第二讲多元回归与建模详解
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数学建模多元回归分析
1. 基本形式： y e bx
2. 线性化方法
▪ 两端取对数得：lny = ln + b x ▪ 令：y' = lny，则有y' = ln + b x
3. 图像
b0
b0
几种常见的非线性模型
幂函数
1. 基本形式： y x b
2. 线性化方法
▪ 两端取对数得：lg y = lg + b lg x ▪ 令：y' = lgy，x'= lg x，则y' = lg + b x'
1. 用线性模型：y =b0b1x+ ，有
2.
y = 2.671+0.0018x
2. 用指数模型：y = b x ，有
3.
y =4.05(1.0002)x
3. 比较
4. 直线的残差平方和＝5.3371<指数模型的残 差平方和＝6.11。直线模型略好于指数模型
本章小结
1. 相关系数与相关分析 2. 一元线性回归模型、回归方程与估计的回
4. R2 1，说明回归方程拟合的越好； R20，说明
回归方程拟合的越差
5. 等于多重相关系数的平方，即R2=(R)2
修正的多重样本决定系数
（修正的多重判定系数 R2 ）
1. 由于增加自变量将影响到因变量中被估计的 回归方程所解释的变异性的数量，为避免高 估这一影响，需要用自变量的数目去修正R2 的值
数学建模多元回归 分析
多元线性回归模型
（概念要点）
1. 一个因变量与两个及两个以上自变量之间的回归
2. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ，…， xp 和误差项 的方程称为多元线性回归模型
3. 涉及 p 个自变量的多元线性回归模型可表示为
2. 线性化方法
▪ 两端取对数得：lny = ln + b x ▪ 令：y' = lny，则有y' = ln + b x
3. 图像
b0
b0
几种常见的非线性模型
幂函数
1. 基本形式： y x b
2. 线性化方法
▪ 两端取对数得：lg y = lg + b lg x ▪ 令：y' = lgy，x'= lg x，则y' = lg + b x'
1. 用线性模型：y =b0b1x+ ，有
2.
y = 2.671+0.0018x
2. 用指数模型：y = b x ，有
3.
y =4.05(1.0002)x
3. 比较
4. 直线的残差平方和＝5.3371<指数模型的残 差平方和＝6.11。直线模型略好于指数模型
本章小结
1. 相关系数与相关分析 2. 一元线性回归模型、回归方程与估计的回
4. R2 1，说明回归方程拟合的越好； R20，说明
回归方程拟合的越差
5. 等于多重相关系数的平方，即R2=(R)2
修正的多重样本决定系数
（修正的多重判定系数 R2 ）
1. 由于增加自变量将影响到因变量中被估计的 回归方程所解释的变异性的数量，为避免高 估这一影响，需要用自变量的数目去修正R2 的值
数学建模多元回归 分析
多元线性回归模型
（概念要点）
1. 一个因变量与两个及两个以上自变量之间的回归
2. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ，…， xp 和误差项 的方程称为多元线性回归模型
3. 涉及 p 个自变量的多元线性回归模型可表示为
多元回归模型和建模 54页PPT文档
截距变化，斜率相同。
03.09.2019
Applied Stat for MBA05D1
18
2.Johnson过滤水股份公司例子
Johnson公司对遍布南弗罗里达州的 水过滤系统提供维修服务。为了估计服 务时间和成本，公司希望能够对顾客的 每一次维修请求预测必要的维修时间。 他们收集的数据中包含就近一次维修至 今的时间（月数）、故障的类型（电子 和机械）以及相应的维修时间（小时） 。
03.09.2019
Applied Stat for MBA05D1
11
10.巴特勒公司线性回归模型的Excel输出
回归统计 R=0.951 R2=0.904 adj R2=0.876 s=0.573 n=10
方差分析
回归 残差 总计
df SS
MS
F
2 21.601 10.800 32.878
7 2.299 0.328
03.09.2019
Applied Stat for MBA05D1
4
4.来自p元回归模型的容量为n的样本
( x11 , x 21 , , x p 1 ; y 1 ) ( x12 , x 22 , , x p 2 ; y 2 )
( x1n , x 2 n , , x pn ; y n )
运送货物次数
4 3 4 2 2 2 3 4 3 2
Applied Stat for MBA05D1
行驶时间(小时) 9.3 4.8 8.9 6.5 4.2 6.2 7.4 6 7.6 6.1
2
2.做行驶时间-行驶距离的一元回归
Coefficients
Intercept
1.273913
行驶距离(英里) 0.067826
03.09.2019
Applied Stat for MBA05D1
18
2.Johnson过滤水股份公司例子
Johnson公司对遍布南弗罗里达州的 水过滤系统提供维修服务。为了估计服 务时间和成本，公司希望能够对顾客的 每一次维修请求预测必要的维修时间。 他们收集的数据中包含就近一次维修至 今的时间（月数）、故障的类型（电子 和机械）以及相应的维修时间（小时） 。
03.09.2019
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11
10.巴特勒公司线性回归模型的Excel输出
回归统计 R=0.951 R2=0.904 adj R2=0.876 s=0.573 n=10
方差分析
回归 残差 总计
df SS
MS
F
2 21.601 10.800 32.878
7 2.299 0.328
03.09.2019
Applied Stat for MBA05D1
4
4.来自p元回归模型的容量为n的样本
( x11 , x 21 , , x p 1 ; y 1 ) ( x12 , x 22 , , x p 2 ; y 2 )
( x1n , x 2 n , , x pn ; y n )
运送货物次数
4 3 4 2 2 2 3 4 3 2
Applied Stat for MBA05D1
行驶时间(小时) 9.3 4.8 8.9 6.5 4.2 6.2 7.4 6 7.6 6.1
2
2.做行驶时间-行驶距离的一元回归
Coefficients
Intercept
1.273913
行驶距离(英里) 0.067826
《多元回归》PPT课件 (2)
2
固定资产投资额x4
Stepwise(Criteria:Probability-ofF-to-enter<=.050,
a Dependent variable:不良贷款y
Probability-of-F-to-remove<=.100.
逐步回归
(例题分析—SPSS输出结果)
model 1
Model summary
1.8428
逐步回归
(例题分析—SPSS输出结果)
ANOVA c
model
Sum of Squares
df
Mean Square
F
Sig.
1 Regress 222.486 Residual 90.164 Total 312.650
1
222.486 56.754 .000a
23
3.920
24
2 Regress Residual Total
▪ b1，b2，，bk称为偏回归系数 ▪ bi 表示假定其他变量不变，当 xi 每变动一
个单位时，y 的平均变动值
二元回归方程的直观解释
二元线性回归模型
回归面
x1
y
y b0 b1x1 b2x2
(观察到的y)
b0
}i
x2
(x1,x2)
E( y) b0 b1x1 b2x2
6.3.2 多元回归模型的估计
▪ 估bˆ计0 值, bˆ1 , bˆ2 ,是 , bˆk
▪ 是 y 的估计值
yˆ
b0 , b1 , b2 ,, bk
参数的最小二乘法
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 达到最小来求得 bˆ0 , bˆ1 , bˆ2 ,, bˆk 。即
第二章 多元线性回归模型
ˆ ˆ ˆ) ( Y Y 2Y Xβ β X Xβ 0 ˆ β
ˆ X Y X Xβ 0
得到：
ˆ XY XXβ
ˆ β ( X X) 1 X Y
于是：
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，
1 ( X ' X) X 1 1 X2 1 X1 1 1 X 2 n X n X i 1 X n
可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为
e e ˆ n k 1 n k 1
2
e i2
二、最大或然估计
对于多元线性回归模型: i N 0, 2 , i 1, 2, , n
易知:
Yi ~ N ( X i β , 2 ) 其中: Xi 1 Xi1 Xi1 Xik
j
一、普通最小二乘估计
对于随机抽取的n组观测值 Yi , X ij , i 1, 2,, n; j 0,1, 2,, k , 其中X i 0 1
k 1个未知参数，如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：
Y i 0 1 X i1 2 X i 2 k X ik , i 1, 2,, n
五、多元线性回归模型的参数估计实例
地区城镇居民消费模型
• 被解释变量：该地区城镇居民人均消费Y
• 解释变量：
– 该地区城镇居民人均可支配收入X1 – 前一年该地区城镇居民人均消费X2
• 样本：2006年，31个地区
数据
地区 2006年消费 支出 Y
北 天 河 山 辽 吉 上 江 浙 安 福 江 山 河 京 津 北 西 宁 林 海 苏 江 徽 建 西 东 南 14825.4 10548.1 7343.5 7170.9 7666.6 7987.5 7352.6 6655.4 14761.8 9628.6 13348.5 7294.7 9807.7 6645.5 8468.4 6685.2
《多元回归模型》课件
多元回归分析的基本概念
多元回归方程定义
通过多个自变量预测因变量
自变量与因变量
自变量，因变量和多元回归方 程之间的关系
多元回归方程中的常数项
常数项是一个偏移量，表示当 自变量全部为零时，因变量的 取值
多元回归方程的求解方法
1
最小二乘法
通过最小化预测值与实通过不断调整多元回归方程的系数来逐步接近最优值
3
其他优化算法
如牛顿法和拟牛顿法，也可以用于解决多元回归问题
多元回归模型的参数估计
1 模型评估和选择
模型合理性的评估和模型参数的选择非常重要
2 参数的显著性检验
使用F统计量或T统计量来检验参数是否具有统计显著性
3 参数的解释和实际意义
解释每个参数的实际含义和作用，以便更好地理解多元回归方程
多元回归模型的应用
多元回归模型PPT课件
多元回归模型是一种重要的数据分析工具，本课件为您深入讲解了多元回归 模型的概念、应用和参数估计等内容。
回归分析概述
什么是回归分析？
让自变量与因变量之间的关系更加清晰
回归分析的应用领域
社会科学，基础医学，经济学等
简单线性回归与多元回归的对比
多元回归可以同时分析多个自变量而不仅仅只有一个
多重共线性的问题
当多个自变量之间高度相关时，即存在多重 共线性，多元回归模型的可靠性会下降
样本量的要求
多元回归模型需要大量的数据样本来进行合 理的确定
数据样本的选取和处理
多元回归模型的结果受选取和处理数据样本 的方法的影响，数据的质量也非常重要
总结
1
多元回归分析的重要性和应用前景
多元回归模型是数据分析领域的重要工具，将会在广泛的领域得到应用
数学建模__多元线性回归分析
0 R 2 1 ， 说 明 自 变 量 X 1 , X 2 , , X
m
能够
解 释Y 变 化 的 百 分 比 ， 其 值 愈 接 近 于 1， 说 明 模型对数据的拟合程度愈好。本例
133 . 7107 R 0 . 6008 222 . 5519
2
表 明 血 糖 含 量 变 异 的 60% 可 由 总 胆 固 醇 、 甘油 三脂、胰岛素和糖化血红蛋白的变化来解释。
Y X X X e 0 1 1 2 2 m m
Éɱ í ÉÉÉÉɱ ÉÉ Y ÉÉÉ ü Éɱ í ÉÉ× É± ÉÉ
X1 , X 2 ,, X m ÉÉÉÉÉÉ
é ÉÉɱ í É É ÉÉ ü × É 0 ÉÉÉÉÉ 1 , 2 ,, m ÉÉÉÉ ± Éɱ ÉÉɱ ÉÉ ±É X j ÉÉÉ ò ÉÉÉÉÉÉÉ ± Y ÉÉÉ ù ± É ÉÉÉ e ÉÉÉ m É× É± ÉÉÉ Y É °É ì É ó ÉÉÉ ú É ó É É ¨ÉÉÉ É
甘油三脂 (mmol/L) X2
1.90 1.64 3.56 1.07 2.32 0.64 8.50 3.00 2.11 0.63 1.97 1.97 1.93 1.18 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 10.89 0.92 1.20
糖化血 红蛋白(%) X4
8.2 6.9 10.8 8.3 7.5 13.6 8.5 11.5 7.9 7.1 8.7 7.8 9.9 6.9 10.5 8.0 10.3 7.1 8.9 9.9 8.0 11.3 12.3 9.8 10.5 6.4 9.6
血糖 (mmol/L) Y
m
能够
解 释Y 变 化 的 百 分 比 ， 其 值 愈 接 近 于 1， 说 明 模型对数据的拟合程度愈好。本例
133 . 7107 R 0 . 6008 222 . 5519
2
表 明 血 糖 含 量 变 异 的 60% 可 由 总 胆 固 醇 、 甘油 三脂、胰岛素和糖化血红蛋白的变化来解释。
Y X X X e 0 1 1 2 2 m m
Éɱ í ÉÉÉÉɱ ÉÉ Y ÉÉÉ ü Éɱ í ÉÉ× É± ÉÉ
X1 , X 2 ,, X m ÉÉÉÉÉÉ
é ÉÉɱ í É É ÉÉ ü × É 0 ÉÉÉÉÉ 1 , 2 ,, m ÉÉÉÉ ± Éɱ ÉÉɱ ÉÉ ±É X j ÉÉÉ ò ÉÉÉÉÉÉÉ ± Y ÉÉÉ ù ± É ÉÉÉ e ÉÉÉ m É× É± ÉÉÉ Y É °É ì É ó ÉÉÉ ú É ó É É ¨ÉÉÉ É
甘油三脂 (mmol/L) X2
1.90 1.64 3.56 1.07 2.32 0.64 8.50 3.00 2.11 0.63 1.97 1.97 1.93 1.18 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 10.89 0.92 1.20
糖化血 红蛋白(%) X4
8.2 6.9 10.8 8.3 7.5 13.6 8.5 11.5 7.9 7.1 8.7 7.8 9.9 6.9 10.5 8.0 10.3 7.1 8.9 9.9 8.0 11.3 12.3 9.8 10.5 6.4 9.6
血糖 (mmol/L) Y
多元线性回归模型
多元线性回归模型多元线性回归模型是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。
它通过使用多个自变量来建立与因变量之间的线性关系，从而进行预测和分析。
在本文中，我们将介绍多元线性回归模型的基本概念、应用场景以及建模过程。
【第一部分：多元线性回归模型的基本概念】多元线性回归模型是基于自变量与因变量之间的线性关系进行建模和预测的模型。
它假设自变量之间相互独立，并且与因变量之间存在线性关系。
多元线性回归模型的数学表达式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、β2、…、βn表示回归系数，ε表示误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度，误差项表示模型无法解释的部分。
【第二部分：多元线性回归模型的应用场景】多元线性回归模型可以应用于各种预测和分析场景。
以下是一些常见的应用场景：1. 经济学：多元线性回归模型可以用于预测GDP增长率、失业率等经济指标，揭示不同自变量对经济变量的影响。
2. 医学研究：多元线性回归模型可以用于预测患者的生存时间、治疗效果等医学相关指标，帮助医生做出决策。
3. 市场研究：多元线性回归模型可以用于预测产品销量、市场份额等市场相关指标，帮助企业制定营销策略。
4. 社会科学：多元线性回归模型可以用于研究教育水平对收入的影响、家庭背景对孩子成绩的影响等社会科学问题。
【第三部分：多元线性回归模型的建模过程】建立多元线性回归模型的过程包括以下几个步骤：1. 数据收集：收集自变量和因变量的数据，确保数据的准确性和完整性。
2. 数据清洗：处理缺失值、异常值和离群点，保证数据的可靠性和一致性。
3. 特征选择：根据自变量与因变量之间的相关性，选择最相关的自变量作为模型的输入特征。
4. 模型训练：使用收集到的数据，利用最小二乘法等统计方法估计回归系数。
5. 模型评估：使用误差指标（如均方误差、决定系数等）评估模型的拟合程度和预测性能。
统计建模(多元回归分析幻灯片PPT
按最小二乘估计的原理估计未知参数.
实 际 问 题 : 已 知 29 例 儿 童 的 血 红 蛋 白 （hemoglo,g）与钙（Ca,μg）、镁（Mg, μg）、 铁（Fe, μg）、锰(Mn,μg)、铜(Cu,μg)的含量如 表,试建立一个钙、镁、铁、锰、铜预测血红蛋白 的数学模型。
编号 钙 镁 铁 锰 铜 血红蛋白
y=a0+a1x1+a2x2+…+ap
我们称它xp为多元线性回归方程.
五、多元线性回归模型
设p个自变量X1 , X2 , … , Xp 的取值 为x1 , x2 , … , xp 时，随机Y变量满足
Ya0a 1x1a2x2 apxp
e~N (0 ,2)
其中a0 ，a1，a2，…, ap ，σ2均为未知常数， a0 ,a1 , a2 , … , ap ,称为“偏回归系数” ;σ2
在许多科研问题中,经常遇到一些同处于 一个统一体中的变量,这些变量之间往往是 相互依赖和相互制约的,根据实际问题的要 求,我们往往需要找出描述这些变量之间依 存关系的数学表达式(数学模型).
变量之间的相互关系大致可分为两类: (1)确定关系-----函数关系.
(2)不确定关系-----相关关系. 在许多实际问题中 ,由于生产或试验过程
认为在均方误差最小标准下将它作为回归 函数进行预报是最好的.
定义2 在定义1的条件下 , 函数
E(Y│X1,X2,…,Xp)是所有X1,X2,…,Xp的函 数中均方误差最小的函数,即对任意给定
的函数f(X1,X2,…,Xp),总有
E[Y-E(Y│X1,X2,…,Xp )]2≤
成立.
E[Y-f(X1,X2,…,Xp)]2
有关回归关系的计算方法和理论统称回 归分析(regeression analysis).
实 际 问 题 : 已 知 29 例 儿 童 的 血 红 蛋 白 （hemoglo,g）与钙（Ca,μg）、镁（Mg, μg）、 铁（Fe, μg）、锰(Mn,μg)、铜(Cu,μg)的含量如 表,试建立一个钙、镁、铁、锰、铜预测血红蛋白 的数学模型。
编号 钙 镁 铁 锰 铜 血红蛋白
y=a0+a1x1+a2x2+…+ap
我们称它xp为多元线性回归方程.
五、多元线性回归模型
设p个自变量X1 , X2 , … , Xp 的取值 为x1 , x2 , … , xp 时，随机Y变量满足
Ya0a 1x1a2x2 apxp
e~N (0 ,2)
其中a0 ，a1，a2，…, ap ，σ2均为未知常数， a0 ,a1 , a2 , … , ap ,称为“偏回归系数” ;σ2
在许多科研问题中,经常遇到一些同处于 一个统一体中的变量,这些变量之间往往是 相互依赖和相互制约的,根据实际问题的要 求,我们往往需要找出描述这些变量之间依 存关系的数学表达式(数学模型).
变量之间的相互关系大致可分为两类: (1)确定关系-----函数关系.
(2)不确定关系-----相关关系. 在许多实际问题中 ,由于生产或试验过程
认为在均方误差最小标准下将它作为回归 函数进行预报是最好的.
定义2 在定义1的条件下 , 函数
E(Y│X1,X2,…,Xp)是所有X1,X2,…,Xp的函 数中均方误差最小的函数,即对任意给定
的函数f(X1,X2,…,Xp),总有
E[Y-E(Y│X1,X2,…,Xp )]2≤
成立.
E[Y-f(X1,X2,…,Xp)]2
有关回归关系的计算方法和理论统称回 归分析(regeression analysis).
第二讲 多元线性回归分析
回归方程的方差分析表
MS
F
5
0.21581
7.32
14
0.02950
19
偏回归系数估计结果
3.标准化回归系数
有时需要比较各自变量的相对作用大小，由于回归系数受变量度量衡和各自变异程度 的影响，不能直接比较。为此，可以对回归系数进行标准化处理，消除度量衡和变异 度的影响，计算标准化回归系数(standardized regression coefficient)，反映各自变量对 因变量的影响程度。计算公式为
13 59 25.19 6.0 158 80 7.3
4 66 24.26 4.8 157 87 7.2
14 76 27.26 5.4 124 85 6.9
…
…
医学统计学（第7版）
变异来源 回归 残差 总变异
SS 1.07906 0.41294 1.49200
自变量 常数项
回归系数
3.87598
-0.00153 0.03192 0.10834 0.00850 0.01058
对回归方程的预测或解释能力作出综合评价（决定系数，校正决定系数）；
在此基础上进一步对各个自变量的重要性作出评价（偏回归平方和、t 检验、标准化
回归系数）。
（一）回归方程的假设检验及评价 1.方差分析法
SS总 =
(Y - Y )2
Y 2 ( Y )2 n
SS回归= (Yˆ Y )2 bjl jY SS残差= (Y Yˆ)2 SS总 SS回归
了解 多元线性回归的主要应用及其注意事项。
第一节
多元线性回归
医学统计学（第4版）
问题提出
多元线性回归（multiple linear regression analysis）：研究一个因变量与多个自变量之间 线性依存关系的统计方法。
第二节多元线性回归
第二节 多元线性回归在许多实际问题中， 常常会遇到要研究一个随机变量与多个变量之间的相关关系，例如，某种产品的销售额不仅受到投入的广告费用的影响，通常还与产品的价格、消费者的收入状况以及其它可替代产品的价格等诸多因素有关系. 研究这种一个随机变量同其他多个变量之间的关系的主要方法是运用多元回归分析. 多元线性回归分析是一元线性回归分析的自然推广形式，两者在参数估计、显著性检验等方面非常相似. 本节只简单介绍多元线性回归的数学模型及其最小二乘估计.一、多元线性回归模型设影响因变量Y 的自变量个数为P ，并分别记为,21,,,p x x x 所谓多元线性模型是指这些自变量对Y 的影响是线性的，即p p x x x Y 22110，),0(~2 N其中p ,,,,210 ，2 是与p x x x ,,,21 无关的未知参数，称Y 为对自变量,21,,,p x x x 的线性回归函数.记n 组样本分别是),,,,(21i ip i i y x x x ),,2,1(n i ，则有n np p n n n p p p p x x x y x x x y x x x y 2211022222211021112211101, 其中n ,,,21 相互独立，且),0(~2 N i ，n i ,,2,1 ，这个模型称为多元线性回归的数学模型. 令Y =n y y y21, X =np n n p p x x x x x x x x x212222*********,p 10,n 21 则上述数学模型可用矩阵形式表示为 X Y其中 是n 维随机向量，它的分量相互独立。
X 称为设计矩阵或资料矩阵。
二、多元线性回归模型的基本假定1.解释变量是确定性的变量，不是随机变量，设计矩阵中要求列向量不能有密切的线性相关性，也称为多重共线性；2. 随机误差项具有0均值和同方差，且随机误差项相互独立，即：j i j i n i E j i i 0),cov(,2,10)(2 3.正态分布条件： 2(0,)N I :，其中I 表示单位矩阵。
4第三章多元线性回归模型分析(二)PPT课件
ˆ
2
1 n
n
ei2
i1
这个估计量表面上好象是 2 的一个十分自然的估计量，
但是需要注意到，最小二乘残差并不是母体残差完整的
估计量，这是因为 ei yi xib i xi (b ) ，由于 是未知的，
因此这个估计量可能被扭曲了。
▪ 这说明，所猜想的方差估计量不行，而要寻 找2的无偏估计。
现在假设矩阵 D C (XX)1 X ，则有： Dy b0 b ，因此：
Var[ b0 | X] 2[(D (XX)1 X)][( D (XX)1 X)]
因为 CX I [D (XX)1 X]X ，则有： DX 0 ，因此有：
Var[ b0 | X] 2 (XX) 1 2 DD
其中：
tr(M) tr[In X(XX)1 X] tr(In ) tr[X(XX)1 X] n tr[XX(XX)1] n K
因此，
E[ee | X] (n K) 2
由此可知，上述猜想的方差的“自然估计”ˆ 2 是一个有偏估计，
虽然其偏异随着样本容量增加趋于零。根据上述期望的计算， 可以得到方差参数的无偏估计为：
量未解释的那部分离差的大小。
定理 残差平方和分解定理 对于包含常数项的线性回归模型而言，下述平方和分解公式成立：
SST SSR SSE
这说明整个“离差平方和”等于“回归平方和”加上“残差平方和”。
证明：根据矩阵 M0 的定义，则有： SST (M0y)(M0y) yM0y 其中 y Xb e ，代入得到：
假设X中包含常数项(所有列都是1)和一个回归变量x，
1
则
X
1 1
x1
x2
xn
n2
X X
数学建模-多元线性回归分析
数学建模-多元线性回归分析引言多元线性回归是一种常用的数学建模方法，它用于分析多个自变量和一个因变量之间的关系。
通过寻找最佳的拟合直线，我们可以预测因变量的值，同时还可以了解每个自变量对因变量的贡献程度。
在本文档中，我们将介绍多元线性回归的基本原理、模型拟合和模型评估等内容。
基本原理多元线性回归的基本原理建立在最小二乘法的基础上。
我们假设因变量Y和自变量X之间存在线性关系，即：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βn*Xn其中，Y是因变量，X1、X2、…、Xn是自变量，β0、β1、β2、…、βn是回归系数。
我们的目标是求解最佳的回归系数，使得拟合直线与观测数据之间的残差平方和最小。
模型拟合为了拟合多元线性回归模型，我们首先需要收集足够的数据。
然后，我们可以使用各种统计软件或编程语言来进行模型拟合。
这些软件和语言通常提供了专门的函数或库，用于执行多元线性回归分析。
以Python语言为例，我们可以使用statsmodels库中的OLS函数进行多元线性回归拟合。
下面是一个示例代码：import pandas as pdimport statsmodels.api as sm# 读取数据data = pd.read_csv('data.csv')# 构建自变量矩阵X和因变量YX = data[['X1', 'X2', ... , 'Xn']]Y = data['Y']# 添加常数列X = sm.add_constant(X)# 拟合模型model = sm.OLS(Y, X)results = model.fit()# 输出回归结果print(results.summary())在上面的代码中，我们首先读取了数据集，然后构建了自变量矩阵X和因变量Y。
接下来，我们使用sm.add_constant()函数在自变量矩阵X中添加了一个常数列，用于拟合截距项。
多元线性回归模型资料讲解
多元线性回归模型资料讲解多元线性回归模型第三章多元线性回归模型基本要求：1、理解多元线性回归模型的定义2、理解多元线性回归模型的假定3、掌握参数估计的计算4、理解参数统计性质第一节多元线性回归模型及假定一、多元线性回归模型许多经济现象往往要受多个因素的影响，研究被解释变量受多个解释变量的影响，就要利用多元回归模型。
多元线性回归模型与一元线性回归模型基本类似，只不过解释变量由一个增加到两个以上，被解释变量Y 与多个解释变量k X X X ,,,21 之间存在线性关系。
假定被解释变量Y 与多个解释变量k X X X ,,,21 之间具有线性关系，是解释变量的多元线性函数，称为多元线性回归模型。
即k k X X X Y 22110(3-1)其中Y 为被解释变量，(1,2,,)j X j k L 为k 个解释变量，(0,1,2,,)j j k L 为1k 个未知参数，为随机误差项。
被解释变量Y 的期望值与解释变量k X X X ,,,21 的线性方程为：01122()k k E Y X X X L (3-2)称为多元总体线性回归方程，简称总体回归方程。
对于n 组观测值),,2,1(,,,,21n i X X X Y ki i i i ，其方程组形式为：01122,(1,2,,)i i i k ki i Y X X X i n L L(3-3) 即nkn k n n n k k k k X X X Y X X X Y X X X Y 2211022222121021121211101 其矩阵形式为n Y Y Y 21=kn n nk k X X X X X X X X X212221212111111k 210+n 21 即Y X βμ(3-4) 其中1n Y n Y Y Y 21为被解释变量的观测值向量； )1(k n Xkn n nk k X X X X X X X X X212221212111111为解释变量的观测值矩阵；(1)1k βk 210为总体回归参数向量；1nμn 21为随机误差项向量。
第二章多元回归分析
解：由 Excel 给出的多元回归结果见表12-2. 得不良贷款
(y) 与贷款余额 (x1)、累计应收贷款 (x2)、贷款项目个数(x3) 和 固定资产投资额 (x4) 的线性回归方程如下
ˆ 1.02164 0.040039 y x1 0.148034 x2 0.014529 x3 0.029193 x4
例3.4
根据例 3.1 的数据，检验自变量是否存在多重共线性.
称
E( y) 0 1 x1 2 x2 p x p
(3.2)
为总体多元线性回归方程. j 表示当其他变量不变，而 每变动一个单位时，E(y ) 相应的变动值.
xj
多元线性回归方程的直观解释
考虑二元线性回归模型
y 0 1x1 2 x2
量的影响是否显著. 解：根据表3-2，得
t1 3.837 t 2 1.879 t 3 0.175 t 4 1.937
查 t 分布表得
t 0.05 (20) 2.086
从而只有 x1 对因变量的影响显著. 并可得 1 的0.95置信区间
2
(0.0183, 0.0618 )
回归系数的置信区间
使因变量的观察值 y 与估计值 y ˆ 之间的离差平方和达到 ˆ , ˆ ,, ˆ ，即使 最小来求 0 1 p
Q
2 ˆ ( y y ) i i i 1 n n
ˆ ˆ x ˆ x )2 ( y i 0 1 1i p pi
i 1 n 2 e i i 1
ˆ , ˆ , , ˆ 为 , , , 的最小二乘 达到最小. 称 0 1 p 0 1 p
估计.
续
ˆ , ˆ ,, ˆ 应是下列正 根据微积分中求极值的原理， 0 1 p
数学建模-回归分析-多元回归分析
1 、 多元线性回归在回归分析中， 如果有两个或两个以上的自变量， 就称为多元回归。
事实上， 一种现象常常是与多个因素相联系的， 由多个自变量的最优 组合共同来预测或估计因变量， 比只用一个自变量进行预测或估计更有效， 更符 合实际。
在实际经济问题中， 一个变量往往受到多个变量的影响。
例如， 家庭消费支 出， 除了受家庭可支配收入的影响外， 还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金 融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。
这样的模型被称为多元线性回归模型。
( multivariable linear regression model )多元线性回归模型的一般形式为：其中k 为解释变量的数目， bj (j=1,2,…， k)称为回归系数 (regression coefficient) 。
上式也被称为总体回归函数的随机表达式。
它的非随机表达式为：b j 也被称为偏回归系数(partial regression coefficient) 。
2 、 多元线性回归计算模型多元性回归模型的参数估计， 同一元线性回归方程一样， 也是在要求误差平 方和(Σ e)为最小的前提下，用最小二乘法或最大似然估计法求解参数。
设 ( x 11， x 12， …， x1p ， y 1 )， …， ( x n 1， x n 2， …， 用最大似然估计法估计参数：达到最小。
y n )是一个样本， x np ，把(4)式化简可得：引入矩阵：方程组(5)可以化简得：可得最大似然估计值：3 、 Matlab 多元线性回归的实现多元线性回归在Matlab 中主要实现方法如下：(1) b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值其中(2) [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) 求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型①bint 表示回归系数的区间估计 .②r 表示残差③rint 表示置信区间④stats 表示用于检验回归模型的统计量 ,有三个数值：相关系数r2、F 值、与F 对应的概率p说明：相关系数r2 越接近1，说明回归方程越显著； F>F1-alpha(p,n-p-1) 时拒绝H0，F越大，说明回归方程越显著；与 F 对应的概率p<α 时拒绝H0，回归模型成立。
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df
SS
MS
3 7.65E+10 2.55E+10
96 6.01E+10 6.26E+08
99 1.37E+11
F Significance F 40.7269 4.57E-17
CoefficienStstandard Error t Stat
Intercept 37717.59 14176.74 2.660526
方差分析
回归分析 残差 总计
df
SS
MS
F Significance F
1 15.8713 15.8713 15.81458 0.004080177
8 8.028696 1.003587
9 23.9
Intercept Miles Traveled
Coefficients 标准误差 t Stat P-value Lower 95% Upper 95%下限 95.0%上限 95.0% 1.273913 1.400745 0.909454 0.389687 -1.95621171 4.504038 -1.95621 4.504038
一个房地产经纪人认为房屋的售价可由房屋的面积、 卧室的个数和批量的大小来预测。他随机选取了100座 房屋并收集数据如下：
Price 124100 218300 117800
. .
Bedrooms 3 4 3 . .
H Size 1290 2080 1250 . .
Lot Size 3900 6600 3750 . .
观测值
10
方差分析
回归分析 残差 总计
df
SS
MS
F Significance F
2 21.60056 10.80028 32.87837 0.00027624
7 2.299443 0.328492
9
23.9
Coefficients 标准误差 Intercept -0.8687 0.951548 Miles Traveled 0.061135 0.009888 Number of Deliveries 0.923425 0.221113
拒绝域
F
MSR MSE
SSR/ p SSE /(n p1)
F ( p, n
p
1)
6
对回归系数的检验
检验假设H0 : i 0 H1 : i 0 检验统计量
t , bi
i
sbi
其中sbi是bi的标准误差
拒绝域
ti t /2 (n p 1)或者ti t /2 (n p 1)
7
例：巴特勒运输公司
巴特勒运输公司的主营业务地域为本地， 为了建立更好的工作日程表，经理们计划为 他们的驾驶员估计日常行驶时间。
8
Miles
Number
Traveled of Deliveries
100
4
100
2
50
2
80
2
75
3
65
4
90
3
90
2
Travel Time (hours) 9.3 4.8 8.9 6.5 4.2 6.2 7.4 6.0 7.6 6.1
0.067826 0.017056 3.976755 0.00408 0.028495691 0.107156 0.028496 0.107156
回归统计
Multiple R 0.950678
R Square 0.903789
Adjusted R Squ0a.8re763
标准误差 0.573142
第二讲 多元回归与建模
1
研究多个变量间的关系，因变量如何受到多个自变量 的影响，用多个自变量预测因变量的值。
例：
超市中商品的价格、摆放位置、促销手段如何影响销售量； 如何用客户的个人资料（职业、收入、家庭成员人数、婚姻
状况、是否有抵押等）进行信用预测； 连锁旅店的利润主要受哪些因素影响； 如何预测每个客户的流失概率； 如何在达到环保标准的前提下找到最佳生产条件； 如何给二手车定价； 如何预测故障维修时间； 如何定新员工的薪水及解聘员工的补偿金。
Bedrooms 2306.081 6994.192 0.329714
H Size
74.29681 52.97858 1.402393
yˆ 0.8687 0.0611Miles 0.9234Deliv
b1=0.0611 当送货次数不变时，行驶里 程每增加1英里，行驶时间期望的估计值 增加0.0611小时。
b2=0.9234 当行驶里程不变时，送货次 数每增加1次，行驶时间期望的估计值增 加0.9234小时。
13
例：房屋售价
14
Regression Statistics Multiple R 0.74833 R Square 0.559998 Adjusted R S0q.5u4a6re248 Standard Err2o5r022.71 Observations 100
ANOVA
Regression Residual Total
9
Travel time
10.0 8.0 6.0 4.0 2.0 0.0 0
20
40
60
80
100
120
Miles traveled
10
回归统计
Multiple R
0.814906
R Square
0.664071
Adjusted R Square 0.62208
标准误差
1.001792
观测值
10
2
多元回归模型
y 0 1x1 2 x2 p xp 假定误差项 ~ N (0, 2 ),那么
y ~ N (0 1x1 2 x2 p xp , 2 ) 使用最小二乘方法估计i ,i 0,1, p.
估计的回归方程是 yˆ b0 b1x1 b2 x2 bp xp
3
Y i X2
X1
4
认识R2
总变差的分解：SST=SSR+SSE； 判定系数： R2=SSR/SST； 多重相关系数R； 调整（修正）的判定系数：
Adj
R2
1 (1
R2)
n1 n p1
5
对回归方程的检验
问题：因变量和所有自变量的集合之间 是否存在显著的关系？
检验假设
H0 : 1 2 p 0
t Stat -0.91294 6.182397
4.176251
P-value 0.391634 0.000453
0.004157
Lower 95% Upper 95% -3.118752683 1.38135 0.037752041 0.084517
0.400575489 1.446275
回归系数的解释