5.4一元一次方程的应用(1)

5.4 一元一次方程的应用（1）【学习目标】1、体验方程是刻画现实世界的有效地数学模型；2、掌握列方程解应用题的一般步骤；3、会利用一元一次方程解决简单的实际问题。

【重点、难点】重点：会利用一元一次方程解决简单的实际问题；难点：分析未知量与已知量之间关系及寻找相等关系列方程。

【学习准备】1、探究：【课本导学】例1 、某文艺团体为“希望工程”募捐义演，全价票为每张18 元，学生享受半价.某场演出共售出966 张票，收入15480 元，问这场演出共售出学生票多少张？（票数×票价=总票价）【分析】1、题中哪些量是已知的？哪些量是未知的？这些量之间有什么关系？它们之间的相等关系有？2、设哪个未知数为x？（你能完成表格吗？）解设学生有人，根据题意，得（方程）解这个方程，得.检验：适合方程，且符合题意.答：学生有人.从上面的例子我们可以看到，运用方程解决实际问题的一般过程是：1、审题：；2、设元：；3、列方程：；4、解方程：；5、检验：.[变式训练1]6位教师和一群学生一起旅游,现在有甲乙两家旅游公司,甲公司的费用是:教师门票按全票价每人7元, 学生只收半价;而乙公司的费用是:教师免费，全体学生8折.问有多少学生时这两家公司的费用一样?例2 相遇问题A，B两地相距60千米，甲、乙两人分别同时从A，B两地骑自行车出发，相向而行.甲每小时比乙多行2千米，经过2小时相遇.问甲、乙两人的速度分别是多少？分析：1、什么叫相向而行、同向而行？2、路程、时间与速度之间有怎样的数量关系？A，B两地间路程是哪几段路程之和？(用图示表示)[变式训练2]A，B两地相距60千米，甲、乙两人分别同时从A，B两地骑自行车出发，同向而行。

甲每小时行驶的路程是乙每小时行驶路程的3倍多2千米，经过2小时甲追上乙。

问甲、乙两人的速度分别是多少？【课堂小结】本节课你掌握了什么？【当堂检测】1、三个连续奇数的和为57，求这三个数．2. 甲、乙两人沿运动场中一条400 米长的环形跑道跑步.甲的速度是乙速度的5/3倍.他们从同一起点、朝同一方向同时出发，5分钟后甲第一次追上乙。

5．4 一元一次方程的应用第1课时和差倍分、行程和日历等问题知识点1.和差倍分1．甲有图书60册，乙有图书36册，若要使甲、乙两人的图书一样多，则甲应给乙图书(B)A．11本B．12本C．13本D．14本【解析】设甲应给乙x本图书，由题意，得60－x＝36＋x，解得x＝12，即甲应给乙图书12本．2．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆．现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，则中型汽车有(C)A．13辆B．14辆C．15辆D．16辆【解析】设该停车场内停放的中型汽车有x辆，则小型汽车有(50－x)辆．列方程，得6x＋4×(50－x)＝230，解得x＝15，则该停车场内停放的中型汽车有15辆．3．连州某旅行社组织甲、乙两个旅游团分别到西安、北京旅游，已知这两个旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人，问：(1)若设乙旅游团的人数为x，请用含x的代数式表示甲旅游团的人数；(2)甲、乙两个旅游团各有多少人？解：(1)甲旅游团有(2x－5)人；(2)由题意，得2x－5＋x＝55，解得x＝20，∴2x－5＝35(人)．答：甲旅游团有35人，乙旅游团有20人．知识点2.行程问题4．两地相距600 km，甲、乙两车分别从两地同时出发相向而行，甲车比乙车每小时多走10 km，4 h后两车相遇，则乙车的速度是(A)A．70 km/h B．75 km/hC．80 km/h D．85 km/h【解析】设乙车的速度为x km/h，则甲车的速度为(x＋10) km/h，根据题意，得4(x＋x＋10)＝600，解得x＝70.5．一列匀速前进的火车，从它进入320 m长的隧道到完全通过隧道共用了18 s，隧道顶部一盏固定的小灯灯光在火车上照了10 s，则这列火车的长为(B)A．190 m B．400 mC．380 m D．240 m【解析】设这列火车的长为x m，根据题意得320＋x18＝x10，解得x＝400，即这列火车长为400 m.6. 为了参加2019年杭州马拉松比赛，爸爸与小明在足球场进行耐力训练，他们在400 m 的环形跑道上同一起点沿同一方向同时出发进行绕圈跑，爸爸跑完一圈时，小明才跑完半圈，4 min时爸爸第一次追上小明，请问：(1)小明与爸爸的速度各是多少？(2)再过多少分钟后，爸爸在第二次追上小明前两人相距50 m?解：(1)设小明的速度为x m/min，则爸爸的速度为2x m/min，根据题意，得4(2x－x)＝400，解得x＝100，则2x＝200.答：小明的速度为100 m/min，爸爸的速度为200 m/min；(2)设再经过y分钟后，爸爸在第二次追上小明前两人相距50 m，①爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多跑了50 m，根据题意，得200y－100y＝50，解得y＝1 2；②爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多跑了350 m，根据题意，得200y－100y＝350，解得y＝72.答：再过12或72分钟后，爸爸在第二次追上小明前两人相距50 m.知识点3.日历问题7．[2018秋·丰台区期末]如图1，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数(如阴影部分所示)，请你运用所学的数学知识来研究，这7个数的和不可能的是(C)图1A．63 B．70C．96 D．105【解析】设“H”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x－8，x－6，x－1，x ＋1，x＋6，x＋8，这7个数之和为x－8＋x－6＋x－1＋x＋1＋x＋x＋6＋x＋8＝7x.由题意得A．7x＝63，解得x＝9，能求得这7个数；B．7x＝70，解得x＝10，能求得这7个数；C．7x＝96，解得x＝967，不能求得这7个数；D．7x＝105，解得x＝15，能求得这7个数．【易错点】行程问题中忽视两种情形需要分类讨论．8．A，B两地相距900 km，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度为110 km/h，乙车的速度为90 km/h，则当两车相距100 km时，甲车行驶的时间是(D)A．4 h B．4.5 hC．5 h D．4 h或5 h【解析】设当两车相距100 km时，甲车行驶的时间为x h，根据题意，得900－(110＋90)x＝100或(110＋90)x－900＝100，解得x＝4或x＝5.第2课时图形的面积、体积变形等问题知识点1.图形的面积1．用两根长12 cm的铁丝分别围成正方形和长与宽之比为2∶1的长方形，则长方形和正方形的面积依次为(B)A．9 cm2和8 cm2B．8 cm2和9 cm2C．32 cm2和36 cm2D．36 cm2和32 cm2【解析】∵用长12 cm的铁丝围成正方形，∴正方形的边长为3 cm，故正方形面积为9 cm2，∵用长12 cm的铁丝围成长与宽之比为2∶1的长方形，∴设宽为x cm，则长为2x cm，故2(2x＋x)＝12，解得x＝2，则长为4 cm，宽为2 cm，故长方形面积为8 cm2.2．两个正方形，大正方形的边长比小正方形的边长长3 cm，大正方形的周长是小正方形周长的2倍，则这两个正方形的面积分别是(C)A．4 cm2和1 cm2B．16 cm2和1 cm2C．36 cm2和9 cm2D．8 cm2和1 cm2【解析】设小正方形的边长为x cm，则大正方形的边长为(x＋3)cm，由题意，得2×4x ＝4(x ＋3)，解得x ＝3，即小正方形的边长为3 cm ，大正方形的边长为6 cm ，故小正方形的面积为9 cm 2，大正方形的面积为36 cm 2.3．如图1所示，宽80 cm 的长方形图形由8个完全相同的小长方形组成，求每一个小长方形的长和宽．图1解：设小长方形的宽为x cm ，则长为(80－x )cm ，依题意，有2(80－x )＝3x ＋80－x ，解得x ＝20，∴长为60 cm.答：小长方形的长为60 cm ，宽为20 cm.知识点2.等积变形4．圆柱A 的底面直径为40 mm ，圆柱B 的底面直径为30 mm ，高为60 mm ，已知圆柱B 的体积是圆柱A 的体积的3倍，则圆柱A 的高为( B )A ．45 mmB.454 mm C ．90 mm D ．20 mm【解析】 设圆柱A 的高为x mm ，由题意，得π×⎝ ⎛⎭⎪⎫4022·x ×3＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫3022×60，解得x ＝454.5．把直径6 cm ，长16 cm 的圆钢锻造成半径为4 cm 的圆钢，锻造后的圆钢的长为__9__cm.【解析】 设锻造后的圆钢的长为x cm ，则V ＝πr 2h ＝π×(6÷2)2×16＝π×42·x ，解得x ＝9.故锻造后的圆钢的长为9 cm.6．把一个长、宽、高分别为9 cm ，6 cm ，4 cm 的长方体铁块和一个棱长为6 cm 的正方体铁块熔化，炼成一个底面直径为25 cm 的圆柱体．原长方体铁块的体积是__216__cm 3，原正方体铁块的体积是__216__cm 3，设要熔炼的圆柱体的高为x cm ，则圆柱体的体积是__432__cm 3，因此可列方程为__π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2522x ＝432__． 【解析】 根据题意，得原长方体铁块的体积是9×6×4＝216 cm 3；原正方体铁块的体积是63＝216 cm 3；则圆柱体的体积是216＋216＝432 cm 3；可列方程为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2522x ＝432. 7．如图2所示，一个长方体容器里装满了果汁，长方体的长为12 cm ，宽为8 cm ，高为24 cm ，用果汁将旁边的圆柱体玻璃杯倒满．已知杯子的内径为6 cm ，高为18 cm ，这时长方体容器内的果汁高度是多少？(π取3.14，结果精确到0.01 cm)图2解：圆柱的体积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫622×18＝162π≈508.68 cm 3， 设长方体内果汁的高度为x ，则12×8×x ＝12×8×24－508.68，解得x ≈18.70.答：这时长方体容器内的果汁高度是18.70 cm.8．在一个底面直径为5 cm ，高为18 cm 的圆柱形杯内装满水，将杯内的水倒入一个底面直径为6 cm ，高为13 cm 的圆柱形瓶内，问能否完全装下？若装不下，那么杯内的水还有多高？若未能装满，瓶内的水面离瓶口的距离是多少？解：底面直径5 cm 、高18 cm 的圆柱形瓶内体积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522×18＝450π4， 底面直径6 cm 、高13 cm 的圆柱形玻璃体积为π×(6÷2)2×13＝117π，∵117π＞450π4，∴未能装满．设瓶内的水面离瓶口的距离是x cm ，则π×(6÷2)2×x ＝117π－450π4，解得x ＝0.5.答：未能装满，瓶内的水面离瓶口的距离是0.5 cm.【易错点】面对复杂情况列方程时读不懂题意，找不出相互关系及等量关系．9．在环行自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们的速度分别是甲每分钟23圈，乙每分钟34圈，丙每分钟12圈，他们同时出发，起点如图3所示(甲从A 点出发，沿圆周逆时针运动；乙从B 点出发，沿圆周逆时针运动；丙从C 点出发，沿圆周顺时针运动)，则出发后__5__min 三人第一次相遇．图3【解析】设出发后x min后三人第一次相遇，由甲和乙相遇得：23x＋14＋16＝34x，解得x＝5，此时，甲逆时针行驶了23×5＝103圈，当出发5 min后，丙顺时针行驶了12×5＝52圈，13＋12＝56，此时，甲、乙、丙恰好第一次相遇．第3课时劳动力调配、工程、销售等问题1．知识点1.劳动力调配某服装厂有工人54人，每人每天可加工上衣8件，或裤子10条，应怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？设x人做上衣，则做裤子的人数为__(54－x)__人，根据题意，可列方程为__8x＝10(54－x)__，解得x＝__30__．2．有一个专项加工茶杯的车间，一个工人每小时平均可以加工杯身12个，或者加工杯盖15个，车间共有90人．安排加工杯身的人数为多少时，才能使生产的杯身和杯盖正好配套？直接设元法：设安排加工杯身的人数为x，则加工杯盖的为__(90－x)__人，每小时加工杯身__12x__个，杯盖__15(90－x)__个，则可列方程为__12x＝15(90－x)__，解得x＝__50__．间接设元法：设共加工杯身x个，共加工杯盖x个，则加工杯身的工人为__x12__人，加工杯盖的工人为__x15__人，则可列方程为__x12＋x15＝90__．解得x＝__600__．故加工杯身的工人为__50__人．3．一个车间加工轴杆和轴承，每人每天平均可以加工轴杆12根或者轴承16个，1根轴杆与2个轴承为一套，该车间共有90人，应该怎样调配人力，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套？解：设x个人加工轴杆，则(90－x)个人加工轴承，根据题意，得12x×2＝16(90－x)，去括号，得24x ＝1 440－16x ，移项合并，得40x ＝1 440，解得x ＝36.则调配36个人加工轴杆，54个人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套． 知识点2.工程问题4．某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做一天，然后甲、乙共同完成此项工作，设甲一共做了x 天，所列方程为( C )A.x ＋14＋x 6＝1B.x 4＋x ＋16＝1C.x 4＋x －16＝1D.x 4＋14＋x ＋16＝15．一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要30天，如果先由甲队单独做5天，则剩下部分由甲、乙两队合作完成还需要的天数是( A )A ．9B ．10C ．12D ．15【解析】 设甲、乙两队合作完成还需要的天数是x ，根据题意可得120×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋130x ＝1，解得x ＝9. 6．学校图书管理员整理一批图书，由一个人做要80 h 完成，现在计划由一部分人先做8 h ，再增加2人和他们一起做16 h 完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，则应该先安排多少人工作8 h?解：设应先安排x 人工作，根据题意得8x 80＋16（x ＋2）80＝1，解得x ＝2. 答：应先安排2人工作．知识点3.商品销售7．小陈妈妈做儿童服装生意，在“六一”这一天上午的销售中，某规格童装以每件60元的价格卖出，盈利20%，求这种规格童装每件的进价．解：设这种规格童装每件的进价为x元，根据题意，得(1＋20%)x＝60，解得x＝50.答：这种规格童装每件的进价为50元．【易错点】解决销售问题需要弄清利润、利润率、打折、进价、售价等之间的关系．8．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微商平台上一件物品标价为300元，实际进价为200元，若想获利20%，则这件商品的折扣应为(B)A．七折B．八折C．九折D．八五折【解析】商品利润率为20%，则利润应是200×20%＝40元，则售价是200＋40＝240(元)．设该商品销售应按x折销售，则300x＝240，解得x＝0.8，即八折．故选B.第4课时银行利息问题知识点1.银行利息1．小明将前年春节所得的压岁钱买了一个某银行的两年期的理财产品，该理财产品的年回报率为4.5%，银行告知小明今年春节他将得到利息288元，则小明前年春节的压岁钱为(B)A．6 400元B．3 200元C．2 560元D．1 600元【解析】设本金是x元，由题意，得4.5%x×2＝288，解得x＝3 200，即小明前年春节的压岁钱为3 200元．2．某人存入5 000元参加三年期储蓄(免征利息税)，到期后本息和共得5 417元，那么这种储蓄的年利率为(C)A．2.58% B．2.68%C．2.78% D．2.88%【解析】设这种储蓄的年利率为x，由题意，得5 000＋5 000×3x＝5 417，解得x＝2.78%.3．小明的爸爸买了利率为3.96%的3年期债券，到期后可获得本息共1 678.2元，则小明的爸爸买债券花了(A)A．1 500元B．1 600元C．1 700元D．1 800元4．国家规定存款利息的纳税办法：利息税＝利息×20%.银行一年定期储蓄的年利率为2.25%，今年小刚取出一年到期的本金及利息时，交了18元的利息税，则小刚一年前存入银行的钱为(C)A．2 400元B．1 800元C．4 000元D．4 400元【解析】设小刚一年前存入银行的钱为x元，根据题意，得2.25%×20%x＝18，解得x＝4 000.故小刚一年前存入银行的钱为4 000元．5．某人以两种形式共储蓄了800元，一种储蓄的年利率为10%，另一种储蓄的年利率为11%，一年到期去提取，他共得到利息85元5角，问两种储蓄他各存了多少钱？解：设他第一种存了x元，则第二种存了(800－x)元，则有10%x＋11%(800－x)＝85.5，解得x＝250，800－x＝550(元)，答：第一种存了250元，第二种存了550元．6．小刚的妈妈有一笔一年期的定期储蓄，年利率为2.25%，利息税率为20%，到期纳税后的利息为180元，小刚的妈妈存入的本金是多少元？解：设小刚的妈妈存入的本金是x元，由题意，得2.25%x(1－20%)＝180，解得x＝10 000.答：小刚的妈妈存入的本金是10 000元．知识点2.其他问题7．[2017·道里区校级模拟]七年级(2)班有46人报名参加文学社或书画社．已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多10人，两社都参加的有20人，则参加书画社的有__28__人．【解析】设参加书画社的有x人，根据题意，得(46＋20－x)－x＝10，解得x＝28.8．七年级二班有45人，已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的有20人，两个社都不参加的有10人，问只参加书画社的有多少人？解：设参加书画社的有x人，根据题意，得(45＋20－10－x)－x＝5，解得x＝25，25－20＝5.答：只参加书画社的有5人．【易错点】没有弄清“本金、利率、存期、利息、利息税、本息和”之间的关系导致的错误．9．小彬将一笔压岁钱按一年定期储蓄存入“少儿银行”，年利率为10%，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到上次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金和利息共63元．你能算出小彬的这笔压岁钱是多少吗？(“少儿银行”不缴纳利息税)解：设这笔压岁钱为x元，依据题意得出[x(1＋10%)－50]×(1＋5%)＝63，解得x＝100.答：小彬的这笔压岁钱是100元．。

5.4 一元一次方程的应用（1）第一部分1、根据数量关系列方程：(1)一个两位数的两个数字之和是7,且个位数字比十位数字少1.设十位数字为x .(2)甲乙两人在跑道上赛跑,甲每秒跑7米,乙每秒跑5.5米.甲让乙先跑6米,设甲出发x 秒钟后可以追上乙.(3)三个连续自然数的和为15,若设中间的一个自然数为x .2、足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，其中黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，黑、白皮块的数目比为3:5，要求出黑皮、白皮的块数，若设黑皮的块数为x ，则列出的方程正确的是……………………………………( )A .332x x =-B .()3532x x =-C .()5332x x =-D .632x x =-3、儿子今年12岁，父亲今年39岁，多少年后父亲的年龄是儿子的年龄的4倍.4、 据报道：近年来全国人才市场供求最大幅度增加，总体形势不断趋好.某年第一季度登记用人和登记求职的总人数是888万人，其中登记求职的人数比登记用人的人数多396万.问登记求职的人数是多少？5、甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．若甲比乙每小时多骑2.5千米，求乙的时速是多少?6、某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船4小时,已知船在静水中的速度为每小时7.5千米,水流速度为每小时2.5千米.若A , C 两地的距离为10千米,求A , B 两地的距离.第二部分1. 已知甲、乙两数之和为5，甲数比乙数大2，求甲、乙两数.设乙数为x ，可列出方程是………………………………………………………………………………………( )A . x +2+x =5B . x －2+x =5C . 5+x =x －2D . x (x +2)=52.如图是2009年5月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是……………………( )A ．27B ．36C ．40D ．54 3. 为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）．已知加密规则为：明文a b c ，，对应的密文12439a b c +++，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为……………………( )Ａ．4，5，6 Ｂ．6，7，2 Ｃ．2，6，7 Ｄ．7，2，64. 有一旅客携带了30公斤行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津，按民航规定，旅客最可带20公斤行李，超重部分每公斤按飞机票价格的1.5％购买行李票，现该旅客购买了120元的行李票，则他的飞机票价格就是……………………………………………………()A ．1000元B ．800元C ．600元D ．400元5.右图是2009年6月份的日历.象图中那样，用一个圈竖着圈住3个数.如果被圈住的三个数的和为42, 那么这三个数中最大的一个数为 .6. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，设十位上的数为x ，则这个两位数可表示为 .7.如图是华联超市中某种洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请帮忙算一算，该洗发水的原价是 元．8. 学校买了大小椅子20张，共花去275元，已知大椅子每张15元，小椅子每张10元，若设大椅子买了x 张，则小椅子买了_____张，列出方程___________________.9. 电气机车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列车的速度比电气机车速度的5倍还多20千米/小时，半小时后两车相遇．两车的速度各是多少？ 解：设电气机车速度为x 千米/小时, 则磁悬浮列车的速度为(5x +20)千米/小时, 得10. 目前，包括长江、黄河等七大流域在内，全国水上流失面积达到367万平方千米，其中长江与黄河流域的水上流失总面积占全国的32.4％，而长江流域的水上流失问题更为严重，它的水土流失面积比黄河流域的水土流失面积还要多29万平方千米.问长江流域的水上流失面积是多少？（结果保留整数）第7题图参考答案第一部分1、根据数量关系列方程：(1)一个两位数的两个数字之和是7,且个位数字比十位数字少1.设十位数字为x .(2)甲乙两人在跑道上赛跑,甲每秒跑7米,乙每秒跑5.5米.甲让乙先跑6米,设甲出发x 秒钟后可以追上乙.(3)三个连续自然数的和为15,若设中间的一个自然数为x .解：(1) x +(x －1)=7；(2) (7－5.5)x =6×5.5；(3) x －1+x+x +1=15.2、足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，其中黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，黑、白皮块的数目比为3:5，要求出黑皮、白皮的块数，若设黑皮的块数为x ，则列出的方程正确的是………………………………………………………………………( )A .332x x =-B .()3532x x =-C .()5332x x =-D .632x x =-答案：C3、儿子今年12岁，父亲今年39岁，多少年后父亲的年龄是儿子的年龄的4倍.解：设x 年后父亲的年龄是儿子的年龄的4倍, 则4(12+x )=39+x , 解得x =－3.答：3年前父亲的年龄是儿子的年龄的4倍.4、 据报道：近年来全国人才市场供求最大幅度增加，总体形势不断趋好.2003年第一季度登记用人和登记求职的总人数是888万人，其中登记求职的人数比登记用人的人数多396万.问登记求职的人数是多少？解：设登记求职的人数有x 人, 则x =(888－x )+396, 解得x =642.答：登记求职的人数有642人.5、甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．若甲比乙每小时多骑2.5千米，求乙的时速是多少?解：设乙的时速为x 千米/时, 则2(x +2.5+x )=65, 解得x =15答：乙的时速为15千米/时.6、某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船4小时,已知船在静水中的速度为每小时7.5千米,水流速度为每小时2.5千米.若A , C 两地的距离为10千米,求A , B两地的距离.解：设A , B 两地的距离为x 千米, 则1047.5 2.57.5 2.5x +=+-, 解得x =20 答：A , B 两地的距离为20千米.第二部分1. 已知甲、乙两数之和为5，甲数比乙数大2，求甲、乙两数.设乙数为x ，可列出方程是………………………………………………………………………………………( )A . x +2+x =5B . x －2+x =5C . 5+x =x －2D . x (x +2)=5答案：A2.如图是2009年5月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是……………………( )A ．27B ．36C ．40D ．54 答案：C 3. 为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a b c ，，对应的密文12439a b c +++，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为……………………………………………………………………( )Ａ．4，5，6Ｂ．6，7，2 Ｃ．2，6，7 Ｄ．7，2，6答案：B 4. 有一旅客携带了30公斤行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津，按民航规定，旅客最可带20公斤行李，超重部分每公斤按飞机票价格的1.5％购买行李票，现该旅客购买了120元的行李票，则他的飞机票价格就是……………………………………………………( )A ．1000元B ．800元C ．600元D ．400元答案：B5.右图是2009年6月份的日历.象图中那样，用一个圈竖着圈住3个数.如果被圈住的三个数的和为42, 那么这三个数中最大的一个数为 .答案：216. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，设十位上的数为第7题图x，则这个两位数可表示为.答案：11x+27.如图是华联超市中某种洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请帮忙算一算，该洗发水的原价是元．答案：208. 学校买了大小椅子20张，共花去275元，已知大椅子每张15元，小椅子每张10元，若设大椅子买了x张，则小椅子买了_____张，列出方程___________________.答案：20－x15x+10(20－x)=2759. 电气机车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列车的速度比电气机车速度的5倍还多20千米/小时，半小时后两车相遇．两车的速度各是多少？解：设电气机车速度为x千米/小时, 则磁悬浮列车的速度为(5x+20)千米/小时, 得0.5(x+5x+20)=298, 解得x=96千米/小时.答：设电气机车速度为96千米/小时,磁悬浮列车的速度为202千米/小时.10. 目前，包括长江、黄河等七大流域在内，全国水上流失面积达到367万平方千米，其中长江与黄河流域的水上流失总面积占全国的32.4％，而长江流域的水上流失问题更为严重，它的水土流失面积比黄河流域的水土流失面积还要多29万平方千米.问长江流域的水上流失面积是多少？（结果保留整数）解：设长江流域的水上流失面积是x万平方千米, 则x+x－29=367×32.4%, 解得x=74万平方千米.答：长江流域的水上流失面积是74万平方千米.。

5.4 一元一次方程的应用(1)1．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7 m ，乙每秒跑6.5 m ，甲让乙先跑5 m ，设x (s)后甲可以追上乙，则下面列出的方程不正确的是(B )A ．7x ＝6.5x ＋5B ．7x －5＝6.5C ．7x －6.5x ＝5D ．6.5x ＝7x －52．一架在无风情况下航速为1200 km/h 的飞机逆风飞行一条长为x (km)的航线用了3 h ，顺风飞行这条航线用了2 h ，依题意可列方程1200－x 3＝x 2－1200，这个方程表示的意义是(B ) A ．飞机往返一次的总时间不变B ．顺风和逆风的风速相等C ．顺风和逆风时，飞机的实际航速不变D ．顺风和逆风时，飞机的航线长不变3．A ，B 两地相距20 km ，甲、乙两人分别从A ，B 两地出发相向而行，甲的速度是10 km/h ，乙的速度是8 km/h ，甲比乙先行15 min.如果设乙出发x (h)后两人相遇，那么所列方程正确的是(C )A ．10x ＋15×10＋8x ＝20B ．10x －1560×10＋8x ＝20 C.1560×10＋10x ＝20－8x D ．8x ＋15×8＝20－10x4．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，把这个两位数加上45，结果恰好等于个位与十位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是__16__．5．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5 km/h 的速度行进，走了18 min 的时候，学校要将一个紧急通知传给队长．通讯员从学校出发，骑自行车以14 km/h 的速度按原路追赶，通讯员用多少时间可以追上学生队伍？【解】 设通讯员用x (h)追上队伍，根据题意，得1860×5＋5x ＝14x ， 解得x ＝16. 16×60＝10(min)． 答：通讯员用10 min 可以追上学生队伍．6．如图，小张与小亮站在全长为400 m 的环行跑道上，两人之间的距离是50 m ．现在两人同时起跑，已知小张的速度为6 m/s ，小亮的速度为5 m/s ，若两人均沿逆时针方向跑，经过多少时间小张第一次追上小亮？(第6题)【解】 设经过x (s)小张第一次追上小亮，根据题意，得6x ＝5x ＋50，解得x ＝50.答：经过50 s 小张第一次追上小亮．7．一艘轮船从甲地顺流而下8 h 到达乙地，原路返回需12 h 才能到达甲地，已知水流的速度是3 km/h ，求该船在静水中的平均速度．【解】 设船在静水中的平均速度为x (km/h)，根据题意，得8(x ＋3)＝12(x －3)，8x ＋24＝12x －36，4x ＝60，x ＝15.答：船在静水中的平均速度为15 km/h.8．姐妹俩同时从家里出发到少年宫，路程全长770 m ，妹妹步行的速度为60 m/min ，姐姐骑自行车以160 m/min 的速度到达少年宫后立即返回．请回答下列问题：(1)姐姐与妹妹相遇时，妹妹走了几分钟？(2)姐姐何时与妹妹相距100 m?【解】 (1)设姐姐与妹妹相遇时，妹妹走了x (min)，根据题意，得60x ＋160x ＝2×770，解得x ＝7.答：妹妹走了7 min.(2)设出发后y (min)时，姐姐与妹妹相距100 m.第一种情况：160y －60y ＝100，解得y ＝1.第二种情况：160y ＋60y ＝2×770－100，解得y ＝7211. 第三种情况：160y ＋60y ＝2×770＋100，解得y ＝8211. 答：姐姐在出发后1 min ，7211 min ，8211min 时与妹妹相距100 m.9．先列方程解应用题，再根据所列方程，编一道有关行程问题的应用题(不要求解答)． 甲、乙两人加工284个零件，甲每小时做48个，乙每小时做70个．甲先做1 h 后，乙再与甲合作，问：乙做了几小时后完成任务？【解】 设乙做了x (h)后完成任务，根据题意，得48×(x ＋1)＋70x ＝284，解得x ＝2.检验：x ＝2适合方程，且符合题意．答：乙做了2 h 后完成任务．改编行程问题如下(答案不唯一)：甲、乙两站间的路程为284 km ，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行驶48 km.慢车走了1 h 后，另有一列快车从乙站开往甲站，每小时行驶70 km ，问：快车开了几小时与慢车相遇？10．A ，B 两地相距30 km ，甲、乙两人分别从A ，B 两地同向而行．甲每小时行20 km ，乙每小时行15 km.(1)两人同时出发，几小时后甲追上乙？(2)如果乙先出发20 min ，那么甲出发几小时后两人相距20 km?【解】 (1)设x (h)后甲追上乙，根据题意，得20x ＝15x ＋30，解得x ＝6.答：6 h 后甲追上乙．(2)分两种情况．第一种：甲在乙后面．设甲出发y (h)后两人相距20 km ，根据题意，得20y ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13＋30－20， 解得y ＝3.第二种：甲在乙前面．设甲出发z (h)后两人相距20 km ，根据题意，得20z ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋13＋30＋20， 解得z ＝11.答：如果乙先出发20 min ，那么甲出发3 h 或11 h 后两人相距20 km.11．甲、乙两人分别从A ，B 两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线匀速相向行驶．出发后经3 h 两人相遇．已知在相遇时乙比甲多走了90 km ，相遇后乙继续前行，经1 h 到达A 地，问：甲，乙两人行驶的速度分别是多少？【解】 方法一：设乙行驶的速度为x (km/h)，则甲行驶的速度为x 3(km/h)，相遇时乙行驶的路程为3x (km)，甲行驶的路程为x (km)．根据题意，得3x ＝x ＋90，解得x ＝45.检验：x ＝45适合方程，且符合题意．则甲行驶的速度为453＝15(km/h)． 方法二：设甲行驶的速度为y (km/h)，则相遇时甲行驶的路程为3y (km)，乙行驶的路程为(3y ＋90) km ，乙行驶的速度为3y ＋903(km/h)．根据题意，得 3y ＋903＝3y ， 解得y ＝15.检验：y ＝15适合方程，且符合题意．则乙行驶的速度为3×15＝45(km/h)．答：甲行驶的速度为15 km/h ，乙行驶的速度为45 km/h.12．梅林中学租用两辆小汽车(设速度相同)同时送1名带队老师及7名七年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人(不包括司机)．其中一辆小汽车在距离考场15 km 的地方出现故障，此时离截止进考场的时间还有42 min ，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60 km/h ，人步行的速度是5 km/h(上、下车时间忽略不计)．(1)若小汽车先送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场．(2)假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．【解】 (1)15×360＝0.75(h)，0.75 h ＝45 min>42 min ， ∴不能在截止进入考场的时刻前到达考场．(2)方案不唯一，时间最少的方案：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出故障处x (km)的A 处，然后这4人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面的4人同时到达考场．由A 处步行前往考场需15－x 5(h)，汽车从出故障处到A 处需x 60(h)， 先步行的4人走了⎝ ⎛⎭⎪⎫5×x 60km ，设汽车返回t (h)后与先步行的4人相遇，则有60t ＋5t ＝x －5×x 60，解得t ＝11x 780. ∴相遇点与考场的距离为15－x ＋60×11x 780＝⎝⎛⎭⎪⎫15－2x 13km. ∴由相遇点坐车到考场需⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 390h. ∴先步行的4人到考场的总时间为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 60＋11x 780＋14－x 390h ， 先坐车的4人到考场的总时间为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 60＋15－x 5h ，他们同时到达，则有x 60＋11x 780＋14－x 390＝x 60＋15－x 5，解得x ＝13. 将x ＝13代入，可得他们赶到考场所需的时间为⎝⎛⎭⎪⎫1360＋25×60＝37(min)． ∵37<42， ∴他们能在截止进考场的时刻前到达考场．初中数学试卷。

5.4 一元一次方程的应用(1)班级：___________ 姓名：_____________【学习目标】1、体验方程是刻画现实世界的有效的数学模型2、掌握列方程角应用题的一般步骤3、会利用一元一次方程解决简单的实际问题【自学指导】1、回顾一元一次方程的解法2、回顾小学所学几项实际应用问题(如工程问题、行程问题等)【知识管理】1、运用方程解决实际问题的一般步骤是①__________：分析题意，找出题中的数量及其关系②__________：选择一个适当的末知数用字母表示(例如：x,y,z等)③__________：根据相等关系列出方程④__________：求出末知数的值⑤__________：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出________【典题分析】和、差、倍、分问题例1、两个村共有834人，甲村的人数比乙村的人数的一半还少111人，两村各有多少人？【习题】两组工人，按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额20％、第二组超额15％完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件。

问本月原计划每组各生产多少个零件？例2、图纸上某零件的长度为32cm ，它的实际长度是4cm ，那么量得该图纸上另一个零件长度为12cm ，求这个零件的实际长度。

【习题】三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？数字问题例3、一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数【习题】将连续的奇数1，3，5，7，9…，排成如下的数表：（1）十字框中的五个数的平均数与15有什么关系？（2）若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由.353121111例4、某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。

5.4一元一次方程的应用教学设计（一）相遇问题应用创新点：利用动画效果，形象逼真的展示了行走过程，激发学生的学习兴趣，也便于学生快速的找出等量关系。

教材分析：本节内容是在前面学习了解一元一次方程的基础上，讲述一元一次方程的应用。

为学生初中阶段学习必备的代数、几何的基础知识与基本技能、解决实际问题起到了启蒙作用，在提高学生的能力，培养他们对数学的兴趣，同时对以后的教学内容起到了奠基作用。

学情分析：学生初学到利用方程解应用题是，往往弄不清解题步骤，不设未知数就直接进行列方程或在设未知数时，不写单位，主要存在以下问题（1）抓不准等量关系。

（2）找出相等关系后，不会列方程，作为教师应鼓励学生开拓思路。

教学目标：知识与技能：借助“线段图”分析相遇问题中的数量关系，从而建立方程，解决问题。

过程与方法：使学生进一步领会采用代数方法解应用题的优越性。

情感态度与价值观：培养学生实事求是的态度及与他人合作交流的能力，逐步树立克服困难的信心，意志力，培养学生学习数学的热情和良好的人格品质。

教学环境与准备：电子录播室教学过程：一、知识链接：1、一辆轿车以90km/h的速度从甲地出发，2h走了（）km，t小时走了（）km。

2、在上述问题中有哪几个量？3、这几个量之间的关系是什么？设计意图：通过问题的引入，激发学生的学习兴趣和探究的欲望二、新课讲解：1、甲乙两家相距90千米，甲从家骑自行车去乙家，乙从家骑自行车去接甲，甲的速度为12千米/小时，乙的速度为18千米/小时，两人同时出发，问出发多长时间两人相遇？设计意图：同时不同地出发，引导学生，找出三个量之间的关系，再从图上找出等量关系。

三、变式训练：1、甲和乙两家相距90千米，甲从家骑自行车去乙家，乙从家骑自行车去接甲，甲的速度为12千米/小时，乙的速度为18千米/小时，如果甲先走30分钟，乙再出发，问：乙出发多长时间两人相遇？设计意图：不同时不同地出发，引导学生，已知条件变化，但等量关系不变。