2012广东高考数学(理科)试卷A卷(pdf版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）题目及答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 . 设i 为虚数单位，则复数56i i-=A 6+5iB 6-5iC -6+5iD -6-5i 2 . 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则CuM= A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6}3 若向量BA=（2,3），C A=（4,7），则BC=A （-2,-4）B (3,4)C (6,10D (-6,-10) 4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A.y=ln （x+2）（12）xD.y=x+1x5.已知变量x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最大值为A.12B.11C.3D.-1 6,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数万恶哦0的概率是A. 49 B. 13C. 29D. 198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义。

若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角，且a·b和b·a都在集合中，则A．12 B.1 C. 32D. 52二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

(一）必做题（9-13题）9.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____。

10. 的展开式中x³的系数为______。

（用数字作答）11.已知递增的等差数列{a n}满足a1=1，a3=22a-4，则a n=____。

12.曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为。

13.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为。

（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和，则曲线C1与C2的交点坐标为_______。

2012广东高考数学试题（高清版含详细答案）一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ． 65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i -- 【答案】D2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}M =， 则U C M =A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6} 【答案】C3. 若向量(2,3)BA = ，(4,7)CA =，则BCA ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)-- 【答案】A4. 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A ．ln(2)y x =+ B．y = C ．1()2xy = D ．1y x x=+【答案】A5. 已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．－1 【答案】B6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π 【答案】C7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是 A ．49 B ．13 C ．29 D ．19【答案】D8. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅ 。

若平面向量,a b 满足||||0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合{|}2∈nn Z 中，则a b = A ．12 B. 1 C. 32 D. 52【解析】：因为||cos cos ||θθ⋅==≥>⋅ a b a a b b b b ，||cos cos 1||θθ⋅==≤<⋅ b a b b a a a a 且a b 和b a 都在集合{|}2∈nn Z 中 所以，||1cos ||2θ== b b a a ，||1||2cos θ=b a ，所以2||cos 2cos 2||θθ==< a a b b所以22≤< a b ，故有1= a b 【答案】B二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。

2012广东高考数学〔理科〕参考答案 选择题答案：1-8： DCAAB CDC填空题答案： 9. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 10. 2011. 21n -12. 21y x =+ 13. 8f14. ()1,115. 解答题16.〔1〕15ω= 〔2〕代入得62cos 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3sin 5α⇒= 162cos 17β=8cos 17β⇒= ∵ ,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ 415cos ,sin 517αβ== ∴ ()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=- 17.〔1〕由300.006100.01100.054101x ⨯+⨯+⨯+=得0.018x =〔2〕由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 随机变量ξ的可能取值有0,1,2()292126011C P C ξ=== ()11932129122C C P C ξ===()232121222C P C ξ=== ∴ 69110121122222E ξ=⨯+⨯+⨯= 18.〔1〕∵ PA ABCD ⊥平面∴ PA BD ⊥∵ PC BDE ⊥平面∴ PC BD ⊥∴ BD PAC ⊥平面〔2〕设AC 与BD 交点为O ，连OE∵ PC BDE ⊥平面∴ PC OE ⊥又∵ BO PAC ⊥平面∴ PC BO ⊥∴ PC BOE ⊥平面∴ PC BE ⊥∴ BEO ∠为二面角B PC A --的平面角∵ BD PAC ⊥平面∴ BD AC ⊥∴ ABCD 四边形为正方形∴BO =在PAC ∆中，133OE PA OE OC AC ==⇒= ∴ tan 3BO BEO OE∠== ∴ 二面角B PC A --的平面角的正切值为3 19.〔1〕在11221n n n S a ++=-+中令1n =得：212221S a =-+令2n =得：323221S a =-+解得：2123a a =+，31613a a =+又()21325a a a +=+解得11a =〔2〕由11221n n n S a ++=-+212221n n n S a +++=-+得12132n n n a a +++=+又121,5a a ==也满足12132a a =+所以132n n n a a n N *+=+∈对成立∴ ()11+232n n n n a a ++=+∴ 23n n n a +=∴ 32n n n a =-〔3〕〔法一〕∵()()123211323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+⨯+⨯++≥∴ 1113n n a -≤ ∴21123111311111113...1 (1333213)n n n a a a a -⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++≤++++=<- 〔法二〕∵1111322322n n n n n n a a ++++=->⨯-=∴ 11112n na a +<⋅ 当2n ≥时，321112a a <⋅ 431112a a <⋅541112a a <⋅ ………11112n n a a -<⋅ 累乘得： 221112n n a a -⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭ ∴212311*********...1...5252552n n a a a a -⎛⎫+++≤++⨯++⨯<< ⎪⎝⎭20.〔1〕由e =223a b =，椭圆方程为22233x y b += 椭圆上的点到点Q 的距离d ==)b y b =-≤≤当①1b -≤-即1b ≥,max 3d ==得1b =当②1b ->-即1b <,max 3d ==得1b =〔舍〕∴ 1b =∴ 椭圆方程为2213x y += 〔2〕11sin sin 22AOB S OA OB AOB AOB ∆=⋅∠=∠ 当90AOB ∠=，AOB S ∆取最大值12， 点O 到直线l距离2d == ∴222m n +=又∵2213m n += 解得：2231,22m n ==所以点M 的坐标为22222222⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭或或或 AOB ∆的面积为1221.〔1〕记()()()223161h x x a x a a =-++<()()()291483139a a a a ∆=+-=--① 当0∆<，即113a <<，()0,D =+∞ ② 当103a <≤，D ⎛⎫=⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 当0a ≤，D ⎫=+∞⎪⎪⎝⎭ 〔2〕由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得，得① 当113a <<，()D f x a 在内有一个极大值点，有一个极小值点1 ② 当103a <≤，∵()()12316=310h a a a =-++-≤ ()()222316=30h a a a a a a a =-++->∴ 1,D a D ∉∈∴ ()D f x a 在内有一个极大值点③ 当0a ≤，则a D ∉又∵()()12316=310h a a a =-++-<∴ ()D f x 在内有无极值点理科数学试卷评析——汪治平1.整体分析：试卷难度偏易，题型较正统，解答题考查了常见六大板块：三角函数、概率统计、立体几何、数列、解析几何、函数与导数。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题1.（复数）设i 为虚数单位，则复数56ii-=（ ） A.65i +B.65i -C.65i -+D.65i --2.（集合）设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,4M =，则U C M =（ ） A.UB.{}1,3,5C.{}3,5,6D.{}2,4,63.（向量）若向量()2,3BA = ，()4,7CA = ，则BC =（ ）A.()2,4--B.()2,4C.()6,10D.()6,10--4.（函数）下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ） A.()ln 2y x =+B.y =C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.1y x x=+5.已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A.12B.11C.3D.1-6.（立体几何）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ）A.12πB.45πC.57πD.81π7.（概率）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ）A.49B.13C.29D.198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅ αβαβββ，若平面向量a 、b 满足0≥>a b ，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且 a b 和 b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则=a b （ ）A.12B.1C.32D.52二、填空题（一）必做题（9—13题）9.（不等式）不等式21x x +-≤的解集为__________________.10.（二项式定理）621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.（用数字作答）11.（数列）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =______________. 12.曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________.13.（算法）执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为______. （二）选做题（14—15题）14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩t 为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.（几何证明选讲）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C是圆周上的三点，满足30ABC ∠=︒，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA =__________.三、解答题16.（三角函数）（本小题满分12分）已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0ω>x ∈R ）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()cos αβ+的值.17.（概率统计）（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.（Ⅰ）求图中x 的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望.18.（立体几何）（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .（Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，n ∈*N ，且1a 、25a +、3a 成等差数列.（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< .20.（解析几何）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e 且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且O A B ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.21.（不等式、导数）（本小题满分14分）设1a <，集合{}0A x R x =∈>，(){}223160B x R x a x a =∈-++>，D A B = . （Ⅰ）求集合D （用区间表示）；（Ⅱ）求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.2012广东高考理科数学答案一、选择题. 1.解析：D.56i65i i-=--. 2.解析：C.{}3,5,6U C M =.3.解析：A.()2,4BC BA CA =-=--.4.解析：A.()ln 2y x =+在()2,-+∞上是增函数.5.解析：B.画出可行域，可知当代表直线过点A 时，取到最大值.联立21y y x =⎧⎨=-⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，所以3z x y =+的最大值为11.6.解析：C.该几何体下部分是半径为3，高为5的圆柱，体积为23545V ππ=⨯⨯=，上部分是半径为3，高为4的圆锥，体积为2134123V ππ=⨯⨯⨯=，所以体积为57π.7.解析：D.两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为51459=. 8.解析：C.⋅==⋅ a a b a b b b b 1cos 2k θ=，= b b a a 2cos 2kθ=，两式相乘，可得212cos 4k k θ=.因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1k 、2k 都是正整数，于是2121cos 124k k θ<=<，即1224k k <<，所以123k k =.而0≥>a b ，所以13k =，21k =，于是32=a b . 二、填空题9.解析：1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.2x x +-的几何意义是x 到2-的距离与x 到0的距离的差，画出数轴，先找出临界“21x x +-=的解为12x =-”，然后可得解集为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.10.解析：20.621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()621231661kk k k k k T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1233k -=，解得3k =，所以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为3620C =.11.解析：21n -.设公差为d （0d >），则有()21214d d +=+-，解得2d =，所以21n a n =-.12.解析：210x y -+=.21|3112x y ='=⨯-=，所以切线方程为()321y x -=-，即210x y -+=.13.解析：8.第一次循环，()11221s =⨯⨯=，4i =，2k =；第二次循环，()12442s =⨯⨯=，6i =，3k =；第三次循环，()14683s =⨯⨯=，8i =，4k =.此时退出循环，输出s 的值为8.14.解析：()1,1.法1：曲线1C 的普通方程是2y x =（0y ≥），曲线2C 的普通方程是222x y +=，联立解得11x y =⎧⎨=⎩，所以交点坐标为()1,1.法2：联立t θθ⎧=⎪=22sin θθ=，即22cos 20θθ+-=，解得cosθ=cos θ=（舍去），所以11t =⎧⎪=，交点坐标为()1,1.15.连接OA ，则60AOC ∠=︒，90OAP ∠=︒，因为1OA =，所以PA =三、解答题16.解析：（Ⅰ）210T ππω==，所以15ω=. （Ⅱ）515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3s i n 5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以8cos 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以4c o s i n 5α=，15sin 17β，所以()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-.17.解析：（Ⅰ）由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=，解得0.018x =.（Ⅱ）分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人.所以ξ的取值为0、1、2.()023921236606611C C P C ξ====，()113921227916622C C P C ξ====，()20392123126622C C P C ξ====，所以ξ的数学期望是691111012112222222E ξ=⨯+⨯+⨯==. 18.解析：（Ⅰ）因为PC ⊥平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，所以PC BD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥.而PC PA P = ，PC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BD ⊥平面PAC ，而AC ⊂平面PAC ，所以BD AC ⊥，而A B C D 为矩形，所以ABCD 为正方形，于是2AB AD ==.法1：以A 点为原点，AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系A BDP -.则()0,0,1P 、()2,2,0C 、()2,0,0B 、()0,2,0D ，于是()0,2,0BC =，()2,0,1PB =-.设平面PBC 的一个法向量为=1n (),,x y z ，则0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ，从而2020y x z =⎧⎨-=⎩，令1x =，得()1,0,2=1n .而平面PAC 的一个法向量为=2n ()2,2,0BD =-.所以二面角B P C A --的余弦值为cos ,⋅<>==121212=n n n n n n ，于是二面角B PC A --的正切值为3.法2：设AC 与BD 交于点O ，连接OE .因为PC ⊥平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，BE ⊂平面BDE ，所以PC OE ⊥，PC BE ⊥，于是OEB ∠就是二面角B PC A --的平面角.又因为BD ⊥平面PAC ，OE ⊂平面PAC ，所以OEB ∆是直角三角形.由OEC ∆∽PAC ∆可得OE PAOC PC=，而2AB AD ==，所以AC =，OC =1PA =，所以3PC =，于是133PA OE OC PC =⨯==，而OB =B PC A --的正切值为3OBOE=. 19.解析：（Ⅰ）由()()12123213232725a a a a a a a a ⎧=-⎪+=-⎨⎪+=+⎩，解得11a =.（Ⅱ）由11221n n n S a ++=-+可得1221n n n S a -=-+（2n ≥），两式相减，可得122n n n n a a a +=--，即132n n n a a +=+，即()11232n nn n a a +++=+，所以数列{}2n na +（2n ≥）是一个以24a +为首项，3为公比的等比数列.由1223a a =-可得，25a =，所以2293n n n a -+=⨯，即32n n n a =-（2n ≥），当1n =时，11a =，也满足该式子，所以数列{}n a 的通项公式是32n n n a =-.（Ⅲ）因为1113323222n n n n n ----=⋅≥⋅=，所以1323n n n --≥，所以1113n n a -≤，于是112111111131331113323213nnn n a a a -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+++≤+++==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- .点评：上述证法实质上是证明了一个加强命题1211131123nn a a a ⎡⎤⎛⎫+++≤-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，该加强命题的思考过程如下.考虑构造一个公比为q 的等比数列{}n b ，其前n 项和为()111n n b q T q-=-，希望能得到()1121111312nn b q a a a q -+++≤<- ，考虑到()11111n b q b q q -<--，所以令1312b q =-即可.由n a 的通项公式的形式可大胆尝试令13q =，则11b =，于是113n n b -=，此时只需证明1113n n n b a -≤=就可以了.当然，q 的选取并不唯一，也可令12q =，此时134b =，132n n b +=，与选取13q =不同的地方在于，当1n =时，1n n b a >，当2n ≥时，1n nb a <，所以此时我们不能从第一项就开始放缩，应该保留前几项，之后的再放缩，下面给出其证法.当1n =时，11312a =<；当2n =时，121113152a a +=+<；当3n =时，12311111315192a a a ++=++<. 当4n ≥时，1n nb a <，所以 31231132211111113311151951916212n n a a a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++<+++<+++<- .综上所述，命题获证.下面再给出1211132n a a a +++< 的两个证法. 法1：（数学归纳法） ①当1n =时，左边111a ==，右边32=，命题成立. ②假设当n k =（2k ≥，k ∈N ）时成立，即113322ki ii =<-∑成立.为了证明当1n k =+时命题也成立，我们首先证明不等式：1111132332i i i i++<⋅--（1i ≥，i ∈N ）. 要证1111132332i i i i++<⋅--，只需证1111132332i i i i+++<--⋅，只需证11132332i i i i +++->-⋅，只需证1232i i +->-⋅，只需证23->-，该式子明显成立，所以1111132332i i i i++<⋅--. 于是当1n k =+时，111211111113311323232332322k k k i i i i i ii i i ++====+<+<+⨯=----∑∑∑，所以命题在1n k =+时也成立.综合①②，由数学归纳法可得，对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< . 备注：不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的，其实这是一个错误的认识.法2：（裂项相消法）（南海中学钱耀周提供）当1n =时，11312a =<显然成立.当2n =时，121113152a a +=+<显然成立. 当3n ≥时，()32122nn n n n a =-=+-12211122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+- ()12211221222221n n n n n n C C C C n n --=+⋅+⋅++⋅>⋅=- ，又因为()252221a =>⨯⨯-，所以()21n a n n >-（2n ≥），所以()111112121n a n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭（2n ≥），所以 123111111111111311112234122n a a a a n n n ⎛⎫⎛⎫++++<+-+-++-=+-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ . 综上所述，命题获证.20.解析：（Ⅰ）因为e =2223c a =，于是223a b =.设椭圆C 上任一点(),P x y ，则()()2222222222122443y PQ x y a y y y b b ⎛⎫=+-=-+-=--++ ⎪⎝⎭（b y b -≤≤）.当01b <<时，2PQ 在y b =-时取到最大值，且最大值为244b b ++，由2449b b ++=解得1b =，与假设01b <<不符合，舍去.当1b ≥时，2PQ 在1y =-时取到最大值，且最大值为236b +，由2369b +=解得21b =.于是23a =，椭圆C 的方程是2213x y +=.（Ⅱ）圆心到直线l的距离为d =，弦长AB =OAB ∆的面积为12S AB d =⋅=，于是()2222211124S d d d ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.而(),M m n 是椭圆上的点，所以2213m n +=，即2233m n =-，于是22221132d m n n ==+-，而11n -≤≤，所以201n ≤≤，21323n ≤-≤，所以2113d ≤≤，于是当212d =时，2S 取到最大值14，此时S 取到最大值12，此时212n =，232m =.综上所述，椭圆上存在四个点⎝⎭、⎛ ⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭，使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大，且最大值为12. 21.解析：（Ⅰ）考虑不等式()223160x a x a -++>的解.因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦，且1a <，所以可分以下三种情况：①当113a <<时，0∆<，此时B =R ，()0,D A ==+∞.②当13a =时，0∆=，此时{}1B x x =≠，()()0,11,D =+∞ .③当13a <时，0∆>，此时()223160x a x a -++=有两根，设为1x 、2x ，且12x x <，则1x =2x =，于是{}12B x x x x x =<>或.当103a <<时，()123102x x a +=+>，1230x x a =>，所以210x x >>，此时()()120,,D x x =+∞ ；当0a ≤时，1230x x a =≤，所以10x ≤，20x >，此时()2,D x =+∞.综上所述，当113a <<时，()0,D A ==+∞；当13a =时，()()0,11,D =+∞ ；当103a <<时，()()120,,D x x =+∞ ；当0a ≤时，()2,D x =+∞.其中1x =2x =.（Ⅱ）()()26616f x x a x a '=-++，令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <，所以()0f x '=有两根1m a =和21m =，且12m m <.①当113a <<时，()0,D A ==+∞，此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =，列表可得所以()f x 在D 内有极大值点1，极小值点a .②当13a =时，()()0,11,D =+∞ ，此时()0f x '=在D 内只有一根113m a ==，列表可得所以()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点. ③当103a <<时，()()120,,D x x =+∞ ，此时1201a x x <<<<（可用分析法证明），于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =，列表可得所以()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点.④当0a ≤时，()2,D x =+∞，此时21x >，于是()f x '在D 内恒大于0，()f x 在D 内没有极值点.综上所述，当113a <<时，()f x 在D 内有极大值点1，极小值点a ；当103a <≤时，()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点.当0a ≤时，()f x 在D 内没有极值点.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）语文本试卷共8也，24小题，满分150分，考试用时150分钟。

注意事项：1.答卷前，笔或签字笔将自己的号，座位B铅笔将试卷类型（）应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂现在他的题组好对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、本大题4小题每小题共12分1.下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是A.桅杆/宫闱聒噪/恬静模具/模范B.清雅/菁华旖旎/绮丽处所/惩处C.歧视/跻身橄榄/鸟瞰角斗/角色D.赝品/鹰犬殉情/徇私参谋/参差2.下面语段中划线的词语，使用不恰当的一项是[来源:学科网]随着科学技术的进步，特别是最近400年的突飞猛进，大自然在一般人的心目中似乎已泾渭分明，不再神秘。

人们不再敬畏自然，凭借手中的科学技术，肆意改变环境。

人们渐生狂妄，争相掠夺自然、破坏自然，把一个本不算大的地球折腾个底朝天。

人类在发展中堕落，在违背自然中自掘坟墓。

忤逆自然的人类将无法在大自然里颐养天年。

A.泾渭分明B.肆意C.忤逆D.颐养天年3.下列句子中，没有语病的一项是A.中国科学院最近研究复习，退缩，湖泊的面积性增大，引起了B.长江中的江豚被誉为“水中大熊猫”，是国家二级保护动物，也是《华盛顿公约》确定的全球濒危物种之一，再不加以保护，15年后将会灭绝。

C.专家认为，我国人均饮茶量每天不足10克，加之大部分农药不溶于水，茶叶中即使有少量的农药残留，泡出的茶汤中也会农药含量极低，对人体健康影响不大。

数学试卷 第1页（共42页）数学试卷 第2页（共42页）数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位,则复数56ii-= （ ）A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i -- 2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,2,4}M =,则U M =ð（ ）A .UB .{1,3,5}C .{3,5,6}D .{2,4,6}3. 若向量(2,3)BA =,(4,7)CA =,则BC = （ ） A .(2,4)-- B .(2,4) C .(6,10)D .(6,10)--4. 下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A .ln(2)y x =+ B.y =C .1()2x y =D .1y x x=+5. 已知变量x ,y 满足约束条件211 y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≤,则3z x y =+的最大值为（ ）A .12B .11C .3D .1- 6. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（ ）A .12πB .45πC .57πD .81π7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个 位数为0的概率是（ ）A .49 B .13C .29D .198. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义=αβαβββ.若平面向量a ,b 满足||||0a b ≥＞,a 与b 的夹角π(0,)4θ∈,且a b 和b a 都在集合{|}2nn ∈Z 中,则=a b （ ）A .12B .1C .32D .52二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9～13题）9.不等式|2||1|x x +-≤的解集为_______.10.261()x x+的展开式中3x 的系数为_______.（用数字作答）11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =_______.12.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为________.13.执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为________.（二）选做题（14—15题,考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.（几何证明选讲选做题）如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =_______.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数π()2cos()6f x xω=+（其中0ω>,x∈R）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设π[0,]2αβ,∈,56(5π)35fα+=-,516(5π)617fβ-=,求cos()αβ+的值.17.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望.18.（本小题满分13分）如图5所示,在四棱锥P ABCD-中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若1PA=,2AD=,求二面角B PC A--的正切值.19.（本小题满分14分）设数列{}na的前n项和为nS,满足11221nn nS a++=-+,*n∈N,且1a,25a+,3a成等差数列.（Ⅰ）求1a的值；（Ⅱ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n,有1211132na a a+++＜.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：22221x ya b+=（a b＞＞）的离心率e=且椭圆C上的点到点(0,2)Q的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C上,是否存在点(,)M m n,使得直线l：1mx ny+=与圆O：221x y+=相交于不同的两点A、B,且OAB△的面积最大？若存在,求出点M的坐标及对应的OAB△的面积；若不存在,请说明理由.21.（本小题满分14分）设1a＜,集合{|0}A x x=∈＞R,2{|23(1)60}B x x a x a=∈-++＞R,D A B=.（Ⅰ）求集合D（用区间表示）；（Ⅱ）求函数32()23(1)6f x x a xax=-++在D内的极值点.数学试卷第4页（共42页）数学试卷第5页（共42页）数学试卷第6页（共42页）3 / 142012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)答案解析【答案】A【解析】(2,BC BA AC BA CA =+=-=-【提示】由向量(2,3)BA =，向量(4,7)CA =，知(2,AB =-，(4,7)AC =--，再由BC AC AB =-能求数学试卷 第10页（共42页） 数学试卷 第11页（共42页）数学试卷 第12页（共42页）||cos ||a b θ，||cos ||y b a θ，x ，，所以24cos ，所以cos θ5 / 143||||a b ，3||||b a ∈Z ， ||||0a b ≥>，所以||1||a b ≥，所以只能取||3||a b =，||1||3a b =， 则||cos 333||a ab b θ==⨯=．【提示】定义两向量间的新运算，根据数量积运算与新运算间的关系进行化简，再运用集合的知识求解即数学试卷 第16页（共42页） 数学试卷 第17页（共42页）数学试卷 第18页（共42页）60，所以60，因为直线是直角三角形，最后利用三角函数在直角三角形中的定义，结合题tan603=7 / 14（Ⅰ）10T =π=65f ⎛-= ⎝3sin 5α∴=16517f ⎛= ⎝cos β∴=110(0.054x f =-0.018x ∴=（Ⅱ）成绩不低于数学试卷 第22页（共42页） 数学试卷 第23页（共42页）数学试卷 第24页（共42页）PAPC P =，PAC ； ACBD O =，连结，OE ，BE ⊥BE ，所以(2,DB=-的一个法向量，(0,2,0)BC=，(2,0,1)BP=-设平面PBC的法向量为(,,)n x y z=202n BC yn BP x⎧==⎪⎨=-⎪⎩2，取(1,0,2)n=，的平面角为θ，2||||8510DB nDB n==所以二面角B PC A--的正切值为3．9 / 14数学试卷 第28页（共42页） 数学试卷 第29页（共42页）数学试卷 第30页（共42页）（Ⅰ）2n n S a +=17a a =⎧⎪-⇒⎨133n -，所以时，111a =1221122222n n n n n n n C C --++⋯++-122-1-1222222n n n n n n C C C +++>1)-数学试卷 第34页（共42页） 数学1||||sin 2OA OB AOB ∠的距离2d =，即12)(,)x +∞，2x <，所以2(,Ax B +∞=2)(,)x +∞，30a =>，所以2212339309339309(0,)(,)0,,44a a AB a a a a x x ⎛⎫⎛+--+++-++∞=+∞ ⎪⎪ ⎝⎝⎭=1<时，0∆<，则()0g x >恒成立，A B =(0,+∞综上所述，当0a ≤时，33a ⎫⎛++⎪⎪ ⎭⎝2)(,)x +∞的变化情况如下表：a极值即可．【考点】导数的运算，利用导数求函数的极值，解含参的一元二次不等式，集合的基本运算数学试卷第40页（共42页）数学。

2012年广东高考数学（理科）试题及详解一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（复数）设i 为虚数单位，则复数56ii-=（ ） A.65i +B.65i -C.65i -+D.65i --2.（集合）设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,4M =，则U C M =（ ） A.UB.{}1,3,5C.{}3,5,6D.{}2,4,63.（向量）若向量()2,3BA =，()4,7CA =，则BC =（ ） A.()2,4--B.()2,4C.()6,10D.()6,10--4.（函数）下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ） A.()ln 2y x =+B.y =C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.1y x x=+5.已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）6.某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ） A.12π B.45π C.57π D.81πA.4 B.1C.2 D.18.对任意两个非零的平面向量α和β，定义=⋅αβββ，若平面向量a 、b 满足0≥>a b ，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则=a b （ ）A.1B.1C.3 D.5 ==⋅b b =b a π⎫12=. 小题，每小题(一)必做题(9～13题)9.（不等式）不等式21x x +-≤的解集为__________________.10.（二项式定理）621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.（用数字作答）11.（数列）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =______________.12.曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________.则输出s 的值为______.只计前一题的得分)14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨⎪⎩t 为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.（几何证明选讲）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足30ABC ∠=︒，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点，则__________.算步骤 .16.（三角函数）（本小题满分12分）已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0ω>x ∈R ）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()cos αβ+的值.17.（概率统计）（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.（Ⅰ）求图中x 的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望.18.（立体几何）（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE . （Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值.PA P =，BD ⊥平面PAC （Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以BD AC ⊥设平面PBC 的一个法向量为n 0BC PB ⋅=⋅=，从而2020y x z =⎧⎨-=⎩，10BDE ，B PC A --的平面角.19. (数列) （本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，n ∈*N ，且1a 、25a +、3a 成等差数列.（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<. 1133n a -⎝+≤+++=2a +≤+≤a的通项公式的形式可大胆尝试令+<a+<a2（数学归纳法）2a +<不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的，()21⨯-，所以223412a n n +<+-+-++-+ ⎪ -⎝⎭⎝综上所述，命题获证.20.（解析几何）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且O A B ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.21.（不等式、导数）（本小题满分14分）设1a <，集合{}0A x R x =∈>，(){}223160B x R x a x a =∈-++>，D A B =.（Ⅰ）求集合D （用区间表示）；（Ⅱ）求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点. ()1,+∞.有两根，设为()2,x +∞)+∞. 113a <<时，()1,+∞；)()120,,x x +∞)()1,+∞，此时10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,x +∞a =，列表可得。

2012广东高考理科数学参考答案9．12x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭｜ 10．20（36C ） 11．21n a n =- 12．21y x =+(或写成210x y -+=) 13．8 14．(1，1) 152218.(0)cos 1cos 1422cos 0011()2cos cos 12cos cos 22()232b b b a a b b a a a a an b a n Z b a b a a b a b a b a b n a b n Z a b πθθθθθθθθ∈<<<<⋅≥>∴<≤<*==<⋅⎧⎫*∈∈⎨⎬⎩⎭∴*===*=<*<⎧⎫*∈∈⎨⎬⎩⎭∴*=　，， ，0 ｜ ，，=2，1 ｜ 16．（1）21105T ππωω==⇒=17．（1）0.018x = （2）0.522222222222222(2)0l n13m+n>1O l111 S=222111m+n m+nn123111m+n m+n2mmd ABOAB d ABmmn=+=∴===∆==≤=-=⎧⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩当时，直线与圆并无两个交点， ，原点到直线的距离，　的面积　当且仅当时取“”　解得222222Mm m mn n n⎧⎧⎧=-==-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪==-=-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩，，　从而点法二．∵对△OAB来说，边OA和OB的长都为1，△OAB为等腰三角形，要使△OAB的面积最大，sin∠OAB也应最大，从而假设存在点M（m，n）使∠OAB＝90o．因此O l2d==点到直线的距离，即22m+n＝22222n122223m+n22222M22222222m m m m mn n n n⎧⎧⎧⎧⎧==-==-⎪⎪⎪⎪+=⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪====-=-⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩　解得，，或　从而点的坐标为（，-，---点评：法二比法一简单，学生也容易想到．21．（1）设2()22(1)6g x x a x a=-++，对于方程()0g x=，229(1)489309a a a a∆=+-=-+1033a a∆===解得或1a<∴①当113a<<时，0∆<，D＝（0，＋∞）②当13a≤，0∆≥，方程()0g x=的根3(1)4ax+=Ⅰ当13a<≤时，12123(1)260ax xx x a+⎧+=>⎪⎨⎪⋅=>⎩，故D＝(0+∞）Ⅱ当0a≤时，D＝（3(1)4a++∞）综合①②得，当0a≤时，D＝（3(1)4a++∞），当13a<≤时，D＝(0∪+∞）当113a<<时，D＝（0，＋∞）（2）2()66(1)6f x x a x a'=-++解()0f x '=得x a =或1x = ∵1a <≥1得1a <≥1得13a ≥；a >得01a <<．∴①当0a ≤≥1，由（1）知1a D D ∉∉，，从而()f x 在D 内无极值．②当103a <≤≤1，由（1）知1a D D ∈∉，∵当0x a <<时，()0f x '>；当3(1)4a a x +<<时，()0f x '<∴()f x 在x a =处取得极大值③当113a <<时，D ＝（0，＋∞），故1a D D ∈∈，∵当0x a <<时，()0f x '>；当1a x <<时，()0f x '<； 当1x >时，()0f x '>∴()f x 在x a =处取得极大值，在1x =处取得极小值．综合①②③当0a ≤时，()f x 在D 内无极值点； 当103a <≤时，()f x 在D 内的极大值点为x a =； 当113a <<时，()f x 在D 内的极大值点为x a =，()f x 在D 内的极小值点为1x =．。

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广东 2012 年高考理科数学试卷 A 及答案


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。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)答案解析的元素即得{3,5,6UM =【提示】给出全集和子集，根据集合的基本运算求解子集的补集【答案】A【解析】(2,BC BA AC BA CA =+=-=-由向量(2,3)BA =向量(4,7)CA =知(2,AB =-，(4,7)AC =--再由BC AC AB =-能求出【考点】向量的线性运算，向量的坐标运算||cos ||a b θ，||cos ||y b a θ，x ，，所以4cos Z ，所以cos3||||a b ，3||||b a ∈Z ， ||||0a b ≥>，所以||1||a b ≥，所以只能取||3||a b =，||1||3a b =，则||cos 33322||a ab b θ==⨯=．【提示】定义两向量间的新运算，根据数量积运算与新运算间的关系进行化简，再运用集合的知识求解即可．1x 解得x 无解；1x 解得2x ≤1，解得2x ≤-12x ⎫≤-⎬⎭．可先将不等式左边变形为分段函数的形式，60，所以根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，60，因为直线是直角三角形，最后利用三角函数在直角三角形中的定义，结合题中=tan603【解析】（Ⅰ）10T =π=（Ⅱ）由（Ⅰ）得()f x =65f ⎛-= ⎝3sin 5α∴=16517f ⎛= ⎝cos β∴=110(0.054x f =-0.018x ∴=（Ⅱ）成绩不低于PA PC P=，PAC；=，连结AC BD O BDE，OE，BE⊥BE，--B PC A所以(0,0,1)P ，(0,2,0)，所以(2,DB =-的一个法向量，(0,2,0)BC =，(2,0,1)BP =-的法向量为(,,)n x y z =22n BC y n BP x z ⎧==⎪⎨=-+⎪⎩，取(1,0,2)n =， PC A -的平面角为21||||8510DB n DB n ==，sin 所以二面角B PC A --的正切值为3．【答案】（Ⅰ）2n n S a +=12337a a a a =⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩133n -，所以1a 1221122222n n n n n n n C C --++⋯++-122-1-1222222n n n n n n C C C +++>522(21)=>⨯⨯-，1||||sin 2OA OB AOB ∠的距离22d =，即21m 2)(,)x +∞，2x <，所以2(,A x B +∞=2)(,)x +∞，30a =>，所以2212339309339309(0,)(,)0,,44a a A B a a a a x x ⎛⎫⎛+--+++-++∞=+∞ ⎪⎪ ⎝⎝⎭=A B =(0,+∞综上所述，当0a ≤时，33a ⎛⎫⎛++⎪ ⎪ ⎭⎝1)，令(f '2)(,)x +∞的变化情况如下表：a。

正视图侧视图俯视图第6题图.2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设i 为虚数单位,则复数56i i-=( )A.65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i --【解析】D ；()5656566511i ii i i i--+===----,故选D ．2．设集合{1,23,4,5,6}U =，,{1,2,4}M =,则M U =ð( ) A ．U B ．{1,3,5} C ．{3,5,6} D ．{2,4,6}【解析】C ；送分题,直接考察补集的概念,{}M 3,5,6U =ð,故选C ．3．若向量(2,3)B A = ,(4,7)C A = ,则BC =( )A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--【解析】A ；考察向量的运算法则,()()()2,34,72,4BC BA AC =+=+--=--,故选A ． 4．下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A ．ln(2)y x =+B ．y =C ．1(2xy =D ．1y x x=+【解析】A ；函数ln(2)y x =+的图像可由函数ln y x =的图像向左平移2个单位得到,显然满足题意.5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为( ) A ．12 B ．11 C ．3 D ．1- 【解析】B ；画出可行域如图所示,将“三角”区域的角点代入比较可知,当3,2x y ==时,3z x y =+取得最大值为11. 6．某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π 【解析】C ；三视图对应的实物图为“上部分为圆锥,下部分为圆柱”的几何体,易得圆锥的高为4,所以2213435573V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=.7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为0的概率是( ) A ．49B ．13C ．29D ．198．对任意两个非零的平面向量,αβ,定义αβαβββ⋅=⋅ .若平面向量,a b 满足0a b ≥> ,a 与b的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b和b a都在集合|2nn Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b = ( ) A ．12B ．1C ．32D ．52【解析】C ；因为||cos cos 1||b a b b a a a a θθ⋅==≤<⋅,且a b和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a = ,||12cos ||b a θ= ,所以2||cos 2cos 2||a ab b θθ==<,且22cos 1a b θ=> ,所以12a b <<,故有32a b = ,选C .【另解】C ；1||cos 2||k a a b b θ==,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,于是cos 122θ<=<,所以1224k k <<,所以123k k =,而0a b ≥> ,所以123,1k k ==,于是32a b = ,选C .二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________． 【解析】1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦；“|2|||x x +-”的几何意义为“点x 到2-和0的距离之差”,画出数轴,先找出临界“|2|||1x x +-=的解为12x =-”,然后可得解集为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.10．261()x x+的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）【解析】20；通项()621231661rrrr rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233r -=得 3r =,此时对应系数为3620C =.11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =【解析】21n -；设公差为()0d d >,依题意可得()21214d d +=+-, 解得2d =(2-舍去),所以21n a n =-.12．曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________． 【解析】21y x =+；求导得231y x '=-,1|2x y ='=,由直线的点斜式 方程得()321y x -=-,整理得21y x =+.13．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为____．【解析】8；第一次循环得2,4,2s i k ===;第二次循环得4s =,6,3i k ==;第三次循环得第17题图B.第15题图AC PO8,8,4s i k ===,此时不满足8i <,输出8s =.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中x O y 中,曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎩⎨⎧==t y t x （t 为参数）和⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x (θ为参数),则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 .【解析】()1,1；对应的普通方程分别为y =222x y +=,联立得交点坐标为()1,1.15. (几何证明选做题)如图,圆O 的半径为1,,,A B C 是圆上三点,且满足︒=∠30ABC ,过点A 作圆O 的切线与O C 的延长线交 于点P ,则PA = ．,OA AC ,易得60,30AOC CAP ∠=︒∠=︒,在 直角三角形O A P 中,根据题中的数量关系易得PA =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()2cos()6f x x πω=+(其中R x ∈>,0ω)的最小正周期为π10．(Ⅰ) 求ω的值；(Ⅱ) 设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56(535f πα+=-,516(5)617f πβ-=,求cos()αβ+的值．【解析】(Ⅰ)由210ππω=得15ω=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知1()2cos()56f x x π=+,由56516(5,(535617f f ππαβ+=--=得3sin 5α=,8cos 17β=.又,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以4cos 5α=,15sin 17β=,所以324513cos()cos cos sin sin 858585αβαβαβ+=-=-=-17．（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所 示,其中成绩分组区间是:[)[)40,50,50,60,[)[)60,70,70,80,[)[]80,90,90,100.(Ⅰ) 求图中x 的值;(Ⅱ) 从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望． 【解析】(Ⅰ) 由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯= 解得0.018x =.(Ⅱ)成绩不低于80分的学生人数有()500.0180.0061012⨯+⨯=人. 成绩在90分以上（含90分）的人数有500.006103⨯⨯=人.P ABCDE第18题图随机变量ξ的可能取值为0,1,2,且 ()292126011C P Cξ===,()11392129122C C P Cξ===,()232121222C P Cξ===,所以ξ的分布列为ξ的数学期望0121122222E ξ=⨯+⨯+⨯=. 18．（本小题满分13分）如图所示,在四棱锥P A B C D -中,底面A B C D 为矩形,P A ⊥平面A B C D ,点E 在线段P C上,P C ⊥平面BD E ．(Ⅰ) 证明:B D ⊥平面PAC ；(Ⅱ) 若1PA =,2AD =,求二面角B P C A --的正切值．【解析】(Ⅰ)因为P A ⊥平面A B C D ,BD ⊂平面A B C D , 所以PA BD ⊥,又P C ⊥平面BD E ,BD ⊂平面BD E ,所以PC BD ⊥,因为PA PC P = ,所以B D ⊥平面PAC .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知B D ⊥平面PAC ,所以B D A C ⊥,又底面A B C D 为矩形,从而底面A B C D 为正方形,设AC BD O = ,连结O E ,则,,OE PC BO PC ⊥⊥所以B E O ∠为二面角B P C A --的平面角, 在R t P A C ∆中,由等面积法可得112233PA AC O E PC ⋅=⋅==,又BO =在R t B O E ∆中,tan 3B O B E O O E∠==所以二面角B P C A --的正切值为3．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,*n N ∈,且123,5,a a a +成等差数列.(Ⅰ) 求1a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211132na a a ++⋅⋅⋅+<.【解析】(Ⅰ)因为11221n n n S a ++=-+,当1n =时,1223S a =-,即2123a a -=,当2n =时,2327S a =-,即321227a a a --=,又()21325a a a +=+联立上述三个式子可得11a =. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知25a =当2n ≥时,由11221n n n S a ++=-+得1221n n n S a -=-+,两式相减整理得132nn n a a +=-,即11312222n n n n a a ++=⋅+,即11311222n n n n a a ++⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭,又2121311222a a ⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭, 所以12nn a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为首项为113122a +=,公比为32的等比数列, 所以133312222n nnn a -⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以32n n n a =-. (Ⅲ) 当1n =时,11312a =<显然成立,当2n =时,121113152a a +=+<显然成立.当3n ≥时,32(12)2n n n n n a =-=+-12211122222n n n nn n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-122111222n n n n nC C C --=+⋅+⋅++⋅ 2222(1)n C n n >⋅=-又因为2522(21)a =>⨯⨯-,所以2(1),2n a n n n >-≥, 所以11111()2(1)21na n n n n<=---所以12311111111111131(1)1(1)2234122na a a a n nn++++<+-+-++-=+-<- .20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221(0)x y a b ab+=>>的离心率e =，且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程(Ⅱ) 在椭圆C 上,是否存在点(,)M m n ,使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点,A B ,且O AB ∆的面积最大？若存在,求出点M 的坐标及对应的O AB ∆的面积；若不存在,请说明理由.【解析】(Ⅰ)依题意2223c e c a a==⇒=,所以222213b ac a =-=,设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点,则22221x y ab+=,所以222222(1)3y x a a y b=-=-,所以||PQ ===当1y =-时,||PQ3=,可得a =所以1,b c ==故椭圆C 的方程为2213xy +=.(Ⅱ)[韦达定理法]因为(,)M m n 在椭圆C 上,所以2213mn +=,2233m n =-,设11(,)A x y ,22(,)B x y由2211m x ny x y +=⎧⎨+=⎩，得2222()210m n x m x n +-+-=所以22222222244()(1)4(1)8(1)0m m n n n m n n n ∆=-+-=+-=->,可得21n <， 由韦达定理得12222m x x m n+=+,212221nx x m n-=+所以2212121212222111()1mx mx m x x m x x my y n n n m n---++-=⋅==+所以||AB ====设原点O 到直线A B 的距离为h ,则h =所以1||2O AB S AB h ∆=⋅=设221t m n=+,由201n <<,得22232(1,3)m n n +=-∈,所以,1(,1)3t ∈O AB S ∆==1(,1)3t ∈所以,当12t =时,OAB S ∆面积最大,且最大为12,此时，点M 的坐标为22⎛ ⎪⎝⎭或22⎛- ⎪⎝⎭或,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或22⎛-- ⎪⎝⎭. [垂径定理切入]因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以2213mn +=,2233m n =-,圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离d =直线l 被圆O 所截的弦长为||AB ==所以1||2O AB S AB d ∆=⋅=,接下来做法同上.21．（本小题满分14分）设1a <，集合2{0},{23(1)60}A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>,D A B = . (Ⅰ) 求集合D (用区间表示）；(Ⅱ) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．【解析】(Ⅰ)由方程223(1)60x a x a -++=得判别式29(1)483(3)(31)a a a a ∆=+-=--因为1a <,所以30a -< 当113a <<时,0∆<,此时B R =,所以()0,D A ==+∞； 当13a =时,0∆=,此时{|1}B x x =≠,所以(0,1)(1,)D =+∞ ；当13a <时,0∆>,设方程223(1)60x a x a -++=的两根为12,x x 且12x x <,则 14x =,24x =,12{|}B x x x x x =<>或当103a <<时,123(1)02x x a +=+>,1230x x a =>,所以120,0x x >>此时,12(,)(,)D x x x =+∞)44=+∞当0a ≤时,1230x x a =≤,所以120,0x x ≤>此时,2(,))4D x =+∞=+∞.综上,1(0,),133(1)3(1)1(0,(),0443),04a a a D a a ⎧+∞<<⎪⎪⎪+-++=+∞<≤⎨⎪⎪+∞≤⎪⎩(Ⅱ) 2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--,1a <所以函数()f x 在区间[,1]a 上为减函数,在区间(,]a -∞和[1,)+∞上为增函数 当113a <<时,因为()0,D =+∞,所以()f x 在D 内的极值点为,1a ； 当13a =时,(0,1)(1,)D =+∞ ,所以()f x 在D 内有极大值点13a =；当103a <<时,)44D =+∞由103a <<,很容易得到144a <<<（可以用作差法，也可以用分析法）,所以()f x 在D 内有极大值点a ； 当0a ≤时,)4D =+∞由0a ≤,14>,此时()f x 在,内没有极值点.综上,当113a <<时,极值点为,1a ；当103a <≤时,极值点为a ；当0a ≤时,无极值点.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科A 卷）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．试卷分析 陈功文一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ．65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i --解：分子分母同乘以-i ，得D 选项为正确答案。

2．设集合U {1,23,4,5,6}=，，M {1,2,4}=则M U =ðA ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}解：选C3．若向量(2,3)BA = ，(4,7)CA = ，则BC =A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--解：BC =BA+AC=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4)，选A 4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ． ln(2)y x =+B 1y x =-+C ． 1()2xy =D ． 1y x x=+解：B 、C 为减函数，D 为双钩函数，双钩函数在(0,)+∞上先减后增，选A 分析：前4题难度都不大，掌握概念和基本方法就可以拿到分。

5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．-1解：可行域如图：所3z x y =+的最大值为3*3+2=11，选B6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．12π B ．45π C ．57π D ．81π解：根据三视图可知，该几何体上部分为圆锥，下部分为圆柱，选C7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 A ．49 B ．13 C ．29 D ．19解：个位数为0且“个位+十位=奇数”的两位数是10 30 50 70 90 共5个 若十位数为奇数，则个位数为偶数，共有C （5，1）*C （5，1）=25 若十位数为偶数，则个位数为奇数，共有C （4，1）*C （5，1）=20 5/（25+20）=1/9选D分析：5-7题难度中等，考察的方法较简单，计算量比前4题大些。

数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位,则复数56ii-= （ ）A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i -- 2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,2,4}M =,则U M =ð（ ）A .UB .{1,3,5}C .{3,5,6}D .{2,4,6}3. 若向量(2,3)BA =,(4,7)CA =,则BC = （ ） A .(2,4)-- B .(2,4) C .(6,10)D .(6,10)--4. 下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A .ln(2)y x =+ B.y =C .1()2x y =D .1y x x=+5. 已知变量x ,y 满足约束条件211 y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≤,则3z x y =+的最大值为（ ）A .12B .11C .3D .1- 6. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（ ）A .12πB .45πC .57πD .81π7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个 位数为0的概率是（ ）A .49 B .13C .29D .198. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义=αβαβββ.若平面向量a ,b 满足||||0a b ≥＞,a 与b 的夹角π(0,)4θ∈,且a b 和b a 都在集合{|}2nn ∈Z 中,则=a b （ ）A .12B .1C .32D .52二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9～13题）9.不等式|2||1|x x +-≤的解集为_______.10.261()x x+的展开式中3x 的系数为_______.（用数字作答）11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =_______.12.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为________.13.执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为________.（二）选做题（14—15题,考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩t为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.（几何证明选讲选做题）如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =_______.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数π()2cos()6f x xω=+（其中0ω>,x∈R）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设π[0,]2αβ,∈,56(5π)35fα+=-,516(5π)617fβ-=,求cos()αβ+的值.17.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望.18.（本小题满分13分）如图5所示,在四棱锥P ABCD-中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若1PA=,2AD=,求二面角B PC A--的正切值.19.（本小题满分14分）设数列{}na的前n项和为nS,满足11221nn nS a++=-+,*n∈N,且1a,25a+,3a成等差数列.（Ⅰ）求1a的值；（Ⅱ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n,有1211132na a a+++＜.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：22221x ya b+=（a b＞＞）的离心率e=且椭圆C上的点到点(0,2)Q的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C上,是否存在点(,)M m n,使得直线l：1mx ny+=与圆O：221x y+=相交于不同的两点A、B,且OAB△的面积最大？若存在,求出点M的坐标及对应的OAB△的面积；若不存在,请说明理由.21.（本小题满分14分）设1a＜,集合{|0}A x x=∈＞R,2{|23(1)60}B x x a x a=∈-++＞R,D A B=.（Ⅰ）求集合D（用区间表示）；（Ⅱ）求函数32()23(1)6f x x a x ax=-++在D内的极值点.数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）数学试卷 第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页）数学试卷 第9页（共18页）2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)答案解析【答案】A【解析】()2,4BC BA AC BA CA =+=-=--．【提示】由向量(2,3)BA =，向量(4,7)CA =，知(2,AB =-，(4,7)AC =--BC AC AB =-能求出结果．4.【答案】A借助于图像可知：当3x =，2y =时，max 11z =．||cos ||a b θ，||cos ||y b a θ，x ，，所以4cos Z ，所以cos θ2223||||a b ，3||||b a ∈Z ， ||||0a b ≥>，所以||1||a b ≥，所以只能取||3||a b =，||1||3a b =， 则||cos 33322||a ab b θ==⨯=．【提示】定义两向量间的新运算，根据数量积运算与新运算间的关系进行化简，再运用集数学试卷 第10页（共18页）数学试卷 第11页（共18页）数学试卷 第12页（共18页）60，所以60，因为直是直角三角形，最后利用三角函数tan603=【考点】同弧所对的圆周角与圆心角的关系，切线的有关性质 （Ⅰ）10T =π=65f ⎛-= ⎝3sin 5α∴=1617f ⎛= ⎝cos β∴=110(0.054x f =-0.018x ∴=（Ⅱ）成绩不低于PA PC P =，PAC ； ACBD O =，连结数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）所以(0,0,1)P ，(0,2,0)，所以(2,DB =-的一个法向量，(0,2,0)BC =，(2,0,1)BP =-设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =22n BC y n BP x z ⎧==⎪⎨=-+⎪⎩2，取(1,0,2)n =，PC A -的平面角为θ，21||||8510DB n DB n ==所以二面角BPC A --的正切值为3．（Ⅰ）2n n S a +=127a a ⎧⎪-⇒⎨⎪133n -，所以1221122222n n n n n n n C C --++⋯++- 122-1-1222222n n n n n n C C C +++>1)-522(21)=>⨯⨯-，数学试卷 第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页）数学试卷 第18页（共18页）1||||sin 2OA OB AOB ∠点O 到直线AB 的距离d 1)x a+2)(,)x +∞，，2(,A x B +∞=13a <≤时，2)(,)x +∞，30a =>，所以2212339309339309(0,)(,)0,,44a a AB a a a a x x ⎛⎫⎛+--+++-++∞=+∞ ⎪⎪ ⎝⎝⎭=()0g x >AB =(0,+∞综上所述，当0a ≤时，33a ⎫⎛++⎪ ⎪ ⎭⎝2)(,)x +∞，()f x 随x 的变化情况如下表：a。

数学试卷 第1页（共6页）数学试卷 第2页（共6页）数学试卷 第3页（共6页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位,则复数56ii-= （ ）A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i -- 2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,2,4}M =,则U M =ð（ ）A .UB .{1,3,5}C .{3,5,6}D .{2,4,6}3. 若向量(2,3)BA =u u u r ,(4,7)CA =u u u r ,则BC =u u u r（ ） A .(2,4)-- B .(2,4) C .(6,10)D .(6,10)--4. 下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A .ln(2)y x =+B .1y x =-+C .1()2x y =D .1y x x=+5. 已知变量x ,y 满足约束条件211 y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≤,则3z x y =+的最大值为（ ）A .12B .11C .3D .1- 6. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（ ）A .12πB .45πC .57πD .81π7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个 位数为0的概率是（ ）A .49 B .13C .29D .198. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义=αβαβββo g g .若平面向量a ,b 满足||||0a b ≥＞,a 与b 的夹角π(0,)4θ∈,且a b o 和b a o 都在集合{|}2nn ∈Z 中,则=a b o （ ）A .12B .1C .32D .52二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9～13题）9.不等式|2||1|x x +-≤的解集为_______.10.261()x x+的展开式中3x 的系数为_______.（用数字作答）11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =_______.12.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为________.13.执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为________.（二）选做题（14—15题,考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）和2cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.（几何证明选讲选做题）如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=o ,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =_______.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数π()2cos()6f x xω=+（其中0ω>,x∈R）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设π[0,]2αβ,∈,56(5π)35fα+=-,516(5π)617fβ-=,求cos()αβ+的值.17.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望.18.（本小题满分13分）如图5所示,在四棱锥P ABCD-中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若1PA=,2AD=,求二面角B PC A--的正切值.19.（本小题满分14分）设数列{}na的前n项和为nS,满足11221nn nS a++=-+,*n∈N,且1a,25a+,3a成等差数列.（Ⅰ）求1a的值；（Ⅱ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n,有1211132na a a+++L＜.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：22221x ya b+=（0a b＞＞）的离心率23e=,且椭圆C上的点到点(0,2)Q的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C上,是否存在点(,)M m n,使得直线l：1mx ny+=与圆O：221x y+=相交于不同的两点A、B,且OAB△的面积最大？若存在,求出点M的坐标及对应的OAB△的面积；若不存在,请说明理由.21.（本小题满分14分）设1a＜,集合{|0}A x x=∈＞R,2{|23(1)60}B x x a x a=∈-++＞R,D A B=I.（Ⅰ）求集合D（用区间表示）；（Ⅱ）求函数32()23(1)6f x x a x ax=-++在D内的极值点.数学试卷第4页（共6页）数学试卷第5页（共6页）数学试卷第6页（共6页）。

绝密★使用前 试卷类型：A2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理科）第I 卷 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 为虚数单位，则复数56ii-=（ ）A ．65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i --2．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}M =，则U M =ð（ ） A ．U B ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6} 3．若向量(2,3)BA = ，(4,7)CA =，则BC = （ ） A ．(2,4)-- B ．(2,4) C ．(6,10)D ．(6,10)-4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+B．y =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1y x x=+5．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩；则3z x y =+的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．3D ．1- 6．某几何体的三视图如图1（ ）A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π 7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是（ ） A ．49B ．13C ．29D ．198．对任意两个非零的平面向量α和β，定义 αβαβ=ββ。

若平面向量a ，b 满足0≥>a b ，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且 a b 和 b a 都在集合{}2nn ∈Z 中，则= a b（ ）A ．12B ．1C ．32D ．52正视图侧视图俯视图图1第II 卷 非选择题（共110分）二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题（9—12题）9．不等式21x x +-≤的解集为 。

10．621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为 。