湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三数学上学期期中试题 理

2015-2016学年湖北省武汉市华师大一附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（∁B）∩A=（）UA．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3） D．（0，3）2．（5分）已知复数z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，若为纯虚数，则|z1|=（）A．B．C．2 D．3．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题4．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则“x＞0”是“与夹角为锐角”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）在△ABC中，已知A=30°，a=8，b=，则△ABC的面积为（）A．B．16 C．或16 D．或6．（5分）已知（a＞2），（x∈R），则p，q的大小关系为（）A．p≥q B．p＞q C．p＜q D．p≤q7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ω）的图象如图所示，为了得到g（x）=Asinωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度8．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（3x+1）＜4的解集为（）A．B．C．D．9．（5分）设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC中点，则的值为（）A．B．C．1 D．210．（5分）数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1，则使不等式成立的n的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．511．（5分）已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞4 C．m＞6 D．m＞812．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（）A．[1，2） B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡内相应题号对应的横线上.13．（5分）已知tanα=﹣2，则（sinα﹣cosα）2=．14．（5分）f′（x）为定义在R上的函数f（x）的导函数，而y=3f'（x）的图象如图所示，则y=f（x）的单调递增区间是．15．（5分）若数列{a n}满足，则a4=，a n=．16．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（3x﹣1）成立的x的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）=（cos2x﹣sin2x）+2sinxcosx（1）求f（x）的最小正周期；（2）设x∈[﹣，]，求f（x）的值域和单调递减区间．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S n=kn（n+1）﹣n（k∈R），公差d为2．（1）求a n与k；（2）若数列{b n}满足b1=2，b n﹣b n﹣1=n•2（n≥2），求b n．19．（12分）已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c=2，向量=（c，b），=（cosC，sinB），且∥．（1）求角C的大小；（2）若sin（A+B），sin2A，sin（B﹣A）成等差数列，求边a的大小．20．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx，a，b∈R．（1）若a＜0且b=2﹣a，试讨论f（x）的单调性；（2）若b=﹣8，总存在x∈（0，]使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，S n=n2a n﹣n（n﹣1），n=1，2，…（1）证明：数列{S n}是等差数列，并求S n；（2）设b n=，求证：b1+b2+…+b n＜．22．（12分）已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+﹣bx．（1）求实数a的值；（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，记t=，若b≥，①t的取值范围；②求g（x1）﹣g（x2）的最小值．2015-2016学年湖北省武汉市华师大一附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（∁B）∩A=（）UA．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3） D．（0，3）【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=（0，4]，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∴C U B=（﹣1，3），∴（C U B）∩A=（0，3），故选：D．2．（5分）已知复数z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，若为纯虚数，则|z1|=（）A．B．C．2 D．【解答】解：∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，则，解得a=1，则z1=2+i，∴|z1|=．故选：D．3．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题【解答】解：由于x=10时，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．故选：C．4．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则“x＞0”是“与夹角为锐角”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若与夹角为锐角，则•=（x﹣1，2）•（2，1）=2x＞0，解得x＞0成立，若与同向共线时，满足，解得x=5，满足x＞0，但此时夹角为0°，不是锐角，故“x＞0”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选：A．5．（5分）在△ABC中，已知A=30°，a=8，b=，则△ABC的面积为（）A．B．16 C．或16 D．或【解答】解：∵在△ABC中，已知A=30°，a=8，b=，由余弦定理cosA=得：cos30°==解得：c=16或c=8=•bc•sinA又∵S△ABC=32，或S△ABC=16∴S△ABC故选：D．6．（5分）已知（a＞2），（x∈R），则p，q的大小关系为（）A．p≥q B．p＞q C．p＜q D．p≤q【解答】解：≥2+2=4，当且仅当a=3时，取得等号；而由于x2﹣2≥﹣2，故≤，当且仅当x=0时，取得等号，故p ≥q．故选：A．7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ω）的图象如图所示，为了得到g（x）=Asinωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象：A=1T=4（﹣）=π所以：ω=2当x=时，f（）=sin（2×+φ）=0，由于|φ|＜，解得：φ=，∴f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∴要得到g（x）=sin2x的图象，则需将f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（3x+1）＜4的解集为（）A．B．C．D．【解答】Q解：画出函数f（x）的图象，设3x+1=t，不等式f（3x+1）＜4．则f（t）＜4，由图象可知，或，解得﹣14＜t＜2，2≤t＜8，∴﹣14＜3x+1＜8，解得﹣5＜x＜，故选：C．9．（5分）设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC中点，则的值为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：如图所示，∵D是AC之中点，延长MD至E，使得DE=MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴==（+）；又∵++=，∴=﹣（+）=﹣3；∴==．故选：A．10．（5分）数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1，则使不等式成立的n的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵a n=2n﹣1，∴a n2=4n﹣1，∴a12+a22+…+a n2==（4n﹣1），∵a12+a22+…+a n2＜5×2n+1，∴（4n﹣1）＜5×2n+1，∴2n（2n﹣30）＜1，解得n的最大值为4．故选：C．11．（5分）已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞4 C．m＞6 D．m＞8【解答】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）∵函数的定义域为[0，2]∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②由①②得到m＞6为所求．故选：C．12．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（）A．[1，2） B． C． D．【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x所以f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]．由题意得f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）所以可得k的范围为故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡内相应题号对应的横线上.13．（5分）已知tanα=﹣2，则（sinα﹣cosα）2=．【解答】解：∵tanα=﹣2，∴2cosαsinα===﹣∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2cosαsinα=．故答案为：．14．（5分）f′（x）为定义在R上的函数f（x）的导函数，而y=3f'（x）的图象如图所示，则y=f（x）的单调递增区间是（﹣∞，3] ．【解答】解：由题意如图f'（x）≥0的区间是（﹣∞，3），故函数y=f（x）的增区间（﹣∞，3），故答案为：（﹣∞，3]．15．（5分）若数列{a n}满足，则a4=，a n=．【解答】解：数列{a n}满足，当n=1时，a1=1+3+2=6；当n＞1时，a1•a2•a3…a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1）+2=n2+n﹣2；所以a n==；所以a4==，a n=．故答案为：，．16．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（3x﹣1）成立的x的取值范围是（，）．【解答】解：f（x）=ln（1+|x|）﹣，定义域为R，∵f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）=ln（1+x）﹣值函数单调递增，根据偶函数性质可知：得f（x）＞f（3x﹣1）成立，∴|x|＞|3x﹣1|，∴x2＞（3x﹣1）2，∴x的范围为（，），故答案为（，）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）=（cos2x﹣sin2x）+2sinxcosx（1）求f（x）的最小正周期；（2）设x∈[﹣，]，求f（x）的值域和单调递减区间．【解答】解：f（x）=（cos2x﹣sin2x）+2sinxcosx==．（1）函数f（x）的最小正周期T=；（2）由x∈[﹣，]，得2x+∈[﹣，π]，∴f（x）∈[﹣，2]．由，解得，k∈Z．∴f（x）的单调递减区间为[]．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S n=kn（n+1）﹣n（k∈R），公差d为2．（1）求a n与k；（2）若数列{b n}满足b1=2，b n﹣b n﹣1=n•2（n≥2），求b n．【解答】解：（Ⅰ）由题意得a1=s1=2k﹣1，a2=s2﹣s1=4k﹣1，由a2﹣a1=2得k=1，则a1=1，a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．（Ⅱ）b n==+==+…+由（Ⅰ）知，且b1=2，所以+…+（n﹣1）×22n﹣3+n×22n﹣14b n=1×23+2×25+3×27+…+（n﹣1）×22n﹣1+n×22n+1，上述两式相减得﹣3b n=21+23+25+…+22n﹣1﹣n×22n+1=∴b n=+n⋅4n=．显然n=1时，上式也成立．综上所述，b n=．19．（12分）已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c=2，向量=（c，b），=（cosC，sinB），且∥．（1）求角C的大小；（2）若sin（A+B），sin2A，sin（B﹣A）成等差数列，求边a的大小．【解答】解：（1）∵∥，∴=0，由正弦定理可得：﹣sinCsinB=0，∵sinB≠0，∴，C∈（0，π），∴．（2）∵sin（A+B），sin2A，sin（B﹣A）成等差数列，∴2sin2A=sin（A+B）+sin（B﹣A），化为4sinAcosA=2sinBcosA，∴cosA=0或2sinA=sinB，即2a=b．当cosA=0时，A∈（0，π），∴，∴a===．当2a=b时．由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，化为，解得a=．20．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx，a，b∈R．（1）若a＜0且b=2﹣a，试讨论f（x）的单调性；（2）若b=﹣8，总存在x∈（0，]使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=2ax+（2﹣a）﹣==（x ∈（0，+∞）），令f′（x）=0，解得x=﹣或x=，①当﹣＜，即a＜﹣2时，令f′（x）＞0，解得﹣＜x＜，故f（x）的增区间为（﹣，），减区间为（0，﹣），（，+∞）；②当﹣=，即a=﹣2时，则f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；③当﹣＞，即a＞﹣2时，令f′（x）＞0，解得：＜x＜﹣，故f（x）的增区间为（，﹣），减区间为（0，），（﹣，+∞）；（2）若b=﹣8，则f（x）=ax2﹣8x﹣lnx，（x＞0），若在区间（0，]上存在一点x，使得f（x）＜0成立，令f（x）＜0⇒a＜对∀x∈（0，]恒成立，设g（x）=，x∈（0，]，g′（x）=，令y=1﹣2lnx﹣8x，y′=﹣﹣8＜0，∴y在（0，]单调递减，∴y==＞0，∴g′（x）＞0，故g（x）在（0，]单调递增，故g（x）max=g（）=8e﹣e2，由于存在x∈（0，]使得f（x）＜0成立，∴a∈（﹣∞，8e﹣e2）．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，S n=n2a n﹣n（n﹣1），n=1，2，…（1）证明：数列{S n}是等差数列，并求S n；（2）设b n=，求证：b1+b2+…+b n＜．【解答】（1）证明：∵数列{a n}的前n项和为S n，a1=，S n=n2a n﹣n（n﹣1），∴n≥2时，有a n=S n﹣S n﹣1，∴S n=n2（S n﹣S n﹣1）﹣n（n﹣1），∴（n2﹣1）S n=n2S n﹣1+n（n﹣1），∴=+1，∴=+1，又==1，∴数列{S n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，∴S n=n×=．（2）b n====，∴b1+b2+…+b n=（）===．∴b1+b2+…+b n＜．22．（12分）已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+﹣bx．（1）求实数a的值；（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，记t=，若b≥，①t的取值范围；②求g（x1）﹣g（x2）的最小值．【解答】解：（1）由题意，f′（x）=1+，∵在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，∴f′（1）=1+a=2，∴a=1；（2）g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，g′（x）=，令g′（x）=0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1，∴=t+2+=（b﹣1）2≥，∵x1＜x2，∴0＜t＜1，∴0＜t≤；②g（x1）﹣g（x2）=lnt﹣（t﹣），设h（t）=lnt﹣（t﹣），t∈（0，]，∴h′（t）=﹣＜0，∴h（t）在定义域内单调递减，∴h（t）min=h（）=﹣2ln3，∴g（x1）﹣g（x2）的最小值为﹣2ln3．。

华中师大一附中2014——2015学年度上学期期中检测高三数学（理）试题参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11． 540- 12． 137OM a b =+u u u u r r r13． 314．(3[3--++U 15． 2 16．三、解答题：(本大题共6小题，共75分) 17．（本小题满分12分）解： (Ⅰ)由题意得0)sin sin (sin )sin (sin 222=-+-=⋅B A B C A n m ，即B A B A C sin sin sin sin sin 222-+=，由正弦定理得ab b ac -+=222，再由余弦定理得212cos 222=-+=ab c b a C ，3,0ππ=∴<<C C Θ.……………6分(Ⅱ))cos ,(cos )12cos 2,(cos 2B A B A =-=+Θ ， ∴222222cos cos cos cos ()3s t A B A A π+=+=+-r r41cos(2)1cos 2113cos 221sin(2)122426A A A A A ππ+-+=+=+=--+ 67626,320ππππ<-<-∴<<A A Θ1sin(2)126A π∴-<-≤， 所以21524s t ≤+<r r ，故22s t ≤+<r r .……………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由341b b q =，得354272q ==， 从而3q =，因此123n n b -=⋅，又123223361824a a a a b b ++==+=+=， 28a ∴=， 216d a a =-=，故64n a n =- ………………………6分（Ⅱ）14(32)3n n n n c a b n -==⋅-⋅令01221134373(35)3(32)3n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯…则12313134373(35)3(32)3nn n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯………………9分两式相减得1217(67)321333333(32)322nnn n n T n ---=+⨯+⨯++⨯--⨯=--… 73(67)44n n n T -∴=+，故nn n S 4T 7(6n 7)3==+-⋅ ………………………12分解：（I ）当13t =时，//PA 平面MQB 证明：连AC 交BQ 于N ，连MN ．由//AQ BC 可得，ANQ BNC ∆∆∽， 12AQ AN BC NC ∴==，所以13AN AC =．若13t =，即13PM AN PC AC==，//PA MN ∴，由MN ⊂平面PAC ，故//PA 平面MQB ．……………………6分 （II ）由2PA PD AD ===，Q 为AD 的中点，则PQ AD ⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，连BD ，∵四边形ABCD 为菱形，AD AB ∴=， 由60BAD ∠=︒得ABD ∆为正三角形，又Q 为AD 的中点，BQ AD ∴⊥，以Q 为坐标原点，分别以,,QA QB QP 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为(1,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,0)Q ，(0,0,3)P设平面MQB 的法向量为()z y x n ,,=，可得00,//,00n QB n QB PA MN n MN n PA ⎧⎧⋅=⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩r u u u r r u u u r Q r u u u u r r u u u r ， ⎪⎩⎪⎨⎧=-=0303z x y 令z=1，解得(3,0,1)n =r ，取平面ABCD 的法向量()3,0,0=QP ， 设所求二面角为θ，而θ为锐角，则||1cos 2||||QP n QP n θ⋅==u u u r ru u ur r , 故二面角M BQ C --的大小为60°．…………12分20．（本小题满分12分） 解：（I ）系统抽样 ……………………2分 （II ）众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于97.5，设图中虚线所对应的车速为x ,则中位数的估计值为0.0150.0250.0450.06(95)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=,解得97.5x =即中位数的估计值为97.5 ……………………6分 （Ⅲ）从图中可知,车速在[80,85)的车辆数为10.015402m =⨯⨯=(辆), 车速在[85,90)的车辆数为20.025404m =⨯⨯=(辆)，∴0,1,2ξ=,2024261(0)15C C P C ξ===,1124268(1)15C C P C ξ===,0224266(2)15C C P C ξ===, ξ的分布列为ξ 0 1 2P115 815 615均值8()01215153E ξ=+⨯+⨯=. ……………………12分化简得 434m k =+ （1）由34OA OB K K ⋅=-知 34222=-k m （2）解（1）（2）知无解，故不存在P 在椭圆上的平行四边形. ……………………13分解：b ＝1．……………3分 1舍去）．则方程()0h x =在即2112m<≤+． ……………………8分∴()00g x '≠．……………………14分（命题人：陈开懋审题人：殷希群 ）。

湖北省华中师大一附中2015届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{1,2},{}M N a ==，则“1a =”是“N M ⊆”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则15S 的值为A ．250B ．260C ．350D ．3603．已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（-1，4）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．15B ．30C ．45D ．604．若、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是A ．//,,l n αβαβ⊂⊂⇒//l nB ．,l αβα⊥⊂⇒l β⊥C ．,l n m n ⊥⊥⇒//l mD ．,//l l αβ⊥⇒βα⊥5．已知向量)3,2(=a ，)2,1(-=b ，若 b n a m + 与 b a 2- 共线，则 n m等于A ．21-B ．21 C ．2- D ．26．偶函数()()f x x R ∈满足：(4)(1)0f f -==，且在区间[0，3]与[3,)+∞上分别递减和递增，则不等式()0xf x <的解集为A ．(,4)(4,)-∞-+∞ B ．(4,1)(1,4)-- C ．(,4)(1,0)-∞--D ．(,4)(1,0)(1,4)-∞--7．若41)6sin(=-θπ，则=+)232cos(θπA ．87-B ．41-C ．41D ．879．若不等式n a n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 都成立，则实数a 的取值范围是 A ．3[22-，） B ．322-（，） C ．3[32-，） D ．332-（，）10．如图，A 地在高压线 (不计高度)的东侧0.50km 处，B 地在A PQ 上任意一点到A 地与高压线的距离相等．现要在公路旁建一配电房向A 分别向两地进线) ．经协商，架设低压线路部分的费用由A 、B 两地用户分摊, 为了使分摊费 用总和最小，配电房应距高压线 A ．1.21km B ．0.50km C ．0.75kmD ．0.96km二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题．．卡对应题号．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．化简：2)2(lg 50lg 2lg 25lg ++= ．12．若,x y R ∈，且162=+y x ，则 xy 的最大值为 ． 13．已知五个实数1,,,,16a b c 依次成等比数列，则a b c ++ = ．14．若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是_________．15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．（l（第15题图） （第16题图）16．把边长为1的正方形ABCD 如图放置，A 、D 别在x 轴、y 轴的非负半轴上滑动． （1）当A 点与原点重合时，OB OC ⋅= ； （2）OB OC ⋅的最大值是_________．17．用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如3]5.2[-=-，[2.5]2=，设函数]][[)(x x x f =． (1)=)6.3(f ；（2）若函数)(x f 的定义域是)0[n ，，+∈N n ，则其值域中元素个数为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）已知函数2()sin 2f x x x a =-+． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）设[0,]()2x f x π∈时的最小值是2-，求()f x 的最大值．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥-P ABCD 中，PA ABCD ⊥底面，ABCD 是矩形， E 是棱PD 的 中点，4PA AD ==，3AB =．（1）证明//PB ACE 平面； （2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．21．（本小题满分14分）已知椭圆的中心为原点，焦点在x 轴上，，且经过点(4,1)M ，直线:l y x m =+ABDEP交椭圆于异于M 的不同两点,A B ．直线MA MB x 、与轴 分别交于点E F 、．（1）求椭圆标准方程； （2）求m 的取值范围；（3）证明MEF ∆是等腰三角形．22．（本小题满分14分） 已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R ，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=．（1）求)(x f 的解析式； （2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设n 是正整数，用!n 表示前n 个正整数的积，即n n ⋅⋅⋅⋅= 321!．求证： 4)1(!+<n n en ．华中师大一附中2014-2015学年度上学期高三期中检测数学（文科）试题参考答案三、解答题18．解析：（1）()sin 2cos 2)f x x x a =+++sin 22x x a =+2sin(2)3x a π=-+，令3222232+≤-≤+k x k πππππ，得511,1212+≤≤+∈k x k k Z ππππ，()∴f x 的单调递减区间 511[,]()1212++∈k k k Z ππππ ……6分（2）20,22333x x ππππ≤≤∴-≤-≤，sin(2)13x π≤-≤ min ()f x a ∴=+；max ()=f x 2a +，令 2,2a a =-=-得， 所以max ()=f x 2+ ……12分19．解析：（1）连BD 交AC 于O ，连EO则EO 是PBD ∆的中位线，所以//PB EO ， 因为PB ACE ⊄平面，EO ACE ⊂平面，//PB ACE 所以平面． ………6分 (2)BH AC H PH ⊥作于，连PA ABCD PAC ABCD ⊥⊥因为底面，所以平面平面 由两平面垂直的性质定理得，BH PAC ⊥平面所以BPH PB PAC ∠就是直线与平面所成的角，因为 125,5PB BH ==，1225BH BPH PB ∠==所以sin ， 即直线PB PAC 和平面所成角的正弦值是1225． ………12分20．解析：（1）当*2,n n N ≥∈时：114121341213(1)n n n n T S nT S n ---=⎧⎨-=-⎩，两式相减得：41213n n b a -=，∴1334n n b a =+534n =--， 又1174b =-也适合上式，∴数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--． A BC D EP O H（也可直接求出n T ，再求n b ） ………7分 （2）由（1）得 3n c n =-，于是 111111()9(1)91n n c c n n n n +==-++ 所以12231111n n c c c c c c ++++ 111111[(1)()()]92231n n =-+-++-+ 11(1)919(1)nn n =-=++ 令9(1)nn +11100>，得99n >所以n 的最小值为100 ． ………13分21．解析：（1）设椭圆的方程为22221,x y a b+=因为e =，所以224a b =，又因为椭圆过点(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20b a ==， 故椭圆标准方程为 221205x y += ………4分（2）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200,x mx m ++-=令 2(8)m ∆=220(420)0m -->，解得 55m -<<． 又由题设知直线不过M(4,1)，所以3,14-≠≠+m m ，所以m 的取值范围是 )5,3()3,5(-⋃--． ………8分1221(1)(4)(1)(4)y x y x --+--1221(1)(4)(1)(4)x m x x m x =+--++--=122x x +12(5)()8(1)m x x m -+--22(420)8(5)8(1)55m m m m --=--- =0，120k k ∴+=，所以MEF ∆是等腰三角形． ……………14分 22．解析（1）∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且曲线()y f x =过点1(1,)2-， ∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-.所以 ()ln 2xf x x =-…………4分（2）由（1）得当1x >时，()0k f x x +<恒成立即 ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-.令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--.令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=. 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=. 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤.∴ k 的取值范围是1(,]2-∞. ………11分（3）由（2）知，当1x >时，()0f x <（0k =时），又 1x =时()0f x <也成立， 所以当1≥x 时，2ln xx <， 于是211ln <，222ln <，233ln <，，2ln nn <。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三下学期期末考试数学试题（A 卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ） A ．5B ．22C ．4D ．162．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲3．若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．36 cm 3B ．48 cm 3C ．60 cm 3D ．72 cm 34．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里B ．72里C ．48里D ．24里5．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A 10B ．3C 5D ．26．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x yxy+的最小值为（ ）A ．322-B ．221C 21D 217．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③8．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2B ．153C ．163D ．39．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种10．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2020a =（ ） A ．1-B ．1CD ．211．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC的距离小于a （ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C．((0,2) D．(,(2,)-∞+∞12．已知集合{}|124A x x =<≤，|B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B =（ ） A ．{}5|x x ≥ B ．{}|524x x <≤ C ．{|1x x ≤或}5x ≥D ．{}|524x x ≤≤二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试数 学 试 卷（理 科）【试卷综评】全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求.突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 . i 为虚数单位，512iz i=+, 则z 的共轭复数为 ( ) A. 2-i B. 2+i C. -2-i D. -2+i2i =+，故z 的共轭复数为2i -，故选A.【思路点拨】先把原式化简，再利用共轭复数的概念即可求得结果.2．若二项式82a x x骣琪+琪桫的展开式中的常数项为70，则实数a 可以为（ ） DA ．2B ．12C ．【知识点】二项式定理；二项式系数的性质．【答案解析】B 解析 ：解：二项式定理的通项公式可得：()888218822rrr r r r r r a T C x C x a x ---+骣琪==琪桫，令820,4r r -==，所以常数项为4448270C a =，解得1a =. (第3题图)【知识点】程序框图，等差数列的前n 项和公式.【答案解析】C 解析 ：解：框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1， 执行n=1+1=2，p=1+（2×2-1）=1+3=4； 判断4＞20不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3-1）=1+3+5=9； 判断9＞20不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4-1）=1+3+5+7=16； …由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，由()2121202n n p n +-==>，且n ∈N *，得n=5．故选C ．【思路点拨】框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n-1，然后判断p ＞20是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n-1，成立时算法结束，输出n 的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n 项和问题．当前n 项和大于20时，输出n 的值．4.直线:1l y k x =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“△ABO 的面积为12”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件【知识点】充分、必要条件的判断.【答案解析】A 解析 ：解：若1k =，则直线与圆交于()()0,1,1,0两点，所以111122ABOS=创=,充分性成立；若△ABO 的面积为12，易知1k = ，必要性不成立，故选A.【思路点拨】看两命题是否能够互相推出，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．5． 已知函数 y = 2sin x 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ，则 b-a 的值不可能是( ) A.56π B.π C . 76π D. 2π 【知识点】正弦函数的图象;利用图象求函数的值域. 【答案解析】D 解析 ：解：函数2sin y x =在R 上有22y-＃函数的周期T =2p ,值域[]2,1-含最小值不含最大值，故定义域[],a b 小于一个周期 b a 2p -＜,故选D【思路点拨】结合三角函数R 上的值域，当定义域为[],a b ，值域为[]2,1-，可知[],a b 小于一个周期，从而可得结果．6.若,x y满足2020x ykx yy+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x=-的最小值为－2，则k的值为（）A. 1B.－1C. 2D. --2 【知识点】简单线性规划．【答案解析】B解析：解：由约束条件2020x ykx yy+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩作出可行域如图，由20kx y-+=，得2xk=-，∴B2,0k骣琪-琪桫．由z y x=-得y x z=+．由图可知，当直线y x z=+过B2,0k骣琪-琪桫时直线在y轴上的截距最小，即z最小．7.在空间直角坐标系Oxyz中，已知()2,0,0A，()2,2,0B，()0,2,0C，(1D，若1S，2S，3S分别表示三棱锥D A B C-在xO y，yO z，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A123S S S== B12S S=且31S S≠C13S S=且32S S≠ D23S S=且13S S≠【知识点】空间直角坐标系．【答案解析】D解析：解：设()2,0,0A，()2,2,0B，()0,2,0C，(1D，则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），8．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C，则2C 的渐近线方程为( )A . 0x ?B.0y ±= C.20x y ±= D.20x y ±===0?选A.【思路点拨】由已知椭圆、双曲线的几何性质可得双曲线的渐近线方程. 9.已知向量 ,a b 满足1,a =a 与b 的夹角为3p，若对一切实数x , 2xa b a b +? 恒成立，则b 的取值范围是( )。

湖北省武汉市华中师大第一附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数Z=（1+i）（2﹣i）的实部是m，虚部是n，则m•n的值是（）A．3 B．﹣3 C．3i D．﹣3i2．（5分）已知集合A=Z，B={x|y=ln（9﹣x2）}，则A∩B为（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D． {﹣1，0，1，2}3．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题4．（5分）从某高中随机选取5名2015届高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x（cm）160 165 170 175 180体重y（kg）63 66 70 72 74根据上表可得回归直线方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的2015届高三男生的体重为（）A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg5．（5分）已知Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，A是曲线围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），其部分图象如图所示，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=sin（x+1）B．g（x）=sin（x+1）C．g（x）=sin（x+1）D．g（x）=sin（x+1）7．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π8．（5分）若x、y满足条件，当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点．若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且β=mα（m＞1），那么α的值是（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）+f（）=（）A．B．C．1 D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共25分）（一）必考题（1114题）11．（5分）已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是．（用数字作答）12．（5分）在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，以、为基底表示，则=．13．（5分）若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0）在圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2﹣28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）选修4-1：几何证明选讲15．（5分）如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分∠PBC，交圆O于D，C，D，P共线．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD=1，则圆O的半径是．选修4-4：坐标系与参数方程16．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=1，则两曲线交点间的距离是．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量，，且．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若向量，试求的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2（1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．20．（12分）2013年国庆期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后得到如下图的频率分布直方图．（1）此调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的中位数的估计值；（3）若从车速在[80，90）的车辆中任抽取3辆，求抽出的3辆车中车速在[85，90）的车辆数ξ的分布列及数学期望．21．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且k OA•k OB=﹣．求证：△AOB的面积为定值．在椭圆上是否存在一点P，使OAPB为平行四边形，若存在，求出|OP|的取值范围，若不存在说明理由．22．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2 （1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求实数m的取值范围（其中e为自然对数的底，e≈2.7）；（3）令g（x）=f（x）﹣nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，AB 中点为C（x0，0），求证：g′（x0）≠0．湖北省武汉市华中师大第一附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数Z=（1+i）（2﹣i）的实部是m，虚部是n，则m•n的值是（）A．3 B．﹣3 C．3i D．﹣3i考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：将复数进行化简，求出实部m，虚部n，即可得到结论．解答：解：∵Z=（1+i）（2﹣i）=3+i，∴实部m=3，虚部n=1，即mn=3，故选：A．点评：本题主要考查复数的有关概念和计算，比较基础．2．（5分）已知集合A=Z，B={x|y=ln（9﹣x2）}，则A∩B为（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D． {﹣1，0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求9﹣x2＞0的解集，即求出函数y=ln（9﹣x2）的定义域B，再由交集的运算求出A∩B．解答：解：由9﹣x2＞0得，﹣3＜x＜3，则函数y=ln（9﹣x2）的定义域B=（﹣3，3），又集合A=Z，则A∩B={﹣2，﹣1，0，1，2}，故选：B．点评：本题考查交集及其运算，以及对数函数的定义域，属于基础题．3．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．写出命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题，再判断其真假即可；B．利用特称命题的否定为全称命题，可判断B的正误；C．△ABC中，利用正弦定理及大边对大角可判断C的正误；D．利用复合命题p∧q一假则假可判断D的正误．解答：解：A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”，A正确；B．特称命题的否定为全称命题，由于命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，B正确；C．△ABC中，sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b⇔A＞B，故△ABC中，sinA＞sinB是A＞B 的充要条件，C正确；D．若p∧q为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，不一定均为假命题，D错误．故选：D．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系、全称命题与特称命题、充分必要条件及复合命题的真假判断，属于中档题．4．（5分）从某高中随机选取5名2015届高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x（cm）160 165 170 175 180体重y（kg）63 66 70 72 74根据上表可得回归直线方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的2015届高三男生的体重为（）A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg考点：回归分析的初步应用．专题：应用题；概率与统计．分析：根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为172cm的2015届高三男生的体重解答：解：由表中数据可得==170，==69 ∵（，）一定在回归直线方程=0.56x+上故69=0.56×170+解得=﹣26.2故=0.56x﹣26.2当x=172时，=0.56×172﹣26.2=70.12故选B．点评：本题主要考查线性回归方程的求解与运用，解题的关键是线性回归方程经过样本点的中心同时注意理解线性回归方程中相关系数的意义．5．（5分）已知Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，A是曲线围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；压轴题．分析：本题利用几何概型求解．欲求恰好落在阴影范围内的概率，只须求出阴影范围内的面积与正方形的面积比即可．为了求出阴影部分的面积，联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．解答：解：联立得，解得或，设曲线与曲线围成的面积为S，则S=∫01（﹣x2）dx=而Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，表示的区域是一个边长为2的正方形，∴Ω上随机投一点P，则点P落入区域A（阴影部分）中的概率P==，故选D．点评：本题考查的知识点是几何概型，其中利用积分公式，计算出阴影部分的面积是解答本题的关键．6．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），其部分图象如图所示，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=sin（x+1）B．g（x）=sin（x+1）C．g（x）=sin（x+1）D．g（x）=sin（x+1）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：由函数的图象可得A=1，T==1﹣（﹣1）=2，∴ω=．再由五点法作图可得，（﹣1）+φ=0，∴φ=，函数f（x）=sin（x+）．将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，可得函数y=sin（x+）的图象；再向右平移1个单位得到g（x）=sin[（x﹣1）+]=sin（x+）的图象，故函数g（x）的解析式为 g（x）=sin（x+1），故选：B．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π考点：球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中三棱锥的三视图，我们可以求出三棱棱的高，即顶点到底面的距离，及底面外接圆的半径，进而求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出外接球的表面积．解答：解：由已知中三棱锥的高为1底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图出判断出三棱锥的几何特征，进而求出其外接球的半径是解答本题的关键．8．（5分）若x、y满足条件，当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，确定目标函数的斜率满足的条件即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax﹣y得y=ax﹣z，则直线y=ax﹣z截距最大时，此时z最小．直线3x﹣5y+6=0的斜率k1=，直线2x+3y﹣15=0的斜率k2=，∵当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，∴直线y=ax﹣z经过点A（3，3）时，截距最大，此时z最小．则直线直线y=ax﹣z的斜率a满足：k2＜a＜k1，即＜a＜，故实数a的取值范围是：（，），故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．9．（5分）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点．若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且β=mα（m＞1），那么α的值是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（m，n），得直线PA、PB的斜率K PA和K PB满足：K PA•K PB=．由点P是双曲线x2﹣y2=a2上的点，得n2=m2﹣a2，整理得K PA•K PB=1．由斜率与倾斜角的关系，得tanα•tanβ=1，结合三角函数诱导公式，得α+β=，最后根据β=mα化简整理，即可得到本题的答案．解答：解：∵双曲线方程为x2﹣y2=a2，即（a＞0）∴双曲线的左顶点为A（﹣a，0），右顶点为B（a，0）设P（m，n），得直线PA的斜率为K PA=；直线PB的斜率为K PB=∴K PA•K PB= (1)∵P（m，n）是双曲线x2﹣y2=a2上的点∴m2﹣n2=a2，得n2=m2﹣a2，代入（1）式得K PA•K PB=1∵直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，得tanα=K PA，tanβ=K PB，∴tanα•tanβ=1，∵P是第一象限内双曲线上的点，得α、β均为锐角∴α+β=（m+1）α=，解之得α=故选：D点评：本题给出等轴双曲线上一点P，求P与两个顶点连线的倾斜角之间的一个关系式，着重考查了直线的斜率、三角函数公式和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．10．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）+f（）=（）A．B．C．1 D．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件（1）（3）分别令x=1，x=，可得f（1）=1，f（）=，结合条件（2）可得f（），f（）==f（）结合由f（x）在[0，1]上为非减函数，可得：f（）=．解答：解：∵f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），令x=1，则f（0）=1﹣f（1），解得f（1）=1，令x=，则f（）=1﹣f（），解得：f（）=又∵f（）=f（x），∴f（）=f（1）=，f（）=f（）=，f（）=f（）=，又由f（x）在[0，1]上为非减函数，故f（）=，故f（）+f（）=，故选：A点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及对新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共25分）（一）必考题（1114题）11．（5分）已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是﹣540．（用数字作答）考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，分析该程序的作用，可得b的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，分析可得常数项．解答：解：第一次循环：b=3，a=2；第二次循环得：b=5，a=3；第三次循环得：b=7，a=4；第四次循环得：b=9，a=5；不满足判断框中的条件输出b=9．∵（﹣）6=的展开式的通项为：=令3﹣r=0得r=3∴常数项为=﹣540．故答案为：﹣540．点评：本题考查二项式定理的应用，关键是结合循环语句、赋值语句的含义，分析程序框图，得到b的值．12．（5分）在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，以、为基底表示，则=．考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：计算题．分析：由BMC三点共线，知=x+（1﹣x）=x+（1﹣x）；由AMD三点共线，知=y+（1﹣y）=y+（1﹣y），所以x=，y=，所以=．解答：解：∵BMC三点共线，∴=x+（1﹣x）=x+（1﹣x），∵AMD三点共线，∴=y+（1﹣y）=y+（1﹣y），即=y，且1﹣x=，所以 x=，y=，所以=．故答案为：．点评：本题考查向量的线性运算性质和几何意义，解题时要认真审题，注意向量的几何意义的灵活运用．13．（5分）若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则的最小值为3．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可知2x+y=3，所以想到把要求最小值的式子分子分母同时乘以3，把分子的3同时换成2x+y，展开后利用基本不等式可求最小值．解答：解：由2x+y﹣3=0，得2x+y=3，又∵x，y为正数，所以=．当且仅当x=y时取等号，因为2x+y﹣3=0，所以此时x=y=1．所以的最小值为3．故答案为3．点评：本题考查了基本不等式的应用，训练了学生灵活变形和处理问题的能力，解答此题的关键是对已知条件的灵活运用，属中档题．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0）在圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2﹣28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为（3﹣2，3﹣2]∪[3+2，3+2）．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论．解答：解：圆的标准方程为（x﹣m）2+（y﹣2）2=32，则圆心C（m，2），半径r=4，S△ABC=r2sin∠ACB=16sin∠ACB，∴当∠ACB=90时S取最大值16，此时△ABC为等腰直角三角形，AB==8，则C到AB距离=，∴4≤PC＜4，即4≤＜4，∴16≤（m﹣3）2+4＜32，即12≤（m﹣3）2＜28，∴，解得3﹣2＜m≤3﹣2或3+2≤m＜3+2，故答案为：（3﹣2，3﹣2]∪[3+2，3+2）点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）选修4-1：几何证明选讲15．（5分）如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分∠PBC，交圆O于D，C，D，P共线．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD=1，则圆O的半径是2．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：连结AD，由PB为圆O的切线，得∠PBD=∠BCP=∠BAD，结合BD为∠PBC的平分线，可得∠PDB=2∠PBD=60°，在Rt△BPD中，由PD=1，得BD=2，由Rt△ABD与Rt△BPD的内角关系得AD的长度，即得圆O的半径．解答：解：如右图所示，连结AD，∵PB为圆O的切线，∴∠PBD=∠BCD=∠BAD，∵BD为∠PBC的平分线，∴∠PBD=∠CBD，∴∠PDB=∠CBD+∠BCD=∠PBD+∠PBD=2∠PBD，又∵PC⊥PB，∴∠PBD=∠BCD=∠CBD=∠BAD=30°，∠PDB=60°．由PD=1，得BD=2PD=2．在△ABD中，∵AB⊥BD，∴AD是圆O的直径，且直径AD=2BD=4，∴圆O的半径为2．故答案为：2．点评：本题考查了圆的弦切角定理及直角三角形的有关性质等，解题的突破口是得到∠BDP 与∠PBD的2倍关系．应记住一些常用的结论，如（1）弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．（2）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．（3）同弧（或等弧）所对的圆周角相等．（4）90°的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是90°．选修4-4：坐标系与参数方程16．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=1，则两曲线交点间的距离是4．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由曲线C1的参数方程是，平方相减可得y2﹣x2=4．以坐曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=1，展开为=1，化为y+x=2．联立求出交点，再利用两点之间的距离公式即可得出．解答：解：由曲线C1的参数方程是，平方相减可得y2﹣x2=4．以坐曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=1，展开为=1，化为y+x=2．联立，化为=0．解得x=0或2．∴，．则两曲线交点间的距离是=4．故答案为：4．点评：本题考查了把参数方程极坐标方程化为普通方程、直线与曲线的相交转化为方程联立可得交点坐标、两点之间的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量，，且．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若向量，试求的取值范围．考点：解三角形；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据推断出=0，利用向量的基本运算求得sin2C=sin2A+sin2B﹣sinAsinB，利用正弦定理把角的正弦转化成边，代入余弦定理求得cosC的值，进而求得C．（Ⅱ）根据和的坐标可求得的表达式，然后利用二倍角公式化简整理，利用A的范围和正弦函数的单调性求得的范围，进而求得的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意得即sin2C=sin2A+sin2B﹣sinAsinB由正弦定理得c2=a2+b2﹣ab再由余弦定理得∵0＜C＜π，∴（Ⅱ）∵∴==∵，∴∴所以，故．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，向量的基本运算，三角函数的基本公式．综合考查了学生对基础知识整体把握．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：综合题．分析：（1）利用等比数列的通项公式，可求确定公比，从而可求{b n}的通项公式，利用a1+a2+a3=b2+b3，可得数列的公差，从而可求数列{a n}的通项公式；（2）利用错位相减法可求数列{c n}的前n项和S n．解答：解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q由=54，得，从而q=3因此（3分）又a1+a2+a3=3a2=b2+b3=6+18=24，∴a2=8从而d=a2﹣a1=6，故a n=a1+（n﹣1）•6=6n﹣4（6分）（2）令（9分）两式相减得=﹣（3n﹣2）•3n=∴，又（12分）．点评：本题考查数列的通项，考查等差数列与等比数列的综合，考查错位相减法求数列的和，确定数列的通项是关键．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2（1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）当t=时，PA∥平面MQB，若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N，根据线面平行得到PA∥MN，从而，即PM=PC，从而求出t的值；（2）以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，先求出平面MQB的法向量，取平面ABCD的法向量设所求二面角为θ，根据公式即可求出二面角M﹣BQ﹣C的大小．解答：解：（1）当t=时，PA∥平面MQB下面证明：若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，∴…（2分）PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN，∴PA∥MN…（4分）即：PM=PC∴t=…（6分）（2）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD．．（7分）又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，四边形ABCD为菱形，∵AD=AB，∠BAD=60°△ABD为正三角形，Q为AD中点，∴AD⊥BQ…（8分）以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（0，，0），Q（0，0，0），P（0，0，）设平面MQB的法向量为，可得而PA∥MN∴，取z=1，解得…（10分）取平面ABCD的法向量设所求二面角为θ，则故二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°…（12分）点评：本题主要考查了线面平行的判断，以及利用空间向量的方法度量二面角的平面角，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，属于中档题．20．（12分）2013年国庆期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后得到如下图的频率分布直方图．（1）此调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的中位数的估计值；（3）若从车速在[80，90）的车辆中任抽取3辆，求抽出的3辆车中车速在[85，90）的车辆数ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；收集数据的方法；众数、中位数、平均数．分析：（1）这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样；（2）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．（3）从车速在[80，90）的车辆中任抽取3辆，根据题意抽出的3辆车中速车在[85，90）的车辆数ξ可能为1、2、3，求出相应的概率，即可求得分布列和期望．解答：解：（1）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．故调查公司在采样中，用到的是系统抽样；…（2分）（2）设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣95）=0.5，解得x=97.5即中位数的估计值为97.5…（4分）（3）从图中可知，车速在[80，85）的车辆数为0.01×5×40=2（辆），车速在[85，90）的车辆数为0.02×5×40=4（辆）∴ξ可取：1，2，3 …（6分），，，…（8分）ξ的分布列为ξ 1 2 3P…（10分）均值．…（12分）点评：解决频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和21．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且k OA•k OB=﹣．求证：△AOB的面积为定值．在椭圆上是否存在一点P，使OAPB为平行四边形，若存在，求出|OP|的取值范围，若不存在说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意得，b==，，又a2+b2=c2，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B的坐标满足，从而（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能证明：△AOB的面积为定值；若存在平行四边形OAPB使P在椭圆上，则，设P（x0，y0），则x0=x1+x2=﹣，y0=y1+y2=，由已知条件推导出不存在P在椭圆上的平行四边形．解答：（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意得，b==，，又a2+b2=c2，联立解得a2=4，b2=3，∴椭圆的方程为．…（3分）（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B的坐标满足，消去y化简得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，∴，x1x2=，△＞0，得4k2﹣m2+3＞0，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）===．∵k OA•k OB=﹣，=﹣，即，∴=﹣，即2m2﹣4k2=3，∴|AB|=====．O到直线y=kx+m的距离d=，∴S△AOB==••===为定值．…（8分）若存在平行四边形OAPB使P在椭圆上，则，设P（x0，y0），则x0=x1+x2=﹣，y0=y1+y2=，由于P在椭圆上，所以，从而化简得，化简得4m2=3+4k2，（1）由k OA•k OB=﹣，知2m2﹣4k2=3，（2）解（1）（2）知无解，故不存在P在椭圆上的平行四边形．…（13分）点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查三角形的面积为定值的证明，考查满足条件的平行四边形是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．22．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2 （1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求实数m的取值范围（其中e为自然对数的底，e≈2.7）；（3）令g（x）=f（x）﹣nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，AB 中点为C（x0，0），求证：g′（x0）≠0．考点：函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）由切线方程得函数在x=2处的切线斜率为﹣3，即f′（2）=﹣3，由函数f（x）=alnx﹣bx2得其导函数，进而得f′（2），由f′（2）=﹣3得关于a、b的方程，又切点在函数图象上，也在切线上，当x=2时分别代入两个函数方程，函数值相等，得第二个关于a、b 的方程，求解方程组，得a，b的值；（2）设h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，求h′（x），令h′（x）＞0，h′（x）＜0，得函数h（x）的单调区间，得出h（x）的图象的大致走向，得出满足题意的不等式组，解得实数m 的取值范围；（3）由点A（x1，0），B（x2，0）在g（x）图象上，把点的坐标代入g（x）的解析式得方程组，两式相减得关于x1、x2、n的方程，假设g′（x）=0成立，求导，得关于x0、n的方程，由中点坐标公式转化关于x1、x2、n的方程，两方程消去n，得关于x1、x2的方程，整理此方程，分子分母同除以x2，整理方程，右边为0，设t=，左边得关于t的函数，求此函数的导数，得函数的单调性，得函数值恒小于0，所以方程不成立，所以假设不成立，所以g′（x0）≠0．解答：解：（1），所以，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2，解得a=2，b=1．（2）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则=，令h'（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当时，h'（x）＞0，所以h（x）是增函数；当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，所以h（x）是减函数则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是即1＜m≤．（3）．假设不结论成立，则有，。

湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 1. 设全集}1lg |{*<∈=⋃=x N x B A U ，若(){1,3,5,7,9}U A C B ⋂=，则集合B = （ ）.{2,6,8}A .{2,4,6,8}B .{0,2,4,6,C .{0,2,6,8}D2. 下列对应能构成集合A 到集合B 的函数的是 （ ）.A A Z =，B Q =，对应法则1:f x y x→=.B {A =圆O 上的点P }，{B =圆O 的切线}，对应法则：过P 作圆O 的切线 .C ,A R B R ==，对应法则2:247f a b a a →=-+-，,a A b B ∈∈.D {|A a a =为非零整数}，*1{|,}B b b n N n ==∈，对应法则1:f a b a→= 3. 若2211()f x x xx -=+，则()f x = （ ） 2.()2A f x x =+ 2.()2B f x x =- 2.()(1)C f x x =+ 2.()(1)D f x x =- 4. 已知函数12(log )y f x =的定义域为11[,]42，则函数(2)xy f =的定义域为 （ ）.[1,0]A - .[0,2]B .[1,2]C - .[0,1]D5. 已知()1a xf x x a -=--的反函数图像的对称中心为(1,3)-，则a 的值为（ ）A .2BC .3D 6. 已知函数(21),1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）11.[,)32A 1.(0,)2B 1.(0,)4C 11.(,)34D7. 定义在∞∞（-,+）上的任意函数()f x 都可以表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 之和，若()ln(1)x f x e =+，那么 （ ）.(),()l n (2x x A g x x h x e e -==++11.()[ln(1)],()[ln(1)]22x x B g x e x h x e x =++=+- .(),()l n (1)22x x x C g x h x e ==+- .(),()l n (1)22x x x D g x h x e =-=++ 8. 若0x 是方程131()2xx =的解，则0x 属于区间 （ ）2.(,1)3A 12.(,)23B 1.(0,)3C 11.(,)32D 9. 设,min{,},a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数2()min{3,log }f x x x =-，则1()2f x <的解集为（ ）)A +∞5(,)2B ⋃+∞ 5.(0,2)(,)2C ⋃+∞ .(0,)D +∞ 10. 对于方程||2||1111[()]|()|02222x x k ----=的解，下列判断不正确的是 （ ）1.4A k <-时，无解 .0B k =时，2个解1.04C k -≤<时，4个解 .0D k >时，无解二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11. 已知0,1a a >≠，则21()log 1a x f x x +=-的图像恒过点 ． 12. 已知21()m f x m x-=⋅是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上为减函数，则实数m 的值为 ．13.计算132.5log 6.25ln (0.064)2-++= ．14.函数()f x =的最小值为 ．15．函数(1)y f x =-为偶函数，对任意的12,(1,)x x ∈-+∞都有121212()()0()f x f x x x x x -<≠-成立，则11223773(log ),(log ),(log )222a f b f c f ===由大到小的顺序为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

2014年秋期高三年级理科期中考试答案一.选择题: 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DDBADCDAAABD二.填空题:13.5 14.0 15.1 16.①②③④ 三.解答题:17.解：（I ）∵f x ()为偶函数()()∴s i n s i n -+=+ωϕωϕx x 即20s i n c o s ωϕx =恒成立∴cos ϕ=0 ∵，∴02≤≤=ϕπϕπ……………………………………………………………3分 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π ∴T =2π ∴ω=1∴f x x ()c o s = ……………………………………………………………………5分 （II ）∵原式=-++=s i n c o s t a n s i n c o s22112αααα ……………………………7分 又∵，∴s i n c o s s i n c o s αααα+=+=231249 …… ………………………9分 即259s i n c o s αα=-， 故原式=-59………………………………………10分18.解：由⎩⎨⎧+=+=xx y x y 321，得0123=-+-x x x ， 即0)1)(1(2=+-x x ，1=∴x ，∴交点为)2,1(．…………………………………2分 又x x f 2)('=，2)1('=∴f ,∴曲线)(x f y =在交点处的切线1l 的方程为)1(22-=-x y ，……………………5分即x y 2=，又13)('2+=x x g . ∴4)1('=g .∴曲线)(x g y =在交点处的切线2l 的方程为)1(42-=-x y ，即24-=x y . ………………………………………………………………8分取切线1l 的方向向量为)2,1(=a ，切线2l 的方向向量为)4,1(=b ，…………10分 则858591759||||cos =⨯=⋅=b a b a θ. ……………………………………12分19.解：（Ⅰ）由,47)43(1sin ,43cos 2=-==B B 得 由ac b =2及正弦定理得 .s i n s i ns i n 2C A B =则CA AC A C C C A A C A sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1+=+=+22sin()sin 147.sin sin sin 7A CB B B B +==== …………………………6分 （Ⅱ）由32BA BC ⋅=，得23cos =B ac ，由43cos =B ，可得ac ＝2，即b 2＝2．…………………………………………………………8分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得5cos 2222=+=+B ac b c a ，3,9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a ……………………12分20.解：（Ⅰ）∵*n N ∈时，n n n a S a -=22， ①当2≥n 时，21112n n n a S a ---=-， ② ………………………………2分由①－②得，22111(2)(2)n n n n n n a a S a S a ----=---即2211n n n n a a a a ---=+，∵01>+-n n a a ∴)2(11≥=--n a a n n ，………………4分 由已知得，当1=n 时， 21112a S a =-，∴11=a .………………………………５分故数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列.∴*()N n a n n =∈. …………６分 （Ⅱ）∵*()N n a n n =∈，∴n n n n b 2)1(31⋅-+=-λ,…………7分∴111133(1)2(1)2n n n n n n n n b b λλ++-+-=-+-⋅--⋅1233(1)2n n n λ-=⨯-⋅-⋅.要使得1n n b b +>恒成立,只须113(1)()2n n λ---⋅<. …………８分(1)当n 为奇数时,即13()2n λ-<恒成立.又13()2n -的最小值为1,∴1λ<. ……9分(2)当n 为偶数时,即13()2n λ->-恒成立.又13()2n --的最大值为32-,∴32λ>- ……………………………………１０分∴由(1),(2)得312λ-<<,又0λ≠且λ为整数,……………………１１分∴1λ=-对所有的*N n ∈,都有1n n b b +>成立. ………………１２分21.解：（I ）ax x x x f 22131)(23++-= ，a x x x f 2)('2++-=∴ …………………2分函数)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，即导函数在),32(+∞上存在函数值大于零的部分， 0232)32()32('2>++-=∴a f 91->∴a ……………………………………6分(II))(x f 取到最小值316-，而a x x x f 2)('2++-=的图像开口向下，且对称轴方程为21=x ，02)1('>=a f ， 0122)4('<-=a f则必有一点使得0'()0=f x ……………………………………8分此时函数)(x f 在0[1,]x 上单调递增，在0[,4]x 单调递减.612)1(+=a f ,a f 8340)4(+-=,)1()4(f f <∴3168340)4()(min -=+-==∴a f x f , 1=∴a , …………………10分此时，由200000'()202,1()=-++=∴==-舍去f x x x x x ，所以函数max 10()(2)3==f x f ………………………………………………………12分22.解答:[],4,10∈x.3分8分12分。

华中师大一附中2015—2016学年度上学期高三期中检测数学（理）试题时限：120分钟 满分：150分 第I 卷（选择题共60分）注意事项：务必将每小题的答案填在答题卡的相应位置.答在试卷上无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项代号涂填在选择题的答题卡内. 1．已知集合2{|lg()}A x y x x ==-,集合2{|0(0)}B x x cx c =-<>错误！未找到引用源。

,若A B ⊆错误！未找到引用源。

,则c 的取值范围为A.(0,1]B.(0,1)C.[1,)+∞D.错误！未找到引用源。

2.复数241iz i+=-错误！未找到引用源。

(i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标为 A.(3,3) B.(1,3)- C.(3,1)-D.(2,4)3.已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=错误！未找到引用源。

，则“0x >”是“a 与b 错误！未找到引用源。

夹角为锐角”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-,数列错误！未找到引用源。

的前n 项和为n S 错误！未找到引用源。

,且错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

=A. 0B.0或1C.1-或0D.1或1-5.已知()sin(2)(0)f x A x A α=->错误！未找到引用源。

且430()0f x dx π=⎰错误！未找到引用源。

,则()f x 的一个对称中心为A.(,0)πB.4(,0)3πC.5(,0)3πD.7(,0)6π6.函数()s i n ()(0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，为了得到()c o s g x A x ω=-的图象，可以将()f x 的图象A.向右平移12π个单位长度 B.向右平移512π个单位长度C.向左平移12π个单位长度 D.向左平移512π个单位长度7.已知向量a ，b 是单位向量，若0a b ⋅=，且25c a c b -+-=，则c a b +-的取值范围是A.3,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.C.⎣D. ⎦8.若对于任意的x [1,0]∈-，关于x 的不等式2320x ax b ++≤错误！未找到引用源。