2016年福建省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(解析版)

2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C （7）B （8）C （9）D （10）D （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． （13）0.3 （14）3- （15）5- （16）263三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）因为BCD S △即1sin 2BC BD B ⋅⋅= ······················ 2分 又因为3B π=,1BD =，所以4BC = ． ················································· 3分 在△BDC 中,由余弦定理得，2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅, ··········· 5分 即21161241132CD =+-⨯⨯⨯=，解得CD =． ······························ 6分 （Ⅱ）在△ACD 中，DA DC =，可设A DCA θ∠=∠=，则ADC θ=π-2∠，又AC =sin 2sin AC CDθθ=， ······································ 7分所以2cos CD θ=． ·········································································· 8分在△BDC 中, 22,23BDC BCD θθπ∠=∠=-， 由正弦定理得，sin sin CD BDB BCD =∠，即12cos 2sin sin(2)33θθ=ππ-， ··········· 10分化简得2cos sin(2)3θθπ=-， 于是2sin()sin(2)23θθππ-=-． ························································ 11分 因为02θπ<<，所以220,222333θθπππππ<-<-<-<， 所以2223θθππ-=-或2+2=23θθππ--π,解得==618θθππ或，故=618DCA DCA ππ∠∠=或． ······························ 12分解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）因为DA DC =， 所以A DCA ∠=∠． 取AC 中点E ，连结DE ，所以DE AC ⊥． ··············································································· 7分 设DCA A θ∠=∠=，因为AC =2EA EC ==． 在Rt △CDE中，cos CE CD DCA ==∠ ····································· 8分以下同解法一．（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）连结1AB ，在1ABB △中，111,2,60AB BB ABB ==∠=，由余弦定理得，22211112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-⋅⋅∠=，∴1AB =，…………………………………………1分∴22211BB AB AB =+，∴1AB AB ⊥．………………………………………2分 又∵ABC △为等腰直角三角形，且AB AC =， ∴AC AB ⊥， 又∵1ACAB A =，∴AB ⊥平面1AB C ． ········································································· 4分 又∵1B C ⊂平面1AB C ，∴AB ⊥1B C ．·················································································· 5分（Ⅱ）∵111,2AB AB AC BC ====，1B∴22211B C AB AC =+，∴1AB AC ⊥． ················································ 6分如图，以A 为原点，以1,,AB AC AB 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， ······································································································ 7分 则()(()()1000,0,100010A B B C ，，0，，，，，，∴()()11,0,3,1,1,0BB BC =-=-． ···················································· 8分 设平面1BCB 的法向量(),,x y z =n ，由10,0,BB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0,x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令1z =，得x y ==∴平面1BCB 的一个法向量为)=n ． ……………………9分∵()((1110,1,0AC AC CC AC BB =+=+=+-=-，……………………………………………………………………………10分∴111cos ,35||||AC AC AC ⋅<>===n n n ，….……………11分 ∴1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值为35． ······································ 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）过点A 作AH ⊥平面1BCB ，垂足为H ，连结1HC ，则1AC H ∠为1AC 与平面1BCB 所成的角． ·············································· 6分 由（Ⅰ） 知，1AB AB ⊥，1AB =1AB AC ==，12B C =，∴22211AB AC B C +=，∴1AB AC ⊥，又∵ABAC A =，∴1AB ⊥平面ABC ， ············································ 7分 ∴1111113326B ABC ABC V S AB AB AC AB -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△． ······················· 8分 取BC 中点P ，连结1PB ，∵112BB B C==，∴1PB BC ⊥．又在Rt ABC △中，1AB AC ==，∴BC=2BP =， ∴12PB ===， ∴1112B BC S BC B P =⨯=△． ···························································· 9分11∵11A BCB B ABC V V --=，∴1136BCB S AH ⋅=△，即13AH =7AH =． ············ 10分 ∵1AB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1AB BC ⊥， 三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，112B C BC ==， ∴111AB B C ⊥，∴1AC == ···································· 11分 在1Rt AHC △中，11sin AH AC H AC ∠===所以1AC 与平面1BCB所成的角的正弦值为35． ································ 12分 （19）本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ） 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M ，则220210019()495C P M C ==． ····································································· 4分（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a ，则 当38a =时，384152X =⨯=； 当39a =时，394156X =⨯=； 当40a =时，404160X =⨯=； 当41a =时，40416166X =⨯+⨯=； 当42a =时，40426172X =⨯+⨯=．所以X 的所有可能取值为152,156,160,166,172． ······································· 6分 故X 的分布列为：······································································································ 8分11121()1521561601661721621055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以． ······ 9分 （ⅱ）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.4400.2410.1420.139.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ············· 10分所以甲公司送餐员日平均工资为70239.5149+⨯=元． ·························· 11分 由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．因为149162<，故推荐小明去乙公司应聘． ········································· 12分（20）本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：(Ⅰ)将2p x =代入22y px =，得y p =±，所以2ST p =， ··················· 1分 又因为90SPT ∠=，所以△SPT 是等腰直角三角形， 所以SF PF =，即32p p =-， 解得2p =，所以抛物线2:4E y x=，…………………………………………3分此时圆P =所以圆P 的方程为()2238x y -+=． ···························································· 4分(Ⅱ)设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ，依题意()220038x y -+=，即2200061y x x =-+-． ··········································· 5分（ⅰ）当直线l 斜率不存在时，()3M ±， ①当3x=+24y x =，得()2y =±．不妨设()()32,32A B ++-， 则1,1,1,AF BF AF BF k k k k ==-=-即AF BF ⊥．②当3x =-AF BF ⊥．………………….6分 （ⅱ）当直线l 斜率存在时，因为直线l 与抛物线E 交于,A B 两点，所以直线l 斜率不为零，01x ≠且00y ≠． 因为l MF ⊥，所以1l MF k k =-，所以001l x k y -=，…………………………………………………..7分直线()00001:x l y x x y y -=-+．由()200004,1y x x y x x y y ⎧=⎪-⎨=-+⎪⎩得，2220000004444011y x y x y y x x +--+=-- ， ················ 8分 即200004204011y x y y x x --+=--，所以001212004204,11y x y y y y x x -+==--， ············· 9分 所以()()121211FA FB x x y y ⋅=--+=2212121144y y y y ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭······················· 10分 ()()()222221212121212123111641642y y y y y y y y y y y y ++=-++=-++()()()22000220005143061111x y x x x x --=-++---()()()()()2220000020514165111x y x x x x --+-+--=- ()2200020244441x x y x ---=-()()220002046101x y x x -+-+==-，所以AF BF ⊥． ··················································································· 12分 解法二：(Ⅰ)同解法一．(Ⅱ)设()00,M x y ，依题意()220038x y -+=，即2200061y x x =-+-， （*） ······ 5分设()22121212,,,44y y A y B y y y ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()222100211,,,4y y FM x y AB y y ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，2212010020,,,44y y MA x y y MB x y y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ········································ 6分 由于FM AB ⊥，//MA MB ，所以()()()()22210021221202001010,40.44y y x y y y y y x y y x y y ⎧--+-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪-----= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ ································ 7分 注意到12y y ≠，()()()()()1200120120140,140.2y y x y y y y y y x +-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩ ························ 8分 由（1）知，若01x =，则00y =，此时不满足（*），故010x -≠，从而（1），（2）可化为001212004204,11y x y y y y x x -+==--． ························· 9分 以下同解法一.（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为()()111f x a x x '=->-+，()e 1x g x '=-， ···························· 2分 依题意，()()00f g ''=，解得1a =， ························································ 3分 所以()111f x x '=-+1xx =+，当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>． 故()f x 的单调递减区间为()1,0-， 单调递增区间为()0,+∞． ···················· 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥． 设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+- 则()()()e 11111x k kF x k x k x x '=+-+++-+++≥， ····································· 6分 （ⅰ）当1k =时，因为0x ≥，所以()11201F x x x '++-+≥≥（当且仅当0x =时等号成立）， 此时()F x 在[)0,+∞上单调递增，从而()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ······ 7分 （ⅱ）当1k <时，由于()0f x ≥，所以()()f x kf x ≥． ································ 8分 由（ⅰ）知()()0g x f x -≥，所以()()()g x f x kf x ≥≥，故()0F x ≥，即()()g x kf x ≥． ······································································································ 9分（ⅲ）当1k >时， 令()()e 11x kh x k x =+-++，则()()2e 1x k h x x '=-+，显然()h x '在[)0,+∞上单调递增，又())1010,110h k h ''=-<=->，所以()h x '在()1-上存在唯一零点0x ， ··········································· 10分 当()00,x x ∈时，()0,h x '<所以()h x 在[)00,x 上单调递减， 从而()()00h x h <=，即()0,F x '<所以()F x 在[)00,x 上单调递减，从而当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意．·········· 11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ··················································· 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥． 设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+- 则()()()e 11111x k k F x k x k x x '=+-+++-+++≥()11xx k x =+-+， ··············· 6分（ⅰ）当1k ≤时，()0F x '≥在[)0,+∞恒成立，所以()F x 在[)0,+∞单调递增． 所以()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ··················································· 9分 （ⅱ）当1k >时，由（Ⅰ）知，当1x >-时，e1xx +≥（当且仅当0x =时等号成立）， 所以当01x <<时，e1xx ->-+，1e 1x x<-． 所以1()e 1(1)e 111xx kx F x k x x '=---=--++ 1111kx x x <---+11x kxx x =--+()211()11k k x x k x -+-+=-． ··············· 10分于是当101k x k -<<+时，()0,F x '<所以()F x 在10,1k k -⎡⎫⎪⎢+⎣⎭上单调递减.故当101k x k -<<+时，()(0)0F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意． ······ 11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ··················································· 12分 解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）（ⅰ）当0k ≤时，由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0． 所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥，即()0g x ≥．所以()0kf x ≤，()0g x ≥，()()g x kf x ≥． ················································ 6分 （ⅱ）当0k >时，设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+-则()()e 11x kF x k x '=+-++， 令()()h x F x '=，则()()2=e 1x kh x x '-+．显然()h x '在[)0,+∞上单调递增． ·························································· 7分 ①当01k <≤时，()()'010h x h k '=-≥≥，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，()()00h x h =≥； 故()0F x '≥，所以()F x 在[)0,+∞上单调递增，()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ······································································································ 9分 ②当1k >时，由于())1'010,'110h k h =-<=->，所以()h x '在()1-上存在唯一零点0x ， ··········································· 10分 当()00,x x ∈时，()0,h x '< ()h x 单调递减，从而()()00h x h <=，即()0,F x '<()F x 在[)00,x 上单调递减，从而当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意．·········· 11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ··················································· 12分请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解法一：（Ⅰ）连结DE ，因为,,,D C E G 四点共圆，则ADE ACG ∠=∠． ········· 2分 又因为,AD BE 为△ABC 的两条中线， 所以点,D E 分别是,BC AC 的中点，故DEAB ． ············································ 3分 所以BAD ADE ∠=∠， ················································································ 4分 从而BAD ACG ∠=∠． ················································································ 5分 （Ⅱ）因为G 为AD 与BE 的交点，故G 为△ABC 的重心，延长CG 交AB 于F ，则F 为AB 的中点，且2CG GF =． ······························································· 6分 在△AFC 与△GFA 中，因为FAG FCA ∠=∠，AFG CFA ∠=∠，所以△AFG ∽△CFA ， ······································································· 7分 所以FA FGFC FA=，即2FA FG FC =⋅．………………………………………………………9分 因为12FA AB =，12FG GC =，32FC GC =， 所以221344AB GC =，即AB =， 又1GC =，所以AB =． ········································································ 10分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ······································································· 5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，BAD ACG ∠=∠，因为,,,D C E G 四点共圆，所以ADB CEG ∠=∠， ·········································· 6分所以ABD △∽CGE △，所以AB ADCG CE=， ……………………………………………7分 由割线定理，AG AD AE AC ⋅=⋅， ······························································ 9分又因为,AD BE 是ABC △的中线，所以G 是ABC △的重心， 所以23AG AD =,又=2=2AC AE EC ， 所以222=23AD EC，所以AD CE= FABCDEG。

福建省漳州市2016届高三下学期第二次模拟考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.集合{14}A=x x ∈-<<N 的真子集个数为 （A ） 7 （B ） 8 （C ）15 （D ） 16【答案】C 【解析】试题分析：{}3210，，，=A 有4个元素，则真子集个数为15124=-个,故选C.考点：集合2.若复数z 满足i 1i z ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是（A ）i （B ）1 （C ）i - （D ） 1- 【答案】B 【解析】试题分析：i ii i i i i z -=-+-=⋅+=+=111)1()1(2，所以i z +=1_，得虚部为1，故选B.考点：复数的代数运算3.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“ 1>q ”是“{}n a 为递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：当0,11<>a q 时，{}n a 不是递增数列；当10<<q 且01<a 时，{}n a 是递增数列，但是1>q 不成立，所以选D. 考点：等比数列4.右图是一个几何体的三视图，若该几何体的底面为直角梯形，则该几何体体积为 （A ）8 （B ）10 （C ）12 （D ）24【答案】A 【解析】试题分析：该几何体为四棱锥，底面为俯视图，高为2，其体积为()823533131=⨯+⨯==Sh V ,故选A. 考点：,1三视图；2.几何体的体积.5.在∆ABC 中，AB =2，BC =，ABC ∠=30，AD 为BC 边上的高，若AD AB AC μuuu r uu u r uuu r=+λ，则λμ等于（A ）2 （B ）12 （C ）23（D ） 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得， 3=BD ，32=CD ，则()AB AC AB AB BD AB AD 31+=-+=+=+=，所以32=λ,31=μ，则2=μλ,故选A.考点：平面向量基本定理6.执行右面的程序框图，若输出的结果是3231，则输入的a 为 （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ） 3【答案】B 【解析】试题分析：当1=n 时，21=S ；当2=n 时，22121+=S ；．．．；当4=n 时，161521212121432=+++=S ； 5=n 时，323121212121215432=++++=S ，输出S ，此时54≤<a ，所以选B.考点：循环结构 7.设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是 （A ）函数的一条对称轴为π6x =（B ）函数在区间π5π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增 （C ）00,3πx ∃∈()，使()1=-0f x（D ）a ∃∈R ，使得函数)(a x f y +=在其定义域内为偶函数 【答案】D 【解析】试题分析：函数()x x x x f 2cos 2142sin 42cos 1+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++=ππ，当()π3,0∈x 时，当6π=x 时，32π=x 不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴， A 错；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ45,2x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ25,2x ，函数先增后减，B 不正确；若()1-=x f ，那么22cos -=x 不成立，所以C 错；当π23=a 时，是否()x a x f 2cos 21-=+函数是偶函数，D 正确，故选D..考点：三角函数的性质8.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与坐标轴交于点M ，P 为抛物线第一象限上一点，F 为抛物线焦点，N 为x 轴上一点，若6π=∠PMF ，0=⋅，则||||PF PN =（A （B ）43（C ）32（D ） 2【答案】C 【解析】试题分析：设a PM 2=，则PF 转化到P 到准线的距离，在直角三角形NMP 中，a PN 332=，易知a PF 3=，则23=PNPF . 考点：抛物线的几何性质9.某校投篮比赛规则如下:选手若能连续命中两次，即停止投篮，晋级下一轮．假设某选手每次命中率都是0．6，且每次投篮结果相互独立，则该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率为 （A ）625216（B ）625108 （C ） 62536 （D ）12518【答案】D 【解析】试题分析：根据题意得，第一次中或不中，第二次不中，第三次和第四次必须投中，得概率为125186.06.04.01=⨯⨯⨯. 考点：独立事件同时发生的概率 10.已知101099221010....)12(x a x a x a x a a x +++++=-，求10932....a a a a ++++的值为（A ）20- （B ）0 （C ）1 （D ）20 【答案】D 【解析】试题分析：解析：令1=x 得，1....109210=+++++a a a a a ，再令0=x 得，10=a ，所以0....10921=++++a a a a ，又因为201-=a ，代入得10932....a a a a ++++=20.考点：二项式定理11.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为S =，则ab 的最小值为（A ）12（B ）13 （C ）16（D ）3【答案】B考点：1.正弦定理和余弦定理；2.基本不等式.12.已知函数()=-xaf x x e 存在单调递减区间，且()=y f x 的图象在0=x 处的切线l 与曲线xy e =相切，符合情况的切线l（A ）有3条 （B ）有2条 （C ） 有1条 （D ）不存在 【答案】D 【解析】试题分析：/1()1x a f x e a =-，依题意可知，/1()10x a f x e a=-<在(,)-∞+∞有解，①0a <时，/()0f x < 在(,)-∞+∞无解，不符合题意；②0a >时，/()0ln ln x axf x a e a x a a a>⇔>⇔>⇔<符合题意，所以0a >．易知，曲线)(x f y =在0=x 的切线l 的方程为1)11(--=xay . 假设l 与曲线x y =e 相切，设切点为),(00y x 消去a 得0001x x e e x =-，设()1x x h x e x e =--，则/()x h x e x =，令/()0h x >，则0x >，所以()h x 在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增，当,()1x h x →-∞→-，,()x h x →+∞→+∞ 所以()h x 在(0,)+∞有唯一解，则01x e >，而0>a 时，111<-a，与01x e >矛盾，所以不存在． 考点：导数的综合应用第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量x ，y 满足约束条件 0121x y x y x y -≥,⎧⎪+≤,⎨⎪+≥,⎩则目标函数y x z +=5的最大值为 ．【答案】5 【解析】试题分析：如图，画出可行域，目标函数z x y +-=5，当目标函数过点)01(，A 时，Z 取得组大值，最大值是5.考点：线性规划14.已知θ是三角形的一个内角，且θsin 、θcos 是关于x 的方程0242=-+px x 的两根，则θ等于 ． 【答案】π43【解析】试题分析：21cos sin -=⋅θθ联立1cos sin 22=+θθ得22sin ±=θ，由θ为三角形内角得22sin =θ，22cos -=θ，所以πθ43=．考点：1.三角函数；2.根与系数的关系.15.已知球O 被互相垂直的两个平面所截，得到两圆的公共弦长为2，若两圆的半径分别为3和3，则球O 的表面积为 ． 【答案】π44 【解析】试题分析：设圆1O 的半径为3，圆2O 的半径为3，则2221==E O OO ，31=AO ，所以球的半径112121=+==AO OO AO R ，所求表面积为ππ4442==R S ．考点：球的表面积16.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点为21,F F ，P 为双曲线C 右支上异于顶点的一点，21F PF ∆的内切圆与x 轴切于点()01，，且P 与点1F 关于直线x aby -=对称，则双曲线方程为 ． 【答案】1422=-y x【解析】试题分析：设点A （1，0），因为21F PF ∆的内切圆与x 轴切于点（1，0），则2121AF AF PF PF -=-，所以)1()1(2--+=c c a ，则1=a ． 因为P 与点F 1关于直线a bx y -=对称，所以221π=∠PF F 且b a b PF PF ==21， 联立221=-PF PF 且222221444b c PF PF +==+解得2=b ．所以双曲线方程为1422=-y x ．考点：双曲线与圆的位置关系三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11()3*+=∈n n S a n N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设41log (1)n n b S +=-()*∈n N ，12231111n n n T b b b b b b +=+++，求使10072016n T ≥成立的最小的正整数n 的值．【答案】（Ⅰ）*413Z n a nn ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=;(Ⅱ)2014=n .【解析】试题分析：(Ⅰ)已知n S 求n a 类型的习题，根据公式⎩⎨⎧-=-11n nn S S S a 21≥=n n ，令1=n 求数列的首项，然后令2≥n 时，构造13111=+--n n a S ，两式相减，得到数列的递推公式，有递推公式判断数列类型，写出通项公式；（Ⅱ）根据第一问的通项公式，再结合11()3*+=∈n n S a n N ，首先求11--n S ，然后求数列{}n b 的通项公式，再代入11+n n b b ，由通项公式的形式确定采用裂项相消法求数列的和，并解得10072016n T ≥时，n 的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ） 当1n =时，11S a =，由11113134S a a +=⇒=， 当2n ≥时，11111113()01313n nn n n n n n S a S S a a S a ----⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩114n n a a -⇒=∴{}n a 是以34为首项，14为公比的等比数列． 故1311()3()444n n n a -==()*∈n N （Ⅱ）由（1）知111111()34n n n S a +++-== 14141log (1)log ()(1)4n n n b S n ++=-==-+11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++21212111......41-3131-211......1113221+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=+n n n b b b b b b T n n n1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++1110072014222016n n -≥⇒≥+， 故使10072016n T ≥成立的最小的正整数n 的值2014n = 考点：1. 已知n S 求n a ;2.裂项向消法求数列的和. 18.（本小题满分12分）某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数x 和众数m （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在]60,50[的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望)(ξE ．【答案】(Ⅰ)2.29=x ;35=m (Ⅱ)详见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据频率分布直方图计算样本的众数，就是看最高的这组数据的区间中点，中点就是众数，平均数的计算方法，每组区间中点乘以本组的频率和就是平均数，而频率是本组矩形的面积；(Ⅱ)首先根据频数等于频率乘以100，和本组中的男生和女生人数，然后列ξ 的可能取值，列分布列和数学期望.试题解析：解：（Ⅰ）35=m2.2905.0552.04525.03522.02518.0151.05=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在]60,50[的学生为510005.0=⨯人，其中男生3人，女生2人，则ξ 的可能取值为1，2，3,103)1(352213===C C C P ξ,53106)2(351223====C C C P ξ101)3(3533===C C P ξ ξ的分布列为所以510352101)(=⨯+⨯+⨯=ξE考点：1.频率分布直方图的应用；2.离散型随机变量的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=，2AB AC PA ===， ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）PM PD =【解析】F CADPMB E试题分析：（Ⅰ）要证明线与面垂直，根据判定定理，需要证明线与平面内的两条相交直线垂直，根据中点易证明AB EF //,所以可以将问题转化为证明AB 与平面PAC 内的两条相交直线垂直，即证明AC AB ⊥和PA AB ⊥；（Ⅱ）根据上一问所证明的垂直关系，可以建立以A 为原点的空间直角坐标系，设λ=PDPM ,根据λ=,表示点M 的坐标，首先求平面PBC 的法向量m ，以及平面ABCD 的法向量n ，并根据|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n 建立方程，求λ.试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥．由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥．因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD ．又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥．又因为PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC ．（Ⅱ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， 设([0,1])PM PDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m ．设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩令1x =， 得(1,1,1)=n ．因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ，所以|22||λ-=，解得λ=λ=．综上所得：PM PD =考点：1.线面垂直的判定；2.线面角.20.（本小题满分12分）已知椭圆C :222210x y (a b )a b +=>>0l :x y -=与以原点为圆心， 以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA,MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为1k ,2k ，且124k k +=， 证明:直线AB 过定点(12-，-l )． 【答案】(Ⅰ) 2212x y +=;(Ⅱ)详见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据条件22==a c e ，再根据直线与圆相切，原点到直线的距离等于半径，和222cb a +=求解222,,c b a ;（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设两个点的坐标，并且根据4=+MB MA k k ,和点在曲线上的条件，求点的坐标得到定点，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=，与方程联立，得到根与D系数的关系，并且用根与系数的关系表示421=+k k ，得到12-=k m ，代入直线方程，得到定点，法二，设直线MB MA ,.联立方程，得到点B A ,的坐标，证明点N B A ,,三点共线.试题解析：解:（Ⅰ）椭圆C的离心率e = 222222221,2.2c a b e a b a a -∴===∴=由0x y -=与圆222x y b +=相切，得21, 2.b a =∴= ∴椭圆C 的方程为：2212x y +=． （Ⅱ）①若直线AB 的斜率不存在，设方程为0x x =，则点00(,)A x y ，00(,)B x y -． 由已知0000114,y y x x ---+=得012x =-．此时AB 方程为12x =-，显然过点(12-，-l)． ②若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意1m ≠±．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220.k x kmx m +++-= 则122412km x x k +=-+，212222.12m x x k -=+ 由已知124k k +=, 1212114,y y x x --+= 1212114kx m kx m x x +-+-∴+=即12122(1)4x x k m x x ++-=将1212,x x x x +代入得21km k m -=+，∴2(1)k m =+， 1.2k m ∴=- 故直线AB 的方程为12k y kx =+-，即1()12y k x =+-． ∴直线过定点 (12-，-l )．考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.椭圆的简单性质.21.（本小题满分12分） 已知函数x ax x x f ln 1221)(2++-= （Ⅰ）当0=a 时，若函数)(x f 在其图象上任意一点A 处的切线斜率为k ，求k 的最小值，并求此时的切线方程；（Ⅱ）若函数)(x f 的极大值点为1x ，证明：1ln 2111->-ax x x ．【答案】(Ⅰ) 斜率k 的最小值为2，0124=--y x ;(Ⅱ)详见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)首先根据函数求函数的导数，根据导数的几何意义：任意一点A 处的切线斜率为k ，就是在这点处的导数，即()x f k '=，利用基本不等式求函数的最小值，并求出取得最小值是的自变量，最后根据斜率和切点坐标求切线方程;(Ⅱ)第一步求函数的导数，根据不同的a 的取值范围讨论函数的极值，当1>a 或1-<a 时，令0)('=x f 则0122=+-ax x 的两根为1x 和2x ，因为1x 为函数)(x f 的极大值点，所以210x x <<，这样根据定义域和根与系数的关系，得到101<<x ，12121x x a +=，第二步将12121x x a +=代入2111ln ax x x -，得到一个新的函数，最后将问题转化为求这个函数的最小值，这个过程需要求函数的二阶导数，从而才能判断函数在定义域()1,0的最小值.试题解析：解：（Ⅰ）∵0=a ，∴)0(ln 121)(2>++=x x x x f ∴21)('≥+=x x x f 当仅当xx 1=时，即1=x 时，)('x f 的最小值为2 ∴斜率k 的最小值为2，切点A )23,1(， ∴切线方程为)1(223-=-x y ，即0124=--y x （Ⅱ）∵)0(1212)('2>+-=+-=x xax x x a x x f ①当11≤≤-a 时，)(x f 单调递增无极值点，不符合题意②当1>a 或1-<a 时，令0)('=x f 则0122=+-ax x 的两根为1x 和2x ，因为1x 为函数)(x f 的极大值点，所以210x x <<又∵02,12121>=+=a x x x x ，∴1>a ，101<<x ∴0)('1=x f ，所以012121=+-ax x ，则12121x x a += ∵=-2111ln ax x x =+-2ln 13111x x x x 11131ln 212x x x x +--，)1,0(1∈x令x x x x x h ln 212)(3+--=，)1,0(∈x ∴x x x h ln 2123)(2'++-=∴x x x x x h 2"3113)(-=+-=，)1,0(∈x 当330<<x 时，0)(">x h ，当133<<x 时，0)("<x h ∴)('x h 在)33,0(上单调递增，在)1,33(上单调递减 ∴03ln )33()(''<-=≤h x h ∴)(x h 在)1,0(上单调递减∴1)1()(-=>h x h ，原题得证．考点：1.导数的综合应用；2.导数的几何意义.请考生在第（22），（23），（24）3题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证： （Ⅰ）∠=∠DEA DFA ；（Ⅱ）2AB BE BD AE AC =⋅-⋅．FE【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)连接AD ,根据直径所对的圆周角等于090，可知090=∠ADE ,并且090=∠EFA ,所以F E D A ,,,四点共圆，那么DEA ∠和DFA ∠属于圆内同弦所对的圆周角，必相等.(Ⅱ主要将等号有边的边长进行转化，利用F E D A ,,,四点共圆，那么BF BA BE BD ⋅=⋅,利用AEF ABC ∆∆~,可得AB AC AE AF=，转化为⋅=⋅AB AF AE AC ，这样转化后代入原式，即证明等式. 试题解析：证明：（Ⅰ）连结AD ，因为AB 为圆的直径，所以∠ADB =90°，又EF ⊥AB ，∠EF A =90°则A 、D 、E 、F 四点共圆∴∠DEA =∠DF A（Ⅱ）由（Ⅰ）知，⋅=⋅BD BE BA BF又△ABC ∽△AEF ∴AB AC AE AF= 即：⋅=⋅AB AF AE AC∴2()⋅-⋅=⋅-⋅=-=BD BE AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB考点：1.三角形相似；2.圆的性质.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为)sin (cos 2θθρ+=． （Ⅰ）求C 的直角坐标方程； （t 为参数）与曲线C 交于B A ,两点，与y 轴交于E ，求 【答案】(Ⅰ) ()()22112x y -+-=;(Ⅱ)5.【解析】试题分析：(Ⅰ)极坐标方程两边同时乘以ρ，根据222y x +=ρ，y x ==θρθρsin ,cos ，代入后得到C 的直角坐标方程;(Ⅱ)根据t 的几何意义，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，写出根与系数的关系21t t +和21t t ，并将EB EA +表示为21t t -，根据根与系数的关系代入，即可求得结果.试题解析：解：（Ⅰ）由()2cos sin ρθθ=+得()22cos sin ρρθθ=+， 得直角坐标方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=； （Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得210t t --=，点E 对应的参数0t =，设点A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则121t t +=，121t t =- ，考点：1.直线参数方程的应用；2.极坐标方程与直角坐标方程的互化.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+．（Ⅰ）解不等式|()|5g x <；（Ⅱ）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）{}24x x -<<；（Ⅱ）1a ≥-或5a ≤-.【解析】试题分析：（Ⅰ）将不等式转化为317<-<-x ，取绝对值解不等式；（Ⅱ）将问题转化为{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，等价于求两个函数的值域，()x f 的值域利用绝对值三角不等式求()()322322+--≥++-x a x x a x ，()x g 的值域为()2≥x g ，根据值域的子集关系建立不等式，解出a 的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）由125x -+<得5125x -<-+< 713x ∴-<-<，得不等式的解集为{}24x x -<<（Ⅱ）因为任意R ∈1x ，都有R ∈2x ，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223|(2)(23)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，()|1|22g x x =-+≥，所以|3|2a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-，所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-考点：1.含绝对值不等式的解法；2.含绝对值函数的最值.。

福建师大附中2016届高三模拟考试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)2.已知i 为虚数单位，复数z 满足20162)1(iz i =-，则复数z 的虚部为（ ）.A.-1B.1C.iD.i -3. 已知向量,a b ，其中2a b == ，且()a b a -⊥ ，则向量,a b的夹角是（ ）.A.6πB.4πC.3πD.2π4．某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为 0.8155y x =-，后因某未知原因第5组数据的y 值模糊不清，此位置数据记为m （如下表所示），则利用回归方程可求得实数m 的值为（ ）6 C ．13、18 D ．12、187．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ）A ．310 B ．35 C ．25 D ．158．已知函数()()(sin 20f x x ϕϕ=+<<)2π的图象的一个对称中心为3,08π⎛⎫⎪⎝⎭, 则函数()f x 的单调递减区间是（ ）A ． 32,2(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) B ． 52,2(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) C ． 3,(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) D ． 5,(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) 9．已知实数x 、y 满足条件2450x x y ax y ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，若目标函数3z x y =+的最小值为5，则a 的值为( )A ．﹣2B ．﹣17C ．2D ．1710．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图的轮廓是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ） A ．2 B ．4 C ．2 D ．211．已知双曲线22221x y a b－＝的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1做圆222x y a ＋＝的切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，且｜BC ｜＝｜CF 2｜，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±3xB ．y＝± C ．y＝±（1）x D ．y＝1)x ± 12. 设函数()f x 的定义域为R , ()()()(),2f x f x f x f x -==-, 当[]0,1x ∈时,()3f x x =, 则函数()()()cos g x x f x π=-在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和为（ ）.A ． 7B ．6C ． 3D ．2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若3*21()()ny x n N x y+∈的展开式中存在常数项，则常数项为 ． 14．已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，点F 关于直线12y x =的对称点 在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为 .15. 设正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，1BC =，,E F 分别是,AB BC 的中点，EF DE ⊥，则球O 的半径为 . 16.已知数列{}n a 满足),2,(2,1111≥∈=--=--n N n a a a n n n 且21{}n a -是递减数列，2{}n a 是递增数列，则=2016a _____ ___.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2016年福建省龙岩市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设命题p：∃x∈（0，+∞），≥log2x，则￢p为（）A．∀x∈（0，+∞），≥log2xB．∀x∈（0，+∞），＜log2xC．∃x∈（0，+∞），=log2xD．∃x∈（0，+∞），＜log2x2．复数（i为复数单位）的共轭复数为（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i3．若函数f（x）=，则f（f（））=（）A．﹣1B．0C．1D．34．已知{a n}是公差为的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若a2，a6，a14成等比数列，则S5=（）A． B．35C． D．255．若sin2θ=，则tanθ+=（）A． B． C．2D．36．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的n的值为（）A．3B．4C．5D．67．如图，正三棱锥A﹣BCD的底面与正四面体E﹣BCD的侧面BCD重合，连接AE，则异面直线AE与CD所成角的大小为（）A ．30°B．45°C．60°D．90°8．若A ，B ，C 为圆O ：x 2+y 2=1上的三点，且AB=1，BC=2，则•=（ ）A ．0B ．C ．D ． 9．安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为（ ）A ．72B ．96C ．120D ．15610．设实数x 、y 满足，则z=|x ﹣4y+1|的最大值和最小值之和是（ ）A ．2B ．3C ．9D ．1111．正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =a n 2+a n （n ∈N *），设c n =（﹣1）n ，则数列{c n }的前2016项的和为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣12．已知A ，B 分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右顶点，P 是双曲线C 右支上位于第一象限的动点，设PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2的取值范围为（ ）A ．（，+∞）B ．（，+∞）C ．[，+∞）D ．[，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．倾斜角为45°的直线l 经过抛物线y 2=8x 的焦点F ，且l 与抛物线交于A ，B 两点，则||•||的值为 ．14．（x+y ）（x ﹣y ）8的展开式中，x 2y 7的系数为 ．15．如图是一个几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为 ．16．若函数f （x ）=2m （1nx+x ）﹣x 2有唯一零点，则m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分。

2016年福建省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数，则=（）A．1B．2C． D．52．集合A={y|y=，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．[2，+∞）B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]3．已知cos（α+）=，则cos2α的值等于（）A． B．﹣C． D．﹣4．执行如图所示的程序框图，如果输入n的值为4，则输出的S的值为（）A．15B．6C．﹣10D．﹣215．某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x与销售利润y的统计数据如表：广告费用x（万元） 2 3 5 6销售利润y（万元） 5 7 9 11由表中数据，得线性回归方程l： =x+（=， =﹣x），则下列结论错误的是（）A． B． C．直线l过点（4，8）D．直线l过点（2，5）6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱7．在△ABC中，B=，AB=2，D为AB中点，△BCD的面积为，则AC等于（）A．2B． C． D．8．函数f（x）=ln，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，+∞）上单调递减B．奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增C．偶函数，且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增9．在空间直角坐标系0﹣xyz中，A（0，0，2），B（0，2，0），C（2，2，2），则三棱锥O ﹣ABC外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．12πD．48π10．若x，y满足约束条件，则（x+2）2+（y+3）2的最小值为（）A．1B． C．5D．911．已知过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的焦点的直线1与C交于A，B两点，且使|AB|=4a的直线1恰好有3条，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±2xD．y=±x12．已知函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（≤x≤e2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是（）A．[﹣，﹣]B．[﹣，2e]C．[﹣，2e]D．[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知函数f=，则f[f（﹣1）]= ．14．已知向量的夹角为，则= ．15．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线E：y2=4x的焦点F重合，点P是椭圆C和抛物线E的一个公共点，点Q（0，1）满足QF⊥QP，则C的离心率为．16．已知A是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）图象上的一个最高点，B，C是f（x）图象上相邻的两个对称中心，且△ABC的面积为，若存在常数M（M＞0），使得f（x+M）=Mf（﹣x），则该函数的解析式是f（x）= ．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等比数列{a n}的前n项为和S n，且a3﹣2a2=0，S3=7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．18．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如图．（Ⅰ）试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；（Ⅱ）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%？（ⅱ）如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？并说明理由．19．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，EF∥AC，AD=2，EA=ED=EF=．（Ⅰ）求证：AD⊥BE；（Ⅱ）若BE=，求三棱锥F﹣BCD的体积．20．已知点A（﹣4，0），直线l：x=﹣1与x轴交于点B，动点M到A，B两点的距离之比为2．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设C与x轴交于E，F两点，P是直线l上一点，且点P不在C上，直线PE，PF分别与C交于另一点S，T，证明：A，S，T三点共线．21．已知函数f（x）=xe x﹣alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）=a（x﹣1）（e x﹣a）的单调区间；（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，且D，C，E，G四点共圆．（Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG；（Ⅱ）若GC=1，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|．（I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．2016年福建省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数，则=（）A．1B．2C． D．5【考点】复数求模．【分析】先化简复数，然后再求它的模长．【解答】解：∵复数===1+2i，∴==．故选：C．2．集合A={y|y=，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．[2，+∞）B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]【考点】交集及其运算．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=≥0，得到A=[0，+∞），由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即B=[﹣1，2]，则A∩B=[0，2]，故选：D．3．已知cos（α+）=，则cos2α的值等于（）A． B．﹣C． D．﹣【考点】二倍角的余弦．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：∵cos（α+）=﹣sinα=，可得：sin，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×（﹣）2=．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，如果输入n的值为4，则输出的S的值为（）A．15B．6C．﹣10D．﹣21【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟执行程序，可得n=4，k=1，S=0满足条件k为奇数，S=1，k=2，不满足条件k＞4，不满足条件k为奇数，S=﹣3，k=3，不满足条件k＞4，满足条件k为奇数，S=6，k=4，不满足条件k＞4，不满足条件k为奇数，S=﹣10，k=5，满足条件k＞4，退出循环，输出S的值为﹣10．故选：C．5．某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x与销售利润y的统计数据如表：广告费用x（万元） 2 3 5 6销售利润y（万元） 5 7 9 11由表中数据，得线性回归方程l： =x+（=， =﹣x），则下列结论错误的是（）A． B． C．直线l过点（4，8）D．直线l过点（2，5）【考点】线性回归方程．【分析】求出回归方程，根据回归方程进行判断．【解答】解： =，．∴直线l经过点（4，8）．=（﹣2）×（﹣3）+（﹣1）×（﹣1）+1×1+2×3=14．=（﹣2）2+（﹣1）2+12+22=10．∴=， =8﹣1.4×4=2.4．∴回归方程为y=1.4x+2.4．当x=2时，y=1.4×2+2.4=5.2．∴直线l过点（2，5.2）故选D．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【考点】简单空间图形的三视图．【分析】作出物体直观图进行判断．【解答】解：由于三视图均为三角形，作出几何体的直观图如图所示：故几何体为三棱锥．故选A．7．在△ABC中，B=，AB=2，D为AB中点，△BCD的面积为，则AC等于（）A．2B． C． D．【考点】正弦定理．【分析】在△BCD中，由面积公式可得BC，再由余弦定理可得．【解答】解：由题意可知在△BCD中，B=，AD=1，∴△BCD的面积S=×BC×BD×sinB=×BC×=，解得BC=3，在△ABC中由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB=22+32﹣2•2•3•=7，∴AC=，故选：B．8．函数f（x）=ln，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，+∞）上单调递减B．奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增C．偶函数，且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数的奇偶性的定义以及复合函数的单调性判断即可．【解答】解：由x（e x﹣e﹣x）＞0，得f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），而f（﹣x）=ln=ln=f（x），∴f（x）是偶函数，x＞0时，y=x（e x﹣e﹣x）递增，故f（x）在（0，+∞）递增，故选：D．9．在空间直角坐标系0﹣xyz中，A（0，0，2），B（0，2，0），C（2，2，2），则三棱锥O ﹣ABC外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．12πD．48π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由题意，四面体的外接球就是棱长为2的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线 2，求出半径，即可求出四面体的外接球的体表面积．【解答】解：由题意，四面体的外接球就是棱长为2的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线2，半径为，∴四面体的外接球的表面积为=12π．故答选：C．10．若x，y满足约束条件，则（x+2）2+（y+3）2的最小值为（）A．1B． C．5D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：（x+2）2+（y+3）2的几何意义是区域内的点到定点D（﹣2，﹣3）的平方，由图象知D到直线x+y+2=0的距离最小，此时d==．则（x+2）2+（y+3）2的最小值为d2=（）2=．故选：B．11．已知过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的焦点的直线1与C交于A，B两点，且使|AB|=4a的直线1恰好有3条，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±2xD．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由|AB|=4a的直线1恰好有3条，由双曲线的对称性可得，必有一条与x轴垂直，另两条关于x轴对称，令x=c，代入双曲线方程，计算即可得到弦长，由渐近线方程即可得到所求．【解答】解：由|AB|=4a的直线1恰好有3条，由双曲线的对称性可得，必有一条与x轴垂直，另两条关于x轴对称，令x=c，代入双曲线C：=1（a＞0，b＞0），可得y=±b=±，即有此时|AB|==4a，即为b=a，即有双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：A．12．已知函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（≤x≤e2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是（）A．[﹣，﹣]B．[﹣，2e]C．[﹣，2e]D．[，+∞）【考点】函数与方程的综合运用．【分析】设M（x，kx），则N（x，2e﹣kx），推导出k=﹣，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（≤x≤e2），f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y=e对称，∴设M（x，kx），则N（x，2e﹣kx），∴2e﹣kx=2lnx+2e，∴k=﹣，，由k′=0，得x=e，∵≤x≤e2，∴x∈[，e）时，k′＜0，k=﹣是减函数；x∈（e，e2]时，k′＞0，是增函数，∴x=e时，k=﹣；x=e2时，k=﹣=﹣；x=时，k=﹣，∴k min=﹣，k max=﹣=2e．∴实数k的取值范围是[﹣，2e]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知函数f=，则f[f（﹣1）]= 8 ．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵函数f=，∴f（﹣1）=2﹣1+2=2，f[f（﹣1）]=f（2）=23=8．故答案为：8．14．已知向量的夹角为，则= \sqrt{7} ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】欲求|+|的值，只要求|+|2的值即可，再利用数量积的运算公式即可求出结果．【解答】解：∵向量的夹角为，且||=1，||=3，∴|+|2=||2+||2+2||||cos=12+32+2×1×3×（﹣）=7，∴=．故答案为：．15．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线E：y2=4x的焦点F重合，点P是椭圆C和抛物线E的一个公共点，点Q（0，1）满足QF⊥QP，则C的离心率为\sqrt{2}﹣1 ．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，再由题意求出椭圆与抛物线的交点，结合椭圆定义求出椭圆的实半轴，代入离心率公式求得答案．【解答】解：如图，由抛物线E：y2=4x，得2P=4，p=2，∴F（1，0），又Q（0，1）且QF⊥QP，∴QP所在直线斜率为1，则QP所在直线方程为y=x+1，联立，解得P（1，2），则2a==，∴a=，则e=．故答案为：．16．已知A是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）图象上的一个最高点，B，C是f（x）图象上相邻的两个对称中心，且△ABC的面积为，若存在常数M（M＞0），使得f（x+M）=Mf（﹣x），则该函数的解析式是f（x）= ﹣sinπx．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得A的纵坐标为1，再根据△ABC的面积为，求得ω=π，再根据存在常数M（M＞0），使得f（x+M）=Mf（﹣x），求得φ，可得函数的解析式．【解答】解：由题意可得A的纵坐标为1，BC=•=，△ABC的面积为••1=，∴ω=π，f（x）=sin（πx+φ）．∵存在常数M（M＞0），使得f（x+M）=Mf（﹣x），即sin（πx+Mπ+φ）=Msin（﹣πx+φ），∴M=1，φ=π，∴f（x）=sin（πx+π）=﹣sinπx，故答案为：﹣sinπx．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等比数列{a n}的前n项为和S n，且a3﹣2a2=0，S3=7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）利用已知条件列出方程组，求出首项与公比，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的通项公式，利用错位相减法求出前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公比为q，依题意，得解得，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以，①所以，②①﹣②得，==．所以．．18．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷．现从使用A和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如图．（Ⅰ）试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；（Ⅱ）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%？（ⅱ）如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？并说明理由．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图能求出使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数和使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数．（Ⅱ）（ⅰ）使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值，从而求出结果．（ii）求出使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数，从而得到结果．【解答】解：（Ⅰ）依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55（分钟）．使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数：15×0.06+25×0.34+35×0.12+45×0.04+55×0.4+65×0.04=40（分钟）．（Ⅱ）（ⅰ）使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为：0.04+0.02+0.56=0.80=80%＞75%，故可认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%．（ii）使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数：15×0.04+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02=35＜40，∴选B款订餐软件．19．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，EF∥AC，AD=2，EA=ED=EF=．（Ⅰ）求证：AD⊥BE；（Ⅱ）若BE=，求三棱锥F﹣BCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】解法一：（Ⅰ）取AD中点O，连结EO，BO．证明EO⊥AD．BO⊥AD．说明AD⊥平面BEO，即可证明AD⊥BE．（Ⅱ）证明EO⊥OB，然后证明EO⊥平面ABCD．通过V F﹣BCD=V E﹣BCD求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）证明EO⊥OB，利用AD⊥平面EOB，以及V F﹣BCD=V E﹣BCD=V E﹣ABD求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）如图，取AD中点O，连结EO，BO．∵EA=ED，∴EO⊥AD．…∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD，又∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BA=BD，∴BO⊥AD．∵BO∩EO=O，BO⊂平面BEO，EO⊂平面BEO，∴AD⊥平面BEO，∵BE⊂平面BEO，∴AD⊥BE．（Ⅱ）在△EAD中，，AD=2，∴，∵△ABD为等边三角形，∴AB=BD=AD=2，∴．又，∴EO2+OB2=BE2，∴EO⊥OB，∵AD∩OB=O，AD⊂平面ABCD，BO⊂平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又，∴．又∵EF∥AC，∴V F﹣BCD=V E﹣BCD=．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）在△EAD中，，AD=2，∴，∵△ABD为等边三角形，∴AB=BD=AD=2，∴．又，∴EO2+OB2=BE2，∴EO⊥OB，所以．又S△BCD=S△ABD，EF∥AC，AD⊥平面EOB，∴V F﹣BCD=V E﹣BCD=V E﹣ABD=．20．已知点A（﹣4，0），直线l：x=﹣1与x轴交于点B，动点M到A，B两点的距离之比为2．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设C与x轴交于E，F两点，P是直线l上一点，且点P不在C上，直线PE，PF分别与C交于另一点S，T，证明：A，S，T三点共线．【考点】轨迹方程．【分析】解法一：（Ⅰ）设点M（x，y），利用已知条件真假求解曲线C的方程．（Ⅱ）求出E，F坐标，设P（﹣1，y0），S（x1，y1），T（x2，y2），写出直线PE的方程为y=y0（x+2），与轨迹方程联立，求出S、T坐标，通过k AS=k AT，说明A，S，T三点共线．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）不妨设E（﹣2，0），F（2，0）．设P（﹣1，y0），S（x1，y1），T（x2，y2），直线PE 的方程为y=y0x+2y0，与轨迹方程联立，求出S、T坐标，通过k AS=k AT，说明A，S，T三点共线．解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C的方程为x2+y2=4，不妨设E（﹣2，0），F（2，0）．设P（﹣1，y0），S（x1，y1），T（x2，y2），当y0=0时，S（﹣2，0），T（2，0），此时A，S，T三点共线．当y0≠0时，则直线PE的方程为y=y0x+2y0，与轨迹方程联立，求出S、T坐标，通过k AS﹣k AT=0，说明A，S，T三点共线．【解答】解法一：（Ⅰ）设点M（x，y），依题意，，化简得x2+y2=4，即曲线C的方程为x2+y2=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C的方程为x2+y2=4，令y=0得x=±2，不妨设E（﹣2，0），F（2，0）．设P（﹣1，y0），S（x1，y1），T（x2，y2），则直线PE的方程为y=y0（x+2），由得，所以，即，．直线PF的方程为，由得，所以，即，．所以，，所以k AS=k AT，所以A，S，T三点共线．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C的方程为x2+y2=4，令y=0得x=±2，不妨设E（﹣2，0），F（2，0）．设P（﹣1，y0），S（x1，y1），T（x2，y2），则直线PE的方程为y=y0x+2y0，由消去x得，所以，．直线PF的方程为，由得，所以，．以下同解法一．解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C的方程为x2+y2=4，令y=0得x=±2，不妨设E（﹣2，0），F（2，0）．设P（﹣1，y0），S（x1，y1），T（x2，y2），当y0=0时，S（﹣2，0），T（2，0），此时A，S，T三点共线．当y0≠0时，则直线PE的方程为y=y0x+2y0，由消去x得，所以．直线PF的方程为，由消去x得，所以．===，因为，，所以﹣4y1y2+6y0y1﹣2y0y2=0．所以k AS=k AT，所以A，S，T三点共线．21．已知函数f（x）=xe x﹣alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）=a（x﹣1）（e x﹣a）的单调区间；（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】法一：（Ⅰ）求出函数的导数，利用切线的斜率与导数值的关系，求出a，利用导函数的符号求解函数的单调区间．（Ⅱ）通过①当b≤0时，求出最小值，推出结果．②当0＜b≤e时，构造函数g（x）=xe x ﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），利用导函数，判断函数的单调性，求解最小值，推出结果．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设g（x）=xe x﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2）．（1）当b=e时，求出函数的导数，然后通过①当0＜x≤1时，利用函数的带动下求解最小值．②当x＞1时，构造函数，求出函数的导数，利用函数的单调性证明当x＞0时，f（x）≥e（x2﹣2x+2）恒成立．（2）当b＜e时，通过x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1＞0，证明当b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设g（x）=e x﹣ex，求出极值点x=1，当x∈（0，1）时，利用函数的单调性推出g（x）≥g（1）推出e x≥ex，然后证明结论．【解答】解：（Ⅰ）因为，x＞0，依题意得f′（1）=0，即2e﹣a=0，解得a=2e．所以，显然f′（x）在（0，+∞）单调递增且f′（1）=0，故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）①当b≤0时，由（Ⅰ）知，当x=1时，f（x）取得最小值e．又b（x2﹣2x+2）的最大值为b，故f（x）≥b（x2﹣2x+2）．②当0＜b≤e时，设g（x）=xe x﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），所以，令，x＞0，则，当x∈（0，1]时，，（x+2）e x＞0，所以h′（x）＞0，…．当x∈（1，+∞）时，（x+2）e x﹣2b＞0，，所以h′（x）＞0，…．…．所以当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x=1时，g（x）取得最小值g（1）=e﹣b≥0，所以g（x）≥0，即f（x）≥b（x2﹣2x+2）．综上，当b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设g（x）=xe x﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2）．（1）当b=e时，，①当0＜x≤1时，，所以g′（x）≤0，所以g（x）在（0，1]上单调递减，所以g（x）≥g（1）=0，即xe x﹣2el nx≥e（x2﹣2x+2）．②当x＞1时，令，则，所以M（x）在[1，+∞）上单调递增，即g′（x）在[1，+∞）上单调递增，所以g′（x）＞g′（1）=0，所以g（x）在[1，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（1）=0，即xe x﹣2elnx＞e（x2﹣2x+2）．故当x＞0时，f（x）≥e（x2﹣2x+2）恒成立．（2）当b＜e时，因为x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1＞0，所以e（x2﹣2x+2）＞b（x2﹣2x+2），由（1）知，f（x）≥e（x2﹣2x+2），所以f（x）＞b（x2﹣2x+2）．综合（1）（2），当b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设g（x）=e x﹣ex，则g′（x）=e x﹣e，令g′（x）=e x﹣e=0，得x=1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（1）=0，所以e x≥ex，所以x≥lnex，即lnx≤x﹣1．因为b≤e，x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1＞0，x＞0，所以f（x）=xe x﹣2elnx≥ex2﹣2e（x﹣1）=e（x2﹣2x+2）≥b（x2﹣2x+2）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，且D，C，E，G四点共圆．（Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG；（Ⅱ）若GC=1，求AB．【考点】相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明．【分析】（Ⅰ）由题意可得，G为△ABC的重心，根据D、C、E、G 四点共圆，可得∠ADE=∠ACG，DE∥AB，故有∠BAD=∠ADE，从而得到∠BAD=∠ACG．（Ⅱ）延长CG交AB于F，则F为AB的中点，且CG=2GF．证得△AFG∽△CFA，可得=，即 FA2=F G•FC，根据条件化为即AB=GC，从而得出结论．【解答】证明：（Ⅰ）∵△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，∴G为△ABC的重心．连结DE，因为D、C、E、G 四点共圆，则∠ADE=∠ACG．又因为AD、BE为△ABC的两条中线，所以点D、E分别是BC、AC的中点，故DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，从而∠BAD=∠ACG．解：（Ⅱ）∵G为△ABC的重心，延长CG交AB于F，则F为AB的中点，且CG=2GF．在△AFC与△GFA中，因为∠FAG=∠FCA，∠AFG=∠CFA，所以△AFG∽△CFA，∴=，即 FA2=FG•FC．因为FA=AB，FG=GC，FC=GC，∴•AB2=CG2，即AB=GC，又∵GC=1，所以AB=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）将代入（*），化简得y=x+2，所以直线l的倾斜角为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t 为参数），即（t为参数），代入并化简，得．．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，所以．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，故．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|．（I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，化简f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]为|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，从而证得不等式成立．【解答】解：（I）不等式f（x）＜|2x+1|﹣1，即|x+1|＜|2x+1|﹣1，∴①，或②，或③．解①求得x＜﹣1；解②求得x∈∅；解③求得x＞1．故要求的不等式的解集M={x|x＜﹣1或 x＞1}．（Ⅱ）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则 f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1| =|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．。

2016年福建省南平市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是≤符合题目要求的.1．集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|2x＜8}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[﹣2，3）C．[﹣4，3）D．（﹣∞，3]2．已知i为虚数单位，若（x+2i）（x﹣i）=6+2i，则实数x的值等于（）A．4 B．﹣2 C．2 D．3若回归直线方程为，则a=（）A．3.2 B．2.6 C．2.8 D．2.04．若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是3x+2y=0，则它的离心率等于（）A．B．C．D．5．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为10，则判断框中应填入的条件是（）A．k≥﹣3 B．k≥﹣2 C．k＜﹣3 D．k≤﹣36．数列{a n}中，记数列的前n项和为T n，则T8的值为（）A．57 B．77 C．100 D．1267．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4 D．38．设Ω为不等式组（m＞0）表示的平面区域．若Ω的面积为9，则m=（）A．8 B．6 C．4 D．19．已知正实数m，若x10=a0+a1（m﹣x）+a2（m﹣x）2+…+a10（m﹣x）10，其中a8=180，则m值为（）A．4 B．2 C．3 D．610．已知球O的一个内接三棱锥P﹣ABC，其中△ABC是边长为2的正三角形，PC为球O 的直径，且PC=4，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，则抛物线的方程为（）A．y2=4x B．y2=8x C．y2=16x D．12．已知x＞0，y＞0，且4x++y+=26，则函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差为（）A．24 B．25 C．26 D．27二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．函数的值域是．14．在1和16之间插入n﹣2（n≥3）个实数，使这n个实数构成递增的等比数列，若记这n个实数的积为b n，则b3+b4+…+b n=．15．曲线的对称中心坐标为．16．在△AOB中，OA=1，OB=2，∠AOB=120°，MN是过点O的一条线段，且OM=ON=3，若R），则的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sin（A﹣B）+sinC=sinA．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若b=2，求a2+c2的最大值，并求取得最大值时角A，C的值．18．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，点E、F分别在CD、AB上，且EF⊥CD，BE⊥BC，BC=1，CE=2．现将矩形ADEF沿EF折起，使平面ADEF与平面EFBC垂直（如图2）．（Ⅰ）求证：CD∥面ABF；（Ⅱ）当AF的长为何值时，二面角A﹣BC﹣F的大小为30°．19．某研究性学习小组为了解学生每周用于体育锻炼时间的情况，在甲、乙两所学校随机抽取了各50名学生，做问卷调查，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）根据直方图计算：两所学校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数；（Ⅱ）在这100名学生中，要从每周用于体育锻炼时间不低于10小时的学生中选出3人，该3人中来自乙学校的学生数记为X，求X的分布列和数学期望．20．已知点在椭圆上，过椭圆C的右焦点F且垂直于椭圆长轴的弦长为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若MN是过椭圆C的右焦点F的动弦（非长轴），点T为椭圆C的左顶点，记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2．问k1k2是否为定值？若为定值，请求出定值；若不为定值，请说明理由．21．设函数f（x）=ln（1+x）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=g（x），当x≥0时，f（x）≤，求t的最小值；（Ⅱ）当n∈N*时，证明：．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知D点在⊙O直径BC的延长线上，DA切⊙O于A点，DE是∠ADB的平分线，交AC于F点，交AB于E点．（Ⅰ）求∠AEF的度数；（Ⅱ）若AB=AD，求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过定点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，若直线l和曲线C相交于M、N两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）证明：|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|，其中a为实常数．（Ⅰ）若函数f（x）的最小值为2，求a的值；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，不等式|x﹣2|≥f（x）恒成立，求a的取值范围．2016年福建省南平市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是≤符合题目要求的.1．集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|2x＜8}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[﹣2，3）C．[﹣4，3）D．（﹣∞，3]【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A，B，取交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}={x|﹣2≤x≤4}，B={x|2x＜8}={x|x＜3}，则A∩B=[﹣2，3）．2．已知i为虚数单位，若（x+2i）（x﹣i）=6+2i，则实数x的值等于（）A．4 B．﹣2 C．2 D．3【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：（x+2i）（x﹣i）=6+2i，∴x2+2+xi=6+2i，∴，解得x=2．故选：C．若回归直线方程为，则a=（）A．3.2 B．2.6 C．2.8 D．2.0【考点】线性回归方程．【分析】求出数据中心，代入回归方程解出a．【解答】解：，=4.5．∴4.5=0.95×2+a，解得a=2.6．故选：B．4．若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是3x+2y=0，则它的离心率等于（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的渐近线方程是3x+2y=0可知=，由此可以求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程是3x+2y=0，∴=，设a=2k，b=3k，则c=k，∴e==．故选：C．5．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为10，则判断框中应填入的条件是（）A．k≥﹣3 B．k≥﹣2 C．k＜﹣3 D．k≤﹣3【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行结果，分析不满足输出条件继续循环和满足输出条件退出循环时，变量k值所要满足的要求，可得答案．【解答】解：当k=1时，S=﹣2，k=0不满足输出条件；当k=0时，S=﹣2，k=﹣1，不满足输出条件；当k=﹣1时，S=0，k=﹣2，不满足输出条件；当k=﹣2时，S=4，k=﹣3，不满足输出条件；当k=﹣3时，S=10，k=﹣4，满足输出条件，；分析四个答案后，只有A满足上述要求故选A6．数列{a n}中，记数列的前n项和为T n，则T8的值为（）A．57 B．77 C．100 D．126【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】通过对a n+1=两边同时取倒数，整理可知数列{}是首项为2、公差为3的等差数列，进而利用等差数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：∵a n+1=，∴==+3，又∵=2，∴数列{}是首项为2、公差为3的等差数列，∴T 8=2×8+×3=100， 故选：C ．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．4D ．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】两条三视图判断几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图知，几何体的形状如图，底面是边长为2的正方形，PA 垂直底面，PA=2，ED 垂直底面，DE=1，几何体的体积为：V P ﹣ABCD +V P ﹣CDE =+=．故选：A ．8．设Ω为不等式组（m＞0）表示的平面区域．若Ω的面积为9，则m=（）A．8 B．6 C．4 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域的面积确定a的取值．【解答】解坐标不等式对应的平面区域如图（阴影部分），由图象可知A（﹣2，2），B（m，m+4），C（m，﹣m），此时三角形ABC的面积为×（m+2）|×（2m+4）=9，所以要使阴影部分的面积为9，则m＞0．解得，m=1．故选：D．9．已知正实数m，若x10=a0+a1（m﹣x）+a2（m﹣x）2+…+a10（m﹣x）10，其中a8=180，则m值为（）A．4 B．2 C．3 D．6【考点】二项式系数的性质．【分析】根据题意，x10=[m﹣（m﹣x）]10，利用二项式展开式定理求出展开式的第8项系数，列出方程求出m的值．【解答】解：∵x10=a0+a1（m﹣x）+a2（m﹣x）2+…+a10（m﹣x）10，且x10=[m﹣（m﹣x）]10=•m10﹣•m9•（m﹣x）+•m8•（m﹣x）2﹣…+•m2•（m﹣x）8﹣•m•（m﹣x）9+•（m﹣x）10=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a10（x﹣1）10，∴a8=m2=180，即45m2=180，解得m=2或m=﹣2（不合题意，舍去），∴m的值为2．故选：B．10．已知球O的一个内接三棱锥P﹣ABC，其中△ABC是边长为2的正三角形，PC为球O 的直径，且PC=4，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】取△ABC的中心E，则OE⊥平面ABC，所以P到平面ABC的距离h=2OE，利用正三角形的性质和勾股定理求出OE，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：设△ABC的中心为E，AB中点为D，连结OE，则OE⊥平面ABC，∴OE⊥CE．∵O是PC的中点，∴P到平面ABC的距离h=2OE．由正三角形的性质可得CD=，CE==．∴OE===．∴h=．∴三棱锥的体积V===．故选B．11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，则抛物线的方程为（）A．y2=4x B．y2=8x C．y2=16x D．【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．【分析】先设抛物线的准线与x轴的交点为D，根据抛物线的性质可知|AF|=|AC|，根据F 是AB的中点可知|AC|=2|FD|，|AB|=2|AF|进而得到|AF|和|AB|关于p的表达式，进而得到|BC|，最后根据=48，求得p．【解答】解：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，故|AF|=|AC|=2|FD|=2p，|AB|=2|AF|=2|AC|=4p，∴∠ABC=30°，||=2p，=4p•2p•cos30°=48，解得p=2，∴抛物线的方程为y2=4x．故答案为：y2=4x12．已知x＞0，y＞0，且4x++y+=26，则函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差为（）A．24 B．25 C．26 D．27【考点】基本不等式．【分析】设4x+y=m∈（0，26）．由于x＞0，y＞0，且4x++y+=26，可得： +=26﹣m．变形为：26﹣m=（4x+y），利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设4x+y=m∈（0，26）．∵x＞0，y＞0，且4x++y+=26，∴+=26﹣m．∴26﹣m=（4x+y）=≥=，当且仅当y=6x时取等号．化为：m2﹣26m+25≤0，解得1≤m≤25，∴函数F（x，y）=4x+y的最大值与最小值的差=25﹣1=24．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．函数的值域是[﹣，1]．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域得出结论．【解答】解：∵x∈[0，]，x﹣∈[﹣，]，∴f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）∈[﹣，1]，故答案为：[﹣，1]．14．在1和16之间插入n﹣2（n≥3）个实数，使这n个实数构成递增的等比数列，若记这n个实数的积为b n，则b3+b4+…+b n=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】求出等比数列的公比，求出b n，代入等比数列数列的求和公式．【解答】解：设插入n﹣2个数后组成的等比数列的公比为q，则q=，∴b n=1•q•q2•q3•…•q n﹣1=q=16=4n．∴b3+b4+…+b n=43+44+45+…+4n=．故答案为：．15．曲线的对称中心坐标为（0，3）．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的图象即可求出．【解答】解：=3+，当x=0时，=0，∴函数的对称中心为（0，3）．故答案为：（0，3）．16．在△AOB中，OA=1，OB=2，∠AOB=120°，MN是过点O的一条线段，且OM=ON=3，若R），则的最小值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】问题转化为求的最小值，通过解三角形求出即可．【解答】解：由题意可得•=（﹣）•（﹣）=•﹣•（+）+．由于MN是过点O的一条线段，且OM=ON=3，∴+=，•=﹣3×3=﹣9，要求•最小值，问题就是求OC2的最小值，因为C在AB线段上，如图示：那么OC⊥AB时，||最小，由AB2=1+4+2=7，得AB=，∴OC2=4﹣BC2=1﹣，解得BC=，∴OC2=，∴则的最小值是﹣9+=﹣，故答案为：﹣．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sin（A﹣B）+sinC=sinA．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若b=2，求a2+c2的最大值，并求取得最大值时角A，C的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及三角形内角和定理，两角和与差的正弦函数公式化简可得2sinAcosB=sinA，由于sinA≠0，即可解得cosB的值，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．（Ⅱ）由余弦定理及基本不等式可得：a2+c2﹣ac=4，且ac≤，从而可得4≥（1﹣）（a2+c2），即可解得a2+c2的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵由已知及C=π﹣（A+B）可得：sin（A﹣B）+sinC=sin（A﹣B）+sin（A+B）=sinAcosB﹣cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB=sinA…3分∵A是三角形的内角，sinA≠0，∴cosB=…4分∴由B∈（0，π），可得B=…5分（Ⅱ）∵由余弦定理可得：a2+c2﹣ac=4，且ac≤，…7分∴4=a2+c2﹣ac≥（a2+c2）﹣（a2+c2）=（1﹣）（a2+c2），…9分∴a2+c2≤=8（当且仅当a=c时，等号成立），…11分∴当A=C=时，a2+c2的最大值是8…12分18．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，点E、F分别在CD、AB上，且EF⊥CD，BE⊥BC，BC=1，CE=2．现将矩形ADEF沿EF折起，使平面ADEF与平面EFBC垂直（如图2）．（Ⅰ）求证：CD∥面ABF；（Ⅱ）当AF的长为何值时，二面角A﹣BC﹣F的大小为30°．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）推导出CE∥面ABF，DE∥面ABF，由此能证明面CDE∥面ABF，从而CD ∥面ABF．（Ⅱ）过F作CB的垂线，交CB的延长线于H点，连结AH，推导出∠AHF是二面角A﹣BC﹣F的平面角，由此能求出AF的长．【解答】证明：（Ⅰ）∵CE∥BF，CE⊄面ABF，BF⊂面ABF，∴CE∥面ABF，又DE∥AF，DE⊄面ABF，AF⊂面ABF，∴DE∥面ABF，∵DE∩CE=E，且DE、CE⊂面CDE，∴面CDE∥面ABF，又CD⊂面CDE，∴CD∥面ABF．解：（Ⅱ）过F作CB的垂线，交CB的延长线于H点，连结AH，∵面ADEF⊥面EFBC，AF⊥EF，∴AF⊥面EFBC，CB⊂面EFBC，∴CB⊥AF，CB⊥面AF，∴AH⊥CH，∴∠AHF是二面角A﹣BC﹣F的平面角，∴∠AHF=30°，∵BC=1，CE=2，且BE⊥BC，∴∠BCE=60°，在直线梯形EFBC中，BF=2﹣cos60°=，∴FH==，在直角三角形AHF中，AF=FH．19．某研究性学习小组为了解学生每周用于体育锻炼时间的情况，在甲、乙两所学校随机抽取了各50名学生，做问卷调查，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）根据直方图计算：两所学校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数；（Ⅱ）在这100名学生中，要从每周用于体育锻炼时间不低于10小时的学生中选出3人，该3人中来自乙学校的学生数记为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出两所学校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数．（Ⅱ）每周体育锻炼时间不低于10个小时的学生中，甲校有2人，乙校有4人，X的所有可能取值有1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得甲校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数为：=0.12×5.5+0.24×6.5+0.32×7.5+0.20×8.5+0.08×9.5+0.04×10.5=7.5．乙校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数为：=0.08×5.5+0.24×6.5+0.28×7.5+0.24×8.5+0.08×9.5+0.08×10.5=7.74．（Ⅱ）每周体育锻炼时间不低于10个小时的学生中，甲校有2人，乙校有4人，X的所有可能取值有1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，XEX=．20．已知点在椭圆上，过椭圆C的右焦点F且垂直于椭圆长轴的弦长为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若MN是过椭圆C的右焦点F的动弦（非长轴），点T为椭圆C的左顶点，记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2．问k1k2是否为定值？若为定值，请求出定值；若不为定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据条件便可以得到，解出a，b便可得出椭圆C的方程为；（Ⅱ）可设直线MN的方程为x=ty+1，带入椭圆方程并整理便可得到（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，从而由韦达定理可得到，而，这样即可求得，即得出k1k2为定值，并得出该定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，，解得；∴椭圆的方程为；（Ⅱ）由题意知，T（﹣2，0），F（1，0），设直线MN的方程为x=ty+1，M（x1，y1），N （x2，y2）；将方程x=ty+1带入椭圆方程并化简得：（3t2+4）y2+6ty﹣9=0；∴；∴====；∴k1k2为定值，定值为．21．设函数f（x）=ln（1+x）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=g（x），当x≥0时，f（x）≤，求t的最小值；（Ⅱ）当n∈N*时，证明：．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程，即g（x）=x．由题意可得ln（x+1）﹣≤0，x≥0恒成立．设h（x）=ln（x+1）﹣，x≥0，求出导数，求得单调区间，可得最小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得ln（1+x）＜，x≥0，x=0时取得等号．取x=，ln＜=+（﹣），运用对数的运算性质和累加法，及不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=，f（0）=0，f′（0）=1，切线的方程为y=x，即g（x）=x，当x≥0时，f（x）≤，即为ln（x+1）﹣≤0，x≥0恒成立．设h（x）=ln（x+1）﹣，x≥0，h（x）≤0，h（1）≤0即t≥﹣1+2ln2＞0．h′（x）=﹣==﹣，当0＜t＜时，0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）递增，故0＜x＜时，h（x）＞h（0）=0，与x≥0，h（x）≤h（0）=0，相矛盾，则0＜t＜不合题意．当t=时，h′（x）=﹣＜0，h（x）在[0，+∞）递减，故当x≥0时，h（x）≤h（0）=0，因此t的最小值为；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得ln（1+x）＜，x≥0，x=0时取得等号．取x=，ln＜=+（﹣），则ln＜+（﹣），（1）ln＜+（﹣），（2）…，ln＜+（﹣），（n）将n个不等式相加，由对数的运算性质，可得ln2=ln（•…）＜++…++（﹣），则．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知D点在⊙O直径BC的延长线上，DA切⊙O于A点，DE是∠ADB的平分线，交AC于F点，交AB于E点．（Ⅰ）求∠AEF的度数；（Ⅱ）若AB=AD，求的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）利用弦切角定理、角平分线的性质证明∠AEF=∠AFE，由BC为⊙O的直径，结合圆周角定理的推论，可得∠AFE的度数；（Ⅱ）证明△ACD∽△BAD，根据三角形相似的性质可得=，又由AB=AD，可得AD：BD=tanB，求出B角大小后，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为AC为⊙O的切线，所以∠B=∠DAC因为DE是∠ADB的平分线，所以∠ADE=∠EDB所以∠B+∠EDB=∠DAC+∠ADE，即∠AEF=∠AFE，又因为BC为⊙O的直径，所以∠BAC=90°．所以∠AEF==45°；（Ⅱ）因为∠B=∠DAC，所以∠ADB=∠CDA，所以△ACD∽△BAD，所以=，又因为AB=AD，所以∠B=∠ADB=30°，Rt△BAC中，==tan30°=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过定点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，若直线l和曲线C相交于M、N两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）证明：|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）根据极坐标方程，参数方程和普通坐标之间的关系进行转化求解即可，（Ⅱ）在直角坐标系下，练习直线方程和抛物线方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式进行求解，结合等比数列的定义进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由ρsin2θ=2cosθ得ρ2sin2θ=2ρcosθ，即y2=2x，由，两式相减，消去参数t得x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）由得（x ﹣2）2=2x ，即x 2﹣6x +4=0，得x=3±，则M （3+，1+），N （3﹣，1﹣），由两点间的距离公式得|MN |==2，同理|PM |=5，|PN |=5﹣，则有|MN |2=|PM ||PN |，故|PM |、|MN |、|PN |成等比数列．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x ﹣1|+|x +a |，其中a 为实常数． （Ⅰ）若函数f （x ）的最小值为2，求a 的值；（Ⅱ）当x ∈[0，1]时，不等式|x ﹣2|≥f （x ）恒成立，求a 的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式． 【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的最小值，得到|a +1|=2，解出a 的值即可；（Ⅱ）问题转化为|x +a |≤1，求出x 的范围，结合集合的包含关系得到关于a 的不等式组，解出即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=|x ﹣1|+|x +a |≥|（x ﹣1）﹣（x +a ）|=|a +1|， 当且仅当（x ﹣1）（x +a ）≤0时取等号， ∴f （x ）min =|a +1|，由|a +1|=2，解得：a=1或a=﹣3；（Ⅱ）当x ∈[0，1]时，f （x ）=﹣x +1+|x +a |， 而|x ﹣2|=﹣x +2，由|x ﹣2|≥f （x ）恒成立， 得﹣x +2≥﹣x +1+|x +a |，即|x +a |≤1，解得：﹣1﹣a ≤x ≤1﹣a ， 由题意得[0，1]⊆[﹣1﹣a ，1﹣a ]，则，即﹣1≤a ≤0．2016年8月24日第21页（共21页）。

5．图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）421A B C D=+，则xy上，若AP x AB y AC2117．（12分）四边形ABCD中，AD BC∥，2AB=，1AD=，3A=．（1）求sin ADB∠；（2）若2πsin3BDC∠=，求四边形ABCD的面积．18．（12分）某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师伴侣流量套餐，为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分布视为其手机月使用流量，并将频率为概率，回答以下问题．（1）从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人月使用流量不超过300M的概率；（2）现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200 M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M流量，资费20元/次，依此类推，如果当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由．19．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的多面体中，四边形ACDF 是菱形，60FAC ︒∠=，AB DE ∥，BC EF ∥，3AB BC ==，AF =，BF =（1）求证：平面ABC ACDF ⊥平面；（2）求平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点1F ，2F ，P 分别为是C上异于长轴端点的动点，12F PF ∠的平分线交x 轴于点M ，当P 在轴上的射影为2F 时，M 恰为2OF 中点． （1）求C 的方程；（2）过点2F 引2PF 的垂线交直线:2l x =于点Q ，试判断直线PQ 与C 是否有其它公共点？说明理由．21．（12分）已知函数()cos (1)sin f x x x a x =-+，,[]0x π∈，其中3π4a ≤． （1）证明：当π[0,]2x ∈时，()0f x ≤； （2）判断()f x 的极值点个数，并说明理由； （3）记()f x 最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．[选修4—4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x ty t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:sin C ρθ=，曲线3π(0)6:C θρ=>，(2,0)A ． （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）设3C 分别交1C ，2C 于点P ，Q ，求APQ △的面积．[选修4—5不等式选讲]23．（10分）已知函数||()212f x x x =++-，集合(){|}3A x f x =<． （1）求A ；17．解：（1）在ABD △中，2AB =，1AD =，3A =， 由余弦定理得2222π2cos 41221cos 73BD AB AD AB AD A =+=+-⨯⨯⨯-=，∴BD =在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠，2sin sin3ADB =∠，解得sin ADB ∠． （2）设CBD α∠=， ∵AD BC ∥，∴ADB CBD α∠=∠=，∴sin α=∵π02α<<，∴cos α=，∵2π3BDC ∠=，∴πππsin sin()sin cos cos sin 333C ααα=-=-=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠2πsin 3BC=，解得7BC =，∴11sin 7227BCD S BD BC α=⨯⨯⨯=⨯△，112πsin 21sin 2232ABDS AB AD A =⨯⨯=⨯⨯⨯=△， ∴四边形ABCD 的面积：22BCD ABD S S S =+=+=△△18．解：（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300 M ”为事件D ， 依题意，()(0.00080.0022)1000.3P D =+⨯=，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300 M 的人数为X ，则X ～(30.3)B ，， ∴从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300 M 的概率为：0031233(0)(1)C (0.3)(0.7)+C (0.3)(0.7)0.784P X P X =+===．（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量(300,500]L ∈的概率为：(0.00250.0035)1000.6+⨯=，(500],700L ∈的概率为：(0.00080.0002)1000.1+⨯=，当学校订购A 套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为X 元，则X 的所有可能取值为20，35，50，且(20)0.3P X ==，(35)0.6P X ==，(50)0.1P X ==， ∴X 的分布列为：∴()200.3350.6500.132E X =⨯+⨯+⨯=（元）．当学校订购B 套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Y 元，则Y 的可能取值为30，45，且(30)0.30.60.9P Y ==+=，(45)0.1P Y ==， ∴Y 的分布列为：()300.9450.131.5E Y =⨯+⨯=，当学校订购C 套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Z 元， 则Z 的所有可能取值为38，且(38)1P Z ==，()38138E Z =⨯=， ∵()()()E Y E X E Z <<， ∴学校订购B 套餐最经济．19．证明：（1）设O 是AC 中点，连结OF 、OB 、FC ， 在ABC △中，AB BC =， ∴OB AC ⊥，∵四边形ACDF 是菱形，60FAC ︒∠=， ∴FAC △是等边三角形， ∴OF AC ⊥，∴FOB ∠是二面角F AC B --的平面角，在Rt FAO △中，AF =，1122AO AC AF ===∴OF =又∵BF = ∴222OF OB BF +=， ∴90FOB ︒∠=，∴平面ABC ⊥平面ACDF ．解：（2）由（1）知OB 、OC 、OF 两两垂直，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OF 为z 轴， 建立空间直角坐标系，则(0,A ，B ，C ，(0,0,3)F ，AF =，(0,2,0)AC =，∵AB DE ∥，AF CD ∥，又AB CDE ⊄平面，AF CDE ⊄平面，DE CDE ⊂平面，CD CDE ⊂平面， ∴AB CDE ∥平面，AF CDE ∥平面，又AB AF A ⋂=， ∴平面ABF CDE ∥平面， ∵EF BC ∥，∴B C E F 、、、四点共面，又平面ABF BCEF BF ⋂=平面，平面CDE BCEF CE ⋂=平面， ∴BF CE ∥，∴四边形BCEF 是平行四边形，∴(FE BC ==，∴(AE AF FE =+=， 设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =，则33060n AEy z n FE ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩，取x (3,6,n=， 设平面ACE 的法向量(,,)n a b c =，则630230mAF c m AC b ⎧=-++=⎪⎨==⎪⎩，取a，得(3,0,m =， 设平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角为θ， 则||cos||||55m n m n θ===．∴平面AEF 与平面ACE20．解：（1）由题意可知：12||2F F c =，则221c a =-，① 由函数的对称性，设P 在x 轴上方，则P 在x 轴上的射影为2F ，则1(,)P c a，1,(0)F c -，20(,)F c ，则直线1P 的方程为20x acy c -+=， 由2|||2|OF OM =，则||2c OM =，则M 的坐标为(,0)2c， 则点M 到直线1PF的距离|c |2c cd +=，整理得：222a c =，② 由①②可得：22a =，21c =，则椭圆的标准方程：2212x y +=；（2）除P 以外，直线PQ 与C 无其他公共点，设000,)(0)(P x y y ≠，则220012x y +=，则220012x y =-，则)(2,Q Q y ，则(1),Q QF y =--，200(1,)PF x y =--， 由22QF PF ⊥，则220QF PF =， 则0010Q x y y +=-，则01Q x y y -=， ∴20002000000000001(1)(1)(1)22(2)(2)2PQx x y x y y x x k x x y x y y ---+-+-====----， 则直线PQ 的方程0000(2)x y y x x y -=--，整理得：22000000222220y y y x x x x x y y -=-++-=，， 则002222022x x y y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22220000)(242(2)0x y y y y x +--+=，即220020y y y y +=-， 由2200)(240y y -∆==，∴除P 以外，直线PQ 与C 无其它公共点．方法二：（1）由题意可知：12|2|F F c =，则221c a =-，① 由函数的对称性，设P 在x 轴上方， 由2||2||OF OM =，则||2c OM =，则M 的坐标为(,0)2c， 则13||2c MF =，2||2cMF =， 在1PMF △中，由正弦定理可知：1111||||sin sin MF PF MPF PMF =∠∠，则2PMF △中，由正弦定理可知：2222||||sin sin MF PF MPF PMF =∠∠，由12180PMF PMF ︒∠=-∠，则12sin PMF sin PMF ∠=∠， 又由12MPF MPF ∠=∠，则1122|MF ||MF ||MF ||MF |=，故12||3||PF PF =，由12||||2PF PF a +=，则1||32PF a =，2||12PF a =，由2221212||||||PF PF F F =+，整理得：22231()()(2)22a a c =+，整理得：222c a =，② 由①②可得：22a =，21c =，则椭圆的标准方程：2212x y +=；（2）除P 以外，直线PQ 与C 无其他公共点，设000,)(0)(P x y y ≠，则220012x y +=，则220012x y =-，则)(2,Q Q y ，则(1),Q QF y =--，200(1,)PF x y =--， 由22QF PF ⊥，则220QF PF =， 则0010Q x y y +=-，则01Q x y y -=， ∴20002000000000001(1)(1)(1)22(2)(2)2PQx x y x y y x x k x x y x y y ---+-+-====----， 则直线PQ 的方程0000(2)x y y x x y -=--，整理得：22000000222220y y y x x x x x y y -=-++-=，， 则002222022x x y y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22220000)(242(2)0x y y y y x +--+=，即220020y y y y +=-， 由2200)(240y y -∆==，∴除P 以外，直线PQ 与C 无其它公共点．21．证明：（1）∵()cos (1)sin ,,]0[f x x x a x x π=-+∈， ∴()sin cos f x x x a x '=--，∵3π4α≤≤∴当π(0,)2x ∈时，()0f x '<，∴()f x 在[π0,2]上是减函数，∴当π[0,]2x ∈时，()(0)0f x f ≤=成立．解：（2）()f x 有唯一极值点． 理由如下：设()()p x f x ='，则()cos (1)sin p x x x a x '=-+-，∵3π14a ≥>， ∴当π(,π)2x ∈ 时，()0p x '>，∴()p x 在π[,2π]上单调递增，∵()p x 在π[,2π]上存在唯一零点β，又由（1）知，当2[]π0,x ∈时，()0p x <，∴()p x 在[π0,2]上无零点，∴()f x '在[0,π]上存在唯一零点β，∴当(0,)x β∈时，()0f x '<，当(,π)x β∈时，()0f x '>． ∴当π[]0,x ∈时，()f x 有唯一极值点β，且β为极小值点． （3由（2）知，当π[]0,x ∈时，()()()min h a f a f β==，()sin cos f a ββββ'=--，∵π(,π)2β∈， ∴cos 0β<， ∴sin cos ββαβ=-， ∴2sin ()()(1)sin sin cos cos h a f cos a sin cos βββββββββββββ==-+=+-=-， 设sin ()cos x x q x x =-，则2sin 22()2cos x xq x x+'=-， 当π(,)2x π∈时，sin221π0x x +>-+>，∴()0q x '<，即()q x 在π(,π)2单调递减，又∵3π4a ≤≤时，2π3π34β≤≤．∴对于每一个3π[4α∈，均存在唯一的2π3π[,]34β∈与之相对应，反之亦然，设()sin cos x x x x ϕ=-，2π3π[,]34x ∈， 则2222cos sin (1cos )sin (sin 22)sin ()cos 0cos cos 2cos x x x x x x x x xx x x x x ϕ+-++'=-==>， 2π3π[,]3)4(x ϕ在上单调递增，∴当3π4α≤时，min 2π4π()()33f βϕ==--，max 3π()()4f βϕ=．∴函数()h a 的值域为4π[3242----．[选修4—4坐标系与参数方程]22．解：（1）∵曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），∴1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x -+=，∴1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=．（2）依题意，设点P 、Q 的极坐标分别为1(π6ρ,），2(π6ρ,），将π6θ=代入4cos ρθ=，得1ρ=， 将π6θ=代入2sin ρθ=，得21ρ=，∴12||||21PQ ρρ-==-， 依题意，点(2,0)A 到曲线π(0)6θρ=>的距离||sin 1d OA ==，∴11||1)122APQS PQ d ==⨯⨯=△．[选修4—5不等式选讲]23．（1）解：由题意，|21||2|3x x ++-<，12x <-，不等式化为2123x x ---+<，即23x >-，∴2132x -<<-；122x -≤≤，不等式化为2123x x +-+<，即0x <， ∴102x -≤<；2x >，不等式化为2123x x ++-<，即43x <，不成立，综上所述，不等式的解集为2{|}30x x -<<；（2）证明：不妨设203s t <<<-，则1t s<，要证明1|1|||t t s s -<-，证明11t t s s-<-+，只要证明(1)(1)0t s +->， ∵203s t -＜＜＜， ∴(1)(1)0t s +->， ∴1|1|||t t s s-<-．福建省2017届普通高中高考（四月）数学（理科）模拟试卷解析一、选择题1．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：，∴（1﹣i）（1﹣i），∴z=（1﹣i）=1﹣i．=1+i则在复平面内，对应的点（1，1）位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合A，B，从而得到C R B，由此能求出A∩∁R B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，B={x|x＞2}，∴C R B={x|x≤2}，A∩∁R B={x|0＜x≤2}．故选：B．【点评】本题考查补集、交集的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是基础题．3．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数y=3cos（2x+）的图象向右平移个单位长度，可得：y=3cos[2（x﹣）+]=3cos（2x+），由2x+=+kπ，（k∈Z），可得：对称中心横坐标x=kπ+，（k∈Z），可得：当k=0时，平移后图象的一个对称中心是（，0）．故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，比较基础．4．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】先利用等差数列通项公式求出第5天派出的人数，再利用等差数列前n项和公式求出前5天一共派出多少人，由此能求出结果．【解答】解：∵第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，∴第5天派出：64+4×7=92人，∴前5天共派出=390（人），∴前5天应发大米：390×3=1170（升）．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想，是基础题．5．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知：该几何体是棱长为2的正方体，挖去半个圆锥体，结合图中数据，计算它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，挖去半个圆锥体，如图所示；结合图中数据，计算它的体积为V=23﹣××π×12×2=8﹣．故选：D．【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，是基础题．6．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】购买该食品4袋，购买卡片编号的所有可能结果为：n=34，获奖时至多有2张卡片相同，且“富强福”、“和谐福”、“友善福”三种卡片齐全，由此能求出购买该食品4袋，获奖的概率．【解答】解：购买该食品4袋，购买卡片编号的所有可能结果为：n=34，获奖时至多有2张卡片相同，且“富强福”、“和谐福”、“友善福”三种卡片齐全，相同的2张为，在4个位置中选2个位置，有种选法，其余2个卡片有种选法，∴获奖包含的基本事件个数m==36，∴购买该食品4袋，获奖的概率为p==．故选：B．【点评】本题考查丰典概型及应用，考查概率的计算，考查计数原理，考查排列组合，解答本题的关系是正确理解获奖的情形，解题时要认真审题，注意排列组合公式的合理运用，是中档题．7．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟循环，利用周期，即可得出结论．【解答】解：由题意，a=，b=1，i=2a=﹣1，b=﹣2，i=3，a=2，b=﹣4，i=4，a=，b=1，i=5，…a=，b=1，i=2015，a=﹣1，b=﹣2，i=2016，a=2，b=﹣4，i=2017，a=，b=1，i=2018，退出循环，输出1，故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列．8．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由题意可知：|AC|=2|AF|，则∠ACD=，利用三角形相似关系可知丨AF丨=丨AD丨=，直线AB的切斜角，设直线l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线弦长公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．【解答】解：抛物线y2=4x焦点F（1，0），准线方程l：x=﹣1，准线l与x轴交于H点，过A和B做AD⊥l，BE⊥l，由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AD丨，丨BF丨=丨BE丨，|AC|=2|AF|，即|AC|=2|AD|，则∠ACD=，由丨HF丨=p=2，∴==，则丨AF丨=丨AD丨=，设直线AB的方程y=（x﹣1），，整理得：3x2﹣10x+1=0，则x1+x2=，由抛物线的性质可知：丨AB丨=x1+x2+p=，∴丨AF丨+丨BF丨=，解得：丨BF丨=4，故选C．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查相似三角形的性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．9．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用已知条件推出x+y=1，然后利用x，y的范围，利用基本不等式求解xy的最值．【解答】解：D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若=x+y，可得x+y=1，x，y∈[，]，则xy≤=，当且仅当x=y=时取等号，并且xy=x（1﹣y）=x﹣x2，函数的开口向上，对称轴为：x=，当x=或x=时，取最小值，xy的最小值为：．则xy的取值范围是：[，]．故选：D．【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．10．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意，球心O必在EF上，则OF2+22=R=（4﹣OF）2+42，即可得出结论．【解答】解：由题意，球心O必在EF上，则OF2+22=R=（4﹣OF）2+42，∴OF2=，R=．故选C．【点评】本题考查球的半径的求解，考查方程思想，比较基础．11．【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求出双曲线方程，利用点差法，即可得出结论．【解答】解：由题意，M，N是双曲线的右支上的两点，a=，c=2，b=1，∴双曲线方程为=1（x＞），设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=12，y1+y2=2，代入双曲线方程，作差可得（x1﹣x2）﹣2（y1﹣y2）=0，∴k=2，故选D．【点评】本题考查双曲线方程，考查点差法的应用，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．12．【考点】3T：函数的值．【分析】令F（x）=，令G（x）=，根据函数的单调性分别求出F（x）的最小值和G（x）的最大值，求出a的范围即可．【解答】解：由⇒⇒＜a＜，令F（x）=，则F′（x）=＜0对x∈（1，2）成立，∴F（x）在（1，2）递减，∴F（x）min=F（2）=ln2，令G（x）=，则G′（x）=＞0对x∈（1，2）成立，∴G（x）在（1，2）上递增，∴G（x）max=G（2）=，故ln2＜a＜时，满足题意，故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．二、填空题13．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】求出（x+1）5展开式的含x2与x3项的系数，再计算（x﹣2）（x+1）5展开式中x3的系数．【解答】解：（x+1）5展开式的通项公式为T r+1=C5r•x5﹣r，令5﹣r=2，解得r=3，所以T4=C53•x2=10x2；令5﹣r=3，解得r=2，所以T3=C52•x3=10x3；所以（x﹣2）（x+1）5展开式中x3的系数为10×1+10×（﹣2）=﹣10．故答案为：﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=﹣x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为Z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A或B即和直线x﹣y+1=0重合时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大，此时﹣x+y=1，即此时z=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．15．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，分析可得函数f（x）=x2（2x﹣2﹣x）为奇函数且为增函数，进而可以将f（2x+1）+f（1）≥0变形为f（2x+1）≥f（﹣1），结合单调性可得2x+1≥﹣1，解可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x2（2x﹣2﹣x），其定义域为R，f（﹣x）=（﹣x）2（2﹣x﹣2x）=﹣x2（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数；函数f（x）=x2（2x﹣2﹣x），其导数f′（x）=x2（2x﹣2﹣x）=2x•（2x﹣2﹣x）+x2•ln2（2x+2﹣x）＞0，为增函数；而f（2x+1）+f（1）≥0⇔f（2x+1）≥﹣f（1）⇔f（2x+1）≥f（﹣1）⇔2x+1≥﹣1，解可得x≥﹣1；即不等式f（2x+1）+f（1）≥0的解集{x|x≥﹣1}，故答案为：{x|x≥﹣1}．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数的奇偶性与单调性．16．【考点】8E：数列的求和．【分析】运用数列的递推关系，n≥2时将n换为n﹣1，相减可得数列{a n}的通项公式，再由取整函数的定义，运用不完全归纳法，即可得到所求和．【解答】解：由，①可得a2﹣S1=，a2=a1+=，将n换为n﹣1，可得a n﹣S n﹣1=，n≥2②由a n=S n﹣S n﹣1，①﹣②可得，a n+1=2a n，则a n=a22n﹣2=•2n﹣2=•2n，上式对n=1也成立．则a n=•2n，b n=[a n]=[•2n]，当n=1时，b1+b2=0+1=1=﹣1﹣；当n=2时，b1+b2+b3+b4=0+1+2+5=8=﹣2﹣；当n=3时，b1+b2+b3+b4+b5+b6=0+1+2+5+10+21=39=﹣3﹣；当n=4时，b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8=0+1+2+5+10+21+42+85=166=﹣4﹣；…则数列{b n}的前2n项和为b1+b2+b3+b4+…+b2n﹣1+b2n=﹣n﹣．故答案为：﹣n﹣．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、取整函数，考查了推理能力与计算归纳能力，属于中档题．三、解答题17．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）由余弦定理求出BD=，由此利用正弦定理能求出sin∠ADB．（2）设∠CBD=α，则sin，cosα=，从而sinC=sin（）=，由正弦定理求出BC=7，四边形ABCD的面积S=S△BCD+S△ABD，由此能求出结果．【点评】本题考查余弦定理、正弦定理、解三角形等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．18．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，依题意，P（D）=0.3，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X～B（3，0.3），由此能求出从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率．（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L∈（300，500]的概率为0.6，L∈（500，700]的概率为0.1，分别求出三各套餐的数学期望，能得到学校订购B套餐最经济．【点评】本题考查频率分布直方图、独立重复试验、数学期望等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，是中档题．19．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）设O是AC中点，连结OF、OB、FC，推导出OB⊥AC，OF⊥AC，则∠FOB是二面角F﹣AC﹣B的平面角，由此能证明平面ABC⊥平面ACDF．（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF 与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．【点评】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．20．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】方法一：（1）由丨F1F2丨=2c，则c2=a2﹣1，求得直线PF1的方程，利用点到直线的距离公式，求得a2c2=2，即可求得C的方程；（2）求得及，根据向量数量积的坐标运算，求得y Q=，求得PQ的方程，代入椭圆方程，△=（2y0）2﹣4y02=0，则除P以外，直线PQ与C无其它公共点．方法二：丨F1F2丨=2c，则c2=a2﹣1，利用正弦定理及三角形的相似性，求得丨PF1丨=3丨PF2丨，由椭圆定义及勾股定理，即可求得2c2=a2，即可求得a和b，求得椭圆方程；（2）求得及，根据向量数量积的坐标运算，求得y Q=，求得PQ的方程，代入椭圆方程，△=（2y0）2﹣4y02=0，则除P以外，直线PQ与C无其它公共点．【点评】本题考查椭圆的标准方程，向量数量积的坐标运算，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，正弦定理及勾股定理的应用，考查计算能力，属于中档题．21．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=﹣xsinx﹣acosx，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，由此能证明当时，f（x）≤f（0）=0成立．（2）设p（x）=f′（x），则p′（x）=﹣xcosx+（a﹣1）sinx，由导数性质得p（x）在[，π]上单调递增，从而f′（x）在[0，π]上存在唯一零点β，由此推导出当x∈[0，π]时，f（x）有唯一极值点β，且β为极小值点．（3）当x∈[0，π]时，h（a）=f（x）min=f（β），f′（β）=﹣βsinβ﹣acosβ，α=﹣，从而h（a）=，设q（x）=﹣，则，由此利用构造法及导数性质能求出函数h（a）的值域．【点评】本题考查导数及其应用等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查转化化归思想、分类讨论思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．22．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）先把曲线C1的参数方程化为普通方程，由此能求出C1的极坐标方程．（2）依题意，设点P、Q的极坐标分别为（ρ1，），（ρ2，），将代入ρ=4cosθ，得ρ1=2，将代入ρ=2sinθ，得ρ2=1，由此能求出结果．【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的应用，考查运算求解能力、转化化归思想，是中档题．23．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，即可解不等式；（2）不妨设﹣＜s＜t＜0，则＜1，要证明|1﹣|＜|t﹣|，证明1﹣＜﹣t+，利用分析法即可证明．【点评】本题考查不等式的解法与证明，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2016年福建省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i与2﹣bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．3﹣4iB．3+4iC．5﹣4iD．5+4i2．执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3，则输入的x的值可以是（）A．1B．2C．8D．93．已知cos（α+）=，﹣＜α＜，则sin2α的值等于（）A． B．﹣C． D．﹣4．已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件5．（5）若xy满足约束条件，则的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，1]C．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）6．已知等比数列{a n}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为T n，且a2a4=a3，则使得T n ＞1的n的最小值为（）A．4B．5C．6D．77．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为（）A．2B．8C．4D．88．在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=3， =2，则=（）A．﹣B．﹣C． D．9．若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．10．在三棱锥P﹣ABC中，PA=2，PC=2，AB=，BC=3，∠ABC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．4πB．πC．πD．16π11．已知F1，F2分别为双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点P是以F1F2为直径的圆与C右支的﹣个交点，F1P交C于另一点Q，且|PQ|=2|QF1|．则C的渐近线方程为（）A．y=±2xB．y=±xC．y=±xD．y=±x12．已知f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f′（x）满足+x＜1，则下列结论正确的是（）A．对于任意x∈R，f（x）＜0B．对于任意x∈R，f（x）＞0C．当且仅当x∈（﹣∞，1），f（x）＜0D．当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若随机变量X～N（μ，σ2），且P（X＞5）=P（X＜﹣1）=0.2，则P（2＜X＜5）= ．14．若（ax+）（2x+）5展开式中的常数项为﹣40，则a= ．15．若数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且a1=1，S n+1+S n=（n∈N*），则a25= ．16．已知点，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数的图象上，则四边形ABCD的面积为．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．△ABC中，B=，点D在边AB上，BD=1，且DA=DC．（Ⅰ）若△BCD的面积为，求CD；（Ⅱ）若AC=，求∠DCA．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1，BB1=2，∠ABB1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥B1C；（Ⅱ）若B1C=2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值．19．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含 40 单）的部分每单抽成4元，超出 40 单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数10 20 20 40 10（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于S，T两点，以P（3，0）为圆心的圆过点S，T，且∠SPT=90°（Ⅰ）求抛物线E和圆P的方程；（Ⅱ）设M是圆P上的点，过点M且垂直于FM的直线l交E于A，B两点，证明：FA⊥FB．21．已知函数f（x）=ax﹣ln（x+1），g（x）=e x﹣x﹣1．曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处的切线相同（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x≥0时，g（x）≥kf（x），求k的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，且D，C，E，G四点共圆．（Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG；（Ⅱ）若GC=1，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|．（I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．2016年福建省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i与2﹣bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．3﹣4iB．3+4iC．5﹣4iD．5+4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由a+i与2﹣bi互为共轭复数，求出a、b的值，然后代入（a+bi）2，再由复数代数形式的乘法运算化简，则答案可求．【解答】解：∵a+i与2﹣bi互为共轭复数，∴a=2，b=1．则（a+bi）2=（2+i）2=3+4i．故选：B．2．执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3，则输入的x的值可以是（）A．1B．2C．8D．9【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值，由y=3，分类讨论即可得解．【解答】解：根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．y=3，可得：当x≤1时，x2﹣1=3，解得：x=﹣2或2（舍去）；当1＜x≤2时，3x=3，解得：x=1（舍去）；当x＞2时，log2x=3，解得：x=8．比较各个选项，则输入的x的值可以是8．故选：C．3．已知cos（α+）=，﹣＜α＜，则sin2α的值等于（）A． B．﹣C． D．﹣【考点】二倍角的余弦．【分析】由题意和诱导公式可得sinα，由同角三角函数基本关系可得cosα，代入二倍角的正弦公式可得．【解答】解：∵cos（α+）=，∴﹣sinα=，即sinα=﹣，又∵﹣＜α＜，∴cosα==，∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）×=﹣，故选：D．4．已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：若a=3，b=，满足a+b＞2，但ab＞1不成立，∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2≥4ab，∵ab＞1，∴（a+b）2＞4，∴a+b＞2，故a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的充分不必要条件，故选：A5．（5）若xy满足约束条件，则的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，1]C．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，结合的几何意义，即可行域内的动点与定点P（1，﹣1）连线的斜率求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点P（1，﹣1）连线的斜率，∵，，∴的取值范围为[]．故选：B．6．已知等比数列{a n}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为T n，且a2a4=a3，则使得T n ＞1的n的最小值为（）A．4B．5C．6D．7【考点】等比数列的通项公式．【分析】可解得a3=1，a2＜1，a4＞1；而T5=a35=1，T6=（a3a4）3＞1，从而解得．【解答】解：∵a2a4=a3=a32，∴a3=1；a2＜1，a4＞1∵等比数列{a n}是各项均为正数的递增数列，且T5=a35=1，T6=（a3a4）3＞1，∴使得T n＞1的n的最小值为6，故选：C．7．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为（）A．2B．8C．4D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为是三棱锥，由三视图判断出线面的位置关系、并求出棱长，判断出几何体的各个面的面积最小的面，并求出此面的面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，且PB⊥平面ABC，底面是一个等腰三角形，且D是底边AC的中点，由三视图得：PB=AC=4，高BD=4，∴AB=AC==＞4，∵PB⊥BC，PB⊥AB，∴PC＞BC，PA＞AB，∴几何体的各个面的面积中最小的是△ABC，△ABC的面积S==8，故选：B．8．在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=3， =2，则=（）A．﹣B．﹣C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作出图形，根据便可得到，根据条件，AB=2，AC=3进行数量积的运算便可求出的值，从而得出的值．【解答】解：如图，；∴；∴；∴===．故选：C．9．若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由正方形和椭圆的对称性可得，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由B（a，0），OABC为正方形，可得A（，），C（，﹣），代入椭圆方程，可得a2=3b2，由a，b，c的关系，结合离心率公式，可得所求值．【解答】解：由正方形和椭圆的对称性可得，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由B（a，0），OABC为正方形，可得A（，），C（，﹣），将A的坐标代入椭圆方程可得+=1，即有a2=3b2，c2=a2﹣b2=a2，即有e==．故选：D．10．在三棱锥P﹣ABC中，PA=2，PC=2，AB=，BC=3，∠ABC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．4πB．πC．πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用勾股定理证明PA⊥PC，取AC的中点，则OA=OB=OC=OP，即O为三棱锥P﹣ABC 外接球的球心，半径为2，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：由题意，AC==4，∵PA=2，PC=2，∴PA2+PC2=AC2，∴PA⊥PC．取AC的中点，则OA=OB=OC=OP，即O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4πR2=16π．故选：D．11．已知F1，F2分别为双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点P是以F1F2为直径的圆与C右支的﹣个交点，F1P交C于另一点Q，且|PQ|=2|QF1|．则C的渐近线方程为（）A．y=±2xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得PF1⊥PF2，可设|QF1|=t，可得|PQ|=2t，由双曲线的定义可得|PF2|=3t ﹣2a，又连接QF2，可得|QF2|=t+2a，运用直角三角形的勾股定理，化简整理计算可得b=2a，运用双曲线的渐近线方程可得．【解答】解：由题意可得PF1⊥PF2，可设|QF1|=t，可得|PQ|=2t，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有|PF2|=3t﹣2a，又连接QF2，可得|QF2|﹣|QF1|=2a，即有|QF2|=t+2a，在直角三角形PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即为（3t）2+（3t﹣2a）2=4c2，①又|PQ|2+|PF2|2=|QF2|2，即有4t2+（3t﹣2a）2=（t+2a）2，②由②可得，3t=4a，代入①，可得16a2+4a2=4c2，即有c=a，b==2a，即有渐近线方程为y=±2x．故选：A．12．已知f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f′（x）满足+x＜1，则下列结论正确的是（）A．对于任意x∈R，f（x）＜0B．对于任意x∈R，f（x）＞0C．当且仅当x∈（﹣∞，1），f（x）＜0D．当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可得[（x﹣1）f（x）]′＞0，结合函数的单调性，从而可判断当x＞1时，f（x）＞0，结合f（x）为减函数可得结论．【解答】解：∵+x＜1，f（x）是定义在R上的减函数，f′（x）＜0，∴f（x）+f′（x）x＞f′（x），∴f（x）+f′（x）（x﹣1）＞0，∴[（x﹣1）f（x）]′＞0，∴函数y=（x﹣1）f（x）在R上单调递增，而x=1时，y=0，则x＜1时，y＜0，当x∈（1，+∞）时，x﹣1＞0，故f（x）＞0，又f（x）是定义在R上的减函数，∴x≤1时，f（x）＞0也成立，∴f（x）＞0对任意x∈R成立，故选：B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若随机变量X～N（μ，σ2），且P（X＞5）=P（X＜﹣1）=0.2，则P（2＜X＜5）= 0.3 ．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由条件求得μ=2，可得正态分布曲线的图象关于直线x=2对称．求得P（﹣1＜X ＜5）=1﹣P（X＜﹣1）﹣P（X＞5）的值，再根据P（﹣1＜X＜5）=2P（2＜X＜5），求得P （2＜X＜5）的值．【解答】解：∵随机变量X～N（μ，σ2），且P（X＞5）=P（X＜﹣1）=0.2，可得μ==2，正态分布曲线的图象关于直线x=2对称．∴P（﹣1＜X＜5）=2P（2＜X＜5）=1﹣0.2﹣0.2=0.6，∴P（2＜X＜5）=0.3，故答案为：0.3．14．若（ax+）（2x+）5展开式中的常数项为﹣40，则a= ﹣3 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据题意，（ax+）（2x+）5展开式中的常数项，是（2x+）5的展开式中项的系数与ax的系数之积，再加上x项的系数与的系数的积，利用（2x+）5展开式的通项公式，求出展开式中含与x项的系数，列出方程求出a的值．【解答】解：（ax+）（2x+）5展开式中的常数项，是（2x+）5的展开式中项的系数与ax的系数之积，再加上x项的系数与的系数的积；又（2x+）5展开式的通项公式为：T r+1=•（2x）5﹣r•=25﹣r••x5﹣2r，令5﹣2r=﹣1，解得r=3，∴T3+1=22••=40•；令5﹣2r=1，解得r=2，∴T2+1=23••x=80•x；∴展开式中的常数项为：40a+80=﹣40，解得a=﹣3．故答案为：﹣3．15．若数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且a1=1，S n+1+S n=（n∈N*），则a25=5﹣2\sqrt{6} ．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1﹣=﹣（an+），分别令n=1，2，3，求出a1，a2，a3，a4，即可猜想答案．【解答】解：∵S n+1+S n=（n∈N*），∴S n+S n﹣1=（n≥2），∴S n+1+S n﹣S n﹣S n﹣1=﹣，∴a n+1+a n=﹣，∴a n+1﹣=﹣（an+），∴a2﹣=﹣（a1+）=﹣2，解得a2=﹣1，∴a3﹣=﹣（a2+﹣）=﹣（﹣1+）=﹣2，解得a3=﹣，a4﹣=﹣（a3+）=﹣（﹣+）=﹣2，解得a4=﹣，于是可以猜想，a25=﹣=5﹣2，故答案为：5﹣2，16．已知点，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数的图象上，则四边形ABCD的面积为\frac{26}{3} ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】由条件可设，从而可以得出向量的坐标，根据题意有，从而便得到，这两式联立即可求出x1，x2，从而得出D点的坐标，进一步求出的坐标，从而可以由求出cos∠BAD，从而可得出sin∠BAD，根据即可得出平行四边形ABCD的面积．【解答】解：根据题意设，则：；∵；∴；由②得， =；整理得，x1x2=5，∴带入①式解得，或3（舍去）；∴x1=﹣3；∴；∴；∴，；∴=；∴；∴四边形ABCD的面积为： =．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．△ABC中，B=，点D在边AB上，BD=1，且DA=DC．（Ⅰ）若△BCD的面积为，求CD；（Ⅱ）若AC=，求∠DCA．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出，（Ⅱ）分别根据正弦定理和诱导公式即可得到sin（2α+）=cosα=sin（﹣α），解得即可．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵B=，点D在边AB上，BD=1，∴S△BCD=BD•BC•sin=×1וBC=，∴BC=4，由余弦定理可得CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cosB=1+16﹣2×1×4×=13，∴CD=，（Ⅱ）设∠DCA=α，∵DA=DC，∴∠A=∠DCA=α，在△ADC中，由正弦定理可得===，∴AD=，在△BDC中，由正弦定理可得=，∴==，∴sin（2α+）=cosα=sin（﹣α），∴2α+=﹣α+2kπ，k∈z，当k=0时，α=，当k=1时，α=+（舍去），故∠DCA=．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1，BB1=2，∠ABB1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥B1C；（Ⅱ）若B1C=2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】法一：（Ⅰ）连结AB1，在△ABB1中，由余弦定理得求出AB1，通过计算勾股定理证明AB1⊥AB，以及证明AC⊥AB，推出AB⊥平面AB1C．得到AB⊥B1C．（Ⅱ）以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面BCB1的法向量，利用向量的数量积求解AC1与平面BCB1所成角的正弦值．法二：（Ⅱ）过点A作AH⊥平面BCB1，垂足为H，连结HC1，说明∠AC1H为AC1与平面BCB1所成的角．取BC中点P，连结PB1，利用，求出AH，在Rt△AHC1中，求解AC1与平面BCB1所成的角的正弦值即可．【解答】满分．解：法一：（Ⅰ）连结AB1，在△ABB1中，AB=1，BB1=2，∠ABB1=60°，由余弦定理得，，∴，…∴，∴AB1⊥AB．…又∵△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC，∴AC⊥AB，又∵AC∩AB1=A，∴AB⊥平面AB1C．又∵B1C⊂平面AB1C，∴AB⊥B1C．（Ⅱ）∵，∴，∴AB1⊥AC．如图，以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，∴．设平面BCB1的法向量=（x，y，z），由，得令z=1，得．∴平面BCB1的一个法向量为．…∵，…∴==，…．…∴AC1与平面BCB1所成角的正弦值为．法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）过点A作AH⊥平面BCB1，垂足为H，连结HC1，则∠AC1H为AC1与平面BCB1所成的角．由（Ⅰ）知，AB1⊥AB，，AB=AC=1，B1C=2，∴，∴AB1⊥AC，又∵AB∩AC=A，∴AB1⊥平面ABC，∴．取BC中点P，连结PB1，∵BB1=B1C=2，∴PB1⊥BC．又在Rt△ABC中，AB=AC=1，∴，∴，∴，∴．∵，∴，即，∴．∵AB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AB1⊥BC，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，B1C1=BC=2，∴AB1⊥B1C1，∴．在Rt△AHC1中，，所以AC1与平面BCB1所成的角的正弦值为．19．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含 40 单）的部分每单抽成4元，超出 40 单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数10 20 20 40 10（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，利用等可能事件概率计算公式能求出这两天送餐单数都大于40的概率．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，推导出X的所有可能取值为152，156，160，166，172，由此能求出X的分布列和数学期望．（ⅱ）依题意，求出甲公司送餐员日平均送餐单数，从而得到甲公司送餐员日平均工资，再求出乙公司送餐员日平均工资，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）==．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38×4=152，当a=39时，X=39×4=156，当a=40时，X=40×4=160，当a=41时，X=40×4+1×6=166，当a=42时，X=40×4+2×6=172．所以X的所有可能取值为152，156，160，166，172．故X的分布列为：X 152 156 160 166 172P∴E（X）==162．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．所以甲公司送餐员日平均工资为70+2×39.5=149元．由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．因为149＜162，故推荐小明去乙公司应聘．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于S，T两点，以P（3，0）为圆心的圆过点S，T，且∠SPT=90°（Ⅰ）求抛物线E和圆P的方程；（Ⅱ）设M是圆P上的点，过点M且垂直于FM的直线l交E于A，B两点，证明：FA⊥FB．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）求出S点坐标，根据|SF|=|PF|列方程解出p即可得出抛物线方程和圆的半径；（II）设M（x0，y0），根据，，列方程得出A，B的坐标与M点坐标的关系，计算并化简即可得出=0．【解答】解：（Ⅰ）将x=代入y2=2px，得y=±p，所以|ST|=2p，又∵∠SPT=90°，∴△SPT是等腰直角三角形，∴|SF|=|PF|，即p=|3﹣|，解得p=2，∴抛物线方程为y2=4x，此时圆P的半径为p=2，∴圆P的方程为（x﹣3）2+y2=8．（Ⅱ）设M（x0，y0），则（x0﹣3）2+y02=8，即y02=﹣x02+6x0﹣1，（*）设A（，y1），B（，y2），则=（x0﹣1，y0），=（，y2﹣y1），=（，y1﹣y0），=（﹣x0，y2﹣y0），∵，，∴，∵y1≠y2，∴，若x0=1，则y0=0，此时不满足（*），故x0﹣1≠0，∴y1+y2=，y1y2=．∴=（）（﹣1）+y1y2=+1+=﹣+1+===0．∴AF⊥BF．21．已知函数f（x）=ax﹣ln（x+1），g（x）=e x﹣x﹣1．曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处的切线相同（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x≥0时，g（x）≥kf（x），求k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，根据f′（0）=g′（0），求出a的值，从而解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）先求出x≥ln（x+1），从而e x≥x+1，设F（x）=g（x）﹣kf（x）=e x+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1，根据放缩法以及函数的单调性通过讨论k的范围，求出k的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）=a﹣，（x＞﹣1），g′（x）=e x﹣1，依题意，f′（0）=g′（0），解得a=1，所以f′（x）=1﹣=，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，故f（x）的单调递减区间为（﹣1，0），单调递增区间为（0，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=0时，f（x）取得最小值0．所以f（x）≥0，即x≥ln（x+1），从而e x≥x+1．设F（x）=g（x）﹣kf（x）=e x+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1，则F′（x）=e x+﹣（k+1）≥x+1+﹣（k+1），（ⅰ）当k=1时，因为x≥0，所以F′（x）≥x+1+﹣2≥0（当且仅当x=0时等号成立），此时F（x）在[0，+∞）上单调递增，从而F（x）≥F（0）=0，即g（x）≥kf（x）．（ⅱ）当k＜1时，由于f（x）≥0，所以f（x）≥kf（x）．由（ⅰ）知g（x）﹣f（x）≥0，所以g（x）≥f（x）≥kf（x），故F（x）≥0，即g（x）≥kf（x）．（ⅲ）当k＞1时，令h（x）=e x+﹣（k+1），则h′（x）=e x﹣，显然h′（x）在[0，+∞）上单调递增，又h′（0）=1﹣k＜0，h′（﹣1）=﹣1＞0，所以h′（x）在（0，﹣1）上存在唯一零点x0，当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0所以h（x）在（0，x0）上单调递减，从而h（x）＜h（0）=0，即F′（x）＜0，所以F（x）在（0，x0）上单调递减，从而当x∈（0，x0）时，F（x）＜F（0）=0，即g（x）＜kf（x），不合题意．综上，实数k的取值范围为（﹣∞，1]．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，且D，C，E，G四点共圆．（Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG；（Ⅱ）若GC=1，求AB．【考点】相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明．【分析】（Ⅰ）由题意可得，G为△ABC的重心，根据D、C、E、G 四点共圆，可得∠ADE=∠ACG，DE∥AB，故有∠BAD=∠ADE，从而得到∠BAD=∠ACG．（Ⅱ）延长CG交AB于F，则F为AB的中点，且CG=2GF．证得△AFG∽△CFA，可得=，即 FA2=FG•FC，根据条件化为即AB=GC，从而得出结论．【解答】证明：（Ⅰ）∵△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，∴G为△ABC的重心．连结DE，因为D、C、E、G 四点共圆，则∠ADE=∠ACG．又因为AD、BE为△ABC的两条中线，所以点D、E分别是BC、AC的中点，故DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，从而∠BAD=∠ACG．解：（Ⅱ）∵G为△ABC的重心，延长CG交AB于F，则F为AB的中点，且CG=2GF．在△AFC与△GFA中，因为∠FAG=∠FCA，∠AFG=∠CFA，所以△AFG∽△CFA，∴=，即 FA2=FG•FC．因为FA=AB，FG=GC，FC=GC，∴•AB2=CG2，即AB=GC，又∵GC=1，所以AB=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）将代入（*），化简得y=x+2，所以直线l的倾斜角为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t 为参数），即（t为参数），代入并化简，得．．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，所以．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，故．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|．（I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，化简f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]为|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，从而证得不等式成立．【解答】解：（I）不等式f（x）＜|2x+1|﹣1，即|x+1|＜|2x+1|﹣1，∴①，或②，或③．解①求得x＜﹣1；解②求得x∈∅；解③求得x＞1．故要求的不等式的解集M={x|x＜﹣1或 x＞1}．（Ⅱ）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则 f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．。

2016年福建高考理科数学试题及答案（满分150分，时间120分）第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2 （D ）3(,3)2（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B 2 （C 3（D ）2（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）98 （B ）99 （C ）100 （D ）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 （5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(0,3) （B ）(–1,3) （C ）(–1,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A ）20π （B ）18π（C ）17π （D ）28π（7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ） （B ）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则 （A ）log log b a a c b c < （B ）c c ab ba <（C ）c ca b <（D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）4y x =（B ）3y x =（C ）2y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=2|DE|=5C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ⋂平面ABCD =m ，a ⋂平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为(A) 33 (B )22 (C) 32 (D)13 12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13) 设向量a=(m ，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=______. (14) 5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是__________.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为___________。