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第二讲 面板数据回归模型2.1面板数据回归模型的一般形式 面板数据模型的一般形式如下：it Kk kit ki it u x y +=∑=1β （2.1）其中，N ,,,,i "321=，表示N 个个体；T ,,,,t "321=，表示已知的T 个时点。
it y 是被解释变量对个体i 在t 时的观测值；kit x 是第k 个非随机解释变量对于个体i 在t 时的观测值；ki β是待估计的参数；it u 是随机误差项。
用矩阵表示为i i i i =+Y X βU （N ,,,,i "321=） （2.1’）其中，121i i i iT T y y y ×⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦#Y ，112111222212i i Ki i i Ki i iTiTKiT T K x x x x x x x x x ×⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦""##"#"X ， 121×⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=K Ki i i i βββ#β，121i i iiT T u u u ×⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦#U .2.2 面板数据回归模型的分类通常，对模型（2.1）将做许多限制性假设，使其成为不同类型的面板数据回归模型。
一般来说，常用的面板数据回归模型有如下九种模型，下面分别介绍它们。
1混合回归模型从时间上看，不同个体之间不存在显著性差异；从截面上看，不同截面之间也不存在显著性差异，那么就可以直接把面板数据混合在一起，用普通最小二乘法（OLS ）估计参数。
即估计模型12Kit k kit it k y x u ββ==++∑ （2.2）=+Y X U β （2.2’）其中，121N NT ×⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦#Y Y Y Y ，12N NT K×⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦#X X X X ，121×⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=K K βββ#β，121N NT ×⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦#U U U U .实际上，混合回归模型（Pooled Regression Models ）假设了解释变量对被解释变量的影响与个体无关。
第二讲 面板数据线性回归模型估计、检验和应用 第一节 单因素误差面板数据线性回归模型对于面板数据y i 和X i ，称it it it y αε′=++X βit i it u εξ=+ 1,,;1,,i N t T ==""为单因素误差面板数据线性回归模型，其中，i ξ表示不可观测的个体特殊效应，it u 表示剩余的随机扰动。
案例：Grunfeld(1958)建立了下面的投资方程：12it it it it I F C αββε=+++这里，I it 表示对第i 个企业在t 年的实际总投资，F it 表示企业的实际价值（即公开出售的股份），C it 表示资本存量的实际价值。
案例中的数据是来源于10个大型的美国制造业公司1935-1954共20年的面板数据。
在EViews6中设定面板数据（GRUNFELD.wf1）Eviews6 中建立面板数据EViews 中建立单因素固定效应模型1.1 混合回归模型1 面板数据混合回归模型 假设1 ε ~ N (0, σ2I NT )对于面板数据y i 和X i ，无约束的线性回归模型是y i = Z i δi + εi i =1, 2, … , N(4.1)其中'i y = ( y i 1, … , y iT )，Z i = [ ιT , X i ]并且X i 是T×K 的，'i δ是1×(K +1)的，εi 是T×1的。
注意：各个体的回归系数δi 是不同的。
如果面板数据可混合，则得到有约束模型y = Z δ + ε(4.2)其中Z ′ = ('1Z ,'2Z , … ,'N Z )，u ′ = ('1ε,'2ε, … ,'N ε)。
2 混合回归模型的估计当满足可混合回归假设时，()1''ˆZ Z Z Y −=δ在假设1下，对于Grunfeld 数据，基于EViews6建立的混合回归模型3 面板数据的可混合性检验假设检验原理：基于OLS/ML 估计，对约束条件的检验。
（1） 面板数据可混合的检验 推断面板数据可混合的零假设是：1H ：对于所有的i 都有δi = δ. 检验约束条件的统计量是Chow 检验的F 统计量()()1res ures 'uresSSE SSE (N )K'F SSE N T K −−=−其中，1'K K =+，1Nures ii SSE SSE ==∑.在10H 条件下，F obs ~ F [(N -1)K ′, N (T - K ′ )]分布。
对于Grunfeld 数据，在零假设10H 下，混合OLS 估计得到res SSE = 1755850.48；无约束模型的ures SSE 由10个公司的OLS 回归SSE 之和得到，即ures SSE = 324728.47，每个回归有17个自由度，总的自由度为170；共有27（=3*9）个约束；Chow 检验的F 统计量取值为27.75；经检验拒绝了所有系数可混合性的零假设10H 。
(2) 斜率系数的可混合性检验（剔除非时变异质性因素后的可混合性检验）另外，也可以利用Chow 检验的F 统计量只斜率系数的可混合性进行检验（允许截距不完全相同），即检验零假设2H ：β1 =β2 =，…，=βN 这时，有约束模型是带有个体虚拟变量的组内回归，无约束模型与前面相同。
对于Grunfeld 数据，在零假设20H 下，组内估计得到res SSE = 523478；同样，无约束模型的ures SSE 由10个公司的OLS 回归SSE 之和得到，即ures SSE = 324728.47，每个回归有17个自由度，总的自由度为170；共有18（=2*9）个约束；得到F 统计量等于5.78；因此拒绝了斜率系数具有可混合性的零假设20H 。
类似地，还可以检验系数是否随时间变化的可混合性问题。
1.2 个体固定效应模型（Fixed-effects (FE) model ）面板数据混合回归模型没有考虑不可观测的非时变异质因素，当考虑了这些因素对模型参数估计的影响时，并且，它们与解释变量（可观测的时变异质性因素）相关时，为了保证回归参数估计的无偏性，需要在面板数据回归模型中特别剔除个体固定效应的影响，即将模型设定为个体固定效应模型。
1 个体固定效应模型及其估计 对于面板数据个体固定效应回归模型it it i it y X u αξ=+++β其中，i ξ即为不可观测的非时变异质因素。
其矩阵形式为()NT N T α=++⊗+Y X I ξU ιβι令[]NT N T =⊗X I Z ιι，()'''δα=ξβ，则LSDV 估计是()1''ˆ−=δZ Z Z Y 另外，通过进行组内离差，组内离差模型()()it i it i it i y y X x u u −=−+−...β的OLS 估计ˆwithin β也是无偏估计，被称为组内估计，并且，ˆˆwithin y x α=−....β.EViews 估计结果2 个体固定效应检验检验面板数据固定效应模型设定的零假设是：30H ：ξ1 =ξ2 = … =ξN-1=0.检验约束条件的统计量是Chow 检验的F 统计量()()()()311H res ures ures SSE SSE N F ~FN ,NT N K SSE NT N K −−=−−−−−在30H 条件下，对应于混合回归模型，无约束模型是LSDV 回归模型。
如果N 较大，组内均值回归的残差平方和可作为ures SSE .对于Grunfeld 数据，F = 49.18，拒绝了混合回归模型的设定。
1.3 个体随机效应模型（GLS random-effects (RE) model ）面板数据回归模型it it i it y x u αβξ=+++，ξi ～IID(0, σξ2)，it u ~IID(0,σu 2)，被称为随机效应回归模型。
其中，ξi 是独立于it u ，对于所有的i 和t ，X it 也独立于ξi 和it u .通过设定个体效应（ξi ）为随机误差项，并假设个体效应（ξi ）与X it 独立，以避免固定效应模型参数估计的有偏。
同时，增加模型估计的自由度；另外，也可将模型应用于（个体）样本之外。
1个体随机效应模型的估计 随机效应模型误差项的协方差矩阵'22(')()(')()()N T uN T E E E ξξξσσ′==+=⊗+⊗Ωvv Z ξξZ uu I J I I通过估计Ω，利用FGLS 估计随机效应模型。
并且，12ˆˆ GLS Within Between=+βW βW β .（Baltagi ，2008，P20） 其中，时间均值模型()i i i i y x u αβξ=+++...的OLS 估计称为组间估计ˆBetween β.实际上，在实证分析中，需要估计2ξσ和σu 2，常用的估计方法有三种，分别是Swamy-Arora 、Wallace-Hussain 和Wansbeek-Kapteyn 估计方法，在EViews 中，缺省选择是“Swamy-Arora”方法，详细内容参考Baltagi (2008)。
使用Swamy-Arora 的方差分解估计（Swamy-Arora estimator of the variance components ）的EViewsFGLS 估计结果。
2 固定效应和随机效应的Hausman 检验 Hausman 检验H 0：E (εit | X it ) = 0，其中，εit =ξi + u it i =1, … , N ; t =1, … , T因素误差回归模型的一个关键假设是E (εit | X it ) = 0。
因为误差项含有未观测到的个体效应（ξi ），并可能与X it 相关。
例如，在收入方程中，ξi 可能代表不可观测的个人能力，它可能与方程右边的受教育变量相关。
在E (εit | X it ) ≠ 0的情况下，β的GLS 估计量GLSβˆ不仅是有偏，而且也是非一致的。
但是，组内变换消除了这些ξi ，因此，β的组内估计量Within β~是无偏的和一致的。
在零假设H 0：E (ξit | X it ) = 0下二者都是一致的，但如果H 0不成立，二者具有不同的概率极限。
事实上，无论H 0是否成立，Within β~都是一致的，而GLS βˆ仅仅在H 0下是BLUE 的、一致和渐近有效的。
但是，如果H 0不成立，则GLSβˆ是非一致的。
因此，Hausman （1978）构造了一个较自然的检验统计量1~q =GLS βˆ-Within β~因为，在零假设H 0下，plim 1ˆq =0，cov(1ˆq ,GLSβˆ)=0，于是可得到类似于Wald 型检验的Hausman 检验统计量m 1 =111'1ˆ)]ˆ[var(ˆq q q− 其中，var(1ˆq ) = var(Within β~) - var(GLSβˆ) =2v σ(X ′QX )-1 - (X ′Ω-1X )-1 在零假设H 0下，m 1渐近服从2K χ分布，其中K 表示斜率向量β的维度。
显然，m 1拒绝零假设，即，选择固定效应模型较合理。
否则，应该选择随机效应模型。
FE 模型与RE 模型的Hausman 检验在EViews6中，EViews 的Hausman 检验过程：View/Fixed/Random Effects Testing/Correlated Random Effects- Hausman Test 检验结果：可以看到m 1=2.13，m 1不能拒绝零假设。
即，选择随机效应模型较合理。
第二节 双因素误差面板数据线性回归模型对于面板数据y i 和X i ，称it itit y αε′=++X β εit =ξi +λt +u it 1,,;1,,i N t T =="" （2.1）为双因素误差面板数据线性回归模型，其中，ξi 表示未观测到的个体效应，λt 表示未观测到的时间效应，u it 表示剩余的随机误差项。
显然，与单因素误差面板数据线性回归模型比较，双因素误差模型包含了面板数据中不可观测的同质时变因素。
以Grunfeld 数据为例，基于EViews6讨论双因素误差模型的估计及其检验。
12it it it it I F C αββε=+++ εit =ξi +λt +u it这里，I it 表示对第i 个企业在t 年的实际总投资，F it 表示企业的实际价值（即公开出售的股份），C it 表示资本存量的实际价值。
