高考数学(理)二轮专题练习：选择题的解法(含答案)

限时规范训练五 不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3， 即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2.而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。

专题一综合测试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合M ＝{1,3}，N ＝{2,3,4}，则(∁U M )∩(∁U N )＝( ) A ．{3} B ．{4,6} C ．{5,6}D ．{3,6}解析：∁U M ＝{2,4,5,6}，∁U N ＝{1,5,6}，∴(∁U M )∩(∁U N )＝{5,6}，故选C. 答案：C2．已知全集I ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩∁I N ＝( )A ．[32，2]B ．[322)C ．(32，2]D ．(322)解析：由f (x )≤0解得1≤x ≤2，故M ＝[1,2]；f ′(x )<0，即2x －3<0，即x <32，故N＝(－∞，32)，∁I N ＝[32M ∩∁I N ＝[32，2]．答案：A3．设某种蜡烛所剩长度P 与点燃时间t 的函数关系式是P ＝kt ＋b .若点燃6分钟后，蜡烛的长为17.4 cm ；点燃21分钟后，蜡烛的长为8.4 cm ，则这支蜡烛燃尽的时间为( )A ．21分钟B ．25分钟C ．30分钟D ．35分钟解析：由⎩⎪⎨⎪⎧17.4＝6k ＋b 8.4＝21k ＋b ，解得k ＝－0.6，b ＝21，由0＝－0.6t ＋21，解得t ＝35.答案：D4．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“綈p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．a >1解析：命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，∴a ≤x 2在[1,2]上恒成立，∴a ≤1，∴綈p 为a >1.命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，∴方程有解，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，a 2＋a －2≥0，∴a ≥1或a ≤－2.若命题“綈p 且q ”是真命题，则a >1，故选D. 答案：D5．(2011·山东肥城模拟)幂函数f (x )＝x n (n ＝1,2,3，12，－1)具有如下性质：f 2(1)＋f 2(－1)＝2[f (1)＋f (－1)－1]，则函数f (x )( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数解析：由f 2(1)＋f 2(－1)＝2[f (1)＋f (－1)－1]⇒n ＝2，f (x )＝x 2为偶函数，所以选B. 答案：B6．(2011·潍坊模拟)已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，3 B.⎣⎡⎦⎤326 C ．[3,12]D.⎣⎡⎦⎤－32，12 解析：f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′－2＝12－8b ＋c ≥0f ′－1＝3－4b ＋c ≤0f ′1＝3＋4b ＋c ≤0f ′2＝12＋8b ＋c ≥0f (－1)＝2b －c ，当直线过A 时f (－1)取最小值3，当直线过B 时取最大值12，故选C.答案：C7．设集合I 是全集，A ⊆I ，B ⊆I ，则“A ∪B ＝I ”是“B ＝∁I A ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由B ＝∁I A ⇒A ∪B ＝I ，而A ∪B ＝I ⇒/ B ＝∁I A ，故“A ∪B ＝I ”是“B ＝∁I A ”的必要不充分条件．答案：B8．若曲线xy ＝a (a ≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( )A ．2a 2B ．a 2C ．2|a |D ．|a |解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，曲线方程即y ＝a x ，y ′＝－a x 2，故切线斜率为－a x 20，切线方程为y －a x 0＝－a x 20(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝2x 0，即切线与x 轴的交点A 的坐标为(2x 0,0)；令x ＝0，得y ＝2a x 0，即切线与y 轴的交点B 的坐标为(0，2ax 0)．故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×|2x 0||2ax 0|＝2|a |.答案：C9．(2011·天津模拟)定义在R 上的函数f (x )满足(x －1)f ′(x )≤0，且y ＝f (x ＋1)为偶函数，当|x 1－1|<|x 2－1|时，有( )A ．f (2－x 1)>f (2－x 2)B ．f (2－x 1)＝f (2－x 2)C ．f (2－x 1)<f (2－x 2)D ．f (2－x 1)≤f (2－x 2) 解析：由(x －1)f ′(x )≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，f ′x ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，f ′x ≤0，得函数f (x )在区间(－∞，1]上为增函数，在区间[1，＋∞)上为减函数．又由y ＝f (x ＋1)为偶函数，得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由|x 1－1|<|x 2－1|⇒(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1<x 2，x 1＋x 2>2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1>x 2，x 1＋x 2<2.若⎩⎪⎨⎪⎧x 1<x 2，x 1＋x 2>2，则x 2>1.此时，当x 1>1，则f (x 1)>f (x 2)，即f (2－x 1)>f (2－x 2)；当x 1<1⇒2－x 1>1，又x 2>2－x 1⇒f (2－x 1)>f (x 2)，即f (2－x 1)>f (2－x 2)．同理，当⎩⎪⎨⎪⎧x 1>x 2x 1＋x 2<2时，也有上述结论．答案：A10．如图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P沿着A －B －C －M 运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，三角形APM 的面积函数的图象的形状大致是()解析：y ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧12x ，0≤x ≤1－14x ＋34，1<x ≤2－12x ＋54，2<x ≤2.5)，选A.答案：A11．已知函数f (x )＝ln a ＋ln xx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．0<a <1eB ．0<a ≤eC ．a ≤eD ．a ≥e解析：f ′(x )＝1x·x －ln a ＋ln x x2＝1－ln a ＋ln x x 2，因为f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e，选D.答案：D12．有下列命题： ①函数y ＝cos(x －π4)cos(x ＋π4)的图象中，相邻两个对称中心的距离为π； ②函数y ＝x ＋3x －1的图象关于点(－1,1)对称； ③关于x 的方程ax 2－2ax －1＝0有且仅有一个实数根，则实数a ＝－1；④已知命题p ：对任意的x ∈R ，都有sin x ≤1，则綈p ：存在x ∈R ，使得sin x >1.其中所有真命题的序号是( )A ．①②B ．③④C ．②③④D ．①②④解析：①函数y ＝cos(x －π4)cos(x ＋π4)＝12cos2x ，相邻两个对称中心的距离为d ＝T2＝π2，故①不正确；②函数y ＝x ＋3x －1的图象对称中心应为(1,1)，故②不正确；③正确；④正确．答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2，x ≤－12x ＋2，－1<x <1，2x－4，x ≥1)则f [f (－2010)]＝________.解析：f [f (－2010)]＝f [f (－2008)]＝f [f (－2006)]＝f [f (－2004)]＝…＝f [f (0)]＝f (2)＝22－4＝0.答案：014．已知函数f (x )＝ln1＋x1－x＋sin x ，则关于a 的不等式 f (a －2)＋f (a 2－4)<0的解集是________．解析：已知f (x )＝ln 1＋x1－x＋sin x 是奇函数， 又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＋sin x ＝ln[2－1－x 1－x]＋sin x ＝ln(－2x －1－1)＋sin x ，f (x )在(－1,1)上单调递增，故f (x )是(－1,1)上的增函数．由已知得f (a －2)<－f (a 2－4)，即f (a －2)<f (4－a 2)．故⎩⎪⎨⎪⎧a －2<4－a 2－1<a －2<1－1<4－a 2<1⇒⎩⎨⎧－3<a <21<a <3－5<a <－3或3<a <5⇒3<a <2.即不等式的解集是(3，2)．答案：(3，2)15．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝mx ＋1x 对一切x >0恒成立，m ≥－(1x )2＋2x ，令g (x )＝－(1x )2＋2x，则当1x＝1时，函数g (x )取得最大值1，故m ≥1.答案：[1，＋∞)16．(2011·扬州模拟)若函数f (x )＝133－a 2x 满足：对于任意的x 1，x 2∈[0,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1恒成立，则a 的取值范围是________．解析：问题等价于在[0,1]内f (x )max －f (x )min ≤1恒成立．f ′(x )＝x 2－a 2，函数f (x )＝13x 3－a 2x 的极小值点是x ＝|a |，若|a |>1，则函数f (x )在[0,1]上单调递减，故只要f (0)－f (1)≤1即可，即a 2≤43，即1<|a |≤233；若|a |≤1，此时f (x )min ＝f (|a |)＝13|a |3－a 2|a |＝－23a 2|a |，由于f (0)＝0，f (1)＝13－a 2，故当|a |≤33f (x )max ＝f (1)，此时只要13－a 2＋23a 2|a |≤1即可，即a 2(23|a |－1)≤23，由于|a |≤33，故23a |－1≤23×33－1<0，故此时成立；当33a |≤1时，此时f (x )max ＝f (0)，故只要23a 2|a |≤1即可，此式显然成立．故a 的取值范围是[－233，233]． 答案：[－233，233] 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)(2011·广东惠州模拟)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：y ＝1128000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解：(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5小时，要耗油⎝⎛⎭⎫1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升． (2)当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎫1128000x 3－380x ＋8·100x ＝11280x 2＋800x －154(0<x ≤120)，h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈(80,120]时，h ′(x )>0，h (x )是增函数． ∴当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25. ∵h (x )在(0,120]上只有一个极值，∴它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为11.25升． 18．(本小题满分12分)(2011·安徽)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax1＋ax 22(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.19．(本小题满分12分)设f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且当－1≤x <0时，f (x )＝2x 3＋5ax 2＋4a 2x ＋b . (1)求函数f (x )的解析式；(2)当1<a ≤3时，求函数f (x )在(0,1]上的最大值g (a )．解：(1)当0<x ≤1时，－1≤－x <0，则f (x )＝－f (－x )＝2x 3－5ax 2＋4a 2x －b . 当x ＝0时，f (0)＝－f (－0)，∴f (0)＝0. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋5ax 2＋4a 2x ＋b ，－1≤x <00 x ＝02x 3－5ax 2＋4a 2x －b ， 0<x ≤1.(2)当0<x ≤1时，f ′(x )＝6x 2－10ax ＋4a 2＝2(3x －2a )(x －a )＝6(x －2a3)(x －a )． ①当23<2a 3<1，即1<a <32时，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，2a 3时，f ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎦⎤2a3，1时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝⎛⎦⎤0，2a 3上单调递增，在⎝⎛⎦⎤2a3，1上单调递减， ∴g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫2a 3＝28273－b .②当1≤2a 3≤2，即32≤a ≤3时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在(0,1]上单调递增． ∴g (a )＝f (1)＝4a 2－5a ＋2－b ， ∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2827a 3－b ， 1<a <324a 2－5a ＋2－b ，32≤a ≤3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋(2－a )ln x (a ∈R ，a ≠0)． (1)当a ＝8时，求函数f (x )的单调区间及极值； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)依题意得，当a ＝8时，f (x )＝x 2－4x －6ln x ，f ′(x )＝2x －4－6x＝2x ＋1x －3x，由f ′(x )>0得(x ＋1)(x －3)>0，解得x >3或x <－1.注意到x >0，所以函数f (x )的单调递增区间是(3，＋∞)．由f ′(x )<0得(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，注意到x >0，所以函数f (x )的单调递减区间是(0,3)．综上所述，函数f (x )在x ＝3处取得极小值，这个极小值为f (3)＝－3－6ln3. (2)f (x )＝x 2－4x ＋(2－a )ln x ，所以f ′(x )＝2x －4＋2－a x ＝2x 2－4x ＋2－ax.设g (x )＝2x 2－4x ＋2－a .①当a ≤0时，有Δ＝16－4×2×(2－a )＝8a ≤0，此时g (x )≥0，所以f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a >0时，Δ＝16－4×2×(2－a )＝8a >0， 令f ′(x )>0，即2x 2－4x ＋2－a >0，解得x >1＋2a 2或x <1－2a2， 令f ′(x )<0，即2x 2－4x ＋2－a <0，解得1－2a 2<x <1＋2a 2. 当0<a <2时，1－2a 2>0，此时函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a 2，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2a 2，1＋2a 2； 当a ≥2时，1－2a 2≤0，函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a2，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋2a 2.综上可知，当a ≤0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <2时，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a 2，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2a 2，1＋2a 2上单调递减；当a ≥2时，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a 2，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋2a 2上单调递减． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2a x(a ∈R)． (1)若f (x )在x ＝1处的切线垂直于直线x －14y ＋13＝0，求该点的切线方程，并求此时函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤a 2－2a ＋4对任意的x ∈[1,2]恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2x －2ax 2，根据题意f ′(1)＝2－2a ＝－14，解得a ＝8，此时切点坐标是(1,17)，故所求的切线方程是y －17＝－14(x －1)，即14x ＋y －31＝0.当a ＝8时，f ′(x )＝2x －16x 2＝2x 3－8x 2， 令f ′(x )>0，解得x >2，令f ′(x )<0，解得x <2且x ≠0，故函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，0)和(0,2)．(2)f ′(x )＝2x －2ax 2＝2x 3－a x 2.①若a <1，则f ′(x )>0在区间[1,2]上恒成立，f (x )在区间[1,2]上单调递增，函数f (x )在区间[1,2]上的最大值为f (2)＝4＋a ；②若1≤a ≤8，则在区间(1，3a )上f ′(x )<0，函数单调递减，在区间(3a ，2)上f ′(x )>0，函数单调递增，故函数f (x )在区间[1,2]上的最大值为f (1)，f (2)中的较大者，f (1)－f (2)＝1＋2a －4－a ＝a －3，故当1≤a ≤3时，函数的最大值为f (2)＝4＋a ，当3<a ≤8时，函数的最大值为f (1)＝1＋2a ；③当a >8时，f ′(x )<0在区间[1,2]上恒成立，函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，函数的最大值为f (1)＝1＋2a .综上可知，在区间[1,2]上，当a ≤3时，函数f (x )max ＝4＋a ，当a >3时，函数f (x )max ＝1＋2a .不等式f (x )≤a 2－2a ＋4对任意的x ∈[1,2]恒成立等价于在区间[1,2]上，f (x )max ≤a 2－2a ＋4，故当a ≤3时，4＋a ≤a 2－2a ＋4，即a 2－3a ≥0，解得a ≤0或a ＝3；当a >3时，1＋2a ≤a 2－2a ＋4，即a 2－4a ＋3≥0，解得a >3.综合知当a ≤0或a ≥3时，不等式f (x )≤a 2－2a ＋4对任意的x ∈[1,2]恒成立．22．(本小题满分14分)(2011·陕西)设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系； (3)是否存在x 0>0，使得|g (x )－g (x 0)|<1x对任意x >0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由题设易知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x， ∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调减区间，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x ， 设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x则h ′(x )＝－x －12x 2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭1x ， 当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ， 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g⎝⎛⎭⎫1x . (3)满足条件的x 0不存在．证明如下：证法一 假设存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立，即对任意x >0，有ln x <g (x 0)<ln x ＋2x ，(*)但对上述x 0，取x 1＝e g (x 0)时，有ln x 1＝g (x 0)，这与(*)左边不等式矛盾， 因此，不存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立．证法二 假设存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意的x >0成立．由(1)知，g (x )的最小值为g (x )＝1， 又g (x )＝ln x ＋1x >ln x ，而x >1时，ln x 的值域为(0，＋∞)，∴x ≥1时，g (x )的值域为[1，＋∞)， 从而可得一个x 1>1，使g (x 1)≥g (x 0)＋1， 即g (x 1)－g (x 0)≥1，故|g (x 1)－g (x 0)|≥1>1x 1，与假设矛盾．∴不存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立．。

选择题的解法【题型特点概述】高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识、解决数学问题的能力．选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做． 方法一 直接法直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择．例1 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <a 恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．12 B ．23 C ．32D ．2思维升华 直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．将函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象分别向左平移m (m >0)个单位、向右平移n (n >0)个单位所得到的图象都与函数y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )的图象重合，则|m －n |的最小值为( )A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3方法二 特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例2 （1）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260（2）如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1 D.3∶1思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( )A ．32 B ． 2 C ．1 D ．12方法三 排除法(筛选法)例3 函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是()思维升华 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，a 变动时，方程b ＝g (a )表示的图形可以是()方法四 数形结合法(图解法)在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对规范图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法． 例4 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8思维升华 本题考查函数图象的应用，解题的关键是将零点问题转化为两图象的交点问题，然后画出函数的图象找出零点再来求和．严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，但它在解有关选择题时非常简便有效．运用图解法解题一定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟悉．图解法实际上是一种数形结合的解题策略．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A ．33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 方法五 估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次． 例5 若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( ) A ．34 B ．1 C ．74 D ．2思维升华 “估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在于所求值应该比△AOB 的面积小且大于其面积的一半．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2等于( )A ．m －39－mB ．m －3|9－m |C ．13D ．51．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力．例1A 变式训练1 C例2 (1)C (2)B 变式训练2 A 例3 A 变式训练3 B 例4 C 变式训练4 B 例5 C 变式训练5 D。

2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题专项训练一、解答题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()113n n S a =-.（1）求1a ，2a ；（2）证明：数列{}n a 是等比数列.答案：（1）112a =-；214a =（2）数列{}n a 是首项和公比均为12-的等比数列解析：（1）当1n =时，()111113a S a ==-，所以112a =-.当2n =时，()22211123S a a =-+=-，所以214a =.（2）由()113n n S a =-，得()1111(2)3n n S a n --=-≥，所以()111(2)3n n n n n a S S a a n --=-=-≥，所以11(2)2n n a a n -=-≥.又112a =-，所以数列{}n a 是首项和公比均为12-的等比数列.所以数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）知()32121n a n n =+-=+.3．在数列{}n a 中,14a =,1431n n a a n +=-+,*n ∈N .（1）设n n b a n =-,求证：数列{}n b 是等比数列;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .答案：（1）见解析（2）()1412n n n ++-解析：（1）证明：1431,n n a a n +=-+11(1)43114()4,n n n n n b a n a n n a n b ++∴=-+=-+--=-=又111413,b a =-=-=∴数列{}n b 是首项为3、公比为4的等比数列;（2）由（1）可知134n n a n --=⨯,即134n n a n -=+⨯,()()()31411412142n n n n n n n S -++∴=+=--.4．在数列{}n a 中,616a =,点()()1,n n a a n *+∈N 在直线30x y -+=上.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若2n n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）32n a n =-（2）见解析解析：（1）依题意,130n n a a +-+=,即13n n a a +-=,因此数列{}n a 是公差为3的等差数列,则63(6)32n a a n n =+-=-,所以数列{}n a 的通项公式是32n a n =-.（2）由（1）得(32)2n n b n =-⋅,则132421242(32)2n n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯,于是23121242(35)2(32)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯,两式相减得2123112(12))23(222(32)22(312)232n n n n n T n n ++--=+++⋅⋅⋅+--⋅--⋅-=+⋅-1(532)10n n +⋅=--,所以1(35)210n n T n +=-⋅+.5．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且636S =,1a ,3a ,13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,若不等式4n kT <对任意的*n ∈N 都成立,求实数k的取值范围.答案：（1）21n a n =-（2）2k ≥.解析：（1）设等差数列{}n a 公差为d ,由题意1211161536(2)(12)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩,0d ≠,解得112a d =⎧⎨=⎩,所以12(1)21n a n n =+-=-;（2）由（1）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+,所以1111111111(1)()((12323522121221n T n n n =-+-++-=--++,易知n T 是递增的且12n T <,不等式4n k T <对任意的*n ∈N 都成立,则142k ≥,所以2k ≥.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足24(1)n S n =+,n +∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,若对任意的n +∈N ,不等式25n T a a <-恒成立,求实数a 的取值范围.答案：（1） 1, 1 21, 24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩（2）3a ≤-或4a ≥解析：（1）24(1)n S n =+当1n =时,214(11)a =+,即11a =当2n ≥时,由1n n n a S S -=-,故224(1)21n a n n n =+-=+,得214n n a +=.易见11a =不符合该式,故 1 121, 24n n a n n =⎧⎪=⎨+=⎪⎩，（2）由0n a >,易知n T 递增;112145T a a ==当2n ≥时,()()111611821232123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭.从而41111111281285577921235235n T n n n ⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪+++⎝⎭.又由25n T a a <-,故212a a ≤-,解得3a ≤-或4a ≥即实数a 的取值范围为3a ≤-或4a ≥7．记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知112a =,n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式;（2）设()1nn n b a =-,求{}n b 的前2n 项和2n T .答案：（1）12n a n =（2）2n解析：（1）由n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列,且111S a =,则()11111222n n S n n a =+-⨯=+,即()21n n S n a =+,当2n ≥时,112n n S na --=,两式相减可得：()121n n n a n a na -=+-,整理可得11n n a na n -=-,故121121121121212n n n n n a a a n n a a n n a a a n ----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-=-,将1n =代入上式,12n a =,故{}n a 的通项公式为12n a n =.（2）由()1nn n b a =-,则21212342221n n n n a a T b a a a a b b -=-+-+-+-+++=()()()()22121242132122n n n n n a a n a a a a a a a a --++=+++-+++=-()111122*********n nn n ⎡⎤=⨯+⨯-⨯-⨯⎢⎥⎦=-⎣.8．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,且11a =,34a =,数列{}n b 中()*221log log n n n b a a n +=+∈N .（1）求数列{}n b 的通项公式;（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ,数列{}n c 满足141n n c S =-,求数列{}n c 的前n 项和n T .答案：（1）21n b n =-（2）21n nT n =+解析：（1）正项等比数列{}n a 的公比为q ,由231a a q =,得24q =,而0q >,解得2q =,于是1112n n n a a q --==,由221log log n n n b a a +=+,得12222log o 21l g n n n n b -=+=-,所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-.（2）由（1）知,21n b n =-,显然数列{}n b 是等差数列,21(21)2n n S n n +-=⋅=,2111111(4141(21)(21)22121n n c S n n n n n ====----+-+,所以11111111[(1)()()](1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++.9．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,满足33a =,410S =.数列{}n b 满足12b =,112n n n nb a b a ++=,*n ∈N .（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;（2）设数列{}n c 满足()1(1)32n n n n n c a b +-+=,*n ∈N ,求数列{}n c 的前n 项和n T .答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ,11234610a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,解得11a =,1d =,n a n ∴=.()121n n n b b n ++=,112n n b n b n++∴=,且121b =,所以n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,2n nb n∴=,2n n b n ∴=⋅（2）()()()()1111(1)3211(1)(1)(1)12212212n n n nn n n n n n n c n n n n n n ++++⎛⎫-+--==-+=- ⎪ ⎪+⋅⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭,()1111(1)212n n n T n ++∴=---+⋅10．已知各项为正的数列{}n a 的首项为2,26a =,22211122n n n n n n n n a a a a a a a a +++++-=--.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n a 的前n 项和n S ,求数列{}28n n S a +-(其中*n ∈N )前n 项和的最小值.答案：（1）42n a n =-（2）最小值为38-解析：（1）因为22211122n n n n n n n n a a a a a a a a +++++-=--,所以有()()12120n n n n n a a a a a +++++-=,而0n a >,10n n a a +∴+≠,所以2120n n n a a a +++-=,则211121n n n n n n a a a a a a a a +++--=-=-=⋅⋅⋅=-,又12a =,26a =,∴214a a -=,由等差数列定义知数列{}n a 是以2为首项,4为公差的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为42n a n =-.（2）由（1）有2(1)=2+4=22n n n S n n -⨯,()()2282430253n n S a n n n n ∴+-=+-=+-,令280n n S a +->,有4,5,6,n =⋅⋅⋅;280n n S a +-<,有1,2n =;280n n S a +-=,有3n =.所以{}28n n S a +-前n 项和的最小值为()()()()215132252338+-++-=-,当且仅当2n =,3时取到.11．记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知2n S n =,等比数列{}n b 满足11b a =,35b a =.（1）求{}n a 的通项公式;（2）求{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）()*21n a n n =-∈N （2）当3q =时,3122n n T =-;当3q =-时,1(3)44n n T -=-.解析：（1）当1n =时,111a S ==,当2n ≥时,1n n n a S S -=-22(1)n n =--21n =-,因为11a =适合上式,所以()*21n a n n =-∈N .（2）由（1）得11b =,39b =,设等比数列{}n b 的公比为q ,则2319b b q =⋅=,解得3q =±,当3q =时,()113311322n n nT ⋅-==--,当3q =-时,11(3)1(3)1(3)44nn n T ⎡⎤⋅---⎣⎦==---.12．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+.（1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若4a ，7a ，9a 成等比数列，求n S 的最小值.答案：（1）证明见解析（2）12n =或13时，n S 取得最小值，最小值为-78解析：（1）由221nn S n a n+=+，得2n n 22S n a n n +=+，①所以2112(1)2(1)(1)n n S n a n n ++++=+++，②②-①，得112212(1)21n n n a n a n a n ++++=+-+，化简得11n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为1的等差数列.（2）由（1）知数列{}n a 的公差为1.由2749a a a =，得()()()2111638a a a +=++，解得112a =-.所以22(1)251256251222228n n n n n S n n --⎛⎫=-+==-- ⎪⎝⎭，所以当12n =或13时，n S 取得最小值，最小值为-78.13．已知数列{}n a 满足11a =，11,,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，数列{}n b 满足22n n b a =-.（1）求2a ，3a .（2）求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式.（3）已知12log n n c b =，求证：122311111n nc c c c c c -+++<.答案：（1）232a =，352a =-（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）由数列{}n a 的递推关系，知2113122a a =+=，325222a a =-⨯=-.（2）()12221212211112(21)2(21)4(21)12222n n n n n n b a a n a n a n n a ++++=-=++-=+-=-+-=-()211222n n a b =-=.因为12122b a =-=-，所以数列{}n b 的各项均不为0，所以112n n b b +=，即数列{}n b 是首项为12-，公比为12的等比数列，所以1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（3）由（2）知11221log log 2nn n c b n ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以12231111n nc c c c c c -+++1111223(1)n n =+++⨯⨯-1111112231n n=-+-++--11n=-1<.14．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log nn na b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T ≤<.答案：（1）2n n a =（2）证明见解析解析：（1）因为2a ，3a ，44a -成等差数列，所以32424a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122224a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =，所以1222n n n a -=⨯=.（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n nn n a n b a +++===，所以2323412222n nn T +=++++，①231123122222n n n n n T ++=++++，②①-②得23111111122222n nn n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭212111111111122221111221122n n n n n n -+++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭=+-=+---11112133122222n n n n n +++++=+--=-.所以3332n nn T +=-<.又因为102n n n b +=>，所以{}n T 是递增数列，所以11n T T ≥=，所以13n T ≤<.15．在①221n n b b =+，②212a b b =+，③1b ，2b ，4b 成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=，公差不等于0的等差数列{}n b 满足__________，__________求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .答案：选①②；选②③解析：因为11a =，13n n a a +=，所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=.方案一：选①②.设数列{}n b 的公差为d ，因为23a =，所以123b b +=.因为221n n b b =+，所以1n =时，2121b b =+，解得123b =，273b =，所以53d =，所以533n n b -=，满足221n n b b =+，所以533n n n b n a -=，所以12123122712533333n n nn b b b n S a a a -=+++=++++，所以2341127125853333333n n n n n S +--=+++++，两式相减，得23111122111532515533109533333336233223n n n n n n n n n S ++++--+⎛⎫=++++-=+--=- ⎪⨯⨯⎝⎭，所以9109443n n n S +=-⨯.方案二：选②③.设数列{}n b 的公差为d ，因为2133a a ==，所以123b b +=，即123b d +=.因为1b ，2b ，4b 成等比数列，所以2214b b b =，即()()21113b d b b d +=+，化简得21d b d =.因为0d ≠，所以11d b ==，所以n b n =，所以13n n n b n a -=，所以120121121233333n n n n b b b n S a a a -=+++=++++，所以123111231333333n n nn n S --=+++++，两式相减，得1231211113132311333333233223n n n n n n n n n S -+⎛⎫=+++++-=--=- ⎪⨯⎝⎭，所以1923443n n n S -+=-⨯.方案三：选①③.设数列{}n b 的公差为d ，因为221n n b b =+，所以1n =时，2121b b =+，所以11d b =+.又1b ，2b ，4b 成等比数列，所以2214b b b =，即()()21113b d b b d +=+，化简得21d b d =.因为0d ≠，所以1b d =，此式与11d b =+矛盾.所以等差数列{}n b 不存在，故不符合题意.。

专题一 选择、填空题常用的10种解法 抓牢小题，保住基本分才能得高分________________________________________________________________________ 原则与策略：1.基本原则：小题不用大做．2.基本策略：充分利用题干和选项所供应的信息作出推断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，选择题可先排解后求解．解题时应认真审题、深化分析、正确推演运算、谨防疏漏． 题型特点：1.高中低档题，且多数按由易到难的挨次排列.2.留意基本学问、基本技能与思想方法的考查.3.解题方法机敏多变不唯一.4.具有较好的区分度，试题层次性强.方法一 定义法所谓定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简洁地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．[例1] 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 216－y 29＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1A |＝|F 1F 2|，则C 2的离心率是( )A.56B.23C.25D.45解析：由双曲线C 1的方程可得|F 1F 2|＝216＋9＝10， 由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝216＝8， 由已知可得|F 1A |＝|F 1F 2|＝10， 所以|F 2A |＝|F 1A |－8＝2.设椭圆的长轴长为2a ，则由椭圆的定义可得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝10＋2＝12. 所以椭圆C 2的离心率e ＝2c 2a ＝1012＝56.故选A.答案：A[增分有招] 利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要留意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，机敏利用相关的定义求解．如[本例]中依据双曲线的定义和已知条件，分别把A 到两个焦点的距离求出来，然后依据椭圆定义求出其长轴长，最终就可依据离心率的定义求值． [技法体验]1．(2021·广州模拟)假如P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( ) A ．n ＋10 B ．n ＋20 C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：由题意得，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n ＝n ＋10，选A. 答案：A2．(2022·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 解析：借助双曲线的定义、几何性质及余弦定理解决．∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.若△F 1PF 2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28，解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|<8.故27<|PF 1|＋|PF 2|<8. 答案：(27，8)方法二 特例法特例法，包括特例验证法、特例排解法，就是充分运用选择题中单选题的特征，解题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法．对于定性、定值的问题可直接确定选项；对于其他问题可以排解干扰项，从而获得正确结论．这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略．[例2] (2022·高考浙江卷)已知实数a ，b ，c ( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 解析：结合特殊值，利用排解法选择答案． 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2>100，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，明显|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立． 综上知，A ，B ，C 均不成立，所以选D. 答案：D[增分有招] 应用特例排解法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排解干扰选项． [技法体验]1．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (12)＝cos 12log 2|12|＝－cos 12，f (－12)＝cos(－12)·log 2|－12|＝－cos 12，所以f (－12)＝f (12)，排解A ，D ；又f (12)＝－cos 12＜0，故排解C.综上，选B. 答案：B2．已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D.13解析：由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最终的结果必定是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.故选A.法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，明显，此时AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n ＝3.故选A.答案：A方法三 数形结合法数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．[例3] (2021·安庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,3]C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：∵g (x )＝x 2－2x ，a 为实数，∴2g (a )＝2a 2－4a .∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，作出函数f (x )的图象可知，其值域为[－2,6]，∵存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，∴－2≤2a 2－4a ≤6，即－1≤a ≤3， 故选B.答案：B[增分有招] 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如[本例]中求解，可通过作出图象，数形结合求解． [技法体验]1．(2021·珠海摸底)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：通解：设a 与b 的夹角为θ，由已知可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2，由于|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°，选C.优解：由|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |可构造边长为|a |＝|b |＝1的菱形，如图，则|a ＋b |与|a －b |分别表示两条对角线的长，且|a ＋b |＝3，|a －b |＝1，故a 与b 的夹角为60°，选C. 答案：C2．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线的焦点F 的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A ．(14，1)B ．(14，－1)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：如图，由于点Q (2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF |等于点P 到准线x ＝－1的距离．过Q (2，－1)作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，则点K 为点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y ＝－1代入y 2＝4x 得x ＝14，所以点P 的坐标为(14，－1)，选B.答案：B方法四 待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后依据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等． [例4] (2021·天津红桥区模拟)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝222－22＝2，由于焦点在y 轴上，故选C. 答案：C[增分有招] 待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如[本例]中已知椭圆的焦点所在坐标轴，设出标准方程，依据已知列方程求解． [技法体验]1．若等差数列{a n }的前20项的和为100，前45项的和为400，则前65项的和为( ) A ．640 B ．650 C ．660D ．780解析：设等差数列{a n}的公差为d ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20a 1＋20×192d ＝10045a 1＋45×442d ＝400⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9245d ＝1445，则前65项的和为65a 1＋65×642d ＝65×9245＋65×642×1445＝780.答案：D2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则f (π4)的值为( )A. 2 B ．0 C ．1D. 3解析：由题图可知，A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f (π6)＝2sin(2×π6＋φ)＝2得2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)，∴f (π4)＝2sin(2×π4＋π6)＝2cos π6＝3，故选D.答案：D 方法五 估值法估值法就是不需要计算出代数式的精确 数值，通过估量其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要具体的过程，因此可以猜想、合情推理、估算而获得，从而削减运算量．[例5] 若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：由指数函数的性质可知y ＝2x在R 上单调递增，而0<0.5<1，所以a ＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y ＝log πx ，y ＝log 2x 均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b ＝log π3∈(0,1)；由于sin 2π5∈(0,1)，所以c ＝log 2sin 2π5<0.综上，a >1>b >0>c ，即a >b >c .故选A. 答案：A[增分有招] 估算，省去很多推导过程和比较简单的计算，节省时间，是发觉问题、争辩问题、解决问题的一种重要的运算方法．但要留意估算也要有依据，如[本例]是依据指数函数与对数函数的单调性估量每个值的取值范围，从而比较三者的大小，其实质就是找一个中间值进行比较． [技法体验]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π.若f (x )>1对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3D.⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2解析：由于函数f (x )的最小值为－2＋1＝－1，由函数f (x )的图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2.故f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.由f (x )>1，可得sin(2x ＋φ)>0.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3，所以2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3.对于选项B ，D ，若取φ＝π2，则2x ＋π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，7π6上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意；对于选项C ，若取φ＝π12，则2x ＋π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，3π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意．选A.答案：A方法六 反证法反证法是指从命题正面论证比较困难，通过假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立的证明方法．反证法证明问题一般分为三步：(1)反设，即否定结论；(2)归谬，即推导冲突；(3)得结论，即说明命题成立．[例6] 已知x ∈R ，a ＝x 2＋32，b ＝1－3x ，c ＝x 2＋x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．a ，b ，c 至少有一个不小于1B ．a ，b ，c 至多有一个不小于1C ．a ，b ，c 都小于1D ．a ，b ，c 都大于1解析：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋72＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3.明显两者冲突，所以假设不成立．故a ，b ，c 至少有一个不小于1.选A. 答案：A[增分有招] 反证法证明全称命题以及“至少”“至多”类型的问题比较便利．其关键是依据假设导出冲突——与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实冲突或自相冲突．如[本例]中导出等式的冲突，从而说明假设错误，原命题正确． [技法体验]假如△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：由条件知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形． 假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，所以A 2＋B 2＋C 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，即π＝3π2－π，明显该等式不成立，所以假设不成立．易知△A 2B 2C 2不是锐角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D. 答案：D 方法七 换元法换元法又称帮助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为生疏的形式，把简单的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．理论依据是等量代换，目的是变换争辩对象，将问题移至新对象的学问背景中去争辩，从而使非标准型问题标准化、简单问题简洁化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等． [例7] 已知正数x ，y 满足4y －2yx＝1，则x ＋2y 的最小值为________．解析：由4y －2y x ＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ×yx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x 4y ＝yx ，即x ＝2y 时等号成立.所以x ＋2y 的最小值为2.答案：2[增分有招] 换元法主要有常量代换和变量代换，要依据所求解问题的特征进行合理代换．如[本例]中就是使用常数1的代换，将已知条件改写为“14y ＋12x ＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其开放，通过构造基本不等式的形式求解最值． [技法体验]1．(2022·成都模拟)若函数f (x )＝1＋3x＋a ·9x，其定义域为(－∞，1]，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝－49B ．a ≥－49C ．a ≤－49D ．－49≤a <0解析：由题意得1＋3x ＋a ·9x≥0的解集为(－∞，1]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋a ≥0的解集为(－∞，1]．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则t ≥13，即方程t 2＋t ＋a ≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＋a ＝0，所以a ＝－49.答案：A2．函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．解析：y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1. 令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22，∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22.∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22上单调递减，∴t ＝0时，y max ＝1.答案：1 方法八 补集法补集法就是已知问题涉及的类别较多，或直接求解比较麻烦时，可以通过求解该问题的对立大事，求出问题的结果，则所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得．该方法在概率、函数性质等问题中应用较多． [例8]某学校为了争辩高中三个班级的数学学习状况，从三个班级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查，若再从中任意抽取两个班级进行测试，则两个班级不来自同一班级的概率为________． 解析：记高一班级中抽取的班级为a 1，高二班级中抽取的班级为b 1，b 2， 高三班级中抽取的班级为c 1，c 2，c 3.从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的全部可能结果为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种．设“抽取的两个班级不来自同一班级”为大事A ，则大事A 为抽取的两个班级来自同一班级． 由题意，两个班级来自同一班级的结果为(b 1，b 2)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共4种． 所以P (A )＝415，故P (A )＝1－P (A )＝1－415＝1115. 所以两个班级不来自同一班级的概率为1115.答案：1115[增分有招] 利用补集法求解问题时，肯定要精确 把握所求问题的对立大事．如[本例]中，“两个班级不来自同一班级”的对立大事是“两个班级来自同一班级”，而高一班级只有一个班级，所以两个班级来自同一班级的可能性仅限于来自于高二班级，或来自于高三班级，明显所包含基本大事的个数较少． [技法体验]1．(2022·四川雅安中学月考)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)解析：依题意可知“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，即(a ＋1)·(a －3)＜0，解得－1＜a ＜3.故选B. 答案：B2．已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝2ax －1＋1x.(1)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，由于x ∈(1,2)，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，明显函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18. 由①可知，a ≥18.(2)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(1)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 方法九 分别参数法分别参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分别参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避开对参数进行分类争辩的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要留意该种方法仅适用于分别参数后能够求解相应函数的最值或值域的状况．[例9] 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是________．解析：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.答案：－52[增分有招] 分别参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于精确 分别参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分别参数时要留意参数系数的符号是否会发生变化，假如参数的系数符号为负号，则分别参数时应留意不等号的变化，否则就会导致错解． [技法体验]1．(2022·长沙调研)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．[3，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立， 即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，由于y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.答案：C2．(2022·湖南五校调研)方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．解析：若方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝a －2x有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝a 有解，∵14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ≥1，故a 的最小值为1. 答案：1 方法十 构造法构造法是指利用数学的基本思想，经过认真的观看，深化的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决．构造法的内涵格外丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点实行相应的解决方法，其基本的方法是借用一类问题的性质，来争辩另一类问题的相关性质．常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等． [例10] 已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定解析：由不等式可得1n 2－1m2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m2＋ln m .设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.由于x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增． 由于f (n )<f (m )，所以n <m .故选A. 答案：A[增分有招] 构造法的实质是转化，通过构造函数、方程或图形等将问题转化为对应的问题来解决．如[本例]属于比较两个数值大小的问题，依据数值的特点，构造相应的函数f (x )＝1x2＋ln x .[技法体验]1．a ＝ln 12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 12 016－12 016，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1＞12 014＞12 015＞12 016＞0，∴a ＞b ＞c .答案：A2．如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.答案：6π。

专题跟踪训练(八)一、选择题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形[解析] 依题意得a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58<32，因此0°<B <60°或120°<B <150°.若0°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，故选C.[答案] C2．(2015·贵州贵阳期末)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235 C.45D ．－45[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45，故选D.[答案] D3．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为()A.615 B ．5 C.562D ．5 6[解析] 在△ADC 中，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22·AD ·DC ＝25＋9－492×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，则∠ADB ＝60°.在△ABD 中，由正弦定理可得AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝5×3222＝562，故选C. [答案] C4．(2015·江西南昌一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53 B.107 C.57D.5214[解析] 因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57，故选C.[答案] C5．(2015·贵阳七校联盟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( )A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210[解析] 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210，故选D.[答案] D6．(2015·河南郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736C.213D.334或736[解析] sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ，sin(B －A )＝sin B cos A －cosB sin A ，sin 2A ＝2sin A cos A ，sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，即2sin B cos A ＝6sin A cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，又c ＝7，得b ＝213.由三角形面积公式知S ＝12bc ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A 可得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，再由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝cos π3＝12，可得a ＝1，b ＝3，所以此时三角形的面积为S ＝12ab sin C ＝334.综上可得三角形的面积为736或334，所以选D.[答案] D 二、填空题7．(2014·温州十校联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于________． [解析] 由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得，cos 2α－sin 2α＝22cos α＋22sin α，而α为锐角，∴cos α＋sin α≠0，∴cos α－sin α＝22，两边平方得，1－sin 2α＝12，∴sin 2α＝12.[答案] 128．(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] 由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin 2π3＝b12，所以b ＝1. [答案] 19．(2015·贵阳质检)在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，b ＝7，则a 2＋c 2的最小值为____________．[解析] ∵cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，∴－cos(A ＋C )＋cos(A －C )＝1－cos 2B,2sin A sin C ＝2sin 2B ，由正弦定理得ac ＝b 2，即7＝ac ≤12(a 2＋c 2)(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴a 2＋c 2的最小值为14.[答案] 14 三、解答题10．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝3，cos B ＝13.(1)求c 的值； (2)求cos(B －C )的值．[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，且a ＝3，b ＝3，cos B ＝13，所以9＝9＋c 2－2×3c ×13， 解得c ＝2或0(舍去)，故c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429，因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝79，于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 11．(2015·山西太原一模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． [解] (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ， ∵△ABC 的面积等于3， ∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∴B ＝π2.∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.12．(2015·辽宁五校期末)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合； (2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos 2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数取最大值时x 的取值集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1，当且仅当b ＝c ＝1时取等号． 又由b ＋c >a 得a <2，∴a 的取值范围是[1,2)．。

第1讲 等差数列和等比数列考情解读 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．1．a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列和等比数列热点一 等差数列例1 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是( ) A ．21 B ．24 C ．28 D ．7(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1<a 3<1,0<a 6<3，则S 9的取值范围是________． 思维启迪 (1)利用a 1＋a 7＝2a 4建立S 7和已知条件的联系；(2)将a 3，a 6的范围整体代入． 答案 (1)C (2)(－3,21)解析 (1)由题意可知，a 2＋a 6＝2a 4，则3a 4＝12，a 4＝4，所以S 7＝7×(a 1＋a 7)2＝7a 4＝28.(2)S 9＝9a 1＋36d ＝3(a 1＋2d )＋6(a 1＋5d ) 又－1<a 3<1,0<a 6<3，∴－3<3(a 1＋2d )<3,0<6(a 1＋5d )<18， 故－3<S 9<21.思维升华 (1)等差数列问题的基本思想是求解a 1和d ，可利用方程思想； (2)等差数列的性质①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍成等差数列； ③a m －a n ＝(m －n )d ⇔d ＝a m －a nm －n(m ，n ∈N *)；④a n b n ＝A 2n －1B 2n －1(A 2n －1，B 2n －1分别为{a n }，{b n }的前2n －1项的和)． (3)等差数列前n 项和的问题可以利用函数的性质或者转化为等差数列的项，利用性质解决．(1)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64(2)在等差数列{a n }中，a 5<0，a 6>0且a 6>|a 5|，S n 是数列的前n 项的和，则下列说法正确的是( )A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6…均大于0B ．S 1，S 2，…S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11…均大于0D ．S 1，S 2，…S 11均小于0，S 12，S 13…均大于0 答案 (1)A (2)C解析 (1)因为a 8是a 7，a 9的等差中项，所以2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，再由等差数列前n 项和的计算公式可得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11·2a 62＝11a 6，又因为S 11＝992，所以a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A. (2)由题意可知a 6＋a 5>0，故S 10＝(a 1＋a 10)×102＝(a 5＋a 6)×102>0，而S 9＝(a 1＋a 9)×92＝2a 5×92＝9a 5<0，故选C.热点二 等比数列例2 (1)(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝_____________________.(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n 等于( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1思维启迪 (1)列方程求出d ，代入q 即可；(2)求出a 1，q ，代入化简． 答案 (1)1 (2)D解析 (1)设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ， a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1， ∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1.(2)∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，∴q ＝12，代入①得a 1＝2， ∴a n ＝2×(12)n －1＝42n ，∴S n ＝2×(1－(12)n )1－12＝4(1－12n )，∴S na n ＝4(1－12n )42n＝2n －1，故选D. 思维升华 (1){a n }为等比数列，其性质如下：①若m 、n 、r 、s ∈N *，且m ＋n ＝r ＋s ，则a m ·a n ＝a r ·a s ； ②a n ＝a m q n －m ；③S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列(q ≠－1)． (2)等比数列前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).①能“知三求二”；②注意讨论公比q 是否为1；③a 1≠0.(1)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8(2)在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2·a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7答案 (1)D (2)B解析 (1)∵a 4－2a 27＋3a 8＝0，∴2a 27＝a 4＋3a 8，即2a 27＝4a 7，∴a 7＝2，∴b 7＝2，又∵b 2b 8b 11＝b 1qb 1q 7b 1q 10＝b 31q 18＝(b 7)3＝8，故选D.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a n －1＝a 1a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，解得a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2.当a 1＝2，a n ＝32时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q＝62，解得q ＝2.又a n ＝a 1q n－1，所以2×2n －1＝2n ＝32，解得n ＝5.同理，当a 1＝32，a n ＝2时，由S n ＝62，解得q ＝12.由a n ＝a 1q n －1＝32×(12)n －1＝2，得(12)n －1＝116＝(12)4，即n －1＝4，n ＝5.综上，项数n 等于5，故选B.热点三 等差数列、等比数列的综合应用例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．思维启迪 (1)利用方程思想求出a 1，代入公式求出a n 和S n ；(2)将恒成立问题通过分离法转化为最值．解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，∴a 1＝4， ∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列{b n }的公比为q ， 则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4[1－(12)m ]1－12＝8[1－(12)m ]，∵(12)m 随m 增加而递减， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12[(n －92)2－814]，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ， 则10<4＋λ，得λ>6.即实数λ的取值范围为(6，＋∞)． 思维升华 等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可．已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求证：1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <12.(1)解 ∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋12，当n ＝1时，2a 1＝S 1＋12，∴a 1＝12，当n ≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－12，两式相减得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1， ∴a na n －1＝2， ∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，∴a n ＝12×2n －1＝2n －2.(2)证明 b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝log 222n ＋1－2×log 222n＋3－2＝(2n －1)(2n ＋1)，1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)， 1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)<12(n ∈N *)． 即1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <12.1．在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算． 2．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．3．等差、等比数列的单调性 (1)等差数列的单调性d >0⇔{a n }为递增数列，S n 有最小值． d <0⇔{a n }为递减数列，S n 有最大值． d ＝0⇔{a n }为常数列． (2)等比数列的单调性当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }为递减数列． 4．常用结论(1)若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S nn }仍为等差数列，其中m ，k 为常数．(2)若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，{1a n}仍为等比数列．(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…，成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝(a 2－a 1)qa 2－a 1＝q .(4)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等比数列，其公差为q k .等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等差数列，公差为k 2d . 5．易错提醒(1)应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．(2)三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .真题感悟1．(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 C解析 数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4 ＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.2．(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. ∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0. ∴数列的前8项和最大，即n ＝8. 押题精练1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 013<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0 C ．若a 3>0，则a 2 013>0 D ．若a 4>0，则a 2 014>0答案 C解析 因为a 3＝a 1q 2，a 2 013＝a 1q 2 012，而q 2与q 2 012均为正数，若a 3>0，则a 1>0，所以a 2 013>0，故选C.2．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a na n.若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－8，－7)解析 a n ＝a ＋(n －1)×1＝n ＋a －1，所以b n ＝1＋a n a n ＝n ＋an ＋a －1，因为对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，即n ＋a n ＋a －1≥8＋a 8＋a －1(n ∈N *)恒成立，即n －8(a ＋7)(n ＋a －1)≤0(n ∈N *)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7<0，1－a <9，解得－8<a <－7. 3．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14恰好是等比数列{b n }的前三项． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，(T n ＋32)k ≥3n －6恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)当n ≥2时，由题设知4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4， ∴a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，∵a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2.∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 25＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3， 由条件可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1， ∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. ∵等比数列{b n }的公比q ＝a 5a 2＝2×5－13＝3，∴等比数列{b n }的通项公式为b n ＝3n . (2)T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32，∴(3n ＋1－32＋32)k ≥3n －6对任意的n ∈N *恒成立，∴k ≥2n －43n 对任意的n ∈N *恒成立，令c n ＝2n －43n ，c n －c n －1＝2n －43n －2n －63n －1＝－2(2n －7)3n ，当n ≤3时，c n >c n －1； 当n ≥4时，c n <c n －1. ∴(c n )max ＝c 3＝227，∴k ≥227.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．等比数列{a n }中a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189答案 C解析 由题意可得q 3＝8，所以q ＝2.所以a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝84. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6＋a 7，则S 9的值是( ) A ．27 B ．36 C ．45 D ．54答案 D解析 由2a 6＝6＋a 7得a 5＝6，所以S 9＝9a 5＝54.故选D.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝－2，又S m ＝a 1－a m q1－q ＝－11，故a 1＝－1，又a m ＝a 1·q m －1＝－16，代入可求得m ＝5.4．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．11 答案 B解析 ∵{b n }为等差数列，设其公差为d ， 由b 3＝－2，b 10＝12，∴7d ＝b 10－b 3＝12－(－2)＝14，∴d ＝2， ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6， ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62·d＝7×(－6)＋21×2＝0，又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3， ∴a 8－3＝0，a 8＝3.故选B. 5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 014等于( )A.16 B ．－16C ．6D ．－6答案 D解析 由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1得a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，而a 1＝2，所以a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，则数列是以4为周期，且a 1a 2a 3a 4＝1，所以T 2 014＝(a 1a 2a 3a 4)503a 1a 2＝1503×2×(－3)＝－6，故选D.6．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )， Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →等于( ) A ．2 011 B ．－2 011 C ．0 D ．1 答案 A解析 由S 21＝S 4 000得a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝0， 由于a 22＋a 4 000＝a 23＋a 3 999＝…＝2a 2 011， 所以a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝3 979a 2 011＝0， 从而a 2 011＝0，而OP →·OQ →＝2 011＋a 2 011a n ＝2 011. 二、填空题7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝________. 答案 3解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝8，a 1q 4＋a 1q 6＝4，解得q 4＝12. 又a 9＋a 11＝a 1q 8＋a 3q 8＝(a 1＋a 3)q 8＝8×(12)2＝2，a 13＋a 15＝a 1q 12＋a 3q 12＝(a 1＋a 3)q 12＝8×(12)3＝1， 所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3.8．(2014·广东)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝______.答案 50解析 因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________. 答案 6解析 设等差数列的公差为d ，则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6，∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11，∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36， 故当n ＝6时，S n 取最小值．10．已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝________.答案 2×⎝⎛⎭⎫32n －1 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2 (n ＝1)，⎝⎛⎭⎫32n －2 (n ≥2)解析 由a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，可得a n ＋1＝12S n ，所以S n ＋1－S n ＝12S n ，即S n ＋1＝32S n ，由此可知数列{S n }是一个等比数列，其中首项S 1＝a 1＝2，公比为32，所以S n ＝2×⎝⎛⎭⎫32n －1， 由此得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，⎝⎛⎭⎫32n －2 (n ≥2). 三、解答题11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d .依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15.解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54. 所以b n ＝b 1·q n －1＝54·2n －1＝5·2n －3， 即数列{b n }的通项公式b n ＝5·2n －3. (2)证明 由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5·2n －2－54， 即S n ＋54＝5·2n －2. 所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2. 因此{S n ＋54}是以52为首项，2为公比的等比数列． 12．若数列{b n }对于n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列，如数列{c n }，若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，n 为奇数，4n －9，n 为偶数，则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n ＋a n ＋1＝2n .(1)求证：{a n }为准等差数列；(2)求{a n }的通项公式及前20项和S 20.(1)证明 ∵a n ＋1＋a n ＝2n ，①∴a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2.②由②－①得a n ＋2－a n ＝2(n ∈N *)，∴{a n }是公差为2的准等差数列．(2)解 已知a 1＝a ，a n ＋1＋a n ＝2n (n ∈N *)，∴a 1＋a 2＝2，即a 2＝2－a .∴由(1)可知a 1，a 3，a 5，…，成以a 为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…，成以2－a 为首项，2为公差的等差数列．∴当n 为偶数时，a n ＝2－a ＋(n 2－1)×2＝n －a ， 当n 为奇数时，a n ＝a ＋(n ＋12－1)×2＝n ＋a －1， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋a －1，n 为奇数，n －a ，n 为偶数. S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2×1＋2×3＋…＋2×19＝2×(1＋19)×102＝200. 13．(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18. 即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n . 假设存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，得n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．。

专题三 数列第1讲 等差、等比数列的基本问题(建议用时：60分钟) 一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝6，则a 9＋a 10等于 ( )．A ．9B ．10C ．11D ．12解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则有(a 4＋a 5)－(a 2＋a 3)＝4d ＝2，所以d ＝12.又(a 9＋a 10)－(a 4＋a 5)＝10d ＝5，所以a 9＋a 10＝(a 4＋a 5)＋5＝11. 答案 C2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于 ( )．A.13 B ．－13 C.19 D ．－19解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，∴q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19. 答案 C3．(2021·杭州模拟)在等比数列{a n }中，若a 4，a 8是方程x 2－4x ＋3＝0的两根，则a 6的值是 ( )．A. 3 B ．－ 3 C ．±3 D ．±3解析 依题意得，a 4＋a 8＝4，a 4a 8＝3，故a 4>0，a 8>0，因此a 6>0(注：在一个实数等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同)，a 6＝a 4a 8＝ 3. 答案 A4．在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 2021＋a 2022a 2011＋a 2022等于( )． A ．3或－1 B ．9或1 C ．1D ．9解析 依题意，有3a 1＋2a 2＝a 3，即3a 1＋2a 1q ＝a 1q 2，解得q ＝3，q ＝－1(舍去)，a 2021＋a 2022a 2011＋a 2022＝a 1q 2022＋a 1q 2021a 1q 2010＋a 1q 2011＝q 2＋q 31＋q ＝9. 答案 D5．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 014，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 014的值等于( )． A ．－2 011 B ．－2 012 C ．－2 014 D ．－2 013解析依据等差数列的性质，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，依据已知可得这个数列的首项S 11＝a 1＝－2 014，公差d ＝1，故S 2 0142 014＝－2 014＋(2 014－1)×1＝ －1，所以S 2 014＝－2 014. 答案 C6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于 ( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝2，a m ＋1＝3，所以d ＝1， 由于S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －12，由于a m ＋a m ＋1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5，即m ＝5.。

第一讲选择题解题 5技法高考数学选择题主要考察考生对基础知识的理解程度、基本技术的娴熟程度以及基本运算的正确程度等方面，着重多个知识点的小型综合，浸透各样数学思想和方法，能充足考察考生灵巧应用基础知识解决数学识题的能力．选择题属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，其基本解答策略是：充足利用题干和选项所供给的信息作出判断．先定性后定量，先特别后推理；先间接后直接，先清除后求解．解题时应认真审题、深入剖析、正确推演、提防疏忽．解答选择题的常用方法主假如直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，假如全部选择题都用直接法解答，不只时间不一样意，甚至有些题目根本没法解答．所以，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧．总的来说，选择题属于小题，解题的常用原则是：小题巧解．技法一排除法在解答某些选择题时，能够依据选项的特色，经过灵巧赋值，利用一些特别的对象，如数、点等代当选项进行考证，依据选择题的特色——只有一个选项切合题目要求这一信息，能够间接地获得切合题目要求的选项．[例 1] 已知全集U＝R，A＝{ x|x2－ 2x－ 3>0} ，B＝ { x|2<x<4} ，那么会合 B∩ (?U A)＝ () A． { x|－ 1≤ x≤ 4} B ．{ x|2<x≤3}C． { x|2≤ x<3}D． { x|－ 1< x<4}[思想流程 ][分析 ] C 的差别在于选项2 与A 与选项 D 的不一样之处在于元素－1、 4 能否属于该会合；选项3 能否属于该会合；选项 A 、D 与选项 B、C 的差别可经过查验B 与选项0 能否属于该会合来判断．因为 0?B，所以 0?B∩ (?U A)，故可清除 A 、D ；因为 2?B，所以 2?B∩ (?U A)，故可清除 C.[答案]B—————————规律·总结———————————————————————清除法的使用技巧清除法合用于不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先依据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否认，再依据另一些条件在减小的范围内找出矛盾，这样逐渐清除(如本例经过二次取值清除 )，直到得出正确的选项．log 2x，x>0 ，1．设函数f(x) ＝log1－ x ， x<0，若 f(a)>f(－ a) ，则实数 a 的取值范围是 ()2A． (－ 1,0)∪ (0,1) B ． (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )C． ( －1,0)∪ (1，＋∞ )D． (－∞，－ 1)∪ (0,1)分析：选 C取a＝2考证知足题意，清除 A 、D ；取 a＝－ 2 考证不知足题意，清除 B.2.函数 y＝ f(x)的图像以下图，给出以下命题：①函数 y＝ f( x)的定义域是 [ － 1,5] ；②函数 y＝ f( x)的值域是 (－∞， 0]∪ [2,4] ；③函数 y＝ f( x)在定义域内是增函数；④函数 y＝ f( x)在定义域内的导数f′ (x)>0.此中正确命题的序号是()A．①② B ．①③C．②③D．②④分析：选 A y＝ f(x)的定义域中含有x＝ 3，①②正确；函数 y＝ f(x)在定义域内不是增函数，③④错误．技法二特值法特值法 (也称特例法 )是用特别值 (或特别图形、特别地点 )取代题设广泛条件，得出特别结论，再对各个选项进行查验，从而做出正确选择的方法，常用的特值法有：特别数值、特别数列、特别函数、特别图形、特别角和特别地点等．[例 2]若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝ f(x) 的图像是 ()[思想流程 ][分析 ] 由 f(x)－ 2＝ 0，得 f(x)＝ 2.由图像可知对于 A ，当 f( x)＝2 时， x＝ 0，不建立；对于B ，当 f(x)＝ 2 时，无解；对于 C，当 f(x)＝2 时， x>0，不建立．[答案] D——————————规律·总结————————————————————用特值法解题应注意三点(1)所选用的特例必定要简单，且切合题设条件；(2)特别只可否认一般，不可以必定一般；(3)当选用某一特例出现两个或两个以上的选项都正确时，这时要依据题设要求选择此外的特例代入查验，直到找到正确选项为止．3．若 a<0,0< b<1，则 (2A． a>ab>ab )B ．ab2>ab>aC． ab>a>ab2D． ab>ab2>a分析：选B 令 a＝－ 2， b＝ 12，则ab＝－ 1， ab2＝－ 12.故ab2>ab>a.4．设 ?( x)，g(x)，h(x)是R上的随意实值函数，以下定义两个函数(?°g)(x) 和 (?·g)(x)．对随意x∈R， (?°g)(x)＝ ?(g(x)) ， (?·g)(x) ＝?( x)g(x)，则以下等式恒建立的是() A． ((?°g) ·h)(x)＝ (( ?·h)°(g·h))( x)B． (( ?·g)°h)(x)＝ (( ?°h) ·(g°h))( x)C． (( ?°g)°h)( x)＝ ((?°h)°(g°h))( x)D． ((?·g) ·h)( x)＝(( ?·h) ·(g·h))( x)分析：选B取 ?(x)＝－ x， g( x)＝ x2， h(x)＝ x，则((?°g) ·h)( x)＝ (－ x2) ·(x)＝－ x3，(( ?·h)°(g·h))( x)＝ (－ x2)°(x3)＝－ x6，A 错； (( ?·g)°h)( x)＝3323C、D 错．( －x )°(x)＝－ x ， ((?°h) ·(g°h))( x)＝ (－ x) ·(x )＝－ x ， B 对；同理可考证技法三图解法图解法就是将所研究的问题转变为函数的图像或借助代数式的几何意义，作出相应的几何图形，综合几何图形的直观特色获得正确选项的一种解题方法，其本质就是数形联合思想的运用．[例 3] 若直角坐标平面内的两点P，Q 知足条件：① P， Q 都在函数 y＝ f(x)的图像上；② P， Q 对于原点对称，则称点对 [P， Q] 是函数 y＝ f(x)的一对“友善点对”(注：点对 [ P，Q]与 [Q， P]看作同一对“友善点对”log 2x x>0 ，则此函数的“友)．已知函数 f(x)＝－ x2－ 4x x≤ 0 ，好点对”有()A．0对C．2 对B．1 对D．3 对[思想流程][分析 ]依据题意，将函数f(x)＝－x2－4x(x≤ 0)的图像绕原点旋转 180°后，获得的图像所对应的分析式为y＝ x2－ 4x(x≥ 0)，再作出函数y＝ lo g2x( x>0) 的图像，以下图．由题意，知函数y＝x2－ 4x(x>0) 的图像与函数 f(x)＝ log2x(x>0)的图像的交点个数即为“友善点对”的对数．由图可知它们的图像交点有 2 个，所以此函数的“ 友善点对” 有2对．[答案] C——————————规律·总结————————————————————用图解法解题应注意的问题图解法是依赖图形的直观性进行剖析的，用这类方法解题比直接计算求解更能抓住问题的本质，并能快速地获得结果．可是运用图解法解题必定要对相关的函数图像、几何图形较熟习，不然错误的图像反而会致使错误的选择．在本例中，假如不可以正确画出分段函数的图像，那么就很难直接依据函数的图像判断出“ 友善点对” 的对数．5．已知实数 a， b 知足等式 2 011a＝2 012b，以下五个关系式：①0<b<a；② a<b<0；③0<a<b；④ b<a<0 ；⑤ a＝ b.此中不行能建立的关系式有 ()A．1个B．2个C．3 个D．4 个分析：选 B设 2 011a＝ 2 012b＝t，以下图，由函数图像，可得(1)若 t>1，则有 a>b>0 ；(2)若 t＝ 1，则有 a＝ b＝ 0；(3)若 0< t<1，则有 a<b<0.故①②⑤可能建立，而③④不行能建立．6．函数 y＝ |log 1 x|的定义域为 [a， b]，值域为 [0,2] ，则区间 [a，b] 的长度 b－a 的最小值2是 ()3A． 2 B.23C． 3 D.4x|的图像，以下图，由y＝0，解得 x分析：选D作出函数 y＝ |log12＝1，由 y＝ 2，解得 x＝4 或 x＝1.所以区间 [a，b] 的长度 b－ a 的最小值为 14－1＝ 3.44技法四正难则反法在解选择题时，有时从正面求解比较困难，能够转变为其反面的问题来解决，马上问题转变为其对峙事件来解决，本质上就是补集思想的应用．[例 4] 若函数 y＝ e x＋ mx 有极值，则实数m 的取值范围是 ()A． (0，＋∞ ) B ．(－∞， 0)C． (1，＋∞ )D． (－∞， 1)[思想流程 ][分析 ]y′＝ (e x＋ mx)′＝ e x＋ m，函数 y＝ e x＋ mx 没有极值的充要条件是函数在R 上为单一函数，即y′＝ e x＋m≥0( 或≤ 0)恒建立，而 e x≥ 0，故当 m≥0 时，函数 y＝ e x＋ mx 在R 上为单一递加函数，不存在极值，所以函数存在极值的条件是m<0.[答案] B——————————规律·总结———————————————————利用正难则反法解决问题的重点应用正难则反法解决问题的重点在于正确转变．在本例中，依据函数有极值获得函数不单一，但从正面没法直接判断，所以能够考虑其反面，即函数在R 上单一，其导函数的值恒大于 0 或恒小于 0.7．设会合A＝{ x|a－ 1<x<a＋ 1， x∈R } ， B＝{ x|1<x<5， x∈R} ，若 A∩ B≠ ?，则实数a的取值范围是 ()A ． { a|0<a<6} C ． { a|a ≤ 0 或分析：选 Aa ≥ 6}当 A ∩ B ＝?时，由图可知B ．{ a|a<2 或 a>4}D ． { a|2≤ a ≤ 4}a ＋ 1≤ 1 或 a － 1≥5，所以a ≤ 0或a ≥ 6.故当A ∩B ≠ ?时， 0<a<6.技法五估 算 法因为选择题供给了独一正确的选项，解答又无需过程， 所以，有些题目不用进行正确的计算，只要对其数值特色和取值界线作出适合的预计，便能作出正确的判断，这就是估量法．估量法常常能够减少运算量，可是增强了思想的层次．m － 3 ， cos θ＝ 4－ 2m π θ[例 5]已知 sin θ＝ m ＋ 5 m ＋ 5 2<θ<π＝ ()，则 tan 2 m －3m － 3 A. 9－ mB.|9－ m|1C ．－ 5D ． 5[思想流程 ][分析 ]因为受条件 2 2θ＝ 1 的限制， m 为一确立的值，从而推知 θ sin θ＋ cos tan 也为一2确立的值，又π π θ π θ2 <θ<π，所以< < ，故 tan >1.4 2 22[答案]D—————————— 规律 ·总结 ———————————————————————估量法的应用技巧估量法是依据变量变化的趋向或极值的取值状况进行求解的方法．当题目从正面分析比较麻烦， 特值法又没法确立正确的选项时，如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图像的变化等问题，常用此种方法确立选项．x≤ 0，8．若 A 为不等式组y≥ 0，表示的平面地区，则当 a 从－ 2 连续变化到 1 时，动直y－ x≤2线 x＋ y＝ a 扫过 A 中的那部分地区的面积为 ()3A. 4 B ．17C.4D． 2分析：选C如图知地区的面积是△OAB去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比 1 大，比S△OAB＝ 1× 2× 2＝ 2 小，应选2C 项．1．选择题设置特色精良易错最近几年来，高考选择题减少了繁琐的运算，着力考察学生的逻辑思想与直觉思想能力，考察学生察看、剖析、比较、选择简捷运算方法的能力，试题拥有设置精良、运算量不大、试题破解时易错的特色，着力考察学生的解题能力．2．选择题的解题策略灵巧多变选择题的解题策略需要因题而变，对于简单题和大多数中等难度的题，可采纳直接法；与几何图形相关的题，尽可能先画出图形，用数形联合的方法或许几何法；难度较大或一时找不到思路的题，常使用一些技巧，采纳特别规方法的同时注意多用图，能不算则不要算；实在不会的，猜一下，不要留空．温馨提示：小题小做，小题巧做，切忌小题大做．3．选择题的破解技巧多样简捷选择题的解题方法许多，解答选择题的首要标准是正确，其次要求是快速，力争做到又准又快．解数学选择题有两类基本技巧：一是直接法；二是间接法．直接法：指充足利用题干和选项双方面供给的信息，快速、正确地作出判断，是解选择题的基本策略；间接法：解选择题时经过注意到往常各种惯例题的解题思想来指导选择题的解答，或依据选择题的特别性，找寻存在着若干异于惯例题的特别解法．一般在解选择题时应先考虑除直接法外的其余方法，充足利用题干和选项双方面供给的信息，快速、正确地作出判断，是解选择题的基本策略．[选择题技法专练]1． (2013 成·都模拟 )对于向量a、b、 c 和实数λ，以下命题中的真命题是()A．若a·b＝ 0，则a＝ 0 或b＝ 0B．若λa＝0，则λ＝ 0 或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c分析：选B当 a·b＝0时， a 与 b 也可能垂直，应选项 A 是假命题；当 a2＝ b2时，|a|＝|b|，应选项C是假命题；当 a·b＝a·c 时， b 与 c 也可能垂直，应选项 D 是假命题．2． (2013 重·庆高考 ) 3－a a＋6 ( － 6≤ a≤ 3)的最大值为 ()9A． 9 B.2C． 3 D.322分析：选B法一：因为－ 6≤a≤ 3，所以3－ a≥0， a＋ 6≥ 0，则由基本不等式可知，3－ a a＋ 6 ≤3－ a ＋ a＋ 6＝9，当且仅当 a＝－3时等号建立．2223－ a a＋ 6 ＝3 2819a＝－3法二：－ a＋2＋ 4 ≤2，当且仅当2时等号建立．3．设 m， n 是平面α内的两条不一样直线；l1， l2是平面β内的两条订交直线，则α∥β的一个充足不用要条件是 ()A． m∥ β且 l1∥ α B ．m∥ l1且 n∥ l2C． m∥β且 n∥βD． m∥ β且 n∥ l2分析：选B因为 m? α，l 1? β，若α∥β，则有 m∥ β且 l1∥α，故α∥β的一个必需条件是 m∥ β且 l 1∥ α，清除 A ；因为 m， n? α， l1， l 2?β且 l1与 l2订交，若 m∥ l1且 n∥l2，则 m 与 n 也订交，故α∥ β；若α∥ β，则直线 m 与直线 l 1可能为异面直线，故α∥β的一个充足不用要条件是m∥ l1且 n∥ l 2.4．已知 0<a<1,0<x≤ y<1，且 log a x·log a y＝ 1，那么 xy 的取值范围是 ()2B ．(0， a]A． (0， a ]C. 0，1D. 0，1 a a2分析：选 A∵ 0<a<1,0<x≤ y<1 ，∴ xy>0 ， log a x>0 ， log a y>0 ，∴ log a xy ＝ log a x ＋log a x＝ log a y，即 x＝ y＝ a 时取等号，∴ 0< xy≤ a2. log a y≥ 2 log a x·log a y＝ 2，当且仅当log a x·log a y＝ 1，5． (2013 深·圳模拟 )设 0<a<b<1，则以下不等式建立的是 ()3311A． a >b B.a<bbD． lg( b－ a)<0C． a >1分析：选D对于 A ，结构幂函数 y＝ x3，其在R上为单一递加函数，因为0< a<b<1 ，依据其单一性可知a 3<b3，故 A 错误；对于 B ，1－1＝b－a，因为 0<a<b<1，所以 ab>0，ba b ab1－1＝b－ a 1 1x－ a>0，故b ab >0，所以a> ，故 B 错误；对于 C，结构指数函数 y＝ a ，因为 0<a<b<1，a b所以 a b <1，故 C 错误；对于 D ，结构对数函数 y ＝lg x ，因为 0<a<b<1，所以 0<b － a<1，故lg( b － a)<0，故 D 正确．6． 函数 f( x)＝ |sin x － cos x|＋ sin x ＋ cos x(x ∈ R )的最小值为 ()2A ． 0B ．－ 2C ．－ 2D ．－ 22sin x ， sin x ≥ cos x ，分析： 选 C 依题意， f(x)＝依据函数分析式，作出一个周期内2cos x ， sin x<cos x ， 的函数图像察看即可获得函数f(x)的最小值为－2.7． (2013 陕·西高考 )设 [x] 表示不大于 x 的最大整数，则对随意实数 x ， y 有 ()A ． [－ x]＝－ [x]B ．[2 x] ＝2[ x]C ． [ x ＋ y]≤ [x]＋[y]D ． [x － y] ≤ [x]－[ y]分析： 选 D 取特别值进行判断．当 x ＝ 1.1 时， [ －x]＝－ 2，－ [ x] ＝－ 1，故 A 错；当x ＝ 1.9 时， [2x]＝ 3,2[ x] ＝ 2，故 B 错；当 x ＝ 1.1， y ＝ 1.9 时， [x ＋ y]＝ 3， [x]＋ [y] ＝ 2，故 C 错．x ＝ 1 的实根的个数是 ( )8． 函数 f( x)＝ 1－ |2x － 1|，则方程 f(x) ·2 A ． 0 B ．1 C ． 2D ． 3x1 x分析：选C方程 f(x) ·2 ＝ 1 可化为 f(x)＝ 2，在同一坐标系下分别画出函数y＝ f(x)和 y ＝ 1x的图像，以下图．能够发现其图像有两个交点，所以方程f( x)＝ 122x有两个实数根．π β＋ cos β＝ b ，则 ()9．若 0≤ α<β≤ ， sin α＋ cos α＝ a ， sin4A ． a<bB ．a>bC ． ab<1D ． ab>2π π π 2，从而分析： 选 A 当 α＝ 0 时， a ＝ sin 0＋ cos 0＝ 1；当 β＝ 时， b ＝ sin＋ cos＝444b>a ，而 1<ab ＝ 2<2 ，所以清除 B 、 C 、 D 只有 A 正确．10．已知 f(x)＝1x 2＋sinπ＋x ，则 f ′ (x)的图像是 ()42ABC D1 2π1 21 21分析：选Af(x)＝ 4x＋ sin 2＋ x ＝ 4x ＋ cos x ，故 f ′ (x)＝ 4x ＋ cos x ′ ＝ 2x － sin x ，记 g(x)＝ f ′ (x) ，其定义域为1 1＝－ g(x)，所以R ，且 g(－ x)＝ (－ x)－ sin(－ x)＝－x － sin x 2 2g(x)为奇函数，所以清除B ， D 两项．π π π π π法一： 当 x ＝ 时， g2＝1× － sin＝ － 1<0，故清除 C.22 2241ππ法二： g ′ (x)＝ 2－ cos x ，明显当 x ∈ 0， 3 时， g ′ (x)<0，g(x)在 0， 3 上单一递减，故清除 C.11．设函数 y ＝ xsin x ＋ cos x 的图像上的点 (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，若 k ＝ g(x 0)，则函数 k ＝ g(x 0)的图像大概为 ()ABCD分析：选A由题意可得 y ′ ＝ xcos x ，k ＝ g(x 0)＝ x 0cos x 0，因为它是奇函数，所以清除B ，C ；又在y 轴邻近g(x 0)为增函数，所以清除D.12．若函数f(x)＝2sinππ 6x ＋3(－2< x<10) 的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图像交于 B 、 C 两点，则 (OB＋ OC ) ·＝ ( )OAA ．－ 32B ．－ 16C ． 16D ． 32分析：选 D由题意知， 点 A 为 (4,0) ，依据三角函数的图像， 知点 B 、C 对于点 A 对称，设 B(x 1， y 1 )，则－ 1，－ y 1 )， ( OB ＋OC )· ＝ 8×4＝ 32.C(8 xOA13．在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数2的图像交于 P 、Qf(x)＝ x两点，则线段 PQ 长度的最小值是 ( )A ． 1B ．2C ． 3D ． 4分析：选 D由题意知 P 、Q 两点对于原点 O 对称，不如设 P(m ，n)为第一象限内的点，则222 22 24m>0 ， n>0 ， n ＝ 2 ， 所 以 |PQ|＝ |2OP| ＝ 4|OP|＝ 4(m ＋ n ) ＝ 4 m ＋m2m≥ 16 当且仅当 m 2＝42，即 m ＝2时取等号 ，故线段 PQ 长度的最小值是4.m14．若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为 S ，前 n 项的积为 P ，前 n 项倒数的和为 M ，则有 ()SSA ． P ＝MB ．P>M2＝ S n 2S nC ． P MD ．P > M分析：选 C取等比数列为常数列：1,1,1， , ，则 S ＝ n ， P ＝ 1， M ＝ n ，明显 P>S和M2S n不建立，应选项 B 和 D 清除，这时选项 A 和 C 都切合要求． 再取等比数列： 2,2,2，, ，P > M则 S ＝ 2n ，P ＝ 2n， M ＝n，这时有 P 2＝ S n，而 P ≠ S，所以选项 A 不正确．2 M M15． (2013 海·淀模拟 )若数列 { a n } 知足：存 在正整数 T ，对于随意正整数 n 都有 a n ＋T ＝ a n建立，则称数列 { a n } 为周期数列，周期为T.已知数列 { a n } 知足 a 1 ＝ m(m>0) ， a n ＋ 1 ＝a n － 1， a n >1，1， 0<a ≤ 1， 则以下结论中错误的选项是()a nnA ．若 m ＝ 4，则 a 5＝ 35B ．若 a 3＝ 2，则 m 能够取 3 个不一样的值C ．若 m ＝ 2，则数列 { a n } 是周期为3 的数列D ．存在 m ∈ Q 且 m ≥ 2，使得数列 { a n } 是周期数列分析：选 D对于 A ，当 a ＝ m ＝4时， a ＝5，a ＝ a － 1＝ 1，a ＝ 4，a＝3，所以选项1524324450<m ≤1，m>1，A 正确；对于B ，当 a 3＝ 2 时，若 a 2>1，则 a 3＝ a 2－ 1＝2，a 2＝ 3， m －1＝ 3 或1 ＝ 3， m由此解得 m ＝4 或 m ＝ 1；若 0<a ≤ 1，则 a ＝ 1＝ 2，a ＝ 1，m>1，0< m ≤ 1，1 或 1＝1，由323 a 222m －1＝ 2m 2此解得 m ＝ 3，所以 m 的可能值是 1， 3， 4，选项 B 正确；对于 C ，当 m ＝2时， a 1＝ 2，2 3 2a 2＝ 2－ 1， a 3＝ 2＋ 1，a 4＝ 2，a 5＝ 2－1，a 6＝ 2＋ 1，, ，此时数列 { a n } 是以 3 为周期的数列，所以选项C 正确．16．已知函数 f(x)＝ x － [x]，此中 [x]表示不超出实数x 的最大整数．若对于 x 的方程 f(x)＝ kx ＋ k 有三个不一样的实根，则实数 k 的取值范围是 ()11 1A. －1，－ 2 ∪ 4，311 1B.－1，－2 ∪ 4，3C. －1，－1 ∪ 1，1342D.－1，－ 1 ∪1，13 42分析：选Bf(x ＋ 1)＝ (x ＋ 1)－ [x ＋ 1]＝ (x ＋ 1)－ ([x]＋ 1)＝ x － [x]＝ f(x) ，即 f(x)是以 1 为周期的函数．当 0≤ x< 1 时， f(x)＝ x－ 0＝x，要使方程 f(x)＝ k(x＋ 1)有三个不一样的实根，则需函数 y＝ f(x)的图像与直线y＝ k(x＋ 1)(y＝ k(x＋ 1)是过点 (－ 1,0)，斜率为 k 的直线 )的图像有三个交点，以下图，知足题意的直线l 应位于直线 l1， l2之间，或位于直线 l3， l 4之间 (此中111包含直线 l 1，l4，不包含直线l 2，l3)，联合图像可知，实数 k 的取值范围是－1，－2∪4，3 .。

2021年高考数学二轮复习 专题一 选择题的解题方法与技巧A ．(1B ．(y －1)sin x ＋2y －3＝0C ．(y ＋1)sin x ＋2y ＋1＝0D ．－(y ＋1)sin x ＋2y ＋1＝0解析：对ycos x ＋2y －1＝0作变换(x ，y )→⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，y ＋1，得(y ＋1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋2(y ＋1)－1＝0，即(y ＋1)sin x ＋2y ＋1＝0.故应选C.记住一些变换的小结论是有效的．本题是函数y ＝12＋cos x向方程式的变式，较为新颖．答案：C7．由a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1给出的数列{a n }的第34项是( ) A.34103 B.1100 C.1104 D.14解析：对已知递推式两边取倒数， 得1a n ＋1＝3a n ＋1a n ，即1a n ＋1－1a n ＝3.这说明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项， 3为公差的等差数列， 从而有1a 34＝1a 1＋33d ＝100，即a 34＝1100，应选B.构造等差数列、等比数列是解决数列考题的常用方法， 值得我们重视．答案：B8．一种细胞，每三分钟分裂一次(一个分裂为两个)，把一个这种细胞放入一个容器内，恰好一小时充满；如果开始时把两个这种细胞放入该容器内，那么细胞充满容器的时间为( )A ．57分钟B ．30分钟C ．27分钟D ．45分钟解析：设容器内细胞共分裂n 次，则220＝2·2n，即n ＝19，从而共花去时间为19×3＝57分钟，故应选A.答案：A9. 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( ) A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种解析：采用补集思想求解．从6个面中任取3个面的取法共有C 36种方法，其中三个面交于一点共有8种可能，从而满足题意的取法共有C 36－8＝12种，故选B.答案：B10．平行移动抛物线y 2＝－3x ，使其顶点的横坐标非负，并使其顶点到点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0的距离比到y 轴的距离多14，这样得到的所有抛物线所经过的区域是( )A ．xOy 平面B ．y 2≥－2x C ．y 2≤－2x D ．y 2≥2x解析：我们先求出到点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0的距离比到y 轴的距离多14的点的轨迹．设P(x ，y)是符合条件的点，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝|x|＋14，两边平方并整理得y 2＝(|x|＋x)⎝⎛⎭⎪⎫|x|－x ＋12，∵x ≥0，∴y 2＝x.再设平移后抛物线的顶点为(a 2，a)，于是平移后抛物线的方程为(y －a)2＝－3(x －a 2)，按a 整理得2a 2＋2ya －3x －y 2＝0.∵a∈R，∴Δ＝(2y)2－8(－3x －y 2)≥0，化简得y 2≥－2x.故选B.答案：B11．关于直线a ，b ，l 以及平面M ，N ，下面命题中正确的是( ) A ．若a∥平面M ，b ∥平面M ，则a∥b B ．若a∥平面M ，b ⊥a ，则b⊥平面MC ．若a 平面M ，b 平面M ，且l ⊥a，l ⊥b ，则l⊥平面MD ．若a⊥平面M ，a ∥平面N ，则平面M⊥平面N解析：对于选项D, 过a 作平面P 交平面N 于直线a′，则a′∥a，而a⊥平面M ，从而a′⊥平面M ，又a′平面N ，故平面M⊥平面N ，应选D.可举反例说明命题A ，B ，C 均为假命题．答案：D12．点P(1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (其中t∈R 为参数)上的点的最短距离是( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2解析：由两点间的距离公式，得点P(1，0)到曲线上的点Q(t 2，2t)的距离为|PQ|＝（t 2－1）2＋（2t ）2＝（t 2＋1）2＝t 2＋1≥1.当t ＝0时，|PQ|min ＝1.故选B.将曲线方程转化为y 2＝4x ，显然点P(1，0)是抛物线的焦点，由定义可知：抛物线上距离焦点最近的点为抛物线的顶点．故选B.答案：B13．(xx·天津卷)设a ，b ∈R ，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设f(x)＝x|x|，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以f(x)是R 上的增函数，“a ＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件．故选C.答案：C14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和抛物线y 2＝2px(p ＞0)的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则( )A ．e 1e 2＞e 3B ．e 1e 2＝e 3C ．e 1e 2＜e 3D ．e 1e 2≥e 3解析：∵e 1＝a 2－b2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2， e 2＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，e 3＝1， ∴e 1e 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＜1＝e 3.故选C. 答案：C15．(xx·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94 D ．3解析：因为P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点，所以||PF 1|－|PF 2||＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2＝9b 2－4a 2，所以4|PF 1|·|PF 2|＝9b2－4a 2.又因为|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，所以9ab ＝9b 2－4a 2，即9(b a )2－9(b a )－4＝0，解得：b a ＝－13(舍去)或b a ＝43；所以e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋(b a )2＝1＋(43)2＝259，所以e ＝53.故选B. 答案：B16．(xx·北京卷)若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12解析：若k≥0，z ＝y －x 没有最小值，不合题意；若k ＜0，则不等式组表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，直线z ＝y －x 在点A(－2k ，0)处取得最小值，所以0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4，解得k ＝－12.故选D.答案：D17．银行计划将某资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M ，60%的资金给项目N.项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为了使银行年利润不小于给M ，N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户回扣率最小值为( )A ．5%B ．10%C ．15%D ．20%解析：设共有资金为a, 储户回扣率x, 由题意得0.1a≤0.1×0.4a ＋0.35×0.6a－xa≤0.15a ，解得0.1≤x ≤0.15.故选B.答案：B18. (xx·江西卷)在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34π C ．(6－25)π D.54π解析：先根据图形转化为抛物线问题，再进一步求解圆的半径． ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD|. 又|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.答案：A =35021 88CD 裍 38231 9557 镗37254 9186 醆27153 6A11 樑,22688 58A0 墠28324 6EA4 溤=31003 791B 礛28046 6D8E 涎_-p。

第1讲空间几何体考情解读 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系2．空间几何体的三视图(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形．(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．看不到的线画虚线．3．直观图的斜二测画法空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．4．空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；③S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上，下底面的周长，h ′为斜高)；④S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)． (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)；④V 球＝43πR 3.热点一 三视图与直观图例1 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83 B ．8 C.323D ．16(2)(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )思维启迪 (1)根据三视图确定几何体的直观图；(2)分析几何体的特征，从俯视图突破． 答案 (1)B (2)D解析 (1)由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图：则该几何体的体积V ＝12×2×2×4＝8.(2)由俯视图易知答案为D.思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．(1)(2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )答案 (1)A (2)D解析 (1)根据已知条件作出图形：四面体C 1－A 1DB ，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示．故选A.(2)如图所示，点D 1的投影为C 1，点D 的投影为C ，点A 的投影为B ，故选D.热点二 几何体的表面积与体积例2 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π B ．22π C.π3D.2π3(2)如图，在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在C 1D 1与C 1B 1上，且C 1E ＝4，C 1F ＝3，连接EF ，FB ，DE ，则几何体EFC 1－DBC 的体积为( )A ．66B ．68C ．70D ．72思维启迪 (1)由三视图确定几何体形状；(2)对几何体进行分割． 答案 (1)D (2)A解析 (1)由三视图知，原几何体是两个相同的圆锥的组合，∴V ＝(13×π×12)×2＝23π.(2)如图，连接DF ，DC 1，那么几何体EFC 1－DBC 被分割成三棱锥D －EFC 1及四棱锥D －CBFC 1，那么几何体EFC 1－DBC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.故所求几何体EFC 1－DBC 的体积为66.思维升华 (1)利用三视图求解几何体的表面积、体积，关键是确定几何体的相关数据，掌握应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”；(2)求不规则几何体的体积，常用“割补”的思想．多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )A.16＋33B.8＋633C.163D.203答案 D解析 过M ，N 分别作两个垂直于底面的截面，将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为S 1＝12×2×2＝2，高为2，所以体积为V 1＝4，两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为V 1＝2×13×2×1×2＝83，所以多面体的体积为V ＝83＋4＝203，选D.热点三 多面体与球例3 如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π B ．3π C.23π D ．2π 思维启迪 要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于△BCD 是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A 的距离等于这个点到B ，C ，D 的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可．答案 A解析 如图，取BD 的中点E ，BC 的中点O ， 连接AE ，OD ，EO ，AO .由题意，知AB ＝AD ，所以AE ⊥BD . 由于平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊥BD ， 所以AE ⊥平面BCD .因为AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2， 所以AE ＝22，EO ＝12. 所以OA ＝32. 在Rt △BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为32. 所以该球的体积V ＝43π(32)3＝32π.故选A.思维升华 多面体与球接、切问题求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．(1)(2014·湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是________；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是________．答案 (1)B (2)133π解析 (1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r ＝12×(6＋8－10)＝2.因此选B.(2)由三视图可知，该几何体是四棱锥P －ABCD (如图)，其中底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝1，∴该四棱锥的体积为V ＝13×1×1×1＝13.又PC 为其外接球的直径，∴2R ＝PC ＝3，则球的表面积为S ＝4πR 2＝3π.1．空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和． 2．在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量．在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面．3．一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解)．4．长方体的外接球(1)长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R ； (2)棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a ＝2R .真题感悟1．(2014·北京)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (1,1，2)．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D －ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( ) A ．S 1＝S 2＝S 3 B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3 C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2 D ．S 3＝S 2且S 3≠S 1答案 D解析 如图所示，△ABC 为三棱锥在坐标平面xOy 上的正投影，所以S 1＝12×2×2＝2.三棱锥在坐标平面yOz 上的正投影与△DEF (E ，F 分别为OA ，BC 的中点)全等，所以S 2＝12×2×2＝ 2.三棱锥在坐标平面xOz 上的正投影与△DGH (G ，H 分别为AB ，OC 的中点)全等， 所以S 3＝12×2×2＝ 2.所以S 2＝S 3且S 1≠S 3.故选D.2．(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．答案 32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2， 即r 1h 1＝r 2h 2，则h 1h 2＝23，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝32.押题精练1．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，连接AC ，得到三棱锥C －ABD ，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示)，则其侧视图的面积为( )A.32B.12 C ．1 D.22答案 B解析 在三棱锥C －ABD 中，C 在平面ABD 上的投影为BD 的中点O ，∵正方形边长为2，∴AO ＝OC ＝1，∴侧视图的面积为S △AOC ＝12×1×1＝12.2．在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别为22，32，62，则三棱锥A －BCD 的外接球体积为( ) A.6π B ．26π C ．36π D ．46π 答案 A解析 如图，以AB ，AC ，AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长． 据题意⎩⎨⎧AB ·AC ＝2，AC ·AD ＝3，AB ·AD ＝6，解得⎩⎨⎧AB ＝2，AC ＝1，AD ＝3，∴长方体的体对角线长为AB 2＋AC 2＋AD 2＝6， ∴三棱锥外接球的半径为62. ∴三棱锥外接球的体积为V ＝43π·(62)3＝6π.(推荐时间：50分钟)一、选择题1．已知正三棱锥V －ABC 的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图的面积为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 C解析 如图，作出正三棱锥V －ABC 的直观图，取BC 边的中点D ，连接VD ，AD ，作VO ⊥AD 于O .结合题意，可知正视图实际上就是△VAD ，于是三棱锥的棱长VA ＝4，从俯视图中可以得到底面边长为23，侧视图是一个等腰三角形，此三角形的底边长为23，高为棱锥的高VO . 由于VO ＝42－(23×23×32)2＝2 3.于是侧视图的面积为12×23×23＝6，故选C.2．右图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE 的体积为( ) A ．2 B.23 C.43 D.83答案 D解析 多面体ABCDE 为四棱锥，利用割补法可得其体积V ＝4－43＝83，选D.3．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为( )A ．15＋3 3B ．9 3C ．30＋6 3D ．18 3答案 B解析 由三视图知几何体是一个底面为3的正方形，高为3的斜四棱柱，所以V ＝Sh ＝3×3×3＝9 3.4．已知正四棱锥的底面边长为2a ，其侧(左)视图如图所示．当正(主)视图的面积最大时，该正四棱锥的表面积为( )A ．8B ．8＋8 2C ．8 2D ．4＋8 2答案 B解析 由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示，其主视图与左视图相同，设棱锥的高为h ，则a 2＋h 2＝4.故其主视图的面积为S ＝12·2a ·h ＝ah ≤a 2＋h 22＝2，即当a ＝h ＝2时，S 最大，此时该正四棱锥的表面积 S 表＝(2a )2＋4×12×2a ×2 ＝8＋82，故选B.5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为( )A.33πB.36πC.32π D.3π 答案 A 解析 三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形，圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高为h ＝22－12＝ 3.易知该几何体的体积就是整个圆锥的体积，即V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×12×3＝33π.故选A. 6．(2014·大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4答案 A解析 如图，设球心为O ，半径为r ，则Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94， ∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π. 二、填空题7．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．答案 2＋22解析 如图，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22. 而四边形AECD 为矩形，AD ＝1，∴EC ＝AD ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1. 由此可还原原图形如图．在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1，且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，∴这块菜地的面积为S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′ ＝12×(1＋1＋22)×2＝2＋22.8．如图，侧棱长为23的正三棱锥V －ABC 中，∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA＝40°，过A 作截面△AEF ，则截面△AEF 的周长的最小值为____________．答案 6解析 沿着侧棱VA 把正三棱锥V －ABC 展开在一个平面内，如图．则AA ′即为截面△AEF 周长的最小值，且∠AVA ′＝3×40°＝120°.在△VAA ′中，由余弦定理可得AA ′＝6，故答案为6.9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为______．答案 16解析 11113D EDF F DDE D DE V V S AB --∆==＝13×12×1×1×1＝16. 10．已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC 把△ACD 折起，则三棱锥D －ABC 的外接球的表面积等于________．答案 16π解析 设矩形的两邻边长度分别为a ，b ，则ab ＝8，此时2a ＋2b ≥4ab ＝82，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，此时四边形ABCD 为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π.三、解答题11．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解 由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥E －ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64. (2)四棱锥E －ABCD 的两个侧面EAD ，EBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高h 1＝ 42＋(82)2＝42； 另两个侧面EAB ，ECD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h 2＝ 42＋(62)2＝5. 因此S ＝2×(12×6×42＋12×8×5)＝40＋24 2. 12．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝30°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)试问：当点E 在何处时，四棱锥P —EFCB 的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P —EFCB 的体积．(1)证明 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ，∴EF ⊥AB ，即EF ⊥BE ，EF ⊥PE .又BE ∩PE ＝E ，∴EF ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，∴EF ⊥PB .(2)解 设BE ＝x ，PE ＝y ，则x ＋y ＝4.∴S △PEB ＝12BE ·PE ·sin ∠PEB ＝14xy ≤14⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝1. 当且仅当x ＝y ＝2时，S △PEB 的面积最大．此时，BE ＝PE ＝2.由(1)知EF ⊥平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面EFCB ，在平面PBE 中，作PO ⊥BE 于O ，则PO ⊥平面EFCB .即PO 为四棱锥P —EFCB 的高．又PO ＝PE ·sin 30°＝2×12＝1. S EFCB ＝12×(2＋4)×2＝6. ∴V P —BCFE ＝13×6×1＝2.。

数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．从历年高考看这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的大有人在，针对以上情况，本节就具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化． 【常见答题模板展示】 模板一 三角函数的图像与性质试题特点：通过升、降幂等恒等变形，将所给三角函数化为只含一种函数名的三角函数(一般化为sin()(0,0)yA x k A ωϕω=++≠≠，然后再研究三角函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等．求解策略：观察三角函数中函数名称、角与结构上的差异，确定三角化简的方向．例1【河北省冀州市2016届高三一轮复习检测一】 已知向量31(cos 2,sin cos )22m x x x =-u r ，31cos )2n x x =-r ，设函数()f x =m n u r r g ．（Ⅰ）求函数()f x 取得最大值时x 取值的集合；（Ⅱ）设A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角.若3cos 5B =，1()4f C =-，求sin A 的值。

思路分析：（Ⅰ）首先运用三角恒等变换（如倍角公式、两角和与差的正弦余弦公式）对其进行化简，然后运用三角函数的图像及其性质即可得出()f x 取得最大值所满足的x 取值的集合；（Ⅱ）由题意可得3sin(2)3C π-=然后运用已知条件可得出角C 的大小，再由同角三角函数的基本关系可得sin B ，最后由两角和的正弦公式即可得出所求的结果. 解析：（Ⅰ）231()cos 2cos )22f x x x x =+-22313cos 2(sin cos sin cos )442x x x x x =++-133(cos 2sin 2)24x x =--+13sin(2).23x π=--要使()f x 取得最大值，须满足sin(2)3x π-取得最小值.∴22,32x k k ππ-=π-∈Z.∴,12x k k π=π-∈Z.∴当()f x 取得最大值时,x 取值的集合为{|,}.12x x k k π=π-∈Z点评：高考对三角函数的图像和性质的考查主要围绕三角函数解析式的确定以及三角函数的周期性、单调性、对称性的展开，本题在三角函数解析式的确定上呈现的非常好. 【规律总结】答题模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋h 的形式． 如：()2sin(2)13f x x π=++.第二步：根据f (x )的表达式求其周期、最值．第三步：由sin x 、cos x 的单调性，将“ωx ＋φ”看作一个整体，转化为解不等式问题． 第四步：明确规范表述结论．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范. 【举一反三】1. 【2015高考湖北】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+ 0 π2π3π22πxπ3 5π6 sin()A x ωϕ+55-．．．．．．．．．．．()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：x ωϕ+ 0 π2 π3π2 2πxπ12π37π125π6 13π12sin()A x ωϕ+50 5-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.模板二 三角变换与解三角形试题特点：题中出现边与角的关系或者给定向量的关系式，利用正、余弦定理或利用向量的运算，将向量式转化为代数式，再进行有关的三角恒等变换解三角形．求解策略：（1）利用数量积公式、垂直与平行的主要条件转化向量关系为三角问题来解决．（2）利用正、余弦定理进行三角形边与角的互化．例2 【河北省武邑中学2016届高三上学期期末考试】已知ABC ∆的面积为S ，且S AC AB =⋅.(1)求A 2tan 的值； (2)若4π=B ，3=-CA CB ，求ABC ∆的面积S .思路分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则及面积公式化简已知等式，求出tan A 的值即可；（2）由tan A 与tan B 的值，利用两角和与差的正切函数公式求出tan C 的值，进而求出sin C 的值，利用正弦定理求出b 的值，再利用三角形面积公式即可求出S ．3=CA CB ，3==c AB ，∵2tan =A ，20π<<A ，∴552sin =A ，55cos =A .∴10103225522552sin cos cos sin )sin(sin =⋅+⋅=+=+=B A B A B A C . 由正弦定理知：5sin sin sin sin =⋅=⇒=B Ccb B b Cc ， 35523521sin 21=⋅⋅==A bc S . 点评：解三角形的两条思路要牢记：边角互化与使用三角恒等变换公式，其中正、余弦定理是常使用的，其作用就是边角互化，用一句话概括：“化边化角整体待，三角变换用起来” 【规律总结】答题模板第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果．第四步：回顾反思，在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形. 【举一反三】【2015高考湖南】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.模板三 离散型随机变量的分布列、期望与方差试题特点：主要考查古典概型、几何概型，等可能事件的概率计算公式，互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式，相互独立事件的概率乘法公式，事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率计算公式等五个基本公式的应用及离散型随机变量的分布列和数学期望、方差等内容．求解策略：（1）搞清各类事件类型，并沟通所求事件与已知事件的联系．（2）涉及“至多”、“至少”问题时要考虑是否可通过计算对立事件的概率求解．（3）注意识别特殊的二项分布．（4）在概率与统计的综合问题中，能利用统计的知识提取相关信息用于解题． 例3【江西省吉安市第一中学2016届高三上学期第四次周考数学理试题】某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友（8,n n N *>?且），其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合” ..（1）若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值； （2）当=12n 时，设选出的2 位校友代表中女校友人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X .思路分析：（1）由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率()()11266126112n n n P C C C n n --==≥-，由此能求出n 的最大值．（2）由题意得，X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和均值．X 的分布列为 X 012P522 611 522()=1E X .点评：解决概率问题首先要考虑是考查哪种概率类型；其次要弄清互斥事件、相互独立事件的概率计算；再次在研究概率的前提下找出随机变量的所有可能取值、列出分布列、求解期望，注意特殊分布的公式的运用. 【规律总结】答题模板第一步：确定离散型随机变量的所有可能值． 第二步：求出每个可能值的概率． 第三步：画出随机变量的分布列．第四步：求期望和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题可重点查看随机变量的所有可能值是否正确；根据分布列性质检查概率是否正确. 【举一反三】【2015高考湖南】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.于是00331464(0)()()55125P X C ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()55125P X C ===，3303141(3)()()55125P X C ===，故X 的分布列为X0 1 2 3 P64125 48125 12125 1125X 的数学期望为 ()355E X =⨯=.模板四 立体几何中位置关系的证明及空间角的计算问题试题特点：立体几何解答题主要分两类：一类是空间线面关系的判定和推理证明，主要是证明平行和垂直；另一类是空间几何量(空间角、空间距离、几何体体积与面积)的计算．求解策略：（1）利用“线线⇔线面⇔面面”三者之间的相互转化证明有关位置关系问题：①由已知想未知，由求证想判定，即分析法与综合法相结合来找证题思路；②利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．（2）空间几何量的计算，常用方法是依据公理、定理以及性质等经过推理论证，作出所求几何量并求之．一般解题步骤是“作、证、求”．例4 【江西省吉安市第一中学2016届高三上学期第四次周考】如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于,A B 的一个动点，DC 垂直于圆O 所在的平面，//,1,4DC EB DC EB AB ===.（1）求证：DE ACD ^平面；（2）若AC BC =，求平面AED 与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值.思路分析：(1)由线面垂直得DC BC ⊥，由圆周角性质得AC BC ⊥，从而BC ⊥平面ACD ，由此能证明DE ⊥平面ACD ． (2)以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AED 与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值．（2）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系，则()()()()22,0,0,0,0,1,0,22,0,0,22,1A D B E ，()(),AD DE =-=u u u r u u u r ，设平面ADE 的一个法向量为()1,,n x y z u r=，则1100n AD z n DE ì?-+=ïíï?=îu r u u u ru r u u u r，令1,x =得(1=n u r ，设平面ABE 的一个法向量为()2,,n x y z u u r=，则1100n AB n BEz ì?-+=ïíï?=îu r u u u r u r u u u r ，令1,x =得()2=1,1,0n u u r，121212cos ,n n n n n n ×\===×u r u u ru r u u r u r u u r ，∴平面AED 与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为. 点评：寻找立体几何的解题思路重点把握好以下几点：一是要有转化与化归的意识，即将线线关系、线面关系、面面关系之间的问题相互转化；二是要有平面化的思想，即将空间问题转化到某一平面处理；三是割补的意识，即将原几何体分割或补形，使之成为新的、更方便处理的几何体；四是要用好向量这个强有力的工具. 【规律总结】答题模板 第一步：根据条件合理转化．第二步：写出推证平行或垂直所需的条件，条件要充分． 第三步：写出所证明的结论．第四步：建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标． 第五步：求(或找)两个半平面的法向量．第六步：求法向量n 1，n 2的夹角或cos 〈n 1，n 2〉(若为锐二面角则求|cos 〈n 1，n 2〉|)． 第七步：将法向量的夹角转化为二面角的夹角． 第八步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范． 【举一反三】【2015高考北京】如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．OFECA【解析】(Ⅰ)由于平面AEF⊥平面EFCB，AEF△为等边三角形，O为EF的中点，则AO EF⊥，根据面面垂直性质定理，所以AO⊥平面EFCB，又BE⊂平面EFCB，则AO BE⊥. （Ⅲ）有（1）知AO⊥平面EFCB，则AO BE⊥，若BE⊥平面AOC，只需BE OC⊥，(2,EB a=-u u r233,0)a-，又(2,233,0)OC a=--u u r，22(2)(233)0BE OC a a⋅=--+-=u u r u u r，解得2a=或43a=，由于2a<，则43a=.模板五数列通项公式及求和问题试题特点：数列解答题一般设两到三问，前面两问一般为容易题，主要考查数列的基本运算，最后一问为中等题或较难题，一般考查数列的通项和前n项和的求法、最值等问题．如果涉及递推数列，且与不等式证明相结合，那么试题难度大大加强．求解策略：（1）利用数列的有关概念求特殊数列的通项与前n项和．（2）利用转化与化归思想(配凑、变形)将一般数列转化为等差、等比数列(主要解决递推数列问题)．（3）利用错位相减、裂项相消等方法解决数列求和．（4）利用函数与不等式处理范围和最值问题．例5【江西省吉安市第一中学2016届高三上学期第四次周考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n N *=-?. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设+1131,log 1n n n n n b b b c a n n==++，求数列{}n c 的前n 项和n T .思路分析：（1）根据11,1,2n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得1,n b n =，可得()1,11n n n c n n n n +-==-++然后再采用裂项相消即可求出结果. 点评：高考数列大题常常以等差和等比数列为背景进行设置，以递推式为载体，与相关知识交汇的力度在加大，总体上难度有所上升.重点考查仍然是数列的通项、求和、累加法、累乘法、错位相减法、数列与函数的关系、数列与导数的关系、不等式的放缩等. 【规律总结】答题模板第一步：令n ＝1，由S n ＝f (a n )求出a 1.第二步：令n ≥2，构造a n ＝S n －S n －1，用a n 代换S n －S n －1(或用S n －S n －1代换a n ，这要结合题目特点)，由递推关系求通项．第三步：验证当n ＝1时的结论是否适合当n ≥2时的结论． 如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示． 第四步：写出明确规范的答案．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．本题的易错点，易忽略对n ＝1和n ≥2分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合并. 【举一反三】【2015高考新课标1】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++，所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++L =1111111[()()()]235572123n n -+-++-++L =11646n -+. 模板六 圆锥曲线中的探索性问题试题特点：主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、中点、轨迹、范围、定值、最值等问题与探索存在性问题．本模板就探索性问题加以总结求解策略：突破解答题，应重点研究直线与曲线的位置关系，要充分运用一元二次方程根的判别式和韦达定理，注意运用“设而不求”的思想方法，灵活运用“点差法”解题，要善于运用数形结合思想分析问题，使数与形相互转化，根据具体特征选择相应方法．例7 【山西省康杰中学等四校2016届高三第二次联考】已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为36，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线0622=+-y x 相切.（1）求椭圆C 的标准方程;（2）已知点A,B 为动直线)0)(2(≠-=k x k y 与椭圆C 的两个交点,问:在x 轴上是否存在定点E ,使得AB EA EA ⋅+2为定值?若存在,试求出点E 的坐标和定值;若不存在,请说明理由. 思路分析：(1）确定椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，即列出两个独立条件即可：椭圆C 的长轴长等于圆心到切线的距离，6)2(2622=-+=a ，又36=e ，因此c=2, 2222=-=c a b （2）存在性问题，一般从假设存在出发，以算代求：假设x 轴上存在定点E(m,0), 则EB EA EA AB EA AB EA EA ⋅=⋅+=⋅+)(2，而()()()21212211)(,,y y m x m x y m x y m x EB EA +--=-⋅-=⋅=()()()()22221212124k x x k m x x k m +-++++,到此，联立直线方程与椭圆方程方程组，利用韦达定理代入求解得()()222231210613mm k m k-++-+，要使上式为定值,即与k 无关,须满足()631012322-=+-m m m ,解得37=m . 解析：(1)由36=e 得36=a c ,即a c 36= ① 又以原点O 为圆心,椭圆C 的长轴长为半径的圆为222a y x =+,且与直线0622=+-y x 相切,所以6)2(2622=-+=a 代入①得c=2, 所以2222=-=c a b .所以椭圆C 的标准方程为12622=+y x()()()21212211)(,,y y m x m x y m x y m x +--=-⋅-=⋅=()()()()()()22222221221231610123421km k m m mk x x m k x x k+-++-=++++-+要使上式为定值,即与k 无关,()631012322-=+-m m m ,得37=m . 此时, 95622-=-=⋅+m ,所以在x 轴上存在定点E(37,0) 使得AB EA EA ⋅+2为定值,且定值为95-.点评：解答存在性问题时可以考虑特殊化方法和逆推法，此类问题对运算能力要求较高，在运算过程中对式子的整理与变形尤为重要，渗透了函数与方程的思想、数形结合思想、转化与化归思想和分类讨论的数学思想.【规律总结】答题模板第一步：假设结论存在．第二步：以存在为条件，进行推理求解．第三步：明确规范表述结论．若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设．第四步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．常常容易忽略0∆>这一隐含条件以及忽略直线AB与x轴垂直的情况.【举一反三】【2015高考北京】已知椭圆C：()222210x ya ba b+=>>的离心率为2，点()01P，和点()A m n，()0m≠都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得OQM ONQ∠=∠？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．（Ⅱ）(0,1),(,)P B m n-Q，直线PB的方程为：11ny xm+=+，直线PB与x轴交于点N，令0,1my xn==+，则(,0)1mNn+.设(0,)Q y,001tan(1)mmnOQMy n y-∠==-,00(1)tan1y y nONQm mn+∠==+,,tan tanOQM ONQ OQM ONQ∠=∠∴∠=∠Q,则0(1)m n y =-0(1)y n m +，所以222022212m m y n m===-，（注：点()A m n ，()0m ≠在椭圆C 上，2212m n +=），则02y =±，存在点Q （0，2）±使得OQM ONQ ∠=∠.模板七 函数的单调性、最值、极值问题 试题特点：给定函数含有参数，常见的类型有32()f x ax bx cx d =+++，2()ln f x ax bx c d x =+++，2()()x f x ax bx c e =++⋅，根据对函数求导，按参数进行分类讨论，求出单调性、极值、最值.求解策略：（1）求解定义域；（2）求导（含二次函数形式的导函数）；（3）对二次函数的二次项系数、△判别式、根的大小进行讨论.例7【湖南省长沙市雅礼中学2016届高三月考试卷（三）】已知函数()()2ln x a f x x-=（其中a 为常数）.（1）当a =0时，求函数的单调区间；（2）当0<a <1时，设函数()f x 的3个极值点为123,,x x x ，且123x x x <<.证明：132x x e+>. 思路分析：(1) ()()2ln 1'x x f x -=，令()'0f x =，可得x e =，然后列表即可求出结果；(2)利用导数结合函数()f x 的3个极值点为123x x x ，，，构造函数，利用单调性去判断． 解析：(1) ()()22ln 1'ln x x f x x-=，令()'0f x =，可得x e =.列表如下：单调减区间为()(0,1,e ；增区间为),e +∞.消去a 有1113332ln 2ln x x x x x x -=-，令()2ln g x x x x =-在e ⎛ ⎝上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，要证明()133131222x x x x g x g x e e e ⎛⎫+>⇔>-⇔>- ⎪⎝⎭，∴()()13g x g x >，∴即证()()1111220g x g x g x g x e e ⎛⎫⎛⎫>-⇔--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()()2F x g x g x e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∵0F e =，只需要证明x e ⎛∈ ⎝单调递减即可.而()'2ln 2ln 2F x x e x =++-，()22''0x e F x x x e - ⎪⎝⎭=>-⎪⎭，∴()'F x 在e ⎛ ⎝上单调递增，∴()''0F x F e <=，∴当01a <<时，13x x e +>. 点评：函数的极值、最值问题常常以含参形式出现，要对参数进行讨论，要熟练掌握函数求导公式、运用导数工具研究单调性的方法. 【规律总结】答题模板 第一步：确定函数的定义域． 第二步：求函数f (x )的导数f ′(x )．第三步：求方程f ′(x )＝0的根．第四步：利用f ′(x )＝0的根和不可导点的x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格．第五步：由f ′(x )在小开区间内的正、负值判断f (x )在小开区间内的单调性；求极值、最值． 第六步：明确规范地表述结论．第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．常常容易易忽视定义域，对a 不能正确分类讨论.【举一反三】【2015届山东省日照市高三12月校际联合检测】已知二次函数()()221r x ax a x b =--+（,a b 为常数，,0,a R a b R ∈≠∈）的一个零点是12a-.函数()ln g x x =，设函数()()()f x r x g x =-.（1）求b 的值，当0a >时，求函数()f x 的单调增区间； （2）当时，求函数()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；（3）记函数()y f x =图象为曲线C ，设点()()1122,,A x y B x y ，是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N.判断曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由. 【解析】（1）由12a-是函数2()(21)r x ax a x b =--+的零点可求得0b =.1()2(12)f x ax a x '=+--22(12)1ax a x x +--=(21)(1)ax x x+-=，因为0a >，0x >，所以210ax +>，解()0f x '>，得1x >，所以()f x 的单调增区间为(1,)+∞（3）设00(,)M x y ，则点N 的横坐标为1202x x x +=，直线AB 的斜率21121y y k x x -=-22121221121[()(12)()ln ln ]a x x a x x x x x x =-+--+--211212ln ln ()(12)]x x a x x a x x -=++-+-，曲线C 在点N 处的切线斜率20001()2(12)k f x ax a x '==+--12122()(12)a x x a x x =++--+，假设曲线C 在点N 处的切线平行于直线AB ，则12k k =，即211212ln ln 2x x x x x x -=--+，所以2221121122(1)2(x x )ln 1x x x x x x x --==++ ，不妨设12x x <，211x t x =>，试题特点：主要包括等式恒成立问题和不等式恒成立问题．求解策略：(1)对于可化为二次函数型的等式与不等式恒成立问题，可借助图象列不等式(组)求解．(2)通过移项，等式或不等式左右两边的函数图象易画，可画图求解．(3)将等式或不等式转化为某含待求参数的函数的值域或最值问题求解．例8【河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试】已知函数()()ln 1f x x x =+-. ⑴求()f x 的单调区间；⑵若k Z ∈，且()311f x x k x ⎛⎫-+>-⎪⎝⎭对任意1x >恒成立，求k 的最大值； ⑶对于在区间()0,1上任意一个常数a ，是否存在正数0x ，使得()02012f x a e x <-成立？请说明理由.思路分析：本题考查考查导数的应用，（1）求函数的单调区间，就是求出导函数'()f x ，然后解不等式'()0f x >（或'()0f x <）得单调增区间（或减区间）；（2）不等式()311f x x k x ⎛⎫-+>- ⎪⎝⎭恒成立问题，化简不等式为ln 30x x x kx k +-+>，为此设()ln 3g x x x x kx k =+-+，求它的最小值，由最小值大于0得k 的范围，由'()ln 2g x x k =+-，在1x >时，ln 0x >，因此要分类，2k ≤或2k >，2k ≤时易得单调性，2k >时，得22()()3k k g x g e k e --==-极小，问题转化为230k k e -->时求k 的最大值，最终可得结果；（3）探索性问题，假设存在，不等式()02012f x a ex <-转化为02001102x x a x e ++-<，为此只需找到当0x >时，函数()21102x a x h x x e+=+-<的最小值()min h x 满足()min 0h x <即可.⑵由()311f x x k x ⎛⎫-+>-⎪⎝⎭变形，得()3ln 11x x x k x ⎛⎫--+>- ⎪⎝⎭,整理得ln 30x x x kx k +-+>，令()()'ln 3,ln 2g x x x x kx k g x x k =+-+∴=+-，1ln 0x x >∴>Q ,若2k ≤时，()'0g x >恒成立，即()g x 在区间()1,+∞上递增，由()1110,120222g k k k >∴+>∴>-∴-<≤,又k Z k ∈∴Q 的最大值为2.若2k >由2ln 20k x k x e -+->∴>，由2ln 201k x k x e -+-<∴<<，即()g x 在()21,k e -上单调递减，在区间()2,k e -+∞上单调递增，所以()g x 在区间()1,+∞上有最小值，为()223k k g e k e--=-,于是转化为()2302k k ek -->>恒成立，求k 的最大值,令()()2'233x x h x x e h x e --=-∴=-，Q 当2ln3x >+时，()()'0,h x h x <单调递减,当22ln3x <<+时，()()'0,h x h x >单调递增.()h x ∴在2ln3x =+处取得最大值.1ln3232ln34<<∴<+<Q ，()()1130,2ln 333ln 30h h e=->+=+>Q , ()()234120,5150h e h e =->=-<，4,k k ∴≤∴的最大值为4.点评：高考函数大题的考查，无论如何变化，都离不开函数单调性的研究，因此在备考中就应该紧紧围绕这个中心问题，进行分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法的训练和总结.【规律总结】答题模板第一步：将问题转化为形如不等式f (x )≥a (或f (x )≤a )恒成立的问题． 第二步：求函数f (x )的最小值f (x )min 或最大值f (x )max . 第三步：解不等式f (x )min ≥a (或f (x )max ≤a )． 第四步：明确规范地表述结论．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及答题规范．如本题重点反思每一步转化的目标及合理性，最大或最小值是否正确.【举一反三】【2015高考福建】已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R =? (Ⅰ)证明：当0x x x ><时，f()；(Ⅱ)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x Î任意，恒有f()()x g x >；(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x Î，t 恒有2|f()()|x g x x -<．(2)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-??则有1(1k)()1+1+kx G x k x x-+-¢=-=,当0k £ G ()0x ¢>,所以G()x 在[0,)+?上单调递增, G()(0)0x G >=,故对任意正实数0x 均满足题意.当01k <<时，令()0,x G ¢=得11=10k x k k -=->．取01=1x k，-对任意0(0,),x x Î恒有G ()0x ¢>,所以G()x 在0[0,x )上单调递增, G()(0)0x G >=,即f()()x g x >.综上，当1k <时，总存在00x >,使得对任意的0(0),x x ，Î恒有f()()x g x >． (3)当1k >时，由（1）知，对于(0,),x "违+()f()g x x x ，>>故()f()g x x >，|f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2M()k ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+，则有21-2+(k-2)1M ()k 2=,11x x k x x x x +-¢=--++故当0x Î（时，M ()0x ¢>,M()x 在[0上单调递增，故M()M(0)0x >=,即,在[0上单调递增，故N()(0)0x N >=,即2f()()x g x x ->,记0x1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有，故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),x 违当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2H()ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+，则有21-2H ()12=,11x xx x x x-¢=--++当0x >时，H ()0x ¢<,所以H()x 在[0+¥，）上单调递减，故H()(0)0x H <=,故当0x >时，恒有2|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意.综上，=1k .此时11|f()()|f()()(k)2k x g x x g x k x x --=->-=,令21k 1k ,022x x x --><<解得，此时 2f()()x g x x ->,记0x 与1-k 2中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有，故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),x 违当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2M()ln(1),[0)x x x x x =-+-∈∞，+，则有212M ()12,11x x x x x x--'=--=++当0x >时，M ()0x ¢<,所以M()x 在[0+∞，）上单调递减，故M()M(0)0x <=,故当0x >时，恒有2|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意．综上，=1k .模板九 探索创新性问题试题特点：主要包括两个类型：一是自定义的创新题，二是考查知识交汇渗透的情境创新题． 求解策略：(1)对于自定义的创新题，首先应准确理解新概念、新法则的含义，然后根据新概念、新法则把所求问题转化为我们熟悉的问题求解．(2)对于情境创新题，既要分析每一个知识点在题目中的作用，又要分析它们的交汇点在哪里，应做到两者的有机结合．例9 【宿迁市2015届高三年级摸底考试数学试题】已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，若410S =，1391S =．（1）求n S ；（2）若数列{M n }满足条件： 11t M S =，当2n ≥时，n n t M S =－1n t S -，其中数列{}n t 单调递增，且11t =，n t *∈N ．①试找出一组2t ，3t ，使得2213M M M =⋅； ②证明：对于数列{}n a ，一定存在数列{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平方．思路分析：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，利用基本量表示有关量进行求解；（2）①先根据n t *∈N 固定2t ，再根据2213M M M =⋅，验证是否存在3t 符合题意；②由①的结论。

第2讲 不等式与线性规划考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题．1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法①变形⇒f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；②变形⇒f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.(3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )； ②当0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )． (4)简单对数不等式的解法①当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )<g (x )且f (x )>0，g (x )>0. 2．五个重要不等式(1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )． (2)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )． (3)a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )．(5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定最优解；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4．两个常用结论(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.热点一 一元二次不等式的解法例1 (1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}(2)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－2<x <2} C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}思维启迪 (1)利用换元思想，设10x ＝t ，先解f (t )>0.(2)利用f (x )是偶函数求b ，再解f (2－x )>0. 答案 (1)D (2)C解析 (1)由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.(2)由题意可知f (－x )＝f (x )．即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立， 故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)． 又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0. f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4. 故选C.思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法．(1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．[－12，1]C ．(－∞，－12)∪[1，＋∞)D ．(－∞，－12]∪[1，＋∞)(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2,0) C ．(－2,0) D ．[0,2]答案 (1)A (2)C解析 (1)原不等式等价于(x －1)(2x ＋1)<0或x －1＝0，即－12<x <1或x ＝1，所以不等式的解集为(－12，1]，选A.(2)p ∧q 为真命题，等价于p ，q 均为真命题．命题p 为真时，m <0；命题q 为真时，Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.故p ∧q 为真时，－2<m <0. 热点二 基本不等式的应用例2 (1)(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l .①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时．(2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3思维启迪 (1)把所给l 值代入，分子分母同除以v ，构造基本不等式的形式求最值；(2)关键是寻找xyz 取得最大值时的条件．答案 (1)①1 900 ②100 (2)B解析 (1)①当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002v ·121v ＋18＝76 00022＋18＝1 900. 当且仅当v ＝11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时． ②当l ＝5时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v ＋18≤76 0002v ·100v ＋18＝76 00020＋18＝2 000. 当且仅当v ＝10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时．比①中的最大车流量增加100 辆/时．(2)由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2， 所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1， 所以当y ＝1时，2x ＋1y －2z的最大值为1.思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．(1)若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值为________．(2)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52答案 (1)3 (2)B解析 (1)因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n >0，且m 3＋n4＝1.所以m 3·n 4≤(m 3＋n42)2(当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取等号)．所以m 3·n 4≤14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.(2)2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a≥2·2(x －a )·2x －a ＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.热点三 简单的线性规划问题例3 (2013·湖北)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元D ．38 400元思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题． 答案 C解析 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元， 则z ＝1 600x ＋2 400y, x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21y －x ≤736x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x 、y ∈N画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小，所以z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元．思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．(1)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >04x ＋3y ≤4y ≥0，则w ＝y ＋1x的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1(2)(2013·北京)设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 答案 (1)D(2)C解析 (1)画出可行域，如图所示．w ＝y ＋1x 表示可行域内的点(x ，y )与定点P (0，－1)连线的斜率，观察图形可知P A 的斜率最小为－1－00－1＝1，故选D. (2)当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域． 要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.1．几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式(组)来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化． 2．基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可． 3．线性规划问题的基本步骤(1)定域——画出不等式(组)所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；(2)平移——画出目标函数等于0时所表示的直线l ，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义； (3)求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值.真题感悟1．(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin y D ．x 3>y 3答案 D解析 因为0<a <1，a x <a y ，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，A 不成立．B 中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，B 不成立．C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立．D 中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，故选D. 2．(2014·浙江)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [1，32]解析 画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1≤a ≤32.押题精练1．为了迎接2014年3月8日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x 万元满足P ＝3－2x ＋1，已知生产该产品还需投入成本(10＋2P )万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋20P)万元/万件．则促销费用投入 万元时，厂家的利润最大？( ) A ．1 B ．1.5 C ．2D ．3答案 A解析 设该产品的利润为y 万元，由题意知，该产品售价为2×(10＋2PP)万元，所以y ＝2×(10＋2P P )×P －10－2P －x ＝16－4x ＋1－x (x >0)，所以y ＝17－(4x ＋1＋x ＋1)≤17－24x ＋1×(x ＋1)＝13(当且仅当4x ＋1＝x ＋1，即x ＝1时取等号)，所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，故选A.2．若点P (x ，y )满足线性约束条件⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0，点A (3，3)，O 为坐标原点，则OA →·OP→的最大值为________． 答案 6解析 由题意，知OA →＝(3，3)，设OP →＝(x ，y )，则OA →·OP →＝3x ＋3y . 令z ＝3x ＋3y ，如图画出不等式组所表示的可行域，可知当直线y ＝－3x ＋33z 经过点B 时，z 取得最大值． 由⎩⎨⎧ 3x －y ＝0，x －3y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即B (1，3)，故z 的最大值为3×1＋3×3＝6.即OA →·OP →的最大值为6.(推荐时间：50分钟)一、选择题1．(2014·四川)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c答案 D解析 令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c ＝－1，bd ＝－1， 所以A ，B 错误； a d ＝－32，b c ＝－23， 所以a d <b c，所以C 错误．故选D.2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 应用基本不等式：x ，y >0，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件． 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确； 由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52 B.72 C.154 D.152答案 A解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.4．(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba≥7＋23a b ·4ba＝7＋43， 当且仅当3a b ＝4ba时取等号．故选D.5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0x －2y ＋1≤0x －1≥0，则z ＝x ＋2y －1的最大值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 B解析 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0x －2y ＋1≤0x －1≥0所表示的区域如图，由图可知，当目标函数过A (1,4)时取得最大值，故z ＝x ＋2y －1的最大值为1＋2×4－1＝8. 二、填空题6．已知f (x )是R 上的减函数，A (3，－1)，B (0,1)是其图象上两点，则不等式|f (1＋ln x )|<1的解集是________． 答案 (1e，e 2)解析 ∵|f (1＋ln x )|<1，∴－1<f (1＋ln x )<1，∴f (3)<f (1＋ln x )<f (0)，又∵f (x )在R 上为减函数，∴0<1＋ln x <3，∴－1<ln x <2，∴1e<x <e 2. 7．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a ，且z ＝2x ＋3y 的最大值是5，则实数a 的值为________．答案 1解析 画出满足条件的可行域如图阴影部分所示，则当直线z ＝2x ＋3y 过点A (a ，a )时，z ＝2x ＋3y 取得最大值5，所以5＝2a ＋3a ，解得a ＝1.8．若点A (1,1)在直线2mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为________． 答案 32＋ 2 解析 ∵点A (1,1)在直线2mx ＋ny －2＝0上，∴2m ＋n ＝2，∵1m ＋1n ＝(1m ＋1n )2m ＋n 2＝12(2＋2m n ＋n m＋1) ≥12(3＋22m n ·n m )＝32＋2， 当且仅当2m n ＝n m，即n ＝2m 时取等号， ∴1m ＋1n 的最小值为32＋ 2. 三、解答题9．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a)(x ＋4)≤0的解集． (1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0得－4<x <2，即A ＝(－4,2)．y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1， 当x ＋1>0，即x >－1时y ≥2－1＝1，此时x ＝0，符合要求；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3，此时x ＝－2，符合要求．所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)，所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)(ax －1a )(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2. 当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a 2}，不可能C ⊆∁R A ； 当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a 2}， 若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12， ∴－22≤a <0.故a 的取值范围为[－22，0)． 10．已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0<x 1<1<x 2<2.(1)证明：a >0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围．(1)证明 求函数f (x )的导数f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1、x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )>0，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0.(2)解 在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫47，67，B (2,2)，C (4,2)．z 在这三点的值依次为167，6,8. 所以z 的取值范围为(167，8)． 11．某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋k x －8＋5，0<x <6，14，x ≥6.已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3.(1)求k 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解 (1)由题意可得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋k x －8＋2，0<x <6，11－x ，x ≥6.因为当x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k 2－8＋2， 解得k ＝18.(2)当0<x <6时，L ＝2x ＋18x －8＋2，所以 L ＝2(x －8)＋18x －8＋18＝－[2(8－x )＋188－x]＋18≤－22(8－x )·188－x＋18＝6， 当且仅当2(8－x )＝188－x，即x ＝5时取得等号． 当x ≥6时，L ＝11－x ≤5.所以当x ＝5时L 取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元．。

考点十一 等差数列与等比数列一、选择题1．已知数列{a n }为等比数列，且a 3＝－4，a 7＝－16，则a 5＝( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．±4 2答案 A解析 由a 7a 3＝q 4得q 4＝4，则q 2＝2，所以a 5＝a 3·q 2＝－4×2＝－8，故选A. 2．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＋1＝a 2n ＋2＋a 2n ，则a 6＝( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 2答案 C解析 由2a 2n ＋1＝a 2n ＋2＋a 2n 知，数列{a 2n }是等差数列，前两项为1,4，所以公差d ＝3，故a 26＝1＋5×3＝16，所以a 6＝4，故选C.3．在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，则此数列可以为0,0,0,0,0，…，此时{a n }不是等比数列；若{a n }是公比为2的等比数列，则由等比数列的定义可知a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，….故选B.4．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n n －12×2＝n 2－4n .故选A.5．(2019·湖南六校联考)已知公差d ≠0的等差数列{a n }满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( )A ．10B ．20C ．30D ．5或40答案 C解析 由题知(a 4－2)2＝a 2a 6，因为{a n }为等差数列，所以(3d －1)2＝(1＋d )(1＋5d )，因为d ≠0，解得d ＝3，从而a m －a n ＝(m －n )d ＝30，故选C.6．(2019·河南百校联盟仿真试卷)已知等差数列{a n }满足a 1＝32，a 2＋a 3＝40，则{|a n |}的前12项和为( )A ．－144B ．80C ．144D ．304答案 D解析 a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝64＋3d ＝40⇒d ＝－8，所以a n ＝40－8n .所以|a n |＝|40－8n |＝⎩⎪⎨⎪⎧40－8n ，n ≤5，8n －40，n >5，所以前12项和为5×32＋02＋7×8＋562＝80＋224＝304.7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．49 C ．35 D ．63答案 B解析 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7a 1＋a 72＝7a 2＋a 62＝7×142＝49.选B. 8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 A解析 由a 4＋a 6＝2a 5＝－6得a 5＝－3，则公差为－3＋115－1＝2，所以由a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13≤0得n ≤132，所以前6项和最小，选A.二、填空题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6a 3＝2，则S 6S 3＝________. 答案 72解析 设等差数列{a n }的公差为d ，a 6a 3＝2，即a 3＋3d ＝2a 3，a 3＝3d ，S 6S 3＝3a 3＋a 43a 2＝a 3＋a 3＋d a 3－d ＝3d ＋3d ＋d 3d －d ＝72.10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝________.答案 1或－12解析因为⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝32，a 1＋a 2＋a 3＝92，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝32，a 1＋a 2＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32，a 1＋a 1q ＝3，即1＋qq 2＝2，所以2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.11．(2019·广东广州天河区综合测试一)在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20，则m ＝________.答案 191解析 等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，a m ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20，则a m ＝d ＋2d ＋…＋19d ＝19×1＋192d ＝190d ＝a 191，m ＝191.12．(2019·河南新乡第一次模拟)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝(n －1)S n ，则S n ＝________.答案2n －1n解析 ∵(n ＋1)a n ＋1＝(n －1)S n ，∴na n ＋1＋S n ＋1＝nS n ，∴n (S n ＋1－S n )＋S n ＋1＝nS n ，∴n ＋1S n ＋1nS n ＝2，∴{nS n }是首项为1，公比为2的等比数列，则nS n ＝2n －1，∴S n ＝2n －1n.三、解答题13．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋9×82d ＝－a 1＋4d ，a 1＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，所以a n ＝8＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋10.(2)由(1)知a 5＝0，即a 5＝a 1＋4d ＝0，即a 1＝－4d ， 又a 1>0，所以d <0， 由S n ≥a n 得na 1＋n n －12d ≥a 1＋(n －1)d ，整理得(n 2－9n )d ≥(2n －10)d ， 因为d <0，所以n 2－9n ≤2n －10， 即n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10， 所以n 的取值范围是1≤n ≤10(n ∈N *)．14．已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 解 (1)∵数列{a n }是等差数列，a 2＝6， ∴S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19，∴b 1＝1， ∵b 2＝2，数列{b n }是等比数列，∴b n ＝2n －1.∴b 3＝4，∵a 1b 3＝12，∴a 1＝3， ∵a 2＝6，数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝3n .(2)由(1)得，令C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1，∴C n ＋1＝(－1)n ＋12n，∴C n ＋1C n＝－2，又C 1＝－1， ∴数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列， ∴T n ＝－1×[1－－2n]1＋2＝－13[1－(－2)n]＝－2n－13.一、选择题1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 A解析 解法一：a 2＝S 2－S 1＝23－22＝4，a 3＝S 3－S 2＝24－23＝8，所以a 1＝a 22a 3＝2，所以S 1＝22＋λ＝2，故λ＝－2.解法二：S n ＝2n ＋1＋λ＝2·2n＋λ，根据等比数列前n 项和公式的结构知λ＝－2.2．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( )A ．18B ．20C ．21D ．25答案 C解析 依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有305＋a 302＝390，解得a 30＝21，即该织女最后一天织21尺布，选C.3．若等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项和分别为A ，B ，C ，则( ) A ．A ＋B ＝C B ．B 2＝ACC ．A ＋B －C ＝B 3D ．A 2＋B 2＝A (B ＋C )答案 D解析 由等比数列的性质可知，当公比q ≠－1时，A ，B －A ，C －B 成等比数列，所以(B －A )2＝A (C －B )，所以A 2＋B 2＝AC ＋AB ＝A (B ＋C )，当q ＝－1时，易验证此等式成立，故选D.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝4，S 5≥S 4≥S 6，则公差d 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－89 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－45C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，－45D ．[]－1，0答案 A解析 因为S 5≥S 4≥S 6，所以S 4＋a 5≥S 4≥S 4＋a 5＋a 6，所以a 5≥0≥a 5＋a 6，又a 1＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋4d ≥0，8＋9d ≤0，解得－1≤d ≤－89.5．数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( ) A ．(2n－1)2B ．13(2n－1) C ．4n－1 D ．13(4n－1) 答案 D解析 当n ＝1时，a 1＝2－1＝1；当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，n ＝1时也符合，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．所以a 2n ＝4n －1(n ∈N *)也是等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n1－4＝4n－13，故选D.6．已知数列{a n }是等差数列，r ，s ，t 为正整数，则“r ＋t ＝2s ”是“a r ＋a t ＝2a s ”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 设{a n }的公差为d ，由a r ＋a t ＝2a s 得(r ＋t －2)d ＝(2s －2)d ，即r ＋t ＝2s 或d ＝0，则“r ＋t ＝2s ”是“r ＋t ＝2s 或d ＝0”的充分不必要条件．故选C.7．已知在公比不为1的等比数列{a n }中，a 2a 4＝9，且2a 3为3a 2和a 4的等差中项，设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 8＝( )A ．12×37－16 B ．310C ．318D ．320答案 D解析 由题意，得a 23＝9，设等比数列的公比为q ，由2a 3为3a 2和a 4的等差中项，得3·a 3q＋a 3q ＝4·a 3，由公比不为1，解得q ＝3，所以T 8＝a 1·a 2·…·a 8＝a 81q 28＝a 81q 16·q 12＝(a 1q 2)8·q 12＝(a 23)4q 12＝94×312＝320.8．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－2a 2n －a n ＋1a n ＝0，设b n ＝log 2a n ＋1a 1，则数列{b n }的前n 项和为( )A ．nB ．n n －12C ．n n ＋12D ．n ＋1n ＋22答案 C解析 因为a 2n ＋1－2a 2n －a n ＋1a n ＝0，所以(a n ＋1＋a n )·(2a n －a n ＋1)＝0，又因为a n >0，所以2a n －a n ＋1＝0，即a n ＋1a n ＝2，所以数列{a n }是公比为2的等比数列，a n ＋1a 1＝a 1q n a 1＝2n ，所以b n ＝log 2a n ＋1a 1＝log 22n＝n ，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.二、填空题9．(2019·江西抚州七校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝30，则S 20＝________.答案 20解析 因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，因为S 10＝10，S 30＝30，所以(S 20－10)2＝10×(30－S 20)，解得S 20＝20或S 20＝－10，因为S 20－S 10＝q 10S 10>0，所以S 20>0，则S 20＝20.10．(2019·广东深圳适应性考试)等差数列{a n }中，a 4＝10且a 3，a 6，a 10成等比数列，数列{a n }的前20项和S 20＝________.答案 200或330解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ，又a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1.当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7，于是，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330. 11．(2019·河北唐山质检)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝________.答案 －1n解析 由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，两边同时除以S n ＋1S n ，得1S n ＋1－1S n＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.12．(2019·山东德州第一次考试)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ≠0,3S n ＝a n a n＋1＋1，则a 2019＝________. 答案 3028解析 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1,3S n ＝a n a n ＋1＋1 ①，当n ＝1时，整理得3S 1＝3a 1＝a 1·a 2＋1，解得a 2＝2，当n ≥2时，3S n －1＝a n －1·a n ＋1 ②，①－②得，3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，由于a n ≠0，故a n ＋1－a n －1＝3(常数)，故数列{a n }的奇数项为首项为1，公差为3的等差数列，则a n ＝1＋3⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12－1.数列{a n }的偶数项为首项为2，公差为3的等差数列，a n＝2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n2－1，所以a 2019＝1＋3⎝⎛⎭⎪⎫2019＋12－1＝3028. 三、解答题13．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.14．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．解 (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2.又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1，所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.。