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简单曲线的极坐标方程

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简单曲线的极坐标方程(教案)

简单曲线的极坐标方程(教案)

简单曲线的极坐标方程教案内容：一、教学目标：1. 让学生掌握极坐标系的基本概念。

2. 让学生了解极坐标与直角坐标之间的关系。

3. 让学生学会求解简单曲线的极坐标方程。

二、教学内容：1. 极坐标系的基本概念。

2. 极坐标与直角坐标之间的关系。

3. 圆的极坐标方程。

4. 直线的极坐标方程。

5. 椭圆的极坐标方程。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆、直线、椭圆的极坐标方程的求解。

2. 教学难点：椭圆的极坐标方程的求解。

四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解极坐标系的基本概念，极坐标与直角坐标之间的关系。

2. 采用案例分析法，分析圆、直线、椭圆的极坐标方程的求解过程。

3. 采用练习法，让学生通过练习来巩固所学知识。

五、教学过程：1. 引入极坐标系的基本概念，讲解极坐标与直角坐标之间的关系。

2. 讲解圆的极坐标方程，举例说明求解过程。

3. 讲解直线的极坐标方程，举例说明求解过程。

4. 讲解椭圆的极坐标方程，举例说明求解过程。

5. 布置练习题，让学生巩固所学知识。

教学评价：通过课堂讲解、案例分析和练习，评价学生对极坐标系的理解和掌握程度，以及对简单曲线极坐标方程的求解能力。

六、教学准备：1. 教学PPT或黑板。

2. 极坐标系的图示或模型。

3. 圆、直线、椭圆的图示或模型。

4. 练习题。

七、教学步骤：1. 回顾极坐标系的基本概念，通过PPT或黑板展示极坐标系的图示，让学生回顾极坐标与直角坐标之间的关系。

2. 讲解圆的极坐标方程。

以一个具体的圆为例，说明圆的极坐标方程的求解过程。

将圆的直角坐标方程(x-a)²+ (y-b)²= r²转换为极坐标方程。

利用极坐标与直角坐标之间的关系，即x=ρcosθ，y=ρsinθ，将直角坐标方程中的x和y替换为极坐标方程中的ρcosθ和ρsinθ，得到圆的极坐标方程ρ=2a·cosθ。

3. 讲解直线的极坐标方程。

以一个具体的直线为例，说明直线的极坐标方程的求解过程。

简单曲线的极坐标方程 课件

简单曲线的极坐标方程 课件
பைடு நூலகம்
答案：(1)ρsin2θ＝4cos θ (2)ρ2－2ρcos θ－1＝0 (3)y＝ 3x(x≥0) (4)x2－y2＝4 (5)3x2＋4y2－2x－1＝0
例 1 极坐标方程 θ＝π6 表示什么曲线？
π 错解：方程中不含变量 ρ，即不论 ρ 取何值，极角 θ 恒为 6 ，
π
π
因此 θ＝ 6 表示一条直线，它的极角为 6 .
(2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入 y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简，得 ρ2－2ρcos θ－1＝0.
(3)∵tan θ＝xy，∴tan π3 ＝xy＝ 3. 化简，得 y＝ 3x(x≥0)． (4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即 x2－y2＝4. (5)∵ρ＝2－c1os θ，∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1. 化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
正解二：两圆心的极坐标分别为 C1(1，0)，C21，π2 ， ∴|C1C2|＝ 12＋12－2×1×1×cosπ2 －0＝ 2. 易错点：极坐标系中两点间距离公式记忆不清导致运算错误 【易错点辨析】平面直角坐标系中两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)之 间的距离|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2，极坐标系中两点 P1(ρ1， θ1)，P2(ρ2，θ2)之间的距离|P1P2|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）. 在应用时往往因记忆不清而导致计算错误．
解析：(1)如右图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)， ∵A2，π4 ，
π ∴|MH|＝2sin 4 ＝ 2. 在 Rt△OMH 中，|MH|＝|OM|sin θ，即 ρsin θ＝ 2， ∴过 A2，π4 且平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝ 2.

高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第一讲三简单曲线的极坐标方程

高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第一讲三简单曲线的极坐标方程

当点 P 在极轴的反向延长线上时，P 点的极坐标为(1， π)或(3，π)，经验证，也适合这个方程，故 ρ2＋4ρcos θ＋ 3＝0 为所求圆的极坐标方程．
(3)设点 P(ρ，θ)为所求圆上任意一点，当点 P 不在直 线 θ＝π4上时，根据余弦定理，得 12＝ρ2＋(2 2)2－4 2 ρcosπ4－θ，即 ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.
2．圆的极坐标方程(半径为 r)
圆心位置
极坐标方程
图形
圆心在极点(0，0)
ρ＝r (0≤θ<2π)
圆心在点(r，0)
ρ＝2rcos θ －π2≤θ<π2
圆心在点r，π2 圆心在点(r，π)
圆心在点r，32
π
ρ＝2rsin_θ (0≤θ<π) ρ＝－2rcos θ π2≤θ<32π ρ＝－2rsin θ (－π<θ≤0)
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若点 P 在曲线 C 上，则点 P 的极坐标满足曲线 C 的极坐标方程．( ) (2)tan θ＝1 与 θ＝π4表示同一条曲线．( ) (3)ρ＝3 与 ρ＝－3 表示同一条曲线．( ) (4)极坐标方程 θ＝34π表示的图形是一条射线．( )
ρ2cos2θ ρ2sin2θ 得 4 ＋ 3 ＝1，即
ρ2(3cos2θ＋4sin2θ)＝12.
④把 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 x2－y2＝2 中， 得 ρ2cos 2θ＝2. (2)①把 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y 代入方程 ρcos θ－ρsin θ －1＝0 中，得 x－y－1＝0. ②把 ρ＝ x2＋y2代入方程 ρ＝3 中，得 x2＋y2＝9.
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×

曲线的极坐标方程

曲线的极坐标方程

曲线的极坐标方程一、概述极坐标是一种表示平面上的点的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。

在极坐标系中，点的位置由半径和角度来确定，而不是像直角坐标系那样由x和y坐标来确定。

在极坐标系中，我们可以用极坐标方程来描述各种曲线。

二、常见的极坐标方程1. 极坐标方程的一般形式极坐标方程的一般形式为：r=f(θ)其中r表示极径，θ表示极角，f(θ)表示关于θ的函数。

这个方程表示了在极坐标系中点的半径r与角度θ的关系。

2. 圆的极坐标方程圆在极坐标系中的方程可以表示为：r=a其中a为圆的半径。

这种极坐标方程非常简单，它表示了以原点为中心的半径为a 的圆。

3. 直线的极坐标方程直线在极坐标系中的方程可以表示为：r=psin(θ−α)其中p表示直线到原点的距离，α表示直线与极坐标系正半轴之间的夹角。

这种极坐标方程可以描述直线在极坐标系中的位置。

4. 椭圆的极坐标方程椭圆在极坐标系中的方程可以表示为：r=p1−ecos(θ−α)其中p表示椭圆的焦点到原点的距离，e表示椭圆的离心率，α表示椭圆与极坐标系正半轴之间的夹角。

这种极坐标方程可以描述椭圆在极坐标系中的形状。

三、极坐标方程的性质1. 对称性极坐标方程具有一定的对称性。

例如，当极坐标方程中的函数f(θ)关于θ对称时，对应的曲线也具有相应的对称性。

另外，极坐标方程中的极角θ满足周期性，即一个周期内的曲线形状是相同的。

2. 极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系与直角坐标系是可以相互转换的。

通过一定的公式，我们可以将一个点在直角坐标系中的坐标转换为极坐标系中的坐标，或者将一个点在极坐标系中的坐标转换为直角坐标系中的坐标。

这种转换可以方便地分析和描述曲线的性质。

四、应用举例1. 螺线螺线是极坐标系中的一种特殊曲线，它的极坐标方程为：r=aθ其中a为常数。

螺线是由于一个点在极坐标系中以匀速绕原点旋转且同时沿极径方向移动而形成的曲线。

螺线是许多自然界中的现象的数学描述，例如螺旋形的贝壳、旋涡等。

人教版A版高中数学选修4-4：简单曲线的极坐标方程

人教版A版高中数学选修4-4：简单曲线的极坐标方程

归纳:求曲线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图；
2、设点M(, )是曲线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求(可 以省略)。
例1.已知圆O的半径为a，建立怎样的极坐标 系，可以使圆的极坐标方程更简单？
1、求以下常见圆的极坐标方程，并作图：
满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有 如下关系：
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一 个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ 上。
则方程f(,)=0叫做曲线Ｃ的极坐标方程．
是A，那么OA＝2a,设M (, )为圆上除点O，A
以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO
中OM OA cosMOA即＝2a cos...........(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
2
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标(, )
4
； ； ；
பைடு நூலகம்； 。
例 2．方程互化
（1）化直角坐标方程 x 2 y 2 8 y 0 为 极坐标方程
6 cos( ) （ 2）化极坐标方程
为直角坐标方程 [来源:]
3
练习：
1、把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并作图：（1） 2 ；（2） 4sin .
2、求下列圆的圆心的极坐标：
（1） 5cos ； （2） 2 sin( ) .
4
小结：知识、思想方法、数学核心素养

三-简单曲线的极坐标方程

三-简单曲线的极坐标方程

在处理一些工程问题时，使用极坐标方程可以简化计 算过程，提高工作效率。例如，在机械工程中，极坐 标方程可以用于描述旋转机械的运动轨迹和动力学特 性。
谢谢观看
极角
从极轴到某一直线的夹角，用θ 表示。
02
简单曲线的极坐标方程
圆的极坐标方程
圆心在原点，半径为r的圆的极坐标方 程为：$rho = r$
圆心在$(a, b)$，半径为r的圆的极坐 标方程为：$rho = sqrt{a^2 + b^2}$
直线的极坐标方程
通过极点的射线方程为
$theta = alpha$
双曲线的极坐标方程为
$rho^2(1-cos^2theta) = a^2$ 和 $rho^2(1-sin^2theta) = b^2$。
05
极坐标方程的特性分析
极坐标方程的几何特性
极坐标系中的点与平面直角坐标系中 的点一一对应，可以通过坐标变换进 行转换。
在极坐标系中，曲线可以用极坐标方 程表示，通过解析这些方程可以研究 曲线的几何形状和性质。
极坐标方程可以用来描述圆和圆弧，例如，圆的极坐标方程为 $rho = r$，其中 $r$ 是半径。
描述圆锥曲线
极坐标方程也可以用来描述圆锥曲线，例如，椭圆的极坐标方程为 $rho^2 = frac{a^2b^2}{a^2 lambda^2}$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的长半轴和短半轴，$lambda$ 是极角。
直线的极坐标方程推导
通过极点，倾斜角为$alpha$的直线的极坐标方程为：$theta = alpha$。
经过点$(a, b)$，倾斜角为$alpha$的直线的极坐标方程为：$rhocostheta = a$ 和 $rhosintheta = b$。

简单曲线的极坐标方程 课件

简单曲线的极坐标方程 课件
ρ＝0，极角 θ 可取任意角．
由极径的意义可知 ρ≥0，当极角 θ 的取值范围是 [0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0) 建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径 ρ＝0，极角 θ 可取任意角．
3．坐标之间的互化
(1)点的极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极 轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面 内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ， θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
∴ρ＝a·cos 12ωt，……② θ
由①②消去 t，得 ρ＝acos 3 ， 这就是点 M 轨迹的极坐标方程．
【点评】求曲线的极坐标方程的两个基本方法是直 接法和待定系数法，极坐标系中用直接法求点的轨迹方 程时常用“三角形法”，它通过找出一个三角形，利用 三角形中的边角关系，求得轨迹的极坐标方程．
ρ02－r2＝0.
一、平面直角坐标系中的伸缩变换及应用 例1在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变
换xy′′＝＝y 3x，后变为曲线 C′：x′2＋9y′2＝9.在以此直角 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，动
点 M 的极坐标(ρ，θ)满足方程 ρsinθ＋π4＝3，设点 P 为曲线 C 上一动点，则|PM|的最小值是___2____．
(0<θ<π)
(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线 l 经过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，直线 l 的极坐标 方程为：
_______s_i_n___________0 _si_n_______0 _____．
5．半径为 r 的圆的极坐标方程
(1)特殊位置的圆的极坐标方程：

极坐标与参数方程

极坐标与参数方程

选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。

(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。

(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。

极坐标参数方程

极坐标参数方程

极坐标参数方程
极坐标参数方程是将某种几何图形用极坐标表示的一种数学工具，它是直角坐标系的一种
变体，以极（极轴）与极角（极角确定的点）来表示平面上的点。

极坐标参数方程是利用极坐标表示函数图像的一种方式，其中，极轴是弧度和极角作为参
数来表示函数图像的曲线。

例如，用极坐标参数方程表示圆形曲线可以写成r=a(1-cosθ)，其中a是圆的半径。

此外，给定曲线的极坐标参数方程也可以推導出曲线的一般坐标表示
方程，例如，把极坐标方程r=a(1-cosθ)转换成一般坐标表示的方程就是：x = a (cosθ - 1)，y = a sin θ。

极坐标参数方程不仅可以用于表示圆形曲线，而且还可以表示一些复杂的曲线，例如，三
次曲线。

有时候，采用极坐标表示函数图像会比用直角坐标简单很多，这是因为极坐标可
以消除多项式函数中的二次项，这样，一个曲线可以用极坐标方程表示，而用直角坐标系
表示需要几何转换和积分来解决。

因此，极坐标参数方程是数学中的一种有用的方法，可以有效地表示几何图形，更便于理
解及应用，在计算中，这也能帮助提高效率，推动科学的进步。

高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析

高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析

高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析1.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线的极坐标方程为：，曲线C：（为参数），其中．（Ⅰ）试写出直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若点P为曲线C上的动点，求点P到直线距离的最大值．【解析】（Ⅰ）直接利用极坐标与直角坐标的互化，以及消去参数，即可取得直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离加半径即可求出点P到直线距离的最大值．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，则直线的直角坐标方程为.曲线C：，且参数，消去参数可知曲线C的普通方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C是以（0,2）为圆心，半径为2的圆，则圆心到直线的距离，所以点P到直线的距离的最大值是.【考点】参数方程化成普通方程．2.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线的直角坐标方程为 .【答案】【解析】已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，因此方程【考点】参数方程的应用.3.已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρ·cos＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．【答案】（1）普通方程：，圆的参数方程为：，为参数；（2）.【解析】（1）圆的普通方程与圆的极坐标方程之间的转换关系在于圆上一点与极径，极角间的关系：,圆的普通方程与圆的参数方程的关系也在于此，即圆上一点与圆半径,圆上点与圆心连线与轴正向夹角的关系：；（2）利用圆的参数方程，将转化为关于的三角函数关系求最值，一般将三角函数转化为的形式.试题解析：由圆上一点与极径，极角间的关系：，可得,并可得圆的标准方程：,所以得圆的参数方程为：，为参数.由（1）可知：故.【考点】(1)圆的普通方程与圆的参数方程和极坐标之间的关系；（2）利用参数方程求最值. 4.已知曲线M与曲线N：ρ＝5cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线M的方程为() A．ρ＝－10cos B．ρ＝10cosC．ρ＝－10cos D．ρ＝10cos【答案】B【解析】设点是曲线M上的任意一点,点关于极轴的对称点必在曲线N上,所以故选B.【考点】极坐标方程.5.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．6.极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆【答案】C【解析】化简为,得到或,化成直角坐标方程为：或,故选C.【考点】极坐标方程与普通方程的互化7.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.(1)求的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】（1），（2）相交【解析】解:(Ⅰ)由点在直线上,可得所以直线的方程可化为从而直线的直角坐标方程为 5分(Ⅱ)由已知得圆的直角坐标方程为所以圆心为,半径以为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交 10分【考点】直线与圆点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。

简单曲线的极坐标方程(教案)

简单曲线的极坐标方程(教案)

简单曲线的极坐标方程教案章节：第一章至第五章第一章：引言1.1 极坐标系的介绍极坐标系的定义和基本概念极坐标系与直角坐标系的关系极坐标系的优点和应用领域1.2 极坐标方程的基本形式极坐标方程的定义和表达方式极坐标方程与直角坐标方程的转换方法常见曲线的极坐标方程的例子第二章：圆的极坐标方程2.1 圆的极坐标方程的定义和性质圆的极坐标方程的表达方式圆的半径和角度的关系圆的极坐标方程的图像和特点2.2 圆的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式圆的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在圆的极坐标方程中的应用第三章：螺旋线的极坐标方程3.1 螺旋线的极坐标方程的定义和性质螺旋线的极坐标方程的表达方式螺旋线的半径和角度的关系螺旋线的极坐标方程的图像和特点3.2 螺旋线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式螺旋线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在螺旋线的极坐标方程中的应用第四章：双曲线的极坐标方程4.1 双曲线的极坐标方程的定义和性质双曲线的极坐标方程的表达方式双曲线的半径和角度的关系双曲线的极坐标方程的图像和特点4.2 双曲线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式双曲线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在双曲线的极坐标方程中的应用第五章：椭圆的极坐标方程5.1 椭圆的极坐标方程的定义和性质椭圆的极坐标方程的表达方式椭圆的半径和角度的关系椭圆的极坐标方程的图像和特点5.2 椭圆的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式椭圆的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在椭圆的极坐标方程中的应用第六章：直线的极坐标方程6.1 直线的极坐标方程的定义和性质直线的极坐标方程的表达方式直线的极坐标方程与直角坐标方程的关系直线的极坐标方程的图像和特点6.2 直线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式直线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在直线的极坐标方程中的应用第七章：抛物线的极坐标方程7.1 抛物线的极坐标方程的定义和性质抛物线的极坐标方程的表达方式抛物线的半径和角度的关系抛物线的极坐标方程的图像和特点7.2 抛物线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式抛物线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在抛物线的极坐标方程中的应用第八章：渐开线的极坐标方程8.1 渐开线的极坐标方程的定义和性质渐开线的极坐标方程的表达方式渐开线的半径和角度的关系渐开线的极坐标方程的图像和特点8.2 渐开线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式渐开线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在渐开线的极坐标方程中的应用第九章：双曲线的渐近线的极坐标方程9.1 双曲线的渐近线的极坐标方程的定义和性质双曲线的渐近线的极坐标方程的表达方式双曲线的渐近线的半径和角度的关系双曲线的渐近线的极坐标方程的图像和特点9.2 双曲线的渐近线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式双曲线的渐近线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在双曲线的渐近线的极坐标方程中的应用第十章：总结与拓展10.1 简单曲线极坐标方程的应用极坐标方程在工程和物理领域的应用极坐标方程在艺术和设计领域的应用极坐标方程在其他领域的应用10.2 极坐标方程的进一步研究复杂曲线的极坐标方程研究极坐标方程与其他数学分支的联系极坐标方程在现代科学技术中的应用重点和难点解析：1. 第一章：引言极坐标系的定义和基本概念：需要重点关注极坐标系与直角坐标系的关系，以及极坐标系的优点和应用领域。

第1讲-简单曲线的极坐标方程

第1讲-简单曲线的极坐标方程
【解析】 直角坐标方程 x2＋y2－2x＝0 可化为 x2＋y2＝
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
2x，将 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ 代入整理得 ρ＝2cos θ.
【答案】 ρ＝2cos θ
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
直线或射线的极坐标方程
课 前 自 主 导 学
π 【解析】 极坐标系中点(2，6)对应的直角坐标为( 3，
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
1)．极坐标系中直线 ρsin θ＝2 对应直角坐标系中直线 y＝2. 故所求距离为 1.
【答案】 1
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
极坐标方程的应用
课 前 自 主 导 学
从极点 O 作直线与另一直线 l：ρcos θ＝4 相交 于点 M，在 OM 上取一点 P，使|OM |· |OP|＝12. (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设 R 为 l 上的任意一点，试求|RP|的最小值．
菜 单
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
新课标 ·数学 选修4-4
极坐标方程与直角坐标方程的互化
若曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ＋4cos θ， 以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系． (1)求曲线 C 的直角坐标方程； π (2)若直线 ρsin(θ－4 )＝0 与曲线 C 相交于 A、B，求|AB |. 【思路探究】 利用极坐标化为直角坐标的公式将直线
且 O、C、M 三点不共线，不妨以如图所示情况加以说明，在 △ OCM 中，由余弦定理得 |OM |2 ＋ |OC|2 － 2|OM |· |OC|· cos ∠ COM＝ |CM |2，

三、简单曲线的极坐标方程

三、简单曲线的极坐标方程

2＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
2 2
练习：
A、双曲线
1、极坐标方程 cos( )所表示的曲线是（ D ） 4

B、椭圆
C、抛物线
D、圆

2
2、曲线的极坐标方程＝4 sin 表示的圆的 圆心坐标和半径是什么？ 圆心坐标是(2,
), 半径是r=2
3、圆＝10 cos( )的圆心坐标是（ C ） 3 2 D、 (5, ) (5, ) A、 (5,0) B、 C、 (5, ) 3 3 3
5 ( 0) 4
o
M
x
（3）求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。 4 5 ( 0) 和 ( 0) M 4 4
﹚
4
o
x
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形
式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不
方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
P 点坐标(ρ1cos θ1，ρ1sin θ1)， π 当 α≠ 时，直线方程为 y－ρ1sin θ1＝tan α(x－ρ1cos θ1) ， 2 即 x· tan α－y－ρ1cos θ1·tan α＋ρ1sin θ1＝0. π 当 α＝ 时，x＝ρ1cos θ1. 2 答
M (,) A
O
C(a,0)
x
曲线的极坐标方程
①曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）
一 定义：若曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系：
符合方程f(,)=0 ；

简单曲线的极坐标方程课件

简单曲线的极坐标方程课件
即可.
2.求极坐标方程的步骤
剖析求曲线的极坐标方程的步骤与求直角坐标方程的步骤类似,
就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹.将已知条件用曲
线上的点的极坐标ρ,θ的关系式f(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极
坐标方程,具体如下:
(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上的任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和
【例3】 将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:
(1)射线 y= 3(≤0);
(2)圆x2+y2+2ax=0(a≠0).
= cos,
分析:由公式
化简即可.
= sin
解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 y= 3,
得ρsin θ= 3cos θ.当 ρ≠0 时,tan θ= 3,
π
4π
∴θ= 或 = .
3
3
∵x≤0,∴ρcos θ≤0,∴θ=
4π
3
.
由于射线过极点,故射线 y= 3(≤0)的极坐标方程为
4π
θ= (≥0).
3
(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+y2+2ax=0,得
ρ2cos2θ+ρ2sin2θ+2aρcos θ=0,
即ρ(ρ+2acos θ)=0.
1.直角坐标系与极坐标系的区别
剖析(1)在直角坐标系中,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的
方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只
看作一个方程).可是在极坐标系中,虽然是一个方程只能与一条曲
线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应,所以曲线和它的方程

极坐标方程r2=a2cos2θ

极坐标方程r2=a2cos2θ

极坐标方程 r^2 = a2cos2θ极坐标是一种用极径和极角来表示平面上点坐标的坐标系。

在极坐标系中，极径表示点到坐标原点的距离，极角表示点与指定方向的夹角。

给定的极坐标方程 r^2 = a2cos2θ 描述了一个在极坐标系中的特殊曲线。

在这个方程中，a是一个常数，θ是点的极角，r是点的极径。

这个方程的形式是一个简单的二次方程。

极坐标方程的含义极坐标方程 r^2 = a2cos2θ 描述了一个称为极坐标半径的函数。

这个函数的形状取决于参数a的值。

当a=0时，极坐标方程简化为 r^2 = 0，即r=0。

这表示所有的点都位于极坐标原点，形成一个点。

这是因为当极径r为0时，无论极角为多少，都得到相同的点。

当a不等于0时，极坐标方程定义了一个以极径r为自变量、以极角θ为参数的函数。

通过计算，我们可以得到函数在不同极角下的极径值。

由于cos2θ的范围是0到1，r2=a2cos2θ的取值范围也是0到a^2。

极坐标方程的图像为了更好地理解极坐标方程 r^2 = a2cos2θ，我们可以绘制它的图像。

首先，我们选择一组极角值θ，例如从0到2π，然后计算对应的极径值r。

根据极坐标方程 r^2 = a2cos2θ，我们可以用下面的伪代码计算极径值：for θ in range (0, 2π, small_step):r = sqrt(a^2 * cos^2(θ))plot (r, θ)这样，我们得到了一系列极径和极角的点，绘制出的图像就是极坐标方程的曲线。

当a>0时，极坐标曲线有着特定的形状。

它是一个以极径为a的圆。

在极角为0或2π时，极径达到最大值a；在极角为π/2或3π/2时，极径达到最小值0。

整个曲线是以坐标原点为中心的对称图形。

当a=0时，极坐标方程表示一个单点，即坐标原点。

极坐标方程的应用极坐标方程在许多领域中都有应用。

它的特殊形式可以用来描述某些物理问题的数学模型。

在物理学中，极坐标方程可以用来描述电场和磁场的分布。

简单曲线的极坐标方程(教案)

简单曲线的极坐标方程(教案)

简单曲线的极坐标方程教学目标：1. 了解极坐标系的定义和基本概念；2. 掌握极坐标与直角坐标之间的转换关系；3. 学习简单曲线的极坐标方程的求解方法；4. 能够应用极坐标方程解决实际问题。

教学内容：第一章：极坐标系的定义和基本概念1.1 极坐标系的定义1.2 极坐标与直角坐标的关系1.3 极坐标系的应用领域第二章：极坐标与直角坐标之间的转换关系2.1 极坐标与直角坐标之间的转换公式2.2 转换关系的推导过程2.3 转换关系的应用实例第三章：圆的极坐标方程3.1 圆的直角坐标方程3.2 圆的极坐标方程的推导3.3 圆的极坐标方程的应用实例第四章：直线的极坐标方程4.1 直线的直角坐标方程4.2 直线的极坐标方程的推导4.3 直线的极坐标方程的应用实例第五章：椭圆的极坐标方程5.1 椭圆的直角坐标方程5.2 椭圆的极坐标方程的推导5.3 椭圆的极坐标方程的应用实例教学方法：1. 采用讲授法，讲解极坐标系的定义和基本概念，以及极坐标与直角坐标之间的转换关系；2. 通过示例和练习，让学生掌握圆、直线和椭圆的极坐标方程的求解方法；3. 利用多媒体辅助教学，展示极坐标系的图像和实例，增强学生的直观感受；4. 布置课后作业，巩固学生对极坐标方程的理解和应用能力。

教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生对极坐标系的定义和基本概念的掌握程度；3. 学生对极坐标与直角坐标之间转换关系的理解程度；4. 学生对圆、直线和椭圆的极坐标方程的求解能力的掌握程度；5. 学生对极坐标方程在实际问题中的应用能力的展示。

第六章：双曲线的极坐标方程6.1 双曲线的直角坐标方程6.2 双曲线的极坐标方程的推导6.3 双曲线的极坐标方程的应用实例第七章：抛物线的极坐标方程7.1 抛物线的直角坐标方程7.2 抛物线的极坐标方程的推导7.3 抛物线的极坐标方程的应用实例第八章：参数方程与极坐标方程的转换8.1 参数方程的定义和基本概念8.2 参数方程与极坐标方程之间的转换关系8.3 参数方程与极坐标方程的转换实例第九章：简单曲线的极坐标方程的综合应用9.1 综合应用实例一：测定物体的位置9.2 综合应用实例二：计算曲线的长度9.3 综合应用实例三：求解曲线上的点的坐标第十章：总结与拓展10.1 本章小结10.2 思考题10.3 拓展阅读材料教学方法：1. 通过示例和练习，让学生掌握双曲线和抛物线的极坐标方程的求解方法；2. 利用多媒体辅助教学，展示双曲线和抛物线的图像和实例，增强学生的直观感受；3. 通过综合应用实例，让学生了解简单曲线的极坐标方程在实际问题中的应用；4. 采用小组讨论和报告的形式，激发学生的思考和交流能力。

曲线的极坐标方程

曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程
• 5•2 曲线的极坐标方程 • 在极坐标系中，用，=0表示曲线的方 • 程。 • 一些基本曲线的方程： • =r =0 (0) =0 (R)
P
• r • o o 0 0 x • P(，2/3 x o x o x
P(2， •
=2
o
2 =— 3
• 是什么，化为直角坐标方程后知道它表示的 • 是三条直线：y=0或x=1或x=-1
ep • P54 例 4 化圆锥曲线的极坐标方程= ——— 1-ecos • 为直角坐标方程。
•
解：把原极坐标方程化为 -ecos=ep
• =e cos +p)， = x2+y2 ， x = cos • x2+y2=e(x+p)，两边平方得 • x2+y2=e2(x2+2px+p2)，整理，所求的直角坐
• •
上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线 当0<e<1时，方程表示 椭圆，F是左焦点，L 是左准线。LFxF L
x
当1<e时，方程表示双 曲线，F是右焦点，L 是右准线。
当e=1时，方程表示抛 物线，F是焦点，L是 准线，开口向右。
L
F
x
• • • • •
圆锥曲线极坐标方程的应用 例 5 (1) 以抛物线y2=5x的焦点为极点，对称轴 向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的 长度单位相同，求抛物线的极坐标方程。 分析：设所求的抛物线的极坐标方程为 ep • = ———— ，基中e=1，p是焦点到准线的 1-ecos 5 ，代入上式得所求的抛物线 • 距离，p= — 2 5 1• — 2 5 • = ———— = ———— 1- cos 2- 2cos
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课题：简单曲线的极坐标方程
【学习目标】
1.通过实例了解直线、圆的极坐标方程.
2.掌握直线、圆的极坐标方程的应用,并能解决有关问题.
3.掌握极坐标方程与直角坐标方程之间的转化,并能依据问题特点,选择合适的方程进行求解.
【重点难点预测】
重点：直线、圆的极坐标方程
难点：极坐标方程与直角坐标方程之间的转化
【学法指导】
小组合作、讨论交流
【导学流程】 一、创设情境
2013年6月25日7时05分,“天宫”一号与“神舟”十号组合体顺利分离,“神舟”十号撤离至距“天宫”一号一定距离处.随后,“神舟”十号按照预定程序进行变轨控制,从“天宫”一号上方绕飞至其后方,“神舟”十号成功绕飞“天宫”一号.“神舟”十号绕“天宫”一号旋转的半径为r,请建立适当的极坐标系,并写出其运行的轨迹圆的方程.
二、课前预习导学
问题1:极坐标方程
在极坐标系中,如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 ,并且坐标适合方程(,)0f ρθ=的点都在 ,那么这种方程叫作曲线的 .
问题2:常见的圆的极坐标方程
(1)圆心在极轴上的点(a ,0)处,且圆过极点的圆的方程为 . (2)半径为a ,圆心在极点上的圆的方程为 . 问题3:常见的直线的极坐标方程
(1)过极点且与极轴所成的角为α的直线的极坐标方程为 和 . (2)过点A(a ,0)( a >0)且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为 . (3)过点11(,)M ρθ且与极轴成α角的直线的极坐标方程为 .
问题4:涉及极坐标方程的问题可否转化为直角坐标进行求解?
可以,将极坐标方程中的ρθ、通过公式 转化为直角坐标方程,这是处理极坐标方程中经常用到的方法之一,有时也会通过这组公式将直角坐标方程转化为 进行处理.
三、基础学法交流
1.过极点且垂直于极轴的直线方程是( ).
A.θ= 2
π B.θ= 32
π C.cosθ=0 D.sinθ=0
2.极坐标方程ρcos2θ=0表示的曲线为( ).
A.极点
B.极轴
C.一条直线
D.两条相交直线
3.已知曲线C 的极坐标方程为ρ(3cosθ-4sinθ)=1,则曲线C 与极轴的交点到极点的距离是 .
4.如图,在极坐标系中,设极径为ρ(ρ>0),极角为θ(0≤θ<2π).圆A 的极坐标方程为ρ=2cosθ,点C 在极轴的上方,∠AOC=6
π
，.△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形,若C 为OP 的中点,求点Q 的极坐标.
四、展示提升：
圆的极坐标方程
例一、求满足下列条件的圆的极坐标方程. (1)圆心在极点,半径为6;
(2)圆心在C(2, 2
π
),半径为2;
(3)圆C 的圆心坐标为C(2, 3
π
),半径
直线的极坐标方程
例二、在极坐标系中,已知直线过点(1,0),且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为
3
π
,则直线的极坐标方程为 .
极坐标方程中参变量的范围
例三、若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标为( ).
11.,0.,0cos sin 2
cos sin 4
.cos sin ,0.cos sin ,02
4
A B C D π
π
ρθρθθθθθπ
π
ρθθθρθθθ=
≤≤
=
≤≤
++=+≤≤
=+≤≤
【当堂检测】
1.
圆ρ=( ).
A. (1,)2π
B. (1,)4π
C. (1,)3π
D. (1,)6
π
2.在极坐标系中,过点(2,)且垂直于极轴的直线方程为( ).
A. ρsinθ=-1
B. ρsinθ=1
C. ρcosθ=-1
D. ρcosθ=1
3.在极坐标系中,A 为曲线ρ=2cosθ上的点,B 为曲线ρcosθ=4上的点,则线段AB 长度的最小值是 .
4.在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.圆C 1,直线C 2的极坐标方
程分别为4sin ,cos()4
π
ρθρθ=⋅-=求圆C 1与直线C 2交点的极坐标.
【达标测评】
1、求满足下列条件的圆的极坐标方程. (1)圆心在C(2,0),半径为2; (2)圆心在C(2, π),半径为2;
(3)圆心在C(2, 32π
),半径为2.
2、在极坐标系中,圆ρ=2cosθ在点M(2,0)处的切线的极坐标方程为 .
3、在极坐标系中,点(2,)6
π到直线sin()16π
ρθ-=的距离是 .
4、在极坐标系中,已知圆A 的圆心为(4,0),半径为4,点M 为圆A 上异于极点O 的动点,求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程.
【知识清单】
【自主反思】。