初中绝对值知识

绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0.③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负 号，绝对值是5.【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|≥0如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =【绝对值的其它重要性质】（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。

【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。

初一数学绝对值知识点、考点及例题梳理绝对值是初一上册数学的重难点之一，很多同学绝对值的学习中都存在着一些问题，所有问题的根源大都是对绝对值的概念理解不透彻，没有建立起完整的知识体系，在此梳理下在绝对值学习中需要注意的一些要点。

在绝对值的学习中，首先需要去理解和掌握的就是绝对值的概念，什么是绝对值呢？在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离。

在概念的理解中需要注意，绝对值这个概念是从数轴引出的，它表示的是距离，绝对值本质上是数轴上两点之间的距离，哪两点之间的距离呢？表示某个数的点和原点。

那么由绝对值的定义，我们可以得到有关绝对值的那些性质呢？因为绝对值表示的是距离，从日常经验可知，距离最小为0，不可能为负数，所以就得出了绝对值最重要的一条性质：绝对值具有非负性。

从绝对值的定义出发，结合绝对值的非负性，可以得到绝对值的代数意义，也看成是绝对值性质的推广：正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值等于它的相反数。

以上三条需要牢记。

这是求绝对值和简化绝对值的方法基础。

除过绝对值的定义和性质之外，在绝对值的学习中还需要注意以下细节和要点：任何数都有绝对值，只有一个，而且是非负的。

但是有两个数的绝对值等于正数，而且是相反的。

很多同学容易漏掉其中的一个，比较容易出错。

在有关绝对值的运算，在解含有绝对值的方程中，经常需要运用到分类讨论思路。

绝对值的概念来源于数轴，代表数轴上两点之间的距离。

绝对值与数轴有着密切的关系，在绝对值相关题目的分析和求解中，一定要注意数形结合思想的应用。

特别是在绝对值的几何意义的理解和应用上，需要结合数轴来分析和解决。

绝对值等于它本身的数是正数和0，绝对值等于它的相反数的数是负数和0.1.解决问题的关键是理解绝对值的定义和性质，把握其非负性。

2、求一个数的绝对值，先判定这个数是正数、负数还是0，再根据绝对值的性质确定最终的结果。

3、利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

绝对值知识讲解-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII绝对值知识讲解一、知识框架图二、基础知识1、绝对值的概念（1）定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。

数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。

（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

（3）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。

离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。

（4）绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对于任意有理数a ，总有a ≥0.2、绝对值的求法 绝对值是一种运算，这个运算符号是“”。

求一个数的绝对值，就是想办法去掉这个绝对值符号，对于任意有理数a ，有：a （a ＞0）（1） 0（a=0）a （a ＜0）a （a ≥0）（2）a -（a ＜0） a （a ＞0）（3）a -（a ≤0）这就说，去掉绝对值符号不是随便就能完成的，要看绝对值里面的数是什么性质的数。

若绝对值里面的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身，此时绝对值“”符号就相当于“（ ）”的作用，如125--=）（125--=415=-。

由于这里2－1是正数，故去掉绝对值符号后12-=（2－1）；若绝对值里面的数是负数，那么这个负数的绝对值就是这个负数的相反数这时去掉绝对值时，就要把绝对值里面的数添上括号，再在括号前面加上负号“－”。

3、利用绝对值比较两个数的大小两个负数，绝对值大的反而小。

比较两个负数的大小，可按照下列步骤进行：（1）先求出两个负数的绝对值；（2）比较这两个绝对值的大小；（3）写出正确的判断结果。

三、例题讲解例1求下列各数的绝对值（1）21；（2）31-；（3）434-；（4）331 分析：运用绝对值的意义来求解。

解：（1）21=21；（2）31-=3131=--）（；（3）434434434=--=-）（；（4）3313=31 点评：解答本题首先要弄清楚绝对值的意义，准确列出代数式，再运用绝对值的意义求出结果，切不可写作31-=31-=31. 例2计算：（1）2.1--；（2））（3---；（3）023+---. 分析：本题关键是确定绝对值里面的数的性质，再按照绝对值的意义去掉绝对值负号。

1.3 绝对值学习目标1. 理解绝对值的概念及表示法。

2. 理解数的绝对值的几何意义。

知识详解1.绝对值的几何意义及表示方法（1）概念：在数轴上，一个数所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

（2）表示方法：数a的绝对值记作︱a︳。

注意：（1）绝对值最小的数是0.（2）互为相反数的两个数的绝对值相等。

（3）绝对值相等的两个数可能相等也可能互为相反数。

（4）绝对值等于一个正数的数有两个，且它们互为相反数。

2. 绝对值的代数定义一般地，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

互为相反数的两个数的绝对值相等。

绝对值的代数定义，用式子可以表示为：︱a︳=a(a＞0)或0（a=0）或-a（a＜0）。

求一个数的绝对值有两种方法：（1）根据几何定义画数轴，利用它到原点的距离来求；（2）判断已知数的正、负或0，根据代数定义来求。

【典型例题】例1：下列说法正确的是( )．A．|－5|表示－5的绝对值，等于－5B．负数的绝对值等于它本身C．－10距离原点10个单位长度，所以－10的绝对值是10D．绝对值等于它本身的数有两个，是0和1【答案】C【解析】例2①若|x|＝2 013，则x＝2 013；②2332-=+；③绝对值最小的有理数是1；④0没有绝对值；⑤一个有理数的绝对值一定是非负数．正确的个数为( )．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】绝对值是2 013的数是±2 013；2233-=，3322+=；绝对值最小的有理数是0；0的绝对值是0；正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，也是正数，0的绝对值是0.所以⑤正确．例3：|-2|的值等于（）A．2B．-2C．±2D【答案】A【解析】|-2|=2【误区警示】易错点1：绝对值的值1. -4的绝对值是（）A．4B．1 4C．-4D．±4【答案】A【解析】-4的绝对值是4易错点2：化简2.化简下列各数的符号：(1)－{－[＋(－10)]}；(2)－[－(＋5)]【答案】(1)－{－[＋(－10)]}＝－10；(2)－[－(＋5)]＝5.【解析】【综合提升】针对训练1.求下列各式的值：|＋2 013|，|－3.9|，－56-，－|＋18|2.求下列各数的绝对值：＋11，－3.4,0，3 2 -3.13-=（）A．3 B．-3C．1 3D．1 3 -1.【答案】|＋2 013|＝2 013，|－3.9|＝3.9，－56-＝－56，－|＋18|＝－18.【解析】2.【答案】|＋11|＝11，|－3.4|＝3.4，|0|＝0，33 22 -=【解析】可根据绝对值的意义，即根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”进行求解。

七年级上绝对值知识点在初中数学中，绝对值是一个重要的概念。

它可以表示数字与0之间的距离，解决绝对值不等式的问题，也可以用于解决一些简单的代数方程。

在七年级上学期，我们学习了一些基本的绝对值知识点，本文将对这些知识点进行详细介绍。

一、绝对值的定义绝对值指一个数与0的差距，表示为|a|，其中a可以是正数、负数或零。

如果一个数a大于或等于0，那么它的绝对值就等于它本身，即|a|=a。

如果一个数a小于0，那么它的绝对值就等于它的相反数取绝对值，即|a|=-a。

例如，|5|=5，|-8|=8，|0|=0。

二、绝对值的性质1. 非负性：一个数的绝对值不会小于0，即|a|≥0，其中a为任意实数。

2. 反对称性：如果a和b是两个实数，且|a|=|b|，那么a和b必须相等或互为相反数，即a=b或a=-b。

3. 三角不等式：对于任意的实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。

这个性质是非常重要的，在后续的学习中会用到。

三、绝对值的运算1. 加、减运算：对于任何实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|和|a-b|≥|a|-|b|。

这两个式子表示了绝对值的加减运算，也是初中数学中最常见的练习题。

例如，|3+5|≤|3|+|5|=8，|3-5|≥|3|-|5|=2，符合上述公式。

2. 乘法运算：对于任何实数a和b，有|ab|=|a||b|。

这个式子也非常重要，它可以用来证明不等式。

例如，证明|2x-1|≥3x-2的时候，可以对式子进行变形，得到2x-1≥3x-2或2x-1≤-(3x-2)，这样就可以用来证明不等式了。

四、绝对值不等式在初中数学中，最常见的是绝对值不等式的解法。

我们可以通过绝对值的性质和运算来解决不等式，需要根据题目的不同情况灵活运用这些知识点。

例如，对于|2x-1|≥3x-2这个不等式，可以分成两种情况讨论：当2x-1≥0时，有2x-1≥3x-2，解得x≤1；当2x-1<0时，有-(2x-1)≥3x-2，解得x≥1。

初一数学绝对值知识点与经典例题绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】数字a的绝对值是数字轴上代表数字a的点与原点a之间的距离的绝对值记作a.（距离具有非负性）[绝对值的代数意义]正数的绝对值就是它本身；负数的绝对值是它的对立面；0的绝对值是0.注：① 取绝对值也是一种操作。

运算符号是“|”，求一个数的绝对值是根据性质去掉绝对值符号.② 绝对值的本质：一个正数的绝对值就是它本身；负数的绝对值是它的相位反数；0的绝对值是0.③ 绝对值为非负，取绝对值的结果始终为正或0④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：?5符号是负绝对值是5【求字母a的绝对值】? a（a？0）？a（a？0）？a（a？0）？①A.0（a？0）②A.③A.?a(a?0)?a(a?0)????a(a?0)?利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|≥0如果几个非负数之和为0，那么这些非负数必须为0，例如：如果a？BC0，那么a？0，b？0，c？0【绝对值的其它重要性质】（1）任何数字的绝对值不小于该数字或该数字的相反数字，即a?a，且a??a；（2）如果是？b、然后是a？B还是a？？b、（3）ab？A.B222aa(b?0)；?bb（4）|a|?|a|?a；（5）||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|a的几何意义：在数字轴上，它表示从该数字的点到原点的距离a?b的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．[消除绝对值符号]基本步骤：在区域之间找到零点，确定正负，并消除符号。

[绝对值不等式]（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数输入要解决的问题；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：a）去掉绝对值符号，将其转化为一般不等式证明：元素交换法、讨论法和平方法；b）利用不等式：|a |-|b | Q | a+b | Q | a |+| b |，该方法用于对绝对值中的公式进行除法和组合、加减项，以及将要证明的公式与已知公式连接起来。

七年级数学知识点绝对值数学中，绝对值是一个非常基础且重要的知识点。

在七年级数学学习中，同学们应该比较系统的学习这一知识点，并且能够熟练地进行计算。

本文将介绍七年级数学中的绝对值知识点，以帮助同学们更好地掌握这一部分内容。

一、绝对值的概念绝对值是一个数到0的距离，通常用两条竖线|| 来表示。

例如，|3|表示数字3到0的距离，也就是3。

同理，|-3|也是3。

二、绝对值的性质1. |a| ≥ 0，即绝对值是非负数。

2. |-a| = |a|，即绝对值是对称的。

3. |a · b| = |a| · |b|，即两个数的乘积的绝对值等于这两个数的绝对值的乘积。

4. |a ± b| ≤ |a| + |b|，即两个数的和或差的绝对值小于等于这两个数的绝对值的和。

三、绝对值的运算1. 大于等于0的数的绝对值是它本身。

例如，|5| = 5；|0| = 0。

2. 小于0的数的绝对值是它自己的相反数。

例如，|-2| = 2；|-7| = 7。

3. 绝对值的运算法则：如果a≥0，则|a|=a；如果a＜0，则|a|=−a。

4. 如果两个数的绝对值相等，则它们本身也相等，即|a|=|b|，a=±b。

5. 绝对值可以用来表示一组数的距离。

例如，a和b是两个数，则它们的距离是|a-b|。

四、绝对值的应用绝对值在数学中的应用非常广泛，它不仅可以用于计算，还可以用于判断等式、不等式的真假，或者用于表示距离等。

在学习数学的过程中，同学们应该总结绝对值的应用，以便更好地将其应用于实际问题中。

综上所述，七年级数学中的绝对值知识点是数学学习中非常基础和重要的部分，同学们应该认真学习并熟练掌握，以便在以后的学习中更好地应用。

初中数学绝对值知识点总结
绝对值的实质含义表示的是一段距离，谁与谁的距离呢？可以借助数轴来表示，求一个数的绝对值就是求这个数到原点的距离。

在数轴上，最短的距离是0，其他距离都是正的，所以绝对值就有了一个性质，叫作非负性，用字母表示就是丨a丨≥0。

求一个数的绝对值，通常要看这个数的正负性，如果是正数，那么这个数的绝对值就是它本身，如果是负数，那么这个数的绝对值就是它的相反数，例如-3到原点有3个单位长，所以-3的绝对值应该等于3,0的绝对值是0，因为0到0的距离就是0。

因此，只要数学的学习不仅仅是刷题练习，需要先把定义理解透彻，在此基础上再来进行练习，就会事半功倍，而且掌握的非常牢固了。

既然2和-2都到原点有两个单位长，那么它们两个的绝对值就是相等的，所以就有了这个结论:互为相反数的两个数绝对值相等。

但这句话反过来说是否同样成立呢？如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定互为相反数吗？答案是否定的，还有另一种情况这两个数也有可能相等。

因此,若丨a丨=丨b丨
a和b就有两种情况，相等，或互为相反数。

含绝对值的还有几种常考题型，例如几个非负数相加等于0，那么每个非负数都等于0，原数和它绝对值的商通常为±1，在笔记中，大家可以看一下，以及含绝对值符号的式子化简，同样也是重中之重，贯穿整个初中，化简经常遇到，要好好学习掌握住它！
绝对值的定义，性质，应用。

初中数学绝对值知识点一、绝对值的定义。

1. 几何定义。

- 在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。

例如，在数轴上表示5的点到原点的距离是5，所以|5| = 5；表示-3的点到原点的距离是3，所以| - 3|=3。

2. 代数定义。

- 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即当a>0时，| a|=a；当a = 0时，| a|=0；当a<0时，| a|=-a。

例如，|7| = 7，| -2|=-(-2)=2。

二、绝对值的性质。

1. 非负性。

- 任何数的绝对值都是非负数，即| a|≥slant0。

例如，| - 5| = 5≥slant0，|0| = 0。

2. 互为相反数的两个数绝对值相等。

- 若a与b互为相反数，即a=-b，那么| a|=| b|。

例如，3与-3互为相反数，|3|=| - 3| = 3。

3. 绝对值相等的两个数可能相等或互为相反数。

- 若| a|=| b|，则a = b或a=-b。

例如，若| x| = 5，则x = 5或x=-5。

三、绝对值的运算。

1. 简单的绝对值计算。

- 根据绝对值的定义进行计算。

例如：- 计算| - 8|，因为-8<0，根据代数定义| - 8|=-(-8)=8。

- 计算|3 - π|，因为π≈3.14>3，即3-π<0，所以|3 - π|=π - 3。

2. 含有绝对值的方程。

- 例如| x| = 2，根据绝对值的性质可知x = 2或x=-2。

- 对于方程|2x - 1| = 3，则2x - 1 = 3或2x - 1=-3。

- 当2x - 1 = 3时，2x=4，解得x = 2。

- 当2x - 1=-3时，2x=-2，解得x=-1。

3. 含有绝对值的不等式。

- 对于不等式| x|<3，根据绝对值的几何定义，它表示在数轴上到原点的距离小于3的点对应的数，所以-3 < x < 3。

七年级绝对值知识点在数学中，绝对值是一个十分重要的概念，尤其在初中阶段，更是需要学好。

本文将着重介绍七年级绝对值知识点，包括绝对值的概念、运算规则以及在不等式中的应用。

一、绝对值的概念绝对值是一个数离原点的距离，记作 |a|。

例如，|2| = 2，|-3| = 3。

绝对值是一个非负数，即使a是负数，|a|也是正数。

当a为0时，|a| = 0。

二、绝对值的运算规则1. 绝对值的基本性质：|a| ≥ 0，|a| = 0的充分必要条件是a = 0。

2. 绝对值的四则运算：（1）|a+b| ≤ |a|+|b|（2）|a-b| ≥ |a|-|b|（3）|a·b| = |a|·|b|（4）|a/b| = |a|/|b|（如果b≠0）3. 绝对值的负数性质：|-a|=|a|。

三、绝对值在不等式中的应用1. 绝对值定义了一个数的范围，可以用来解决一些不等式问题。

例如，|x-2| > 3的解为x < -1或x > 5。

2. 利用绝对值的运算规则可以简化不等式的形式。

例如，|2x+3| > 5的解为x < -2或x > 1。

3. 利用绝对值的运算规则可以使不等式具有更好的可操作性。

例如，|x-1|+|x-2| < 2的解为1 < x < 2。

四、绝对值知识点小结本文介绍了七年级绝对值知识点，包括绝对值的概念、运算规则以及在不等式中的应用。

绝对值是一个非常重要的概念，需要在数学学习中重视起来。

掌握好绝对值的基本知识和运算规则，可以使我们更好地理解数学中的其他概念和知识，也可以为后续的数学学习打下坚实的基础。

七年级上册数学绝对值知识点总结绝对值是七年级数学中的一个基本概念，它在很多数学运算和实际应用中都有重要意义。

绝对值的引入可以帮助学生理解数轴、数与数之间的距离以及负数与正数的关系。

掌握绝对值的概念和性质是进一步学习代数、几何等数学领域的基础。

一、绝对值的定义1.绝对值的概念：绝对值表示一个数与零之间的距离。

每个实数都有一个绝对值，绝对值总是非负的。

2.数学表示：对于任何实数x，绝对值的表示为|x|。

如果x≥0，则|x|=x；如果x<0，则|x|=-x。

二、绝对值的几何意义1.数轴上的表示：在数轴上，任意一点与原点之间的距离就体现了该点的绝对值。

2.距离的计算：绝对值不仅可以用于表示数与零的距离，还可以表示两个数之间的距离。

对于任意两个实数a和b，a与b之间的距离可以表示为|a - b|。

三、绝对值的基本性质1.非负性：对于任何实数x，|x|≥0，表示绝对值永远是非负数。

2.自反性：|x|=0当且仅当x=0。

3.现实性：|x|的值与x的符号无关，只与数的大小有关。

4.乘法性质：|a * b| = |a| * |b|。

5.加法性质：|a + b| ≤ |a| + |b|（三角不等式）。

四、绝对值的运算1.加法运算：对于两个绝对值相加，一定要注意计算哪部分是负数，需要根据具体的数值来判断。

2.减法运算：|a - b|并不等于|a| - |b|，需要根据数的大小关系进行判断。

3.乘法和除法：两数的绝对值相乘或相除时，绝对值的乘法和除法性质仍然成立。

五、绝对值方程1.绝对值方程的定义：包含绝对值的方程，例如|x|=a，其中a为非负数。

2.求解绝对值方程的方法：根据定义，分情况讨论。

例如|x|=3可以分为x=3和x=-3两种情况。

3.抽象方程的解决：复杂的绝对值方程需要通过建立方程或不等式进行逐步求解。

六、绝对值不等式1.绝对值不等式的形式：一般形式为|x|<a、|x|>a。

2. |x|<a：对于这种不等式，解集为-x<a<x。

初一数学绝对值知识点与经典例题绝对值的性质及化简绝对值有几何意义和代数意义。

在数轴上，一个数a的绝对值就是表示数a的点与原点的距离，记作|a|。

而在代数意义上，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.绝对值的运算符号是“| |”，取绝对值就是去掉绝对值符号。

绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.任何一个有理数都是由符号和绝对值组成，如-5符号是负号，绝对值是5.我们可以通过比较两个负有理数的绝对值的大小来利用绝对值。

两个负数，绝对值大的反而小。

绝对值非负性是|a|≥0.如果若干个非负数的和为0，则这若干个非负数都必为0，如a+b+c=0，则a=b=c=0.除此之外，绝对值还有其他重要性质。

任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a≥|a|，且|a|≥|-a|。

若a=b，则a=±b。

ab=|a|·|b|，a²=|a|²。

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

要去掉绝对值符号，我们需要找零点，分区间，定正负，去符号。

解绝对值不等式必须化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解。

证明绝对值不等式主要有两种方法：一是去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明，包括换元法、讨论法、平方法；二是利用不等式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项，使要证的式子与已知的式子联系起来。

在考试中，我们需要掌握绝对值的必考题型。

例如，已知|x-2|+|y-3|=k，求x+y的值。

由绝对值的非负性可知x-2=±k，y-3=±k。

当x-2=k，y-3=k时，x+y=2k+6；当x-2=-k，y-3=-k 时，x+y=4.因此，x+y的值为2k+6或4.我们还需要掌握相反数等于它本身、倒数等于它本身的是±1，绝对值等于它本身的是非负数等知识点。

绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0.③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负 号，绝对值是5.【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|≥0如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =【绝对值的其它重要性质】（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。

【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。

绝对值知识点及练习1、定义：1几何定义：一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作｜a｜,读作“绝对值a”;2代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.实数a的绝对值是：|a|①a为正数时,|a|=a不变②a为0时, |a|=0③a为负数时,|a|= -a为a的绝对值任何数的绝对值都大于或等于0,因为距离没有负的;2、实数的绝对值具有以下性质：1|a|大于等于0实数的绝对值是非负实数;2|-a|=|a|互为相反数的两实数绝对值相等;3-|a|小于等于a小于等于|a|;4|a|>b可以推出a<-b或a>b,a<-b或a>b可以推出|a|>b;5|a·b|=|a|·|b|;6|a|/|b|=|a/b|b≠0;7|a+b|小于等于|a|+|b|,当且仅当a、b同号时,等式成立;8|a-b|大于等于||a|-|b||,当且仅当a、b同号时,等式成立;9a属于R时,|a|的平方等于|a|的平方;特别提醒：1绝对值具有非负性,即|a|≥0；2绝对值相等的两个数,它们相等或互为相反数；30是绝对值最小的有理数;3、利用绝对值比较大小1利用绝对值比较两个负数的大小两个负数比较大小,绝对值大的反而小．比较的具体步骤：①先求两个负数的绝对值；②比较绝对值的大小；③根据“两个负数,绝对值大的反而小”作出判断．2几个有理数的大小比较①同号两数,可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数,绝对值大的数较大；b.两个负数,绝对值大的反而小．②多个有理数的大小比较,需要先将它们按照正数、0、负数分类比较,然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较．4、利用绝对值解决实际问题绝对值的产生来源于实际问题的需要,反过来又可以运用它解决一些实际问题,主要有以下两类：1判断物体或产品质量的好坏可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度,绝对值越小,越接近标准,质量就越好．方法：①求每个数的绝对值；②比较所求绝对值的大小；③根据“绝对值越小,越接近标准”作出判断．2利用绝对值求距离路程问题中,当出现用“＋”、“－”号表示的带方向的路程,求最后的总路程时,实际上就是求绝对值的和．方法：①求每个数的绝对值；②求所有数的绝对值的和；③写出答案．5、去绝对值符号的几种常用方法：1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义,即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩,有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c c >0来解,如|ax b +|>c c >0可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ,再由此求出原不等式的解集;对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解,也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解,这是种典型的转化与化归的数学思想方法;3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式,利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解,这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷,解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数,需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数式时,才可以直接用两边平方去掉绝对值,尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点;4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法,是指：若数1x ,2x ,……,n x 分别使含有|x －1x |,|x －2x |,……,|x －n x |的代数式中相应绝对值为零,称1x ,2x ,……,n x 为相应绝对值的零点,零点1x ,2x ,……,n x 将数轴分为m +1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集;零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化; 5利用数形结合去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝对值的几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解;数形结合法较为形象、直观,可以使复杂问题简单化,此解法适用于||||x a x b m -+->或||||x a x b m -+-<m 为正常数类型不等式;对+++>或<m,当|a|≠|c|时一般不用;ax b cx d m||||1、对于形如︱a︱的一类问题只要根据绝对值的3个性质,判断出a的3种情况,便能快速去掉绝对值符号;当a>0时,︱a︱=a 性质1,正数的绝对值是它本身；当a=0 时︱a︱=0 性质2,0的绝对值是0 ；当a<0 时；︱a︱=–a 性质3,负数的绝对值是它的相反数;2、对于形如︱a+b︱的一类问题我们只要把a+b看作是一个整体,判断出a+b的3种情况,根据绝对值的3个性质,便能快速去掉绝对值符号,正确进行化简;当a+b>0时,︱a+b︱=a +b性质1,正数的绝对值是它本身；当a+b=0 时,︱a+b︱=0 性质2,0的绝对值是0 ；当a+b<0 时,︱a+b︱=–a+b=–a-b 性质3,负数的绝对值是它的相反数3、对于形如︱a-b︱的一类问题同样,按上面的方法,我们仍然把a-b看作一个整体,判断出a-b 的3种情况,根据绝对值的3个性质,去掉绝对值符号;但在去括号时最容易出现错误;如何快速去掉绝对值符号,条件非常简单,只要你能判断出a与b的大小即可;因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小,所以当a>b时,︱a-b︱=a-b,︱b-a︱=a-b.请记住口诀：无论是大减小,还是小减大,去掉绝对值,都是大减小;4、对于数轴型的一类问题,根据3的口诀来化简,更快捷有效;如︱a-b︱的一类问题,只要判断出a在b的右边,便可得到︱a-b︱=a-b,︱b-a︱=a-b;5、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗,还是把绝对值号里的式子看成一个整体,把它与0比较,大于0直接去绝对值号,小于0的整体前面加负号;练习一、选择1、绝对值为4的有理数是A. ±4 B. 4 C. -4 D. 22、两个数的绝对值相等,那么A.这两个数一定是互为相反数；B.这两个数一定相等；C.这两个数一定是互为相反数或相等；D.这两个数没有一定的关系3、绝对值小于4的整数有个个个个4、绝对值与相反数都是它的本身个个个 D.不存在5、若m为有理数,且那么m是 A.非整数 B.非负数 C.负数 D.不为零的数6、下列说法中,错误的是A、一个数的绝对值一定是正数B、互为相反数的两个数的绝对值相等C、绝对值最小的数是0D、绝对值等于它本身的数是非负数7、下列结论中,正确的有①符号相反且绝对值相等的数互为相反数；②一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上离原点越远；③两个负数,绝对值大的它本身反而小；④正数大于一切负数；⑤在数轴上,右边的数总大于左边的数.A、2个B、3个C、4个D、5个8、一个数的绝对值是它本身,那么这个数是A正数 B正数或零 C零 D有理数9、如果一个数的绝对值是,那么这个数是A B－ C或－ D以上都不对10、任何有理数的绝对值都是A正数 B负数 C有理数 D正数或零11、在－－8,|－1|,－|0|,－0 .0001这四个有理数中,负数共有A4个 B3个 C2个 D1个12、在数轴上和表示－3的点的距离等于5的点所表示的数是A－8 B2 C－8和2 D113、9与－1 3的绝对值的和是A22 B－4 C4 D－2214、数－|－3 |的相反数是A－3 B C3 D315、设a是最小的正整数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,则a + b + c 等于 A －1 B 0 C 1 D 2二、填空1正数的绝对值是____,负数的绝对值是_____,零的绝对值是_____,绝对值等于1 的有理数是____________．2从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数离开原点的_______．349是___ ___的相反数,它是______的绝对值．4|－5|的相反数是________．5如果一个数的绝对值等于那么这个数是___________．6绝对值小于的所有整数是________．7-3的绝对值是_______,绝对值是3的数是________.8一个数a在数轴上的对应点在原点的左侧,且,则︱a︱=__________.9绝对值最小的数是_____；最大的负整数是_____．10绝对值小于3的所有自然数是____．11一个有理数的相反数小于原数,这个数是____．12已知︱x︱－︱y︱=2,且y =－4,则x = ____;13已知︱x︱=2 ,︱y︱=3,则x +y = ____;14已知︱x +1 ︱与︱y －2︱互为相反数,则︱x ︱+︱y︱= ____;15式子︱x +1 ︱的最小值是,这时,x值为____;三、拓展提高：1．如果a , b互为相反数,c, d 互为倒数,m 的绝对值为2,求式子a+b+ m－cd 的值;2、．某司机在东西路上开车接送乘客,他早晨从A地出发,去向东的方向正方向,到晚上送走最后一位客人为止,他一天行驶的的里程记录如下单位：㎞+10 ,— 5, —15 ,+ 30 ,—20 ,—16 ,+ 141 若该车每百公里耗油3 L ,则这车今天共耗油多少升2 据记录的情况,你能否知道该车送完最后一个乘客是,他在A地的什么方向距A地多远。

绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|≥0如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =【绝对值的其它重要性质】（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。

【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A ）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B ）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。

绝对值知识讲解及经典例题(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第三讲绝对值【答案】D．【例2】若|a＋1|＝3，则a－3的值为（）．A．－1 B．－7 C．－7或－1 D．2或－4【解析】（方法1）因为|a＋1|＝3，由绝对值的几何意义可得，数轴上表示数(a＋1)的点与原点的距离是3．故a＋1＝±3．所以a＝3－1＝2或a＝－3－1＝－4．所以a－3＝2－3＝－1或－4－3＝－7．故选C．（方法2）由|a＋1|＝3，得|a－3＋4|＝3．所以a－3＋4＝±3．将a－3看作一个整体，得a－3＝－3＋4＝－1或a－3＝－3－4=－7．故选C．【答案】C．【例3】若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，则a＋b＝________．【解析】由|a|＝2，a＞0可得a＝2．由|b|＝6，b＜0可得b＝－6．所以a＋b＝2＋（－6）＝－4．【答案】－4．知识点2 有理数比较大小（1）利用有理数的性质比较大小①法则：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.②比较两个负数大小的步骤：a.分别求出这两个负数的绝对值；b.比较这两个绝对值的大小；c.根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断．（2）利用数轴比较大小数轴上不同的两个点表示的数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小．【注意】比较两个数大小时，在比较两个数的绝对值的大小后，不要忘记比较问题中原数的大小．【例5】在，0，－2，，2这五个数中，最小的数为（）．A．0 B． C．－2 D．【解析】（方法一）正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．由此可得－2最小．（方法二）把这几个数在数轴上表示出来，然后根据最左边的点所对应的数最小得出结论．【答案】C．【例6】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：2，－0.5，0，1.5，－2.5．【解析】先把数2，－0.5，0，1.5，－2.5分别在数轴上表示出来，然后根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数得出结论．【答案】由数轴可得，－2.5＜－0.5＜0＜1.5＜2 ．【例7】已知a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，则a，－a，b，－b的大小关系是_______（用“＜”号连接）．【解析】由a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，可以得到a＞b＞0．由此再得到－a ＜－b ＜0，所以a ，－a ，b ，－b 的大小关系是－a ＜－b ＜b ＜a ．【答案】－a ＜－b ＜b ＜a ．1.互为相反数的两个数的绝对值_____.2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b ＜0且a =|b |，则a 与b 的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a |＞a ，那么a 是_____.9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－32，51 ，|－21|，0，|－5.1| 11.如果－|a |=|a |，那么a =_____.12.已知|a |+|b |+|c |=0，则a =_____，b =_____，c =_____.13.比较大小（填写“＞”或“＜”号）（1）－53_____|－21|（2）|－51|_____0（3）|－56|_____|－34| 14.计算（1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－21|×5.2=_____ （3）|－21|－21=_____ （4）－3－|－5.3|=_____ 15.任何一个有理数的绝对值一定（ ）A.大于0B.小于0C.不大于0D.不小于016.若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b一定是（）A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（）A.若|x|=|y|，则x=－yB.若x=－y，则|x|=|y|C.若|a|＜|b|，则a＜bD.若a＜b，则|a|＜|b|19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么最高分高出最低分多少1．在数轴上看，零一切负数，零一切正数；两个数，右边的数左边的数，原点左侧的点所代表的数越向左越，即离原点越远，表示的数越，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而。

绝对值知识讲解一、知识框架图二、基础知识1、绝对值的概念（1）定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。

数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。

（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

（3）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。

离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。

（4）绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对于任意有理数a ，总有a ≥0.2、绝对值的求法 绝对值是一种运算，这个运算符号是“”。

求一个数的绝对值，就是想办法去掉这个绝对值符号，对于任意有理数a ，有：a （a ＞0）（1） 0（a=0）a -（a ＜0）a （a ≥0）（2）a -（a ＜0）a （a ＞0）（3）a -（a ≤0）这就说，去掉绝对值符号不是随便就能完成的，要看绝对值里面的数是什么性质的数。

若绝对值里面的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身，此时绝对值“”符号就相当于“（ ）”的作用，如125--=）（125--=415=-。

由于这里2－1是正数，故去掉绝对值符号后12-=（2－1）；若绝对值里面的数是负数，那么这个负数的绝对值就是这个负数的相反数这时去掉绝对值时，就要把绝对值里面的数添上括号，再在括号前面加上负号“－”。

3、利用绝对值比较两个数的大小两个负数，绝对值大的反而小。

比较两个负数的大小，可按照下列步骤进行：绝对值 绝对值的概念 绝对值的求法 比较两个数的大小（1）先求出两个负数的绝对值；（2）比较这两个绝对值的大小；（3）写出正确的判断结果。

三、例题讲解例1求下列各数的绝对值（1）21；（2）31-；（3）434-；（4）331 分析：运用绝对值的意义来求解。

解：（1）21=21；（2）31-=3131=--）（； （3）434434434=--=-）（；（4）3313=31 点评：解答本题首先要弄清楚绝对值的意义，准确列出代数式，再运用绝对值的意义求出结果，切不可写作31-=31-=31. 例2计算：（1）2.1--；（2））（3---；（3）023+---. 分析：本题关键是确定绝对值里面的数的性质，再按照绝对值的意义去掉绝对值负号。