高三数学一轮复习 推理与证明教案

§7.4 基本不等式及其应用 考情考向分析 主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档．1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(a ≥0，b ≥0)(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？ 提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充要条件．( × )(3)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × ) (4)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 有相同的成立条件．( × )(5)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )题组二 教材改编2．[P88T4]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________．答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ， 即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 3．[P89例1]若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m 2.答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， ∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充要解析 当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1时等号成立)． 因为x ，1x同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的充要条件． 5．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________. 答案 3 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是________． 答案 5解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5， 所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12x y，即y ＝2x ＝1时，“＝”成立， 故4x ＋3y 的最小值为5.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )。

[解析] (1)由 lg 2x＋lg 8y＝lg 2 得，lg 2x＋3y＝lg 2， ∴x＋3y＝1，1x＋31y＝1x＋31y(x＋3y) ＝2＋3xy＋3xy≥4当且仅当3xy＝3xy时，等号成立.
(2)y＝1＋3x＋
1 x－1
＝3(x－1)＋
1 x－1
＋4.令x－1＝t，t≥1，∴y＝3t＋
跟踪训练 (1)(2018·湖南期末)函数y＝ax－1＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若
定点A在直线mx ＋ny＝1(m＞0，n＞0)上，则3m＋n的最小值为( )
A．13
B．14
C．16
D．12
解析：由题意知A(1,3)，
点A在直线mx ＋ny＝1(m＞0，n＞0)上，∴m1 ＋3n＝1.
(3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(4)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．
[三基自测]
1．(必修5·习题3.4A组改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80
B．77
C．81
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有 最小 值是2 p(简记：
积定和最小 )． (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有 最大值是p42(简记：
和定积最大 )．
4．几个常用的重要结论： (1)ba＋ab≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)． (2)a＋1a≥2(a＞0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋1a≤－2(a＜0，当且仅当a＝－1时 取等号)．

B．ad＜bc
C．ac＞bd
D．ac＜bd
B [由 c＜d＜0 得1d＜1c＜0，则－1d＞－1c＞0，
∴－ad＞－bc，
∴ad＜bc，故选 B．]
解析答案
2．(2016·北京高考)已知 x，y∈R，且 x>y>0，则( )
A．1x－1y>0
B．sin x－sin y>0
C．12x－12y <0
D．ln x＋ln y>0
解析答案
C [函数 y＝12x在(0，＋∞)上为减函数，∴当 x>y>0 时，12x < 12y，即12x－12y <0，故 C 正确；函数 y＝1x在(0，＋∞)上为减函数， 由 x>y>0⇒1x<1y⇒1x－1y<0，故 A 错误；函数 y＝sin x 在(0，＋∞)上不 单调，当 x>y>0 时，不能比较 sin x 与 sin y 的大小，故 B 错误；x>y>0 ⇒xy>0⇒/ ln(xy)>0⇒/ ln x＋ln y＞0，故 D 错误．]
解析答案
D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等 式的性质可知 ac<bd，故②不正确；因为函数 y＝x13是递增的，所以 ③正确；对于④，由 a>b>0 可知 a2>b2>0，所以a12<b12，所以④不正确．]
3．(教材改编)设 a，b，c∈R，且 a＞b，则( )
A．ac＞bc C．a2＞b2
②当 Δ＝a2－4＞0，即 a＞2 或 a＜－2 时，方程 x2＋ax＋1＝0
的两根为 x1＝－a＋2 a2－4，x2＝－a－2 a2－4，
则原不等式的解集为x－a－2 a2－4或x＜－a＋2 a2－4

专题11 推理与证明江苏省太仓高级中学钱华【课标要求】1．课程目标通过推理与证明的教学，使学生通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及两者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯．2．复习要求（1）教学中应通过实例引导学生运用合情推理去探索、猜想一些数学结论，并用演绎推理证明所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想.教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述．（2）本节的数学证明是对学生学过的基本证明方法的总结．在教学中，应通过实例引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性，对证明的技巧性不宜作过高的要求．（3）对数学归纳法的要求不宜过高．3．复习建议（1）归纳推理和类比推理应贯彻在平时的教学过程中，使学生自觉养成探索的习惯，而不是做足针对的训练，所以这部分内容只供相关参考．（2）合情推理的证明不作要求，但平时练习最好养成证明的习惯，很多推理是在证明过程中发现的，况且方法上的类比本身也是一种较难的推理．（3）直接证明与间接证明也应注重平时教学中的贯彻与提炼，不可以追求方法本身，而是要注重数学思想方法的渗透．（4）本专题内容具有综合性，包罗高中数学的各方面知识，对思维要求较高，对能力不强的同学具有一定难度，在高考中不一定单独命题，但会渗透在具体的题目中．【典型例题】例1．填空题（1）观察下式：1=1，1-4=-(1+2)，1-4+9=1+2+3，1-4+9-16=-(1+2+3+4)，…，推测第n个式子为____________________．解析：1-22+32+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1(1+2+3+…+n) (n∈N*)．（2）观察下列式子：1+122<32，1+122+132<53，1+122+132+142<74，…，根据上述不等式，归纳出一个一般的结论是_______________________． 解析：1+122+132+…+1(n +1)2<2n +1n +1 (n ∈N *)． （3）已知函数f (x )= x1+x，若f 1(x )=f (x )，f n +1(x )=f [f n (x )]，则f n (x )=________ ． 解析：易得：f 2(x )=x 1+2x ，f 3(x )= x 1+3x ，f 4(x )= x 1+4x ，归纳得f (x )= x 1+nx(n ∈N *)． （4）平面内n 个圆两两相交，且任意三圆不过同一点，则这n 个圆将平面分成_______个区域．解析：列举得：n =1时，2个区域；n =2时，4个区域；n =3时，8个区域；n =4时，14个区域；…；归纳一般情况有n 2-n +2 (n ∈N *)．（5）面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i=1,2,3,4)此四边形内任一点P 到第条i 边的距离记为h i (i=1,2,3,4)，若a 11=a 22 =a 33 =a 44 =k ，则∑4i=1(ih i )=2Sk ，类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i=1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i个面的距离记为H i (i=1,2,3,4)，若S 11 = S 22 =S 33 = S 44 =k ，则∑4i=1(iH i )=___________．解析：3Vk，面积法→体积法． （6）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB 2+AC 2=BC 2.若三棱锥A -BC D 的三个侧面ABC 、AC D 、A D B 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足关系______________________．解析：S 2△BC D = S 2△ABC + S 2△AC D+ S 2△A D B ；注意形式上的类比与思想方法上的类比． （7）已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m =a ，a n =b (m ≠n ,m,n ∈N *)，则a m+n =bn -amn -m．现已知数列{b n }(b n >0,n ∈N *)为等比数列，且b m =a ,b n =b (m ≠n ,m,n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m+n =_____． 解析：设{a n }公差为d ，则d =a n -a m n -m =b -a n -m ，∴a m+n =a m +nd =a +n ·b -a n -m = bn -amn -m． 类比此推导方法易知：设{b n }公比为q ，由m n m n q b b -=知，m n aq b -=，∴mn abq -=，∴m n m nm n nm nm a b a a b b b --+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=．故应填m n m n a b -．（8）在等差数列{a n }中，若a 10=0，则有等式a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a 19-n (n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地在等比数列{b n }中，若b 9=1，则有等式_______________成立．解析：b 1b 2…b n =b 1b 2…b 17-n ，用一般到特殊的思考方法。