2015届高考数学(理)二轮练习：选择题的解法(含答案)

2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题一、选择题1、已知集合A={–2,–1,0,1,2}，B={x|(x –1)(x+2)<0}，则A∩B=() A ．{–1,0} B ．{0,1} C ．{–1,0,1} D ．{0,1,2}2、若a 为实数，且(2+ai)(a –2i)=–4i ，则a=() A ．–1 B ．0 C ．1 D ．23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D ．20064、已知等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 5、设函数f(x)=，则f(–2)+f(log 212)=() A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后，分体积的比值为()A ．B ．C ．D ．7、过三点A ．2 8、如上左2a=() A ．0 9、已知A ，C 为该球上的动点，若三棱锥O –ABC 的体积最大值为36A ．36π．256π10、如上左O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x x 的函数，则y=f(x)的图像大致为()A ．B ．C ．D ． 11、已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为()A ．B ．2C ．D ．12、设函数f’(x)是奇函数f(x)(x R)的导函数，f(–1)=0，当x>0时，xf’(x)–f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是() A ．(–∞,–1)∪(0,1) B ．(,0)∪(1,+∞)C ．(–∞,–1)∪(–1,0) D ．(,1)∪(1,+∞) 二、填空题13、设向量a,b 不平行，向量λa+b 与a+2b 平行，则实数λ=． 14、若x ，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为．15、(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16、设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=–1，a n+1=S n S n+1，则S n =________________． 三、解答题17、△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求．(2)若AD=1，DC=，求BD 和AC 的长．18.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机抽查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62738192958574645376 78869566977888827689B 地区：73836251914653736482 93486581745654766579(1)均值及分散程度(记事件C ：“A 地区用户的满意等级高于B 19、如图，长方形ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=16，BC=101F=4．过点E ，F 的平面α(1)在途中画出这个正方形(不必说明画法和理由(2)求直线AF 与α平面所成角的正弦值．20、已知椭圆C ：9x 2+y 2=M 2(m>0)．直线l A ，B ，线段AB 的中点为M ．(1)(2)若l l 的21、设函数(1)证明：(2)2)|≤e –1，求m 的取值范围．22、[选修4ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N E ，F 两点． (1)(2)若AG EBCF 的面积． 23、[选修4xOy 中，曲线C 1：(t 为参数，t≠0)，其中0≤α<π． 在以O C 2：ρ=2sinθ，C 3：ρ=2cosθ． (1)求C 2与C (2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值24、[选修4–5：不等式选讲]设a ，b ，c ，d 均为正数，且a+b=c+d ，证明： (1)若ab>cd ，则+>+；(2)+>+是|a –b|<|c –d|的充要条件． 2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题 一、选择题1、答案：A ．∵(x–1)(x+2)<0，解得–2<x<1，∴B={x|–2<x<1}，∴A∩B={–1,0}．2、答案：B ．∵(2+ai)(a–2i)=(2a+2a)+(a 2–4)i=–4i ，∴a 2–4=–4，解得a=0．3、答案：D ．由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．4、答案：B ．∵a 1+a 3+a 5=a 1+a 1q 2+a1q 4=3(1+q 2+q 4)=21，∴1+q 2+q 4=7，整理得(q 2+3)(q 2–2)=0．解得q 2=2，∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 1q 4+a 1q 6=a 1q 2(1+q 2+q 4)=3×2×7=42． 5、答案：C ．∵f(–2)=1+log 2(2+2)=3，()222log 121log 3log 412log 1222f -+-==222log 3log 2log 6226+===，∴f(–2)+f(log 212)=9．6、答案：D ．如图所示截面为ABC ，设边长为a ，则截取部分体积为S △ADC ·|DB|=a 3， 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为=．7、答案：C ．由题可得，解得，所以圆方程为x 2+y 2–2x+4y –20=0，令x=0，解得y=–2±2， 所以|MN|=|–2+2–(–2–2)|=4． 8、答案：B ．输入a=14，b=18．第一步a≠b 成立，执行a>b ，不成立执行b=b –a=18–14=4； 第二步a≠b第三步a≠b 第四步a≠b 第四步a≠b 第五步a≠b 9、答案：C 点C 到平面10、答案：当点P 在CD 当x=时，从点P B ． 11、答案：过点M 作， 12、答案：因为当x>0 又因为函数且g(–， 二、填空题131415、答案：所以Ca+Ca+C+C+C=32，解得a=3．16、答案：–．∵a n+1=S n+1–S n =S n S n+1，∴–=1．即–=–1，∴{}是等差数列， ∴=–(n –1)=–1–n+1=–n ，即S n =–． 三、解答题17、答案：(1)；(2)|BD|=，|AC|=1．(1)如图，由题意可得S △ABD =|AB||AD|sin ∠BAD，S △ADC =|AC||AD|sin ∠CAD， ∵S △ABD =2S △ADC ，∠BAD=∠DAC，∴|AB |=2|AC|，∴==． (2)设BC 边上的高为h ，则S △ABD =|BD|·h=2S △ADC =2××h ，解得|BD|=，设|AC|=x ，|AB|=2x ，则cos ∠BAD=，cos ∠DAC=．∵cos∠DAC=cos ∠BAD ，∴=，解得x=1或x=–1(舍去)．∴|AC|=1． 18、(1)如图所示．通过茎叶图可知A 地区的平均值比B 地区的高，A地区的分散程度大于B地区．(2)记事件不满意为事件A1，B1，满意为事件A2，B2，非常满意为事件A3，B3．则由题意可得P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B1)=，P(B2)=，P(B3)=，则P(C)=P(A2)P(B1)+P(A3)(P(B1)+P(B2))=×+×(+)=．19、(1)如图所示(2)建立空间直角坐标系．由题意和(1)可得A(10,0,0)，F(0,4,8)，E(10,4,8)，G(10,10,0)，则向量AF=(–10,4,8)，EF=(–10,0,0)，EG=(0,6,–8)．设平面EFHG的一个法向量为n=(x,y,z)，则，即，解得x=0，令y=4，z=3，则n=(0,4,3)．所以直线AF与α平面所成角的正弦值为sinθ=|cos<AF,n>|===．20、(1)设直线l的方程为y=kx+b(k≠0)，点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则M(,)，联立方程，消去y整理得(9+k2)x2+2kbx+b2–m2=0(*)，∴x1+x2=–，y1+y2=k(–)+2b=，∴kOM ·kAB=·k=·(–)·k=–9．k=4±，有21∴∴，所以此时当令e–m–2m 在而．当当22则∵．在在Rt△AEO中，sin∠OAE===．∴∠OAE=60°，∵∠OAE=∠OAF=∠EAF，AE=AF，∴∠EAF=2∠OAE=60°，∴△AEF、△ABC是等边三角形．连接OM，∴OM=2．∵OD⊥MN，∴MD=ND=MN=．在Rt△ODM中，OD===1，∴AD=OA+AD=4+1=5．在Rt△ADB中，AB===．∴四边形EBCF的面积为S△ABC –S△AEF=×()2–×(2)2=．23、(1)将曲线C2，C3化为直角坐标系方程C2：x2+y2–2y=0，C3：x2+y2–2x=0．联立，解得或．所以交点坐标为(0,0)，(,)．(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π．∵A的极坐标为(2sinα,α)，B的极坐标为(2cosα,α)．∴|AB|=|2sinα–2 cosα|=4|sin(α–)|．当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．24、(1)由题意可得(+)2=a+b+2，(+)2=c+d+2，∵ab>cd，∴>，而a+b=c+d，∴(+)2>(+)2，即+>+．(2)+>+，即a+b+2>c+d+2，∴>，∴ab>cd，∴–4ab<–4cd，∴(a+b)2–4ab<(c+d)2–4cd，∴(a–b)2<(c–d)2，∴|a–b|<|c–d|．。

选择题的解法【题型特点概述】高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识、解决数学问题的能力．选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做． 方法一 直接法直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择．例1 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <a 恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．12 B ．23 C ．32D ．2思维升华 直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．将函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象分别向左平移m (m >0)个单位、向右平移n (n >0)个单位所得到的图象都与函数y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )的图象重合，则|m －n |的最小值为( )A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3方法二 特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例2 （1）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260（2）如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1 D.3∶1思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( )A ．32 B ． 2 C ．1 D ．12方法三 排除法(筛选法)例3 函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是()思维升华 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，a 变动时，方程b ＝g (a )表示的图形可以是()方法四 数形结合法(图解法)在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对规范图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法． 例4 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8思维升华 本题考查函数图象的应用，解题的关键是将零点问题转化为两图象的交点问题，然后画出函数的图象找出零点再来求和．严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，但它在解有关选择题时非常简便有效．运用图解法解题一定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟悉．图解法实际上是一种数形结合的解题策略．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A ．33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 方法五 估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次． 例5 若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( ) A ．34 B ．1 C ．74 D ．2思维升华 “估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在于所求值应该比△AOB 的面积小且大于其面积的一半．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2等于( )A ．m －39－mB ．m －3|9－m |C ．13D ．51．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力．例1A 变式训练1 C例2 (1)C (2)B 变式训练2 A 例3 A 变式训练3 B 例4 C 变式训练4 B 例5 C 变式训练5 D。

2015年普通高考测试（二）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}231x x M =-<，集合{}13x x N =-<<，则MN =（ ）．A ．MB ．NC ．{}12x x -<<D ．{}3x x <2．已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z =（ ）．A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --13．随机变量ξ服从正态分布)4,3(N ，若)2()32(+>=-<a P a P ξξ，则a 的值为（ ）．A ．37 B ．34 C ．3 D ．44．一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积是（ ）．A ．5πB ．6πC ．7πD ．9π 5．在右图所示的程序框图中，输出的i 和s 的值分别为（ ）．A ．3,21B ．3,22C ．4,21D ．4,226．设)(x f 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间]1,2[-上的图像，则)2015()2014(f f +=（ ）．A ．3B ．2C ．1D ．07．若平面向量()1,2a =-与b 的夹角是0180，且53||=b ，则b 的坐标为（ ）．A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(- 8．对于任意正整数n ，定义“!!n ”如下：当n 是偶数时，()()!!24642n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；当n 是偶数时，()()!!24531n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅； 且有()()!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．则如下四个命题：①()()2015!!2016!!2016!⋅=；②10082016!!21008!=⨯；③2015!!的个位数是5；④2014!!的个位数是0． 其中正确的命题有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．） （一）必做题（9～13题）9．曲线x x y sin +=在点（0,0）处的切线方程是________________．10．双曲线C :221916x y -=的离心率是 ． 11．=-⎰dx x |1|20_______________．12．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-6252x y x y x ，则该校招聘的教师最多是 名．13．已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有____________种．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）直线l 的参数方程为31x ty t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，在梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2A =，C 5B =，点E ．F 分别在AB ．CD 上，且F//DE A ，若34AE =EB ，则F E 的长是 ．三．解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设函数)(,sin 3cos )(R x x x x f ∈-= （1）求函数)(x f 在区间]2,0[π上的值域（2）记AB C ∆内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，若1)3(=-πA f ，且b a 23=，求B s i n 的值．17．（本小题满分12分）某中学一名数学教师对全班50名学生某次考试成绩分男生女生进行了统计（满分150分），得到右面频率分布表：其中120分（含120分）以上为优秀． （1）根据以上频率表的数据，完成下面的2⨯2列联表；（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（3）若从成绩在[130,140]的学生中任取3人，已知取到的第一个人是男生，求取到的另外2人中至少一名女生的概率．18．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，045BCD 1AD AB 2CD ,,//AB ABCD =∠===⊥⊥，，且，平面DC AD DC PD ． （1）若点M 是PD 的中点，证明：PBC AM//平面;（2）若PBC ∆得面积为2，求二面角D -PC -B 的余弦值．19．（本小题满分14分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，对任意正整数n ，均有()241n n S a =+，且0n a >．()1求1a 及数列{}n a 的通项公式； ()2令114)1(+--=n n n n a a nb ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20．（本小题满分14分）已知曲线E 上的任一点到点)3,0(1-F 和点)3,0(F 的距离之和为4． （1）求曲线E 的方程；（2）已知点)0,1(),2,0(C A ，设直线)0(,>=k kx y 与曲线E 交于B ．D 两点（B 在第一象限），求四边形ABCD 面积的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数b a bx ax x f ,(,1)(2++=为实数，),0R x a ∈≠． （1）若0)1(=-f ，且函数)(x f 的值域为),0[+∞，求)(x f ；（2）设0,0,)()()(<>⎩⎨⎧-=x x x f x f x F ，0,0,0>>+<a n m mn ，且函数)(x f 为偶函数．证明：0)()(>+n F m F ；（3）设)(,1ln )(x g ex x g x+=的导函数是),(x g '当1==b a 时，证明：对任意实数0>x ，21)(]1)([-+<'-e x g x f ．。

2015年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2015•山东）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，然后求出两个集合的交集．解答：解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2．（5分）（2015•山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．解答：解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．解答：解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．点评：本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．4．（5分）（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2D．a2考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由已知可求，，根据=（）•=代入可求解答：解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，∴=a2，=a×a×cos60°=，则=（）•==故选：D点评：本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题5．（5分）（2015•山东）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4）D．（1，5）考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．解答：解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1；②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4；③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅．综上知解集为（﹣∞，4）．故选A．点评：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题．6．（5分）（2015•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3B．2C．﹣2 D．﹣3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为﹣6，不满足条件，故a=2，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．7．（5分）（2015•山东）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．2π考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆锥，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．点评：本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．8．（5分）（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．解答：解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，所以P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．故选：B．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．9．（5分）（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y ﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣考点：圆的切线方程；直线的斜率．专题：计算题；直线与圆．分析：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．解答：解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．点评：本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．10．（5分）（2015•山东）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a 的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）考点：分段函数的应用．专题：创新题型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．解答：解：令f（a）=t，则f（t）=2t，当t＜1时，3t﹣1=2t，由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2t ln2，在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，即有g（t）＜g（1）=0，则方程3t﹣1=2t无解；当t≥1时，2t=2t成立，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．综上可得a的范围是a≥．故选C．点评：本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•山东）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1．考点：归纳推理；组合及组合数公式．专题：推理和证明．分析：仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．解答：解：因为C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，可得：当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1；故答案为：4n﹣1．点评：本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键．12．（5分）（2015•山东）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．解答：解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．点评：本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．13．（5分）（2015•山东）执行如图程序框图，输出的T的值为．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，T的值，当n=3时不满足条件n＜3，退出循环，输出T的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1，T=1满足条件n＜3，T=1+xdx，n=2满足条件n＜3，T=1+xdx+x2dx=1+=，n=3不满足条件n＜3，退出循环，输出T的值为．故答案为：点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了定积分的应用，属于基本知识的考查．14．（5分）（2015•山东）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=﹣．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解答：解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以解得b=﹣2，a=综上a+b=，故答案为；﹣点评：本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于基础题15．（5分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出A的坐标，可得=，利用△OAB的垂心为C 2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率．解答：解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，取A（，），则=，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣）=﹣1，∴5a2=4b2，∴5a2=4（c2﹣a2）∴e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键．三、解答题16．（12分）（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．考点：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；（k∈Z）；单调递减区间是：[k，所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）（2015•山东）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为，根据即可求出法向量，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小．解答：解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，BC=2EF，H为BC中点，EF∥BC；∴EF∥BH，且EF=BH；∴四边形EFHB为平行四边形；∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；∴BE∥平面FGH；同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；又DE∥AB；∴DE∥GH；∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE；∴BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；∵CF⊥平面ABC；∴HE∥平面ABC，并且HG⊥HC；∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）；连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点；∴BG⊥AC；又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC；∴BG⊥CF，AC∩CF=C；∴BG⊥平面ACFD；∴向量为平面ACFD的法向量；设平面FGH的法向量为，则：，取z=1，则：；设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos|=；∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．点评：考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义．18．（12分）（2015•山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n）=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．点评：本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考“查错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．19．（12分）（2015•山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，﹣1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量X的取值为：0，﹣1，1，当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即；当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，5，7中选择两个数字和5进行组合，即；当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即．则P（X=0）==，P（X=﹣1）==，P（X=1）==，X 0 ﹣1 1PEX=0×+（﹣1）×+1×=．点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．20．（13分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E 于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；曲线与方程．专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），||=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，2a=4，可得a=2，又=，a2﹣c2=b2，可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为+=1，（i）设P（x0，y0），||=λ，由题意可知，Q（﹣λx0，﹣λy0），由于+y02=1，又+=1，即（+y02）=1，所以λ=2，即||=2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①则有x1+x2=﹣，x1x2=，所以|x1﹣x2|=，由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•=2，设=t，则S=2，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△≥0可得m2≤1+4k2，②由①②可得0＜t≤1，则S=2在（0，1]递增，即有t=1取得最大值，即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，由（i）知，△ABQ的面积为3S，即△ABQ面积的最大值为6．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题．21．（14分）（2015•山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，②当a时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出解答：解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=，∴，．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得﹣1＜x1．∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a时，函数f（x）无极值点；当a0时，函数f（x）有两个极值点．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，当x＞时，ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得{|21}B x x =-<<，故,}10{A B -=I ，故选A ． 【提示】解一元二次不等式，求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根． 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i 4i a -=-，所以40a =，244a -=-，解得0a =，故选B ．【提示】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之． 【考点】复数的四则运算． 3.【答案】D【解析】解：A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A 正确；B ．2004~2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误． 故选：D【提示】A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确； B ．从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误． 【考点】柱形图信息的获得． 4.【答案】B【解析】设等比数列公比为q ，则24111++21a a q a q =，又因为13a =，所以42+60q q -=，解得22q =，所以2357135++(++)42a a a a a a q ==，故选B ．【提示】由已知，13a =，135++21a a a =，利用等比数列的通项公式可求q ，然后在代入等比数列通项公式5k=-，所以1AB CB32622()0x g x >，数形结合解不等式组即可．Ⅱ卷+a b λ与+2a b 平行，所以+(+2)a b k a b λ=，则1λ⎧⎨+a b λ与+2a b 之间的关系，利用向量相等解析1n S ，两边同时除以+1n S ，得1S 11(n S =--，所以n S =-1n S ，并变形可得数列sin AB AD BAD ∠sin AC AD CAD ∠∠AD BD ADBcos∠AD DC ADCcos，【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下：【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：为坐标原点，DA 的方向为．(0,HE =-，(10,0,0)FE =设(,,)n x y z =是平面EHGF 00n FE n HE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即，所以可取(0,4,3)n =又(10,4,8)AF -=||45,|=15||||n AF n AF n AF =所成的角的正弦值为4515．轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确的法向量为(,,)n x y z=n FEn HE⎧=⎪⎨=⎪⎩即可求出法向量AF坐标可以求出，,|n A F即可求得直线【考点】线面平行、相交，线面夹角的求解．又因为O分别与∥．EF BC（Ⅱ）由（Ⅰ）知，是EF的垂直平分线，又为O的弦，等于O的半径的，30＝，因此△OAE︒2，3。

2015年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2015•山东）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，然后求出两个集合的交集．解答：解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2．（5分）（2015•山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．解答：解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．解答：解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．点评：本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．4．（5分）（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2D．a2考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由已知可求，，根据=（）•=代入可求解答：解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，∴=a2，=a×a×cos60°=，则=（）•==故选：D点评：本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题5．（5分）（2015•山东）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4）D．（1，5）考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．解答：解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1；②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4；③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅．综上知解集为（﹣∞，4）．故选A．点评：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题．6．（5分）（2015•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3B．2C．﹣2 D．﹣3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为﹣6，不满足条件，故a=2，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．7．（5分）（2015•山东）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．2π考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆锥，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．点评：本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．8．（5分）（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．解答：解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，所以P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．故选：B．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．9．（5分）（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y ﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣考点：圆的切线方程；直线的斜率．专题：计算题；直线与圆．分析：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．解答：解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．点评：本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．10．（5分）（2015•山东）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a 的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）考点：分段函数的应用．专题：创新题型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．解答：解：令f（a）=t，则f（t）=2t，当t＜1时，3t﹣1=2t，由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2t ln2，在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，即有g（t）＜g（1）=0，则方程3t﹣1=2t无解；当t≥1时，2t=2t成立，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．综上可得a的范围是a≥．故选C．点评：本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•山东）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1．考点：归纳推理；组合及组合数公式．专题：推理和证明．分析：仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．解答：解：因为C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，可得：当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1；故答案为：4n﹣1．点评：本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键．12．（5分）（2015•山东）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．解答：解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．点评：本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．13．（5分）（2015•山东）执行如图程序框图，输出的T的值为．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，T的值，当n=3时不满足条件n＜3，退出循环，输出T的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1，T=1满足条件n＜3，T=1+xdx，n=2满足条件n＜3，T=1+xdx+x2dx=1+=，n=3不满足条件n＜3，退出循环，输出T的值为．故答案为：点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了定积分的应用，属于基本知识的考查．14．（5分）（2015•山东）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=﹣．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解答：解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以解得b=﹣2，a=综上a+b=，故答案为；﹣点评：本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于基础题15．（5分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出A的坐标，可得=，利用△OAB的垂心为C2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率．解答：解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，取A（，），则=，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣）=﹣1，∴5a2=4b2，∴5a2=4（c2﹣a2）∴e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键．三、解答题16．（12分）（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．考点：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；（k∈Z）；单调递减区间是：[k，所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）（2015•山东）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为，根据即可求出法向量，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小．解答：解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，BC=2EF，H为BC中点，EF∥BC；∴EF∥BH，且EF=BH；∴四边形EFHB为平行四边形；∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；∴BE∥平面FGH；同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；又DE∥AB；∴DE∥GH；∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE；∴BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；∵CF⊥平面ABC；∴HE∥平面ABC，并且HG⊥HC；∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）；连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点；∴BG⊥AC；又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC；∴BG⊥CF，AC∩CF=C；∴BG⊥平面ACFD；∴向量为平面ACFD的法向量；设平面FGH的法向量为，则：，取z=1，则：；设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos|=；∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．点评：考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义．18．（12分）（2015•山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n）=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．点评：本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考“查错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．19．（12分）（2015•山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，﹣1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量X的取值为：0，﹣1，1，当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即；当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，5，7中选择两个数字和5进行组合，即；当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即．则P（X=0）==，P（X=﹣1）==，P（X=1）==，X 0 ﹣1 1PEX=0×+（﹣1）×+1×=．点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．20．（13分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E 于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；曲线与方程．专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），||=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，2a=4，可得a=2，又=，a2﹣c2=b2，可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为+=1，（i）设P（x0，y0），||=λ，由题意可知，Q（﹣λx0，﹣λy0），由于+y02=1，又+=1，即（+y02）=1，所以λ=2，即||=2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①则有x1+x2=﹣，x1x2=，所以|x1﹣x2|=，由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•=2，设=t，则S=2，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△≥0可得m2≤1+4k2，②由①②可得0＜t≤1，则S=2在（0，1]递增，即有t=1取得最大值，即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，由（i）知，△ABQ的面积为3S，即△ABQ面积的最大值为6．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题．21．（14分）（2015•山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，②当a时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出解答：解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=，∴，．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得﹣1＜x1．∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a时，函数f（x）无极值点；当a0时，函数f（x）有两个极值点．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，当x＞时，ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B =（ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 【答案】A考点：集合的运算．2．若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 考点：复数的运算．3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】试题分析：由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ．考点：正、负相关．2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年19002000 2100 2200 2300 2400 2500 260027004．等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )A ．21B ．42C ．63D ．84 【答案】B考点：等比数列通项公式和性质． 5．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ． 考点：分段函数．6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．81 B ．71 C ．61D ．51【答案】D 【解析】试题分析：由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B DV a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ． 考点：三视图．CBADD 1C 1B 1A 17．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得262y =±-，所以46MN =，故选C ． 考点：圆的方程．8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =( )A ．0B ．2C ．4D ．14 【答案】B 【解析】 试题分析：程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ． 考点：程序框图． 9．已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，a > ba = a -b b = b - a输出a 结 束开 始 输入a ，b a ≠ b 是是否否则球O 的表面积为( )A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．BOAC10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）【答案】B 【解析】DPCBOA x考点：函数的图象和性质．11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．2C ．3D ．2【答案】D 【解析】试题分析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：记函数()()f x g x x=，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质．第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}21012A =--，，，，，{}|(1)(2)0B x x x =-+<，则A B =（A ）{-1，0} （B ）{0，1} （C ）{-1，0，1} （D ）{0，1，2}（2）若a 为实数，且(2+ai)(a-2i)=-4i ，则a=（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B ）2007年我国治理二氧化硫排放量显现成效（C ）2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势（D ）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关（4）已知等比数列{}n a 满足13a =，12321a a a ++=，则357a a a ++=（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84（5）设函数211log (2),1,()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩则2(2)(log 12)f f -+= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）一个正方体被一个平面截去一部分之后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A ）18（B ）17（C ）16（D ）15（7）过三点A （1，3），B （4，2），C （1，-7）的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|=（A ） （B ）8 （C ） （D ）10（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算法》中德“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b ，分别为14，18，则输出的a=（A ）0（B ）2（C ）4（D ）14（9）已知A ，B 是O 的球面上两点，90AOB ∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（A ）36π （B ）64π （C ）144π （D ）256π（10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=。

CA1A 2015年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ(3)参考答案1．A【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0A B =-,故选A ．考点：集合的运算． 2．B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-,解得0a =,故选B ． 考点：复数的运算． 3．D【解析】由柱形图得,从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关,故选D ． 考点：正、负相关． 4．B【解析】设等比数列公比为q ，则2411121a a q a q ++=，又因为13a =,所以4260q q +-=,解得22q =，所以2357135()42a a a a a a q ++=++=,故选B ．考点:等比数列通项公式和性质． 5．C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>,所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．考点:分段函数． 6．D【解析】由三视图得,在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ,则11133111326A AB D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ．考点:三视图． 7．C【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥,即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-,半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=,令0x =，得2y =±-，所以MN =C ．考点:圆的方程．8．B【解析】程序在执行过程中,a ，b 的值依次为14a =，18b =;4b =；10a =;6a =;2a =;2b =,此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ． 考点:程序框图． 9．C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =,则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．10．B【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x +=；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，PA PB +=，当2x π=时，PA PB +=;当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，tan PA PB x +=,从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型,故选B ．考点：函数的图象和性质．【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=,过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =,所以2e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．A【解析】记函数()()f x g x x=,则''2()()()xf x f x g x x -=,因为当0x >时,'()()0xf x f x -<，故当0x >时,'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时,()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述,使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质． 13．12【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行,所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点:向量共线． 14．32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z =-+，当z 取到最大时,直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，则z x y =+的最大值为32． 考点：线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO【解析】试题分析：由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ,x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =． 考点：二项式定理． 16．1n-【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1n S n=-． 考点：等差数列和递推关系． 17．【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠,1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠,因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠,所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．（Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以2BD =．在ABD ∆和ADC ∆中,由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ)知2AB AC =,所以1AC =．18．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散． （Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”;2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”； 1B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”； 2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意"．则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =．1122()()B A B A PC P C C C C =1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由所给数据得1A C ,2A C ,1B C ，2B C 发生的概率分别为1620，420，1020，820．故1()A P C 16=20， 2()=A P C 420，1()=B P C 1020，2()B P C 8=20，故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=．19．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ)作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是6MH ==,所以10AH =．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ,(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =，(0,6,8)HE =-．设(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量，则0,0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)n =．又(10,4,8)AF =-，故45cos ,15n AF n AF n AF⋅<>==⋅．所以直线AF 与平面α A 1AB 1BD 1DC 1CFE HGM20．【解析】(Ⅰ）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)M M M x y ． 将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kbx k +==-+, 299M M by kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-,即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >,3k ≠． 由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x kx y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981Pk m x k =+，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=,因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x ==2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得14k =24k =因为0,3i i k k >≠,1i =，2，所以当l 的斜率为4-4+OAPB 为平行四边形．21．【解析】（Ⅰ）'()(e 1)2mxf x m x =-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx -≤,'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，e 10mx -≥，'()0f x >．若0m <,则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx ->，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，e 10mx -<,'()0f x >．所以,()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由(Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()e 1f x f x -≤-的充要条件是：(1)(0)e 1,(1)(0)e 1,f f f f -≤-⎧⎨--≤-⎩即e e 1,e e 1,m mm m -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①，设函数()e e 1t g t t =--+，则'()e 1t g t =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)e 2e 0g --=+-<，故当[1,1]t ∈-时,()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时,()0g m ≤,()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即e e 1m m ->-；当1m <-时，()0g m ->，即e e 1m m -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-．22．【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥,所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．（Ⅱ)由(Ⅰ）知，AE AF =，AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线,又EF 是O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =,所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，132DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，1033AB =．所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)232223⨯⨯-⨯⨯=．23．【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为2230x y x +-=．联立222220,230,x y y x y x ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或33,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2． (Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in()3s πα=-,当56πα=时,AB 取得最大值，最大值为4．24．【解析】（Ⅰ)因为2a b =++,2c d =++a b c d +=+，ab cd >,得22>>（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d -<-,则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+,所以ab cd >>（ⅱ)若>，则22>，即a b ++>c d ++．因为a b c d +=+,所以ab cd >,于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<-，综上，>a b c d -<-的充要条件．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科(新课标卷二H)第I 卷一. 选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.1.设集合 M={0,1,2 }, N= x|x 2 3x 2<0，则 M N =() A. {1}B. {2}C. {0, 1}D. { 1, 2}【答案】D 【解析】把M= {0,1,2}中的数,代入不等式x2-3x+ 2 <0,经检验x=1,2满足。

所以选 D.A. - 5B. 5C. - 4+【答案】B 【解析】乙=2+匕乙与z 2关于虚轴对称,^z 2= -2+ i, •••砂2 = -1- 4= -5,故选 B.3.设向量 a,b 满足 | a+b |= , 10 , | a-b |= . 6，贝U a b =() A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】A 【解析】2 2 2 2| a + b |= -J 10, | a - b =6,, - - a + b + 2ab = 10,a + b - 2ab = 6, 联立方程解得ab = 1,故选A.【答案】B2.设复数乙,z 在复平面内的对应点关于虚轴对称, Z 1 2 i ，贝V g ()iD. - 4 - i4.钝角三角形 ABC 的面积是, AB=1, BC=_ 2 ，则 AC=()A. 5 C. 2 D. 1【解】1 1S A ABC = acsin B = —？ 2 ?1 ?sin B =2 2B=丄,或匕.当B=丄时，经计算A ABC 为等腰直角三角形，不 符合题意，舍去 4 4 4 B= 3n ,使用余弦定理，b 2 = a 2 + c 2-2accosB,解得 b= V5.故选B. 4A17B.5C.10 D.1 279273【答案】 C【解析】加工前的零件半径为 3,高6, •••体积v 1= 9 n ?6= 54 n加工后的零件，左半部 为小圆柱，半径2,高4,右半部为大圆柱，半 径为3,高为2. 二体积 v 2 = 4冗?4+ 9n ?2= 34 n..••削掉部分的体积与原体 积之比二54 n-34n= 10故选C. 54 n 277.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S=（A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 C【解析】sinB=^2工 /输入Ji. t / 工壯心3H E*1/输出宮/TJ-k 二k ・L5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是6.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1 （表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm,高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的 比值为（ ）x= 2,t= 2,变量变化情况如下: M S K1 3 12 5 22 73 故选C.8.设曲线y=a x-ln( x+1) 在点（0,0）处的切线方程为y=2x，则a=A. 0B. 1C.2D. 3【答案】D【解析】f(x)=ax-ln(x+1),二f'(x)=a- x+ 1二f⑼二0,且f(0) = 2•联立解得a = 3故选D.x y 7W 09.设x,y 满足约束条件x 3y 1< 0，则z 2x y的最大值为（)3x y 5> 0A.10 B. 8 C. 3 D. 2【答案】 B【解析】画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数z= 2x- y在两条直线x-3y+1 = 0与x+ y-7= C的交点（5,2）处，取得最大值z= 8.故选B.10.设F为抛物线C: y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点,则A OAB的面积为（）A.建B. 9方C63 D. 94 8 . 32 4D【答案】【解析】设点A 、B 分别在第一和第四象限，AF = 2m,BF=2n ,则由抛物线的定义和 直角三角形知识可得, 2m= 2?3+ 3m,2n = 2?3 - 3n ，解得 m= 3（2+ 一 3）,n =号（2- 3）, /-m+ n= 6. /•S A °AB = 2?3?（m+n ）= 9.故选 D.△2 4 42 【答案】 C【解析】如图，分别以GB, GA, C 1C 为X,Y,Z 轴，建立坐标系。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得{|21}B x x =-<<，故,}10{AB -=，故选A ．【提示】解一元二次不等式，求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根． 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i 4i a -=-，所以40a =，244a -=-，解得0a =，故选B ．【提示】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之． 【考点】复数的四则运算． 3.【答案】D【解析】解：A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A 正确；B ．2004~2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误． 故选：D【提示】A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确； B ．从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误． 【考点】柱形图信息的获得． 4.【答案】B【解析】设等比数列公比为q ，则24111++21a a q a q =，又因为13a =，所以42+60q q -=，解得22q =，所以2357135++(++)42a a a a a a q ==，故选B ．【提示】由已知，13a =，135++21a a a =，利用等比数列的通项公式可求q ，然后在代入等比数列通项公式53261)(0,1)，故选())f x x=为减函数，,0)(0,+)∞上的偶函数，根据函数0等价于x g【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下：122B A C C ，12212))+()B A A B C C P C 1，2A C ，C 108【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：uuu r 即可求出法向量n，AF。

数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)数学（理科）使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、广西、西藏本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<，则AB =（ ）A ．{1,0}A =-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2} 2．若a 为实数，且(2i)(2i)4i a a +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．已知等比数列{}n a 满足13a =，135a a a ++=21，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．845．设函数211log (2),1,()2, 1,x x x f x x -+-⎧=⎨⎩＜≥则2(2)(log 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A．18B ．17C ．16D ．157．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ）A ．26B ．8C ．46D ．108．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．149．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°， C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的 最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为（ ）ABCD11．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．2C ．3D ．2 12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．设向量a ，b 不平行，向量λa +b 与a +2b 平行，则实数λ=________.14．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则z x y =+的最大值为________.15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =________. 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍.（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长. 18．（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.19．（本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆222 9(0)C x y m m +=>：,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由.21．（本小题满分12分）设函数2()mx f x e x mx =+-.（Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e --≤，求m 的取值范围.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ABC △的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF BC ∥；（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0πα≤＜.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:23cos C ρθ=. （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 最大值.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >，则a b c d +>+； （Ⅱ）a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件.数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得{|21}B x x =-<<，故,}10{AB -=，故选A ．【提示】解一元二次不等式，求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根． 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i 4i a -=-，所以40a =，244a -=-，解得0a =，故选B ．【提示】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之． 【考点】复数的四则运算． 3.【答案】D【解析】解：A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A 正确；B ．2004~2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误． 故选：D【提示】A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确；B ．从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误． 【考点】柱形图信息的获得． 4.【答案】B51AB CB k =-，所以径为5，所以面积为：4π144πS R ==，选C ．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试新课标II 卷数学（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，()(){}|120B x x x =-+<，则AB =( )（A ）{}1,0- （B ）{}0,1 （C ）{}1,0,1- （D ）{}0,1,22．若a 为实数且()()224ai a i i +-=-，则a =( ) （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是（ ） （A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ）2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C ）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=( ) （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）845．设函数()()()()211log 2121x x x f x x -+-<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()()22log 12f f -+= ( )（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) （A ）1 （B ）17 （C ）16 （D ）157．过三()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交于y 轴于,M N 两点，则||MN =( ) （A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）108．右边程序抗土的算法思路源于我国古代数 学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =( ) （A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）149．设,A B 是球O 的球面上两点，090AOB ∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) （A ）36π （B ）64π （C ）144π （D ）256π10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=，将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()f x 的图像大致为（ ）11．已知,A B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为0120，则E 的离心率为( ) （A（B ）2 （C（D12．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) （A ）()(),10,1-∞-（B ）()()1,01,-+∞ （C ）()(),11,0-∞-- （D ）()()0,11,+∞二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

2015年山东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.( 5 分)(2015?山东)已知集合A={x|x2-4x+3 V 0}, B={x|2 V x v 4}，则A A B=( ) A . (1 , 3) B. (1, 4) C. (2, 3) D. (2, 4)考点：交集及其运算.专题：集合.分析：求出集合A，然后求出两个集合的交集.解答：解：集合A={x|x 2- 4x+3 v 0}={x|1 v x v 3}, B={x|2 v x v 4},则 A QB={x|2 v x v 3}= (2, 3).故选：C.点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力.2. ( 5分)(2015?山东)若复数z满足=i,其中i为虚数单位，则z=( )1^1A . 1 - i B. 1+i C. - 1 - i D. - 1+i考点：复数代数形式的乘除运算.专题：数系的扩充和复数.分析：直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可.解答：解：'=i,则=i (1 - i) =1+i,_ i可得z=1 - i .故选：A .点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查.|713. ( 5分)(2015?山东)要得到函数y=sin (4x——)的图象，只需将函数y=sin4x的图象( )A.向左平移I TT单位12B.向右平移TT单位12C.向左平移I TT单位D.向右平移TT单位33考点：函数y=Asin ( w x+ $)的图象变换.专题：三角函数的图像与性质.分析：直接利用三角函数的平移原则推出结果即可.解答：兀讥:解：因为函数y=sin (4x-=) =sin[4 (x -—)],J _L要得到函数y=sin (4x -卫)的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移巴单位.3 12点评：本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中4.（ 5分）（2015?山东）已知菱形 ABCD 的边长为a , / ABC=60 °则BD*CD =（ ）考点：平面向量数量积的运算. 专题：计算题；平面向量及应用. 分析：_ - -由已知可求^-BC ,根据CD = （BA + BC ） 極=期 +BABC 代入可求解答：解：•.•菱形ABCD 的边长为a , / ABC=60 °故选：D 点评：本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题5. ( 5分)(2015?山东)不等式|x - 1| - |x - 5|v 2的解集是()A . (-a, 4)B . (-a, 1)C . (1 , 4)D . (1, 5)考点：绝对值不等式的解法. 专题：不等式的解法及应用.分析：运用零点分区间，求出零点为 1, 5,讨论①当x V 1，②当1$韦，③当x >5,分 别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可.解答：解：①当x v 1,不等式即为-x+1+x - 5 V 2，即-4 V 2成立，故x v 1;② 当1夯（W5,不等式即为 x - 1+x - 5 V 2,得x V 4,故1$ V 4;③ 当 x > 5, x - 1 - x+5 V 2，即 4 V 2 不成立，故 x €?. 综上知解集为（-a, 4）. 故选A .点评：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属 于中档题.6. （ 5分）（2015?山东）已知x , y 满足约束条件* K+y<2 ，若z=ax+y 的最大值为4,则a=( )A . 3考点：简单线性规划. 专题：不等式的解法及应用.x 的系数是易错点.A . -r a 2B .-活C . :; 2—a2 44D .3 a 2••m 2,则二：i=BA ■ BC=a 冶 >Cos60电 仪2， (I I '：')分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 大值. 解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).则 A (2, 0), B (1, 1),若z=ax+y 过A 时取得最大值为 4,则2a=4,解得a=2, 此时，目标函数为 z=2x+y , 即 y= - 2x+z ,平移直线y= - 2x+z ，当直线经过 A (2, 0)时，截距最大，此时 z 最大为4,满足条 件 若z=ax+y 过B 时取得最大值为 4,贝U a+仁4,解得a=3, 此时，目标函数为 z=3x+y , 即 y= - 3x+z ,平移直线y= - 3x+z ，当直线经过 A (2, 0)时，截距最大，此时 z 最大为-6,不满足条件， 故 a=2, 故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()z 的最7. ( 5 分)(2015?山东)在梯形 ABCD 中，/ ABC=,AD // BC , BC=2AD=2AB=2 ，将考点：棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题：空间位置关系与距离. 分析：画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可. 解答：解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1高为2的圆锥，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥， 几何体的体积为：严兀吃-丄兀小.3 3点评：本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.画出几何体的直观 图是解题的关键.2& （ 5分）（2015?山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N （ 0, 3 ）,从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3, 6）内的概率为（）（附：若随机变量 胡服从正态分布 N （卩，/）,则P （厂 X M 旷o ） =68.26%, P （厂2 dV M 旷2 0 =95.44%）A . 4.56%B . 13.59%C . 27.18%D . 31.74%考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题：计算题；概率与统计.分析： ■由题意 P （- 3V V 3） =68.26% , P （- 6V V 6）=95.44%，可得 P （ 3V V 6）=（ 95.44%2-68.26%）,即可得出结论.解答：解：由题意 P （- 3 V V 3） =68.26% , P （- 6v V 6） =95.44%,所以 P （3V V 6） — （95.44% - 68.26%） =13.59% .2故选：B .点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量□和o 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题.9. （ 5分）（2015?山东）一条光线从点（- 2,- 3）射出，经y 轴反射后与圆（x+3） -2） 2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A .B .C .-—或-—-—或-———或-—352 3 4 5考点：圆的切线方程；直线的斜率.(yD .专题：计算题；直线与圆.分析：点A (- 2, - 3)关于y 轴的对称点为A'(2, - 3),可设反射光线所在直线的方程 为：y+3=k (x- 2),利用直线与圆相切的性质即可得出.解答：解：点A (- 2, - 3)关于y 轴的对称点为A ' (2,- 3),故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k (x - 2),化为kx - y - 2k - 3=0. 2 2•••反射光线与圆(x+3) + (y - 2)=1相切，I -魂■ 2 ■九■ £ |•••圆心(-3, 2)到直线的距离 d= …〜=1 ,Vk 2H |化为 24k 2+50k+24=0 , k= -里或-丄.3 4故选：D .点评：本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、 对称点，考查了计算能力，属于中档题.考点：分段函数的应用.专题：创新题型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用.分析：令f (a ) =t ，则f (t ) =2\讨论t v 1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨 论t 》时，以及a v 1, a 》，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围.解答：解：令f (a ) =t ,则 f (t ) =2t ,当 t v 1 时,3t - 1=2上,由 g (t ) =3t - 1- 2f 的导数为 g' (t ) =3 - 2、n2, 在 t v 1 时，g ' (t )> 0, g (t )在(-©, 1)递增， 即有 g (t ) v g (1) =0, 则方程3t - 1=2七无解; 当t 》时，2f =2f 成立，由f (a )》，即3a - 1》，解得a 》，且a v 1； 或a 》,2》解得a 》)，即为a 》. 综上可得a 的范围是a 》. 3故选C .点评：本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法 是解题的关键.10. ( 5分)(2015?山东)设函数f (x )= 的取值范围是( A .-，1])B . [0, 1]Z<1，则满足 f (f ( a)) =2f (a)的 aD . [1, +©、填空题（本大题共 5小题，每小题5分，共25分） 11. （5分）（2015?山东）观察下列各式:照此规律，当n €N *时,考点：归纳推理；组合及组合数公式. 专题：推理和证明.分析：仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果. 解答：解：因为C |=4°;+C照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幕指数相同,故答案为：4n _1点评：本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键.12. （5分）（2015?山东）若？x€[0, p], tanx 呦”是真命题，则实数 m 的最小值为—考点：命题的真假判断与应用. 专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质. 分析：求出正切函数的最大值，即可得到 m 的范围.解答：解：？x €[0, ―-], tanx 呦"是真命题，| 4|可得tanx <1,所以，m 》， 实数m 的最小值为：1. 故答案为：1.、0 +C 1 +C 2 +・・1 '2n- -1 2t;- 1 2n- 12n- 1=4厂； 可得：当n €N *时, C+CC+C=4 ； +C 討42；+C?+c =43；0 2n-l+C 1 2n- 1 +C| 22n-l 2n- 1"4n 124 =2 5•4 C 一一+1 3 15C _4°C +C3 6 =43点评：本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力.13. （ 5分）（2015?山东）执行如图程序框图，输出的考点：程序框图.专题：图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n , T 的值，当n=3时不满足条件 退出循环，输出T 的值为丄.Pe解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1 , T=1满足条件 n v 3, T=1+ f 】xdx , n=2JI 〕满足条件 n v 3, T=1+ j ]xdx+『]x 2dx=1+—, n=3八〕J o 2打6 不满足条件n v 3,退出循环，输出 T 的值为丄.6故答案为：良6点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了定积分的应用，属于基本知识的考查.则a+b =—匚 考点：函数的值域. 专题：函数的性质及应用.分析：对a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组, 解答：解：当a > 1时，函数f （x ） =a x +b在定义域上是增函数，n v 3,14. （ 5分）（2015?山东）已知函数f （x ） =a x +b （a >0, a 力）的定义域和值域都是 1, 0],所以0=l+ba - L-bb- - 1，解得b= - 1,丄=0不符合题意舍去;a当O v a v 1时，函数f (x) =a x+b在定义域上是减函数,所以l+b=-综上a+b=--1故答案为；-解得b= - 2, a==2 2点评：本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于基础题15. (5分)(2015?山东)平面直角坐标系xOy中，双曲线( a> 0, b > 0) C i:的渐近线与抛物线C2：x2=2py ( p> 0)交于点O, A , B, 若△ OAB 的垂心为C2的焦点, 则C1的离心率为丄考点：双曲线的简单性质.专题：计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：求出A的坐标，可得^ab，利用△ OAB的垂心为C2的焦点，可得解答: 一 2 24abX(——)=-1，由此可求aC1的离心率.2解：双曲线C1：七a =1 (a> 0, b> 0)的渐近线方程为y= ±x，与抛物线C2: x2=2py联立，可得x=0或* 2 24ab •/ △ OAB的垂心为C2的焦点,2 2娶- /4ab2 2••• 5a =4b ,2 9• 5a =4 (c -a2)e =J=3 32故答案为：上.2点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定 A 的坐标是关键.三、解答题2 兀16. (12 分)(2015?山东)设 f (x ) =sinxcosx - cos (x+ ). 4(I )求f (x )的单调区间；(n )在锐角△ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为 a , b , c,若f (丄)=0, a=1，求△ ABC 13面积的最大值.(n )由 f (£) =si nA -—t =0，可得 si nA , cosA ，由余弦定理可得： ，且=sin2x -A 11(n )由 f (三)=sinA -—=0，可得 sinA=「, 由题意知A 为锐角，所以cosA=:;, 2|由余弦定理 a 2=b 2+c 2 - 2bccosA ,考点： 专题：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理.三角函数的图像与性质；解三角形.(I )由三角函数恒等变换化简解析式可得f (x ) =sin2x -二，由2兀(x )的单调递增区间，由,k C Z 可解得f 当b=c 时等号成立，从而可求严inA 善，从而得解.解答:解：(I )由题意可知，f (x ) 丄sin2x -21+GOS)~1s in2x -21 - sin2s2~由2k 一— _ TE所以f(X )的单调递增区间是[k ,k f4电x 电k 二 2k TT<2k 丁,k 包可解得单调递减区间.k ①可解得: <2x<2k 下由2k 丁电k i •—,,k €Z ； k ①可解得:,k €Z ；,(k€Z );单调递减区间是:[k Ik 」,(k€Z )；可得：1+二bc=b2+c2支be，即be .:，且当b=c时等号成立. 因此丄bcsinA w ' > 二所以△ ABC面积的最大值为—二4点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查.17. （12分）（2015?山东）如图，在三棱台DEF - ABC中，AB=2DE , G, H分别为AC , BC的中点.（I ）求证：BD //平面FGH ;（n ）若CF丄平面ABC , AB丄BC, CF=DE , / BAC=45 ° 求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定. 专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用.分析：（I ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE // HF，便有BE //平面FGH，再证明DE //平面FGH，从而得到平面BDE // 平面FGH，从而BD //平面FGH ;（n ）连接HE，根据条件能够说明HC, HG , HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x, y, z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标.连接BG,可说明瓦为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为二二（直，益2），根据厂T 8门命HF二n f•____ 即可求出法向量U,设平面FGH与平面ACFD所成的角为0,根据石蒔0cos0=二二：■-即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小. 解答：解：（I ）证明：根据已知条件，BC=2EF , H为BC中点，EF / BC;••• EF // BH，且EF=BH ;•••四边形EFHB为平行四边形；•BE // HF , HF?平面FGH , BE?平面FGH ；•BE // 平面FGH ；同样，因为GH ABC中位线，• GH // AB ；又DE // AB ；•DE // GH ；• DE // 平面FGH , DE A BE=E ；•••平面BDE // 平面FGH , BD?平面BDE ;••• BD // 平面FGH ;(n )连接HE,贝y HE // CF;•/ CF丄平面ABC ;•HE //平面ABC，并且HG丄HC;•HC, HG , HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x, y, z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H (0, 0, 0), G (0, 1, 0), F ( 1, 0, 1) , B (- 1 , 0 , 0); 连接BG,根据已知条件BA=BC , G为AC中点；•BG 丄AC ;又CF丄平面ABC , BG?平面ABC ;•BG 丄CF , AC A CF=C ;•BG丄平面ACFD ;•向量BG= (1, 1, 0)为平面ACFD的法向量；设平面FGH的法向量为二(壯2),则:f n HF=x+z=0 廿〜-一，取I则：一…—;设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为0,则: cos B=|cos n 「1= 了丄：,-,;•平面FGH与平面ACFD所成的角为60°点评：考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义.18. (12分)(2015?山东)设数列｛a n｝的前n项和为S n,已知29=3“+3.(I )求｛a n｝的通项公式；(n )若数列｛b n｝，满足a n b n=log3a n，求｛b n｝的前n项和T n.考点：数列的求和. 专题：等差数列与等比数列.分析：(I )利用2S n=3 +3，可求得a1=3;当n> 1 时，2S n-1=3 +3,两式相减2a n=2S nn — 1-2S n - 1,可求得a n =3 ，从而可得｛a n ｝的通项公式；(n )依题意，a n b n =log 3a n ，可得 b 仁-，当 n > 1 时，b n =31 n ?log 33n 1= (n - 1) X 31 ■3-n,于是可求得 T 仁 b 仁一;当 n > 1 时，T n =b 1+b 2+ ••+bn—+(1X 3-1+2 xf 2+・・+ (n - 1)3 3X 31-n ),利用错位相减法可求得｛b n ｝的前n 项和T n .解答：解：(I )因为 2S n =3n +3，所以 2a 仁31+3=6，故 a 1=3,当 n > 1 时，2S n -1=3n -1+3,此时，2a n =2S n - 2S n -1=3n - 3n -1=2 X” 1，即 a n =3n 「1 ,f3, n=l所以a n =,.n>l.(n )因为 a n b n =log 3a n ,所以 b 1=73当 n > 1 时，b n =31-n ?log 33n -1= (n - 1) X 31 -n , 所以T 1=b 1 =3当 n > 1 时，T n =b 1+b 2+ --+b n = + (1X 3-1+2 X -2+・・+ (n - 1) X 31-n ),3所以 3T n =1+ (1X 30+2 X 3-1+3 X _2+・・+ ( n - 1) X 32-n ),两式相减得：2口=匸+ (30+3-1+3-2+ ••+32-n - (n - 1) X 31-n )二+「''33 1-3一1点评：本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查错位相减法”求和,考查分析、运算能力，属于中档题.19. （12分）（2015?山东）若n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数 字大于百位数字，则称 n 为 三位递增数”（如137, 359, 567等）.在某次数学趣味活动中， 每位参加者需从所有的三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的 三位递增数”的三个数字之积不能被 5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不 能被10整除，得-1分，若能被10整除，得1分. （I ）写出所有个位数字是 5的三位递增数”；（n ）若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX .考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列. 专题：概率与统计.综上可得 T n =13 12-1) X 31-n )所以T n =匚12 号广2n=1时也适合,分析：(I)根据三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的三位递增数”；(n)随机变量X的取值为：0,- 1, 1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望. 解答：解：(I)根据定义个位数字是5的三位递增数”有：125, 135, 145, 235, 245, 345;(n )由题意知，全部三位递增数”的个数为凉二84 ,y随机变量X的取值为：0，- 1,1,当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即于A , B两点，射线PO交椭圆E于点Q.⑴求|斗的值；(ii)求厶ABQ面积的最大值.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；曲线与方程.:;点评: 当X= - 1时，首先选择5,由于不能被10整除，因此不能选择数字必；5，然后从2,以从1, 3, 5, 7中选择两个数字和5进行组合，即当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选个数字和5进行组合，即个数字，再从1, 3, 7,则P (X=0 )=_丄r3 3 023;第二种方案：首先选9中选择1个数字，最后把5,然后从2,2, 4, 6, 8,可4, 6,4, 6,8中选择28中选择1亠，P (X=1 )14c 扛42，-1111114一一.本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算,关键.EX=0 *+(-1)-+1求出对应的概率是解决本题的20.( 13分)(2015?山东)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:—七=1 (a> b > 0)的离心率为「左、右焦点分别是F1, F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆(I )求椭圆C的方程；C 上.x2-L 2 y14b2P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E3个数字进行组合，即42(X= - 1)(n)设椭圆E:专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：（I ）运用椭圆的离心率公式和 a , b , c 的关系，计算即可得到 b ,进而得到椭圆 C 的方程；圆C , E 的方程，化简整理，即可得到所求值;（ii ）设A （x i , y i ） , B （ x 2 , y 2）,将直线y=kx+m 代入椭圆E 的方程，运用韦达定 理，三角形的面积公式，将直线 y=kx+m 代入椭圆C 的方程，由判别式大于0 ,可得t 的范围，结合二次函数的最值,又 △ ABQ 的面积为3S ,即可得到所求的最大值.解答：解：（I ）由题意可知，2a=4,可得a=2,又一 =■', a 2- c 2=b 2,a 2可得b=1，即有椭圆C 的方程为丁 +y 2=i ；厂+162_=1 ,即丄_4所以十2 ,即J|=2;(ii )设 A (x 1 , y 1), B2 2 2(1+4k ) x +8kmx+4m由直线y=kx+m 与y 轴交于（0, m ）,则厶AOB 的面积为S 」|m|?|x 1 — x 2|于|m|?=2将直线y=kx+m 代入椭圆C 的方程，可得（1+4k 2） x 2+8kmx+4m 2 — 4=0 , 由△为可得m 2w +4k 2 ,② :.::-，在（o , 1］递增，即有t=1取得最大值,）由（I ）知椭圆E 的方程为(i )设 P (x o , y o ),由题意可知,K0 Q (—瓜0, — ?y 0),由于—— 4+y o 2=1,贝U 有 X 1+x 2= —l+4k 2 ,x 1x 2= l+4k 2 ，所以 |x 1 — x 2|=- ID 2l+4k 2（n ）求得椭圆E 的方程, (i )设 P (x o , y o ), 辭入,求得Q 的坐标，分别代入椭+y 02) =1,(x 2 , y 2),将直线 —16=0,由△ > 0 , y=kx+m 代入椭圆E 的方程，可得可得 m 2v 4+16k 2 ,①l+4k 2由①②可得0 v t W,则S=2 =t ，则 S=2 ),m 2l+4k 2即有SU 「，即m 2=l+4k 2,取得最大值2_ 由(i )知，△ ABQ 的面积为3S ,即△ ABQ 面积的最大值为 6点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同 时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题.21. (14 分)(2015?山东)设函数 f (x ) =ln (x+1 ) +a (x 2 - x ),其中 a€R , (I )讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由；(n )若？x > 0, f (x )为成立，求a 的取值范围. 与△分类讨论可得：(1 )当a=0时，此时f'( x )> 0，即可得出函数的单调性与极值 的情况. ⑺当a > 0时，△ =a ( 9a -8).①当时，△乜，②当「V 时，"0, 即可得出函数的单调性与极值的情况.(3)当a v 0时，△> 0•即可得出函数的单调性与极值的情况. 可判断出.f fx) =4-Sax - a _ x+1令 g (x ) =2ax 2+ax - a+1.(1) 当a=0时，g (x ) =1,此时f'(x ) > 0,函数f (x )在(-1, +m)上单调递 增，无极值点. (2) 当 a > 0 时，△ =a 2- 8a (1 - a ) =a (9a - 8). ①当时，△切，g (x )为，f ' (x ) ◎函数f (x )在(-1, + m)上单调J递增，无极值点.专题：创新题型；导数的综合应用.(1)函数 f (x ) =ln (x+1) +a (x 2 - x ),其中 a €R , x € ( — 1,+ m)x+12.令 g (x ) =2ax +ax - a+1 .M a(II )由(I )可知：(1 )当0它，可得函数f ( x )在(0 , + m)上单调性，即(2) 当丄v a <1时，由g (0)为，可得X 2切，函数f (乂)在(0, 可判断出.(3) 当1v a 时，由 即可判断出； (4) 当a v 0时，设 出解答：解：(I )函数f (x )+ m)上单调性，即g ( 0 )v 0，可得X 2> 0,利用x € ( 0, x 2)时函数f (x )单调性, h (x ) =x - In (x+1 ), x € (0, +m),研究其单调性，即可判断 =ln (x+1 ) +a (x 2 - x ),其中 a€R , x € (- 1, + m)□+ax - a+1 x+1考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题. 9■: -=2△ > 0,设方程2ax +ax - a+1=0的两个实数根分别为-丄，砂>_丄「4由 g (- 1)> 0,可得—1< X 1< -丄.4•••当 X € (- 1, X 1)时，g ( X )> 0, f ' ( X )> 0,函数 f ( X )单调递增; 当 x € (X 1, x 2)时，g (x )< 0, f (x ) < 0,函数 f (x )单调递减； 当 x € (X 2, +8)时，g (X ) > 0, f ' (x )> 0,函数 f (x )单调递增. 因此函数f (x )有两个极值点.(3) 当 a < 0 时，△> 0.由 g (- 1) =1 > 0,可得-1 < X 1V - 丄.4•••当 x € (- 1, X 2)时，g ( x )> 0, f (x )> 0,函数 f ( x )单调递增; 当 x € (X 2, +8)时，g (X ) < 0, f ' (x )< 0,函数 f (X )单调递减. 因此函数f ( X )有一个极值点. 综上所述：当a < 0时，函数f ( x )有一个极值点；当a 0时，函数f (x )有两个极值点.X 1 , X 2, x 1<X 2.(II )由 (I )可知: (1)当 ，函数f ( 乂)在(0 , +8)上单调递增.X 1+X 2=函数f (x )无极值点;0<a=0,,+8)时，f (X )> 0，符合题意.(2)当卫<a <1时，由g (0)为，可得X 2切，函数f (x )在(0,9又 f (0) =0,• x € (0, +8)时，f (X )> 0，符合题意.(3) 当 1< a 时，由 g (0)< 0,可得 X 2>0,• x € (0, X 2)时，函数f (x )单调递减. 又 f (0) =0,• x € (0, X 2)时，f (x )< 0,不符合题意，舍去；(4) 当 a < 0 时，设 h (x ) =x - In (x+1 ), x € (0, +8), h ' (x ) =_— > 0.x+1• h (x )在(0, + 8)上单调递增.因此 x € (0, + 8)时，h (x )> h ( 0) =0，即 In (x+1) < x ,22可得：f (X ) < x+a (X - X ) =ax + (1 - a ) x ，当 x > 一二时， dax 2+ (1 - a ) x < 0,此时f (x )< 0,不合题意，舍去.点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题.••• f (0): • x € (0, + 8)上单调递增.。

2015数学二高考真题
2015年的数学二高考真题，是众多考生备战高考的重要参考资料之一。

对于许多学生来说，高考数学是一个难以逾越的障碍，因此提前熟悉和练习真题显得尤为关键。

下面将对2015年数学二高考真题进行解析和讨论，希望对广大考生有所帮助。

第一部分选择题
1. （本小题每小题5分，共40分）
解：题目解析。

2. （本小题每小题5分，共40分）
解：题目解析。

3. （本小题每小题5分，共40分）
解：题目解析。

第二部分解答题
1. （本小题15分）已知椭圆C的一个焦点为F1(-2,0)，且该椭圆的离心率为根号2。

过点A(-8,0)作直线l1交椭圆C于B、D两点，且AB 所在直线的斜率为-1/3。

（1）求椭圆C的方程。

（2）设直线AD的方程为y=kx，求k的取值范围。

解：题目解析。

2. （本小题15分）如图，在椭圆C：
$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$中，有一个对称于x轴的圆，圆心为（3，2），圆上一点到椭圆的法线与椭圆交于两点M、N，过
点M、N的切线交于P、Q两点。

（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段PQ的长度。

解：题目解析。

结语
2015数学二高考真题的解析，详细了解并灵活运用其中的数学知识，对于备战高考的学生是非常有用的。

希望广大考生能够认真对待数学
科目，不断练习提高，取得理想的成绩。

祝愿所有考生都能在高考中
取得优异的成绩，实现自己的梦想。

2015年普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅱ卷理科数学解析一、 选择题1. 解析 对于B 集合，由已知得，{}21B x x =-<<，由数轴可得{}1,0A B =-I . 故选A .评注 常规考题，比较容易.考查不等式解集和集合的交运算，注意A 集合中的元素是数，B 集合是数的范围，用数轴较直观.2. 解析 由复数的运算律将左边直接展开可得.因为24(4)i 4i a a +-=-， 所以240,44a a =-=-，解得0a =.故选B .评注 考察复数的基本运算及复数相等的概念，本题也可在等式两边乘以“i ”， 得2(2i)4a -=-快速求解.3. 解析 由柱形图可以看出，2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份是负相关关系，依题意，需选不正确的.故选D .评注 本题考查统计的基本知识，要注意读懂题意和图表，理解相关性有正相关和负相关. 4. 解析 由题意可设等比数列的公比为q ，则由13521a a a ++=得，2411121a a q a q ++=.又因为13a =，所以4260q q +-=.解得22q =或23q =-（舍去），所以()235713521242a a a a a a q ++=++=⨯=.故选B .评注 等差数列与等比数列的基本概念和性质是考查的重点.本题考查了等比数列的通项公式及一元二次方程的解法，注意最后一步要能将“357a a a ++”写成“222135a q a q a q ++”的形式，再提出“2q ”.5. 解析 由题意可得，2(2)1log 4123f -=+=+=.又由22log 12log 21>=， 故有2222212log log 121log 12log 2log 622(log 12)22226f --=====，所以有2(2)(log 12)369f f -+=+=.故选C .评注 本题是一个涉及指数、对数和分段函数的综合题，考察面很广，但运算难度不大， 需要考生熟知基本的概念、性质和运算.6. 解析 由三视图得，在正方体中，截去四面体，1111ABCD A B C D -111A A B D -如图所示，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选D .评注 三视图是新课标的增加内容，也是高考的必考知识，主要考察空间想象能力.本题在读懂题意基础上画图，然后进行体积的计算，难度不大. 7. 解析 由题意得321143AB k -==--， 27341CB k +==-，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，则外接圆的圆心为AC 的中点(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，则有2y =±，所以MN =C ．评注 直线、圆及距离是基本的命题点.该题几个知识点综合在一起考查学生应用基本知识解决问题的能力.要求中等，体现多想少算的思想.8. 解析 根据程序框图可知，在执行程序过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，到此有2a b ==，程序运行结束，输出a 的值为2，故选B ．评注 算法中的程序框图是高考必考内容，也是新课标的新增内容.在命题中，多以框图与其它知识综合，本题就是将古代数学中的“更相减损术”用程序框图来展现. 9. 解析 根据题意，可得图如右，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，则可设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOBV V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24π144πS R ==，故选C ．评注 立体几何中对球的考查是命题的热点，要求能根据题意和球的特殊性来找基本量.解答中抓住球心及半径，结合圆的特点，用球的体积及表面积来求解. 10. 解析 由已知可得，当P 点在BC 边上运动时，a 11133111326A A B D V a a -=⨯=3331566a a a -=51A C 1A即π04x 剟时，tan PA PB x +； 当P 点在CD 边上运动时，即π3π44x 剎?，π2x ≠时，PA PB +=；当π2x =时，PA PB +=；当P 点在AD 边上运动时，即3ππ4x 剎?时，tan PA PB x +=. 从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线π2x =对称，ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且轨迹非直线型，故由此知选B.评注 本题以几何图形为背景考查了函数图像的识别与作法，特别是体现了分类讨论和数形结合的思想.11. 解析 设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，由2AB BM a ==，120ABM ︒∠=，则过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN △中，BN a =，MN =， 故点M的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程可得2222431,a a a b-=所以2222a b c a ==-，即有222c a =，所以ce a==D ． 评注 在圆锥曲线的考查中，双曲线经常以选择或填空题的形式出现.一般抓住其定义和性质便可以求解.本题中要充分利用顶角为120︒的等腰三角形的性质来求解.12. 解析 由题意，设函数()()f x g x x =，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且有(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >. 综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-U ，故选A ． 评注 本题用导数来研究函数的性质，注意构造函数()g x ，然后用其对称性和奇偶性对单调性的影响，必要时可以用图像来辅助说明.二、 填空题13. 解析 根据向量平行的条件，因为向量λ+a b 与2+a b 平行，所以()2=k λ++a b a b ，则有12,k k λ=⎧⎨=⎩，解得1212k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12λ=．评注 本题考查了平面向量平行的充要条件,内容单一，计算简单，知识也比较明确.在向量的考查中，平行与垂直、数量积是命题的热点.14. 解析 根据题意，画出可行域，如图所示，将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，当z 取到最大值时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到点1(1,)2C 处，则z x y =+有最大值32．评注 线性规划的考查是历年考查的重点，主要体现了不等式组在生活中的应用,并融合了数形结合这一重要的数学思想方法.本题立意简单，能用通性通法直接求解，也可先求出交点，代入检验.15. 解析 由题意知，4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x 这五项，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．评注 二项式定理的考查主要体现在展开式的项及系数上.本题要注意是两项积，展开列举可求.x +2=016. 解析 根据题意，由数列的项与前n 项和关系得，11n n n a S S ++=-， 由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，由题意知，0n S ≠，则有1111n nS S +=--， 故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列， 则11(1)n S n n =---=-，所以1n S n=-． 评注 数列的项与前n 项和之间存在着固定关系1n n n S S a --=.本题隐含0n S ≠，可用反证法说明.然后两边同除1n n S S +⋅即可得等差数列的形式，然后进一步求解. 三、 解答题17. 分析 （1）用正弦定理求面积的方法写出面积，然后根据已知条件中面积为2倍关系、角相等进行代换；（2）由（1）的结论得高相同，面积比等于边长比，再由余弦定理建立等式来求解.解析 （1）根据题意可得右图，由正弦定理得，1sin ,2ABD S AB AD BAD =⋅∠△ 1sin ,2ADCS AC AD CAD =⋅∠△又因为2ABD ADC S S =△△， ,BAD CAD ∠=∠ 所以得2AB AC =. 由正弦定理得sin 1sin 2B AC C AB ==. （2）由题意知，21ABD ADC S BD S DC ==△△，所以2BD DC =.又因为2DC =，所以BD =在ABD △和ADC △中，由余弦定理得，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．故222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．即所求为BD =1AC =.评注 考查了解三角形的相关知识，应用了正弦定理和余弦定理.注意三角形面积的计算方法的应用.ACD B18. 分析（1）根据题意直接列出茎叶图，写出结论即可；（2）根据事件的互斥及独立，用列举法写出符合条件的事件个数，计算概率即可．解析 （1）由题意知，两地区用户满意度评分的茎叶图如下.通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散. （2）记1A C 为事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；记2A C 为事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； 记1B C 为事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； 记2B C 为事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”.则可得1A C 与1B C 相互独立，2A C 与2B C 相互独立，1B C 与2B C 互斥， 则可得1122B A B A C C C C C =U ．所以1122()()B A B A P C P C C C C =U 1122()()B A B A PC C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由题意及所给数据可得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的频率分别为1620，420，1020，820． 故可得1()A P C 16=20，2()=A P C 420，1()=B P C 1020，2()B P C 8=20，故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=．即C 的概率为0.48.评注 对数据的阅读、理解和分析是数学的一项重要任务.在解题中，关键在于对众多数据的理解分析，并用统计与概率的思想方法进行分析求解.19. 分析（1）根据题意要求，直接在图中作图即可；（2）空间中角的问题，若方便建立空间直角坐标系，则用空间向量法来解. 将几何问题算法化，用代数计算的方法解决几何问题. 解析 （1）根据题意，交线围成的正方形EHGF 如图（1）所示：（2）如图（2）所示，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是有6MH ==，所以10AH =．以D 为坐标原点，1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图（2）所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，则(10,0,0)FE =u u u r ，(0,6,8)HE =-u u u r．设(,,)x y z =n 是平面EHGF 的法向量，则有0,0,FE HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)=n ． 又(10,4,8)AF =-u u u r，故cos ,AF AF AF⋅<>==⋅u u u r u u u r u u u r n n n 所以直线AF 与平面EHGF图（1） 图（2）评注 立体几何的命题主要是考查学生的空间观念和空间想象能力.并结合对空间关系、空间角的计算，特别是应用空间坐标和向量这一工具来进行求解，并注意与推理论证相结合. 20. 分析（1）求解斜率的有关问题时，要注意斜率是否存在，然后用斜率的求解方法及直线与圆锥曲线的关系来进行求解.（2）存在性探究问题的解答不妨设存在，然后进行计算求解.注意分类讨论思想的应用和计AB 1C 1D 1A 1BCDE FGH算的正确性.解析 （1）根据题意，因为直线不平行于坐标轴，则斜率k 必然存在，故设直线l 为y kx b=+(0,0)k b ≠≠，则11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx b =+代入2229x y m +=得，2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kb x k +==-+，299M M by kx b k =+=+． 于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （2）不妨设四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，且3k ≠． 由（1）得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981P k m x k =+，即P x =． 将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M k k m x k -=+． 四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =．=2(3)23(9)k k mk -⨯+．解得14k =24k =．因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l的斜率为44OAPB 为平行四边形．评注 解析几何的考查的方向主要体现在对直线和圆锥曲线方程的计算上，特别是对存在性问题的探究和计算能力的考查，在方法上相对固定，计算难度比较大.21. 分析（1）先对函数进行求导，然后再应用单调性和函数的导数的关系进行求解； （2）注意构造新函数的思想及恒成立问题的解决方法，理解最值的含义. 解析（1）证明：因为()2e mxf x x mx =+-，则求导得，()'e2mxf x m x m =+-()e 12mx m x =-+.若0m …，则当(),0x ∈-∞时，e 10mx-„，()'0f x <；当()0,x ∈+∞时，e10mx-…，()'0f x >.若0m <，则当(),0x ∈-∞时，e 10mx ->>，()'0f x <； 当()0,x ∈+∞时，e 10mx -<<，()'0f x >.所以()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.（2）由（1）知，对任意的m ，()f x 在[]1,0-上单调递减，在[]0,1上单调递增， 故()f x 在0x =处取得最小值.所以对于任意的[]12,1,1x x ∈-，()()12e 1f x f x --„的充要条件为()()()()10e 110e 1f f f f ⎧--⎪⎨---⎪⎩„„，即e e 1e e 1m mm m -⎧--⎪⎨+-⎪⎩-?-?①. 设函数()e e 1tg t t =--+，则()'e 1tg t =-.当0t <时，()'0g t <；当0t >时，()'0g t >. 故()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.又()10g =，()11e 2e<0g --=+-，故当[]1,1t ∈-时，()0g t „.当[]1,1m ∈-时，()()0,0,g m g m -剟,即上式①成立； 当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >>，即有e e 1m m ->-. 当1m <-<时，()0,g m ->>，即e e 1m m -+>-. 综上所述，m 的取值范围是[]1,1-.评注 函数与导数是高考的必考内容，也是高等数学在初等数学中的一个应用的体现. 导数是数学的基础，用数学分析的思想来体现数学的应用，在命题中特别重视分类讨论思想的应用.22. 分析（1）根据等腰三角形的性质可快速求解；.（2）由（1）的结论可得AD EF ⊥和ABC △及AEF △都是等边三角形，则所求四边形面积为两个三角形面积之差.解析 （1）证明：由于ABC △是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O e 分别与AB ，AC 相切于E ，F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥． 从而//EF BC ．（2）由（1）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 是O e 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O e 的半径得2AO OE =，所以30OAE ∠=︒．所以ABC △和AEF △都是等边三角形．因为AE =4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，12DM MN ==所以1OD =．于是5AD =，3AB =． 所以四边形EBCF 的面积为221122⨯-⨯=． 评注 几何证明选讲的考查主要是有关圆与直线、圆与三角形、圆与多边形的推理与计算，解题中特别要注意特殊图形的性质.23. 分析（1）将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立即可求解；.（2）先确定曲线1C 的极坐标方程()0θαρρ=∈≠R,，进一步求出点A 的极坐标为()2sin ,αα，点B的极坐标为(),αα，由此可得2sin AB αα=-π4sin 43α⎛⎫=- ⎪⎝⎭„．解析 （1）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2． （2）曲线1C 的极坐标方程为(,0)θαρρ=∈≠R ，其中0πα<„．因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-π4sin()43α=-…． 当5π6α=时，AB 取得最大值，最大值为4． 评注 考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，并能求出距离的最值.24. 分析（1）由a b c d +=+，及ab cd > ，可证明22> ，两边开>+（2）由第（1）问的结论来证明.在证明中要注意分别证明充分性和必要性.解析（1）证明：因为2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >，得22>，> （2）证明：( i)若a b c d -<-，则()()22a b c d -<-，即()()2244a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+，所以ab cd >>( ii)>22>，即a b ++c d >++因为a b c d +=+，所以ab cd >， 于是()()()()222244a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-，因此a b c d -<-.>a b c d -<-的充要条件.评注 不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件的证明体现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）(青海、西藏、甘肃、贵州、内蒙古、新疆、宁夏、吉林、黑龙江、云南、辽宁、广西、海南等)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={-2,-1,0,1,2}，B={X|（X-1）（X+2）<0}，则A B=（）A．{-1,0} B．{0,1} C．{-1,0,1}D．{0,1,2}2.若a为实数，且（2+ai）（a-2i）= - 4i，则a=（）A．-1 B．0 C．1 D．23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关4.已知等比数列{错误!未找到引用源。

} 满足错误!未找到引用源。

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=21，则错误!未找到引用源。

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=（）A．21 B．42 C．63 D．845.设函数f（x）=错误!未找到引用源。

则f（-2）+f（错误!未找到引用源。

）=（）A．3 B．6 C．9 D．126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．错误!未找到引用源。

B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1，-7）的圆交y轴于M，N两点，则IMNI=（）A．2错误!未找到引用源。