高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（一）导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.（二）推进新课、新知探究、提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j,∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ=0,∴a·b=x1x2+y1y2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.2°向量模的坐标表示若a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=.)()(212212y y x x -+-3°两向量垂直的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得 cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +∙++=∙讨论结果:略（三）应用示例例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC 是直角三角形.下面给出证明. ∵=(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3),∴·=1×(-3)+1×3=0. ∴⊥.∴△ABC 是直角三角形.变式训练在△ABC 中,=(2,3),=(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值.解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.若∠A=90°,则⊥,所以·=0.于是2×1+3k=0.故k=32-. 同理可求,若∠B=90°时,k 的值为311; 若∠C=90°时,k 的值为2133±. 故所求k 的值为32-或311或2133±. 例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC 的余弦值;(2)a =(3,0),b =(-5,5),求a 与b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)的数量积a ·b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=2121y x +,|b |=2222y x +的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +∙++=∙.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)=(5,1)-(2,-2)=(3,3), =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), ∴·=3×(-1)+3×6=15.又∵|AB |=2233+=32,|AC |=226)1(+-=37,∴cos ∠BAC=.74745372315||||=∙=∙AC AB(2)a ·b =3×(-5)+0×5=-15,|a |=3,|b |=52.设a 与b 的夹角为θ,则 cosθ=.2225315||||-=⨯-=∙b a b a 又∵0≤θ≤π,∴θ=43π. 变式训练设a =(5,-7),b =(-6,-4),求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(精确到解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a |=74)7(522=-+,|b |=52)4()6(22=-+- 由计算器得cosθ=52742⨯-≈-0.03.利用计算器中得θ≈92°.例3 已知|a |=3,b =(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若a ⊥b ,求a ;(2)若a ∥b ,求a.活动:对平面中的两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x 1x 2+y 1y 2=0与向量共线的坐标表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a ·b =0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:(1)设a =(x,y),由|a |=3且a ⊥b ,得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139- (2)设a =(x,y),由|a |=3且a ∥b ,得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--. 变式训练求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l 1)与一次函数y=21-x 的图象(直线l 2)互相垂直. 解:在l 1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l 1上取两点A(1,-1),B(2,1). 同理,在直线l 2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是: AB =(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1, 2),=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得·=1×(-2)+1×2=0, ∴AB ⊥CD ,即l 1⊥l 2.。

高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1.掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的性质解决有关问题；2.掌握向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，能解决一些简单问题.【知识梳理】知识回顾：1．两个向量的数量积的性质：设与为两个非零向量(1)、  (2)、当与同向时，  = ，当与反向时， 特别的： =_____或，|  | ≤ | || |， =________新知探究：已知非零向量，，怎样用和的坐标表示 ？1、平面两向量数量积的坐标表示：即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.2. 平面内两点间的距离公式（1）设，则或（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定：设，，则 4.两向量夹角的余弦（） = =思考感悟:向量不能比较大小，也不能与数0比较大小，但能否有  0（0）？对点练习：1.已知a→=(—3,4),b→=(5,2), 则a→b→等于( )A. —14B. —D. 82.已知a→=(—3,4),b→=(5,2),c→=(1,—1), 则(a→b→)c→等于 ( )A. —14B. —(7,—7) D. (—7,7)3.已知A(—1,1),B(1,2), 则|AB→|等于 ( )A. 5 B—1 D. 74. 已知a→=(3,4),b→=(5,12), 则a→,b→夹角的余弦为( )A. 6365 BD. 13【合作探究】典例精析：例1.已知向量，；（1）求，；（2）求的值；（3）求的值；变式1：已知向量，；（1）求向量与的夹角；（2）若向量与垂直，求的值；例2.设 = (5，7)， = (6，4)，求及、间的夹角θ的余弦值。

【学习目标】学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.【重点难点】平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用【学法指导】预习平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

了解向量的模、夹角等公式。

【知识链接】1.平面向量数量积（内积）的坐标表示2.引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：(1)向量模的坐标表示：能表示单位向量的模吗？(2)平面上两点间的距离公式：向量a的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)AB=(3)两向量的夹角公式cos =3. 向量垂直的判定（坐标表示）4.向量平行的判定（坐标表示）三、提出疑惑疑惑点疑惑内容【学习过程】（一）创设问题情景，引出新课a与b的数量积的定义？⑵向量的运算有几种?应怎样计算？（二）合作探究，精讲点拨探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示数量积a·b呢？a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2教师：巡视辅导学生，解决遇到的困难，估计学生对正交单位基向量i,j的运算可能有困难，点拨学生：i2=1,j2=1,i·j=0探究二：探索发现向量的模的坐标表达式若a=(x,y)，如何计算向量的模|a|呢？若A(x1,x2),B(x2,y2)，如何计算向量AB的模两点A、B间的距离呢？例1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使∠B = 90︒，求点B和向量AB的坐标.--则变式：已知a+b=2i-8j,a b=8i+16j,a b探究三：向量夹角、垂直、坐标表示设a,b都是非零向量，a=(x1,y1),b(x2,y2),如何判定a⊥b或计算a与b的夹角<a,b>呢？1、向量夹角的坐标表示2、a⊥b<=> <=>x1x2+y1y2=03、a∥b <=>X1y2-x2y1=01356365例2 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.变式：已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时，（1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +-与平行吗？平行时它们是同向还是反向？【学习反思】【基础达标】1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ）A.2 B .23 C.6 D.123、a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a 与b 的 数量积4、设a=(2,1),b=(1,3),求a ·b 及a 与b 的夹角5、已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a 与b 的夹角为钝角,则λ取值范围是多少?【拓展提升】 1.已知(4,3),(5,6)a b =-=则23a 4a b=-⋅（ ） A.23 B.57 C.63 D.832.已知()()a 3,4,b=5,12-则a b 与夹角的余弦为（ ）A. B.65 C. D.133.()a=2,3,b=(2,4),-则()()a+b a-b =⋅__________。

必修四第二章 平面向量2.4 .2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。

2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点：向量数量积的坐标表示2、难点：向量数量积的坐标表示知识要点．1．两个向量数量积的坐标表示：若a =（x 1，y 1）、b =（x 2，y 2），则a ·b =x 1x 2+y 1y 22．向量的模：若a =（x ，y ），则|a |2=a ·a =x 2+y 2，∴|a 3．两点间的距离公式：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）则AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∴|AB |=4．两向量垂直的坐标条件：设两非零向量a =（x 1，y 1）、b =（x 2，y 2），则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=05．设A 、B 、C 是坐标平面上的三点，它们的坐标分别为：A （x 1，y 2），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），则AC AB ⊥⇔（x 3-x 1）（x 2-x 1）+（y 3-y 1）（y 2-y 1）=0预习自测1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．12．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．103． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32[归纳反思]能力提升5．已知(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=，试求()a b c 和()a b c 的值.6. 已知(1,2),(,1),2,2a b x u a b v a b ===+=-，根据下列情况求x ：（1）//u v （2）u v ⊥7． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .8． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．参考答案预习自测:1、答案 D 解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2、答案 B解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2. 由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋－12＝10.3、答案 D 解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73. 4、答案 D解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. 能力提升5.答案：()a b c ＝（－8，－12），()a b c ＝（－16，－8）6.答案：（1）12 （2）－2或727.解 (1)a·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4， ∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0，∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)． (2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2＝5.又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0，∴λb·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b·a ＝510＝12， ∴c ＝12b ＝(－1,3)． 8.解 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 60°＝2×1×12＝1， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7. 由已知得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12. 当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7⇒2t 2＝7⇒t ＝－142或t ＝142(舍)． 故t 的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)．。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质：3．练习：（1）已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°（2）已知||=2，||=1，与之间的夹角为3π，那么向量=-4的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12二、讲解新课： 探究：已知两个非零向量),(11y x =，),(22y x =，怎样用和的坐标表示•？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a •b 2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222y x a +=或22y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)3．向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则a ⊥b⇔02121=+y y x x4．两向量夹角的余弦已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，a 与b 之间的夹角为θ（πθ≤≤0） co s θ =b a ⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例： 例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.练习1、习题2.4 A 组第5题例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a •b ，a 、b 间的夹角θ的余弦及│a -4b │。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(导学案) 学习目标：1.知识与技能：掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算；掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。

2.过程与方法：经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程,体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣,培养学生的探究能力、创新精神。

3.情感态度价值观：引导学生探索归纳,感受、理解知识的产生和发展过程,激发学习数学的兴趣,注重培养学生的动手能力和探索能力。

【自主学习】探究:已知两个非零向量11(,)a x y =,22(,)b x y =,怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅,试着推导一下.总结：由此可得：（1）向量求模(长度)工具:（2）向量证明垂直工具:思考：如何使用两个工具解决几何问题？【合作学习】探究活动一：用向量证明垂直例5已知(1,2)A ,(2,3)B ,(2,5)C -,试判断ABC ∆的形状,并给出证明.归纳整理:实践应用: 先作图,观察以(1,4)A --,(5,2)B ,(3,4)C 为顶点的三角形的形状,然后给出证明.问题:如果继续求三角形的其他角,你如何解决?探究活动二：用向量求角向量求角工具:例6设(5,7),(6,4)a b ==--,求a b ⋅及,a b 间的夹角θ(精确到1)归纳整理:实践应用:试着把例5中的角C 求出来.探究活动三：用向量的数量积证明一个著名的不等式 证明:对任意的,,,a b c d R ∈,恒有不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++归纳整理:你还能不能想出更有创意的方法?试一试.本节课的收获:【创意展区】创意要求: 平面向量的数量积a b ⋅是一个非常重要的概念,带来了一系列解决平面几何问题的工具和方法,利用它可以容易地证明平面几何的许多命题,例如勾股定理、菱形的对角线互相垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分等,还可以推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质等,你证出了哪一个?把它记下来和同学交流.【随堂检测】1.已知向量(1,1)a =-,b = (2,x )．若1a b ⋅=,则x =（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1 2.设向量11(1,0),(,)22a b ==,则下列结论中正确的是 ( )． A ．||||a b = B ．2a b ⋅= C ．a b ∥ D ．a b -与b 垂直 3. 已知向量(1,2)a =,向量b =(,2)x -,且a ⊥()a b -,则实数x 等于 ( )．A ．9B ．4C ．0D ．－44. 若向量(1,2),(1,1)a b ==-,则2a b +与a b -的夹角等于 ( )．A ．4π-B ．6πC ．4πD ．34π 5. 已知平面向量(2,4),(1,2)a b ==-,若2c a b =+,则||c ＝________．6. 已知向量(1,0)a =,(1,1)b =,则向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为________．7.已知(2,3),(2,4),(1,2)a b c ==-=--,求,()()a b a b a b ⋅+⋅-,()a b c ⋅+,2()a b +.8. 已知||||2a b ==|,(2)()2a b a b +⋅-=-,求a 与b 的夹角.2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课后反思一直都在考虑到底要选哪一节课来开公开课，到最后时刻才决定选择2.4.2平面向量数量积这一节。

【教学设计】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中__3704810004一、教学任务分析前面已经学习了学习了平面向量数量积概念、运算以及平面向量的坐标表示,本节课是对平面向量数量积从坐标表示方面的进一步研究, 是对前面所学知识的延续.教科书以推导平面向量数量积的坐标表示入手，进而研究平面向量的模、两非零向量垂直的坐标表示和夹角的坐标表示.二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的坐标表示，模的坐标表示,垂直的坐标表示和夹角的坐标表示.难点：平面向量数量积的坐标表示的推导过程，平面向量数量积的坐标表示的应用.二、教学基本流程本节课是平面向量数量积的第二节课，与第一节课紧密联系，且主要以公式为主，因此我设计了以下顺序来安排本节课的教学：（一）复习回顾：主要复习上节课所学，并且本节课用到的知识；（二）引入新课：复习回顾向量加法、减法、数乘的坐标运算，从而引出数量积的坐标表示；（三）探究新知：探究平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示；（四）运用新知：运用所学知识解决相关问题；（五）课堂小结：回顾这节课主要学习了哪些知识，用到了哪些思想方法；（六）布置作业：课下巩固完善.三、学生课前准备因为本节课与上一节课紧密联系在一起，所以要求学生课前一定要复习好上一节课的内容：平面向量数量积的定义、运算律及性质.另外，本节课又是对坐标运算的继续加深，而且在推导平面向量数量积的坐标表示时用到了平面向量的坐标表示和运算，因此要求学生复习好平面向量的坐标表示和运算的内容.四、教学过程设计(一)复习回顾（课件上展示问题）1．平面向量数量积（内积）的定义；2.平面向量的数量积满足的运算律；3.设向量a 与b 都是非零向量，则________⊥⇔a b ；=a a 或=a . 学生活动：以上问题由学生回答，老师适当给以点评.(二)引入新课已知两个非零向量()()1122,,,x y x y =a =b ,则=+a b ；=-a b ；λ=a .提问学生回答，并给出问题：向量a 与b 的数量积⋅a b 能否也用坐标表示？这就是我们这节课要研究的问题：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【设计意图】通过回顾平面向量数量积的定义和对有关性质运算题目的掌握，为探究数量积的坐标表示做好准备．另外，通过对向量的加、减、数乘的坐标运算的回顾，很自然的联想到数量积的坐标表示，从而创设情境激发学生的学习兴趣．(三)探究新知探究1：平面向量数量积的坐标表示教师：已知两个非零向量()()1122,,,x y x y =a =b .试根据向量加法、减法的坐标运算的推导过程，写出向量a 与b 的数量积⋅a b 的坐标表示的推导过程.学生：学生回顾向量加法、减法的坐标运算的推导过程，自己独立推导平面向量数量积的坐标表示.学生推导完成后，用实物投影展示学生推导过程，并让学生讲解.解:因为()()1122x y x y ⋅++a b =i j i j 2212122112x x x y x y y y =+⋅+⋅+i i j i j j又1⋅=i i ，1⋅=j j ，0⋅=⋅=i j j i ，所以⋅a b 2121y y x x +=．教师：你能用文字表述上面的结论吗？学生：学生尝试表述，并同位间交流，最后得出结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．即⋅a b 2121y y x x +=．【设计意图】问题引领，培养学生的探索研究能力,让学生体会成功的乐趣.探究2：向量的模的坐标表达式教师：若(),x y a =，如何计算2a 和a 呢？学生:222||x y =+a ， ||=a 教师：如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、，那么向量a 的坐标如何表示？a 等于什么？学生: 2121(,)x x y y =--a ， =a .【设计意图】在向量数量积的坐标表示基础上，探索发现向量的模小试牛刀：已知()3,4=-a ，(5,2)=b ，求,,⋅a b a b .学生:学生计算,并提问学生回答: 5,7.==⋅=-a b a b【设计意图】熟练应用向量数量积的坐标公式．探究3：向量垂直的坐标表示教师:设a 与b 都是非零向量,()()1122,,,x y x y =a =b ,如何用向量a,b 的坐标来表示⊥a b ？提问一名同学到黑板上书写,其他同学在导学案上书写：1212=00x x y y ⊥⇔⋅⇔+=a b a b .【设计意图】在向量数量积的坐标表示基础上两向量垂直.此时,展示例1.让学生把答案写在导学案上.给学生4分钟的时间完成，并用投影展示学生的答案，在展示时可以多选取学生完成几种不同的方法.多媒体上展示变式1，让学生完成并口述答案.多媒体上展示变式2，提问一名同学到黑板上板书过程.【设计意图】此时展现例题，注重讲练结合，而且能够及时加深学生对两向量垂直的记忆和理解.两个变式题目的设计也注重梯度性，有利于各层次学生的学习.探究4：向量夹角的坐标表示教师:设a 与b 都是非零向量， ()()1122,,,x y x y =a =b ，θ是a 与b 的夹角，你能用a ，b 的坐标来表示cos θ？提问一名同学到黑板上书写,其他同学在导学案上书写：cos θ=接下来讲解例2.先给学生2分钟的思考时间,然后提问一名同学回答,教师板书，给学生起到示范作用.并引导学生总结求两向量夹角余弦值的方法.（四）应用新知例1.已知点(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，试判断ABC ∆的形状，并给出证明.引导学生用不同的方法做这道题目,并展示学生的答案.变式：（1）已知ABC ∆为直角三角形，090A ∠=,(1,3),(2,)AB AC k ==，求k 的值.（2）若上式中090C ∠=，那么k 的值是多少? 答案：（1）23k =-；（2）k =1或2. 例2．已知向量()5,7=-a ，()6,4=--b ,求a b 及a 、b 的夹角θ的余弦值. 解：5(6)(7)(4)3028 2.⋅⨯-+-⨯-=-+=-a b ===，a ==b∴cos 0.03.96274θ===-≈-a b a b 教师:结合本题,总结一下求两向量夹角余弦值的步骤?学生：求两向量夹角的余弦值，先求|⋅、|、,a b a b 再代入公式计算.(五)课堂小结提问一名同学回答,通过本节课的学习,在知识方面和思想方法你有哪些收获?知识方面:1.平面向量数量积的坐标表示；2.向量模的坐标表示；3.向量垂直的坐标表示；4.向量夹角的坐标表示.思想方法：数形结合，类比.【设计意图】培养学生归纳整合知识能力，培养学生思维的灵活性与严谨性．(六)布置作业1.阅读课本P106-P107；2.必做:课本P108 A 组第9、10、11题；选做：课本P108 B 组第2题.【设计意图】学生养成先复习后做作业的学习习惯,另外分层布置作业,满足不同学生的需要．(七)板书设计x x+12【学情分析】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中__3704810004在学习本节之前学生已经学习了平面向量数量积概念、运算以及平面向量的坐标表示，且大部分同学有了一定的推理计算能力和处理向量问题的方法，完全有能力推导出平面向量数量积的坐标表示，对于少数不能推导出平面向量数量积坐标表示的可以让他们看课本上的推导过程.有了数量积的坐标表示，在结合上一节中平面向量数量积的性质，那么平面向量的模、两非零向量的垂直关系以及两非零向量的夹角也就很容易用坐标来表示了，学生接受起来也会比较容易.为了更好的学习本节课，在课前需要学生提前预习并且复习好上一节的内容和平面向量的坐标表示，尤其是向量加法、减法运算的推导过程，以便能够顺利的推导出平面向量的数量积的坐标表示.【效果分析】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中__3704810004本节课是从坐标表示对平面向量数量积的进一步学习，本节课公式比较多，通过本节课的教学，基本上达到了预期的效果，可以通过以下几个方面来说明：1.课堂教学效率比较高，学生思维活跃，整堂课气氛比较热烈。

第二章平面向量平面向量的数量积2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示.2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式.3.能用所学知识解决有关综合问题.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:(1)设单位向量i,j别离与平面直角坐标系中的x轴、y轴方向相同,O为坐标原点,若向量=3i+2j,则向量的坐标是,若向量a=(1,-2),则向量a可用i,j表示为;(2)已知|i|=|j|=1,i⊥j,且a=3i+2j,b=i-j,则a·b=.二、信息交流,揭露规律问题2:已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何用a与b的坐标来表示a·b呢?问题3:如何用坐标表示向量的模、垂直的条件和夹角的余弦?2.平面内两点间的距离公式(1)设a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.(2)若是表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标别离为(x1,y1),(x2,y2),那么|a|= (平面内两点间的距离公式).3.向量垂直的判定设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔.4.两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)cosθ==.三、运用规律,解决问题【例1】已知a=(-1,),b=(,-1),求a·b,|a|,|b|,a与b的夹角θ.【例2】已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.【例3】在Rt△OAB中,=(2,3),=(1,k),求实数k的值.四、变式演练,深化提高练习:已知a=(3,-1),b=(1,2),求知足x·a=9与x·b=-4的向量x.五、反思小结,观点提炼本节课咱们学习了哪些知识?用到了什么思想方式?你还有其他什么收获?布置作业P108习题2.4A组第9,10,11题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:(1)(3,2) a=i-2j(2)1二、信息交流,揭露规律问题2:设向量i,j别离为平面直角坐标系x轴、y轴上的单位向量,则有a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)(x2i+y2j),x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y1j2=x1x2+y1y2,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.从而可得·b=x1x2+y1y2.问题3:2.(1)|a|=(2)(3)x1x2+y1y2=04. .三、运用规律,解决问题【例1】解:a·b=(-1)××(-1)=-2,|a|==2,|b|==2,cosθ==-,因为0≤θ≤π,所以θ=.【例2】解:△ABC是直角三角形.证明如下:因为=(1,1),=(-3,3),=1×(-3)+1×3=0,所以,所以△ABC是直角三角形.【例3】解:(1)若∠AOB=90°,则,所以2+3k=0可得k=-;(2)若∠OAB=90°,则,而=(-2,-3),=(-1,k-3),所以2-3(k-3)=0,从而k=;(3)若∠OBA=90°,则,而=(-1,-k),=(1,3-k),因为-1-k(3-k)=0,所以k= .四、变式演练,深化提高练习:解:设x=(t,s),由所以x=(2,-3).五、反思小结,观点提炼1.掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;2.掌握平面向量的模的坐标公式和平面内两点间的距离公式;3.掌握两个平面向量的夹角的坐标公式;4.能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系.。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角Q 情景引入ing jing yin ru“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究．X 新知导学in zhi dao xue1．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).数量积两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__两个向量垂直a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__[知识点拨]1.公式a·b＝|a||b|cos a，b与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，b>求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．2．平面向量的模与夹角的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：坐标表示模|a |2＝__x 21＋y 21__或|a |＝__x 21＋y 21__设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝__(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2__ 夹角cos θ＝a·b|a||b|＝__x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22__(a ，b 为非零向量)[知识点拨]向量的模的坐标运算的实质向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离．同样，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．Y 预习自测u xi zi ce1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”． (1)|AB →|的计算公式与A ，B 两点间的距离公式是一致的．( √ ) (2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1y 1＋x 2y 2.( × ) (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ⊥b ，则x 1y 1＋x 2y 2＝0.( × ) (4)若a ·b ＝|a ||b |，则a ，b 共线．( √ ) (5)若a ·b >0，则a ，b 的夹角为锐角．( × ) 2．已知a ＝(－1,3)，则|a |＝( C ) A ．2 B ．2 C ．10D ．103．若向量a ＝(－1,2)，b ＝(1，－2)，则a·b ＝( D ) A ．0 B ．2 C ．－4D ．－54．已知a ＝(2，－1)，b ＝(－1,3)，则a 与b 的夹角为__3π4__.[解析] cos a ，b ＝a ·b|a ||b |＝2×(－1)＋(－1)×322＋(－1)2＋(－1)2＋32＝－22，∴a ，b ＝3π4.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1⇨数量积的坐标表示典例1已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．[解析]解法一：因为a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2＝3×5－7×8＋2×13＝－15.解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)．∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.『规律总结』进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．〔跟踪练习1〕向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(C)A．－1B．0C．1D．2[解析]a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.命题方向2⇨利用坐标运算解决模与夹角的问题典例2已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9,12)，c＝(4，－3)，(1)求|b|与|c|；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．[思路分析](1)根据模长公式求解；(2)根据两向量的夹角公式求解．[解析](1)∵b＝(9,12)，∴|b|＝92＋122＝15，同理|c|＝42＋(－3)2＝5.(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)272＋12＝－25252＝－22. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.『规律总结』 解决向量夹角问题的方法：先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.〔跟踪练习2〕设a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，求实数t 的值． [解析] a ＋t b ＝(4，－3)＋t (2,1)＝(4＋2t ，t －3)． (a ＋t b )·b ＝(4＋2t ，t －3)·(2,1)＝5t ＋5. |a ＋t b |＝(4＋2t )2＋(t －3)2＝5(t ＋1)2＋20.由(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos45°，得5t ＋5＝522·(t ＋1)2＋4，即t 2＋2t －3＝0.∴t ＝－3或t ＝1，经检验t ＝－3不合题意，舍去， ∴t ＝1.X 学科核心素养ue ke he xin su yang利用平行、垂直求参数借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量运算的重要应用之一，具体做法就是借助a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R ，b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0或a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可．典例3 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．[思路分析] 找出相互垂直的向量，利用向量垂直的坐标表示公式列方程求k 即可． [解析] 当∠A ＝90°时，AB →·AC →＝0， ∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23.当∠B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)， ∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0.∴k ＝113.当∠C ＝90°时，AC →·BC →＝0， ∴－1＋k (k －3)＝0.∴k ＝3±132.综上所述：k ＝－23或113或3±132.『规律总结』 解决本题的关键是要判断△ABC 中哪个内角为直角，故应进行分类讨论，不能只认为某个角就是直角，结果只考虑一种情况而导致漏解．〔跟踪练习3〕已知三个点A 、B 、C 的坐标分别为(3，－4)、(6，－3)、(5－m ，－3－m )，若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．[解析] 由已知，得AB →＝(3,1)， AC →＝(2－m,1－m )．∵△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角， ∴AB →⊥AC →.∴AB →·AC →＝3(2－m )＋(1－m )＝0， 解得m ＝74.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi忽视向量共线致误典例4 已知a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，且a 与b 的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12B ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 [错解] ∵a 与b 的夹角θ为锐角，∴cos θ>0，即a ·b ＝1－2λ>0，得λ<12，故选D ．[错因分析] 由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.本题错解中就是忽略了θ＝0这种情况，此时cos θ＞0成立，但夹角不是锐角．[正解] A ∵a 与b 的夹角θ为锐角，∴cos θ>0且cos θ≠1，即a ·b >0且a 与b 方向不同，即a ·b ＝1－2λ>0，且a ≠m b (m >0)，解得λ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12，故选A ． [误区警示] 对于非零向量a 与b ，设其夹角为θ，则θ为锐角⇔cos θ>0，且cos θ≠1⇔a ·b >0，且a ≠m b (m >0)；θ为钝角⇔cos θ<0，且cos θ≠－1⇔a ·b <0，且a ≠m b (m <0)；θ为直角⇔cos θ＝0⇔a ·b ＝0.〔跟踪练习4〕设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围． [解析] 由cos θ<0得x <85，因为a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，所以a 与b 反向，θ＝π，故x <85且x ≠－52.K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论正确的是( C )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b [解析] 由题意|a |＝12＋02＝1，|b |＝(12)2＋(12)2＝22. a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，∴a －b 与b 垂直．2．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( C ) A ．{2,3} B ．{－1,6} C ．{2}D ．{6}[解析] 考查向量垂直的坐标表示，a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2(x －5)＋3x ＝0，解之得x ＝2，则由x 的值构成的集合是{2}． 3．已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是( A ) A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形[解析] AC →＝(－3,3)，AB →＝(1,1)，AC →·AB →＝0. ∴A ＝π2.4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ( B ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1[解析] 本题考查数量积的运算，向量垂直的条件． m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， ∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，∴λ＝－3. 5．已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10，求： (1)向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )b .[解析] (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)， ∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a ·c )b ＝0·b ＝0.。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角考试标准课标要点学考要求高考要求数量积的坐标表示c c两个向量夹角的坐标运算b b平面向量模的坐标运算b b知识导图学法指导1.学习了本节后，我们在用向量处理平面图形问题时就有了两种方法，通过一题两解，体会基底法和坐标法的优劣及选择依据．2．通过数形结合，对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比，培养学生联想的记忆方法.1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2两个向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0状元随笔对数量积的坐标表示的理解(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；(2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强；(3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将体现更多．解析：由题意，a ·b ＝(－2,1)·(x ，－2)＝－2x －2＝0，解得x ＝－1. 答案：A4．已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝________.解析：因为a ＋b ＝(－1, 3)，所以|a ＋b |＝(－1)2＋(3)2＝2. 答案：2类型一 数量积的坐标运算例1 (1)设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3,4)，向量c ＝(3,2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( )A ．(－15,12)B ．0C ．－3D ．－11(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，且a ·b ＝－1，则x 的值等于( ) A.12B ．－12 C.32D ．－32【解析】 (1)依题意可知，a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，所以(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.(2)因为a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，所以a ·b ＝(1,2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－32.【答案】 (1)C (2)D(1)先求出a →＋2b →，然后利用平面向量的数量积求出(a →＋2b →)·c →.(2)利用平面向量的数量积运算求出a →·b →，由a →·b →＝－1得出关于x 的方程求解．方法归纳数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．λ等于________．【解析】 (1)由a ·b ＝－10，得(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，∴c ·a ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝－525×5＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2)方法一 λa －2b ＝(λ，λ)－2(2，－3)＝(λ－4，λ＋6)． ∵(λa －2b )⊥a ，∴(λa －2b )·a ＝0，∴(λ－4)＋(λ＋6)＝0， ∴λ＝－1.方法二 ∵(λa －2b )⊥a ，∴(λa －2b )·a ＝0，即λa 2＝2a ·b ， ∴λ(1＋1)＝2(1,1)·(2，－3)，即2λ＝－2，∴λ＝－1. 【答案】 (1)C (2)－1(1)先求a →·b →，再由已知求c →·a →最后利用cos θ＝a →·c→|a →||c →|，求夹角．(2)已知向量垂直求参数，由相应向量的数量积为零建立关于参数的方程，求解即可．方法归纳利用数量积求两向量夹角的步骤数量积:利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.模:利用|a |＝计算出这两个向量的模. 余弦值:由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ的值.角:在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ.跟踪训练3 已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c .(1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 解析：(1)因为a ∥b ，所以3x ＝4×9，所以x ＝12.因为a ⊥c ，所以3×4＋4y ＝0，所以y ＝－3，所以b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m 、n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2×72＋12＝－25252＝－22. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.(1)由a →∥b →求x ，由a →⊥c →求y.(2)利用cos θ＝m →·n→|m →||n →|，求夹角．2.4.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32 C ．2 D ．6解析：依题意得6－m ＝0，m ＝6，选D. 答案：D2．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 答案：C3．已知a ，b 为平面向量，且a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4. [能力提升](20分钟，40分)11．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43 D ．－1解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)，设P (x ，y )，取BC 的中点D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →＝2(－1－x ，－y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，32－y ＝2[(x ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋y ·⎝⎛⎭⎪⎫y －32]＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－34]. 因此，当x ＝－14，y ＝34时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32，故选B.答案：B12．已知a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，则实数t ＝________.解析：因为a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)， 所以a ＋t b ＝(2t ＋4，t －3)， 所以(a ＋t b )·b ＝5t ＋5.又|a ＋t b |＝(2t ＋4)2＋(t －3)2 ＝5t 2＋10t ＋25， |b |＝5，(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos 45°，又由θ∈[0，π]，得θ＝π，即a与b的夹角为π.。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语人生太短，要干的事太多，我要争分夺秒。

——爱迪生学习目标1．理解掌握平面向量数量级的坐标表达式，会进行数量积的坐标运算.2．理解掌握相连的模、夹角等公式，能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题. 学习重点利用平面向量数量积的坐标运算求向量的夹角、模等学习难点平面向量数量积坐标运算的灵活应用自主学习1．平面向量的数量积的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a•b=______.2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零的向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则______. 3．三个重要公式(1)向量模的公式：若a=(x,y)，则=_____________.(2)两点间的夹角公式：A=(x1,y1),B=(x2,y2),，则=__________.(3)向量的夹角公式：设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a与b的夹角为θ，则c osθ=______________. 预习评价1．若向量b与向量a=(1,-2)的夹角为180°，且,则b=A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)2．若a=(3,4),b=(2,-1)则= , = ,a•b= .3．若a=(4,-2),b=(k,-1)且a⊥b则k=____________.4．已知，则向量a，b的夹角θ=___________.♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．平面向量数量积的坐标运算及向量模的坐标表示根据平面向量数量积的坐标表示公式a•b=x1x2+y1y2，(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2))，探究下列问题：(1)如何用向量a与向量b的坐标推导表示a•b？(2)平面向量数量积的坐标表示的作用是什么？2．如何利用向量的数量积坐标表示公式推导？3．平面向量的夹角与垂直的坐标表示设a，b为非零向量，已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且a与b的夹角为θ，回答下列问题：(1)能否用向量a与b的坐标表示其夹角？(2)当θ＝90°即a⊥b时，利用向量a与b的坐标能得到什么关系？教师点拨平面向量的夹角与垂直的坐标表示的四点说明已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)且a与b的夹角为θ.(1)夹角公式：其作用是求两个向量的夹角，证明两个向量垂直；判断两个向量夹角的范围.(2)垂直的等价形式：.(3)平面向量的夹角公式与垂直的坐标表示的前提条件是：a≠0且b≠0.(4)因为，所以.交流展示——平面向量数量积与模的坐标运算1．在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=A.5B.4C.3D.22．已知平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=.变式训练1．向量，且与方向相同，则的范围是A. B. C. D.2．已知向量a=(2，l)，a·b=10，，则|b|=A. B. C.5 D.25交流展示——应用数量积解决垂直与夹角问题已知向量，.(Ⅰ)当时，求的值；(Ⅱ)当时，求向量与的夹角的余弦值；(Ⅲ)当时，求.变式训练3．已知中，、、,为边上的高，则点的坐标为_______. 4．已知向量a=(4,2),b=(1,1),则向量a-b与向量a+b的夹角的余弦值是.交流展示——平面向量数量积的综合运算与应用4．平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，M是线段DC上一点，且满足，若N 为平行四边形ABCD内任意一点(含边界), 则的最大值为A.13B.0C.8D.55．如图,已知二次函数y=a x2+b x+c(a,b,c∈R,a≠0)是偶函数,其图象过点C(t,2)且与x轴交于A,B两点,若AC ⊥BC,则a的值为.变式训练5．已知三个点，，．(1)求证：；(2)要使四边形为矩形，求点的坐标以及矩形两对角线所夹锐角的余弦值．6．在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,t)( 0≤θ≤).(1)若⊥a,且||=||,求向量;(2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsin θ取最大值为4时,求·.学习小结1．求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤:(2)注意事项:在个别合有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算的值.2．求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.(2)a·a= a2=|a|2或此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(3) 一些常见的等式应熟记,如等. 3．利用数量积求两向量夹角的步骤(1)求数量积:利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.(2)求模:利用计算出这两个向量的模.(3)求余弦值:由公式直接求出的值.(4)求角:在内,由的值求角.4．求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2 =x2+y2,于是有.类型二平面向量的夹角和垂直问题5．数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时,要正确使用公式并能灵活运用以下几个关系:|a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.当堂检测1．已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与bA.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向2．已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为A. B. C. D.3．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是 .4．已知点A(-3，-4)，B(5，-12)，O 为坐标原点.(1)求的坐标及.(2)若，，求及的坐标.(3)求.5．已知向量的夹角为.(1)求；(2)若,求的值.知识拓展已知向量)2,1(-=，)3,2(=，若b a m +=λ与b a n -=的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 .2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】1．x1x2＋y1y22．x1x2＋y1y2＝03．(1) (2) (3)【预习评价】1．A2．5 23．4．120°♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)设i，j是x轴、y轴上的单位向量，即i＝(1，0)，j＝(0，1)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，所以a·b ＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2.(2)引入向量的坐标表示后，实现了向量的数量积的运算与两向量坐标的运算的转化，从而将两者联系起来.同时向量的坐标表示与运算可以简化数量积的运算.2．由向量的数量积公式的坐标表示，得a2＝a·a＝(x，y)·(x，y)＝x2＋y2，又向量模的坐标公式｜a｜＝,得｜a｜2＝x2＋y2，所以a2＝｜a｜2.3．(1)提示:由向量的数量积公式a·b＝｜a｜｜b｜c osθ，得，根据向量数量积与向量模的坐标表示，得cosθ＝.(2)根据向量夹角的坐标公式，当θ＝90°时，cos90°＝＝0，x1x2＋y1y2＝0，即a⊥b x1x2＋y1y2＝0.【交流展示——平面向量数量积与模的坐标运算】1．A【解析】本题主要考查平面向量的基本运算.由+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),得·=(2,1)·(3,-1)=5,故选A.【备注】平面向量的基本运算,首先要注意应用向量的加减法产生必要的向量,然后结合向量的乘法及一些其他运算.2．2【解析】本题主要考查平面向量的基础知识,考查考生的运算求解能力.由a=(2,0),|b|=1,可知|a|=2,a·b=|a||b|cos 60°=1,又|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4+4=12,故|a+2b|=2.【变式训练】1．C【解析】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及平行向量，两个向量与方向相同，我们可以判断存在实数使得：，然后根据已知条件，将条件中的等量(不等)关系转化为方程(不等式)，解方程(不等式)即可求得答案．∵与同向，∴可设，则有，又∵，∴，∴的范围是，故应选C.2．C【解析】()222250a b a b a b a b +=∴+=++⋅=，得5b =，故选C.【交流展示——应用数量积解决垂直与夹角问题】(Ⅰ)∵，∴，即.(Ⅱ)∵，，∴，又，.∴向量与向量的夹角的余弦值为.(Ⅲ)依题意 .∵，∴.即，∴.∴.∴.【解析】本题主要考查了平面向量的数量积.如果两个向量垂直，则它们对应坐标乘积的和等于0.如果求两个向量夹角的余弦值则会用两个向量数量积去求解.【变式训练】3．(1，1)【解析】本题主要考查了向量共线和垂直的坐标表示.设D 点坐标为，则向量，因为点D 在BC 上，所以向量和共线，所以有，整理得；又因为为边上的高，所以，所以有，即，整理得，，把①②联立解得：.所以点D 的坐标为(1，1). 4．【解析】因为向量a =(4,2),b =(1,1),所以向量a -b =(3,1),a +b =(5,3),所以|a -b |=,|a +b |=,(a -b )·(a +b )=15+3=18,所以cos<a -b ,a +b >=.【交流展示——平面向量数量积的综合运算与应用】4．A【解析】本题考查平面向量的数量积. 如图建立平面直角坐标系. 令(,),N x y 则M C .2AM AN x ∴⋅=+，令2Z x =+,当它过点C 时，max Z =2513⨯=.选A5．-【解析】由题意可知b=0,故函数图象与x轴交点的坐标分别为A(-,0),B(,0);点C的坐标为C(-,2),则=(-+,-2),=(+,-2),故·=++4=+4=0,可得a=-.【变式训练】5．(1)证明：由题意，，，∴ .∴，∴.(2)由(1)及四边形ABCD为矩形，得，设，则(1，1)=(x+1，y-4)，∴，即C(0，5)；∴，得：，，.设与夹角为，则，∴该矩形对角线所夹的锐角的余弦值．【解析】本题考查两向量垂直的充要条件并利用向量垂直证明两线垂直；利用向量的数量积求向量的夹角.(1)求出向量的坐标，利用向量的数量积为0，两向量垂直证出两线垂直．(2)利用向量相等对应的坐标相等求出点C的坐标，求出两对角线对应的向量坐标，利用向量的数量积公式求出向量的夹角．6．(1)=(n-8,t),∵⊥a,∴8-n+2t=0.又||=||,∴5×64=(n-8)2+t2=5t2,得t=±8.∴=(24,8)或=(-8,-8).(2)=(ksin θ-8,t),∵向量与a共线,∴t=-2ksin θ+16,tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ=-2k(sin θ-)2+,∵k>4,∴1>>0,∴当sin θ=时,tsin θ取得最大值.由=4,得k=8,此时θ=,=(4,8),∴·=(8,0)·(4,8)=32.【解析】本题主要考查向量的坐标运算、向量垂直、向量的数量积运算和三角函数的最值问题,考查考生的运算求解能力.【当堂检测】1．A【解析】∵ab= (-5,6)·(6,5)=(-5)×6+6×5=0,∴a ⊥b.2．B【解析】因为a·(b-a)=a·b-a2=2,所以a·b=3,所以cos<a,b>===,所以<a,b>=.【解析】本题考查平面向量的数量积。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标：1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．平面向量数量积的坐标表示：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.3．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.4．向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 夹角为θ，则 cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.[基础自测]1．思考辨析(1)两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，满足x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ，b 的夹角为0°.( )(2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ⊥b ⇔x 1x 2－y 1y 2＝0.( )(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( ) [解析] (1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°. (2)×.a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)×.因为两向量的夹角有可能为180°. [答案] (1)× (2)× (3)×2．已知a ＝(2，－1)，b ＝(2,3)，则a·b ＝________，|a ＋b |＝________. 1 25 [a ·b ＝2×2＋(－1)×3＝1，a ＋b ＝(4,2)，|a ＋b |＝42＋22＝2 5.] 3．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，m )，若a ⊥b ，则m ＝________. 23[因为a ⊥b ，所以a ·b ＝1×(－2)＋3m ＝0， 解得m ＝23.]4．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为________． 6365[因为a ·b ＝3×5＋4×12＝63，|a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13， 所以a 与b 夹角的余弦值为a·b|a ||b |＝635×13＝6365.][合 作 探 究·攻 重 难]F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．图2-4-4(2)已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. ①求a 的坐标；②若c ＝(2，－1)，求a (b ·c )及(a·b )c .[思路探究] (1)建系→求有关点、向量的坐标→求数量积(2) ①先由a ＝λb 设点a 坐标，再由a·b ＝10求λ. ②依据运算顺序和数量积的坐标公式求值．(1)2 [(1)以A 为坐标原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0,2)，C (2，2)，E (2，1)． 可设F (x,2)，因为AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x ＝2， 所以x ＝1，所以AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2. (2)①设a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ＞0)， 则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2， ∴a ＝(2,4)．②∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．] [规律方法] 数量积运算的途径及注意点进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.[跟踪训练]1．(1)设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3,4)，向量c ＝(3,2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3D ．－11(2)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b·c ＝5，则向量c ＝________. (1)C (2)⎝⎛⎭⎫97，47 [(1)依题意可知，a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.(2)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b·c ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝97，y ＝47，所以c ＝⎝⎛⎭⎫97，47.](1)等于( )A ．4B ．5C ．3 5D ．4 5(2)若向量a 的始点为A (－2,4)，终点为B (2,1)，求： ①向量a 的模；②与a 平行的单位向量的坐标； ③与a 垂直的单位向量的坐标.【导学号：84352253】[思路探究] 综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解． (1)D [(1)由y ＋4＝0知 y ＝－4，b ＝(－2，－4)，∴2a －b ＝(4,8)，∴|2a －b |＝4 5.故选D. (2)①∵a ＝AB →＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)， ∴|a |＝42＋－2＝5.②与a 平行的单位向量是±a|a |＝±15(4，－3)，即坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，35. ③设与a 垂直的单位向量为e ＝(m ，n )，则a·e ＝4m －3n ＝0，∴m n ＝34.又∵|e |＝1，∴m 2＋n 2＝1.解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45或⎩⎨⎧m ＝－35，n ＝－45，∴e ＝⎝⎛⎭⎫35，45或e ＝⎝⎛⎭⎫－35，－45.] [规律方法] 求向量的模的两种基本策略字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.坐标表示下的运算：若a ＝x ，y ，则a·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. [跟踪训练]2．若向量a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)，则|a －b |的最小值为________． 2 [由已知得a －b ＝(3x －2,4－3x )， 所以|a －b |＝x －2＋－3x2＝18x 2－36x ＋20＝x －2＋2，当x ＝1时，|a －b |取最小值为 2.][探究问题]1．设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？提示：cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 2．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于？ 提示：由已知得a －b ＝(1－x,4)． ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0. ∵a ＝(1,2)，∴1－x ＋8＝0，∴x ＝9.(1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)(2)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标.【导学号：84352254】[思路探究] (1)可利用a ，b 的夹角为锐角⇔⎩⎪⎨⎪⎧a·b>0，a ≠λb 求解．(2)设出点D 的坐标，利用BD →与BC →共线，AD →⊥BC →列方程组求解点D 的坐标． (1)B [(1)当a 与b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，选B. (2)设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)． ∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ， ∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，② 即2x ＋y －3＝0.由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)， ∴|AD →|＝－2＋22＝5，综上，|AD →|＝5，D (1,1)．]母题探究：1.将例3(1)中的条件“a ＝(2,1)”改为“a ＝(－2,1)”“锐角”改为“钝角”，求实数k 的取值范围．[解] 当a 与b 共线时，－2k －1＝0，k ＝－12，此时a 与b 方向相反，夹角为180°， 所以要使a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b ＜0 且a 与b 不反向．由a·b ＝－2＋k ＜0得k ＜2. 由a 与b 不反向得k ≠－12，所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2. 2．将例3(1)中的条件“锐角”改为“π4”，求k 的值．[解] cos π4＝a·b|a ||b |＝2＋k 5·1＋k 2，即22＝2＋k 5·1＋k2，整理得3k 2－8k －3＝0， 解得k ＝－13或3.[规律方法] 1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． (2)求模．利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模． (3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求夹角余弦值． (4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a ⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决．[当 堂 达 标·固 双 基]1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( )【导学号：84352255】A ．|a |＝|b |B ．a·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直D [A 项，|a |＝1，|b |＝22，故|a |≠|b |；B 项，a ·b ＝1×12＋0×12＝12；C 项，1×12≠0×12；D 项，a －b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，(a －b )·b ＝12×12－12×12＝0，故选D.] 2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2B [a ·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a |＝32＋－2＝10，|b |＝12＋－2＝5，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝510·5＝22.又0≤θ≤π，∴θ＝π4.]3．设a ＝(2,4)，b ＝(1,1)，若b ⊥(a ＋m b )，则实数m ＝________.【导学号：84352256】－3 [a ＋m b ＝(2＋m,4＋m )， ∵b ⊥(a ＋m b )，∴(2＋m )×1＋(4＋m )×1＝0， 得m ＝－3.]4．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________. 82 [易得a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6， 所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)， 所以|c |＝82＋－2＝8 2.]5．平面直角坐标系xOy 中，O 是原点(如图2-4-5)．已知点A (16,12)，B (－5,15)．图2-4-5(1)求|OA →|，|AB →|；(2)求∠OAB . 【导学号：84352257】 [解] (1)由OA →＝(16,12)， AB →＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)， 得|OA →|＝162＋122＝20， |AB →|＝－2＋32＝15 2.(2)cos ∠OAB ＝cos 〈AO →，AB →〉 ＝AO →·AB →|AO →||AB →|. 其中AO →·AB →＝－OA →·AB → ＝－(16,12)·(－21,3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300， 故cos ∠OAB ＝30020×152＝22，∴∠OAB ＝45°.。

2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量．思考1i·i，j·j，i·j分别是多少？[答案]i·i＝1×1×cos 0＝1，j·j＝1×1×cos 0＝1，i·j＝0.思考2取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b.[答案]∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.思考3若a⊥b，则a，b坐标间有何关系？[答案]a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.梳理设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考1若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示．[答案]∵a＝x i＋y j，x，y∈R，∴a2＝(x i＋y j)2＝(x i)2＋2xy i·j＋(y j)2＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2.又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，∴|a|＝x2＋y2.思考2 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →的模？[答案] ∵AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1) ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 梳理知识点三 平面向量夹角的坐标表示思考 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[答案] cos θ＝a·b|a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.1．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( × ) 2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.( × )3．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．( × ) 提示 当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角.类型一 数量积的坐标运算例1 (1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )等于( ) A ．10B ．－10C ．3D ．－3[考点] 平面向量数量积的坐标表示与应用 [题点] 坐标形式下的数量积运算 [答案] B[解析] a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，且DF →＝2FC →，则AE →·BF →的值是________．[考点] 平面向量数量积的坐标表示与应用 [题点] 坐标形式下的数量积运算 [答案] 43[解析] 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB ＝2，BC ＝2，∴A (0,0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0,2)， ∵点E 为BC 的中点，∴E (2，1)， ∵点F 在边CD 上，且DF →＝2FC →， ∴F ⎝⎛⎭⎫223，2.∴AE →＝(2，1)，BF →＝⎝⎛⎭⎫－23，2， ∴AE →·BF →＝－23＋2＝43.反思与感悟 数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．跟踪训练1向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于()A．－1 B．0 C．1 D．2[考点]平面向量数量积的坐标表示与应用[题点]坐标形式下的数量积运算[答案] C[解析]因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，则(2a＋b)·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.类型二平面向量的模例2已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)．(1)求a－2b及其模的大小；(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.[考点]平面向量模与夹角的坐标表示的应用[题点]利用坐标求向量的模解(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，∴|a－2b|＝72＋32＝58.(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，∴c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝12＋62＝37.反思与感悟求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2＝x2＋y2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．跟踪训练2 已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．25[考点] 平面向量模与夹角的坐标表示的应用 [题点] 利用坐标求向量的模 [答案] C[解析] ∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5， 又|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.类型三 平面向量的夹角问题例3 (2017·山东枣庄八中月考)已知点A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，O (0,0)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →，OC →的夹角为( ) A.π2 B.π4 C.π3 D.π6[考点] 平面向量夹角的坐标表示与应用 [题点] 求坐标形式下的向量的夹角 [答案] D[解析] 因为|OA →＋OC →|2＝(OA →＋OC →)2＝OA →2＋2OA →·OC →＋OC →2＝9＋6cos α＋1＝13， 所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，所以C ⎝⎛⎭⎫12，32，所以cos 〈OB →，OC →〉＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝3×323×1＝32，因为0≤〈OB →，OC →〉≤π，所以〈OB →，OC →〉＝π6，所以OB →，OC →的夹角为π6，故选D.反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．(2)利用|a |＝x 2＋y 2求两向量的模．(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围． [考点] 平面向量夹角的坐标表示与应用 [题点] 已知坐标形式下的向量夹角求参数 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.又∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．类型四 平面向量的垂直问题例4 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值． [考点] 向量平行与垂直的坐标表示的应用 [题点] 已知向量垂直求参数 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．跟踪训练4 已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.17 B ．－17 C.16 D ．－16[考点] 向量平行与垂直的坐标表示的应用 [题点] 已知向量垂直求参数 [答案] B[解析] 由向量λa ＋b 与a －2b 垂直，得 (λa ＋b )·(a －2b )＝0.因为a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0， 即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.1．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365 B.65 C.135D.13 [考点] 平面向量夹角的坐标表示与应用 [题点] 求坐标形式下的向量的夹角 [答案] A [解析] |a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13.a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a ，b 夹角为θ，所以cos θ＝635×13＝6365.2．若向量a ＝(x ,2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( ) A ．3 B ．－3 C.53 D ．－53[考点] 平面向量数量积的坐标表示与应用 [题点] 已知数量积求参数[答案] A[解析]a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.3．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于()A．－4 B．－3 C．－2 D．－1[考点]向量平行与垂直的坐标表示的应用[题点]已知向量垂直求参数[答案] B[解析]因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. 4．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝35，则b等于()A．(－3,6) B．(3，－6)C．(6，－3) D．(－6,3)[考点]平面向量数量积的坐标表示与应用[题点]已知数量积求向量的坐标[答案] A[解析]由题意设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b|＝λ2＋(－2λ)2＝5|λ|＝35，又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6)．5．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．[考点]向量平行与垂直的坐标表示的应用[题点]已知向量垂直求参数解(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝42＋32＝5，|b|＝(－1)2＋22＝5，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝255＝2525.(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，(a－λb)⊥(2a＋b)，∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529.1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.。

§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.（预习教材P106—P107） 复习：1.向量a r 与b r 的数量积a b ⋅r r = . 2.设a r 、b r 是非零向量，e r 是与b r 方向相同的单位向量，θ是a r 与b r 的夹角，则 ①a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；②a =r ；③cos θ= .二、新课导学※ 探索新知探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==r r ，怎样用a r 与b r 的坐标表示a b ⋅r r 呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,a b=⋅v v v v （坐标形式）。

这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。

问题2：如何求向量(),a x y =r ()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式 （1）设a=(x,y),v 则2a =v ________________或a v________________。

（2）若()11,A x y ，()22,B x y =___________________（平面内两点间的距离公式）。

问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==r r 的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a r 与b r 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,v v 则⇔⊥_________________※ 典型例题例1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明.（2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。

2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

二．教学目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。

2．（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。

3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示.难点：向量数量积的坐标表示的应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。

因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。

我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。

2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。

2.4.2向量数量积的坐标表示、模、夹角
（一）教学目标
1．知识与技能：
（1）掌握向量内积的坐标运算及其应用。

（2）掌握用向量的坐标表示向量垂直的条件。

（3）掌握向量的长度、距离和夹角公式。

2．过程与方法：
通过解题实践，体会公式和向量垂直的条件的应用。

3．情感、态度与价值观：
通过用向量的坐标反映向量的数量积，让学生体会到代数与几何的完美结合，说明事物是可以相互联系与相互转化的，激发学生的学习兴趣。

（二）教学重点、难点
教学重点：向量数量积的坐标表示以及由此推得的垂直条件，长度、距离和夹角公式的
坐标表示。

教学难点：向量的长度、距离、夹角、垂直条件的坐标表示的灵活运用。

（三）教学方法：
本节的内容是在前面学习了向量的数量积的定义、性质、运算律的基础上，给出了向量内积的坐标运算公式，两向量垂直的坐标公式，向量的长度、运算、夹角的坐标公式，从而使向量数量积的运算代数化，在教学中，要引导学生分析解题思路，总结解题规律，提高学生分析问题解决问题的能力。

（四）教学过程
若A(x1, y1
=
(
AB x
这就是两点的距离公式。

（3）向量夹角余弦的坐标表达式：
cos<a, b>
．已知a＝（
|,|b|,<a, b
小结：运用向量的数量积的坐标公式求值。

．已知点A（1，2）
⊥。

求证AB AC
小结：利用数量积的坐标运算证明垂直
．已知点A（1，2
求∠BAC的正弦值。

小结：本题利用两向量夹角的坐标公式求正弦值，揭示了向量与三角的联系。

．已知点A（a，。

高一数学《必修4》导学案2.4.2平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角【课前导学】（一）复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义： __________a b ⋅=，其中||cos a θ叫做_________________.2．两个向量的数量积的重要性质：（1）________a b ⊥⇔；（2）__________a a a ⋅==或||；（3）cos __________θ=3．探究：已知两个非零向量11()a x ,y =，22()b x ,y =，试用a 和b 的坐标表示a b ⋅.提示：若直角坐标系中，x 轴方向的单位向量为i ，y 轴方向上的单位向量为j ，则向量,a b 用,i j 可以表示为a = ，b = ；其中i i = ，j j = ，i j = 故：a b ⋅=（二）新课学习 （阅读课本P106～107后，完成下列内容）1、平面两向量数量积的坐标表示：若两个非零向量11()a x ,y =、22()b x ,y =，则_________a b ⋅= 即，两个向量的数量积等于它们对应坐标的________________.2. 平面内两点间的距离公式：（1）设()a x,y =，则2_____________||_________a a ===，故.（2）如果11()A x ,y 、22()B x ,y ，那么_____________,AB = A 、B 间的距离||___________________AB = （平面内两点间的距离公式）3、 向量垂直的判定：设11()a x ,y =、22()b x ,y =，则⊥⇔_________________a b ⋅=⇔.4、两向量夹角的余弦：已知两个非零向量11()a x ,y =，22()b x ,y =，a 与b 之间的夹角为θ，则cos θ=_____________________.【预习自测】1、已知(34)a ,=-，(5,2)b =，则_________a b ⋅=，||_______a =，||_______b =.2、已知(32)a ,=，(2,3)b =，a 与b 之间的夹角为θ，则cos θ=______.3、若(22)BA ,=-，C (11)B ,=，则ABC ∠=_________.【典例分析】 例1、(3,4),(6,8),a b =-=-已知求 ()()a b a b +⋅-及a b -｜｜的值.例2、已知(1,4),(5,2),(3,4)A B C --，先作图观察△ABC 的形状，然后给出证明.变式：若(34),12)_______.a ,b a b x,3x b =⊥=，且的起点坐标为(，，终点坐标为(),则 例3、（1）(13)(223)a ,b ,a b ==-已知，，求与的夹角. （2）(12)(23)2a ,b ,c a b ==--=+设，，又，d a mb =+，且45c d ︒与的夹角为， 求实数m 的值.【总结提升】1、掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；2、要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题.【课后作业】1、(2,3),(2,4),(1,2)a b c ==-=--已知，则 （1）______,______b a b =⋅=；我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。