1
(3)y′＝x3′＝(x－3)′＝－3x－4；


x
4 3
(4)y′＝( x )′＝
3
4


1

3x 4
3

由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，
所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，
෣
只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧
上
的一点，
因此点 P 是抛物线上平行于直线 AB 的切线的切点，
由图知点 P 在 x 轴上方，y＝ x，y′＝
1
由题意知 kAB＝2.
1
1
∴kl＝
y＝ln x
1
y′＝______
x
问题探究
探究点一
问题1
求导函数
怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？
Δy

人教版高中数学第一章1.2第1课时几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式

人教版高中数学第一章1.2第1课时几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式

则切线方程为 y－1a＝－a12(x－a)．① 将 Q(1，0)代入方程：0－1a＝－a12(1－a)． 得 a＝12，代回方程①，整理可得切线方程为 4x＋y －4＝0.
[迁移探究 2] (将已知点改为已知切线的斜率)已知 曲线 y＝1x，求满足斜率为－13的曲线的切线方程．
解：y＝1x，y′＝－x12.设切点坐标为 Aa，1a， 则切线斜率为 k＝－a12＝－13，解得 a＝± 3， 那么 A 3， 33，A′－ 3，－ 33.
y′＝0 y′＝nxn－1 y′＝cos x y′＝－sin x y′＝axln a y′＝ex
y＝logax(a＞0，a≠1) y′＝xln1 a
y＝ln x
y′＝1x
温馨提示 (1)注意 y＝sin x 和 y＝cos x 求导后的名 称变化及符号变化；(2)注意 y＝ax(a＞0，a≠1)和 y＝logax(a ＞0，a≠1)求导后 ln a 所处的位置．
代入点斜式方程得 y－ 33＝－13(x－ 3)或 y＋ 33＝ －13(x＋ 3)．即 x＋3y－2 3＝0 或 x＋3y＋2 3＝0.
归纳升华 求曲线方程或切线方程时，应注意： (1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲 线方程也满足切线方程，可联立方程求解； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率； (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设 出切点．
1．关于几个基本初等函数导数公式的特点： (1)幂函数 f(x)＝xα 中的 α 可以由 Q*推广到任意实数； (2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符 号)正同余反”； (3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自 然对数； (4)对数函数的导数等于 x 与底数的自然对数乘积的 倒数．

高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 常数函数与幂函数的导数 1.2.2 导数公式表及数学软

高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 常数函数与幂函数的导数 1.2.2 导数公式表及数学软
x ln 3
故f′(x)>1时,有0<x< 1 .
ln 3
答案: ( 0， 1 )
ln 3
1199
类型一 利用导数公式求函数的导数
【典例】1.下列函数求导运算正确的个数为
①(3x)′=3xlog3e;
② (log2x)′=
③ l n 1=x x ;
;1
x ln 2
()
2200
④若y= 1,则在x=3处的导数为- . 2
1133
【自我检测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)(sinx)′=-cos x. ( )
(2)
(1 x
).
1 x2
(
)
(3)(log5x)′=
. 1(
5 ln x
)
(4)(lnx)′= . ( 1 )
x
1144
提示:(1)×.(sin x)′=cos x.
(2)×. ( ′1=) (x-1)′=-x-2=- . 1
x
1 x2
1111
2.关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)幂函数f(x)=xα中的α可以由Q*推广到任意实数. (2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号) 正同余反”.
1122
(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然 对数. (4)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数. (5)注意区分幂函数f(x)=xα与指数函数f(x)=ax的导数.
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(4)若y=f(x)=x3,则f′(x)=___. 3x2
(5)若y=f(x)= (6)若y=f(x)=
1
,则1x f′(x)=____= ____x(x2 ≠0). -x-2
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第一章 1.2 1.2.1 几个常用函数的导数
A 级 基础巩固
一、选择题
1．已知物体的运动方程为s ＝t 2
＋t 3(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( D )
A ．419
B ．417
C ．415
D ．413
[解析] ∵s ′＝2t －t23，∴s ′|t ＝2＝4－43＝413，故选D ．
2．下列结论中不正确的是( B )
A ．若y ＝x 4，则y ′|x ＝2＝32
B ．若y ＝x 1，则y ′|x ＝2＝－22
C ．若y ＝x 1，则y ′|x ＝1＝－25
D ．若y ＝x －
5，则y ′|x ＝－1＝－5 [解析] ∵(x 1)′＝(x －21)′＝－21x －23
∴y ′|x ＝2＝－82．
故B 错误．
3．若f (x )＝x 3，则f ′(－1)＝( D )
A ．0
B ．－31
C ．3
D ．31
[解析] ∵f (x )＝x 31，
∴f ′(x )＝31x －32
∴f ′(－1)＝31(－1)－32＝31，∴选D ．
4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( B )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．不确定
[解析] f ′(x )＝3x 2，
∴3x 2＝1，解得x ＝±33，
故存在两条切线，选B ．
5．(2017·武汉期末)若f (x )＝x 5，f ′(x 0)＝20，则x 0的值为( B )
A ．
B ．±
C ．－2
D ．±2
[解析] 函数的导数f ′(x )＝5x 4，
∵f ′(x 0)＝20，
∴5x 04＝20，得x 04＝4，
则x 0＝±，
故选B ．
6．(2018·长春高二检测)曲线y ＝31x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( C )
A ．1
B ．－4π
C ．4π
D ．45π
[解析] ∵y ＝31x 3，∴y ′|x ＝1＝1，
∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，
∵0≤α<π，∴α＝4π．
二、填空题
7．已知函数f (x )＝x 1，且f ′(a )－f (a )＝－2，则a ＝1或－21．
[解析] f ′(x )＝－x21，
∴f ′(a )＝－a21，
∴f ′(a )－f (a )＝－a21－a 1，
∴a21＋a 1＝2，
解a ＝1或－21．
8．若曲线y ＝x 3的某一切线与直线y ＝12x ＋6平行，则切点坐标是(2,8)或(－2，－8)．
[解析] 设切点坐标为(x 0，x 03)，
因为y ′＝3x 2，所以切线的斜率k ＝3x 02，又切线与直线y ＝12x ＋6平行，所以3x 02＝12，
解得x 0＝±2，故切点为(2,8)或(－2，－8)．
三、解答题
9．将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹．若最外一圈波纹的半径R 以6m/s 的速度增大，求在2s 末被扰动水面面积的增长率．
[解析] 设被扰动水面的面积为S ，时间为t ，
依题意有S ＝πR 2＝36πt 2，所以S ′＝72πt ，
所以2s 末被扰动水面面积的增长率为S ′|t ＝2＝144π(m 2/s)．
10．(2017·北京理，19(1))已知函数f (x )＝e x cos x －x ，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程．
[解析] 因为f (x )＝e x cos x －x ，
所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0．
又因为f (0)＝1，
所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1．
B 级 素养提升
一、选择题
1．已知曲线y ＝x 3
－1与曲线y ＝3－21x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( D ) A ．33 B ．3
C ．
D ．9
[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 02，曲线y
＝3－21x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 02·(－x 0)＝－1，∴x 0＝9，故选D ．
2．(2018·全国卷Ⅰ理，5)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( D )
A ．y ＝－2x
B ．y ＝－x
C ．y ＝2x
D ．y ＝x
[解析] ∵ f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，
∴ f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a ．
又f (x )为奇函数，∴ f (－x )＝－f (x )恒成立，
即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，
∴ a ＝1，∴ f ′(x )＝3x 2＋1，∴ f ′(0)＝1，
∴ 曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x ．
故选D ．
二、填空题
3．(2018·全国卷Ⅲ理，14)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝－3．
[解析] ∵ y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ，∴ 当x ＝0时，y ′＝a ＋1，
∴ a ＋1＝－2，得a ＝－3．
4．函数y ＝x 2
(x >0)的图象在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是21．
[解析] ∵y ′＝2x ，∴在点(a k ，a k 2)的切线方程为y －a k 2＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交
点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝21a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝21，∴a 3＝4，
a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21．
三、解答题
5．已知曲线C ：y ＝t －x 1经过点P (2，－1)，求
(1)曲线在点P 处的切线的斜率．
(2)曲线在点P 处的切线的方程．
(3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程．
[解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝t －x 1中得t ＝1，
∴y ＝1－x 1．
∴y ′＝(1－x 1，
∴lim Δx →0 Δx Δy ＝(1－x 1，
∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝(1－21＝1．
(2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)，即x －y －3＝0．
(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，
则切线斜率k ＝x0y0＝(1－x01，由于y 0＝1－x01，∴x 0＝21，∴切点M (21，2)，切线斜率k ＝4，切
线方程为y －2＝4(x －21)，即y ＝4x ．
6．(2018·全国卷Ⅲ文，21(1))已知函数f (x )＝ex ax2＋x －1．求曲线y ＝f (x )在点(0，－1)处
的切线方程．
[解析] f ′(x )＝ex －ax2＋(2a －1，f ′(0)＝2．
因此曲线y ＝f (x )在(0，－1)处的切线方程是
2x －y －1＝0．
C 级 能力拔高
求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．
[解析] 解法1：设切点坐标为(x 0，x 02)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝
x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．
∵y ′＝(x 2
)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝21， ∴切点坐标为(21，41)，
∴所求的最短距离d ＝2－2|＝82．
解法2：设与抛物线y ＝x 2相切且与直线x －y －2＝0平行的直线l 的方程为x －y ＋m ＝0(m ≠－2)，
由y ＝x2x －y ＋m ＝0，得x 2－x －m ＝0．
∵直线l 与抛物线y ＝x 2相切，
∴判别式Δ＝1＋4m ＝0，∴m ＝－41，
∴直线l 的方程为x －y －41＝0，
由两平行线间的距离公式得所求最短距离d ＝2|＝82．
解法3：设点(x ，x 2)是抛物线y ＝x 2上任意一点，则该点到直线x －y －2＝0的距离d ＝2|x －x2－2|＝2|x2－x ＋2|＝22|x 2－x ＋2|
＝22(x －21)2＋82．
当x ＝21时，d 有最小值82，即所求的最短距离为82．。