常用逻辑用语学生版

常用逻辑用语1．充要条件的判断：（1）定义法----正、反方向推理注意区分：“甲是乙的充分条件（甲⇒乙）”与“甲的充分条件是乙（乙⇒甲）”（2）利用集合间的包含关系：例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。

2．逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式 p ∧q ；p q p ∧q p ∨q ⌝p ⑵或（or ）： 命题形式 p ∨q ； 真真 真 真 假 ⑶非（not ）：命题形式⌝p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 3．四种命题的相互关系4。

四种命题：⑴原命题：若p 则q ； ⑵逆命题：若q 则p ； ⑶否命题：若⌝p 则⌝q ；⑷逆否命题：若⌝q 则⌝p注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。

5.全称量词与存在量词⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用∀表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈∀；全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。

⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用∃表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃；特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；一：例题讲解1．命题“若，则”的逆否命题是（ ）．A ． 若，则B ． 若，则C ． 若，则D ． 若，则2．命题：，的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，3．已知命题:"若,则",则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( )A ．B ．C ．D ． 4．已知命题：，，则：A ． ，B ． ，C ．，D ．，5．设,则“”是“”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件二、练习题16．如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么（ ） A ． 命题p ，q 均为真命题 B ． 命题p ，q 均为假命题C ． 命题p ，q 有且只有一个为真命题D ． 命题p 为真命题，q 为假命题 7．命题:p 若0x <，则()ln 10x +<； q 是p 的逆命题，则（ ）A ． p 真， q 真B ． p 真， q 假C ． p 假， q 真D ． p 假， q 假 8．命题“，则”的逆否命题是（ ） A ． 若，则 B ． 若，则 C ． 若，则D ． 若，则9．设，，则是成立的A ． 必要不充分条件B ． 充分不必要条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件10．设命题, ,则命题成立是命题成立的( )A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 11．设,则“2-x ≥0”是“≤1”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 12．已知命题；命题，．则下列命题为真命题的是（ ）．A ．B ．C ．D ．13．设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y|”的( ) A ． 充要条件 B ． 充分而不必要条件 C ． 必要而不充分条件 D ． 既不充分也不必要条件14．条件p:|x+1|>2,条件q:x ≥2,则是的( ) A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 15．设：，：，则是的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件三、练习题216．命题“若x=3,则x 2-9x+18=0”的逆命题、否命题与逆否命题中,假命题的个数为( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 17．已知命题：，命题：，，则下列说法正确的是（ ）A ． 命题是假命题B ． 命题是真命题C ． 命题是真命题 D ． 命题是假命题18．命题“若0x y +=，则0x =或0y =”的逆否命题是（ ）A ． 若0x y +=，则0x =且0y =B ． 若0x y +≠，则0x ≠或0y ≠C ． 若0x =或0y =，则0x y +≠D ． 若0x ≠且0y ≠，则0x y +≠19．若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则（ ） A ． 命题p 与命题q 都是真命题 B ． 命题p 与命题q 都是假命题 C ． 命题p 是真命题，命题q 是假命题 D ． 命题p 是假命题，命题q 是真命题 20．已知，都是实数，那么“”是“”的（ ）A ． 充要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分不必要条件D ． 既不充分也不必要条件 21．命题“”的否定为（ ） A ．B ．C ．D ．22．设，则“”是“”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 23．“α＝”是“sin α＝”的( ) A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件24．“0x >”是“()10x x +>”成立的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 既不充分也不必要条件D ． 充要条件 25．设，是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（ ）A ． 必要不充分条件B ． 充分不必要条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件。

第一章常用逻辑用语一、四种命题1．命题(1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(2)在数学中，“若p，则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．2．四种命题的概念：(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)互否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．3．四种命题的结构：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用-p，-q分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p成立，则q成立. 即“若p，则q”．逆命题：若q成立，则p成立. 即“若q，则p”．否命题：若-p成立，则-q成立. 即“若-p，则-q”．逆否命题：若-q成立，则-p成立. 即“若-q，则-p”．4．四种命题的相互关系5．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1．如果已知“若p，则q”为真，即p⇒q，那么我们说p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．这时p是q的充分必要条件，简称充要条件，实际上p与q互为充要条件．如果p⇒q且q⇒p，则p是q的既不充分又不必要条件．三、简单的逻辑联结词1．用逻辑联结词构成新命题(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作-p，读作“非p”或“p的否定”2．含有逻辑联结词的命题的真假判断四、全称量词与存在量词1．全称量词和全称命题(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词和特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题：“存在M中的一个x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为(3)∀x∈M，p(x)．3．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定非p：∃x0∈M，非p(x0)；(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定非p：∀x∈M，非p(x).4．命题的否定与否命题命题的否定只否定结论，否命题既否定结论，又否定条件．1．判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．3．全称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．具有性质p变为具有性质非p.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．。

高中常用逻辑用语1. 高中常用逻辑用语啊，那可太重要啦！就像我们走路需要看清路一样，逻辑用语能让我们的思维更清晰呀！比如“如果明天下雨，我就不出门”，这就是一个简单的逻辑关系嘛。

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像“要么选文科，要么选理科”，是不是很直白？3. 哇塞，高中常用逻辑用语真的很神奇呢！它就像一把钥匙，能打开我们思维的大门呀！“所有的三角形内角和都是 180 度”，这就是一个典型例子呀。

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“没有一个人不喜欢美好的事物”，是不是这样？6. 嘿哟，高中常用逻辑用语，可太有意思啦！它就像游戏里的规则，让一切都有条有理呢！比如“只有认真听讲，才能学好知识”。

7. 哇哦，高中常用逻辑用语，那可是相当重要哇！就好像盖房子需要坚实的基础一样。

“有的同学喜欢数学”，这就是一种存在呀。

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“若一个数是偶数，则它能被 2 整除”，多清晰呀。

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10. 高中常用逻辑用语，那绝对是学习的好帮手呀！就跟好朋友一样可靠呢！“只要坚持锻炼，身体就会健康”，这道理多浅显。

我的观点结论就是：高中常用逻辑用语非常重要，能帮助我们更好地理解和表达，一定要好好掌握呀！。

常用逻辑用语制作时间：2021.1.4 使用年级：高二制作人：陈静一、命题1、四种命题及其关系(1)、四种命题 (2)、四种命题间的逆否关系(3)、四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1、定义1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2、四种条件的判断1.如果“若p则q”为真，记为p q⇒，如果“若p则q”为假，记为p q⇒/.2.若p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件3.判断充要条件方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件⇔p qp q⇒⎧⎨⇐/⎩②p是q的必要不充分条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐⎩③p是q的充要条件⇔p qq p⇒⎧⎨⇒⎩④p是q的既不充分也不必要条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐/⎩（2）集合法：设P={p}，Q={q}，①若P Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若P Q且Q P，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①⌝q是⌝p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件②⌝q是⌝p的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件③⌝q是⌝p的充分要条件⇔p是q的充要条件④⌝q 是⌝p 的既不充分又不必要条件⇔p 是q 的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词(1) 命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．①用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作p ∧q ，读作“p 且q ”．②用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作p ∨q ，读作“p 或q ”．③对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p ”或“p 的否定”．(2)简单复合命题的真值表：四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为∃x 0∈M ，P (x 0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”．3命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题.(2) 含有逻辑连接词命题的否定“p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ； “p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ”(3) “若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”一、命题及其关系1、命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假2、原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．43、命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥4、有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题． 其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．二、充分条件和必要条件1、0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、“M N <”是“33log log M N <”的（ ）A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件3、“0a b >>”是“ A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4、以下说法正确的有（ ）A ．实数0x y >>是B ．222a b ab +≥对,R a b ∈恒成立C ．命题“R x ∃∈，使得210x x ++≥”的否定是“R x ∀∈，使得210x x ++≥”D ，则+2x y 的最小值是8 5、“12a <<”是“对任意的正数x ， ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知2:20p x x --≤，22:60q x mx m --≤(0)m >.（1）若q 是p 成立的必要不充分条件，求m 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝成立的充分不必要条件，求m 的取值范围.7、设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；q ：实数x 满足260x x --≤.（1）若1a =，且p q 、都为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.8、已知集合A 是函数()2lg 208y x x =--的定义域，集合B 是不等式22210x x a -+-≥（0a >）的解集，p ：x A ∈，q ：x B ∈．（1）若A B =∅，求实数a 的取值范围；（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．9、已知:p 对于x R ∀∈，函数()()2ln 46f x kx x k =-+有意义，:q 关于k 的不等式()2220k m k m -++≤成立. （1）若p ⌝为假命题，求k 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围.三、全称量词和存在量词1、命题“20,11x x ∀≥-≥-”的否定是（ ）A ．20,11x x ∀≥-<-B ．20,11x x ∀<-<- C ．20,1x x ∃≥-<-1 D ．20,11x x ∃<-<- 2、命题“0x R ∃∈，0sin 10x ->”的否定为______．3、命题“0x ∀>，3x e x >”的否定是（ ）A ．0x ∀>，3x e x ≤B ．0x ∀≤，3x e x >C ．0x ∃>，3x e x ≤D ．0x ∃≤，3x e x >4、命题“任意x ∈[1，3]，使e x －1－m≤0”是真命题，则m 的取值范围是__________.5、已知“命题:,p x R ∃∈使得2210ax x ++<成立”为真命题，则实数a 满足（ ）A ．[0，1)B ．(-∞，1)C ．[1，+∞)D ．(-∞，1]6、若命题“*n N ∃∈，260n nt -+≤”是真命题，则实数t 的取值范围是______.7、设:p 实数满足22230t at a --<；:q 实数t 使得命题：“x R ∃∈，使2(1)10x t x +-+<”是假命题.若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.8、已知，命题2:,20p x R x ax ++∈≥∀，命题，210x ax -+=． （1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围．。

常用逻辑用语一、知识梳理1、四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：⑴原命题为真，它的逆命题不一定为真；例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的逆命题“若ab=0，则a=0”是假命题.⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的否命题“若a0，则ab0”是假命题.⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真.例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，它的逆否命题“若ab0，则a0”是真命题.结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等）.2、充分条件、必要条件①若，但，则是的充分但不必要条件；②若，但，则是的必要但不充分条件；③若，且，则是的充要条件；④若，且，则是的充要条件；⑤若，且，则是的既不充分也不必要条件．3、简单的逻辑联接词逻辑连结词“或”，“且”，“非”。

（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。

（2）复合命题的真假判断：P Q 非p p或q p且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。

4、全称量词与存在量词全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

（2）全称量词与存在量词的否定。

关键词否定词关键词否定词关键词否定词关键词否定词都是不都是至少一个一个都没有至多一个至少两个属于不属于（3）常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系（如下表）：正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）有是都是全是否定词语不等于（）不大于（）不小于（）无不是不都是不全是正面词语任意的任意两个至少有一个至多有一个所有的至多有个或否定词语某个某两个一个也没有至少有两个某些至少有个且二、典型误区例1判断下列语句是否是命题？(1)2008年5月12日在四川汶川县难道没有发生了里氏8.0特大级地震吗？(2)对(x－1)2≤0，有2x－1＜0.误区二：混淆逻辑联结“或”与日常生活中的“或”例2若命题p：方程(x＋2)(x－1)＝0的根是－2，命题q：方程(x＋2)(x－1)＝0的根是1，则命题“方程(x＋2)(x－1)＝0的根是－2或1”是__________________(填“真”或“假”)命题.误区三：忽视对关键词“且”、“或”的否定例5写出命题“若(x－1)2＋(y－3)2＝0，则x＝1，且y＝3”的逆否命题.误区四：忽视对全称量词与特称量词的否定例10 已知命题p：对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0必有实数根，写出⌝p.误区五：忽视命题中的“隐性量词”的挖掘例10 写出命题p：“菱形的对角线相等”的⌝p形式.三、题型归纳一、题型一：命题、真命题、假命题的判断1．例1：下列语句是命题的是( )A．梯形是四边形B．作直线ABC．x是整数D．今天会下雪吗2、例2．下列说法正确的是( )A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题变式练习：下列命题是真命题的是( )A．{∅}是空集 B.是无限集C．π是有理数 D．x2－5x＝0的根是自然数二、题型二：复合命题的结构例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)6是12和18的公约数；(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)已知x、y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.变式练习：指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：(1)若整数a是偶数，则a能被2整除；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；(3)相等的两个角的正切值相等．三、题型三：命题真假判断中求参数范围例4、已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0(m∈R)无实根，求使p为真命题且q也为真命题的m的取值范围．四、题型四：四种命题的等价关系及真假判断例5．命题“若△ABC 有一内角为3π，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题 B ．与原命题的否命题同为假命题 C ．与原命题的逆否命题同为假命题 D ．与原命题同为真命题 例6．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数 例7．若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是( )A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2B ．若x >y ，则x 2<y 2C ．若x 2≤y 2，则x ≤yD ．若x <y ，则x 2<y 2例8．给出下列命题：①命题“若b 2－4ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题； ②命题“△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题； ③命题“若a >b >0，则a 3>b 3>0”的逆否命题；④“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ”的逆命题． 其中真命题的序号为________．变式练习．若命题p 的逆命题是q ，命题q 的否命题是r ，则p 是r 的( ) A ．逆命题 B ．逆否命题 C ．否命题 D ．以上判断都不对五、题型五：问题的逆否证法例9．判断命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题的真假．六、题型六：判断条件关系及求参数范围例10．“x ＝2k π＋4π(k ∈Z)”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例11、设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件例12．已知条件p ：－1≤x ≤10，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m >0)不变，若非p 是非q 的必要而不充分条件，如何求实数m 的取值范围？变式练习1：已知条件：p ：y ＝lg(x 2＋2x －3)的定义域，条件q ：5x －6>x 2，则q 是p 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式练习2 已知p ：21≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围．七、充要条件的论证例13求证：0≤a <54是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立的充要条件．八、命题真假值的判断例14．如果命题“p∨q”与命题“非p”都是真命题，那么( )A．命题p不一定是假命题 B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题 D．命题p与命题q的真假相同九、命题的否定与否命题例15．命题“若a<b，则2a<2b”的否命题为________，命题的否定为________．变式练习2： (2010年高考安徽卷) 命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．十、全称命题与特称命题相关小综合题例17．若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是( )A．a≤－3或a>2 B．a≥2 C．a>－2 D．－2<a<2变式练习1：已知命题p：∃x0∈R，tan x0＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p且q”是________命题．(填“真”或“假”)变式练习2：已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题，其中正确的是( ) A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④十一、综合训练典型题x2－x－6≤0，例18．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足x2＋2x－8>0.(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．变式练习2：已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上单调递增．q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0解集为R.若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围．四、提高训练例1．判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。

第一章常用逻辑用语1.1逻辑联结词一、提出课题：简单逻辑、逻辑联结词二、命题的概念：例：①12>5 ②3是12的约数③0.5是整数定义：可以判断真假的语句叫命题。

正确的叫真命题，错误的叫假命题。

如：①②是真命题，③是假命题反例：3是12的约数吗？ x>5 都不是命题不涉及真假(问题) 无法判断真假上述①②③是简单命题。

这种含有变量的语句叫开语句（条件命题）。

三、复合命题：1．定义：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。

2．例：(1)10可以被2或5整除④ 10可以被2整除或10可以被5整除(2)菱形的对角线互相菱形的对角线互相垂直且菱形的垂直且平分⑤对角线互相平分(3)0.5非整数⑥非“0.5是整数”观察：形成概念：简单命题在加上“或”“且”“非”这些逻辑联结词成复合命题。

3．其实，有些概念前面已遇到过如：或：不等式 x2-x-6>0的解集 { x | x<-2或x>3 }且：不等式 x2-x-6<0的解集 { x | -2< x<3 } 即 { x | x>-2且x<3 } 四、复合命题的构成形式如果用 p, q, r, s……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：即： p或q (如④) 记作 p∨qp且q (如⑤) 记作 p∧q非p (命题的否定) (如⑥) 记作⌝p五、真值表：1．非p形式：例：命题P：5是10的约数（真）命题p：5是8的约数（假）则命题非p：5不是10的约数（假）非p：5不是8的约数（真）结论：为真非为假、为假非为真记忆：“真假相反”2．p且q形式例：命题p：5是10的约数（真）q：5是15的约数（真）s：5是12的约数（假）r：5是8的约数（假）则命题p且q：5是10的约数且是15的约数（真）p且q：5是10的约数且是8的约数（假）3．p或q形式仍看上例则命题p或q：5是10的约数或5是15的约数（真）p或r：5是10的约数或5是8的约数（真）s或r：5是12的约数或5是8的约数（假）例1．写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：：李明是高中一年级学生q：李明是共青团员解：p或q：李明是高中一年级学生或是共青团员p且q：李明是高中一年级学生且是共青团员非p：李明不是高中一年级学生2．p：25>q：5是无理数解：p或q：5是大于2或是无理数p且q：5是大于2且是无理数非p：5不大于23．p：平行四边形对角线相等q：平行四边形对角线互相平分解：p或q：平行四边形对角线相等或互相平分p且q：平行四边形对角线相等且互相平分非p：平行四边形对角线不一定相等1.2四种命题一、复习初中学过的命题与逆命题的知识定义：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个命题叫互逆命题。

数学常用逻辑用语
1. 嘿，数学常用逻辑用语就像一把神奇的钥匙，能打开好多知识大门呢！比如“如果今天下雨，我就带伞”，这不就是典型的条件语句嘛！
2. 哇塞，数学常用逻辑用语可是很重要的呀！就像我们说话做事要有条理一样，比如“要么吃苹果，要么吃香蕉”，多明确呀！
3. 哎呀，数学常用逻辑用语真的超有意思！就像走迷宫有了指引，比如“所有的三角形内角和都是 180 度”，这就是普遍真理呀！
4. 嘿呀，数学常用逻辑用语可不是吃素的！就好像给你指明方向的灯塔，比如“若一个数是偶数，那它一定能被 2 整除”。

5. 哇哦，数学常用逻辑用语那可太关键啦！就如同游戏规则一样，比如“存在一个数使得等式成立”，这多神奇！
6. 哟呵，数学常用逻辑用语简直妙不可言！好比是搭建房子的基石，比如“只要努力学习，就会取得好成绩”。

7. 哈哈，数学常用逻辑用语太好玩啦！就像一个神秘的密码锁，比如“当且仅当条件满足时才成立”，是不是很特别！
8. 哎呀呀，数学常用逻辑用语真的很神奇呢！就像我们走路要有路线一样，比如“非此即彼”的判断。

9. 嘿哟，数学常用逻辑用语真的超厉害！就如同给你力量的魔法，比如“若 A 则B”这样的逻辑关系。

10. 哇啦，数学常用逻辑用语那可是相当重要啊！就好像是航行中的指南针，比如“不是正数就是负数或0”。

我觉得数学常用逻辑用语是数学中非常基础且关键的部分，掌握了它，能让我们更好地理解和运用数学知识呀！。

（2）常用逻辑用语一，知识点归纳1．逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”分别用符号“∧”“∨”“⌝”表示. 2．命题：能够判断真假的陈述句． 3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p 或q ；p 且q ；非p 5.p q p 或q p 且q 非p 非q 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 假 真 假 真 真 假 真 假 假假假假真真6．四种命题的构成：原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.7．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p 则q”“若q 则p ” .8．充分条件与必要条件 ：①p q ：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件； ②p q ：p 是q 的充要条件 . 9．全称命题与特称命题的关系：全称命题p:)(,x p M x ∈∀,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∃； 特称命题p:)(,x p M x ∈∃,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∀；二，2010年广东省各地模拟试题1．（惠州市2010届高三第三次调研文理科）设条件:0p a >；条件2:0q a a +≥，那么p是q 的什么条件 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分非必要条件2.（江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）有关命题的说法错误．．的是 ( ) ()A 命题“若0232=+-x x 则 1=x ”的逆否命题为：“若1≠x , 则0232≠+-x x ”. ()B “1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件.()C 若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.()D 对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥.3．（佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）在"3""23sin ",π>∠>∆A A ABC 是中的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2010年3月深圳市高三年级第一次调研考试理科)设集合}21|{<-=x x M ，{|(3)0}N x x x =-<，那么“M a ∈”是“N a ∈”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2010年3月深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ， H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2010年揭阳市高考一模试题理科）已知函数lg(4)y x =-的定义域为A ，集合{|}B x x a =<，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围 ．三，2010年全国各地高考真题1．（2010上海文数）“()24x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的 （ ）（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件. 2.（2010湖南文数）下列命题中的假命题．．．是（ ） A. ,lg 0x R x ∃∈= B. ,tan 1x R x ∃∈= C. 3,0x R x ∀∈> D. ,20x x R ∀∈>3.（2010山东文数）设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的( )（A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 4.（2010陕西文数）“a ＞0”是“a ＞0”的 （ ）(A)充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5.（2010广东理数）“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充分非必要条件 B.充分必要条件 C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件 6（2010湖南理数）下列命题中的假命题是（ ） A ．∀x R ∈,120x -> B. ∀*x N ∈,2(1)0x ->C ．∃ x R ∈,lg 1x < D. ∃x R ∈,tan 2x =。

题型一：判断命题的真假【例1】 判断下列语句是否是命题： ⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【例2】 判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由.（1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.（4）5>x（5）人类在2020年登上火星.【例3】 设语句()p x ：πcos()sin 2x x +=-，写出π()3p ，并判断它是不是真命题；【例4】 判断下列命题的真假．⑴空间中两条不平行的直线一定相交；⑵垂直于同一个平面的两个平面互相垂直；⑶每一个周期函数都有最小正周期；⑷两个无理数的乘积一定是无理数；⑸若A B ，则A B B ≠；⑹若1m >，则方程220x x m -+=无实数根．⑺已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠或b d ≠，则a b c d +≠+；⑻已知a b c d ∈R ，，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠．【例5】 下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 典例分析板块一.命题与四种命题【例6】 命题p ：奇函数一定有(0)0f =；命题q ：函数1y x x=+的单调递减区间是[10)(01]，，-．则下列四个判断中正确的是（ ） A ．p 真q 真 B ． p 真q 假 C ． p 假q 真 D ． p 假q 假【例7】 给出下列三个命题：①若1≥a b >-，则11≥a b a b++； ②若正整数m 和n 满足≤m n ()2n m n m -； ③设11()，P x y 为圆221:9O x y +=上任一点，圆2O 以()，Q a b 为圆心且半径为1．当2211()()1a x b y -+-=时，圆1O 与圆2O 相切；其中假命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例8】 已知三个不等式：000，，c d ab bc ad a b>->->（其中，，，a b c d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例9】 已知m n ，是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m n αα∥，∥，则m n ∥B ．若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥C ．若m m αβ∥，∥，则αβ∥D ．若m n αα⊥⊥，，则m n ∥【例10】 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；③若m α⊥，m β∥，则αβ⊥．其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例11】 已知三个不等式：0,0,0c d ab bc ad a b>->->（其中,,,a b c d 均为实数）.用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是 （）A. 0B. 1C. 2D. 3【例12】 下面有五个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π．②终边在y 轴上的角的集合是π|2k a a k ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点．④把函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6得到3sin 2y x =的图象． ⑤函数πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0π，上是减函数． 其中真命题的序号是 ．【例13】 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【例14】 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是 ____ ．（写出所有真命题的序号）【例15】 若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是___________.【例16】 设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:，f V V a V →∈，记a 的象为()f a ．若映射:f V V →满足：对所有，a b V ∈及任意实数，λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换．现有下列命题： ①设f 是平面M 上的线性变换，则(0)0f =；②对a V ∈，设()2f a a =，则f 是平面M 上的线性变换；w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m ③若e 是平面M 上的单位向量，对a V ∈设()f a a e =-，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，，a b V ∈，若，a b 共线，则()()，f a f b 也共线．其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【例17】 设有两个命题：:p 不等式|||1|x x a ++>的解集为R ，命题:q ()(73)x f x a =--在R 上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是 .【例18】 关于x 的方程()222110x x k ---+=，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；其中假．命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【例19】 对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”：1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=；②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=；③在ABC ∆中，AC CB AB +>．其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【例20】 设直线系:cos (2)sin 1(02π)M x y θθθ+-=≤≤，对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．题型二：四种命题之间的关系【例21】 命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例22】 写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.【例23】 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”；⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”；⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【例24】 写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．⑴命题p ：“若0,ac ≥则二次方程20ax bx c ++=没有实根”；⑵命题q ：“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”；⑶命题r ：“若(1)(2)0x x --=，则1x =或2x =”．⑷命题l ：“ABC ∆中，若90C ︒∠=，则A ∠、B ∠都是锐角”；⑸命题s ：“若0abc =，则a b c ，，中至少有一个为零”．【例25】 如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； ②如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等； ③如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； ④命题②、③、④与命题①有何关系？【例26】 下列命题中正确的是（ ）①“若220x y +≠，则x y ，不全为零”的否命题②“正多边形都相似”的逆命题③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题④“若3x x 是无理数”的逆否命题A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④【例27】 命题：“若220()，a b a b +=∈R ，则“0a b ==”的逆否命题是（ ） A ．若0()，a b a b ≠≠∈R ，则220a b +≠B ．若0a ≠且0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠C ．若0()，a b a b =≠∈R ，则220a b +≠D ．若0a ≠或0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠【例28】 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21≥x ，则1≥x 或1≤x -B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1≥x 或1≤x -，则21≥x【例29】 已知命题“如果1≤a ，那么关于x 的不等式22(4)(2)10≥a x a x -++-的解集为∅”．它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ）A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个【例30】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例31】 下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例32】 有下列四个命题：①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题. 其中真命题为 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例33】 原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．4【例34】 给出以下四个命题：①“若0x y +=，则x y ，互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q -≤，则20x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例35】 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥【例36】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则，x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题．其中真命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例37】 命题“若ABC ∆不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 ．【例38】 下列命题中_________为真命题．①“A B A =”成立的必要条件是“A B ”；②“若220x y +=，则x ，y 全为0”的否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．【例39】 “在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则A ∠、B ∠都是锐角”的否命题为 ；【例40】 有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．【例41】 命题“若,x y 是奇数，则x y +是偶数”的逆否命题是 ;它是 命题.【例42】 写出命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证明.【例43】 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．⑴若m S ，2m S +，1m S +成等差数列，证明m a ，2m a +，1m a +成等差数列；⑵写出⑴的逆命题，判断它的真伪，并给出证明．【例44】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线x y 22=相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．。

第一章 常用逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6、四种命题的真假性： 四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假第一章 1.1 命题一、选择题1．下列语句中命题的个数为( )①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.A．0 B．1 C．2 D．32．若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数( )A．不是命题B．是真命题C．是假命题D．是命题，但真假与x的取值有关3．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．n∥m，n⊥α⇒m⊥α4．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是( )A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④5．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是( )A. a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c6．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是平行四边形二、填空题7．下面是关于四棱柱的四个命题：①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．均为长方形，即可证命题成立．①、③错误，反例如有一对侧面与底面垂直的斜四棱柱．8．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________．三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假．(1)末位是0的整数能被5整除；(2)△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；(3)余弦函数是周期函数吗？(4)求证：当x∈R时，方程x2＋x＋2＝0无实根．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)对角线相等的四棱柱是长方体；(2)整数的平方是非负整数；(3)能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．1.2 逆否命题一、选择题1．命题“若p则q”的逆命题是( )A．若q则p B．若¬p则¬q C．若¬q则¬p D．若p则¬q2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．03．“若x2＝1，则x＝1”的否命题为( )A．若x2≠1，则x＝1 B．若x2＝1，则x≠1 C．若x2≠1，则x≠1 D．若x≠1，则x2≠1 4．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是( )A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数 B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数 D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数5．“a2＋b2≠0”的含义是( )A．a、b不全为0 B．a、b全不为0C．a、b至少有一个为0 D．a不为0且b为0，或b不为0且a为06．原命题：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．4个二、填空题7．“若a∈A，则a∈B”的逆否命题为________．8．给出下列命题：(1)平行四边形的对角线互相平分；(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(3)若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的对角线不能互相平分；(4)若一个四边形的对角线不能互相平分，则这个四边形不是平行四边形．①若(1)为原命题，则(2)为(1)的________命题，(3)为(1)的________命题，(4)为(1)的________命题．②若(4)为原命题，则(1)为(4)的________命题，(2)为(4)的________命题，(3)为(4)的________命题．三、解答题9．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．10．判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．第一章 1.2 充分必要条件一、选择题1．“1<x<2”是“x<2”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设集合M＝{x||x－1|<2}，N＝{x|x(x－3)<0}，那么“a∈M”是“a∈N”的( )A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则“m＝1”是“(a－m b)⊥a”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知p：|x－2|≤3，q：x＋1x－5≤0，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．“B＝60°”是“△ABC三个内角A，B，C成等差数列”的( )A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件二、填空题7．已知a，b是实数，则“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件．8．“lg x>lg y”是“x>y”的________________________条件．三、解答题9．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.10．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：(1)在△ABC中，p；A>B，q：sin A>sin B；(2)p：|x＋1|>2，q：(x－2)(x－3)<0.第一章 1.2一、选择题1．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．m＝3是直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设命题甲为：0<x<5，命题乙为：|x－2|<3，那么甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题7．平面向量a、b都是非零向量，a·b<0是a与b夹角为钝角的________条件．8．已知三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不成三角形的充要条件是k∈集合________．三、解答题9．方程mx2＋(2m＋3)x＋1－m＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？10．已知数列{a n}的前n项和S n＝p n＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{a n}为等比数列的充要条件为q＝－1.第一章 1.3 且或命题一、选择题1．下列语句：①3是无限循环小数；②x2>x；③△ABC的两角之和；④毕业班的学生．其中不是命题的是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④2．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是( )A．p假q假B．“p或q”为真C．“p且q”为真D．p假q真3．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是( )A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对4．已知p：α为第二象限角，q：sinα>cosα，则p是q成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件∴sinα>cosα，但sinα>cosα不能推出α为第二象限角．5．以下四个命题正确的有( )①“矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形”是“p 且q ”的形式，该命题是真命题； ②“菱形既是平行四边形又是圆的外切四边形”是“p 且q ”的形式，该命题是真命题； ③“矩形是圆的外切四边形或是圆的内接四边形”是“p 或q ”的形式，该命题是真命题； ④“菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形”是“p 或q ”的形式，该命题是真命题． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．已知命题p ，q ，则命题“p ∨q 为真”是命题“p ∧q 为真”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题7．p ：ax ＋b >0的解为x >－b a，q ：(x －a )(x －b )<0的解为a <x <b .则p ∧q 是________命题(填“真”或“假”)． 8．设命题p ：3≥2，q ：32∉[23，＋∞)，则复合命题“p ∨q ”“p ∧q ”中真命题的是________． 9．已知命题p ：∅⊆∅，q ：{1}∈{1,2}．由它们构成的“p 或q ”、“p 且q ”形式的命题中真命题有_____个． 三、解答题10．分别指出下列各组命题构成的“p ∧q ”、“p ∨q ”形式的命题的真假． (1)p ：6<6，q ：6＝6；(2)p ：梯形的对角线相等，q ：梯形的对角线互相平分；(3)p ：函数y ＝x 2＋x ＋2的图象与x 轴没有公共点，q ：不等式x 2＋x ＋2<0无解； (4)p ：函数y ＝cos x 是周期函数，q ：函数y ＝cos x 是奇函数．第一章 1.3 一、选择题1．若p 、q 是两个简单命题，“p 或q ”的否定是真命题，则必有( ) A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真2．设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(¬p )∧(¬q ) D ．p ∨(¬q )3．对命题p ：A ∩∅＝∅，命题q ：A ∪∅＝A ，下列说法正确的是( ) A ．p 且q 为假 B ．p 或q 为假 C ．非p 为真 D ．非p 为假 4．若命题“p ∧(¬q )”为真命题，则( ) A ．p ∨q 为假命题 B ．q 为假命题 C ．q 为真命题 D ．(¬p )∧(¬q )为真命题5．命题“若x ≠3且x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”的否命题是( )A ．若x ＝3且x ＝2，则x 2－5x ＋6＝0B ．若x ≠3且x ≠2，则x 2－5x ＋6＝0C ．若x ＝3或x ＝2，则x 2－5x ＋6＝0D ．若x ＝3或x ＝2，则x 2－5x ＋6≠06．已知命题p ：x 2－4x ＋3<0与q ：x 2－6x ＋8<0；若“p 且q ”是不等式2x 2－9x ＋a <0成立的充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(9，＋∞)B ．{0}C ．(－∞，9]D ．(0,9] 二、填空题7．命题p ：2不是质数，命题q ：2是无理数，在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“¬p ”、“¬q ”中，假命题是________，真命题是________．8．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若“p ∧q ”，“¬q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________． 9．已知命题p ：函数f (x )＝|lg x |为偶函数，q ：函数g (x )＝lg|x |为奇函数，由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”和“¬p ”形式的新命题中，真命题是________． 三、解答题10．写出下列命题的否定：(1)若a >b >0，则1a <1b；(2)正方形的四条边相等；(3)a 、b ∈N ，若ab 可被5整除，则a 、b 中至少有一个能被5整除；(4)若x 2－x －2＝0，则x ≠－1且x ≠2.第一章 1.4 全称特称命题 一、选择题1．下列命题中全称命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．下列特称命题中真命题的个数是( )①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个角，它既不是锐角，也不是钝角；③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0 B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x ∈R ，x 2＝x D ．对数函数在定义域上是单调函数 4．下列命题中，真命题是( )A ．∃x ∈R,2x >1B ．∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0C ．∀x ∈R ，lg x >0D ．∀x ∈N *，(x －2)2>05．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数 6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )A ．存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tan αB ．存在实数x 0，使得sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β 二、填空题7．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________．8．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∃x ∈R,4x 2>2x－1＋3x 2.其中真命题的个数为________．9．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x (1－y )．若对任意x ∈R ，不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1恒成立，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题10．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)对任意实数α，有sin 2α＋cos 2α＝1； (2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(4)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1＝2.第一章 1.4 命题的否定 一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤03．命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0成立”的否定是( )A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0B ．不存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0C ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m ≤0D ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m >04．已知命题p ：∀x ∈R,2x>0，则( )A ．¬p ：∃x ∈R,2x <0B ．¬p ：∀x ∈R,2x<0C ．¬p ：∃x ∈R,2x ≤0D ．¬p ：∀x ∈R,2x≤0 5．(2014·辽宁师大附中期中)下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题C ．命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则¬p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件6．已知命题“∀a ，b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是( )A ．∀a ，b ∈R ，如果ab <0，则a <0B ．∀a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0C ．∃a ，b ∈R ，如果ab <0，则a <0D ．∃a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0二、填空题7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________．8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________． 9．给出下列三个命题：①5≥5；②存在x ∈R ，使得2x ＋1＝3；③对任意的x ∈R ，有x 2＋1＜0，其中为真命题的是______________________． 三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除．11．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有________．12.已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________．13．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是________．【课后练习】 一、选择题 1．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．¬p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．¬p ：∃x ∉A,2x ∈B C ．¬p ：∃x ∈A,2x ∉B D ．¬p ：∀x ∉A,2x ∉B3．命题p ：x ＝π是y ＝|sin x |的一条对称轴，q ：2π是y ＝|sin x |的最小正周期，下列新命题： ①p ∨q ；②p ∧q ；③¬p ；④¬q .其中真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4．p ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上截距的两倍”；q ：“直线l 的斜率为－2”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件6．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( ) A ．若a ∉M ，则b ∉M B ．若b ∉M ，则a ∈MC ．若a ∉M ，则b ∈MD ．若b ∈M ，则a ∉M7．“a >b >0”是“a 2＋b 2>2ab ”成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分且必要条件D ．不充分且不必要条件 8．若a ，b 均为非零向量，则“a ⊥b ”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．有下列命题：①设集合M ＝{x |0<x <3}，N ＝{x |0<x <2}，则“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分而不必要条件； ②若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题；③命题P ：“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定¬P ：“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”． 则上述命题中为真命题的是( )A ．①②B ．①③C ．③D ．②③10．如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是( )A.12<a <32B.12≤a ≤32 C ．a >32或a <12 D ．a ≥32或a ≤1211．设a 、b 、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( )A ．已知c ⊥α，若c ⊥β，则α∥βB ．已知b ⊂β，c 是a 在β内的射影，若b ⊥c ，则b ⊥aC ．已知b ⊂β，若b ⊥α，则β⊥αD ．已知b ⊂α，c ⊄α，若c ∥α，则b ∥c12．“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．命题p ：若a 、b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件；命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“¬p ”中是真命题的为________． 14．已知a ，b 为两个非零向量，有以下命题：①a 2＝b 2；②a ·b ＝b 2；③|a |＝|b |且a ∥b .其中可以作为a ＝b 的必要不充分条件的命题是________．(将所有正确命题的序号填在题中横线上)15．已知命题p ：函数y ＝－x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递减；命题q ：函数y ＝mx 2＋x －1<0恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是________．16．为激发学生的学习兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：A ＝{x | x －1x<0}，B ＝{x |x 2－3x －(精华教案)数学人教版高二必修五常用逻辑用语学生版11 / 11 4≤0}，C ＝{x |log 12x >1}；然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“( )”中的数字告诉他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数．以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数， 乙：A 是B 成立的充分不必要条件， 丙：A 是C 成立的必要不充分条件． 若老师评说三位同学都说得对，则“( )”中的数应为________．三、解答题17．将下列命题改写为“若p ，则q ”的形式．并判断真假．(1)偶数能被2整除； (2)奇函数的图象关于原点对称；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角不相等．18．写出命题“x 2＋x ≤0，则|2x ＋1|<1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．19．分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的新命题，并判断新命题的真假．(1)p ：正多边形有一个内切圆；q ：正多边形有一个外接圆；(2)p ：平行四边形的对角线相等，q ：平行四边形的对角线互相平分．20．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0(a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．21．设命题p ：∀x ∈R ，x 2－2x >a ；命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0如果命题“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求a 的取值范围．22．已知：p ：|5－3x |≤1，q ：x 2＋(m －3)x ＋2－m ≤0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．。

常用逻辑用语”命题”这个词在新闻报道中经常可以见到．例如：“从最直接的生态保护方式之一植树造林，到多种更具创新性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保‘新命题’．”（2017年12月21日《中国青年报》）我们在数学中也经常接触到”命题“这两个字，你知道新闻报道中的”命题”与数学中的”命题”有什么区别吗?新闻报道中的”命题”往往是”命制的题目”的简写，常常指的是待研究的问题或需要完成的任务等．需要注意的是，一般来说，数学中的”命题”与新闻报道中的”命题”不一样．我们在初中的时候就已经学习过数学中的命题，知道类似”对顶角相等”这样的可供真假判断的陈述语句就是命题，而且，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．数学中的命题，还经常借助符号和式子来表达．例如，命题“9的算术平方根是3”可表示为．1. 命题一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题．其中判断为真的语句称为，判断为假的语句称为．中学数学中的许多命题可以写成“若，则”（或“如果，那么”）的形式．其中称为命题的条件，称为命题的结论．后面我们主要讨论这种形式的命题．经典例题（1）（2）（3）（4）（5）1.判断下列语句是否是命题；如果是命题，写出其真假．实数是有理数．如果一个数是有理数，则这个数的平方也是有理数．苏必利尔湖位于美国和加拿大交界处，是世界上海拔最高的淡水湖．过直线外一点作直线的平行线．常泽昊老师长得很帅．A.若，则 B.若，则C.若，则D.若，则2.下列命题是真命题的为（ ）．巩固练习3.下列语句不是命题的有（ ）．A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④①；②与一条直线相交的两直线平行吗？③；④．4.能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为．2. 充分条件与必要条件下列“若，则”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若，则；（4）若平面内两条直线和均垂直于直线，则．一般地，“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出．这时我们就说，由可以推出，记作，此时称是的，是的．如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，此时称不是的充分条件，不是的必要条件．将命题"若，则"中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“若，则”，称这个命题为原命题的逆命题．如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，则记作，此时既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的，简称为．显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件．概括地说，如果．那么与互为充要条件．类似的，如果是的充分不必要（必要不充分）条件，那么就是的必要不充分（充分不必要）条件．注意：对于某一命题，要首先明确谁是条件、谁是结论，对于条件才能判断其充分、必要性！用集合间的关系描述充分性和必要性设{满足条件}，{满足条件}．若，则是的；若，则是的；若，则称是的．若，则称是的．若且，则称是的．若，则称是的．经典例题A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知集合，则“”是“”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设，，则“”是“”的（ ）．A.③④B.①②C.①④D.②③7.有限集合中元素的个数记作，设 ，都为有限集合，给出下列命题：①的充要条件是；②的必要条件是；③的充分条件是；④的充要条件是；其中真命题的序号是 （ ）．8.已知集合，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．巩固练习A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.王昌龄的《从军行》中有两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）．A. B.C.D.或10.关于的方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）．11.三个逻辑学家走进酒吧，侍者问：“每个人都要来一杯啤酒吗？”第一个逻辑学家说：“我不知道．”第二个说：“我也不知道．”第三个说：“是的！”请问第三个人为什么知道每个人都要一杯啤酒?12.已知，求证：成立的充要条件是．3. 量词我们知道，命题是可以判断真假的陈述句．在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们称为一个命题，我们把这样的短语称为量词．下面我们将介绍全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定．1. 全称量词（）概念：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．（）全称量词命题的符号记法：将含有变量的语句用，，，表示，变量的取值范围用表示．那么，全称量词命题“对中任意一个，有成立．”可用符号简记为：，，读作“对任意属于，成立”．2. 存在量词（）概念：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．（）存在量词命题的符号记法：“存在中的一个，使成立”可用符号简记为，，读作“存在一个属于，使成立”．3. 命题的否定你能说出命题：”的相反数是“和命题：”的相反数不是”这两个命题之间的关系吗?它们的真假性如何?可以发现，命题是对命的否定，命题也是对命题的否定．而且，是真命题，是假命题．一般地，对命题加以否定，就得到一个新的命题，记作””，读作”非”或”的否定”．如果一个命题是真命ρ题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然．4. 全称量词命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：，，它的否定：，．全称量词命题的否定是存在量词命题．5. 存在量词命题的否定一般地，对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：，，它的否定：，．存在量词命题的否定是全称量词命题．经典例题（1）（2）13.用量词符号“，”表示下列命题，并判断下列命题的真假．存在一对实数，，使成立．有理数的平方仍为有理数．A.B.C.D.14.命题“，”的否定是（）．，，，，15.命题“，”的否定是．A. B.C. D.16.已知命题，．若命题是假命题，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.17.已知，，，，若命题是真命题，且命题是真命题，则实数的取值范围是（）．巩固练习（1）（2）（3）18.判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．是无理数，是无理数．对任意实数，有成立．有一个实数乘以任意一个实数都等于．19.写出下列命题的否定，并判断其真假.（）：，不是的根；（）：有些质数是奇数；（）：，；A.B.C.20.已知命题：，都有，则为（）．，使得，都有，都有D.，使得A. B.C.或D.21.已知：，，：，，若都为假命题，则实数的取值范围为（）．（1）（2）22.已知，命题：，，命题：，．若命题为真命题，求实数的取值范围；若命题“”命题“”一真一假，求实数的取值范围．A. B.C.D.23.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）．导图总结你学会了吗？快用思维导图来总结本节课所学吧！出门测24.已知命题：对任意实数都有恒成立；命题：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．A.B.C. D.25.已知命题，，则（ ）．命题，，为假命题命题，，为真命题命题，，为假命题命题，，为真命题A. B.C.D.26.含一个量词的命题“，使得”的否定是（ ）．，使得，使得，，。

第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系1．命题的定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句。

判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2．命题的结构：“若p ，则q ”，p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。

3．四种命题：用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用¬p 和¬q 分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p ，则q ； 等价说法：如果p ，那么q ；只要p ，就有q逆命题： 交换原命题的条件和结论否命题： 同时否定原命题的条件和结论逆否命题： 交换原命题的条件和结论，同时进行否定4．四种命题之间的关系由上图知逆命题与否命题也互为逆否命题，因此这四种命题的真假之间的关系如下：（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的 ；（要证明某命题，证其逆否命题）（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 。

5．反证法：原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以我们在直接证明某一命题有困 难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题。

用反证法证明的步骤如下：（1）假设结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从结论反面成立出发，经过推理论证得出矛盾（与题目所给条件或公理定理等）；（3）由矛盾判定假设不正确，即结论成立。

特别注意：①否命题与命题的否定是不相同的，若p 表示命题，“非p ”叫做命题的否定。

如果原命题是“若p 则q ”，否命题是“若¬p ，则¬q ”，而命题的否定是“p 则¬q ”，即只否定结论。

②反证法常用于证明如下形式的问题：否定性问题、存在性问题、唯一性问题，至多、至少问题，结论的反面比原结论更具体更易于研究和掌握的问题。

③常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系（如下表）：正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 有 是 都是 全是 否定词语 不等于（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 无 不是 不都是 不全是 正面词语 任意的 任意两个 至少有一个 至多有一个 所有的至多有n 个 或 否定词语某个 某两个 一个也没有 至少有两个 某些 至少有1+n 且互否 为逆 为逆 互 否 互否 互 否 互 逆 原命题若p 则q 互 逆逆命题 若q 则p 逆否命题 若¬q 则¬p逆否命题若¬q 则¬p个例1．判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。

第一章常用逻辑用语小结1．量词：（1）全称量词：全称命题：（2）存在量词：存在命题：2．基本逻辑联结词：“或”，“且”“非”（1）真值表（2）“非”（否定）1.存在性命题符号形式：q :,q()x M x ∃∈它的否定q ⌝ ：____________2.全称性命题：:,()p x M p x ∀∈它的否定p ⌝：____________3．命题的四种形式：（1）原命题：（2）逆命题：（３）否命题：（４）逆否命题：（５）四种命题及相互关系：４．充分条件、必要条件构成的四种形式：（１）充分不必要条件：（２）必要不充分条件：（３）充要条件：（４）即不充分又不必要条件：练习：1．（１）命题“03x -x R,x 2>+∈∀”的否定是_____________（２）命题“01x R,x 2<+∈∃”的否定是______________ （３）命题“23x x N,x >∈∀”的否定是______________2．命题：“若0>a ，则02>a ”的否命题是（ ）A 、若02>a ，则a>0B 、若a<0，则02<aC 、若0≤a ，则02≤a C 、若a 〉0，则02≤a3．命题：“若42<x ，则22<<-x ”的逆否命题是（ ）A. 若42≥x ，则≥x 2，若2-≤xB. 若22<<-x ，则42<xC. 若2>x ，或2-<x ，则42>xD. 若2≥x ，或2-≤x ，则42≥x４．命题“若p ，则q ”的逆命题与（ ）．（A ）原命题的真假性相同 （B ）原命题的逆否命题的真假性相同（C ）原命题的否命题的真假性相同 （D ）原命题的真假性相异5（1）若:1,:4p x q x >≥，则p 是q 的 条件；（２）“3tan =α”是“3πα=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件。

常用逻辑用语一、逻辑联结词与四种命题1、命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；2、复合命题的形式：p且q，p或q，非p；3、复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。

对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

4、四种命题：记“若p则q”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。

其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。

因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

5．充分条件与必要条件“若p则q”为真命题，即qp⇒，即P是q的充分条件且q是p的必要条件，即p对应的集合是q对应集合的子集“若p则q”为假命题，即p q,即P是q的不充分条件且q是p的不必要条件，即p对应的集合不是q对应集合的子集二、全称量词与存在量词1．全称量词与存在量词（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示。

（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示。

2．全称命题与存在性命题（1）全称命题：含有全称量词的命题。

“对∀x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”。

（2）存在性命题：含有存在量词的命题。

“∃x∈M，有p（x）成立” 简记成“∃x∈M，p（x）”。

3．同一个全称命题、存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下，供参考。

命题全称命题∀x∈M，p（x）存在性命题∃x∈M，p（x）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x∈M，使p（x）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x∈M，使p（x）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③对有些x∈M，使p（x）成立④任给一个x∈M，使p（x）成立④对某个x∈M，使p（x）成立⑤若x∈M，则p（x）成立⑤有一个x∈M，使p（x）成立4．常见词语的否定如下表所示：词语 是 一定是 都是 大于 小于 词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 词语 且 必有一个 至少有n 个 至多有一个 所有x 成立 词语的否定或一个也没有至多有n -1个至少有两个存在一个x 不成立1.已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。

高中数学知识点总结：常用逻辑用语
高中学生在学习中或多或少有一些困惑，的编辑为大家总结了高中数学知识点总结：常用逻辑用语，各位考生可以参考。

常用逻辑用语：
1、四种命题：
⑴原命题：若p则q;⑵逆命题：若q则p;⑶否命题：若 p 则q;⑷逆否命题：若 q则 p
注：1、原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。

判断命题真假时注意转化。

2、注意命题的否定与否命题的区别：命题否定形式是 ;否命题是 .命题或的否定是且且的否定是或 .
3、逻辑联结词：
⑴且(and) ：命题形式 p q; p q p q p q p
⑵或(or)：命题形式 p q; 真真真真假
⑶非(not)：命题形式 p . 真假假真假
假真假真真
假假假假真
或命题的真假特点是一真即真，要假全假
且命题的真假特点是一假即假，要真全真
非命题的真假特点是一真一假
4、充要条件
由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。

5、全称命题与特称命题：
短语所有在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。

含有全体量词的命题，叫做全称命题。

短语有一个或有些或至少有一个在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。

全称命题p： ; 全称命题p的否定 p：。

特称命题p： ; 特称命题p的否定 p：
以上就是高中数学知识点总结：常用逻辑用语的全部内容，更多考试资讯请继续关注!。

集合常用逻辑用语
1. 嘿，集合常用逻辑用语就像是一把神奇的钥匙！比如说，“或”这个词，就好像你面前有两条路，你可以选择走这一条或者那一条呀。

2. 哇塞，集合常用逻辑用语真的超级重要！就像在一个大迷宫里，“且”能帮你确定同时满足多个条件的路径呢，懂了吧？
3. 集合常用逻辑用语，那可不是一般的厉害哟！好比你找东西，“非”就是把不符合的都排除掉，这多直观呀！
4. 哎呀呀，集合常用逻辑用语可有意思啦！“所有”这个词不就像是把所有宝贝都装进一个大口袋里嘛。

5. 嘿，集合常用逻辑用语简直妙不可言！“存在”不就像是在茫茫人海中找到那个特别的人一样嘛。

6. 哇哦，集合常用逻辑用语太有用啦！“如果……那么……”不就像给事情设定一个规则，然后按照规则走嘛。

7. 集合常用逻辑用语，这可真是个好东西呀！“充分条件”就像给你一张直达目的地的票，多爽呀！
8. 哟呵，集合常用逻辑用语很神奇吧！“必要条件”就好像是到达终点必须要经过的一个关卡呢。

9. 集合常用逻辑用语，是不是很特别呢？“等价”就如同找到两个完全一样珍贵的宝贝呀。

10. 嘿，集合常用逻辑用语真的很值得研究呀！“推出”不就像多米诺骨牌一样，一个引发另一个嘛。

我的观点结论就是：集合常用逻辑用语在我们的生活和学习中无处不在，理解和运用好它们，能让我们的思维更加清晰、准确！。

常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p5．四种命题的构成：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ” . 7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真 .8．充分条件与必要条件：①p q ：p是q的充分条件；q是p的必要条件；②p q ：p是q的充要条件 .9．常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”等；并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”；并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的.（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明的充要条件是；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.注：常见关键词的否定：（）（）2．全称命题与特称命题的关系：全称命题p:,它的否定:；特称命题p:,它的否定:；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、经典例题导讲[例1]把命题“全等三角形一定相似”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定“一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.[例2]将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出否命题.a>o时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加.错解：原命题改为：若a>o时，x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o看作条件，将“随着”看作结论，而x的值增加，y的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o时，则函数y=ax+b的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a o时，则函数y=ax+b的值不随x值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x值的增加当做条件，又不把a>o看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为： a>o时，若x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为： a>o时，若x的值不增加，则函数y=ax+b的值也不增加.原命题也可改为：当x的值增加时，若a>o，，则函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为：当x增加时，若a o，则函数y=ax+b的值不增加.[例3]已知h>0，设命题甲为：两个实数a、b满足，命题乙为：两个实数a、b满足且，那么A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件错解：,故本题应选C.错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.正解：因为所以两式相减得故即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.由于同理也可得因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.[例4]已知命题甲：a+b4, 命题乙:a且b，则命题甲是命题乙的 .错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.错因：对命题的否定不正确.a且b的否定是a=1或b=3.正解：当a+b4时,可选取a=1,b=5，故此时a且b不成立(a=1).同样，a,且b时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4.因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.注：a且b为真时，必须a,b同时成立.[例5]已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析：本题考查简易逻辑知识.因为p r s q但r成立不能推出p成立，所以,但q成立不能推出p成立，所以选A解：选A[例6]已知关于x的一元二次方程 (m∈Z)①mx2－4x＋4＝0 ②x2－4mx＋4m2－4m－5＝0求方程①和②都有整数解的充要条件.解：方程①有实根的充要条件是解得m 1.方程②有实根的充要条件是，解得故m=－1或m=0或m=1.当m=－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解.∴①②都有整数解的充要条件是m=1.[例7]用反证法证明：若、、，且，，，则、、中至少有一个不小于0证明：假设、、均小于0，即：----①；----②；----③；①+②+③得，这与矛盾，则假设不成立，∴、、中至少有一个不小于0.[例8]已知命题p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；命题q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．分析：“p或q”为真，则命题p、q至少有一个为真，“p且q”为假，则命题p、q至少有一为假，因此，两命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.解：若方程x2＋mx＋1=0有两不等的负根，则解得m＞2，即命题p：m＞2若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3.因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，又“p且q”为假，所以命题p、q至少有一为假，因此，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.∴解得：m≥3或1＜m≤2.四、典型习题导练1．方程至少有一个负根，则（）A.或B.C.D.2．“”是“或”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．三个数不全为0的充要条件是（）A.都不是0. B.中至多一个是0.C.中只有一个是0.D.中至少一个不是0.4．由命题p:6是12的约数，q:6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是：_ ___，“p且q”形式的命题是__ _，“非p”形式的命题是__ _.5．若，试从A. B. C. D. E.F.中，选出适合下列条件者，用代号填空：（1）使都为0的充分条件是；（2）使都不为0的充分条件是；（3）使中至少有一个为0的充要条件是；（4）使中至少有一个不为0的充要条件是．6．分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假．（1）p: 梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等．（2）p: 1是方程的解；q：3是方程的解．（3）p: 不等式解集为R；q: 不等式解集为．7．命题：已知a、b为实数，若x2＋ax＋b≤0 有非空解集，则a2－ 4b≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．8．用反证法证明：若a、b、c、d均为小于1的正数，且x=4a(1－b)，y=4b(1－c)，z=4c(1－d)，t=4d(1－a)，则x、y、z、t四个数中，至少有一个不大于1．推理与证明一、基础知识导学1.推理一般包括合情推理和演绎推理.2.合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用的思维方法.3.归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.4.归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.5.类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.6.类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.7.演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理.8.直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法.9.分析法：从原因推导到结果的思维方法.10.综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.11.反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.12.应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真.13.数学归纳法：设｛p n｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题p1成立；⑵在假设p k成立的前提上，推出p k＋1也成立，那么可以断定，｛p n｝对一切正整数成立.14.数学归纳法的步骤：（1）证明当（如或2等）时，结论正确；（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．二、疑难知识导析1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法.三、经典例题导讲[例1]{}是正数组成的数列,其前n项和为,并且对于所有的自然数,与2的等差中项等于与2的等比中项.(1)写出数列{}的前3项;(2)求数列{}的通项公式(写出推证过程);错解：由(1)猜想数列{}有通项公式=4-2.下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是=4-2. (∈N).①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有将=4-2代入上式，得，解得由题意,有将代入，化简得解得.∴这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.错因在于解题过程中忽视了取值的取舍.正解：由(1)猜想数列{an}有通项公式a n=4n-2.猜想数列{}有通项公式=4-2.下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是=4-2. (∈N).①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有将=4-2代入上式，得，解得由题意,有将代入，化简得解得.由∴这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.[例2] 用数学归纳法证明对于任意自然数，错解：证明：假设当（N）时，等式成立，即，那么当时，这就是说，当时，等式成立．可知等式对任意N成立．错因在于推理不严密，没有证明当的情况．正解：证明：（1）当时，左式，右式，所以等式成立．（2）假设当（）时，等式成立，即，那么当时，这就是说，当时，等式成立．由（1）、（2），可知等式对任意N成立．[例3]是否存在自然数，使得对任意自然数，都能被整除，若存在，求出的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．分析本题是开放性题型，先求出，，…再归纳、猜想、证明．解：，，，……猜想，能被36整除，用数学归纳法证明如下：（1）当时，，能被36整除．（2）假设当，（N）时，能被36整除．那么，当时，由归纳假设，能被36整除，当为自然数时，为偶数，则能被36整除．∴能被36整除，这就是说当时命题成立．由（1）、（2）对任意，都能被36整除．当取大于36的自然数时，不能被整除，所以36为最大．[例4]设点是曲线C：与直线的交点，过点作直线的垂线交轴于，过点作直线的平行线交曲线C于，再过点作的垂线作交X轴于，如此继续下去可得到一系列的点，，…，，…如图，试求的横坐标的通项公式．分析本题并没有指明求通项公式的方法，可用归纳——猜想——证明的方法，也可以通过寻求与的递推关系式求的通项公式．解：解法一与（，）联立，解得直线的方程为，令，得，所以点直线的方程为与联立，消元得（），解得，所以点（，）．直线的方程为，令，得，所以点同样可求得点（，0）……由此推测（，0），即用数学归纳法证明（1）当时，由点的坐标为（，0），即，所以命题成立．（2）假设当时命题成立，即，0），则当时，由于直线的方程为，把它与（，）联立，消去可得（），∴于是即点的坐标为（，）．∴直线的方程为令得，即点的坐标为（，0）∴当时，命题成立．解法二设点，的坐标分别为（，0）、（，0），建立与的递推关系，即，由数列是等差数列，且，公差可求得（），．用数学归纳法证明与自然数n有关的几何命题，由k过渡到k＋1常利用几何图形来分析图形前后演变情况．[例5]有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2-n＋2个部分．证明①当n＝1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)=2又n＝1时，n2-n＋2＝2，∴命题成立②假设n＝k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2-k＋2个部分，那么设第k＋1个圆记⊙O，由题意，它与k个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其它k个圆相交于2k个点．把⊙O分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这平面的总区域增加2k块，即f(k＋1)＝k2-k＋2＋2k=(k＋1)2-(k＋1)＋2即n＝k＋1时命题成立．由①②可知对任何n∈N命题均成立．说明: 本题如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第k＋1个圆与其它k个圆的交点个数问题．[例6] 已知n≥2，n∈N②假设n=k时，原不等式成立．由①②可知，对任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立．四、典型习题导练1.用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋（＋3）= (N)”，当=1时，左边应为____________.2.已知数列{ }的前n项和，则{}的前四项依次为_______,猜想=__________.3.已知数列证明.4.已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足证明.5. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n成正比，死亡量与x n2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.（1）求x n+1与x n的关系式；（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（3）设a＝2，c＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有x n＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。