高等数学教案-第三章-微分中值定理与导数应用

第三章 微分中值定理与导数的应用第一讲 微分中值定理(The Mean Value Theorem)微分中值定理是微分学的核心，她具有非常广泛的应用，是研究函数性态的有力工具。

本节介绍三大中值定理。

一 罗尔中值定理：1． 极值的定义：设)(x f 在区间I 上有定义，I x ∈0且存在I x U ⊂)(0，对任意)(0x U x ∈，())()()()(00x f x f x f x f ≥≤，则称0x 是)(x f 的极大值点（极小值点）。

)(0x f 是极大值（极小值），通称为极值。

注：极值和最值的本质区别：极值是局部概念（相对于某个邻域内）最值是整体概念（相对于整个定义域）● 极值只可能在定义域的内部取到，而最值可能在内部，也可能在端点处取到。

● 极值不是唯一的，最值（如果存在）则一定是唯一的。

● 极值不一定是最值，最值也不一定是极值，当最值在定义域内部取到时，最值就一定是极值。

2． 费马引理（Fermat ）：函数)(x f 在区间I 上有定义，如果)1()(x f 在0x 点可导; )2(0x 是)(x f 的极值点.则0)(0'=x f .说明： （1）几何意义：)(x f 在0x 点存在切线，若0x 是极值点，则切线是平行于x 轴的。

（2）理论证明：只要证明0)()(lim00=--→x x x f x f x x ，即0)()(0'0'==-+x f x f .3．驻点：通常把0)(0'=x f 的点0x 称为)(x f 的驻点（临界点、稳定点）● 驻点不一定是极值点。

如：3x y =，0=x 不是极值点，在该点的两侧单调增加。

● 极值点不一定是驻点，如：x y =，0=x 是极小值点，但在该点不可导。

4．罗尔定理(Rolle)：如果函数)(x f 满足)1(],[b a 上连续； )2(),(b a 内可导； )3()()(b f a f =. 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)('=ξf .● 几何意义：连续光滑曲线（无缝隙的光滑曲线）若两端点的函数值相等，则在曲线上至少存在一点，使得函数在该点的切线平行于x 轴。

微分中值定理与导数的应用教案第一章：微分中值定理概述1.1 引言引入微分中值定理的概念和意义。

解释微分中值定理在数学分析和物理学中的应用。

1.2 罗尔定理介绍罗尔定理的定义和条件。

通过示例解释罗尔定理的应用。

1.3 拉格朗日中值定理阐述拉格朗日中值定理的表述和条件。

通过图形和示例解释拉格朗日中值定理的应用。

第二章：导数的应用2.1 函数的单调性引入函数的单调性的概念。

解释导数与函数单调性的关系。

通过示例说明如何利用导数判断函数的单调性。

2.2 函数的极值介绍极值的概念和分类。

解释导数与函数极值的关系。

通过示例说明如何利用导数找到函数的极值点。

2.3 函数的凹凸性引入函数凹凸性的概念。

解释导数与函数凹凸性的关系。

通过示例说明如何利用导数判断函数的凹凸性。

第三章：微分中值定理的应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则的定义和条件。

通过示例解释洛必达法则的应用。

3.2 泰勒公式阐述泰勒公式的定义和意义。

通过示例解释泰勒公式的应用。

3.3 微分中值定理在其他领域的应用举例说明微分中值定理在物理学、工程学等领域的应用。

第四章：导数在经济学的应用4.1 边际分析介绍边际分析的概念和意义。

解释如何利用导数进行边际分析。

通过示例说明导数在边际分析中的应用。

4.2 优化问题介绍优化问题的概念和分类。

解释如何利用导数解决优化问题。

通过示例说明导数在优化问题中的应用。

第五章：微分中值定理与导数的实际应用5.1 实际应用案例介绍介绍一个实际应用案例，如工程设计、经济决策等。

解释该案例中如何应用微分中值定理和导数。

5.2 学生实践项目分配一个实际应用项目给学生们。

指导学生如何利用微分中值定理和导数解决该项目。

5.3 项目成果展示与讨论让学生们展示他们的项目成果。

进行讨论和交流，分享各自的解题思路和经验。

第六章：导数与函数图像6.1 切线与导数解释导数在函数图像上的几何意义。

展示如何从函数的导数得到函数图像上的切线。

通过实例演示导数与切线的关系。

高等数学教学教案第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01显然，这3个函数在相应的开区间内没有水平切线，即不存在内点ξ，使得()=0f ξ'. （2）即使罗尔定理的3个条件不满足，但定理的结论仍可能成立.例如函数3()f x x =，显然其在闭区间[11],-上连续，在开区间(11),-内可导，在区间[11],-的两端点处函数值不相等[(1)1f -=-，(1)1f =]，但仍存在0(1,1)ξ=∈-，使得()=0f ξ'[见图3.1（d ）].(a) (b)(c) (d)图3.1罗尔定理的几何意义：如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于x 轴的切线，且两端点处的纵坐标相等，那么其上至少有一条平行于x 轴的切线（见图3.2）.罗尔定理的代数意义：当()f x 可导时，在方程()0f x =的两个实根之间至少存在方程()0f x '=的一个实根．3.1.2拉格朗日中值定理定理3.2（拉格朗日中值定理） 如果函数()y f x =满足条件 (1)在闭区间],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 内可导；授课序号02.可以使用等价无穷小替换等方法进行化简，但该方法在有些极限计算中不一定是最授课序号03授课序号04小值）为函数)(x f 在开区间),(b a 内的最大值（或最小值），如图3.14和3.15所示.3.5.2 最值在实际问题中的应用1．在实际问题中求最值，需要先根据实际问题建立一个目标函数，求得实际定义域，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，根据实际问题的实际意义知最大值（或最小值）必存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最大值点（或最小值点），0()f x 即为相应的最大值（或最小值）．2．在经济学中，总收入函数和总成本函数都可以表示为产量（销量）q 的函数，分别记为()R q 和()C q ，则总利润函数()L q 表示为()()()L q R q C q =-．为使总利润最大，需满足最大利润原则，即满足下面两个条件： ①()()()0L q R q C q '''=-=，解得驻点0q q =； ②000()()()0L q R q C q ''''''=-<. 例题讲解例3.28 求函数796)(23++-=x x x x f 在]5,1[-上的最大值和最小值例3.29 求函数123()(1)1f x x =-+的最值．例3.30 一块边长为24cm 的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，以做成无盖的铁盒．问：截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积最大？例3.31 要做一个容积为V 的圆柱形罐头筒，问：怎样设计才能使所用材料最省？例3.32 某工厂每月生产某种商品的个数x 与需要的总费用的函数关系为21024x x ++（费用单位：万元）.若将这些商品以每个9万元售出，问：每月生产多少个商品时利润最大?最大利润是多少?授课序号05授课序号06。

第三章微分中值定理与导数的应用§1内容提要1、定理1 (零点定理)设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且f(a)f(b) ：：：0，那么在开区间(a,b)内至少有一点使f( ) =02、定理2 (介值定理)设函数f (x)在闭区间［a,b］上连续，且f(a)=A及f(b)=B, A = B 那么对于A与B之间的任一个常数C，开区间(a,b)内至少有一点■使f ( HC, (a「：：：b)1设函数f(x)在点x o的某邻域U(x。

)=(x° -「X。

•「•)内有定义，并且在X o处可导，如果对任意的x w U (x0)，有f (x)兰f (x0) ( f (x) 3 f (x0))，那么f "(x0) =0。

注：①费马引理函数的极值点若可导，则其导数为0。

②一阶导数等于零的点称为函数的驻点。

2、定理4 (罗尔(Rolle定理))如果函数f(x)满足：(1)在闭区间［a,b］上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)在区间端点处的函数值相等，即f(aH f(b)，那么在(a,b)内至少有一点(a：：：：：：b)，使得f ( )=0。

3、定理5 (拉格朗日(Lagrange定理)如果函数f(x)满足：(1)在闭区间［a,b］上连续；(2)在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点(a：：：::: b)，使得f(b)-f(a) = f( )(b-a)。

4、定理6如果函数f(X)在区间I上的导数恒为零，那么函数f(x)在区间I上是一个常数。

5、定理7 (柯西(Cauchy定理)如果函数f(x)及F(x)满足：(1)在闭区间［a,b］上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)对任一(a,b), F(x) =0,那么在(a,b)内至少有一点］a「：：：b)，f (b) -f(a) f () F(b) -F(a)「F()6、定理8 (泰勒(Tayloi )定理)如果函数f(x)在含有x 0的某个开区间(a,b)内具有直到n ，1阶的导数，则对x ・(a,b),有f(X)二 f(X o ) f (X °)(X -X o ) f2：0)&_沧)2川f 5卑)岸)其中R n (x)- (X - X o )""，这里'是x与X o 之间的某个值，此公式也称为带有拉格 (n +1)!朗日型余项的n 阶泰勒公式。

高等数学教案一、课程的性质与任务高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。

要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。

在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

第一章：函数与极限教学目的与要求 18学时1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

第一节：映射与函数一、集合1、 集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。

组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素1)},,,{321 a a a A2)}{P x x A 的性质=元素与集合的关系：A a ∉ A a ∈一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。

就是割线
内至少有一点。

内至少有一点，使等式
内至少有一点
证明方程在
不难发现方程左端是函数
在
，使
也就是：方程
我们就把式子分别记为
时，函数,
时，与都存在，
=
[a,a+==
,x于是
存在，则存在且二者的极限相同；而并不是不存在时，
,x。

Sin应慎重考虑是否符合洛必达法则条件中
、、、等型，通常是转化为
附近关于
x=
|过远,即使用代替
固定后将使并使变化对
设函数
，那末函数
，那末函数
确定函数
其导数为：，因此可以判出：时，；=0
则称
则称
则
与及不存在的各点
平均曲率表示曲线段线变化的角度，为
，即定义
为曲线在某一点的曲率半径。

轴与。

以次类推，直到。

第三章 微分中值定理与导数的应用讲义【考试要求】1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义． 2．熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“/∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“0∞”型未定式极限的方法．3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式．4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题．5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线．【考试内容】一、微分中值定理1．罗尔定理如果函数()yf x =满足下述的三个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得()0f ξ'=．说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若0()0f x '=，则称点0x 为函数()f x 的驻点．2．拉格朗日中值定理如果函数()yf x =满足下述的两个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得下式（拉格朗日中值公式）成立： ()()()()f b f a f b a ξ'-=-．说明：当()()f b f a =时，上式的左端为零，右端式()b a -不为零，则只能()0f ξ'=，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理．3．两个重要推论（1）如果函数()f x 在区间I 上的导数恒为零，那么()f x 在区间I 上是一个常数．证：在区间I 上任取两点1x 、2x （假定12x x <，12x x >同样可证），应用拉格朗日中值公式可得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- （12x x ξ<<）． 由假定，()0f ξ'=，所以 21()()0f x f x -=，即 21()()f x f x =．因为1x 、2x 是I 上任意两点，所以上式表明()f x 在区间I 上的函数值总是相等的，即()f x 在区间I 上是一个常数．（2）如果函数()f x 与()g x 在区间(,)a b 内的导数恒有()()f x g x ''=，则这两个函数在(,)a b 内至多相差一个常数，即()()f x g x C -=（C 为常数）． 证：设()()()F x f x g x =-，则()[()()]()()0F x f x g x f x g x ''''=-=-=，根据上面的推论（1）可得，()F x C =，即()()f x g x C -=，故()()f x g x C -=．二、洛必达法则1．x a →时“0”型未定式的洛必达法则如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）在点a 的某个去心邻域内()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x a f x F x →''存在（或为无穷大），那么()()limlim()()x ax a f x f x F x F x →→'='． 说明：这就是说，当()lim ()x a f x F x →''存在时，()lim ()x a f x F x →也存在且等于()lim ()x a f x F x →''；当()lim()x af x F x →''为无穷大时，()lim ()x a f x F x →也是无穷大．2．x →∞时“”型未定式的洛必达法则 如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x →∞时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）当x X >时()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x f x F x →∞''存在（或为无穷大），那么 ()()lim lim()()x x f x f x F x F x →∞→∞'='． 说明：我们指出，对于xa →或x →∞时的未定式“∞∞”，也有相应的洛必达法则． 3．使用洛必达法则求“00”型或“∞∞”型极限时的注意事项（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“00”型或“∞∞”型，如果不是则不能使用洛必达法则．例如：2sin lim x xx π→就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故2sinsin 22lim 2x x x ππππ→==．（2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“00”型或“∞∞”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推．（3）洛必达法则是求“00”型或“∞∞”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：求20tan lim tan x x xx x→-时，可先用~tan x x进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故2223220000tan tan sec 1tan 1lim lim lim lim tan 333x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---====． （4）如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算．例如：求0lnsin 2limlnsin3x xx+→时，0000lnsin 2sin3cos 222sin323lim lim lim lim 1lnsin3sin 2cos333sin 232x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅，从第二步到第三步的过程中，分子上的因子cos2x 和分母上的因子cos3x 当0x +→时极限均为1，故可先求出这两部分的极限以便化简运算．（5）当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当()lim ()f x F x ''不存在时（等于无穷大的情况除外），()lim ()f x F x 仍可能存在．例如：极限sin lim x x xx→∞+，(sin )1cos lim lim lim(1cos )1x x x x x xx x →∞→∞→∞'++==+' 极限是不存在的，但是原极限是存在的，sin sin sin limlim(1)1lim 101x x x x x x xx x x→∞→∞→∞+=+=+=+=．4．其他类型的未定式除了“00”型或“∞∞”型未定式之外，还有其他类型的未定式，如“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”及“0∞”型等．对于“0⋅∞”和“∞-∞”型的未定式，处理方法为将它们直接转化成“00”或“∞∞”型；对于“1∞”、“00”及“0∞”型的未定式，处理方法为先取对数将它们转化成“0⋅∞”型，然后再转化成“00”型或“∞∞”型未定式． 三、函数单调性的判定法1．单调性判定法设函数()yf x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，（1）如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； （2）如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少．说明：① 如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立； ② 若判定法中()f x '在(,)a b 内只有有限个点上()0f x '=，而在其余点上恒有()0f x '>（或()0f x '<），则函数()f x 在区间[,]a b 上仍然是单调增加（或单调减少）的．2．单调区间的求法设函数()f x 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，则求函数()f x 的单调性的步骤如下：（1）求出函数()f x 的定义域；（2）求出函数()f x 的导数()f x '，并令()0f x '=求出函数的驻点；此外，再找出导数不存在的点（一般是使得()f x '分母为零的点）； （3）用函数()f x 的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性．3．用单调性证明不等式函数()f x 的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下：（1）将不等式的一边变为零，不等于零的一边设为()f x ，根据要证明的式子找出不等式成立的x 的范围I ； （2）求()f x 的导数()f x '，判断()f x '在上述I 范围内的符号（即正负）； （3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．例如：试证明当1x>时，13x>-． 证明：原不等式即为13x -+，故令1()3f x x=-+，0x >，则2211()(1)f x xx '=-=- ，()f x 在[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内()0f x '>，因此在[1,)+∞上()f x 单调增加，从而当1x >时，()(1)f x f >，又由于(1)0f =，故()0f x >，即130x -+>，亦即13x>-．四、函数的凹凸性与拐点1．函数凹凸性的定义设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点1x 、2x ，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．如果函数()f x 在I 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示．2．函数凹凸性的判定法设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的； （2）若在(,)a b 内()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的．说明：若在(,)a b 内除有限个点上()0f x ''=外，其它点上均有()0f x ''>（或()0f x ''<），则同样可以判定曲线()y f x =在[,]a b 上为凹曲线（或凸曲线）． 3．曲线的拐点的求法一般地，设()y f x =在区间I 上连续，0x 是I 的内点（除端点外I 内的点）．如果曲线()y f x =在经过点00(,())x f x 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点00(,())x f x 为这曲线的拐点．我们可以按照下述步骤求区间I 上的连续函数()y f x =的拐点：（1）求()f x ''； （2）令()0f x ''=，解出这方程在区间I 内的实根，并求出在区间I 内()f x ''不存在的点；（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点0x ，检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点00(,())x f x 是拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是拐点．在[,]a b 上单3．基本初等函数的微分公式说明：若要求函数()y f x =的凹凸区间，则用（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间I分成若干部分区间，然后在这些部分区间上判定()f x ''的符号，若()0f x ''>，则该部分区间为凹区间，若()0f x ''<，则该部分区间为凸区间．五、函数的极值与最值1．函数极值的定义设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，如果对于去心邻域0()U x 内任一x ，有0()()f x f x <（或0()()f x f x >），那么就称0()f x 是函数()f x 的一个极大值（或极小值）．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点． 说明：函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果0()f x 是函数()f x 的一个极大值，那只是就0x 附近的一个局部范围来说，0()f x 是()f x 的一个最大值，如果就()f x 的整个定义域来说，0()f x 不见得是最大值．关于极小值也类似．2．函数取得极值的必要条件设函数()f x 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么0()0f x '=．说明：这也就是说，可导函数()f x 的极值点必定是它的驻点．但反过来，函数的驻点却不一定是极值点．例如，3()f x x =的导数2()3f x x '=，(0)0f '=，因此0x =是这函数的驻点，但0x=却不是这函数的极值点，所以，函数的驻点只是可能的极值点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数()f x x =在点0x =处不可导，但函数在该点取得极小值．3．判定极值的第一充分条件设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域0()U x 内可导．（1）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '>，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值；（2）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '<，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值；（3）若0(,)x U x δ∈时，()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 处没有极值．4．用第一充分条件求极值点和极值的步骤设函数()f x 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下： （1）求出导数()f x '；（2）求出()f x 的全部驻点与不可导点；（3）考查()f x '的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点； （4）求出各极值点的函数值，就得函数()f x 的全部极值．5．判定极值的第二充分条件设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，那么（1）当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值； （2）当0()0f x ''>时，函数()f x 在0x 处取得极小值．说明：该极值判定条件表明，如果函数()f x 在驻点0x 处的二阶导数0()0f x ''≠，那么该驻点0x 一定是极值点，并且可按二阶导数0()f x ''的符号来判定0()f x 是极大值还是极小值．但如果0()0f x ''=，则该判定条件失效．事实上，当0()0f x '=，0()0f x ''=时，()fx 在0x 处可能有极大值，可能有极小值，也可能没有极值．例如，41()f x x =-，42()f x x =，33()f x x =这三个函数在0x =处就分别属于上述三种情况．因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定．6．求()f x 在区间[,]a b 上的最值的步骤设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值的步骤如下：（1）求出()f x 在(,)a b 内的驻点1x ，2x ，，m x 及不可导点1x '，2x '，，n x '；（2）计算()i f x （1,2,,i m =），()j f x '（1,2,,j n =）及 ()f a ，()f b ；（3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是()f x 在[,]a b 上的最大值，最小的便是()f x 在[,]a b 上的最小值．说明：在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数()f x 确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得．这时如果()f x 在定义区间内部只有一个驻点0x ，那么不必讨论0()f x 是不是极值，就可以断定0()f x 是最大值或最小值．六、函数的渐近线的求法1．水平渐近线若lim()x f x a →∞=（包括lim ()x f x a →-∞=或lim ()x f x a →+∞=），则直线y a =就是函数()f x 的水平渐近线．2．垂直渐近线（或称铅直渐近线）若0lim()x x f x →=∞（包括0lim ()x x f x -→=∞或0lim ()x x f x +→=∞），则直线0x x =就是函数()f x 的垂直（铅直）渐近线．【典型例题】 【例3-1】验证罗尔定理对函数()lnsin f x x =在区间5[,]66ππ上的正确性．解：显然函数()lnsin f x x =在闭区间5[,]66ππ上连续，在开区间5(,)66ππ上可导，1()(lnsin )cos cot sin f x x x x x ''==⋅=，且5()()l n266f f ππ==-，故满足罗尔定理的条件，由定理可得至少存在一点5(,)66ππξ∈，使得()0f ξ'=，即cot 0ξ=，2πξ=即为满足条件的点．【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数2()482f x x x =--在区间[0,1]上的正确性．解：显然函数2()482f x x x =--在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，()88f x x '=-，根据拉格朗日中值定理可得至少存在一点(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-，即6(2)88ξ---=-，可得1(0,1)2ξ=∈，12ξ=即为满足条件的点．【例3-3】不求导数，判断函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的导数有几个零点，这些零点分别在什么范围． 解：显然()f x 是连续可导的函数，且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====，故()f x 在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上满足罗尔定理的条件，所以在区间(1,2)内至少存在一点1ξ，使得1()0f ξ'=，即1ξ是()f x '的一个零点；在区间(2,3)内至少存在一点2ξ，使得2()0f ξ'=，即2ξ是()f x '的一个零点；又在区间(3,4)内至少存在一点3ξ，使得3()0f ξ'=，即3ξ也是()f x '的一个零点．又因为()f x '是三次多项式，最多只能有三个零点，故()f x '恰好有三个零点，分别在区间(1,2)，(2,3)和(3,4)内．【例3-4】证明arcsin arccos 2x x π+=，其中11x -≤≤．证明：设()arcsin arccos f x x x =+，[1,1]x ∈-， 因为()(0f x '=+=，所以()f x C =，[1,1]x ∈-．又因为(0)a r c s i n 0a r c c o s 0022f ππ=+=+=，即 2C π=，故arcsin arccos 2x xπ+=．说明：同理可证，arctan arccot 2x x π+=，(,)x ∈-∞+∞．【例3-5】求下列函数的极限．1．求 332132lim 1x x x x x x →-+--+．解：该极限为1x →时的“”型未定式，由洛必达法则可得 原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---．2．求arctan 2lim 1x x xπ→+∞-．解：本题为x →+∞时的“00”型未定式，由洛必达法则可得原式222211lim lim 111x x x x x x→+∞→+∞-+===+-．3．求0lnsin 2lim lnsin3x xx+→． 解：该极限为0x+→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式0001cos 222sin 323sin 2lim lim lim 113sin 232cos33sin 3x x x x x x x x xx x+++→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅．4．求 2tan lim tan 3x xx π→．解：本题为2x π→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式2222222sec cos 32cos3(sin 3)3lim lim lim 3sec 33cos 6cos (sin )x x x x x x x x x x x πππ→→→⋅-⋅===⋅- 22cos33sin3lim lim 3cos sin x x x x x x ππ→→-===-．5．求2tan limtan x x xx x→-． 解：该极限为0x →时的“00”型未定式，结合等价无穷小的替换，运用洛必达法则可得原式22320000tan sec 12sec tan 21lim lim lim lim 3663x x x x x x x x x x x x x x →→→→--⋅=====． 说明：此题也可这样求解（运用公式22sec1tan x x =+和等价无穷小替换来简化运算）： 原式22232220000tan sec 1tan 1lim lim lim lim 3333x x x x x x x x x x x x x →→→→--=====． 6．求11lim()sin x x x→-． 解：该极限为0x →时的“∞-∞”型未定式，解决方法为先化为“1100-”型，然后通分化为“”型，故 原式20000sin sin 1cos sin lim lim lim lim 0sin 22x x x x x x x x x xx x x x →→→→---=====．7．求lim x x x +→． 解：该极限为0x +→时的“00”型未定式，解决方法为取对数化为“0ln0⋅”型，进而化为“”型，故 原式020001lim ln 1lim ln limlim ()ln 00lim 1x x x x xx x xx x x xx x e ee e e e +→+++→→→+--→=======．8．求cos limx x xx→∞+．解：原式1sin lim lim(1sin )1x x x x →∞→∞-==-，最后的极限不存在，不满足洛必达法则的条件，实际上，原式cos cos lim(1)1lim 101x x x xx x→∞→∞=+=+=+=．【例3-6】求下列函数的单调区间． 1．32()29123f x x x x =-+-．解：因2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得11x =，22x =．用1x ，2x 将函数的定义域(,)-∞+∞分成三个区间(,1)-∞，(1,2)，(2,)+∞，其讨论结果如下表所示：由上表可得，函数的单调递增区间为(,1]-∞和[2,)+∞，单调递减区间为[1,2]．2．()f x = ．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，()f x '=（0x ≠），当0x =时导数不存在．将函数定义域分成两个区间(,0)-∞和(0,)+∞，讨论结果如下表所示：所以函数的单调递增区间为[0,)+∞，单调递减区间为(,0]-∞． 【例3-7】利用函数的单调性证明不等式． 1．试证当0x>时，ln(1)x x >+成立．证明：设()ln(1)f x x x =-+，则1()111xf x x x'=-=++， 因()f x 在区间[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内可导，且 ()0f x '>， 故()f x 在区间[0,)+∞上单调增加，又因为(0)0f =，所以当0x >时，()0f x >，即ln(1)0x x -+>，也即 ln(1)x x >+成立．2．试证当1x >时，13x>-．证明：令1()(3)f x x =--，则2211()(1)f x xx '=-=-， 因()f x 在区间[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内可导且()0f x '>， 故()f x 在区间[1,)+∞上单调增加，又因为(1)0f =，所以当1x >时，()0f x >，即1(3)0x -->，也即13x>- 成立．【例3-8】证明方程510x x ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．证明：令5()1f x x x =++，因为()f x 在闭区间[1,0]-上连续，且(1)10f -=-<，(0)10f =>，根据零点定理，()f x 在区间(0,1)内至少有一个零点．另一方面，对于任意实数x ，有4()510f x x '=+>，所以()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，因此曲线5()1f x x x =++与x 轴至多有一个交点．综上所述，方程510xx ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．【例3-9】求下列函数的极值． 1．32()395f x x x x =--+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，令()0f x '=，得驻点11x =-，23x =，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(1)10f -=，极小值为(3)22f =-．2．233()2f x x x =-．(,1]-∞-解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有13()1f x x-'=-=， 令()0f x '=，得驻点1x =，当0x =时()f x '不存在，驻点1x =以及不可导点0x =将定义域分成三个区间，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(0)0f =，极小值为1(1)2f =-．【例3-10】求函数32()231214f x x x x =+-+在区间[3,4]-上的最值．解：因为2()66126(2)(1)f x x x x x '=+-=+-，令()0f x '=，得 12x =-，21x =，计算(3)23f -=，(2)34f -=，(1)7f =，(4)142f =，比较上述结果可知，最大值为(4)142f =，最小值为(1)7f =．【例3-11】求下列曲线的凹凸区间和拐点． 1．43()341f x x x =-+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有32()1212f x x x '=-，2()36()3f x x x ''=-，令()0f x ''=，得10x =，223x =， 列表讨论如下：(,1]-∞-由上表可得，曲线()f x 的凹区间为(,0]-∞和2[,)3+∞，凸区间为2[0,]3，拐点为(0,1)和211(,)327．2．()f x =解：函数的定义域为(,)-∞+∞，当0x ≠时有231()3f x x -'=，532()9f x x -''=-，当0x =时，()f x '和()f x ''均不存在，但在区间(,0)-∞内，()0f x ''>，故曲线在(,0]-∞上是凹的；在区间(0,)+∞内，()0f x ''<，故曲线在[0,)+∞上是凸的．所以曲线的凹区间为(,0]-∞，凸区间为[0,)+∞，拐点为(0,0)．【历年真题】 一、选择题1．（2009年，1分）若函数()y f x =满足0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的（A ）极大值点 （B ）极小值点 （C ）驻点 （D ）拐点 解：若0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的驻点，选（C ）．2．（2009年，1分）当0x >时，曲线1sin y x x=（A ）没有水平渐近线 （B ）仅有水平渐近线23 x ()f x 2(,)3+∞ 0 (,0)-∞2(0,)3+-+对应拐点对应拐点凹凸凹()f x ''（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线，又有铅直渐近线解：由1sin1lim sin lim11x x x x x x→∞→∞==可知，1y =为曲线的水平渐近线；01lim sin 0x x x+→=，故曲线无铅直渐近线．选项（B ）正确． 3．（2008年，3分）函数()ln f x x =在区间[1,2]上满足拉格朗日公式中的ξ等于（A ）ln 2 （B ）ln1 （C ）ln e （D ）1ln 2解：对函数()ln f x x =在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理，(2)(1)()(21)f f f ξ'-=-，即 1ln 20ξ-=，故 1ln 2ξ=．选（D ）． 4．（2007年，3分）曲线33yx x =-上切线平行于x 轴的点为（A ）(1,4)-- （B ）(2,2) （C ）(0,0)（D ）(1,2)- 解：切线平行于x 轴的点即为一阶导数等于零的点．由2330y x'=-=可得，1x =±；1x =时，2y =-，1x =-时，2y =，故曲线33y x x =-上切线平行于x 轴的点为(1,2)-和(1,2)-．选项（D ）正确． 5．（2007年，3分）若在区间(,)a b 内，导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<，则函数()f x 在该区间内（A ）单调增加，曲线为凸的 （B ）单调增加，曲线为凹的 （C ）单调减少，曲线为凸的 （D ）单调减少，曲线为凹的 解：()0f x '>可得()f x 单调增加，()0f x ''<可得曲线为凸的，故选（A ）．二、填空题1．（2010年，2分）函数32()2912f x x x x =-+的单调减区间是．解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =；当1x <时，()0f x '>，当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，故函数的单调递减区间为[1,2]．2．（2009年，2分）当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是函数（填“单调递增”、“单调递减”）．解：当6x π=时，sin36()66f ππππ==；当2x π=时，sin22()22f ππππ==；故当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是单调递减函数． 3．（2009年，2分）函数32()29121f x x x x =-++在区间[0,2]上的最大值点是．解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =．比较函数值(1)6f =，(2)5f =，(0)1f =，可知，函数的最大值为(1)6f =，故函数的最大值点为1x =．4．（2007年，4分）曲线24x t y t⎧=⎨=⎩在1t =处的切线方程为．解：将1t =代入参数方程可得切点为(1,4)，切线斜率11422t t t t y k tx =='==='，故切线方程为42(1)y x -=-，即 22y x =+．5．（2005年，3分）x y xe -=的凸区间是．解：()(1)x x x x y xe e xe x e ----''==-=-，(1)(2)x x x y e x e x e ---''=---=-． 令 (2)0x y x e -''=-=可得，2x =，且当2x >时，0y ''>，当2x <时，0y ''<，故函数x y xe -=的凸区间是(,2]-∞．6．（2005年，3分）曲线x y x =通过(1,1)点的切线方程为．解：因ln ln ()()(ln 1)(ln 1)x x x x x x y x e e x x x '''===⋅+=+，故切线斜率1[(ln 1)]1x x k x x ==+=，所以切线方程为11(1)y x -=⋅-，即 y x =．三、应用题或综合题1．（2010年，10分）现有边长为96厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？ 解：设剪区的小正方形边长为x ，则纸盒的容积2(962)yx x =-，048x <<．2(962)2(962)(2)(962)(966)y x x x x x '=-+⋅--=--，令0y '=，可得 16x =（48x =舍去）．因只有唯一的驻点，且原题中容积最大的无盖纸箱一定存在，故当剪区的小正方形边长为16厘米时，做成的无盖纸箱容积最大． 2．（2010年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，并且对于[0,1]上的任意x 所对应的函数值()f x 均为0()1f x ≤≤，证明：在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．解：令()()F x f x x =-，由于()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续．(0)(0)0(0)F f f =-=，(1)(1)1F f =-．而对[0,1]x ∀∈，0()1f x ≤≤，故(0)0F ≥，(1)0F ≤． 若(0)0F =，即(0)00f -=，(0)0f =，则0ξ=； 若(1)0F =，即(1)10f -=，(1)1f =，则1ξ=；当(0)0F ≠，(1)0F ≠时，(0)(1)0F F ⋅<，而()F x 在[0,1]上连续，故根据零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=，即()0f ξξ-=，()f ξξ=．综上，在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．3．（2009年，10分）某工厂需要围建一个面积为2512m 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材 料最省？解：设堆料场的宽为xm ，则长为512x m ，设砌墙周长为y ，则5122y x x=+， 令251220y x'=-=，得 2256x =，16x =（16x =-舍去）．因只有一个驻点，且原题中最值一定存在，故当16x =时，函数有最小值．即当宽为16m ，长为32m 时，才能使砌墙所用的材料最省． 4．（2009年，10分）当0x >，01a <<时，1a x ax a -≤-．解：原不等式即为 10a x ax a -+-≤．设()1a f x x ax a =-+-，则（1）当1x=时，()110f x a a =-+-=，即10a x ax a -+-=成立； （2）当01x <<时，111()(1)0a a f x axa a x--'=-=->，故()f x 单调增加，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立；（3）当1x>时，111()(1)0a af x ax a a x--'=-=-<，故()f x 单调减少，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立．综上，当0x>，01a <<时，不等式10a x ax a -+-≤成立，即1ax ax a -≤-． 5．（2008年，8分）求函数233y x x =-的单调区间、极值、凹凸区间与拐点．解：函数的定义域为(,)-∞+∞． 先求单调区间和极值．令2633(2)0y x xx x '=-=-=，得驻点0x =，2x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,0)-∞，(0,2)，(2,)+∞．当(,0)x ∈-∞时，0y '<，函数单调减少；当(0,2)x ∈时，0y '>，函数单调增加；当(2,)x ∈+∞时，0y '<，函数单调减少．故函数的单调增加区间为[0,2]，单调减少区间为(,0]-∞和[2,)+∞；极小值(0)0f =，极大值(2)4f =．再求凹凸区间和拐点．令660y x ''=-=，得1x =．当(,1)x ∈-∞时，0y ''>，函数为凹的；当(1,)x ∈+∞时，0y ''<，函数为凸的，且当1x =时，2y =，故函数的凹区间为(,1]-∞，凸区间为[1,)+∞，拐点为(1,2)．6．（2007年，8分）求函数11y x x =++的单调区间、极值、凹凸区间和拐点． 解：函数的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞．先求单调区间和极值．令221(2)10(1)(1)x x y x x +'=-==++，得驻点2x =-，0x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,2)-∞-，(2,1)--，(1,0)-，(0,)+∞．当(,2)x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当(2,1)x ∈--时，0y '<，函数单调减少；当(1,0)x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(0,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为(,2]-∞-和[0,)+∞，单调减少区间为[2,1)--和(1,0]-；极大值(2)3f -=-，极小值(0)1f =．再求凹凸区间和拐点．因432(1)2(1)(1)x y x x -+''=-=++，故当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<，函数为凸的；当(1,)x ∈-+∞时，0y ''>，函数为凹的，故函数的凸区间为(,1)-∞-，凹区间为(1,)-+∞．凹凸性改变的点为1x =-，不在定义域内，故函数没有拐点．7．（2007年，8分）在周长为定值l 的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大？解：设扇形的半径为x ，则弧长为2lx -，设扇形的面积为y ，则由题意211(2)22y l x x x lx =-=-+．令202l y x '=-+=得，4l x =．唯一的极值点即为最大值点．故当扇形的半径为4l时，扇形的面积最大．8．（2006年，10分）求函数321y x x x =--+的单调区间、极值及凹凸区间、拐点．解：函数的定义域为(,)-∞+∞．先求单调区间和极值．令2321(31)(1)0y x x x x '=--=+-=，得驻点13x =-，1x =，用驻点将整个定义域分为三个区间1(,)3-∞-，1(,1)3-，(1,)+∞．当1(,)3x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当1(,1)3x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(1,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为1(,]3-∞-和[1,)+∞，单调减少区间为1[,1]3-；极大值132()327f -=，极小值(1)0f =． 再求凹凸区间和拐点．令620y x ''=-=，得13x=．当1(,)3x ∈-∞时，0y ''<，函数为凸的；当1(,)3x ∈+∞时，0y ''>，函数为凹的，且当13x =时，1627y =，故函数的凸区间为1(,]3-∞，凹区间为1[,)3+∞，拐点为116(,)327．9．（2006年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，且()0f x >．证明方程11()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．证明：先证存在性．设011()()()x xF x f t dt dt f t =+⎰⎰，[0,1]x ∈．因()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续，且011011(0)00()()F dt dt f t f t =+=-<⎰⎰，11(1)()0()0F f t dt f t dt =+=>⎰⎰，故由零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0F ξ=，即在(0,1)内方程至少存在一个根．再证唯一性，即证()F x 的单调性．1()()0()F x f x f x '=+>，故()F x 单调增加，所以结合上面根的存在性可知，方程011()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．10．（2005年，8分）已知()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在(0,0)处切线相同，写出该切线方程并求2lim ()n nfn→∞． 解：切线斜率()22arctan arctan 02011x xtx x e k e dtx --==⎛⎫'===⎪ ⎪+⎝⎭⎰，故切线方程为01(0)y x -=⋅-，即 y x =．因()y f x =过点(0,0)，故(0)0f =，且(0)1f '=，故 222()()()2lim ()lim lim 2(0)211()n n n f f n n n nf f n n n→∞→∞→∞'''===='．。