第二十八讲 直线、平面、简单多面体二

解析几何中的直线和平面相关知识解析几何是数学中的一个重要分支，研究的对象包括直线、平面和空间中的几何图形。

在解析几何中，直线和平面是最基础的概念，它们具有很多相关的知识和性质。

本文将从直线和平面的定义、性质以及两者之间的关系等方面进行解析和阐述。

一、直线的定义和性质直线是解析几何研究的基础，我们首先来了解直线的定义和一些重要的性质。

1. 直线的定义直线是由无数个点组成的，其中任意两点可以确定一条直线。

直线可以看作是无限延伸的，没有起点和终点。

2. 直线的性质（1）任意两点确定一条直线，即通过两点可以画出一条直线；（2）直线上的任意三点共线，即直线上的任意三个点可以在同一条直线上；（3）如果两条直线在平面内没有公共点，那么它们是平行的；（4）直线的长度是无限的。

二、平面的定义和性质平面是与直线相对应的另一个基本概念，它也具有一些重要的性质。

1. 平面的定义平面可以看作是无限多个直线组成的，平面上的任意三点不共线就能确定一个平面，而且在同一个平面上的所有点都在同一条直线上。

2. 平面的性质（1）平面上的任意三点不共线，能够确定一个平面；（2）平面上的任意两点之间的直线都在该平面上；（3）不在同一平面上的两条直线一定没有公共点。

三、直线和平面的关系直线和平面在解析几何中有着密切的关联，我们接下来探讨一下直线和平面之间的关系和性质。

1. 直线与平面的交点直线可以与平面相交于一点，相交点可以是唯一的，也可以是无穷多个。

如果直线与平面没有相交点，那么它们是平行的。

2. 直线与平面的垂直关系直线与平面垂直的条件是直线上的任意一条直线垂直于平面上的任意一条直线。

如果直线与平面垂直，那么平面上所有的垂线都与直线垂直。

3. 直线与平面的角直线与平面可以形成不同类型的角，常见的有直线与平面的两条相交直线所夹的角和直线与平面的法线所夹的角。

四、直线和平面的应用直线和平面的相关知识在数学和物理等领域中有着广泛的应用。

以几何学为例，直线和平面的性质可以用于解决空间中的几何问题。

高二数学直线平面简单几何体知识点
直线、平面、简单几何体是中学数学的三大内容之一，下面是店铺给大家带来的高二数学直线平面简单几何体知识点，希望对你有帮助。

直线平面简单几何体知识点
1、学会三视图的分析：
2、斜二测画法应注意的地方：
(1)在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。

画直观图时，把它画成对应轴 o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45°(或135° );(2)平行于x轴的线段长不变，平行于y轴的线段长减半.(3)直观图中的45度原图中就是90度，直观图中的90度原图一定不是90度.
3、表(侧)面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底;②侧面积：S侧= ;③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底;②侧面积：S侧= ;③体积：V= S底h：
⑶台体①表面积：S=S侧+S上底S下底②侧面积：S侧=
⑷球体：①表面积：S= ;②体积：V=
4、位置关系的证明(主要方法)：注意立体几何证明的书写
(1)直线与平面平行：①线线平行线面平行;②面面平行线面平行。

(2)平面与平面平行：①线面平行面面平行。

(3)垂直问题：线线垂直线面垂直面面垂直。

核心是线面垂直：垂直平面内的两条相交直线
5、求角：(步骤-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角)
⑴异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形;
⑵直线与平面所成的角：直线与射影所成的角
以上就是高二数学知识点：直线平面简单几何体，更多精彩请进入高中频道。

直线平面简单几何体练习题。

直线平面知识点总结一、直线的概念与性质1. 直线的定义：直线是无限延伸的一维图形，它上面的任意两点都可以用线段相连。

2. 直线的性质：(1) 直线上的任意两点确定一条直线；(2) 直线的长度是无限的；(3) 直线的任意一点到另一点的距离无限；(4) 直线的方向是唯一确定的。

3. 直线的表示方法：直线可以用两个点的坐标表示，也可以用方程表示。

二、点、直线、平面的位置关系1. 点与直线的位置关系：(1) 点在直线上；(2) 点在直线的一侧；(3) 点在线段上；(4) 点与直线相交；(5) 点与直线平行。

2. 点与平面的位置关系：(1) 点在平面上；(2) 点在平面的一侧；(3) 点与平面相交；(4) 点与平面垂直。

3. 直线与平面的位置关系：(1) 直线在平面内；(2) 直线在平面的一侧；(3) 直线与平面相交；(4) 直线与平面平行；(5) 直线与平面垂直。

三、直线的倾斜度1. 直线的斜率：直线的斜率是指直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

斜率为正表示直线上升，斜率为负表示直线下降，斜率为零表示水平直线，斜率不存在表示垂直直线。

2. 直线的斜角：直线与x轴正方向之间的夹角称为直线的斜角。

3. 直线的方向角：直线与x轴之间的夹角称为直线的方向角。

四、直线的方程1. 一般式方程：Ax + By + C = 0 （A和B不同时为0），其中A、B、C是实数。

2. 斜截式方程：y = kx + b （k为斜率，b为截距）3. 截距式方程：x/a + y/b = 1 （a和b为截距）4. 点斜式方程：y - y1 = k(x - x1) （k为斜率，(x1,y1)为直线上的一点）5. 两点式方程：(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)五、平面的概念与性质1. 平面的定义：平面是无限延伸的二维图形，平面上的任意三点都可以用线段相连。

2. 平面的性质：(1) 平面上的任意三点确定一个平面；(2) 平面的长度和宽度是无限的；(3) 平面的方向是无限的；(4) 平面与平面之间的夹角是唯一确定的。

直线、平面、简单多面体主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略高考立体几何试题一般有3题左右，主要考查空间中的平行与垂直关系、空间中的角与距离、多面体与球等知识．对于空间中的角主要有：异面直线所成的角、线面角、二面角；空间中的距离主要有：点与点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线间的距离、线面距、面面距等，一般是以棱柱或棱锥为载体来考查．对于这些问题的解决方法主要如下：1、异面直线夹角：(1)平移法：将两条异面直线平移成两条相交直线．(2)向量法：求两异面直线方向向量的夹角．2、斜线与平面夹角：(1)定义法：作出斜线在平面上的射影，转化为斜线与射影的夹角，放在一个三角形中求解．(2)向量法：转化为求解斜线方向向量与平面法向量夹角问题．3、二面角：(1)定义法：由图形特殊的性质或条件，依定义作出二面角的平面角，再计算．(2)三垂线法：利用三垂线定理及逆定理作平面角．(3)射影面积法：(为二面角的大小)．(4)向量法：①转化为两半平面内垂直于棱的向量的夹角．②转化成两个半平面法向量的夹角．使用向量法可以简化几何关系证明，但应注意向量夹角等于二面角或其补角．4、求距离的一般方法：作出距离直接求，或转化为点到面的距离来求，还可以借助向量来求．借助向量求距离的方法：(1)点面距离的向量公式平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即．(2)线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈l，平面α与直线l间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=．平面α∥β，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈β，平面α与平面β的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=．(3)异面直线的距离的向量公式设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=．二、典例剖析题型一：平行与垂直例1、（07浙江卷）若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与已知矛盾，故选项A错误．由于l、m只有惟一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确．对于选项C、D可参考下图的正方体，设AD为直线l，A′B′为直线m；若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误．若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，故选项D错误．选B．例2、(07上海卷)在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知α，β是两个相交平面，空间两条直线l 1，l 2在α上的射影是直线s 1，s 2，l 1，l 2在β上的射影是直线t 1，t 2．用s 1与s 2，t 1与t 2的位置关系，写出一个总能确定l 1与l 2是异面直线的充分条件：________________________________________． 解：作图易得“能成为l 1，l 2是异面直线的充分条件”的是“，并且t 1与t 2相交”或“，并且s 1与s 2相交”．例3、如图所示，在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC ．（1）若D 是BC 的中点，求证AD ⊥CC 1；（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM=MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ． （3）AM=MA 1是截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由． 解：（1）∵AB=AC ，D 是BC 中点，∴AD ⊥BC ． ∵底面ABC ⊥侧面BB 1C 1C ，交线为BC ． ∵由面面垂直的性质定理可知AD ⊥侧面BB 1C 1C ． 又∵CC 1侧面BB 1C 1C ．∴AD ⊥CC 1．（2）证法一：延长B 1A 1与BM 交于N （在侧面AA 1B 1B 中），连结C 1N ． ∴AM=MA 1，∴NA 1=A 1B 1．又∵A 1B 1=A 1C 1（由棱柱定义知△ABC ≌△A 1B 1C 1，∴AB=A 1B 1，AC=A 1C 1），∴A 1C 1=A 1N=A 1B 1．∴在ΔB 1C 1N 中，由平面几何定理知：∠NC 1B 1=90°，即C 1N ⊥B 1C 1． 又∵侧面BB 1C 1C ⊥底面A 1B 1C 1，交线为B 1C 1．∴NC 1⊥侧面BB 1C 1C ． 又∵NC 1面BNC 1，∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ，∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ．证法二：取BC 1中点E ，连结DE 、ME ．在ΔBCC 1中，D 、E 分别是BC 、BC 1的中点，∴DE，又AA 1CC 1，∴DE ．∵M 是AA 1的中点（由AM=MA 1知），∴DE AM ．∴AMED 是平行四边形．∴AD ME ．由（1）知AD ⊥面BB 1C 1C ．∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ． 又∵ME面BMC 1，∴面BMC 1⊥侧面BB 1C 1C ．（3）结论是肯定的，充分性已由（2）证明．下面仅证明必要性（即由截面BMC 1⊥侧面BB 1C 1C ．推出AM=MA 1，实质证明M 是AA 1的中点．）过M 作ME 1⊥BC 1于E 1．∵截面BMC 1⊥侧面BB 1C 1C ，交线为BC 1． ∴ME 1⊥侧面BB 1C 1C ． 又由（1）知⊥侧面BB 1C 1C ．因为同垂直于一个平面的两条直线平行，∴AD ∥MB 1． ∴M 、E 1、D 、A 四点共面．又∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，面AME 1D 面BB 1C 1C=DE 1， ∴由线面平行的性质定理可知AM ∥DE 1，又AD ∥ME 1， ∴四边形AME 1D 是平行四边形．∴AD=ME 1，DE 1AM ．又∵AM ∥CC 1，∴DE 1∥CC 1．又∵D 是BC 中点，∴E 1是BC 1中点．．题型二：空间的角例4、四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝．(Ⅰ)证明：SA⊥BC；(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；解法一：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，，得，．△SAB的面积．连结DB，得△DAB的面积．设D到平面SAB的距离为h，由于，得，解得．设SD与平面SAB所成角为，则．所以，直线SD与平面SAB所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以SO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O—xyz，，，，，，，，所以．（Ⅱ）取AB中点E，，连结SE，取SE中点G，连结OG，．，，．，，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．所以OG⊥平面SAB，与的夹角记为α，SD与平面SAB所成的角记为β，则α与β互余．，．，，所以，直线SD与平面SAB所成的角为．例5、如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，PA=4，AD=2，，BC=6．(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；(Ⅱ)求二面角A—PC—D的大小；解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD．∴BD⊥PA．又，．∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．又．∴BD⊥平面PAC．（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF．∵DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，为二面角A—PC—D 的平面角．又∠DAC=90°－∠BAC=30°，∴DE=ADsin∠DAC=1，，又，，．由Rt△EFC∽Rt△PAC得．在Rt△EFD中，，．∴二面角A—PC—D的大小为．解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，4），，，，，．∴BD⊥AP，BD⊥AC，又，∴BD⊥平面PAC．（Ⅱ）设平面的法向量为，则，，又，，解得平面的法向量取为，，．∴二面角A—PC—D的大小为．题型三：空间距离例6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=AD=a，∠ADC=arccos，PA⊥面ABCD且PA=a.(1)求异面直线AD与PC间的距离；(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为．解：(1)∵BC∥AD，BC面PBC，∴AD∥面PBC，从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离．过A作AE⊥PB，又AE⊥BC，∴AE⊥平面PBC，AE为所求．在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a，∴AE=a．(2)作CM∥AB，由已知cos∠ADC=．∴tan∠ADC=，即CM=DM．∴ABCM为正方形，AC=a，PC=a．过A作AH⊥PC，在Rt△PAC中，得AH=．下面在AD上找一点F，使PC⊥CF．取MD中点F，△ACM、△FCM均为等腰直角三角形．∴∠ACM＋∠FCM=45°＋45°=90°．∴FC⊥AC，即FC⊥PC，∴在AD上存在满足条件的点F．题型四：多面体与球例7、(07湖南卷) 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（）A．B．1C．D．解：正方体对角线为球直径，所以，在过点E、F、O的球的大圆中，由已知得d=，，所以EF=2r=．选D．例8、设棱长为2R的立方体容器中装满水，先把半径为的球放入水中，然后再放入一球，使它淹没在水中，且使溢出的水最多，问这个球的半径应是多少？并计算放入二球后溢出的水量与容器容量之比．解：作出正方体的对角面，则在对角线的中点处，要使第二球放入后溢出水最多，则也在上，设小球半径为，则所以放入二球后溢出的水量与容器容量之比为：．题型五：几何体的展开与折叠B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC中点，则在棱柱的表面上从点M到例9、正三棱柱ABC—A1点N的最短距离是多少？并求之．剪开，并展开，解：（1）从侧面到N，如图（1）所示，沿棱柱的侧棱AA1（1）（2）则．（2）从底面到N点，沿棱柱的AC、BC剪开，展开，如图（2）所示，题型六：立体几何与解析几何的综合例10、如图，所在的平面和四边形所在的平面垂直，且，，，，，则点在平面内的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分解：由条件易得，且，，，可得，即，在平面内以所在的直线为轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，则，，设点，则有，整理可得一个圆的方程，由于点不在直线上，故此轨迹为圆的部分．例11、已知二面角的平面角为，、为垂足，且设、到棱的距离分别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的（）解：法一：P到的距离即为P到点的距离，则平面内的点P到定点的距离与到定直线BC的距离相等，故P的轨迹是抛物线．故选D．法二：设平面与棱交于，则在中；在中，，故有，点在双曲线的第一象限部分，故选D．。

直线和平面知识点总结直线和平面是几何学中非常重要的基本概念。

它们的性质和相关定理在几何中有着广泛的应用，并且对于理解三维空间中的几何关系也非常重要。

在本文中，我们将总结直线和平面的基本性质、相关定理以及相关的几何问题。

一、直线的性质1. 直线是由无限多个点构成的集合，它是最简单的几何图形之一。

2. 直线是由两个点确定的，任意两个不同的点确定一条直线，也就是说，直线上的任意一点都可以由这两个点表示。

3. 直线没有宽度和厚度，只有长度。

4. 直线可以延伸到无穷远，也可以在有限的范围内。

二、平面的性质1. 平面是由无限多个点构成的集合，它是一个二维的空间。

2. 平面上的三个非共线的点确定一个平面，也可以采用点和一条直线来确定一个平面。

3. 平面没有体积，只有面积。

4. 平面可以延伸到无穷远，也可以在有限的范围内。

三、直线和平面的关系1. 直线和平面有三种可能的关系：相交、平行、重合。

2. 如果一条直线和一个平面相交，那么它们只有一个公共点。

3. 如果一条直线和一个平面平行，那么它们没有公共点。

4. 如果一条直线和一个平面重合，那么它们有无数个公共点。

四、直线与平面的角度关系1. 直线和平面的角度关系可以分为内角和外角两种情况。

2. 内角：直线和平面的交角称为内角，如果一条直线和一个平面相交，那么它们形成两个内角。

3. 外角：直线和平面的非交角称为外角，如果一条直线和一个平面平行，那么它们形成两个外角。

五、直线和平面的垂直关系1. 如果一条直线和一个平面相交，并且直线上的所有点都和平面上的一个点垂直，那么这条直线和这个平面是垂直的。

2. 如果一条直线和一个平面平行，并且这条直线和平面上的一条直线垂直，那么这条直线和这个平面是垂直的。

3. 两个垂直的直线不能在同一个平面内，而两个平行的直线可以在同一个平面内。

六、直线和平面的距离1. 直线到平面的距离定义为直线上的任意一点到平面的距离的最小值。

2. 如果一个点到一个平面的距离为 d，那么它的所有点到这个平面的距离也是 d。

高三数学概念、方法、题型总结（九）九、直线、平面、简单多面体第一部分：数学高考基础知识详解1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

能够用斜二测法作图．．．．．．．。

2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。

3.直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。

③直线与平面垂直的证明方法有哪些？④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.4.平面与平面(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。

尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。

(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→⎩⎨⎧体积法直接法 (5)二面角。

二面角的平面交的作法及求法：①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。

③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。

5．棱柱（1）掌握棱柱的定义、分类，理解直棱柱、正棱柱的性质。

（2）掌握长方体的对角线的性质。

（3）平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。

（4）S 侧＝各侧面的面积和。

思考：对于特殊的棱柱，又如何计算？（5）V=Sh 特殊的棱柱的体积如何计算？6．棱锥①棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）,性质②相关计算：S侧＝各侧面的面积和，V=31Sh7．球的相关概念：S球=4πR2V球＝34πR3经纬度,球面距离的概念8．正多面体：掌握定义和正多面体的种数（是哪几个？）。

直线和平面知识点总结归纳一、直线的定义和特性1. 直线的定义：直线是由无数个点组成的几何图形，它是在任意两点之间存在着无数个点的图形，用两个点确定一条直线，叫做这条直线的一个方向向量。

2. 直线的性质：(1) 直线无始无终：直线是由无数个点组成的，所以它既没有始点也没有终点。

(2) 直线上的任意两点都可以确定一条直线。

(3) 直线的长度是无限的。

(4) 直线的方向是唯一确定的，可以用方向向量来表示。

3. 直线的方程：直线可以用点斜式、一般式、截距式等形式来表示。

(1) 点斜式方程：y-y₁=k(x-x₁)；(2) 一般式方程：Ax+By+C=0；(3) 截距式方程：x/a+y/b=1。

4. 直线的倾斜角和斜率：直线的倾斜角是指直线与x轴的夹角，而斜率是直线倾斜角的正切值。

5. 直线的位置关系：直线之间的位置关系有相交、平行和重合三种情况。

二、平面的定义和特性1. 平面的定义：平面是由无数个点和直线组成的几何图形，它是一个没有厚度的二维空间。

2. 平面的性质：(1) 平面上的任意三点都在同一条直线上。

(2) 平面上的任意两点都可以确定一条直线。

(3) 平面是无限的。

3. 平面的方程：平面可以用点法向式、一般式、截距式等形式来表示。

(1) 点法向式方程：Ax+By+Cz+D=0；(2) 一般式方程：Ax+By+Cz+D=0；(3) 截距式方程：x/a+y/b+z/c=1。

4. 平面的位置关系：平面之间的位置关系有相交、平行和重合三种情况。

5. 平面的倾斜角和法向量：平面的倾斜角是指平面与水平面的夹角，而法向量是平面垂直于的一个向量。

三、直线与平面的位置关系1. 直线与平面的位置关系：直线与平面之间的位置关系有相交、平行和垂直三种情况。

2. 直线与平面的夹角：直线与平面的夹角是指直线在平面上的投影线与直线本身的夹角。

3. 直线与平面的交点：直线与平面的交点是指直线与平面的一个或多个交点，可以通过代入直线方程和平面方程求得。

立体几何知识要点一、知识提纲（一）空间的直线与平面⒈平面的基本性质⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途．⑵斜二测画法．⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．⑴公理四（平行线的传递性）．等角定理．⑵异面直线的判定：判定定理、反证法．⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围．⒊直线和平面平行直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质．⒋直线和平面垂直⑴直线和平面垂直：定义、判定定理．⑵三垂线定理及逆定理．5.平面和平面平行两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质．6.平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）（三）夹角与距离7.直线和平面所成的角与二面角⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平面所成的角、直线和平面所成的角．⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角．②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．8.距离⑴点到平面的距离．⑵直线到与它平行平面的距离．⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段．⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段．（四）简单多面体与球9.棱柱与棱锥⑴多面体．⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质．⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法．10.多面体欧拉定理的发现⑴简单多面体的欧拉公式．⑵正多面体．11.球⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离．⑵球的体积公式和表面积公式．二、常用结论、方法和公式1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC 的平分线上；2. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ⊂ M ，BF ⊂ N,∠EAB=1θ,∠ABF=2θ，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则;cos cos cos 21θθθ=3.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，BC 和AB 的射影BA 1成2θ，设∠ABC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ；4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。

第二十九讲直线、平面、简单多面体三 14、平面与平面的位置关系： （1）平行――没有公共点； （2）相交――有一条公共直线。

15、两个平面平行的判定和性质：（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。

（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

如（1）βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面βα//的条件是A 、n m ,是α内一个三角形的两条边，且ββ//,//n m B 、α内有不共线的三点到β的距离都相等 C 、βα,都垂直于同一条直线a D 、n m ,是两条异面直线，βα⊂⊂n m ,，且αβ//,//n m （答：B ）；（2）给出以下六个命题：①垂直于同一直线的两个平面平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行；⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。

其中正确的序号是___________（答：①③⑤）；（3）正方体ABCD-A １B １C １D １中AB=a 。

①求证：平面AD 1B 1∥平面C 1DB ；②求证：A 1C ⊥平面AD 1B 1 ；③求平面AD 1B 1与平面C 1DB 间的距离（答：3）； 16、二面角： （1）平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直。

（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角； （3）二面角的范围：[0,]π； （4）二面角的求法：①转化为求平面角；②面积射影法：利用面积射影公式cos S S θ⋅射原＝，其中θ为平面角的大小。

高考数学串讲（二） 直线 平面 简单几何体一，基础知识1,直线,平面之间的平行与垂直的证明方法（1）,运用定义证明(有时要用反证法); （2）,运用平行关系证明;（3）,运用垂直关系证明; （4）,建立空间直角坐标系,运用空间向量证明 2,空间中的角和距离的计算 （1）,求异面直线所成的角①,(平移法)过P 作'//a a ,'//b b ,则'a 与'b 的夹角就是a 与b 的夹角; ②,证明a b ⊥(或//a b ),则a 与b 的夹角为090(或00);③,求a v 与b v所成的角([0,]θπ∈),再化为异面直线a 与b 所成的角((0,]2πα∈).（2）,求直线与平面所成的角①(定义法)若直线a 在平面α内的射影是直线b ,则a 与b 的夹角就是a 与α的夹角; ②,证明a α⊥(或//a α),则a 与α的夹角为090(或00);③求a v 与α的法向量n v所成的角θ,则a 与α所成的角为090θ-或090θ-. （3）,求二面角①,(直接计算)在二面角AB αβ--的半平面α内任取一点P AB ∉,过P 作AB 的垂线, 交AB 于C,再过P 作β的垂线,垂足为D,连结CD,则CD AB ⊥,故PCD ∠为所求的二面角. ②,(面积射影定理)设二面角AB αβ--的大小为θ(090θ≠),平面α内一个平面图形F 的面积为1S ,F 在β内的射影图形的面积为2S ,则21cos S S θ=±.(当θ为钝角时取“-”). ③,(异面直线上两点的距离公式):22222cos EF d m n mn θ=++-,其中θ是二面角AB αβ--的平面角,EA 在半平面α内且EA AB ⊥于点A,BF 在半平面β内且FB ⊥AB 于B,而AB d =,EA m =,FB n =.④,(法向量法)平面α的法向量1n u v 与平面β的法向量2n u u v所成的角为θ,则所求的二面角为 θ(同类)或πθ-(异类). （4）,求异面直线的距离①(定义法)求异面直线公垂线段的长; ②(体积法)转化为求几何体的高;③(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;④(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值;二，跟踪训练AB CDEA 1B 1C 1D 1ABCPNA 1B 1C 1M1，（04湖北）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D - 中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点。

第二十八讲 平面的基本性质、空间的两条直线考点解读【基础性考点知识突破】 一、点、线、面的位置关系1．平面的基本性质及其推论公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．【提示】三个公理的用途：公理l 证明“点在面内”或“线在面内”；公理2证明“两个平面重合”，用来确定一个平面，或证明“点线共面”；公理3证明“三点共线”“三线共点”，确定交线．2．线线、线面、面面的位置关系①直线与直线的位置关系⎧⎨平行共面直线⎧⎪⎨⎪⎩②直线与平面的位置关系直线在平面内有无数个公共点直线与平面相交直线不在平面内只有一个公共点直线与平面平行⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩无公共点(直线在平面外) ③平面与平面的位置关系两平面平行无公共点两平面相交⎧⎨⎩有无数个公共点，且公共点均在交线上 3．平行公理和等角定理①平行公理：平行于同一直线的两条直线平行．用符号表示：设a ,b ，c 为三条直线，若a b ∥，b c ∥，则a c ∥．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．二、异面直线及异面直线所成的角1．异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线． 2．异面直线的判定方法①判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线与平面内不经过点B 的直线是异面直线．②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而证得两线异面． 3．两条异面直线所成的角①定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间中任一点O 作直线a a '∥，b b '∥，把a '与b '所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角（或夹角）．②范围：(0,2π．【培优性方法技巧综合】 一、平面的概念平面是一个只描述而不加定义的最基本的原始概念，常见的桌面、黑板面、海面，都给我们以平面的形象．几何里所说的平面就是从这样一些物体中抽象出来的．但是几何里所说的平面是无限延展的．【提示】(1)与以前学习的“点”“线”“集合”的概念一样，平面是一个只描述而不加定义的原始概念．(2)平面无大小，无所谓面积；平面是无限延展的，没有边界．(3)二、平面的性质1．公理一反映了平面的本质属性，通过直线的“直”和“无限延伸”的特性，揭示了平面的“平”和“无限延展”的特征．其作用是：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判定直线上的点在平面内．2．公理三进一步反映了平面的延展性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线（当知道两个平面的两个公共点时，这两点的连线就是交线）；(3)证明多点共线（如果几个点都是某两个平面的公共点，则这几个点都在这两个平面的交线上）．3．公理二的作用：确定平面的依据．它提供了把空间问题转化为平面问题的条件，例如：三点确定几个平面？当三点共线时，三点确定无数个平面；当三点不共线时，确定一个平面，所以三点确定一个或无数个平面．公理二中的“有且只有一个”包含两层含义：(1)“有”说明平面的存在性；(2)“只有一个”说明平面的唯一性．【提示】(1)“有且只有一个”和“只有一个”不是同义词．(2)公理二和三个推论均是点线共面或由已知点线确定平面的依据，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要前提，也只有在同一平面内的图形，平面几何的定理在空间中才会仍然成立，对于非平面图形，则需经过证明方可应用． 三、空间两条直线的位置关系1．空间两条直线位置关系的分类 (1)根据两条直线有无公共点，可分两类：①有且仅有一个公共点：相交直线．②没有公共点：平行直线或异面直线． (2)根据两条直线是否共面，可分两类：①在同一平面内：相交直线或平行直线．②不同在任一平面内：异面直线． 2．异面直线的画法画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如图所示．αab αβabbaα3．异面直线的判定方法(1) (2)反证法：用此方法可以证明两直线是异面直线．定义法仅仅用来直观判断，直观判断还可用以下结论：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线． 【提示】对异面直线的定义需注意以下问题：(1)异面直线所成的角θ的范围是090θ<≤． (2)两条直线垂直不一定相交．(3)“不同在任何一个平面内”，指这两条直线不能确定任何一个平面，因此，异面直线既不相交也不平行．(4)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．考点分类精讲考点1 平面的基本性质1．判定诸多元素（点、直线、平面）是否共面． 2．点共线或线共点等问题． 3．几何体的截面问题． 4．平面个数的确定．【例1】如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD ∥，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n +=A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】由CE 与AB 共面，且与正方体的上底面平行，则与CE 相交的平面个数m ＝4．作FO ⊥底面CED ，一定有面EOF 平行于正方体的左、右侧面，即FE 平行于正方体的左、右侧面，所以n ＝4，m n +＝8．故选A ．【例2】正方体1111ABCD A BC D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点，那么，正方体的过P 、Q 、R A ．三角形 B ．四边形 ．五边形 D ．六边形【解析】如图所示，作RG ∥PQ 交11C D 于G ，连接QP 并延长与CB 延长线交于M ，连接MR 交1BB 于E ，连接PE ，PE 、RE 为截面的部分外形．RD 1PQ NMA 1B 1C 1FEG CDAB同理连PQ 并延长交CD 延长线于N ，连接NG 交1DD 于F ，连接QF . ∴截面为六边形PQFGRE ．选D ．点拨：画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置． 【例3】已知：空间四边形ABCD （如图所示），E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H分别是BC 、CD 上的点，且13CG BC =，13CH DC =．求证： GABCDEFOH(1)E 、F 、G 、H 四点共面； (2)三直线FH 、EG 、AC 共点． 【解析】(1)连接EF ，GH ．∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴12EF BD ∥．∵13CG BC =，13CH DC =，∴13HG BD ∥， ∴EF ∥HG 且EF ≠HG ．∵EF 、HG 可确定平面α，∴E 四点共面．(2)由(1)知：EFHG 为平面图形，且EF ∥HG ，EF ≠HG . ∴四边形EFHG 为梯形，设直线FH直线EG =O ．∵点O ∈直线FH ，直线FH ⊂平面ACD ，∴点O ∈平面ACD . 同理点O ∈平面ABC . 又面ACD面ABC =AC ,∴点O ∈直线AC (公理三)．所以三直线FH 、EG 、AC 共点．点拨：利用平面的基本性质可以解决点线共面问题以及线共点问题，其中证明共面问题的常用途径有二：一是由其中某些元素确定一个平面，再证其余元素都在这个平面内；二是将所有元素分成几部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合．解决线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第二条直线上；有时也可将问题转化为证明三点共线． 考点2 异面直线 1．异面直线的判定． 2．求异面直线所成的角．【例4】如图(1)所示，在空间四边形ABCD 中，已知1AD =，BC =AD BC ⊥，对角线BD =2AC =，求AC 和BD 所成的角．图(1)ABCDEFGH【解析】作平行线，找与异面直线所成的角相等的平面角，将空间问题转化为平面问题．解法一：如图(1)所示，分别取AD 、CD 、AB 、BD 的中点E 、F 、G 、H ， 连接EF 、FH 、HG 、GE 、GF ．由三角形中位线定理知，EF ∥AC ，且4EF =，GE ∥BD ，且GE =．GE 和EF 所成的锐角（或直角）就是AC 和BD 所成的角．同理，GH =HF BC ∥．又AD BC ⊥，∴90GHF ∠=．∴2221GF GH HF =+=．在EFG ∆中，2221EG EF GF +==，∴90GEF ∠=，即AC 和BD 所成的角为90．图(2)ABCDE解法二：如图(2)所示，在平面BCD 内，过C 作CE BD ∥，连接DE ．则DE BC ∥ ∴ACE ∠就是AC 和BD 所成的角（若ACE ∠为钝角，则ACE ∠的补角就是AC 和BD 所成的角）．又AD BC ⊥，∴AD DE ⊥．∴2224AE AD DE =+=．在ACE ∆中，2222()()422AC CE +=+=， ∴ACE ∠=90，即AC 和BD 所成的角为90．点拨：立体几何中，计算问题的一般步骤：(1)作图；(2)证明；(3)计算．求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有下面三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移，计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．【例5】(1)直三棱柱111ABC A BC -中，90BCA ∠=，,M N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A ．110B ．25C D(2)如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 ．【解析】(1)解法一 如图(1)，将直三棱柱111ABC A BC -补成正方体1111ACBD AC B D -，如图(2)，取AD 的中点E ，连接BE ，ME ，MN ，则四边形AEMN 为平行四边形，∴ME NA ∥．所以BME ∠为异面直线MB 与AN 所成的角．图(1)A 1B 1C 1N MCBA图(2)AC BMNC 1B 1A 1D 1DE设1BC =，在BME ∆中，2ME BE ==，2BM =，∴12cos BMBME ME ∠==． 解法二 建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，设BC =2，则(0,2,0)B ，(2,0,0,)A ，(1,1,2)M ，(1,0,2)N ，所以(1,1BM =-，，故BM 与AN 所成角θ的余弦值||30cos 10||||BM AN BM AN θ⋅==．故选C ．(2)如图连接ND ，取ND 的中点E ，连接,ME CE ，则//ME AN ．则异面直线AN ，CM 所成的角为EMC ，由题意可知1CN，22AN ，∴2ME ．又22CM ，22DN ，2NE ，∴3CE ，则2227cos 282222CM EM CE CMECM EM． 【例6】如图，在平行四边形ABCD 中，AB =2BC ，∠ABC =120°．E 为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A DE '，使平面A DE '⊥平面BCD ，F 为线段A C '的中点．(1)求证：BF ∥平面A DE '；(2)设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A DE '所成角的余弦值． 【解析】(1)取A D '的中点G ，连结GF ，CE ，由条件易知FG CD ∥，12FG CD =．BE ∥2CD BE ∥，FG BE =．故四边形BEGF 为平行四边形，所以BF EG ∥因为EG ⊂平面'A DE ，BF ⊄平面'A DE ，所以BF //平面'A DE(2)在平行四边形ABCD 中，设BC a =，则2AB CD a ==，AD AE EB a ===，连CE ，因为0120ABC ∠= 在△BCE 中，可得CE a ， 在△ADE 中，可得DE =a ，在△CDE 中，因为222CD CE DE =+，所以CE DE ⊥，在正三角形'A DE 中，M 为DE 中点，所以A M '⊥DE . 由平面'A DE ⊥平面BCD ,可知A M '⊥平面BCD , A M '⊥CE ． 取A E '的中点N ，连线NM 、NF ， 所以NF ⊥DE ，NF ⊥A M '. 因为DE 交A M '于M ， 所以NF ⊥平面'A DE ，则∠FMN 为直线FM 与平面'A DE 所成角． 在Rt △FMN 中，NFa , MN =12a ，FM =a ， 则cos FMN ∠=12． 所以直线FM 与平面'A DE 所成角的余弦值为12． 考点3 平行直线与等角定理 1．利用公理4判定两条直线平行． 2．利用等角定理证明两个角相等．【例7】如图所示，P 是ABC ∆所在平面外一点，D 、E 分别是PAB ∆和PBC ∆的重心，求证：DE AC ∥、13DE AC =．A B【解析】连接PD 、PE 并延长分别交AB 、BC 于M 、N ．∵D 、E 分别是PAB ∆、PBC ∆的重心， ∴M 、N 分别是AB 、BC 的中点，连接MN ， 则MN AC ∥且12MN AC =．①名校名师讲义，新课标考点100%覆盖，对考点从知识到方法系统归纳提炼，基础培优复习精品资料QQ ：1185941688 《高考数学一轮》第二十八讲 第11页─共11 页 微信公众号：sxgkzk 在△PMN 中，∵23PD PE PM PN ==， ∴DE MN ∥且23DE MN =．② 由①②根据公理4得DE AC ∥， 且22113323DE MN AC AC ==⨯=． 点拨：利用三线平行公理时，关键是找到与两条待证平行线都平行的直线，为此经常借助线面平行的性质定理等构造第三条直线．本专题试题训练详见《试题精练》。

数学概念方法题型易误点技巧总结之直线平面及简单多面体（二）19、多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。

多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。

（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。

（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。

20、棱柱：（1）棱柱的分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。

②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形…，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，…；（2）棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。

②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。

③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。

比如：①斜三棱柱A1B1C1－ABC，各棱长为，A1B=A1C=，则侧面BCC1B1是____形，棱柱的高为_____（答：正方；）；②下列关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。

其中真命题的为_____（答：②④）。

21、平行六面体：（1）定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；（2）几类特殊的平行六面体：{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}；（3）性质：①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。