高中数学第三章不等式3.2均值不等式课件新人教B版必修

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3。

2 均值不等式预习课本P69~71,思考并完成以下问题(1)均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件?（2)在利用均值不等式求最值时,应注意哪些方面？（3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题?错误!1.均值定理如果a，b∈R＋,那么错误!≥错误!.当且仅当a＝b时，等号成立,以上结论通常称为均值不等式.对任意两个正实数a,b,数＼f(a＋b,２)称为a，b的算术平均值（平均数）,数＼ｒ(aｂ)称为ａ，b的几何平均值（平均数)．均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.［点睛］(１)“a＝b”是＼f(a＋b,2)≥ab的等号成立的条件.若a≠b，则＼f(a＋b,２）≠错误!，即错误!＞错误!。

(2）均值不等式错误!≥错误!与a2＋b2≥2ab成立的条件不同,前者a>0,b>０,后者ａ∈R,b ∈Ｒ。

２.利用均值不等式求最值(１)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值;（２）两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.错误!１．判断下列命题是否正确.(正确的打“√"，错误的打“×”）(1)对任意a,ｂ∈R,a2+b2≥2ab,ａ＋b≥2错误!均成立( )（2)若ａ≠0，则a ＋错误!≥２错误!＝４（ ）(3)若a 〉０,b 〉０,则ａb ≤错误!２( )解析：（1)错误．任意a ，ｂ∈R,有a 2+ｂ2≥2ａb 成立,当a ,b 都为正数时,不等式a ＋b ≥2错误!成立．(2)错误.只有当a >０时，根据均值不等式,才有不等式ａ+错误!≥2错误!=4成立. （３）正确.因为＼r(ab ）≤a +b2，所以ab ≤错误!2。

3.2 均值不等式（二）学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．知识点一 均值不等式及变形 思考 使用均值不等式证明：21a ＋1b≤ab (a >0，b >0)，并说明什么时候等号成立．梳理 以下是均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件． 当a >0，b >0时，有21a ＋1b________ab ________a ＋b 2________a 2＋b 22；当且仅当________时，以上三个等号同时成立．知识点二 用均值不等式求最值思考 因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2. 以上说法对吗？为什么？梳理 均值不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是________；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为________；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为________；(3)等号成立的条件是否满足．类型一 均值不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 跟踪训练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．类型二 均值不等式在实际问题中的应用命题角度1 几何问题的最值例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？反思与感悟利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？命题角度2 生活中的最优化问题例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？反思与感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．1．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－22．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值13．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m4．已知0<x <1，则f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x的最大值是________．1．用均值不等式求最值(1)利用均值不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．答案精析问题导学 知识点一思考 ∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b≥21ab >0，∴11a ＋1b≤ab2， 即21a ＋1b≤ab (a >0，b >0)， 当且仅当1a ＝1b，即a ＝b 时，等号成立．梳理 ≤ ≤ ≤ a ＝b 知识点二思考 错．显然(x 2＋1)min ＝1.x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．仅说明抛物线y ＝x 2＋1恒在直线y ＝2x 上方，仅在x＝1时有公共点．使用均值不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错． 梳理 (1)正数 (2)定值 定值 题型探究 类型一例1 解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2 x ·4x ＝4， 当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号．∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－2x 22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2 ≥2x －4x －2＋2＝6， 当且仅当x －2＝4x －2， 即x ＝4时，等号成立． ∴x ＋4x －2的最小值为6. (4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x＋9xy＋10 ≥6＋10＝16，当且仅当y x＝9x y，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，不等式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)． 由1x ＋9y＝1可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2x －y －＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3， 即x ＝4，y ＝12时不等式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 跟踪训练1 解 (1)∵x >0， ∴f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号，∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号． ∴f (x )的最大值为－1.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋x －＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2x －16x －8＋10＝18. 当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18. 类型二 命题角度1例2 解 (1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ， 则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y ) m. 由x ＋y2≥xy ，可得x ＋y ≥2100，2(x ＋y )≥40.当且仅当x ＝y ＝10时等号成立．所以这个矩形的长、宽都为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.(2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．所以这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2. 跟踪训练2 解 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003x m.又设水池总造价为y 元，根据题意，得y ＝150×4 8003＋120×(2×3x ＋2×3×4 8003x) ＝240 000＋720×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x≥240 000＋720×2 x ·1 600x＝297 600(元)，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，y 取得最小值297 600.所以水池底面为正方形且边长为40 m 时总造价最低，最低总造价为297 600元． 命题角度2例3 解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨． 由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y 元， 则y ＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．引申探究解 设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1＜x 2. 则(9x 1＋900x 1＋10 809)－(9x 2＋900x 2＋10 809)＝9(x 1－x 2)＋900(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2.∵15≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞225， ∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2＜0，即y ＝9x ＋900x＋10 809在[15，＋∞)上为增函数．∴当x ＝15，即15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少． 跟踪训练3 8 当堂训练1．C 2.D 3.C 4.2－2 5。