(word完整版)倒立摆建模

Matlab程序设计上交作业要求：1）纸质文档：设计分析报告一份（包括系统建模、系统分析、系统设计思路、程序及其执行结果）.2)Matlab程序：按班级统一上交后备查。

题目一：考虑如图所示的倒立摆系统.图中，倒立摆安装在一个小车上。

这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题.图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。

摆杆的质量:m=0.1g摆杆的长度:2l=1m小车的质量：M=1kg重力加速度：g=10/s2摆杆惯量:I=0.003kgm2摆杆的质量在摆杆的中心.设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，最大超调量％≤10%,调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0）。

要求：1、建立倒立摆系统的数学模型2、分析系统的性能指标—-能控性、能观性、稳定性3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点,这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图。

题目二：根据自身的课题情况，任意选择一个被控对象,按照上题所示步骤进行分析和设计，并给出仿真程序及其执行结果。

题目一：考虑如图所示的倒立摆系统.图中,倒立摆安装在一个小车上。

这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题.图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。

摆杆的质量：m=0.1g摆杆的长度:2l=1m小车的质量：M=1kg重力加速度：g=10/s2摆杆惯量：I=0。

003kgm2摆杆的质量在摆杆的中心。

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，最大超调量％≤10%，调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置,并使小车返回至参考位置(x=0)。

要求:1、建立倒立摆系统的数学模型2、分析系统的性能指标—-能控性、能观性、稳定性3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图.设计分析报告1 系统建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。

1单级倒立摆的数学模型的建立：小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。

电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。

导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。

轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。

图1 单级倒立摆系统数学模型倒立摆系统的模型参数如下[]：M 小车质量 1.096Kg ；m 摆杆质量 0.109Kgb 小车摩擦系数 0.1N/m /secI 摆杆质量 0.0034kg*m*ml 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mT 采样频率 0.005s下面N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：N x b F x M --=&&& (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()θθθθθsin cos sin 222&&&&&ml ml x m N l x dtd m N -+=+= （2） 把这个等式代入（1）式中，得到系统的第一个运动方程：()F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos 2&&&& （3）为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进行分析，得到下面的方程：()θcos 22l dtd m mg P =- θθθθcos sin 2&&ml ml mg P --=- （4）力矩平衡方程如下：θθ&&I Nl Pl =--cos sin （5）方程中力矩的方向，由于φπθ+=，θφθφsin sin ,cos cos -=-=，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程： ()θθθcos sin 2x ml mgl ml I &&&&-=++ （6）假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1〈〈φ，则可进行近似处理：0,sin ,1cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=dt d θφθθ用u 代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M x ml mgl ml I φφφ&&&&&&&&&2（7）对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+)()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I φφφ （8）（推到时假设初始条件为0）则，摆杆角度和小车位移的传递函数为： mgl s ml I mls s X s -+=222)()()(φ将上述参数代入，摆杆角度和小车位移的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(22-=s s s X s φ摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： ()mgl s ml I mls A s -+=22)()(φ将上述参数代入，摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(22-=s s s A s φ摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：22432222()()()()()()ml s s q b I ml M m mgl bmgl F s s s s s q q qq M m I ml m l φ=+++--⎡⎤=++-⎣⎦将上述参数代入，摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：32()2.35655()0.088316727.9169 2.30942s s F s s s s φ=+-- 以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：222222222201000()00()()()00010()00()()()x x I ml b m gl I ml x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml u mlb mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&& 将上述参数代入，以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：0100000.08831670.62931700.8831670001000.23565527.82850 2.356551000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&&&&&&&&&& 以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：'0100000001000103300044x x x x u gl l φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&&&&&& '1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&& 将上述参数代入，以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：0100000001000100029.4031000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&&&&&&&&&& 2系统的可控性、可观测性分析对于连续时间系统：Bu AX X+=& Du CX y +=系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组B A AB B n 1,...,,-是线性无关的，或n ×n 维矩阵[]B A AB B n 1-M ΛM M 的秩为n 。

单级倒立摆系统建模倒立摆倒立摆(Inverted Pendulum)作为一个被控对象，是快速、多变量、开环不稳定、非线性的高阶系统，必须施加强有力的控制手段才能使之稳定。

许多新的实时控制理论，都通过倒立摆控制试验来加以验证。

从工程背景来讲，小到日常生活中所见到的各种重心在上、支点在下的物体的稳定问题，大到火箭的垂直发射控制等关键技术问题，都与倒立摆控制有很大的相似性。

小车倒立摆系统建模图1所示的是人手保持倒立摆平衡的问题，相应的平衡条件是和。

人手保持倒立摆平衡与导弹在发射初始阶段的状态控制没有本质差异。

0)(=t θ0d /d =tθ图1 手持倒立摆小车倒立摆动力学分析(3)单级旋转倒立摆系统结构单级旋转倒立摆系统结构表1 旋转式倒立摆系统符号意义及参数值符号意义数值与单位M驱动臂的总质量 0.285kg 1M摆杆的总质量 0.175kg 2G转动力矩与控制电压之比 0.0508Nm/V 0U控制输入电压VJ驱动臂对其质心处的转动惯量 0.00185kgm²1J摆杆对其质心处的转动惯量 0.00137kg m²2L驱动臂的质心到转轴的距离0.119m1L摆杆的质心到转轴的距离 0.24m2表1 旋转式倒立摆系统符号意义及参数值符号意义数值与单位L从关节到转轴的距离0.127m12F转轴处的摩擦阻力矩系数0.05Nms1F关节处的摩擦阻力矩系数 0.0026 Nms 2f驱动臂与摆杆作用力的水平分力N1xf驱动臂与摆杆作用力的垂直分力N1yθ驱动臂相对垂直线的角位移rad1θ摆杆相对垂直线的角位移rad2g重力加速度9.8m/s²。

单级倒立摆稳定控制直线-级倒立摆系统在忽略了空'(阻力及各种摩擦Z后，町抽象成小车和匀质摆杆组成的系统，如图1所示。

图2控制系统结构假设小车质量M=0.5kg,匀质摆朴质量m=0.2kg,摆朴长度21 =0.6m, x(t)为小车的水半位移，〃为摆杆的角位移，g = 9.8m/s2o控制的目标是通过外力u⑴使得摆直立向上(即&(t) = 0) o该系统的非线性模型为:(J +inl‘)典(nilcos^)&= niglsin^ (ml cos。

)翼(M其中J二一ml+ m)&= (mlsin0)6^ + u一、非线性模型线性化及建立状态空间模型因为在工作点附近(& = 0.必0)对系统进行线竹:•化，所以可以做如下线性化处理: 03 Q1sin0« 0 --------- 、COS&Q 1-----------------3! 2!当e很小时，由COS0V sine的幕级数展开式可知，忽略高次项后, 可得cos0~l, sin0=0, 0Z 2=0：因此模型线性化后如下：(J+nil A2)0r z +mlx z z =mgl0 (a)取系统的状态变量为％ = x,x2 =仪X3 = x4=灰输出y = [x OF包扌舌小车位移和摆杆的角位移.由线性化后运动方程组得故空间状态方程如下:■010 0 ■「xT■ ■x2*00-2.6727 0x21 1.8182 x3f =000 1x3+0_x4J|_x40031.1818 0-4.5455uml0f r + (M+m) x''二u (b) 其中J = -ml3■ ■ xl ■ ■Xx2x1 x30 x4&Y=xlx3X1/二x'=x2—沁—册4(M + m) 一3m44(M + m) - 3m u3(M +m)g4(M + m)l 一3ni-34(M + m)l 一311119 1 00 ''xlM00 -3mg0am xl x2‘ _4(M + m) 一3m x2 x3* ~00 01x3x4J00 3(M + m)g0[_x44(M + m)l - 3ml 044(M + m) - 3m 0一34(M + m)l - 3nil二. 通过Matlab 仿真判断系统的可控与可观性，并说明其物理意义。

沈阳航空航天大学课程设计（论文)题目一级倒立摆的LQR控制器设计（一）班级04070202学号2010040702069学生姓名杨贺指导教师目录0。

前言.。

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10。

1 倒立摆的背景及简介...。

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.10.2 MATLAB简介及应用....。

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11。

一级倒立摆模型和线性二次最优控制LQR基本理论.。

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(4)1。

1 一级倒立摆模型基本理论。

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41.2 线性二次最优控制LQR基本理论.。

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72. 方案设计。

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103。

软件编程。

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析.。

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倒⽴摆建模与控制2倒⽴摆系统的模型建⽴2.1 倒⽴摆特性●⾮线性倒⽴摆是⼀个典型的⾮线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似线性模型，线性化处理后再进⾏控制。

也可以利⽤⾮线性控制理论对其进⾏控制。

●不确定性模型误差以及机械传动间隙，各种阻⼒带来实际系统的不确定性。

实际控制中⼀般通过减少各种误差降低不确定性，如施加预紧⼒减少⽪带或齿轮的传动误差，利⽤滚珠轴承减少摩擦阻⼒等不确定性因素。

●耦合性倒⽴摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒⽴摆的控制中⼀般都在平衡点附近进⾏解耦计算，忽略⼀些次要的耦合量。

●开环不稳定性倒⽴摆的平衡状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定平衡点，垂直向下为稳定平横点。

●约束限制由于机构的限制，如运动模块的⾏程限制，电机⼒矩限制等。

为了制造⽅便和降低成本，倒⽴摆的结构尺⼨和电机的功率尽量要求最⼩。

⾏程限制对倒⽴摆的摆起影响尤为突出，容易出现⼩车撞边现象[22]。

2.2 ⼀阶倒⽴摆数学模型倒⽴摆系统是典型的运动的刚性系统，可以在惯性坐标系内应⽤经典⼒学理论建⽴系统的动⼒学⽅程。

下⾯分别采⽤⽜顿⼒学⽅法和拉格朗⽇⽅法建⽴直线型⼀级，⼆级倒⽴摆系统的数学模型。

2.2.1 ⼀级倒⽴摆物理模型在忽略了空⽓阻⼒和各种摩擦之后，可将直线型⼀级倒⽴摆系统抽象成⼩车和匀质杆组成的系统，如图2.1所⽰：⽪带轮图2.1 单级倒⽴摆系统物理模型2.2.2 ⼀级倒⽴摆数学模型各符号代表的意义及相关的数值：表2.1 ⼀级倒⽴摆参数表参数参数意义参数值 M ⼩车质量 1.096Kg m 摆杆质量 0.13Kg b ⼩车摩擦系数0.1N/m/sec l 摆杆转动轴⼼到杆质⼼的长度0.25m I 摆杆转动惯量 0.0034Kg*m*mf 加到⼩车上的⼒ x⼩车位置φ摆杆与竖直向上⽅向的夹⾓通过对系统中⼩车和摆杆进⾏受⼒分析，分别可得到以下运动⽅程：2()cos sin F M m x bx ml ml θθθθ=++-+ (2.1) 22()sin cos 2sin (sin cos )I ml mgl mlx ml θθθθθθθθ+-=++ (2.2)22222cos sin cos 2sin sin 2sin cos M m ml x F bx ml ml ml I ml mgl ml θθθθθθθθθθ+-?--=----(2.3) 2.3 ⼆阶倒⽴摆数学模型2.3.1 ⼆级倒⽴摆物理模型如图2.3所⽰为直线型⼆级倒⽴摆物理模型⽪带轮图2.3⼆级倒⽴摆系统的物理模型倒⽴摆装置主要由沿导轨运动的⼩车和固定到⼩车上的两个摆体组成。

(完整word版)一级倒立摆控制方法比较一级倒立摆控制方法比较摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。

针对一级倒立摆系统，首先利用牛顿力学的知识建立了数学模型，然后利用Simulink 及其封装功能建立倒立摆的仿真模型,使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。

根据状态方程判断系统的能控、能观性。

通过LQR控制算法和极点配置设计控制器使系统达到稳定状态,分析两种方法的优缺点, 并利用Matlab仿真加以证实。

关键词：倒立摆; LQR ；极点配置;MatlabDISCUSSION ON CONTROLOF INVERTED PENDULUMAbstract:the inverted pendulum system is a typical multi—variable, nonlinear, strong coupling and rapid movement of the natural unstable system. According to the level of inverted pendulum system，firstI make use of Newtonian mechanics knowledge to establishthe mathematical model，and use the Simulink and packaging function to establish inverted pendulum simulation model。

The model is more flexibility, bringing a lot of convenience for simulation. By the equation of state, controllability and observablityof system can be sure。

三级倒立摆线性系统理论作业：以三级倒立摆为研究对象，建立对象模型，设计状态观测器，设计控制器（要有仿真结果）。

一倒立摆1概述倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例,一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的,倒立摆系统就其本身而言是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统。

将这样一个复杂系统作为被控对象,在控制过程中能有效地反映出控制中的许多关键问题, 如非线性问题、鲁棒性问题、随动问题、镇定问题、跟踪问题、解耦问题以及不稳定问题等。

2分类倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。

现在由中国的北京师范大学李洪兴教授领导的“模糊系统与模糊信息研究中心”暨复杂系统智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功地实现了四级倒立摆。

是世界上第一个成功完成四级倒立摆实验的国家。

3倒立摆的控制目标摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。

当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。

4倒立摆的控制方法倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。

直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。

作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。

当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。

为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。

二．三级倒立摆系统的数学模型1.系统的结构三级倒立摆系统主要由控制对象, 导轨, 电机,皮带轮, 传动带以及电气测量装置组成,控制对象由小车,下摆, 中摆,上摆组成,上、中、下摆由轴承连接,并且可以在平行导轨的铅垂平面内自由转动,三个电位器分别安装在连接处 ,测量摆的相对偏角11223--θθθθθ，，其原理结构图如图 1 所示,系统运动分析示意图 如图 2 所示2.系统的数学模型 2.1假设条件(1)、上、中 、下摆及小车都是刚体;(2)、皮带轮与传动带之间无相对滑动,传动带无伸长现象; (3)、小车的驱动力与直流放大器的输入成正比,且无滞后, 忽略电机电枢绕组中的电感;(4)、小车运动时所受的摩擦力正比于小车的速度 ; (5)、各摆的摩擦力矩与相对速度(角速度)成正比 2.2系统参数说明m0 —小车系统的等效质量 1.32822kg ; m1 —下摆质量 0 .22kg ; m2—中摆质量 0 .22kg ;m3—上摆质量 0 .187kg ;J1—下摆质心至转轴处转动惯量 0.004963kg .m ; d1—下摆质心至转轴之间的距离 0 .304m ; J2—中摆质心至转轴处转动惯量 0.004963 kg .m ; d2—中摆质心至转轴之间的距离 0 .304m ; J3—上摆质心至转轴处转动惯量 0.004824 kg .m ; d3—上摆质心至转轴之间的距离 0 .226m ; d4 —中、下摆转轴间的距离 0.49m ; d5 —上、中摆转轴间的距离 0.49m ; d6—上摆杆长度;f0—小车系统的摩擦系数 22.9147 kg/s;f1—下摆转轴处的摩擦阻力矩系数 0.007056kg .m/s; k0—电机的机电常数 0.9467N;f2—中摆转轴处的摩擦阻力矩系数 0.002646 kg .m/s; k1—功放的电压增益 8.0;f3 —上摆转轴处的摩擦阻力矩系数 0.002646 kg .m/s; R0 —电机的电枢绕组内阻 8.55Ω; R1—功放输出电阻 1 .252Ω; d —皮带轮直径 0.13m ; g —重力加速度。

倒立(dàolì)摆简介倒立(dàolì)摆系统是理想的自动控制(zìdònɡkònɡzhì)教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。

许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。

倒立摆系统具有模块性好和品种多样化的优点，其基本模块既可是一维直线运动平台或旋转(xuánzhuǎn)运动平台，也可以是两维运动平台。

通过增加角度传感器和一节倒立摆杆，可构成直线单节倒立摆、旋转单节倒立摆或两维单节倒立摆；通过增加两节倒立摆杆和相应的传感器，则可构成两节直线倒立摆和两节旋转倒立摆。

倒立摆的控制技巧和杂技运动员倒立平衡表演技巧有异曲同工之处，极富趣味性，学习自动控制课程的学生通过使用它来验证所学的控制理论和算法(suàn fǎ)，加深对所学课程的理解。

由于倒立摆系统机械结构简单、易于设计和制造，成本廉价，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为常见的控制教学设备。

同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。

因此，倒立摆系统也是进行控制理论研究的理想平台。

直线运动型倒立摆外形美观、紧凑、可靠性好。

除了为每个子系列提供模块化的实现方案外，其控制系统的软件平台采用开放式结构，使学生建立不同的模型，验证不同的控制算法，供不同层次的学生进行实验和研究。

由于采用了运动控制器和伺服电机进行实时运动控制，以及齿型带传动，固高公司的倒立摆系统还是一个典型的机电一体化教学实验平台，可以用来进行各种电机拖动、定位和速度跟踪控制实验，让学生理解和掌握机电一体化产品的部件特征和系统集成方法。

一. 系统(xìtǒng)组成及参数：倒立摆系统由水平移动的小车及由其支撑的单节倒立摆构成(gòuchéng)。

系统建模系统建模可以分为两种:机理建模和实验建模.实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者先确定的输入信号,鼓励研究对象并通过传感器的检测其可观测的输出,应用数学手段建立起系统输入---输出关系.这里包括输入信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容.机理建模就是在了解研究对象在运动规律根底上,通过物理,化学的知识和数学手段建立起的系统内部的输入输出状态关系.系统的建模原那么：1) 建模之前，要全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求，选择适宜的分析方法。

2) 按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式；3) 根据允许的误差范围，进行准确性考虑，然后建立尽量简化的合理的数学模型。

小车—倒立摆系统是各种控制理论的研究对象。

只要一提小车—倒立摆系统，一般均认为其数学模型也已经定型。

事实上，小车—倒立摆的数学模型与驱动系统有关，常见到的模型只是对应于直流电机的情况，如果执行机构是交流伺服电机，就不是这个模型了。

本文主要分析由直流电机驱动的小车—倒立摆系统。

小车倒立摆系统是检验控制方式好坏的一个典型对象，其特点是高阶次、不稳定、非线性、强耦合，只有采取有效的控制方式才能稳定控制.在忽略空气阻力,各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车突然均匀质杆组成的系统,如以下图所示:图中F是施加于小车的水平方向的作用力，x是小车的位移，φ是摆的倾斜角。

假设不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。

即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。

M 小车的质量 0.5Kgm 摆杆的质量 0.2KgB 小车的摩擦力 0.1N/m/secL 摆杆转动轴心到杆之质心的长度 0.3mI 摆杆惯量 0.006kg×m2T 采样频率 0.005secF 加在小车上的力X 小车位置θ摆杆与垂直方向向下的夹角φ摆杆与垂直方向向上的夹角倒立摆系统最终的控制目的是使倒立摆这样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统，单节倒立摆系统的控制模型是目前国内外广泛采用的模型是研究各种控制算法的根底。

1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中：M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知： （1） 摆杆绕其重心的转动方程为 （2） 摆杆重心的运动方程为得 （3）小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t-=联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩&&&&&& sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-&&2222(sin ) (2)(cos ).........(3)x y d F m x l d td F mg m l d t θθ=+=-式中J 为摆杆的转动惯量：32ml J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ&⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 2.2 模型建立及封装1、建立以下模型：图2 模型验证原理图2、由状态方程可求得：Fcn:(4/3*u[1]+4/3*m*l*sin(u[3])*power(u[2],2)-10*m*sin(u[3])*cos(u[3] ))/(4/3*(1+m)-m*power(cos(u[3]),2))Fcn1:(cos(u[3])*u[1]+m*l*sin(u[3])*cos(u[3])*power(u[2],2)-10*(1+m)*s in(u[3]))/(m*l*power(cos(u[3]),2)-4/3*l*(1+m))Fun2:(4*u[1]-30*m*u[3])/(4+m)Fun3:(u[1]-10*(1+m)*u[3])/(m*l-4/3*l*(1+m))（其中J =mL^2/3，小车质量M=1kg，倒摆振子质量m=1Kg，倒摆长度l=1m，重力加速度g=10m/s^2）将以上表达式导入函数。

倒立摆拉格朗日建模方法(一)倒立摆拉格朗日建模介绍倒立摆是一种经典的控制系统问题，它常用于教育和研究领域。

拉格朗日建模是一种用来描述力学系统动力学的数学方法。

本文将详细介绍倒立摆的拉格朗日建模方法，包括各种方法的详细说明。

方法一：拉格朗日方程1.第一步：定义坐标系。

倒立摆通常使用极坐标系，其中θ表示摆杆的角度。

2.第二步：确定系统的势能能量。

根据重力势能的定义，势能能量可以表示为mgL(1 - cosθ)，其中m是摆杆的质量，g是重力加速度，L是摆杆的长度。

3.第三步：确定动能能量。

动能能量可以表示为2θ2，其中L是摆杆的长度。

4.第四步：应用拉格朗日方程。

拉格朗日方程可以表示为d/dt(∂T/∂θ̇) - ∂T/∂θ = ∂V/∂θ，其中T是系统的总动能，V 是系统的总势能。

通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程。

方法二：线性化方法1.第一步：使用欧拉-拉格朗日方程。

欧拉-拉格朗日方程可以表示为∑(∂L/∂qi)d q̇i = q之力 - q之耗散，其中L是拉格朗日函数，qi是系统的广义坐标，q i̇是广义速度。

2.第二步：线性化倒立摆方程。

在小角度下，可以通过将sinθ近似为θ，将cosθ近似为1来线性化倒立摆方程。

3.第三步：线性化的拉格朗日方程可以简化为M q̇ = τ - C q̇ -Gq，其中M是质量矩阵，q̇是广义加速度，τ是外部输入力矩，C是速度相关的阻尼矩阵，G是重力矩阵。

方法三：控制方法1.第一步：设计控制器。

倒立摆系统可以用PID控制器来控制。

PID控制器包括比例部分、积分部分和微分部分，可以通过调整各个部分的参数来实现系统的稳定控制。

2.第二步：实施控制。

将PID控制器的输出作为输入力矩τ，通过不断调整输入力矩来控制倒立摆的角度。

3.第三步：闭环控制。

通过实施闭环控制，将实际角度与目标角度进行比较，并根据误差调整控制器的输出，以实现系统的精确控制。

方法四：倒立摆模拟1.第一步：选择合适的模拟软件。

目录绪论 (6)1 倒立摆系统的建模 (7)1.1 倒立摆系统的特性分析 (7)1.2 二级倒立摆系统的数学建模 (8)1。

2。

1 基于牛顿力学的二级倒立摆系统数学模型建立 (9)1。

3 二级倒立摆系统数学模型的线性化处理 (10)2 线性二次型最优控制(LQR)的方案设计 (12)2。

1 二级倒立摆性能分析 (12)2。

1。

1 稳定性分析 (12)2.1.2 能控性能观性分析 (12)2。

2 线性二次型最优调节器原理 (13)2。

3 加权阵Q和R的选择 (15)3 模糊控制的基本原理 (16)3。

1 模糊理论的基本知识 (16)3.1.1 模糊控制概述 (16)3.1。

2 模糊集合 (17)3.1.3 模糊规则和模糊推理 (17)3。

1。

4 反模糊化 (19)3。

2 模糊控制系统的设计 (19)3。

2.1 模糊控制系统的组成及原理 (19)3。

2。

2 模糊控制器设计的基本方法与步骤 (20)3.3 二级倒立摆模糊控制器的设计 (21)4 二级倒立摆模糊控制系统的MATLAB仿真 (25)4.1 基于最优调节器的二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真 (25)4.2 基于模糊控制器的二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真 (28)4.2。

1 二级倒立摆模糊控制系统的仿真波形 (28)4。

2.2 量化因子和比例因子对模糊控制器性能的影响 (29)4.3 两种控制系统的MATLAB仿真对比研究 (30)结束语 (31)致谢 (32)参考文献 (33)附录 (34)摘要本文以二级倒立摆模型为控制对象,首先阐述了倒立摆系统控制算法的研究发展过程和现状,介绍了倒立摆系统的结构和数学模型,并详细推导了二级倒立摆的数学模型。

其次，本文主要研究倒立摆系统的现代控制方法以及智能控制方法，用LQR最优控制方法、模糊控制理论设计了控制器，通过MATLAB及SIMULINK仿真两个控制器，分析指出两方法的优缺点，结果表明：智能控制策略不仅能满足非线性系统的控制要求,而且能明显改善控制指标，整个系统具有更好的动态特性。

一、直线一级倒立摆建模根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略掉系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示：倒立摆系统是典型的机电一体化系统,其机械部分遵循牛顿的力学定律,其电气部分遵守电磁学的基本定理.因此,可以通过机理建模方法得到较为准确的系统数学模型,通过实际测量和实验来获取系统模型参数.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统. 小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。

虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性:1) 非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。

也可以利用非线性控制理论对其进行控制。

倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。

2) 不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。

3) 耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。

4) 开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。

由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。

为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。

由此，约束限制直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归结为3点:(1)倒立摆小车控制过程的最大位移量不能超过小车轨道的长度;(2)为保证倒立摆能顺利起立,要求初始偏角小于20°;(3)为保证倒立摆保持倒立的平衡态,要求控制系统响应速度足够快。

直线一级倒立摆数学模型建立及线性化处理直线一级倒立摆系统的组成本系统由水平移动的小台车及由其支撑的单节倒立摆构成。

控制输入量是拖动小台车的直流伺服电机的驱动力，被控制量是摆的偏角和小台车的位移。

系统的构成示意如图1所示。

图1系统示意图应用牛顿力学方法建立系统的数学模型在以上假设的前提下，来分析系统的运动情况。

采用隔离的办法，首先分析倒立摆系统的受力情况。

一、小台车的受力分析设小台车的质量为[]M kg ，[]f N 为由电机提供的x 方向的驱动力，[]w f N 为系统的外部干扰作用力，2[]kg m ξ⋅为小车和轨道的摩擦系数，[/]K Nm s 为电动机动特性影响因数，则根据小车水平方向所受的合力，可得如下方程： ()()w F Mx f f f K x ξ=+--+ （1） 其中[]F f N 表示摆的水平运动对台车的作用力，其方向与驱动力[]f N 的方向相反。

二、摆杆的受力分析以小台车与摆的节点为坐标原点，取坐标系如图1。

那么，摆的运动由水平方向，铅直方向以及旋转方向的运动来构成。

记摆的质心距节点的距离为[]L m , 摆的质量为[]m kg ，摆的偏移角为ϕ，那么摆的质心沿各个运动方向的位移分别为：● 水平方向 sin []x L m ϕ+● 铅直方向 cos []L m ϕ● 旋转方向 []rad ϕ且各个方向的运动方程可以表示为：22[sin ]H d f m x L dtϕ=+ （2） 22[cos ]V d f mg m L dtϕ-= （3） sin cos V H J Lf Lf ϕηϕϕϕ+=- （4）其中[]H f N 和[]V f N 分别表示作用在节点上的沿水平方向和铅直方向的反作用力。

记转动惯量为2/3J mL =，摩擦系数为η，则由(2)和(3) 求得[]H f N 和[]V f N ，并代入(4)，得2()cos sin J mL mL x mLg ϕϕηϕϕ++=-+ （5）由于摆的水平方向的推力F f 等于摆的水平运动作用在台车上的阻力H f , 即F H f f = （6）将（2）式中的H f 代入（1）式，得到小台车的运动方程为：2()()(cos )(sin )()w M m x K x mL mL f f ξϕϕϕϕ++++-=+ （7）由（5）式和（7）式可得出倒立摆系统的数学模型为如下方程组：22()()(cos )(sin )()()cos sin w M m x K x mL mL f f J mL mL x mLg ξϕϕϕϕϕϕηϕϕ⎧++++-=+⎪⎨++=-+⎪⎩ （8）直线一级倒立摆系统的结构参数台车的质量(M ) 0.445[kg ]摆的质量(m)0.210[kg]重力加速度(g) 9.8[2m s]/质心距节点的距离(L) 0.305[m]台车与轨道的摩擦系数（ξ） 0.925 2⋅[]kg m摆节点处的摩擦系数（η） 0.06[//]N rad s 电动机动特性影响因数（K） 7.877[/]Nm s。

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Matlab为Mathworks公司注册商标安全注意事项直线倒立摆系统主要用于教学和科研。

在安装，使用和维护之前，请仔细阅读本安装手册。

请将本手册妥善保存，以备需要时随时查阅。

使用注意事项使用（安装、运转、保养、检修）前，请务必熟悉并全部掌握本手册和其它相关资料，在熟知全部机器知识、安全知识、以及注意事项后再使用设备。

本手册将安全注意事项分为“危险”“注意”“强制”“禁止”分别记载。

表1-1警告标志不正确的操作将会导致重大人身事故。

不正确的操作会导致设备损坏。

必须要做的操作。

被禁止的操作。

另外，即使“注意”所记载的内容，也可能因为不同的情况产生严重后果，因此任何一条注意事项都很重要，在设备使用过程中请严格遵守。

虽然不符合“危险”“注意”的内容，但是用户在使用过程中必须严格遵守的事项，在相关地方以记载。

本手册记述了安全上一般应该注意的事项，在实际实验环境下用于实验研究人员的安全措施不可能完全记载，敬请原谅。

1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中：M ：小车质量m ：为摆杆质量J ：为摆杆惯量F ：加在小车上的力x ：小车位置θ：摆杆与垂直向上方向的夹角l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知：（1） 摆杆绕其重心的转动方程为（2） 摆杆重心的运动方程为得（3）小车水平方向上的运动为22..........(4)x d x F F M d t-= 联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lgsin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩sin cos (1)y x J F l F l θθθ=- 2222(sin )..........(2)(cos ).........(3)x y d F m x l d t d F mg m l d t θθ=+=-式中J 为摆杆的转动惯量：32m l J = 若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 2.2 模型建立及封装1、建立以下模型：图2 模型验证原理图。