高中数学新课程创新教学设计案例50篇(06)函_数_的_概_念

44 数列教材分析这节课主要研究数列的有关概念，并运用概念去解决有关问题，其中，对数列概念的理解及应用，既是教学的重点，也是教学的难点．教学目标1. 理解数列及数列的通项公式等有关概念，会根据一个数列的有限项写出这个数列的一个通项公式．2. 了解递推数列，并会由递推公式写出此数列的若干项．3. 进一步培养学生观察、归纳和猜想的能力．任务分析这节内容以往很少涉及，对学生来说，既新又抽象，所以，须要依靠实例进行教学．数列与函数的关系应在函数定义的基础上加以理解．由若干项写出数列的一个通项公式是难点，但这又是锻炼学生的归纳、猜想能力的极好机会，应大胆让学生亲自归纳和猜想．教学设计一、问题情景传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们研究过1，3，6，10，…由于这些数都能够表示成三角形（如图44-1），他们就将其称为三角形数．类似地，1，4，9，16，…能够表示成正方形（如图44-2），他们就将其称为正方形数．二、建立模型1. 引导学生观察、分析数列的顺序要求，设法用自己的语言描述出数列的定义及有穷数列、无穷数列、递增数列、摆动数列等有关概念像1，4，9，16，…等按照一定规律排列的一列数，就叫作数列．［练习］下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列和摆动数列？（1）全体自然数构成数列0，1，2，3，…（2）1996～2002年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列82，93，105，119，129，130，132．（3）无穷多个3构成数列3，3，3，3，…（4）目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成数列（单位：元）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01．（5）－1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，……构成数列－1，1，－1，1，…（6）的精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1，1.4，1.41，1.414，…2，1.5，1.42，1.415，…2. 引导学生根据实例、项和第n项等概念发现数列与函数的关系如：数列1，2，0，－1，3，8，…，第1项是1，第4项是－1，……由此可以发现，对于一个给定的数列，当确定了项的位置后，这个数列的项也随之唯一确定．一般地，数列可以看作定义域为Ｎ（或其子集）的函数当自变量依次为1，2，3，…时的一系列函数值．［问题］数列既然可以看作一列函数值，那么“这个函数”可以如何表示？一定有解析式吗？你能举出一些有解析式的例子吗？根据学生的讨论，探究，得出：数列可以用列表、图像和函数解析式来表示，从而，解析式即为数列的通项公式．三、解释应用［例题］1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．（1）1，－，，－．（2）2，0，2，0．解：（1）.（2）可以写成也可以写成a n＝1＋（－1）n-1，（其中n＝1，2，…）．注：对于（2），可以引导学生得到不同的结论，从而发现，根据数列的前若干项写出的通项公式不一定唯一．2. 下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形．在下图4个三角形中，黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像．解：如图44-3，这4个三角形中的黑色三角形的个数依次为1，3，9，27，则所求数列的前4项都是3的指数幂，并且指数为序号减1．所以，这个数列的一个通项公式是a n＝3n-1．在直角坐标系中的图像见下图：3. 设数列满足试写出这个数列的前5项．解：∵a1＝1，注：像这样给出数列的方法叫逆推法．［练习］1. 数列的前5项分别是以下各数，试分别写出各数列的一个通项公式．2. 已知数列｛a n｝满足a1＝1，a n＝－1（n＞1），试写出它的前5项．3. 已知数列的通项公式为a n＝n2－10n＋10，那么这个数列从第n项起各项的数值是否逐渐增大？从第n项起各项的数值是否均为正数？四、拓展延伸教师引导学生分析思考下面的两个问题（可以在课堂上或课后完成）：1. 已知数列｛a n｝满足，问：此数列有无最大项和最小项？2. 通常用S n表示数列｛a n｝的前n项的和，即S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n．已知｛a n｝的前n项和S n＝n2－3n＋2，试求｛a n｝的通项公式．一般地，如何用S n表示a n呢？点评这篇案例通过实例阐述了数列的有关概念，注意揭示了知识发生、发展的过程，比较好地调动了学生参与探索的积极性和主动性．问题情景设计新颖，合理；问题提出得准确，恰当；总体设计完整，清晰．另外，该案例还关注了学生科学地提出和解决问题的能力的培养．美中不足的是，自“问题情景”到“建立模型”两个环节的“交接处”显得有些跳跃，步骤有些过简．45 等差数列教材分析等差数列是高中阶段研究的两种最常见的数列之一．这节内容在一些具体实例的基础上，归纳、抽象、概括出了等差数列的定义及其通项公式．教学重点是等差数例的定义及通项公式的发现过程及有关知识的应用．教学难点是理解公式的实质并加以灵活运用．教学目标1. 理解等差数列的概念，掌握其通项公式及实质并会熟练应用．2. 通过对等差数列概念及通项公式的归纳、抽象和概括，体验等差数列概念的形成过程，培养学生的抽象、概括能力．3. 培养从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想，并锻炼学生归纳、猜想、论证的能力．任务分析这节课是在实例的基础上，采用从特殊到一般，再从一般到特殊的思想，对此，学生接受起来并不太困难．对于等差数列的定义及通项公式的发现，要完全地放给学生自己讨论，探究，以便于充分调动学生的主观能动性，使其充分体验到成功的乐趣．对于通项公式，不要只看表面，更要看到公式的实质———四个量之间的一个等量关系，以便于以后运用方程思想灵活解决有关问题．教学设计一、问题情景在现实生活中，经常会遇到下面的特殊数列．1. 我们经常这样数数，从0开始，每隔5个数一次，可以得到数列：0.5，______________ ，______________ ，______________ ，______________ ，…2. 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼．如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，______________ ，______________ ，______________ ，______________ ，5.5．3. 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息．按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）．例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和组成的数列是______________ ，______________ ，______________ ，______________ ，______________ ．问题：上面的数列有什么共同特点？你能用数学语言（符号）描述这些特点吗？二、建立模型一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即ａn＋1－ａn＝d（n∈N＋）．［问题］（1）如果三个数ａ，A，ｂ成等差数列，那么A叫ａ，ｂ的等差中项．你能用ａ，ｂ表示A吗？（2）你能猜想出问题情景中的3个数列各自的通项公式吗？（3）一般地，对于等差数列｛ａn｝，你能用基本量ａ1，ｄ来表示其通项吗？解法1：归纳：ａ1＝ａ1，ａ2＝ａ1＋ｄ，ａ3＝ａ1＋2ｄ，…，ａn＝ａ1＋（ｎ－1）d．解法2：累加：ａ2－ａ1＝ｄ，ａ3－ａ2＝ｄ，…，ａn－ａn-1＝ｄ，各式相加，得ａn－ａ1＝（ｎ－1）ｄ，∴ａn＝ａ1＋（ｎ－1）ｄ．［思考］（1）这个通项公式有何特点？是关于n的几次式的形式？ｄ可以等0吗？（2）此公式中有几个量？［结论］（1）等差数列通项公式是关于n的一次式的形式，ｎ的系数为ｄ．当ｄ＝0时，该数列为常数列．（2）此公式中有四个量，即ａn，ａ1，ｎ，ｄ，知道其中任何三个可求另外一个，所以，通项公式实质是四个量之间的关系．三、解释应用［例题］1. （1）求等差数列8，5，2，…的第20项．（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？2. 某市出租车的计价标准为1.2元／千米，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，须要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客须要支付1.2元．所以，可建立一个等差数列｛ａn｝来计算车费．令ａ1＝11.2，表示4km处的车费，公差ｄ＝1.2．那么，当出租车行至14km处时，ｎ＝11，此时须要支付车费ａ11＝11.2＋（11－1）×1.2＝23.2（元）．答：须要支付车费23.2元．3. 已知数列｛ａn｝的通项公式为ａn＝pn＋ｑ，其中ｐ，ｑ为常数，且ｐ≠０，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定｛ａn｝是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看ａn－ａn-1（ｎ＞1）是不是一个与ｎ无关的常数．解：取数列｛ａn｝中的任意相邻两项ａn与ａn-1（ｎ＞1），求差，得ａn－ａn-1＝（ｐｎ＋ｑ）－［ｐ（ｎ－１）＋ｑ］＝ｐｎ＋ｑ－（ｐｎ－ｐ＋ｑ）＝ｐ．它是一个与ｎ无关的数．所以｛ａn｝是等差数列．［练习］1. 在等差数列中，（1）已知ａ5＝－1，ａ8＝2，求ａ1与ｄ．（2）已知ａ1＋ａ6＝12，ａ4＝7，求ａ9．2. 已知｛ａn｝是等差数列．（1）2ａ5＝ａ3＋ａ7是否成立？2ａ5＝ａ1＋ａ9是否成立？（2）2ａn＝ａn－2＋ａn＋２（ｎ＞2）是否成立？2ａn＝ａn－k＋ａn＋k（ｎ＞ｋ＞0）是否成立？3. 已知数列｛ａn｝，｛b n｝的通项公式分别为ａn＝ａn＋2，b n＝b n＋1（ａ，ｂ是常数），且ａ＞ｂ，那么这两个数列中的序号与数值均相等的项的个数有几个？四、拓展延伸（1）在直角坐标系中，画出通项公式为ａn＝3n－5的数列的图像，并说出这个数列的图像有什么特点．该图像与ｙ＝3ｘ－5的图像有什么关系？据此，你能得出一般性的结论吗？（2）通项公式的四个量中知道其中三个量可求另一个量，你能据此编出一些不同的题目吗？（3）对于两个次数相同的等差数列｛ａn｝和｛b n｝，｛ａn＋b n｝，｛ａn·b n｝，（ｂｎ≠0）是否为等差数列？46 等差数列的前n项和教材分析等差数列的前ｎ项和是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题．在现实生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类问题．等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要方法．教材首先通过具体的事例，探索归纳出等差数列前ｎ项和的求法，接着推广到一般情况，推导出等差数列的前ｎ项和公式．为深化对公式的理解，通过对具体例子的研究，弄清等差数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式解决问题．这节内容重点是探索掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能应用公式解决一些实际问题，难点是前ｎ项和公式推导思路的形成．教学目标1. 通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培养学生抽象概括能力．2. 理解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．3. 在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法．任务分析这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用．对公式的推导，为便于学生理解，采取从特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面引导学生发现等差数列中任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前ｎ项和的一般方法，这样自然地过渡到一般等差数列的求和问题．对等差数列的求和公式，要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系．为加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并通过对具体实例的分析，引导学生学会解决问题的方法．特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型，恰当选择公式．对于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展延伸．教学设计一、问题情景1. 在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在老师提出问题：“1＋2＋3＋…＋100＝？”时，很快地就算出了结果．他是怎么算出来的呢？他发现1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050．2. 受高斯算法启发，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和．3. 高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推广到求一般等差数列的前ｎ项和？二、建立模型1. 数列的前ｎ项和定义对于数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝的前ｎ项和，用S n表示，即S n＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn．2. 等差数列的求和公式（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？对于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：S n＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］，①依据高斯算法，将S n表示为S n＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．②由此得到等差数列的前ｎ项和公式小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法．（2）结合通项公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎样的公式？（３）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？学生讨论后，教师总结：相同点是利用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是前者还须要知道ａn，后者还须要知道ｄ．因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式．公式本身也反映了等差数列的性质：前者反映了等差数列的任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的“二次函数”．三、解释应用［例题］1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ａn｝的前ｎ项和S n．（1）ａ1＝—4，ａ8＝—18，ｎ＝8．（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32．注：恰当选用公式进行计算．2. 已知一个等差数列｛ａn｝前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？分析：将已知条件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可得到两个关于ａ1与ｄ的关系式，它们都是关于ａ1与ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1与ｄ，从而得到所求前ｎ项和的公式．解：由题意知注：（1）教师引导学生认识到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使学生能把方程思想和前ｎ项和公式相结合，再结合通项公式，对ａ1，ｄ，ｎ，ａn及S n这五个量知其三便可求其二．（2）本题的解法还有很多，教学时可鼓励学生探索其他的解法．例如，3. 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？教师引学生分析：每年“校校通”工程的经费数构成公差为５０的等差数列．问题实质是求该数列的前10项的和．解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元．所以，可以建立一个等差数列｛ａn｝，表示从2001年起各年投入的资金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50．那么，到2010年（ｎ＝10），投入的资金总额为答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．注：教师引导学生规范应用题的解题步骤．4. 已知数列｛ａn｝的前ｎ项和S n＝ｎ2＋ｎ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据由此可知，数列｛ａn｝是一个首项为，公差为2的等差数列．思考：一般地，数列｛ａn｝前ｎ项和S n＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），这时｛ａn｝是等差数列吗？为什么？［练习］1. 一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10ｋｍ／ｈ开始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果测试时间是30ｓ，测试距离是多长？2. 已知数列｛ａn｝的前ｎ项的和为S n＝ｎ2＋ｎ＋4，求这个数列的通项公式．3. 求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素个数，并求这些元素的和．四、拓展延伸1. 数列｛ａn｝前ｎ项和S n为S n＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ为常数且ｐ≠０），则｛ａ｝成等差数列的条件是什么？n2. 已知等差数列5，4，3，…的前ｎ项和为S n，求使S n最大的序号ｎ的值．分析1：等差数列的前ｎ项和公式可以写成S n＝ｎ2＋（ａ1－）ｎ，所以S n可以看成函数ｙ＝x2＋（ａ1－）ｘ（ｘ∈N*）．当ｘ＝ｎ时的函数值．另一方面，容易知道S n关于ｎ的图像是一条抛物线上的一些点．因此，我们可以利用二次函数来求ｎ的值．解：由题意知，等差数列5，4，3，…的公差为－，所以于是，当ｎ取与最接近的整数即7或8时，S n取最大值．分析2：因为公差ｄ＝－＜０，所以此数列为递减数列，如果知道从哪一项开始它后边的项全为负的，而它之前的项是正的或者是零，那么就知道前多少项的和最大了．即使然后从中求出ｎ．点评这篇案例从具体的实例出发，引出等差数列的求和问题，在设计上，设计者注意激发学生的学习兴趣和探究欲望，通过等差数列求和公式的探索过程，培养学生观察、探索、发现规律、解决问题的能力．对例题、练习的安排，这篇案例注意由浅入深，完整，全面．拓展延伸的设计有新意，有深度，符合学生的认识规律，有利于学生理解、掌握这节内容．就总体而言，这篇案例体现了新课程的基本理念，尤其关注培养学生的数学思维能力和创新能力．另外，这篇案例对于继承传统教学设计注重“双基”、关注学生的落实，同时注意着眼于学生的全面发展，有比较好的体现。

诱导公式的应用教材分析这节内容以学生在初中已经学习了锐角的三角函数值为基础，利用单位圆和三角函数的定义，导出三角函数的五组诱导公式，即有关角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通过运用这些公式，把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，从而渗透了把未知问题化归为已知问题的化归思想．这节课的重点是后四组诱导公式以及这五组公式的综合运用．把这五组公式用一句话归纳出来，并切实理解这句话中每一词语的含义，是切实掌握这五组公式的难点所在．准确把握每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并且把公式二、三与图形对应起来，是突破上述难点的关键．教学目标1. 在教师的引导下，启发学生探索发现诱导公式及其证明，培养学生勇于探求新知、善于归纳总结的能力．2. 理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题．3. 让学生体验探索后的成功喜悦，培养学生的自信心．4. 使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途径，进一步树立化归思想．任务分析诱导公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值．在五组诱导公式中，关于180°＋α与－α的诱导公式是最基本的，也是最重要的．在推导这两组公式时，应放手让学生独立探索，寻求“180°＋α与角α的终边”及“－α与角α的终边”之间的位置关系，从而完成公式的推导．此外，要把90°～360°范围内的三角函数转化为锐角的三角函数，除了利用第二、四、五个公式外，还可以利用90°＋α，270°±α与α的三角函数值之间的关系．应引导学生在掌握前五组诱导公式的基础上进一步探求新的关系式，从而使学生在头脑中形成完整的三角函数的认知结构．教学设计一、问题情境教师提出系列问题1. 在初中我们学习了求锐角的三角函数值，现在角的概念已经推广到了任意角，能否把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值呢？2. 当α＝390°时，能否求出它的正弦、余弦和正切值？3. 由2你能否得出一般性的结论？试说明理由．二、建立模型1. 分析1在教师的指导下，学生独立推出公式（一），即2. 应用1在公式的应用中让学生体会公式的作用，即把任意角的三角函数值转化为0°～360°范围内的角的三角函数值．练习：求下列各三角函数值．（1）cosπ．（2）tan405°．3. 分析2如果能够把90°～360°范围内的角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，即可实现“把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值”的目标．例如，能否将120°，240°，300°角与我们熟悉的锐角建立某种联系，进而求出其余弦值？引导学生利用三角函数的定义并借助图形，得到如下结果：cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－，cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－，cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝．4. 分析3一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）与cosα的关系如何？你能证明自己的结论吗？由学生独立完成下述推导：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）．由于角180°＋α的终边就是角α的终边的反向延长线，则角180°＋α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点O对称．由此可知，点P′的坐标是（－x，－y）．又∵单位圆的半径r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y，tanα＝，cos（180°＋α）＝－x，sin （180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝．从而得到：5. 分析4在推导公式三时，学生会遇到如下困难，即：若α为任意角，180°－α与角α的终边的位置关系不容易判断．这时，教师可引导学生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函数值转化为－α的三角函数值，然后通过寻找－α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，使原问题得到解决．由学生独立完成如下推导：如图，设任意角α的终边与单位圆相交于P（x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P′．∵这两个角的终边关于ｘ轴对称，∴点P′的坐标是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，sin（－α）＝－y，tan（－α）＝从而得到：进而推出：注：在问题的解决过程中，教师要注意让学生充分体验成功的快乐．6. 教师归纳公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作诱导公式，利用它们可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函数转化为α的三角函数．那么，在转化过程中，发生了哪些变化？这种变化是否存在着某种规律？引导学生进行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，还可编成一句口诀“函数名不变，符号看象限”．三、解释应用［例题］1. 求下列各三角函数值．通过应用，让学生体会诱导公式的作用：①把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为评注：本题中，若代入cosα·cot3α形式，就须先求得cosα的值．由于不能确定角α所在象限，解题过程将变得烦锁．以此提醒学生注意选取合理形式解决问题．四、拓展延伸教师出示问题：前面我们利用三角函数的定义及对称性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数与角α的三角函数之间的关系，这些角有一个共同点，即：均为180°的整数倍加、减α．但是，在解题过程中，还会遇到另外的情况，如前面遇到的120°角，它既可以写成180°－60°，也可以写成90°＋30°，那么90°＋α的三角函数与α的三角函数有着怎样的关系呢？学生探究：经过独立探求后，有学生可能会得到如下结果：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），角90°＋α的终边与单位圆交于点P′（x′，y′）（如图），则cosα＝x，sinα＝y，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y′．过P作PM⊥x轴，垂足为M，过P′作P′M′⊥y轴，垂足为M′，则△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y′，y＝x′．进而得到cos（90°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．对此结论和方法，教师不宜作任何评论，而应放手让学生展开辩论和交流，最后得到正确结果：由于OM与OM′，MP与M′P′仅是长度相等，而当点P在第一象限时，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x．从而得到：教师进一步引导：（1）推导上面的公式时，利用了点P在第一象限的条件．当点Ｐ不在第一象限时，是否仍有上面的结论？（通过多媒体演示角α的终边在不同象限的情景，使学生理解公式六中的角α可以为任意角）（2）推导公式六时，采用了初中的平面几何知识．是否也能像推导前五组公式那样采用对称变换的方式呢？学生探究：学生先针对α为锐角时的情况进行探索，再推广到α为任意角的情形．设角α的终边与单位圆交点为P（x，y），＋α的终边与单位圆的交点为P′（x′，y′）（如图）．由于角α的终边经过下述变换：2（－α）＋2a＝，即可得到＋α的终边．这是两次对称变换，即先作P关于直线y＝x的对称点M（y，x），再作点M关于y轴的对称点P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．由此，可进一步得到：教师归纳：公式六、七、八、九也称作诱导公式，利用它们可以把90°±α，270°±α的三角函数转化为α的三角函数．引导学生总结出：90°±α，270°±α的三角函数值等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．两套公式合起来，可统一概括为对于k·90°±α（k∈Z）的各三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的余名函数值．然后，均在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，也可编成口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．点评这篇案例从学生的实际出发，充分尊重学生的思维特点，通过创设问题情境，引发认知冲突，较好地调动了学生的积极性和主动性，符合新课程理念的精神．在教学设计中，教师以学生活动为主，注意师生互动，体现学生的自主学习．实际的课堂教学表明，在教学过程中，教师对每名同学的发言都给以充分地鼓励，即使他的解法不完美，甚至不正确．这对保护学生大胆尝试、认真思考的积极性至关重要．只有这样，才能将教学效果落实到学生个体的学习行为上，进而实现预期的教学目标．总之，这篇案例的突出特点就是，注意通过问题驱动的方式，激发学生主动探究的热情，完成五组诱导公式的推导．缺陷是，在关注五组诱导公式推导的“一气呵成”的同时，巩固、强化工作显得单薄．这是一对棘手的矛盾！。

高中数学新课程创新教学设计案例50篇3539平面向量及其应用36 向量的概念教材分析向量是近代数学中重要和基本概念之一，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是高中数学重要的知识网络的交汇点，也是数形结合思想的重要载体．这节通过对物理中的位移和力的归纳，抽象、概括出向量的概念、有向线段、向量的表示、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的准确含义．与数学中的许多概念一样，都可以追溯它的实际背景．这节的重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示等．难点是向量的概念．教学目标1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法，使学生逐步由感性思维上升为理性思维．2. 理解向量的概念，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，平行的、相等的、共线的向量．教学设计一、问题情景数学是研究数量关系和空间形式的科学．思考以下问题：1. 在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？试描述这些量的本质区别．2. 既有大小又有方向的量应如何表示？二、建立模型1. 学生分析讨论学生回答：人的身高，年龄，体重；……图形的面积，体积；物体的密度，质量；……物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移……引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念．2. 教师明晰人们在长期生产生活实践中，会遇到两种不同类型的量，如身高、体重、面积、体积等，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小，我们称之为数量；另一类，如力、速度、位移等，它们不仅有大小，而且有方向．作用于某物体上的力，它不仅有大小，而且有作用方向；物体运动的速度既有快慢之分，又有方向的区别．这类既有数量特性又有方向特性的量，就是我们要研究的向量．在数学上，往往用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量不仅可以用有向线段表示，也可用a，b，c，…表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如，向量的大小就是向量的长度（模），记作.长度为零的向量叫零向量，记作0或.长度等于1的向量叫作单位向量．方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a∥b，规定0∥a（a 为任一向量）长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，记作a＝b．任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在同一平面上，两个平行的长度相等且指向一致的有向线段可以表示同一向量．因为向量完全由它的方向和模决定．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫“共线向量”．3. 提出问题，组织学生讨论（1）时间、路程、温度、角度是向量吗？速度、加速度、物体所受重力是向量吗？（2）两个单位向量一定相等吗？（3）相等向量是平行向量吗？（4）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗？（5）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量吗？强调：大小、方向是向量的两个基本要素，当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时，两个向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共线向量之间的异同．三、解释应用［例题］如图，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为O，试分别写出与相等、平行和共线的向量，以及单位向量．解：都是单位向量．［练习］1. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，试写出图中与相等的向量．2. 如果四边形ABCD满足，那么四边形ABCD的形状如何？3. 设E，F，P，Q分别是任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？4. 在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3cm”处，试画出点P和Q相对于点O的向量．5. 选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量．（1）在与水平成120°角的方向上，一个大小为50N的拉力．（2）方向东南，8km／h的风的速度．（3）向量四、拓展延伸1. 如图，在ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，在向量中相等的向量是哪些？为什么？2. 数能进行运算，那么与数的运算类比，向量是否也能进行运算？36 向量的概念教材分析向量是近代数学中重要和基本概念之一，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是高中数学重要的知识网络的交汇点，也是数形结合思想的重要载体．这节通过对物理中的位移和力的归纳，抽象、概括出向量的概念、有向线段、向量的表示、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的准确含义．与数学中的许多概念一样，都可以追溯它的实际背景．这节的重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示等．难点是向量的概念．教学目标1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法，使学生逐步由感性思维上升为理性思维．2. 理解向量的概念，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，平行的、相等的、共线的向量．任务分析在这之前，学生接触较多的是只有大小的量（数量）．其实生活中还有一种不同于数量的量———向量．刚一开始，学生很不习惯，但可适时地结合实例，逐步让学生理解向量的两个基本要素———大小和方向，再让学生于实际问题中识别哪些是向量，哪些是数量．这样由具体到抽象，再由抽象到具体；由实践到理论，再由理论到实践，可使学生比较容易地理解．紧紧抓住向量的大小和方向，便于理解两个向量没有大小之分，只有相等与不相等、平行与共线等．要结合例、习题让学生很好地理解相等向量（向量可以平移）．这些均可为以后用向量处理几何等问题带来方便．教学设计一、问题情景数学是研究数量关系和空间形式的科学．思考以下问题：1. 在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？试描述这些量的本质区别．2. 既有大小又有方向的量应如何表示？二、建立模型1. 学生分析讨论学生回答：人的身高，年龄，体重；……图形的面积，体积；物体的密度，质量；……物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移……引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念．2. 教师明晰人们在长期生产生活实践中，会遇到两种不同类型的量，如身高、体重、面积、体积等，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小，我们称之为数量；另一类，如力、速度、位移等，它们不仅有大小，而且有方向．作用于某物体上的力，它不仅有大小，而且有作用方向；物体运动的速度既有快慢之分，又有方向的区别．这类既有数量特性又有方向特性的量，就是我们要研究的向量．在数学上，往往用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量不仅可以用有向线段表示，也可用a，b，c，…表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如，向量的大小就是向量的长度（模），记作.长度为零的向量叫零向量，记作0或.长度等于1的向量叫作单位向量．方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a∥b，规定0∥a（a 为任一向量）长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，记作a＝b．任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在同一平面上，两个平行的长度相等且指向一致的有向线段可以表示同一向量．因为向量完全由它的方向和模决定．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫“共线向量”．3. 提出问题，组织学生讨论（1）时间、路程、温度、角度是向量吗？速度、加速度、物体所受重力是向量吗？（2）两个单位向量一定相等吗？（3）相等向量是平行向量吗？（4）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗？（5）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量吗？强调：大小、方向是向量的两个基本要素，当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时，两个向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共线向量之间的异同．三、解释应用［例题］如图，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为O，试分别写出与相等、平行和共线的向量，以及单位向量．解：都是单位向量．［练习］1. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，试写出图中与相等的向量．2. 如果四边形ABCD满足，那么四边形ABCD的形状如何？3. 设E，F，P，Q分别是任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？4. 在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3cm”处，试画出点P和Q相对于点O的向量．5. 选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量．（1）在与水平成120°角的方向上，一个大小为50N的拉力．（2）方向东南，8km／h的风的速度．（3）向量四、拓展延伸1. 如图，在ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，在向量中相等的向量是哪些？为什么？2. 数能进行运算，那么与数的运算类比，向量是否也能进行运算？37 向量加法运算及其几何意义教材分析引入向量后，考查向量的运算及运算律，是数学研究中的基本的问题．教材中向量的加法运算是以位移的合成、力的合成等物理模型为背景引入的，在此基础上抽象概括了向量加法的意义，总结了向量加法的三角形法则、平行四边形法则．向量加法的运算律，教材是通过“探究”和构造图形引导学生类比数的运算律，验证向量的交换律和结合律．例2是一道实际问题，主要是要让学生体会向量加法的实际意义．这节课的重点是向量加法运算（三角形法则、平行四边形法则），向量的运算律．难点是对向量加法意义的理解和认识．教学目标1. 通过物理学中的位移合成、力的合成等实例，认识理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程．2. 理解和掌握向量加法的运算，熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量．3. 理解和掌握向量加法的运算律，能熟练地运用它们进行向量运算．4. 通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生的探究能力，使学生数学地思考问题，数学地解决问题．任务分析这节的主要内容是向量加法的运算和向量加法的应用．对向量加法运算，学生可能不明白向量可以相加的道理，产生疑惑：向量既有大小、又有方向，难道可以相加吗？为此，在案例设计中，首先回顾物理学中位移、力的合成，让学生体验向量加法的实际含义，明确向量的加法就是物理学中的矢量合成．在此基础上，归纳总结向量加法的三角形法则和平行四边形法则．向量加法的运算律发现并不困难，主要任务是让学生对向量进行探究，构造图形进行验证．关于例2的教学，主要是帮助学生正确理解题意，把问题转化为向量加法运算．教学设计一、问题情境1. 如图，某物体从A点经B点到C点，两次位移，的结果，与A 点直接到C 点的位移结果相同．2. 如图，表示橡皮筋在两个力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同．位移与合成为等效，力F与分力F1，F2的共同作用等效，这时我们可以认为：，F分别是位移与、分力F1与F2某种运算的结果．数的加法启发我们，位移、力的合成可看作数学上的向量加法．2. 在师生交流讨论基础上，归纳并抽象概括出向量加法的定义已知非零向量a，b（如图37-3），在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.求两个向量和的运算，叫作向量的加法．这种求向量和的作图法则，称为向量求和的三角形法则，我们规定0＋a＝a＋0＝ａ．3. 提出问题，组织学生讨论（1）根据力的合成的平行四边形法则，你能定义两个向量的和吗？（2）当a与b平行时，如何作出a＋b？强调：向量的和仍是一个向量．用三角形法则求和时，作图要求两向量首尾相连；而用平行四边形法则求和时，作图要求两向量的起点平移在一起．（3）实数的运算和运算律紧密联系，类似地，向量的加法是否也有运算律呢？首先，让学生回忆实数加法运算律，类比向量加法运算律．向量加法的交换律由平行四边形法则容易验证．向量加法的结合律的验证则比较困难，教学时，应放手让学生进行充分探索．最后通过下面的两个图形验证加法结合律．三、解释应用［例题］1. 已知非零向量a，b，就（1）a与b不共线，（2）a与b共线，分别求作向量a＋b．注：要求写出作法，规范解题格式．2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输．一艘轮船从长江南岸Ａ点出发，以5km／h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km／h．（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度．（2）求船实际航行的速度的大小与方向（速度的大小保留2个有效数字，方向用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．［练习］1. 如图，已知a，b，画图表示a＋b．2. 已知两个力F1，F2的夹角是直角，合力F与F1的夹角是60°，｜F｜＝10N，求F1和F2的大小．3. 在△ABC中，求证.4. 在n边形A1A2…A n中，计算四、拓展延伸1. 对于任意向量a，b，探索｜a＋b｜与｜a｜＋｜b｜的大小，并指出取“＝”号的条件．2. 在求作两个向量和时，你可能选择不同的始点求和．你有没有想过，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？你可能认为，这是“显然”对的，你能证明这个问题吗？38 平面向量的基本定理教材分析平面向量的基本定理是说明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，它是平面向量坐标表示的基础，也是平面图形中任一向量都可由某两个不共线向量量化的依据．这节内容以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上的分解，说明了该定理的本质．教学时无须严格证明该定理，只要让学生弄清定理的条件和结论，会用该定理就可以了．向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫“向量的初等运算”．由平面向量的基本定理，知任一平面内的直线型图形都可表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时能很容易证明几何命题．因此，向量是数学中证明几何命题的有效工具之一．为降低难度，目前要求用向量表示几何关系，而不要求用向量证明几何命题．平面向量的基本定理的理解是学习的难点，而应用基本向量表示平面内的某一向量是学习的重点．教学目标1. 了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面图形中任一向量，为向量坐标化打下基础．2. 通过对平面向量基本定理的归纳、抽象和概括，体验数学定理的产生、形成过程，提升学生的抽象和概括能力．3. 通过对平面向量基本定理的运用，增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具之一．任务分析这节课是在学生熟悉向量加、减、数乘线性运算的基础上展开的，为了使学生理解和掌握好平面向量的基本定理，教学时，常应用构造式的作图方法，同时采用师生共同操作，增强直观认识，归纳和总结出任意向量与基本向量的线性组合关系，并且通过适当的练习，使学生进一步认识和理解这一基本定理．教学设计一、问题情景1. 在ABCD中，（1）已知＝ａ，＝ｂ，试用ｂ，ｂ来表示，，；（2）已知＝ｃ，＝ｄ，试用ｃ，ｄ表示向量，.2. 给定平面内任意两个不共线向量e1，e2，试作出向量3e1＋2e2，e1－2e2．3. 平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示？二、建立模型1. 学生回答（1）由向量加法，知＝ａ＋ｂ；由向量减法，知＝ａ－ｂ，＝ａ＋0·ｂ．（2）设AC，BD交于点O，由向量加法，知2. 师生总结以ａ，ｂ为基本向量，可以表示两对角线的相应向量，还可表示一边对应的向量，估计任一向量都可以写成ａ·ｂ的线性表达．任意改成另两个不共线向量ｃ，ｄ作基本向量，也可表示其他向量．3. 教师启发通过了e1＋2e2，e1－2e2的作法，让学生感悟通过改变λ1，λ2的值，可以作出许多向量ａ＝λ1e1＋λ2e2．在此基础上，可自然形成一个更理性的认识———平面向量的基本定理．4. 教师明晰如图，设e1，e2是平面内两个不共线的向量，ａ是这一平面内的任一向量．在平面内任取一点O，作＝e1，＝e2，＝ａ；过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于N．这时有且只有实数λ1，λ2，使＝λ1e1，＝λ2e2．由于＝＋，所以ａ＝λ1e1＋λ2e2，也就是说任一向量ａ都可表示成λ1e1＋λ2e2的形式，从而有平面向量的基本定理如果e1，e2是一平面内的两个不平行向量，那么该平面内的任一向量ａ，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使ａ＝λ1e1＋λ2e2．我们把不共线向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，有序实数对（λ1，λ2）叫ａ在基底e1，e2下的坐标．三、解释应用［例题］1. 已知向量e1，e2（如图38-3），求作向量－2.5e1＋3e2．注：可按加法或减法运算进行．2. 如图38-4，，不共线，＝t（t∈R），用，表示．解：∵［练习］1. 已知：不共线向量e1，e2，求作向量ａ＝e1－2e2．2. 已知：不共线向量e1，e2，并且e1－3e2＝λ1e1＋λ2e2，求实数λ1，λ2．3. 已知：基底｛a，b｝，求实数ｘ，ｙ满足向量等式：3xa＋（10－y）b＝（4y＋7）a ＋2xb．4. 在△ABC中，＝ａ，＝ｂ，点G是△ABC的重心，试用ａ，ｂ表示．5. 已知：ABCDEF为正六边形，＝ａ，＝ｂ，试用a，b表示向量．6. 已知：M是平行四边形ABCD的中心，求证：对于平面上任一点O，都有.四、拓展延伸39 平面向量的正交分解与坐标运算教材分析这节课通过建立直角坐标系，结合平面向量基本定理，给出了向量的另一种表示———坐标表示，这样使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应关系，然后导出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为利用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，更突出也更简化了向量的应用．所以，一定要让学生重点掌握向量的坐标运算，以利于掌握坐标形式下的向量的一些关系式及运用．教学难点是让学生建立起平面向量的坐标概念．教学目标1. 理解平面向量坐标概念，领会它的引入过程，进一步体会一一对应的思想意识．2. 理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，并能应用坐标运算解决一些问题．3. 增强数形结合意识，领会“没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限”的说法．任务分析1. 有了平面向量的基本定理，就不难有平面向量的正交分解，有了坐标系下点与坐标的一一对应关系，也就容易有在直角坐标平面内的向量与坐标的一一对应．2. 可以从两个角度来理解平面向量的坐标表示：（1）设i，j为x，y轴方向上的单位向量，则任一向量ａ可唯一地表示为xi＋yj，即唯一对应数对（x，y），所以可以说a＝（x，y）．（2）任一向量ａ可平移成，一一对应点A（x，y），从而可说a ＝（x，y）．3. 在接触过xOy平面内一点到它的坐标的这种形、数过渡的基础上，容易接受由向量到坐标的这种代数化的过渡．教学设计一、问题情景1. 光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F1和木块产生的垂直于斜面的压力F2（如图）．一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．2. 在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？二、建立模型1. 如图，在直角坐标系中，先分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面上一个向量a，由平面向量的基本定理，知有且只有一对实数x，y使ａ＝xi＋yj，这样平面内任一向量a 都可由x，y唯一确定，（x，y）叫a的坐标，记作a＝（x，y）．显然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）．若把ａ的起点平移到坐标原点，即ａ＝，则点A的位置由ａ唯一确定．设＝xi＋yj，则的坐标就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x，y）也就是的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数（即坐标）唯一表示．2. 学生思考讨论已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b，λa的坐标吗？∵ａ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），∴ａ＝x1ｉ＋y1ｊ，b＝x2ｉ＋y2ｊ．∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j，∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2，y1＋y2）．同理ａ＋ｂ＝（x1－x2，y1－y2），λａ＝（λx1，λy1）．上述结论可表述为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．三、解释应用［例题］1. 已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB→的坐标．解：如图39-3，AB→＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）．总结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．思考：能在图中标出坐标为（x2－x1，y2－y1）的P点吗？平移到，则P（x2－x1，y2－y1）．2. 已知A（－2，1），B（－1，3），C（3，4）．（1）求－的坐标．（2）求ABCD中D点的坐标．放开思考，展开讨论，看学生们有哪些不同方法．（1）解法1：∵＝（1，2），＝（5，3），∴－＝（1，2）－（5，3）＝（－4，－1）．解法2：－＝＝（－4，－1）．（2）解法1：设D（x，y），＝，即（1，2）＝（3－x，4－y），∴x＝y＝2，D（2，2）．思考：你能比较出对（2）的两种解法在思想方法上的异同点吗？（解法1是间接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想）3. 在直角坐标系xOy中，已知点A（3，2），点B（－2，4），求向量＋的方向和长度．解：由已知，得＝（3，2），＝（－2，4）．设＝＋，则＝＋＝（3，2）＋（－2，4）＝（1，6）．由两点的距离公式，得设相对x轴正向的转角为α，则查表或使用计算器，得α＝80°32′．答：向量的方向偏离ｘ轴正向约为80°32′，长度等于，向量的方向偏离x 轴正向约为116°34′，长度等于2．［练习］。

一、课题（阐述说明本课名称）二、教学目的1. 知识与技能：使学生掌握本节课所学的数学概念、性质、法则、公式等基本知识；培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

2. 过程与方法：引导学生通过观察、实验、分析、归纳等数学活动，形成数学思维；培养学生独立思考、合作交流的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养；让学生体会数学在生活中的应用，树立正确的人生观、价值观。

三、教学重点与难点1. 教学重点：本节课所学的数学概念、性质、法则、公式等基本知识。

2. 教学难点：运用所学知识解决实际问题，形成数学思维。

四、教学过程1. 导入新课（1）回顾旧知识，激发学生学习兴趣。

（2）提出本节课的学习目标。

2. 新课讲解（1）介绍本节课所学的数学概念、性质、法则、公式等基本知识。

（2）通过实例、图示等方式，帮助学生理解所学知识。

（3）引导学生进行小组讨论，共同探讨问题。

3. 练习巩固（1）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识。

（2）教师巡视指导，解答学生疑问。

4. 拓展延伸（1）结合实际生活，引导学生运用所学知识解决问题。

（2）设计一些富有挑战性的问题，激发学生学习兴趣。

5. 总结反思（1）教师对本节课所学内容进行总结。

（2）引导学生反思自己的学习过程，总结经验教训。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生参与课堂活动的积极性，评价学生的合作交流能力。

2. 作业完成情况：检查学生作业完成情况，了解学生对所学知识的掌握程度。

3. 课后反馈：收集学生对本节课的意见和建议，不断改进教学方法。

六、教学资源1. 教学课件：制作与本节课内容相关的课件，便于教师讲解和学生理解。

2. 实物教具：根据教学内容，准备一些实物教具，帮助学生直观理解所学知识。

3. 网络资源：利用网络资源，拓展学生的视野，丰富教学内容。

4. 学生反馈：关注学生对教学内容的反馈，及时调整教学策略。

七、教学反思1. 教学效果：对本节课的教学效果进行反思，总结成功经验。

37 向量加法运算及其几何意义教材分析引入向量后，考查向量的运算及运算律，是数学研究中的基本的问题．教材中向量的加法运算是以位移的合成、力的合成等物理模型为背景引入的，在此基础上抽象概括了向量加法的意义，总结了向量加法的三角形法则、平行四边形法则．向量加法的运算律，教材是通过“探究”和构造图形引导学生类比数的运算律，验证向量的交换律和结合律．例2是一道实际问题，主要是要让学生体会向量加法的实际意义．这节课的重点是向量加法运算（三角形法则、平行四边形法则），向量的运算律．难点是对向量加法意义的理解和认识．教学目标1. 通过物理学中的位移合成、力的合成等实例，认识理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程．2. 理解和掌握向量加法的运算，熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量．3. 理解和掌握向量加法的运算律，能熟练地运用它们进行向量运算．4. 通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生的探究能力，使学生数学地思考问题，数学地解决问题．任务分析这节的主要内容是向量加法的运算和向量加法的应用．对向量加法运算，学生可能不明白向量可以相加的道理，产生疑惑：向量既有大小、又有方向，难道可以相加吗？为此，在案例设计中，首先回顾物理学中位移、力的合成，让学生体验向量加法的实际含义，明确向量的加法就是物理学中的矢量合成．在此基础上，归纳总结向量加法的三角形法则和平行四边形法则．向量加法的运算律发现并不困难，主要任务是让学生对向量进行探究，构造图形进行验证．关于例2的教学，主要是帮助学生正确理解题意，把问题转化为向量加法运算．教学设计一、问题情境1. 如图，某物体从A点经B点到C点，两次位移，的结果，与A点直接到C 点的位移结果相同．2. 如图，表示橡皮筋在两个力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同．位移与合成为等效，力F与分力F1，F2的共同作用等效，这时我们可以认为：，F分别是位移与、分力F1与F2某种运算的结果．数的加法启发我们，位移、力的合成可看作数学上的向量加法．2. 在师生交流讨论基础上，归纳并抽象概括出向量加法的定义已知非零向量a，b（如图37-3），在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.求两个向量和的运算，叫作向量的加法．这种求向量和的作图法则，称为向量求和的三角形法则，我们规定0＋a＝a＋0＝ａ．3. 提出问题，组织学生讨论（1）根据力的合成的平行四边形法则，你能定义两个向量的和吗？（2）当a与b平行时，如何作出a＋b？强调：向量的和仍是一个向量．用三角形法则求和时，作图要求两向量首尾相连；而用平行四边形法则求和时，作图要求两向量的起点平移在一起．（3）实数的运算和运算律紧密联系，类似地，向量的加法是否也有运算律呢？首先，让学生回忆实数加法运算律，类比向量加法运算律．向量加法的交换律由平行四边形法则容易验证．向量加法的结合律的验证则比较困难，教学时，应放手让学生进行充分探索．最后通过下面的两个图形验证加法结合律．三、解释应用［例题］1. 已知非零向量a，b，就（1）a与b不共线，（2）a与b共线，分别求作向量a＋b．注：要求写出作法，规范解题格式．2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输．一艘轮船从长江南岸Ａ点出发，以5km／h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km／h．（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度．（2）求船实际航行的速度的大小与方向（速度的大小保留2个有效数字，方向用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．［练习］1. 如图，已知a，b，画图表示a＋b．2. 已知两个力F1，F2的夹角是直角，合力F与F1的夹角是60°，｜F｜＝10N，求F1和F2的大小．3. 在△ABC中，求证.4. 在n边形A1A2…A n中，计算四、拓展延伸1. 对于任意向量a，b，探索｜a＋b｜与｜a｜＋｜b｜的大小，并指出取“＝”号的条件．2. 在求作两个向量和时，你可能选择不同的始点求和．你有没有想过，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？你可能认为，这是“显然”对的，你能证明这个问题吗？点评向量的加法运算是向量的基本运算．为了正确认识理解向量加法的运算，案例首先回顾了的物理学中的位移、力的合成．在此基础上，使学生认识到：物理学中的矢量合成可抽象为数学中的向量加法运算，进而总结出向量加法的三角形法则，平行四边形法则，这样设计自然，流畅，全面．向量加法的运算律的教学，是引导学生通过类比方法发现的，并让学生自主探索，构造图形验证，这样不仅体现了学生的主体地位，同时还能培养学生科学的探究能力．例题与练习、“拓展延伸”的设计，有层次，有力度，深入浅出，能较好地培养学生的创新能力．这是一篇优秀的案例设计．。

高中数学新课程创新教学设计案例50篇-1-集合的概念和表示方法第一篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇-1-集合的概念和表示方法集合的概念和表示方法教材分析集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合．教学目标1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法．2.初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质．3.掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力．任务分析这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握．教学设计一、问题情境1.在初中，我们学过哪些集合？2.在初中，我们用集合描述过什么？学生讨论得出：在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？学生讨论得出：“全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，……4.请写出“小于10”的所有自然数．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合．5.什么是集合？二、建立模型1.集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义）（1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．（2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素．（3）集合中的元素与集合的关系：a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A；a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作aA．例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B． 2.集合中的元素具备的性质（1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的．（2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的．例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b 是不同的两个元素．（3）无序性：集合中的元素无顺序．例：集合｛1，2｝与集合｛2，1｝表示同一集合．3.常用的数集及其记法全体非负整数的集合简称非负整数集（或自然数集），记作N．非负整数集内排除0的集合简称正整数集，记作N*或N+；全体整数的集合简称整数集，记作Z；全体有理数的集合简称有理数集，记作Q；全体实数的集合简称实数集，记作R． 4.集合的表示方法［问题］如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解？（1）列举法列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法．例：x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛1，2｝．（2）描述法描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛x｜x2－3x＋2＝0｝．②不等式x－3＞2的解集可表示为｛x｜x－3＞2｝．③Venn 图法例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示为（1，2）． 5.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，A＝｛1，2｝．（2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，N．（3）空集：不含任何元素的集合，记作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝．注：对于无限集，不宜采用列举法．三、解释应用［例题］1.用适当的方法表示下列集合．（1）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数．（2）平面内到一个定点O的距离等于定长l（l ＞0）的所有点P．（3）在平面a内，线段AB的垂直平分线．（4）不等式2x－8＜2的解集． 2.用不同的方法表示下列集合．（1）｛2，4，6，8｝．（2）｛x｜x2＋x－1＝0｝．（3）｛x∈N｜3＜x＜7｝．3.已知A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．试用列举法表示集合A．（A ＝｛0，3，5｝）4.用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合．［练习］1.用适当的方法表示下列集合．（1）构成英语单词mathematics（数字）的全体字母．（2）在自然集内，小于1000的奇数构成的集合．（3）矩形构成的集合．2.用描述法表示下列集合．（1）｛3，9，27，81，…｝．（2）四、拓展延伸把下列集合“翻译”成数学文字语言来叙述．（1）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（2）｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝．（3）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（4）｛x｜y＝x2＋1，y∈N*｝．点评这篇案例注重新、旧知识的联系与过渡，以旧引新，从学生的原有知识、经验出发，创设问题情境；从实例引出集合的概念，再结合实例让学生进一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重实例的使用是这篇案例的突出特点．这样做，通俗易懂，使学生便于学习和掌握．例题、练习由浅入深，对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力大有裨益．拓展延伸注重数学语言的转化和训练，注重区分形似而质异的数学问题，加强了学生对数学概念的理解和认识．第二篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇 36 向量的概念向量的概念教材分析向量是近代数学中重要和基本概念之一，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是高中数学重要的知识网络的交汇点，也是数形结合思想的重要载体．这节通过对物理中的位移和力的归纳，抽象、概括出向量的概念、有向线段、向量的表示、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的准确含义．与数学中的许多概念一样，都可以追溯它的实际背景．这节的重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示等．难点是向量的概念．教学目标1.通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法，使学生逐步由感性思维上升为理性思维．2.理解向量的概念，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，平行的、相等的、共线的向量．任务分析在这之前，学生接触较多的是只有大小的量（数量）．其实生活中还有一种不同于数量的量———向量．刚一开始，学生很不习惯，但可适时地结合实例，逐步让学生理解向量的两个基本要素———大小和方向，再让学生于实际问题中识别哪些是向量，哪些是数量．这样由具体到抽象，再由抽象到具体；由实践到理论，再由理论到实践，可使学生比较容易地理解．紧紧抓住向量的大小和方向，便于理解两个向量没有大小之分，只有相等与不相等、平行与共线等．要结合例、习题让学生很好地理解相等向量（向量可以平移）．这些均可为以后用向量处理几何等问题带来方便．教学设计一、问题情景数学是研究数量关系和空间形式的科学．思考以下问题：1.在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？试描述这些量的本质区别．2.既有大小又有方向的量应如何表示？二、建立模型 1.学生分析讨论学生回答：人的身高，年龄，体重；……图形的面积，体积；物体的密度，质量；……物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移……引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念． 2.教师明晰人们在长期生产生活实践中，会遇到两种不同类型的量，如身高、体重、面积、体积等，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小，我们称之为数量；另一类，如力、速度、位移等，它们不仅有大小，而且有方向．作用于某物体上的力，它不仅有大小，而且有作用方向；物体运动的速度既有快慢之分，又有方向的区别．这类既有数量特性又有方向特性的量，就是我们要研究的向量．在数学上，往往用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量不仅可以用有向线段表示，也可用a，b，c，…表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如就是向量的长度（模），记作，向量的大小.长度等于.长度为零的向量叫零向量，记作0或1的向量叫作单位向量．方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a∥b，规定0∥a（a 为任一向量）长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，记作a＝b．任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在同一平面上，两个平行的长度相等且指向一致的有向线段可以表示同一向量．因为向量完全由它的方向和模决定．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫“共线向量”． 3.提出问题，组织学生讨论（1）时间、路程、温度、角度是向量吗？速度、加速度、物体所受重力是向量吗？（2）两个单位向量一定相等吗？（3）相等向量是平行向量吗？（4）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗？（5）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量吗？强调：大小、方向是向量的两个基本要素，当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时，两个向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共线向量之间的异同．三、解释应用［例题］如图，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为O，试分别写出与线的向量，以及单位向量．相等、平行和共解：都是单位向量．［练习］1.如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，试写出图中与相等的向量．2.如果四边形ABCD满足，那么四边形ABCD的形状如何？3.设E，F，P，Q分别是任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？4.在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3cm”处，试画出点P和Q相对于点O的向量．5.选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量．（1）在与水平成120°角的方向上，一个大小为50N的拉力．（2）方向东南，8km／h的风的速度．（3）向量四、拓展延伸1.如图，在ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，在向量中相等的向量是哪些？为什么？2.数能进行运算，那么与数的运算类比，向量是否也能进行运算？案例点评这篇案例设计完整，思路清晰．该案例首先通过实例阐述了向量产生的背景，然后归纳、抽象了向量、平行向量、相等向量等概念，充分体现了数学教学的本质是教学思维过程的教学，符合新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整，全面．“拓展延伸”的设计有新意，有深度．为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．第三篇：第二部分高中数学新课程创新教学设计案例第二部分高中数学新课程创新教学设计案例正弦函数的性质教材分析这篇案例的内容是在学生已经掌握正弦函数图像的基础上，通过观察、归纳和总结，得出正弦函数的五个重要性质，即正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．教学重点是正弦函数的图像特征及五个重要性质，难点是周期函数及最小正周期的意义．由于周期函数的概念比较抽象，因此，在引入定义之前，应注意通过具体实例让学生充分体会这种“周而复始”的现象，体会新概念的形成过程．教学目标1.引导学生通过观察，分析y＝sinx的图像，进而归纳、总结出正弦函数的图像特征，并抽象出函数性质，培养学生观察、分析图像的能力和数形结合的能力．2.理解和掌握正弦函数的五个重要性质，能够解决与正弦函数有关的函数的值域、最小正周期及单调区间等简单问题．3.使学生进一步了解从特殊到一般、从一般到特殊的思维方法，体会分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用．4.使学生初步体会事物周期变化的一些奥秘，进一步提高学生对数学的学习兴趣．任务分析这节内容是在学生已经掌握了正弦函数图像特征的基础上，运用数学的符号语言把图像特征进一步“量化”，从而得出正弦函数的五个性质．一般来说，从正弦曲线的形状，可以很清晰地看出正弦函数的定义域、值域、最值、符号、周期性、奇偶性、单调性等，但对于周期性及单调区间的表述，学生可能会有一定的困难．因此，在引入周期函数的定义之前，要让学生充分观察图像，必要时可把物理中的弹簧振动的实验再做一做，让学生体会“周而复始”的现象，体会概念的形成过程．此外，对于周期函数，还应强调以下几点： 1.x应是“定义域内的每一个值”．2.对于某些周期函数，在它所有的周期中，不一定存在一个最小的正周期，即某些周期函数没有最小正周期．3.对于一个周期函数f （x），如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期．教学设计一、问题情境1.教师提出问题，引导学生总结我们学习过正弦函数图像的画法，并通过观察图像，得到了正弦曲线的一些特征，那么这些特征体现了正弦函数怎样的性质呢？用投影胶片展示正弦曲线，引导学生探索正弦函数的性质：注：由此学生得出正弦函数的如下性质：（1）定义域为R．（2）值域为［－1，1］，当且仅当x＝2kπ＋当且仅当x＝2kπ－（k∈Z）时，正弦函数取得最大值1，（k∈Z）时，正弦函数取得最小值－1．注：在此处，教师应提醒学生注意前面的“2kπ”，使学生初步感受一下正弦函数的“周而复始”性．2.教师进一步提出问题从正弦曲线我们注意到，函数y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…时的图像与x∈［0，2π］的形状完全一样，只是位置不同，这种特征体现了正弦函数的什么性质呢？（设计目的：引导学生从物理中弹簧的振动，即小球在平衡位置的往复运动，体会事物的“周期性”变化）（2）数学中的这种周期性变化能否用一个数学式子来体现？二、建立模型 1.引导学生探究2.教师明晰通过学生的讨论，归纳出周期函数的定义：一般地，对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使定义域内的每一个x值，都满足f（x±T）＝f（x），那么函数f（x）就叫作周期函数，非零常数Ｔ叫作这个函数的周期．说明：若学生归纳和总结出周期函数的如下定义，也应给以充分的肯定．如果某函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值，函数值就重复出现，那么这个函数就叫作周期函数．给出最小正周期的概念：对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作它的最小正周期．教科书中今后涉及的周期，如果不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期．3.深化定义的内涵（1）观察等式sin（y＝sinx的周期？为什么？＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能说是正弦函数（2）函数f （x）＝c是周期函数吗？它有没有最小正周期？3.归纳正弦函数的性质通过观察图像，我们得到了正弦函数的定义域、值域、周期性等性质，除此之外，正弦函数还有哪些性质呢？教师引导学生归纳出以下两条性质：奇偶性：由诱导公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称．单调性：观察正弦曲线可以看出，当x由－由－1增大到1；当x由增大到增大到时，曲线逐渐上升，sinx的值时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从－1＋2kπ］（k∈Z）上都是减函数，其值从1减正弦函数在每一个闭区间［－增大到1；在每一个闭区间［小到－1．三、解释应用 1.例题分析＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函数取得最大值和最小值的x的集合，并说出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．（2）y＝sinx＋2．（3）y＝asinx＋b．（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．解：（1）当2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）时，函数y＝sin2x取得最（k∈Z）时，函数y＝sin2x大值，最大值是1；当2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．（k∈Z），即x＝kπ－∴使函数取得最大值的x的集合为｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合为｛x｜x＝kπ－（k∈Z）｝，最大值是1；使函数（k∈Z）｝，最小值是－1．（2）由于函数y＝sinx与函数y＝sinx＋2同时取得最大值和最小值．因此，当x＝2kπ＋（k∈Z）时，函数y＝sinx＋2取得最大值，最大值为3；当x＝2kπ－（k∈Z）时，函数y＝sinx＋2取得最小值，最小值为1．∴使函数取得最大值的x的集合为｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x 的集合为｛x｜x＝2kπ－（k∈Z）｝，最大值为3；使函数（k∈Z）｝，最小值为1．（3）当a＞0时，使函数取得最大值时的x的集合为｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函数取得最小值时的x的集合为｛x｜x＝2kπ－（k∈Z）｝，ymax（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b．当a＜0时，使函数取得最大值时的ｘ的集合为｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函数取得最小值时的x的集合为｛x｜x＝2kπ＋（k∈Z）｝，ymax＝－（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝设t＝sinx，则y＝二次函数的最大值和最小值问题了．，且t∈［－1，1］，于是问题就变成求闭区间上当t＝1，即sinx＝1时，ymax＝1，取最大值时x的集合为｛x｜x＝2kπ＋（k∈Z）｝；当t＝－1，即sinx＝－1时，ymin＝－9，取最小值时x的集合为｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［练习］求下列函数的最值，以及使函数取得值时的自变量ｘ的集合．（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函数的周期．sinx＋．（1）y＝sin2x．（2）y＝．解：（1）要求函数y＝sin2x的周期，只须寻求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正数T即可．∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正数2T的最小值是2π，∴当2T＝2π时，T＝π．因此，函数y＝sin2x的周期为π．（2）要求函数y＝的周期，只须寻求使等式2.教师启发，诱导学生自主反思（1）从上面的例题分析中，你是否有所发现？（这类函数的周期好像只与x的系数有关）（2）一般地，函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？［要求函数y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只须寻求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx ＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正数T即可．∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正数ωT，最小值是2π，∴当ωT＝2π时，T＝.因此，函数y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期为3.巩固［练习］求下列函数的周期．4.进一步强化例3 不求值，指出下列各式大于零还是小于零．例4 确定下列函数的单调区间．（1）y＝1－sin3x．（2）y＝log2sin3x．四、拓展延伸1.若常数T为f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？2.你能证明正弦函数的最小正周期是2π吗？3.某港口的水深y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，下面是该港口的水深表：表35-1经过长时间的观察，描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y＝Asinωt＋B的图像．（1）试根据数据表和曲线，求出函数y＝Asinωt＋B的表达式．（2）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港用的时间）？第四篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇 31 角的概念的推广角的概念的推广教材分析这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键．教学目标1.通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义．2.理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法．3.通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系．任务分析这节课概念很多，应尽可能让学生通过生活中的例子（如钟表上指针的转动、体操运动员的转体、自行车轮子上的某点的运动等）了解引入任意角的必要性及实际意义，变抽象为具体．另外，可借助于多媒体进行动态演示，加深学生对知识的理解和掌握．教学设计一、问题情境［演示］ 1.观览车的运动．2.体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作．3.钟表秒针的转动．4.自行车轮子的滚动．［问题］ 1.如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角？2.在运动员“转体一周半动作”中，运动员是按什么方向旋转的，转了多大角？3.钟表上的秒针（当时间过了1.5min时）是按什么方向转动的，转动了多大角？4.当自行车的轮子转了两周时，自行车轮子上的某一点，转了多大角？显然，这些角超出了我们已有的认识范围．本节课将在已掌握的0°～360°角的范围的基础上，把角的概念加以推广，为进一步研究三角函数作好准备．二、建立模型1.正角、负角、零角的概念在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定，按逆时针旋转而成的角叫作正角；按顺时针方向旋转而成的角叫作负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫作零角．2.象限角当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与ｘ轴正半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．3.终边相同的角在坐标系中作出390°，－330°角的终边，不难发现，它们都与30°角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0°～360°角与k个（k∈Z）周角的和，即390°＝30°＋360°，（k＝1）；－330°＝30°－360°，（k＝－1）．设S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，则390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此时k＝0）．容易看出，所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是S中的元素；反过来，集合S中的任一元素均与30°角终边相同．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与α终边相同的角，都可以表求成角α与整数个周角的和．三、解释应用［例题］1.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．（1）－150°．（2）650°．（3）－950°5′．2.分别写出与下列角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素写出来．（1）60°．（2）－21°．（3）363°14′． 3.写出终边在y轴上的角的集合．解：在0°～360°范围内，终边在ｙ轴上的角有两个，即90°，270°．因此，与这两个角终边相同的角构成的集合为S1＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有与270°角终边相同的角构成的集合为S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝．于是，终边在y轴上的角的集合为S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z｝．注：会正确使用集合的表示方法和符号语言．［练习］1.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．（1）45°．（2）－30°．（3）420°．（4）－225°．2.辨析概念．（分别用集合表示出来）（1）第一象限角．（2）锐角．（3）小于90°的角．（4）0°～90°的角．3.一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为．4.终边在x轴上的角的集合为；终边在第一、三象限的角的平分线上的角集合为．四、拓展延伸1.若角α与β终边重合，则α与β的关系是；若角α与β的终边互为反向延长线，则角α与β的关系是．2.如果α在第二象限时，那么2α，是第几象限角？注：（1）不能忽略2α的终边可能在坐标轴上的情况．（2）研究在哪个象限的方法：讨论k的奇偶性．（如果是呢？）点评这篇案例运用多媒体展示了生活中常见的实例，极易激发学生学习的兴趣和热情．在对知识的探讨过程中，特别注意了知识的形成过程，重点突出．例题的设置比较典型，难易度适中．练习题注重基础，但也有一定的梯度，利于培养学生灵活处理问题的能力，并为学生学。

30 几何概型教材分析和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型．教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整．这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．教学目标1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平．任务分析在这节内容中，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，因此，教学重点是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动．有条件的学校可以让学生用一种统计软件统计模拟的结果．教学设计一、问题情境如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜．问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．二、建立模型1. 提出问题首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母B 所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中B 与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）．题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型．注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的．（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）．2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：3. 再次提出问题，并组织学生讨论（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率．通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法．三、解释应用［例题］1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．分析：我们有两种方法计算事件的概率．（1）利用几何概型的公式．（2）利用随机模拟的方法．解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A 发生，所以解法2：设X，Y是0～1之间的均匀随机数．X＋6.5表示送报人送到报纸的时间，Y ＋7表示父亲离开家去工作的时间．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到P（A）．教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率．2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即假设正方形的边长为2，则由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以这样就得到了π的近似值．另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：（1）产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；（2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2；（3）数出落在圆内a2＋b2＜1的豆子数N1，计算（N代表落在正方形中的豆子数）．可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高．本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积．［练习］1. 如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域．2. 利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y＝1和y＝x2围成的部分）的面积．3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积．四、拓展延伸1. “概率为数…0‟的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件”，这句话从几何概型的角度还能成立吗？2. 你能说一说古典概型和几何概型的区别与联系吗？3. 你能说说频率和概率的关系吗？点评这篇案例设计完整，整体上按知识难易逐渐深入，同时充分调动了学生的积极性，以学生之间互动为主，教师引导为辅．例题既有深化所学知识的，又有应用所学知识的．“拓展延伸”既培养了学生的思维能力，又有利于学生从总体上把握这节课所学的知识．。

40 平面向量的数量积教材分析两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法，它区别于数的乘法．这篇案例从学生熟知的功的概念出发，引出平面向量数量积的概念和性质及其几何意义，介绍向量数量积的运算律及坐标表示．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系在一起，这为解决三角形的有关问题提供了方便，特别是能有效解决线段的垂直等问题．这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习．这节内容的教学难点是对平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用．教学目标1. 理解并掌握平面向量的数量积、几何意义和数量积的坐标表示，会初步使用平面向量的数量积来处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．2. 通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，培养学生的科学思维习惯．任务分析两个向量的数量积从形式和实质上都与数的乘法有区别，这就给理解和掌握这个概念带来了一些困难．在学习时，要充分让学生理解、明白两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．两个向量的数量积的值是这两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角余弦值的正负而确定．两向量的数量积“a·b”不同于两实数之积“ab”．通过实例理解a·b＝b·c与a＝c的关系，a·b＝0与a＝0或b＝0的关系，以及（a·b）c ＝a（b·c）与（ab）c＝a（bc）的不同．教学设计一、问题情景如图40-1所示，一个力f作用于一个物体，使该物体发生了位移s，如何计算这个力所做的功．由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角θ，真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力，这个分力与物体位移的乘积才是力f做的功．即力f使物体位移x所做的功W可用下式计算．W＝｜s｜｜f｜cosθ．其中｜f｜cosθ就是f在物体前进方向上的分量，也就是力f在物体前进方向上正射影的数量．问题：像功这样的数量值，它由力和位移两个向量来确定．我们能否从中得到启发，把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？二、建立模型1. 引导学生从“功”的模型中得到如下概念：已知两个非零向量a与b，把数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积（内积），记作a·b ＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a与b夹角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a 方向上）的投影．规定0与任一向量的数量积为０．由上述定义可知，两个向量ａ与ｂ的数量积是一个实数．说明：向量a与b的夹角θ是指把a，b起点平移到一起所成的夹角，其中0≤θ≤π．当θ＝时，称a和b垂直，记作a⊥b．为方便起见，a与b的夹角记作〈a，b〉．2. 引导学生思考讨论根据向量数量积的定义，可以得出（1）设e是单位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉．（2）设a·b是非零向量，则a⊥b a·b＝0．（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（这与实数｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．三、解释应用［例题］已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b．解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10．［练习］1. 已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影为－2，求：（1）a·ｂ．（2）a在b上的投影．2. 已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求·．四、建立向量数量积的运算律1. 出示问题：从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更富有意义．回忆实数的运算律，你能类比和归纳出向量数量积的一些运算律吗？它们成立吗？为什么？2. 运算律及其推导已知：向量a，b，c和λ∈R，则（1）a·b＝b·a（交换律）．证明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（数乘结合律）．证明：设a，b夹角为θ，当λ＞0时，λa与b的夹角为θ，∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；当λ＜0时，λa与b的夹角为（π－θ），∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；当λ＝0时，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）．总之，（λa）·b＝λ（a·b）；同理a·（λb）＝λ（a·b）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法对加法的分配律）．证明：如图40-2，任取一点O，作＝a，＝ｂ，＝c．∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b，∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．思考：（1）向量的数量积满足结合律，即（a·b）c＝a（b·c）吗？（2）向量的数量积满足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c吗？五、应用与深化［例题］1. 对实数a，b，有（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a＋b）（a－b）＝a2－b2．类似地，对任意向量a，b，也有类似结论吗？为什么？解：类比完全平方和公式与平方差公式，有（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2．其证明是：（a＋b）2＝（a＋b）·（a＋b）＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2．∴有类似结论．2. 已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）．解：（a＋2b）·（a－3b）＝a2－3a·b＋2b·a－6b2＝｜a｜2－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜2＝－72．3. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a与b不共线．当k为何值时，（a＋kb）⊥（a－kb）？解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±．因此，当k＝±时，有（a＋kb）⊥（a－kb）．4. 已知：正方形ABCD的边长为1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1××＋2×1××＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．［练习］1. ｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a与b的夹角θ．2. 在边长为2的正三角形ABC中，求·＋·＋·．六、拓展延伸1. 当向量a，b的夹角为锐角时，你能说明a·b的几何意义吗？如图40-3，a·b，即以b在a上射影的长和ａ的长为两邻边的矩形面积（OA＝OA1）．2. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图40-4，＝＋，＝－．试说明平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系．3. 三个单位向量a，b，c有相同终点且a＋b＋c＝0，问：它们的起点连成怎样的三角形？解法1：如图40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）2＝（－c）2，∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°．同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即该△ABC为等边三角形．解法2：如图40-6，＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋．∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB为菱形．又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…4. 在△ABC中，·＝·＝·，问：O点在△ABC的什么位置？解：由·＝·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，同理⊥，⊥．故O是△ABC的垂心．点评这篇案例的一个突出特点是使用类比方法，即在研究向量的数量积的性质及运算律时，经常以实数为对象进行类比．以物理学中的力对物体做功的实例，引入数量积的过程比较自然，学生容易接受．在“拓展延伸”中，较多地展示了向量的综合应用．这都充分体现了向量是数形结合的重要载体．运用向量方法解决与向量有关的综合问题，越来越成为考查学生数学思维能力的一个重要方面．认识向量并会使用向量是这一部分的基础，也是重点．总之，这篇案例较好地实现了教学目标，同时，关注类比方法的运用，以及学生数学思维水平的提高．美中不足的是，对学生的自主探究的引导似乎有所欠缺．。

新课程高中数学教案范例课程内容：本课程主要涵盖高中数学的各个领域，包括代数、几何、概率统计等内容。

通过本课程的学习，学生将掌握基本的数学知识和技能，提高数学思维能力和解决问题的能力。

教学目标：1. 掌握高中数学的基本概念和方法；2. 提高数学思维能力，培养逻辑推理和问题解决能力；3. 能够灵活运用数学知识解决实际问题；4. 培养学生对数学学习的兴趣和积极性。

教学内容：1. 代数部分：包括一元一次方程、一元二次方程、函数、不等式等内容；2. 几何部分：包括平面几何和立体几何的基本概念、定理及应用；3. 概率统计部分：包括概率、统计、排列组合等内容；4. 解析几何部分：包括向量、坐标、直线、圆等内容；5. 三角函数部分：包括三角函数的性质、图像、计算等内容。

教学方法：1. 经典讲解法：通过教师讲解、示范和分析例题，引导学生理解数学知识；2. 交互式教学法：通过课堂讨论、小组合作等方式，激发学生学习的积极性；3. 实践性教学法：通过实际问题的解决和应用，巩固学生所学的知识和技能。

评价方法：1. 课堂表现评价：通过参与讨论、作业完成情况等评价学生的学习态度和课堂表现；2. 考试成绩评价：通过期中考试、期末考试等形式评价学生对数学知识掌握情况；3. 课程总结评价：通过学生自我总结和评价，反馈教学效果和学习收获。

教学计划：第一周：代数部分第二周：几何部分第三周：概率统计部分第四周：解析几何部分第五周：三角函数部分备注：本教案仅供参考，具体教学内容和方法根据实际情况进行灵活调整。

愿学生们在本次高中数学课程中取得优异的成绩和收获！。

8 函数的单调性教材分析函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念．教学目标1. 通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成过程，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力．2. 掌握增函数、减函数等函数单调性的概念，理解函数增减性的几何意义，并能初步运用所学知识判断或证明一些简单函数的单调性，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．3. 通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、发展、运用的过程，培养学生形成科学的思维．任务分析这节内容学生在初中已有了较为粗略的认识，即主要根据观察图像得出结论．这节函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生接受起来可能比较困难．在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，便于学生理解．对于定义，要注意对区间上所取两点x1，x2的“任意性”的理解，多给学生操作与思考的时间和空间．教学设计一、问题情境1. 如图为某市一天内的气温变化图：（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？2. 分别作出下列函数的图像：（1）y＝2x．（2）y＝－x＋2．（3）y＝x2．根据三个函数图像，分别指出当x∈（－∞，＋∞）时，图像的变化趋势？二、建立模型1. 首先引导学生对问题2进行探讨———观察分析观察函数y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2图像，可以发现：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（０，＋∞）上的图像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（－∞，０）上的图像由左向右都是下降的．函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质———单调性．那么，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？以函数y＝x2，x∈（－∞，０）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f（x）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，这时有x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是这种量化并不精确．因此，x1，x2应具有“任意性”．所以，在区间（－∞，0）上，任取两个x1，x2得到f（x1）＝，f（x2）＝．当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）．这时，我们就说f（x）＝x2在区间（－∞，0）上是减函数．注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变化时对函数值y的影响．必要时，对x，y可举出具体数值，进行引导、归纳和总结．这里的“都有”是对应于“任意”的．2. 在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰———抽象概括设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f （x1）＜f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［如图8-2（1）］．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f （x1）＞f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是减函数［如图8-2（2）］．如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y＝f（x）的单调区间．3. 提出问题，组织学生讨论（1）定义在R上的函数f（x），满足f（2）＞f（1），能否判断函数f（x）在R是增函数？（2）定义在R上函数f（x）在区间（－∞，0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数．（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．三、解释应用［例题］1. 证明函数f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函数．注：要规范解题格式．2. 证明函数f（x）＝，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数．思考：能否说，函数f（x）＝在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数？3. 设函数y＝f（x）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D上为增函数，求证：f（x）＝在区间D上为减函数．证明：设x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，∵f（x）在区间D上保号，∴f（x1）f（x2）＞0．又f（x）在区间D上为增函数，∴f（x1）－f（x2）＜0，从而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x）在D上为减函数．［练习］1. 证明：（1）函数f（x）＝在（0，＋∞）上是增函数．（2）函数f（x）＝x2－x在（－∞，］上是减函数．2. 判断函数的单调性，并写出相应的单调区间．3. 如果函数y＝f（x）是R上的增函数，判断g（x）＝kf（x），（k≠0）在R上的单调性．四、拓展延伸1. 根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．2. 判断二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的单调性，并用定义加以证明．3. 如果自变量的改变量Δx＝x2－x1＜0，函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）＞0，那么函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？4. 函数值的改变量与自变量的改变量的比叫作函数f（x）在x1，x2之间的平均变化率．（1）根据函数的平均变化率判断y＝f（x）在区间D上是增函数还是减函数．（2）比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系？点评这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过实例阐述了函数单调性产生的背景，归纳、抽象概括出了增函数、减函数的定义，充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的教学，符合新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整，全面．“拓展延伸”的设计有新意，有深度，为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．这篇案例的突出特点，体现在如下几个方面：1. 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉．在数学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质．2. 注重联系，提高对数学整体的认识数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力．在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系．例如，通过研讨本节课“拓展延伸”中的第1个问题，可以大大提高了学生学习的积极性和主动性．3. 注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力在数学教学中，应注重发展学生的应用意识；通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值，帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关；数学是有用的，我要用数学，我能用数学．。