第一讲轨迹问题(2010-10-13 13.09.38)

高三复习课轨迹方程教学目标：1、 了解轨迹的概念，借助多媒体对轨迹有一个更形象的认识。

2、 掌握求轨迹方程的几种方法。

3、 培养学生用运动变化的观点思考问题，提出分析问题和解决问题的能力。

教学重点：掌握轨迹方程求法的思想。

教学难点：轨迹方程的求法。

教学过程（板书）一、概念：轨迹：一个点在空间移动，它所通过的全部路径叫做这个点的轨迹。

如地球绕太阳公转的轨迹是一个椭圆（将地球视为一个点）你从家里出发到学校所走过的路也构成一个轨迹。

说明：（1）轨迹是一个集合，其元素为点，个数一般情况下为无穷多。

（2）轨迹是动点的集合，是符合题意要求的点运动变化所产生的结果。

（3）轨迹可以是任意形状、任意大小，但在数学上大多数轨迹都是我们所熟悉的。

如圆，椭圆、双曲线、抛物线等。

这将进一步帮助我们猜测轨迹的形状，轨迹是动点的共性的体现。

二、轨迹表示方法在数学上，轨迹的具体表示方法是通过建立直角坐标系，用具体的方程来刻画。

所以，我们求轨迹是一般都是求出它的轨迹方程。

三、求轨迹的常见方法1、 直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系（此法较直观、易于掌握、但计算繁琐）2、 定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出轨迹方程（此法解决起来简单，显得漂亮，但要在充分理解各种曲线的概念上才行）。

3、 代入法：如果轨迹动点(,)P x y 依赖另一动点(,)Q a b ，而(,)Q a b 又在某已知直线上，则可先列出关于,,,x y a b 的方程组，利用,x y 表示出,a b 。

把,a b 代入已知曲线方程值得动点P 的轨迹方程（此法中渗透转化思想）4、 参数法：如果轨迹动点(,)P x y 的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可以用时，可先考虑将,x y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程。

（参数中常选变角、变斜率等为参数）5、 交轨法：如果轨迹动点(,)P x y 同时存在两个已知的轨迹上，则可通过联立此已知两轨迹方程求其交点方程即可。

动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=（0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠） （C ）22116925x y +=（0y ≠） （D ）221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；5．已知圆C ：22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >） 变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．(212y x =)8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．(4kx =（28k y >）)9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时， 弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-．当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ，当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-（二）解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x yG ． ∵ GM AB λ=，点M 在x 轴上，∴ (,0)3x M ．∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴=，即 2213x y +=． 故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法） （2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ． 由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ，得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=．∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k+=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴ 223(,)1313kb bN k k-++． ∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥，∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k ++=--+，∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．∴ 20134k <+<且2132k +≠，解得11k -<<且3k ≠±． 故k 的取值范围是11k -<<且k ≠． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =，(,2)PN x y =--,48MP MN y ⋅=+．4PN MN x ⋅=……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅，∴48y += 整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．解：∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-， 且||||8a b +=．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=； （2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾． 故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k =-+， OP OA OB =+，所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=．1122(,),(,)OA x y OB x y ==，∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=．即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k k k k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得54k =±． 故存在直线l ：534y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：//PQ EF ，0PM FQ ⋅=． （I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围．解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ，则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-．∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2x M ．∵0PM FQ ⋅=，∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =． （2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得 1242121-==+∴x x k x x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y FB FA 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分 由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =． （1）求动点N 的轨迹方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-，且||AB ≤求直线l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2y PF =-，又0PM PF ⋅=，∴204y x -+=，即动点N 的轨迹方程为24y x =． （2）10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=．（1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、(, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =， 故动点P 的轨迹方程为214y x =． （2）11．如图()A m和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-， O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程． 解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-，∴ 14mn =． （2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-，∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==-- ∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-，由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得 2222363(31)31t t t =---考虑几何求法！！ 解之得：2115t = ，满足2103t <<．故所求直线l0y --=0y +-=．12．设A ，B分别是直线y x =和y x =上的两个动点，并且||20AB =点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ． （I ） 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线5y x =和5y x =-上的点，故可设11()A x x，22(,)B x x ． ∵OP OA OB =+，∴1212,()5x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,2x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=． （II ） 设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)． 故x s λ=，16(16)y t λ=+-．∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ-=． 又 4t ≤， ∴421517≤-λλ． 解得 3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）． 13．设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2． （1）求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；（3y x =±） （2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525x y +=） 提示：()221212||10()10AB x x y y =⇒-+-=，又1133y x =-，2233y x =， 则12213()3y y x x +=-，21123()3y y x x -=+． 又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在） 14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l 的距离为d ，已知2||2PF d =，且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）若13PF OF ⋅=，求向量OP 与OF 的夹角；（3）如图所示，若点G 满足2GF FC =，点M 满足3MP PF =，且线段MG 的垂直平分线经过点P ，求△PGF 的面积．15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）． （1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅．（1）求双曲线C 的方程； （2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围． 解：（I ）依题意有：lxyCGFOPM2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分显然23k 10-≠，∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y ）则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D （00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +bk 0>， 解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k-．即k >或1k 2<，且k≠0．∴k 的取值范围是113(,)(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞．…………………14分 17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=，1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+．（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角； （3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值； （2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-．∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=，解得01F ky y k-=，∴ 202(1)F ky x k -=， ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)．所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->． 20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+．（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。

求轨迹方程的思路,方法和对应的题型全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求轨迹方程是高中数学中一个重要的话题，不仅是对数学知识综合运用的考验，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的一个重要环节。

在学习求轨迹方程的过程中，学生需要掌握一定的方法和技巧，同时要注意对不同类型的题目进行分类和分析，以便能够正确地找到轨迹方程。

一、思路和方法求轨迹方程的基本思路是根据给定的条件，建立方程，然后通过逻辑推理和代数计算，最终得到表达轨迹的方程。

在具体进行求解的过程中，我们可以采用以下几种方法：1. 笛卡尔坐标系法在求轨迹方程的过程中，我们常常需要用到二维平面坐标系。

通过设定坐标轴，建立直角坐标系，将问题中的各个点的坐标表示成(x,y)，然后根据给定条件进行分析，建立方程，最终得到轨迹方程。

2. 参数法有时候通过引入参数，可以简化问题的解决过程。

我们可以设一个参数t，用其作为辅助变量，来表达轨迹上各点的位置关系。

通过对参数的变化范围和步骤进行分析，最终得到轨迹方程。

3. 抽象化方法对于一些复杂的问题，我们可以通过抽象化的方法来求解轨迹方程。

将问题转化成一个更加简单的形式，然后进行分析和计算，最终得到轨迹方程。

二、对应的题型在求轨迹方程的过程中，我们会遇到各种各样的题目，不同的题目需要采用不同的方法和技巧进行求解。

下面列举一些常见的求轨迹方程的题型：1. 直线的轨迹方程有时候给定直线上的一个点和直线的方向向量，我们需要求直线的轨迹方程。

这时可以通过点斜式或者两点式求解。

给定圆心和半径，求圆的轨迹方程。

可以通过圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²来求解。

有时候会给定一组参数方程，我们需要求这些参数方程表示的轨迹方程。

可以通过把参数方程组合起来，得到关于自变量的函数表达式，最终得到轨迹方程。

第二篇示例：求轨迹方程是一种常见的数学问题，涉及到解析几何和函数方程的知识。

在数学学习中，经常会遇到求轨迹方程的题目，需要运用相关的方法和思路来解决。

立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( )解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD ．设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG ．由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC ．又∵EG ∥SB∴EG ⊥AC∴AC ⊥平面EFG ，∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE ．另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 成π4角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为锐角，显然也不满足PE ⊥AC ．评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1．(2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C ．(3) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)．(4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为233的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ．若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为233的点的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ．1AC C 1AEC C 1A AB1A 1(1)(2)(3)(4)DDA ．B ．C ．D ． A【例3】 (1)(04北京)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )A ． A 直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”， 则动点P 的轨迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线)． (2)(06北京)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支解：设l 与l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ． (3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =13，点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹为 抛物线 ．(4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 π6． 【例4】 (04重庆)若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D )【例5】 四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是( )A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分 分析：∵AD ⊥面P AB ，BC ⊥平面P AB ∴AD ∥BC 且AD ⊥P A ，CB ⊥PB ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB∴AD P A =CB PB ∴PB =2P A在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0)、B (3，0)，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)即(x +5)2+y 2=16(y ≠0) ∴P 的轨迹是(B )BABCDA3P A BC D立体几何中的轨迹问题（教师版）1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 简析 本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为B 1C 1⊥面AB 1，所以PB 1就是P 到直线B 1C 1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D ．2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（B ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（C ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（A ）．A ．圆或圆的一部分B ．抛物线或其一部分C ．双曲线或其一部分D ．椭圆或其一部分 简析 由条件易知：AC 是平面BB 1D 1D 的法向量，所以EP 与直线AC 成等角，得到EP 与平面BB 1D 1D 所成的角都相等，故点P 的轨迹有可能是圆或圆的一部分．5．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（A ）． A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆简析在正方体ABCD A B C D -1111中，过P 作PF ⊥AD ，过F 作FE ⊥A 1D 1，垂足分别为F 、E ，连结PE ．则PE 2=a 2+PF 2，又PE 2-PM 2=a 2，所以PM 2=PF 2，从而PM ＝PF ，故点P 到直线AD 与到点M 的距离相等，故点P 的轨迹是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线．6．在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为__________． 简析 在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证BD 1⊥面ACB 1，所以满足BD 1⊥AP 的所有点P 都在一个平面ACB 1上．而已知条件中的点P 是在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，因此，符合条件的点P 在平面ACB 1与平面BCC 1B 1交线上，故所求的轨迹为线段B 1C ．本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．7．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面∆SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________．答案 线段MN （M 、N 分别为SC 、CD 的中点）8．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ）在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆） 9．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是：（D ）A A AP PP PB C B C B C B C A B C D简析 动点P 在侧面ABC 内，若点P 到AB 的距离等于到棱BC 的距离，则点P 在∠ABC 的内角平分线上．现在P 到平面BCD 的距离等于到棱AB 的距离，而P 到棱BC 的距离大于P 到底面BCD 的距离，于是，P 到棱AB 的距离小于P 到棱BC 的距离，故动点P 只能在∠ABC 的内角平分线与AB 之间的区域内．只能选D ． 10．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（B ）． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利 用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________． 简析以B 为圆心，半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36π． 12．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是 ． 提示轨迹的图形是一个平行四边形．13．已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．简析 由于M 、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P 的几何性质，连结DP ，因为MN=2，所以PD=1，因此点P 的轨迹是一个以D 为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，即1843163⨯⨯=ππ． 14．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ） 简析：如图，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4．在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上．又在β内到直线l 的距离等于29的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32174)29(22<=-，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点．因此所求点的轨迹是四个点，故选C ．16．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分简析：因为⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，所以AD//BC ，且︒=∠=∠90CBP DAP ． 又8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠，可得CPB tan PB CB PA AD APD tan ∠===∠，即得2ADCBPA PB == 在平面PAB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A （-3，0）、B（3，0）．设点P （x ，y ），则有2y )3x (y )3x (|PA ||PB |2222=+++-=，整理得09x 10y x 22=+++由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B ．17．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点简析：因为PC AC ⊥，且PC 在α内的射影为BC ，所以BC AC ⊥，即︒=∠90ACB ．所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B ．18．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线简析：因为P 到11D C 的距离即为P 到1C 的距离，所以在面1BC 内，P 到定点1C 的距离与P 到定直线BC 的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D ．19．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线简析：如图4，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系．设P （x ，y ），作AD PE ⊥于E 、11D A PF ⊥于F ，连结EF ，易知1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作CD PN ⊥于N ，则|1y ||PN |-=．依题意|PN ||PF |=， 即|1y |1x 2-=+，化简得0y 2y x 22=+- 故动点P 的轨迹为双曲线，选B ．20．如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线分析：由于线段AB是定长线段，而△ABP的面积为定值，所以动点P到线段AB 的距离也是定值．由此可知空间点P在以AB为轴的圆柱侧面上．又P在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P的轨迹就是圆柱侧面与平面a的交线．21．如图，动点P在正方体1111ABCD A B C D-的对角线1BD上．过点P作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于M N，．设BP x=，MN y=，则函数()y f x=的图象大致是（）分析：将线段MN投影到平面ABCD内，易得y为x一次函数．22．已知异面直线a，b成︒60角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a，b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程．图5简析：如图5，易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面α上，直线'a、'b为平面α内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，'a'AA⊥于'A，'b'BB⊥于'B，则P'B'AAB=⋂，且P也为'B'A的中点．由已知MN=2，AB=4，易知,2AP,1'AA==得32'B'A=．则问题转化为求长等于32的线段'B'A的两个端点'A、'B分别在'a、'b上移动时其中点P的轨迹．现以'OB'A∠的角平分线为x轴，O为原点建立如图6所示的平面直角坐标系．A BCDMNPA1 B1C1D1yxOyxOyxOyxO图6设)y ,x (P ，n |'OB |,m |'OA |==， 则)n 21,n 23('B ),m 21,m 23('A - )n m (41y ),n m (43x -=+=222)32()n m (41)n m (43=++- 消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为1y 9x 22=+．点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．立体几何中的轨迹问题1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是 （ ） A ．圆或圆的一部分 B ．抛物线或其一部分 C ．双曲线或其一部分 D ．椭圆或其一部分 5．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（ ） A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆6．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是 （ ） A A AP PP PB C B C B C B CA B C DA B C D 7．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ）A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点9．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．不完整的圆 C ．抛物线 D ．抛物线的一部分 10．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点11．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线12．如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线 13．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）14．在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为________．15．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面∆SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________．16．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ）在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________．17．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．18．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是 ．19．已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是 ．20．已知异面直线a ，b 成︒60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．ABC D MNP A 1B 1C 1D 1 yxOyxOyxOyx O。

轨迹问题的求法今天和大家来分享一类有关轨迹问题的求法如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6）、E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH（2）如图2，点Q为对角线BO上一动点，D为边OA上一点，DQ⊥CQ，点Q从点B出发，沿BO方向移动．若移动的路径长为3，直接写出CD的中点M移动的路径长.这是以道中考题，我选取的是问题的第二步有关动点问题求轨迹的长度。

这样的问题如果必需讲究必要的方法。

否则很难正确求解。

今天就和大家一起来分析分析，希望对你有所帮助。

一、想象轨迹的类型，是直线还是曲线。

定轨迹的类型，要从两端弄起。

即轨迹的开始端在哪儿？结束在哪儿？为了直观展示，我们可以用几何画板制作课件进行分析。

从几何画板的课件可以看出点M的运动轨迹是一条线段，那我们就从开始端开始分析，点M是因为点Q的运动，才产生运动轨迹，即点Q是驱动点，点Q的起点是点B，当点Q在点B位置时候，D、A 重合，CD的中点就是BO中点，即正方形对角线的交点。

如下图确定好轨迹的起点位置，接下来我们再找轨迹的终点位置。

D为边OA上一点，DQ⊥CQ，当D、O重合时候，点Q在BO的中点处，则D点M在CO的中点.如下图。

我们已经定了两端了。

解下来最关键的是中间是什么形状？我们选择Q在运动过程中任意位置的一个图形出来，进行证明它的形状。

连接MO.则根据直角三角形斜边上中线为斜边的一半，得出CM=OM，所以M在CO的垂直平分线上，从而得知轨迹形状是线段。

可以将我们以上的步骤总结为：定两端，证中间。

当知道轨迹的形状之后我们就可以求解这个题目了。

连接OA、CA，过Q作KL垂直OA，BQ=3，则AL=BK=1.5√2，可证QA=QD.有AL=LD，因而AD=3√2，根据三角形中位线定理，轨迹HN=0.5AD=.5√2.欢迎关注老蒋数学头条号。

教学对象：高中学生教学目标：1. 理解轨迹问题的概念和特点，掌握解决轨迹问题的基本方法。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

教学重点：1. 轨迹问题的概念和特点2. 解决轨迹问题的基本方法教学难点：1. 轨迹问题的解题思路和方法2. 复杂轨迹问题的求解教学准备：1. 教学课件2. 相关教学资料3. 实例题教学过程：一、导入1. 提问：什么是轨迹问题？请举例说明。

2. 回答后，教师简要介绍轨迹问题的概念和特点。

二、新课讲授1. 轨迹问题的概念和特点- 轨迹问题：在几何学中，如果一个动点在满足一定条件下运动，其运动轨迹称为轨迹问题。

- 特点：轨迹问题通常涉及两个或多个几何元素，要求找出动点的运动轨迹。

2. 解决轨迹问题的基本方法- 方法一：几何法：通过分析几何元素之间的关系，找出动点的运动轨迹。

- 方法二：代数法：利用代数方程描述几何元素之间的关系，求解动点的运动轨迹。

- 方法三：综合法：结合几何法和代数法，解决较复杂的轨迹问题。

三、实例讲解1. 例题1：一个动点P在平面直角坐标系中，满足条件|OP|=2，求点P的轨迹方程。

2. 解答：- 分析：本题是一个典型的轨迹问题，可以通过代数法求解。

- 解题步骤：1. 建立坐标系：以点O为原点，建立平面直角坐标系。

2. 列方程：由|OP|=2，得到动点P的坐标满足方程x^2+y^2=4。

3. 求解：动点P的轨迹方程为x^2+y^2=4。

四、课堂练习1. 完成以下练习题，巩固所学知识。

- 练习题1：一个动点P在平面直角坐标系中，满足条件|OP|=1，求点P的轨迹方程。

- 练习题2：一个动点P在平面直角坐标系中，满足条件|OP|=3，且与点A(2,0)的距离为2，求点P的轨迹方程。

五、课堂总结1. 回顾本节课所学内容，强调轨迹问题的概念、特点和解决方法。

2. 鼓励学生在课后继续练习，提高解题能力。

教学反思：1. 本节课通过实例讲解和课堂练习，使学生掌握了轨迹问题的基本解题方法。

高三数学第一轮复习讲义（54）轨迹问题（1）一. 复习目标：1.掌握求轨迹方程的两种基本方法——直接法和定义法； 2•掌握直接法求轨迹方程的基本步骤.二. 知识要点：1 .直接法求轨迹方程的一般步骤：建系一设点一列式一代换一化简一检验 2•用定义法求轨迹方程的基本思路是： （1 ）用曲线的定义判断轨迹的形状（定型） ；（2）判断轨迹的位置（定位）（3）求曲线的基本量（定量）；（4）写出轨迹方程.三. 课前预习：21.已知点A （-2,0）、B （3,0），动点P （x,y ）满足PA 卩B =x ，则点P 的轨迹是（D ）（A ）圆（B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线2.若（x 3）2 （y -1）2 - |x - y • 3|=0，则点 M （x,y ）的轨迹是（C ）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线 （D ）抛物线3. 点M 与点F （4,0）的距离比它到直线l :x 5=0的距离小1，则点M 的轨迹方程 是 __ y 2 =16x ______29=1外切，而与圆x y -6x *8=0内切，则动圆圆心的轨迹方2 2到Q ,使得丨PQ 1 = 1 F 2P |,求Q 的轨迹方程是（x T ） y -16 .四. 例题分析：例1.已知 ABC 中，|BCF2,"BJ =m ,求点A 的 轨迹方程，并说明轨迹是什么图形. |AC| 解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中点O 为原点建立直角坐标系，则 B （-1,0）,C （1,0）, 设点A 的坐标为（x, y ），由二m ，得：工（X -1）y二m ,化简得：2 24 .一动圆与圆xy 程是 _______ （x ）2 24y 25=1 （右支） 5.已知椭圆2 2y1的两个焦点分别是 43F 1, F 2, P 是这个椭圆上的一个动点, 延长F 1P| AC |J（x -1）2+ y2（1 —m2）x2（1 —m2）y2（2 2m2）x 1 —m2 =02当m =1时，轨迹为直线x = 0 ； 当m = 1时，配方得: (1) m = 0时，方程为x 2 y 2 (2) m=0时，轨迹是圆心为(- 2x • 1 = 0，轨迹为点 匕汇,0 ),半径为| m -1 / 1 m 2(x 2)1 -m(1,0)； 2m^ |的圆. 1 - m小结: 已知抛物线C : y 2 =4x , 例2. 别重合，求以椭圆短轴端点 B 与焦点F 为两端点的线段中点 P 的轨迹方程. 解：设P(x,y)，显然x 1，则点B 的坐标为(1_2x,2y)，由椭圆的定义，知: |BF ||BB| _' 若椭圆的左焦点及相应的准线与抛物线 c=|FO |=|00 |-|0F |=2(x-1) C 的焦点和准线分 a =|FB|「.(2x-2)2 (2y)2, | BB |=(2x _1) _(_1) =2x • (2x—2)2 (2y)22x 2(x-1) ,(2x —2)2 (2y)2 2 化简得：y -x -1, ••• P 的轨迹方程为: l x2 y x 「1(x 0) T T —* T —.MP MN ,PM PN, NM NP 成公差小于零 (2)若点P 的坐标为(x 0,y 0)，记二为P M与 PN 的夹角，求tan^ (用点P 的坐标数值表示) 解:设 PCx, y)，: M (一1,0),甲1,0) PM PN 上 NP =(1 -x, -y) , MN 2 2 例3.已知两点M ( -1,0), N(1,0),且点P 时MP - 的等差数列.(1)点P 的轨迹是什么曲线？--MP ( - j …x, - y), ［二—NM =(2,0) , MP 昨=2勺 1)〔 _ PM PN=x 2+y 2—1 , NM NP=2(1—x)，则 MP MN , PM‘PN , NM‘ NP 成公差 2 2 1x +y —1=?［2(1 +x) + 2(1—x)］，即! 小于零的等差数列等价于 2(1 —x) - 2(1x) ：：0 所以点P 的轨迹是以原点为圆心， (2) P 的坐标为(x 0『 x 2 y 2 = 3 x 0 y o )， 3为半径的右半圆. 由 PM PN =x 02 y 02-1 =2 , A _PM PN 2…cos - |PM ||PN | 2莎•.. sin - •- 0, • tan r =—3 cos-1 1,T 0 ：：： xf ^ -. 3 , • cos ： - 1x^4 - x^22=•一 3 -x 。

轨迹问题一、什么是轨迹？轨迹就是目标点的横纵坐标之间的一个等量关系二、求轨迹的一般方法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。

4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。

可以说是参数法的一种变种。

6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

三、注意事项：1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。

2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。

在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。

3．求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

四、例题分析：（一）、直接法题型：1、在平面直角坐标系中，点、，动点满足．求点的轨迹的方程．2、（2009湖南）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和，求点P的轨迹C；3、（2009海南）已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆的方程‘（2）若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载轨迹方程的几种求法整理(例题+答案)地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t 的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x，y）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。

交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。

高中数学求轨迹方法及例题高中数学求轨迹方法及例题轨迹是指一个点在动态运动过程中所形成的图形规律，它是数学中一个非常重要的概念。

在高中数学中，求解轨迹是数学学习的重要部分。

本文将介绍高中数学求轨迹的方法和一些例题。

一、轨迹概述轨迹是一个点在运动中所形成的图形规律。

如果在平面直角坐标系中，已知一个点P(x, y)在满足某些条件下运动，那么在运动过程中，点P所形成的曲线称为这个点的轨迹。

在三维空间中，轨迹是由一个点在空间中移动所形成的图形。

轨迹是数学中常见的概念，它在物理、经济、生物等学科都有广泛的应用，是理解很多自然现象和运动规律的基础。

二、轨迹的求解方法1. 点的轨迹在平面直角坐标系中，若点P的坐标(x, y)满足某一条件，则点P就沿着这个条件所规定的曲线运动，形成的曲线就是点P的轨迹。

例如，点P(x, y)到两个定点A(a, 0)和B(-a, 0)的距离相等。

这时，点P到A,B的距离应该满足：PA²=PB²(x-a)²+y²=(x+a)²+y²x²-2ax+a²+y²=x²+2ax+a²+y²4ax=0所以此时，x=0，y为任意实数。

因此，点P的轨迹是y 轴。

2. 直线的轨迹在平面直角坐标系中，若直线的一般式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，则点(x, y)沿着这条直线运动所形成的轨迹就是Ax+By+C=0这条直线。

例如，直线x-y+1=0的轨迹，可以通过两点法或垂线法来求解。

两点法即找出直线上的两个点，然后这两个点的连线就是直线的轨迹。

垂线法则是以一点为中心，在垂线方向上取两个点，作出垂线，这条垂线所形成的轨迹就是所求的直线的轨迹。

三、轨迹实例1. 两点之间线段的中点轨迹经常出现在高中数学中的问题中，能够让我们重新认识中点的性质，也能够让我们更好地理解直线和圆的关系。

第1讲 轨迹问题1．方程|1|x -=( ) A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆【解答】解：将方程|1|x - 得22(1)(1)1x y -+-=，其中02x ，02y ．因此方程|1|x -=(1,1)C 为圆心，半径1r =的圆． 故选：A ．2．方程||1x -=( ) A ．两个半圆B ．一个圆C ．半个圆D ．两个圆【解答】解：两边平方整理得：22(||1)2x y y -=-， 化简得22(||1)(1)1x y -+-=，由||10x -得||1x ，即1x 或1x -， 当1x 时，方程为22(1)(1)1x y -+-=， 表示圆心为(1,1)且半径为1的圆的右半圆； 当1x -时，方程为22(1)(1)1x y ++-=， 表示圆心为(1,1)-且半径为1的圆的左半圆综上所述，得方程||1x -= 故选：A ．3．在数学中有这样形状的曲线：22||||x y x y +=+．关于这种曲线，有以下结论： ①曲线C 恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5． 其中正确的结论有( ) A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【解答】解：①曲线C 经过的整点有(0,0)，(1,0)，(1,0)-，(0,1)，(0,1)-，(1,1)，(1,1)-，(1,1)-，(1,1)--，恰有9个点，即①正确；②点(1,1)和(1,1)--均在曲线C 上，而这两点间的距离为2>，即②错误； ③由于图形是对称的，所以只需考虑第一象限内的部分即可．此时有，22x y x y +=+，整理得，22111()()222x y -+-=，是以11(,)22为半径的圆，作出曲线在第一象限的图形如图所示，面积211111122224AOB C S S S ππ∆=+=⨯⨯+⋅⋅=+圆，故曲线C 的面积为14()2524ππ⨯+=+>，即③正确．故选：A ．4．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a -，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C 、已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( )①双纽线经过原点O ； ②双纽线C 关于原点O 中心对称；③022a ay -；④双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个． A ．①②B ．①②③C ．②③D ．②③④【解答】解；根据双纽线C 2a =，将0x =，0y =代入，符合方程，所以①正确；用(,)x y --替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，②正确； 根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠，亦即022a ay -，③正确； 若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程， 解得0y =，所以这样的点P 只有一个，④错误． 故选：B ．5．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a -，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C ．已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( ) ①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a ay -；③双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个；④||PO ． A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①③【解答】解：根据双纽线C 2a =，用(,)x y --替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，①正确； 根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠，亦即022a ay -，②正确； 若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程， 解得0y =，所以这样的点P 只有一个，③错误；因为121()2PO PF PF =+，所以2221121221||[||2||||cos ||]4PO PF PF PF F PF PF =+∠+由余弦定理可得，2221121224||2||||cos ||a PF PF PF F PF PF =-∠+22222121212||||||cos cos 2PO a PF PF F PF a a F PF a =+∠=+∠，所以|PO ，④正确．故选：B ．6．如图，设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点，已知OA OB ⊥，OM AB ⊥，则点M 的轨迹方程为( )A ．2220x y px +-=（原点除外）B ．2220x y py +-=（原点除外）C ．2220x y px ++=（原点除外）D ．2220x y py ++=（原点除外）【解答】解：设(,)M x y ，直线AB 的方程为y kx b =+， 由OM AB ⊥得x k y=-， 联立22y px =和y kx b =+消去y 得222(22)0k x x kb p b +-+=，所以2122b x x k=，所以22121212122()()()pby y kx b kx b k x x kb x x b k=++=+++=， 由OA OB ⊥得12120x x y y +=，所以2220b pbk k +=，所以2b kp =-，所以(2)y kx b k x p =+=-，把xk y=-代入得2220(0)x y px y +-=≠，故选：A ．7．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( )A B ．3C ．D ．4【解答】解：曲线422x y +=围成的平面区域，关于x ，y 轴对称，设曲线上的点(,)P x y ，可得23||2OP ==． 所以曲线422x y +=围成的平面区域的直径为：3． 故选：B ．8．由曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积为( ) A ．24π+B ．28π+C ．44π+D ．48π+【解答】解：根据对称性，曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积等于在第一象限围成面积的4倍， 当0x 且0y 时222||2||x y x y +=+等价为2222x y x y +=+，即22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=，圆心(1,1)C ，半径R =，则ACO ∆的面积12112S =⨯⨯=，BCO ∆的面积1S =，在第一象限部分的面积211122S ππ=++⨯=+，则四个象限的面积为44(2)84S ππ=+=+，故选：D ．9．如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是( )A ．22(||1)(1)0x y x y ---+=B ．( 22)(1)0x y -+=C ．2(||1)(10x y x ---+=D ．(2)(10x -+=【解答】解：如图曲线表示折线段的一部分和双曲线，选项A 等价于||10x y --=或2210x y -+=，表示折线||1y x =-的全部和双曲线，故错误； 选项B 等价于22||1010x y x y --⎧⎨-+=⎩，或||10x y --=，||10x y --=表示折线||1y x =-的全部，故错误； 选项C 等价于22||1010x y x y --=⎧⎨-+⎩或2210x y -+=，22||1010x y x y --=⎧⎨-+⎩表示折线||1y x =-在双曲线的外部 （包括有原点）的一部分，2210x y -+=表示双曲线，符合题中图象，故正确； 选项D 等价于22||1010x y x y --=⎧⎨-+⎩或22||1010x y x y --⎧⎨-+=⎩， 22||1010x y x y --=⎧⎨-+⎩表示表示折线||1y x =-在双曲线的外部（包括有原点）的一部分， 22||1010x y x y --⎧⎨-+=⎩表示双曲线在x 轴下方的一部分，故错误． 故选：C ．10．已知点集22{(,)1}M x y y xy =-，则平面直角坐标系中区域M 的面积是( )A ．1B ．34π+C ．πD ．22π+【解答】解：当0xy 时，只需要满足21x ，21y 即可；当0xy >时，对不等式两边平方整理得到221x y +，所以区域M 如下图．易知其面积为22π+．故选：D ．11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=．给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18；④四叶草面积小于4π． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④【解答】解：四叶草曲线方程为22322()x y x y +=，将x 换为x -，y 不变，可得方程不变，则曲线关于y 轴对称；将y 换为y -，x 不变，可得方程不变，则曲线关于x 轴对称；将x 换为y ，y 换为x ，可得方程不变，则曲线关于直线y x =对称；将x 换为y -，y 换为x -，可得方程不变，则曲线关于直线y x =-对称； 曲线C 有四条对称轴，故①正确；由y x =与22322()x y x y +=联立，可得y x ==y x ==，即有曲线C 上的点到原点的最大距离为12=，故②错误； 设曲线C 第一象限上任意一点为(,)x y ，(0,0)x y >>，可得围成的矩形面积为xy ，由222x y xy +， 则223223()8()x y x y xy +=，即18xy ，当且仅当x y =取得最大值，故③正确； 易得四叶草曲线在以原点为圆心，12为半径的圆内，故四叶草面积小于4π，则④正确． 故选：C ．12．曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹．以下结论正确的个数为()（1）曲线C 一定经过原点； （2）曲线C 关于x 轴、y 轴对称； （3）MPN ∆的面积不大于8；（4）曲线C 在一个面积为64的矩形范围内． A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：设(,)P x y 22(2)16x -+=，对于（1），原点(0,0)代入方程，得2216⨯≠，即方程不成立， 则曲线C 一定经过原点，命题错误；对于（2），以x -代替x ，y -代替y 22(2)16x --=成立，16=也成立， 即曲线C 关于x 、y 轴对称，命题正确；对于（3），0x =，y =±MPN ∆的最大面积为1482⨯⨯=<，命题正确；对于（4），令0y =，可得x =±，根据距离乘积为16可以得出x 的取值只可能在-到同理y 的取值只可能在-所以曲线C 在一个面积为 综上，正确的命题有（2）（3），共2个． 故选：B ．二．多选题（共2小题）13．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a -，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”．若点0(P x ，0)y 是轨迹C 上一点，则下列说法中正确的有( ) A ．曲线C 关于原点O 中心对称 B ．0x 的取值范围是[a -，]aC ．曲线C 上有且仅有一个点P 满足||||PA PB =D ．22PO a -的最大值为22a【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a -，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”．故点0(P x ，0)y 2a =，点(M x -，0)y -代入2a =，得到2a =，故A 正确；对于B ：设x 轴上0x 范围的最大值为m x ，所以2()()m m x a x a a -+=，解得m x =，故0x 的范围为[]．故B 错误；对于C ：若PA PB =，则点P 在AB 的垂直平分线上，即0P x =，设点(0,)P P y ，所以22a =，所以0P y =，即仅原点满足，故C 正确；对于2D a =， 化简得2222222()220x y a x a y +-+=，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到222cos 2a ρθ=，所以2PO 的最大值为22a ，22PO a -的最大值为2a ，故D 错误． 故选：AC ．14．在平面直角坐标系xOy 中，(,)P x y 为曲线22:422||4||C x y x y +=++上一点，则( ) A ．曲线C 关于原点对称B ．[1x ∈--+C ．曲线C 围成的区域面积小于18D ．P 到点1(0,)2【解答】解：当0x >，0y >时，曲线C 的方程为22422||4||x y x y +=++，去掉绝对值化简可得22(1)1()142x y -+-=，将2214x y +=的中心平移到1(1,)2位于第一象限的部分， 因为点(,)x y -，(,)x y -，(,)x y --都在曲线C 上， 所以曲线C 的图象关于x 轴、y 轴和坐标原点对称， 作出图象如图所示，由图可知曲线C 关于原点对称，故选项A 正确；令2214x y +=中的0y =，解得2x =，向右平移一个单位可得到横坐标为3，根据对称性可知33x -，故选项B 错误；令2214x y +=中的0x =，解得1y =，向上平移12个单位可得纵坐标的最大值为32， 曲线C 第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为39322⨯=， 所以曲线C 围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C 正确；令22(1)1()142x y -+-=中的0x =，可得12y =1(0,)2，故选项D 正确． 故选：ACD ．个结论：①曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“花形”区域的面积小于4． 其中，所有正确结论的序号是 ② ．【解答】解：①令0x =，方程化为：21y =，解得1y =±，可得点(0,1)±；令0y =，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,0)±；令x y =±，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,1)±±．由此可得：曲线C 恰好经过8个整点，因此不正确． ②221||2||xy x y xy +=+，方程化为：||1xy ，∴曲线C 上任意一点到原点的距离|11d xy =+=C ，可知正确．③由四个点(1,1)±±作为正方形的顶点，可得正方形的面积为4，曲线C 所围成的“花形”区域的面积大于4．其中，所有正确结论的序号是②． 故答案为：②．三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：根据题意，曲线22:1||C x y x y +=+，用(,)x y -替换曲线方程中的(,)x y ，方程不变，所以曲线C 关于y 轴对称，对于①，当0x 时，221||x y x y +=+，即为，2222112x y x y xy ++=++，可得222x y +，所以曲线经过点(0,1)，(0,1)-，(1,0)，(1,1)，再根据对称性可知，曲线还经过点(1,0)-，(1,1)-，故曲线恰好经过6个整点，①正确；对于②，由上可知，当0x 时，222x y +，即曲线C再根据对称性可知，曲线C ②正确；对于③，因为在x 轴上方，图形面积大于四点(1,0)-，(1,0)，(1,1)，(1,1)-围成的矩形面积122⨯=，在x 轴下方，图形面积大于三点(1,0)-，(1,0)，(0,1)-围成的等腰直角三角形的面积12112⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误． 故答案为：①②．17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322:()16C x y x y+=恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程22322()16(0)x y x y xy+=<表示的曲线C在第二象限和第四象限．其中正确结论的序号是②④．【解答】解：22 223222 ()16()2x yx y x y++=，224x y∴+（当且仅当222x y==时取等号），则②正确；将224x y+=和22322()16x y x y+=联立，解得222x y==，即圆224x y+=与曲线C相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy<，得方程22322()16x y x y+=表示的曲线C在第二象限和第四象限，故④正确．故答案为：②④．18．曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C 与y 轴交点的坐标是 (0,3) ；又已知点(B a ，1)(a 为常数），那么||||PB PA +的最小值d （a ）= ． 【解答】解：（1）设动点(,)P x y 22(1)|1|3x y x -+++=， ①当4x <-时，|1|3x +>，无轨迹；②当41x --22(1)4x y x -+=+，化为231015(1)2y x x =+--，与y 轴无交点；③当1x >-22(1)2x y x -+=-，化为223y x =-+，3(1)2x -<． 令0x =，解得3y =综上①②③可知：曲线C 与y 轴的交点为(0,3)； （2）由（1）可知：231015,(1)2323,(1)2x x y x x ⎧+--⎪⎪=⎨⎪-+-<⎪⎩．如图所示，令1y =，则10151x +=，或231x -+=，解得1.4x =-或1．①当 1.4a -或1a 时，||||||PA PB AB +，d ∴（a ）22||(1)122AB a a a ==-+-+；②当11a -<<时，当直线1y =与2323(1)2y x x =-+-<相交时的交点P 满足||||PA PB +||2QB a ==-取得最小值，此抛物线的准线为2x =，∴直线1y =与准线的交点(2,1)Q ，此时d （a ）； ③当 1.41a -<-时，当直线1y =与231015(1)2y x x =+--相交时的交点P 满足|||PA PB +取得最小值，此抛物线的准线为4x =-，∴直线1y =与准线的交点(4,1)Q -，此时d （a ）||4QB a ==+． 综上可知：d （a ）222, 1.414, 1.412,1 1.a a a a a a a a ⎧-+-⎪⎪=+-<-⎨⎪--<<⎪⎩或19．已知点(A B ，动点P 满足APB θ∠=且2||||cos 12PA PB θ=，则点P 的轨迹方程为2213x y += ．【解答】解：由2||||cos 12PA PB θ=，(0,)θπ∈，则1cos ||||12PA PB θ+=，||AB = 所以|||||||||cos 2PA PB PA PB θ+=，而在三角形ABP 中22222||||||||||8cos 2||||2||||PA PB AB PA PB PA PB PA PB θ+-+-==， 所以可得22||||||||62PA PB PA PB ++=，而222||||(||||)2||||PA PB PA PB PA PB +=+-，所以可得2(||||)12PA PB +=，所以||||PA PB +=为定值且大于||AB ，所以可得P 的轨迹为椭圆，且长轴长2a =2c =x 轴上，中心在原点的椭圆，即a c =2221b a c =-=，所以P 的轨迹方程为：2213x y +=，故答案为：2213x y +=．20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO BO ⊥（如图所示）．则AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为 2233y x =+；【解答】解：显然直线AB 的斜率存在，记为k ，AB 的方程记为：y kx b =+，(0)b ≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线方程代入2y x =得：20x kx b --=，则有：△240k b =+>①，12x x k +=②，12x x b =-③，又211y x =，222y x =212y y b ∴=；AO BO ⊥，12120x x y y ∴+=，得：20b b -+=且0b ≠，1b ∴=，代入①验证，满足；故21212()22y y k x x k +=++=+；设AOB ∆的重心为(,)G x y ，则1233x x k x +==④，212233y y k y ++==⑤， 由④⑤两式消去参数k 得：G 的轨迹方程为2233y x =+． 故答案为：2233y x =+．22．已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点1(P x ，1)y ，1(Q x ，1)y -是双曲线上不同的两个动点．求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程．【解答】解：由题设知1||x，1(A 0)，2A 0)， 直线1A P的斜率为1k =，∴直线1A P的方程为y x =+，⋯① 同理可得直线2A Q的方程为y x =．⋯②将①②两式相乘，得222121(2)2y y x x =--．⋯③点1(P x ，1)y 在双曲线2212x y -=上， ∴221112x y -=，可得22211111(2)22x y x =-=-，⋯④ 将④代入③，得21222211(2)12(2)122x y x x x -=-=--，整理得2212x y +=，即为轨迹E 的方程． 点P 、Q 不重合，且它们不与1A 、2A重合，x ∴≠，轨迹E的方程为221(2x y x +=≠23．设圆C与两圆22(4x y +=，22(4x y -+=中的一个内切，另一个外切，求圆心C 的轨迹L 的方程．【解答】解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为1(F 0)、2F 0)，由题意得：12||2||2CF CF +=-或21||2||2CF CF +=-，2112||||||42||2CF CF a F F c ∴-==<==， 可知圆心C 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴为4，焦距为 因此2a =，c 2221b c a =-=，所以轨迹L 的方程为2214x y -=．24．已知椭圆221(0)259x y a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，Q 是椭圆外的动点，满足1||10F Q =．点P是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF =，2||0TF =．（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明14||55F P x =+；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；【解答】（Ⅰ）证明：设点P 的坐标为(,)x y ． 记1122||,||F P r F P r ==，则12r r由22121211410,16,55r r r r x F P r x +=-===+得；（Ⅱ）解：设点T 的坐标为(,)x y ．当||0PT =时，点(5,0)和点(5,0)-在轨迹上． 当200PT TF ≠≠且时，由20PT TF =，得2PT TF ⊥． 又2||||PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点． 在△12QF F 中，11||||52OT FQ ==，所以有2225x y +=． 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是2225x y +=；。

平面几何中的轨迹问题例题和知识点总结在平面几何的世界里，轨迹问题是一个既有趣又具有挑战性的领域。

它不仅要求我们对几何图形的性质有深入的理解，还需要我们具备灵活的思维和解题技巧。

接下来，让我们通过一些具体的例题来深入探讨平面几何中的轨迹问题，并对相关的知识点进行总结。

一、轨迹问题的基本概念轨迹，简单来说，就是一个动点在平面内按照一定的条件运动所形成的图形。

要确定一个轨迹，需要明确两个关键要素：动点满足的条件和动点运动的范围。

例如，一个点到定点的距离等于定长，那么这个点的轨迹就是一个圆。

这就是根据点的运动条件来确定轨迹的典型例子。

二、常见的轨迹类型1、直线型轨迹到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆（当定值大于两定点间的距离时）。

到两定点距离之差的绝对值为定值的点的轨迹是双曲线（当定值小于两定点间的距离时）。

到一条定直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行于该直线且与直线距离为定长的直线。

2、圆型轨迹到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。

3、抛物线型轨迹到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。

三、例题解析例 1：已知点 A(－2,0)，B(2,0)，动点 P 满足｜PA| ｜PB| ＝ 2，求点 P 的轨迹方程。

解：因为｜PA| ｜PB| ＝ 2 ＜｜AB| ＝ 4，所以点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支。

2a ＝ 2，a ＝ 1，c ＝ 2，b²＝ c² a²＝ 3所以点 P 的轨迹方程为 x² y²/3 ＝ 1（x ≥ 1）例 2：一动点到直线 x ＝ 4 的距离等于它到点 A(1,0)的距离，求动点的轨迹方程。

解：设动点坐标为（x,y)，则动点到直线 x ＝ 4 的距离为｜x 4|，动点到点 A(1,0)的距离为√（x 1)²＋ y²由题意可得：｜x 4| ＝√（x 1)²＋ y²两边平方得：（x 4)²＝（x 1)²＋ y²展开化简得：y²＝ 6x 15所以动点的轨迹方程为 y²＝ 6x 15例 3：在平面直角坐标系中，点 P 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离大 1，求点 P 的轨迹方程。

初中数学轨迹问题解析教案教学目标：1. 理解动点轨迹问题的基本概念和特点；2. 掌握判断动点轨迹的方法和技巧；3. 能够解决实际问题中的动点轨迹问题。

教学内容：1. 动点轨迹问题的定义和分类；2. 判断动点轨迹的方法和技巧；3. 动点轨迹问题的实际应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入动点轨迹问题的概念，让学生初步了解动点轨迹问题的基本特点；2. 提问学生：动点轨迹问题有哪些分类？让学生思考并回答。

二、讲解（20分钟）1. 讲解动点轨迹问题的基本概念和特点，让学生深入理解动点轨迹问题的定义；2. 讲解判断动点轨迹的方法和技巧，让学生掌握解决动点轨迹问题的方法；3. 通过具体例题，演示解决动点轨迹问题的过程，让学生跟随步骤进行解题；4. 让学生进行练习，巩固所学的知识和技巧。

三、应用（15分钟）1. 给出实际问题，让学生应用所学的动点轨迹问题解决方法进行解决；2. 引导学生思考和讨论，帮助学生理解问题的本质和解决思路；3. 给出解答，让学生对比自己的解答，发现不足并进行改进。

四、总结（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的知识和技巧，进行自我总结；2. 强调动点轨迹问题的重要性和实际应用价值，激发学生学习的兴趣和动力。

教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生练习的积极性和参与度；3. 学生对实际应用问题的理解和解决能力。

教学资源：1. PPT课件；2. 动点轨迹问题的习题集。

教学反思：本节课通过讲解动点轨迹问题的基本概念和特点，让学生深入理解动点轨迹问题的定义。

通过讲解判断动点轨迹的方法和技巧，让学生掌握解决动点轨迹问题的方法。

通过实际问题的应用，让学生将所学的知识和技巧应用到实际问题中，提高学生解决实际问题的能力。

在教学过程中，要注意引导学生思考和讨论，帮助学生理解问题的本质和解决思路。

同时，要给出解答，让学生对比自己的解答，发现不足并进行改进。

在教学评价中，要关注学生对动点轨迹问题的理解和解决能力的提高，同时也要关注学生对实际应用问题的理解和解决能力的提高。

课时：2课时年级：高中学科：数学教学目标：1. 理解轨迹问题的概念，掌握解决轨迹问题的方法。

2. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学重点：1. 轨迹问题的概念和性质。

2. 解决轨迹问题的方法。

教学难点：1. 轨迹问题的概念理解。

2. 解决轨迹问题的方法和技巧。

教学准备：1. 教学课件。

2. 相关习题。

教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初中阶段学习的轨迹问题，引导学生思考高中阶段轨迹问题的特点。

2. 提出本节课的学习目标。

二、新课讲解1. 介绍轨迹问题的概念和性质，通过实例讲解轨迹问题的应用。

2. 分析解决轨迹问题的方法，包括：（1）利用几何知识解决轨迹问题；（2）利用解析几何知识解决轨迹问题；（3）利用向量知识解决轨迹问题。

三、课堂练习1. 学生独立完成教材中的例题，教师巡视指导。

2. 学生互相讨论，共同解决问题。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调轨迹问题的概念、性质和解决方法。

2. 提出课后作业。

第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学内容，引导学生思考如何运用所学知识解决实际问题。

2. 提出本节课的学习目标。

二、新课讲解1. 分析解决轨迹问题的实例，引导学生掌握解决轨迹问题的技巧。

2. 讲解解决轨迹问题的步骤，包括：（1）分析问题，确定解题思路；（2）利用相关数学知识解决问题；（3）检验答案的正确性。

三、课堂练习1. 学生独立完成教材中的习题，教师巡视指导。

2. 学生互相讨论，共同解决问题。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调解决轨迹问题的方法和步骤。

2. 提出课后作业。

教学反思：1. 本节课通过讲解轨迹问题的概念、性质和解决方法，使学生掌握了解决轨迹问题的基本技能。

2. 在课堂练习中，学生能够运用所学知识解决实际问题，提高了学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3. 在今后的教学中，要注重培养学生的实际应用能力，提高学生的数学素养。