2019中考数学第二部分专题综合强化专题三圆的相关证明与计算针对训练

2019年中考数学“圆的有关计算与证明”专题卷（含答案）一、解答题（共7题）1.如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D。

连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F。

已知CE=12，BE=9（1）求证：△COD∽△CBE；（2）求半圆O的半径的长2.如图△ABC内接于圆O，I是△ABC的内心，AI的延长线交圆O于点D．（1）求证：BD=DI；（2）若OI⊥AD，求的值．3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．（Ⅰ）若AB=4，求的长；（Ⅱ）若= ，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．4.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D 作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（Ⅰ）求证：直线DM是⊙O的切线；（Ⅱ）求证：DE2=DF•DA．5.(本题10分) 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB 延长线上一点，CE交⊙O于点F,连结OC,AC.（1）求证:AC平分∠DAO.（2）若∠DAO=105°，∠E=30°.①求∠OCE的度数.②若⊙O的半径为2 ，求线段EF的长.6.如图，为的直角边上一点，以为半径的与斜边相切于点，交于点．已知，．（1）求的长；（2）求图中阴影部分的面积．7.如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径（1）求证：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求的值二、综合题（共20题）8.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．9.如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．10.如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AC=8，tan∠BAC= ，求⊙O的半径．11.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 ，求阴影部分的面积．12.如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．（1）求证：△ACD∽△BAD；（2）求证：AD是⊙O的切线．13.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．14.如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长．15.如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA•PB；（2）若PT=TB= ，求图中阴影部分的面积．16.如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．（1）求证：DF∥AO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．17.如图AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）若BC=3，CD=3 ，求弦AD的长．18.如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．19.如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB=DE；（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．20.已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT=50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O 于点D．（1）如图①，求∠T和∠CDB的大小；（2）如图②，当BE=BC时，求∠CDO的大小．21.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．（1）求证：BD=BF；（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．22.如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4 ，OA=4，求阴影部分的面积．23.如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．24.如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若cos∠CAD= ，BF=15，求AC的长．25.如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．（1）求证：∠BAC=∠CBP；（2）求证：PB2=PC•PA；（3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．27.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD= ，CF= ，求BF的长．答案部分一、解答题1.（1）解：∵CD切半圆于点D，OD为⊙O的半径，∴CD⊥OD,∴∠CDO=90°,∵BE⊥CD于点E,∴∠E=90°.∵∠CDO=∠E=90°,∠C=∠C,∴△COD∽△CBE.（2）解：∵在Rt△BEC中，CE=12,BE=9,∴CE=15,∵△COD∽△CBE,∴,即,∴r=.2.（1）证明：∵点I是△ABC的内心∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI∵∠CBD=∠CAD∴∠BAD=∠CBD∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∠BAD=∠CAD=∠CBD，∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD∴ID=BD；（2）解：连接OA、OD、BD和BI，∵OA=OD，OI⊥AD∴AI=ID，∵I为△ABC内心，∴∠BAD=∠BCD，∴弧BD=弧CD，∵弧CD=弧CD，∴∠BCD=∠BAD，∴∠DBI=∠BCD+∠CBI=∠CAD+∠CBI，=（∠BAC+∠ACB），∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=（∠BAC+∠ABC），∴∠DIB=∠DBI，∴BD=ID=AI，，故OD⊥BC，记垂足为E，则有BE=BC，作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，∴Rt△BDE≌Rt△AIG，于是，AG=BE=BC，但AG=（AB+AC﹣BC），故AB+AC=2BC，∴=2．3.解：（Ⅰ）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC= AB=2，∴的长= ×π×2=π；（Ⅱ）∵= ，∴∠BOC=∠AOD，∵∠COD=90°，∴∠AOD=45°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，∴∠ODA=67.5°，∵AD=AP，∴∠ADP=∠APD，∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，∴∠ADP= CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，∴PD是⊙O的切线．4.解：（Ⅰ）如图所示，连接OD，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴= ，∴OD⊥BC，又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM，∴直线DM是⊙O的切线；（Ⅱ）如图所示，连接BE，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE，∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，即∠BED=∠EBD，∴DB=DE，∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴= ，即DB2=DF•DA，∴DE2=DF•DA．5.（1）解：∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD；又∵AD⊥CD,∴AD//OC,∴∠DAC=∠OCA;又∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OAC;∴AC平分∠DAO.（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°,∴∠EOC=∠DAO=105°;∵∠E=30°,∴∠OCE=45°.②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG,∵OC=2,∠OCE=45°.∴CG=OG=2,∴FG=2;∵在RT△OGE中，∠E=30°，∴GE=2,∴EF=GE-FG=2-2.6.（1）解：在Rt△ABC中，AB===2 .∵BC⊥OC∴BC是⊙O的切线又∵AB是⊙O的切线∴BD=BC=∴AD=AB-BD=（2）解：在Rt△ABC中，sinA= ==.∴∠A=30°.∵AB切⊙O于点D.∴OD⊥AB.∴∠AOD=90°-∠A=60°.∵=tanA=tan30°.∴=.∴OD=1.S阴影==.7.（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=∠ABC=45°,∴∠PEA=∠ABC=45°又∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE=90°,∴∠PEA=∠APE=45°,∴△APE是等腰直角三角形.（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB,同理AP=AE,又∵∠CAB=∠PAE=90°,∴∠CAP=∠BAE,∴△CPA≌△BAE,∴CP=BE,在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,∴PB2+BE2=PE2,∴CP2+PB2=PE2=4.二、综合题8.（1）证明：连接OE、EC，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°，∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2，∵OE=OC，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB，∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴= ，∴BC2=BE•BA，∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，∵BC=6，∴62=2x•3x，解得：x= ，即AE=9.（1）解：∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB= = ，∴B（，2）．（2）解：连接MC，NC ∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD= NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．10.（1）解：连结OP、OA，OP交AD于E，如图，∵PA=PD，∴弧AP=弧DP，∴OP⊥AD，AE=DE，∴∠1+∠OPA=90°，∵OP=OA，∴∠OAP=∠OPA，∴∠1+∠OAP=90°，∵四边形ABCD为菱形，∴∠1=∠2，∴∠2+∠OAP=90°，∴OA⊥AB，∴直线AB与⊙O相切；（2）解：连结BD，交AC于点F，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴DB与AC互相垂直平分，∵AC=8，tan∠BAC= ，∴AF=4，tan∠DAC= = ，∴DF=2 ，∴AD= =2 ，∴AE= ，在Rt△PAE中，tan∠1= = ，∴PE= ，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，∴R2=（R﹣）2+（）2，∴R= ，即⊙O的半径为．11.（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵OD⊥BC，∴CD=BD，即OD垂中平分BC，∴EC=EB，在△OCE和△OBE中，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，在Rt△OBD中，BD=CD= BC= ，∴（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，∵tan∠BOD= = ，∴∠BOD=60°，∴∠BOC=2∠BOD=120°，在Rt△OBE中，BE= OB=2 ，∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC=2S△OBE﹣S扇形BOC=2× ×2×2 ﹣=4 ﹣π12.（1）证明：∵AB=AD，∴∠B=∠D，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D，∴∠CAD=∠B，∵∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD（2）证明：连接OA，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAB=∠CAD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．13.（1）证明：连接EF，∵AE平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE，∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，∴∠FEA=∠EAC，∴FE∥AC，∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线（2）解：连接FD，设⊙F的半径为r，则r2=（r﹣1）2+22，解得，r= ，即⊙F的半径为；（3）解：AG=AD+2CD．证明：作FR⊥AD于R，则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，∴四边形RCEF是矩形，∴EF=RC=RD+CD，∵FR⊥AD，∴AR=RD，∴EF=RD+CD= AD+CD，∴AG=2FE=AD+2CD14.（1）解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAF+∠FAC=90°，∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切线；（2）解：连接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△DCA，∴，∴，∴AC=AE= ，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴= ，∴EF= ．15.（1）证明：连接OT．∵PT是⊙O的切线，∴PT⊥OT，∴∠PTO=90°，∴∠PTA+∠OTA=90°，∵AB是直径，∴∠ATB=90°，∴∠TAB+∠B=90°，∵OT=OA，∴∠OAT=∠OTA，∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，∴△PTA∽△PBT，∴= ，∴PT2=PA•PB．（2）∵TP=TB= ，∴∠P=∠B=∠PTA，∵∠TAB=∠P+∠PTA，∴∠TAB=2∠B，∵∠TAB+∠B=90°，∴∠TAB=60°，∠B=30°，∴tanB= = ，∴AT=1，∵OA=OT，∠TAO=60°，∴△AOT是等边三角形，∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT= ﹣•12= ﹣16.（1）证明：连接OD．∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，∴AC=AD，∵OC=OD，∴OA⊥CD，∴CD⊥OA，∵CF是直径，∴∠CDF=90°，∴DF⊥CD，∴DF∥AO．（2）过点作EM⊥OC于M，∵AC=6，AB=10，∴BC= =8，∴AD=AC=6，∴BD=AB﹣AD=4，∵BD2=BF•BC，∴BF=2，∴CF=BC﹣BF=6．OC= CF=3，∴OA= =3 ，∵OC2=OE•OA，∴OE= ，∵EM∥AC，∴= = = ，∴OM= ，EM= ，FM=OF+OM= ，∴= = = ，∴CG= EM=2．17.（1）证明：连结OC，如图，∵AD平分∠EAC，∴∠1=∠3，∵OA=OD，∴∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴OD∥AE，∵AE⊥DC，∴OD⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，∴△CDB∽△CAD，∴= = ，∴CD2=CB•CA，∴（3 ）2=3CA，∴CA=6，∴AB=CA﹣BC=3，= = ，设BD= K，AD=2K，在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，∴k= ，∴AD= ．18.（1）解：如图所示，连接BO，∵∠ACB=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵DE⊥AC，CB=BD，∴Rt△DCE中，BE= CD=BC，∴∠BEC=∠BCE=30°，∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，∴BE是⊙O的切线；（2）解：当BE=3时，BC=3，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°，又∵∠ACB=30°，∴AB=tan30°×BC= ，∴AC=2AB=2 ，AO= ，∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt△ABC的面积= π×AO2﹣AB×BC= π×3﹣× ×3= ﹣19.（1）证明：∵AO=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵BD是切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD=90°，∴∠OBE+∠EBD=90°，∵EC⊥OA，∴∠CAE+∠CEA=90°，∵∠CEA=∠DEB，∴∠EBD=∠BED，∴DB=DE（2）作DF⊥AB于F，连接OE．∵DB=DE，AE=EB=6，∴EF= BE=3，OE⊥AB，在Rt△EDF中，DE=BD=5，EF=3，∴DF= =4，∵∠AOE+∠A=90°，∠DEF+∠A=90°，∴∠AOE=∠DEF，∴sin∠DEF=sin∠AOE= = ，∵AE=6，∴AO= ．∴⊙O的半径为．20.（1）解：如图①，∵连接AC，∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，∴AT⊥AB，即∠TAB=90°，∵∠ABT=50°，∴∠T=90°﹣∠ABT=40°，由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠ABC=40°，∴∠CDB=∠CAB=40°；（2）解：如图②，连接AD，在△BCE中，BE=BC，∠EBC=50°，∴∠BCE=∠BEC=65°，∴∠BAD=∠BCD=65°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=65°，∵∠ADC=∠ABC=50°，∴∠CDO=∠ODA﹣∠ADC=65°﹣50°=15°．21.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°，∴BD⊥AC，∠BDC=90°，∵BF切⊙O于B，∴AB⊥BF，∵CF∥AB，∴CF⊥BF，∠FCB=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠ACB=∠FCB，∵BD⊥AC，BF⊥CF，∴BD=BF（2）解：∵AB=10，AB=AC，∴AC=10，∵CD=4，∴AD=10﹣4=6，在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD= =8，在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC= =422.（1）解：连接OC，∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°，由于= ，∴∠AOC=∠BOC，∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）解：由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴BC= AB=2 ，∴sin∠COB= = ，∴∠COB=60°，∴∠B=30°，∴OC= OB=2，∴扇形OCE的面积为：= ，△OCB的面积为：×2 ×2=2∴S阴影=2 ﹣π23.（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC= =4 ，∴△ABC外接圆的半径= ×4 =2 ．24.（1）证明：连接OC，如图1所示．∵点C是的中点，∴= ，∴OC⊥BE．∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BE，∴AD∥OC．∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，如图2所示．∵点C是的中点，∴= ，∠BAC=∠CAE，∴= ．∵cos∠CAD= ，∴= ，∴AB= BF=20．在Rt△AOM中，∠AMO=90°，AO= AB=10，cos∠OAM=cos∠CAD= ，∴AM=AO•cos∠OAM=8，∴AC=2AM=16．25.（1）解：∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，∴∠ACB=∠ABP=90°，∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90°，∴∠BAC=∠CBP（2）解：∵∠PCB=∠ABP=90°，∠P=∠P，∴△ABP∽△BCP，∴，∴PB2=PC•PA（3）解：∵PB2=PC•PA，AC=6，CP=3，∴PB2=9×3=27，∴PB=3 ，∴sin∠PAB= = = ．26.（1）解：如图，连接OD、CD，∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线（2）解：设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为627.（1）证明：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴直线AE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，Rt△ACB中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC= =4 ，Rt△ADB中，cos∠BAD= = ，∴，∴AD=6，∴BD= =2 ，∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，∴△DFB∽△AFC，∴，∴，∴BF= ．。

D E GOFACBDE G OF ACB圆的计算与证明1.如图，AB 为⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的两条弦，过点C 作∠BCD ＝∠A ，CD 交AB 的延长线与点D ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若DC AC =，求A ∠的度数 （3）若tan A ＝，求的值；（4）在（3）的条件下，若AB ＝7，∠CED ＝∠A +∠EDC ，求EC 与ED 的长．2.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、G 是⊙O 上两点，且AC ＝CG ，过点C 的直线CD ⊥BG 于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线． （2）若，求∠E 的度数．（3）连接AD ，在（2）的条件下，若CD ＝，求AD 的长．3.如图，⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，G 为弦AE 的中点，连接OG 并延长交⊙O 于点D ，连接BD 交AE 于点F ，延长AE 至点C ，使得FC =BC ，连接BC . （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接DE ，若G 为OD 的中点，求∠DEB 的度数 （3）若⊙O 的半径为5，3tan 4A =，求FD 的长． （4）若CG ＝15，BF ＝10，sin D ＝，求⊙O 的半径．4.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点O 为BE 上一点，以OB 为半径的⊙O 交AB 于点E ，交AC 于点D ．BD 平分∠ABC ． （1）求证：AC 为⊙O 切线； （2）若点F 为的中点，求证：DF BD ED 2=+（3）在（2）的条件下，连接BF ，若BC ＝，BD ＝8，求⊙O 半径及DF 的长．5.如图，已知AB 为⊙O 直径，AC 是⊙O 的切线，连接BC 交⊙O 于点F ，取的中点D ，连接AD 交BC 于点E ，过点E 作EH ⊥AB 于H ． （1）求证：△HBE ∽△ABC ；（2）若CF=4，BF=5，求AC 和EH 的长．6.如图，P A 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接PB 、PC ，PC 交AB 于点E ，且P A ＝PB(1) 求证：PB 是⊙O 的切线(2) 若∠APC ＝3∠BPC ，求CEPE的值7.如图所示，CD为⊙O的直径，AD、AB、BC分别与⊙O相切于点D、E、C（AD＜BC）．连接DE并延长与直线BC相交于点P，连接OB．（1）求证：BC＝BP；（2）若DE•OB＝40，求AD•BC的值；（3）在（2）条件下，若S△ADE：S△PBE＝16：25，求四边形ABCD的面积．8.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是圆O的切线；（2）若A为EH的中点，求的值；（3）若EA＝EF＝1，求圆O的半径．9.如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，＝，弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2＝CE•DE；（3）已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．10.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，A T=AB．（1）求证：AT是⊙O的切线；（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．11.如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．12.如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，＝，AO的延长线交⊙O于点F、交DB的延长线于点P，连接PC且恰好PC∥AB，连接DF交AB于点G，延长DF交CP于点E，连接BF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CE＝PE；（3）当BF＝2时，求tan∠APD的值．。

第二部分 专题六类型1 与全等三角形相关证明与计算1．(2016·梧州)如图，过⊙O 上的两点A ，B 分别作切线，并交BO 、AO 的延长线于点C ，D ，连接CD ，交⊙O 于点E ，F ，过圆心O 作OM ⊥CD ，垂足为M 点．求证：(1)△ACO ≌△BDO ； (2)CE ＝DF .证明：(1)∵AC ，BD 为⊙O 的切线， ∴∠CAO ＝∠DBO ＝90°， 在△ACO 和△BDO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠CAO ＝∠DBO ，AO ＝BO ，∠AOC ＝∠BOD ，∴△ACO ≌△BDO (A S A )． (2)∵△ACO ≌△BDO ，∴CO ＝DO .∵OM ⊥CD ，∴MC ＝DM ，EM ＝MF ，∴CE ＝DF .2．(2018·北京)如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ，CD .(1)求证：OP ⊥CD ；(2)连接AD ，BC ，若∠DAB ＝50°，∠CBA ＝70°，OA ＝2，求OP 的长．(1)证明：如答图，连接OC ，OD .∴OC ＝OD .∵PD ，PC 是⊙O 的切线， ∴∠ODP ＝∠OCP ＝90°. 在Rt △ODP 和Rt △OCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC ，OP ＝OP ，∴Rt △ODP ≌Rt △OCP (HL)， ∴∠DOP ＝∠COP ， ∵OD ＝OC ，∴OP ⊥CD .(2)解：∵OA ＝OD ＝OC ＝OB ＝2，∴∠ADO ＝∠DAO ＝50°，∠BCO ＝∠CBO ＝70°， ∴∠AOD ＝80°，∠BOC ＝40°， ∴∠COD ＝60°.∵OD ＝OC ， ∴△COD 是等边三角形， 由(1)知，∠DOP ＝∠COP ＝30°， 在Rt △ODP 中，OP ＝ODcos30°＝433.3．(2017·贺州)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 的切线分别交AB ，AC 的延长线于E ，F ，连接BD .(1)求证：AF ⊥EF ；(2)若AC ＝6，CF ＝2，求⊙O 的半径． (1)证明：如答图1，连接OD .∵EF 是⊙O 的切线，且点D 在⊙O 上， ∴OD ⊥EF .∵OA ＝OD ，∴∠DAB ＝∠ADO . ∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAB ＝∠DAC ， ∴∠ADO ＝∠DAC ，∴AF ∥OD ，∴AF ⊥EF .(2)解：如答图2，过D 作DG ⊥AE 于点G ，连接CD .∵∠BAD ＝∠DAF ，AF ⊥EF ，∴BD ＝CD ，DG ＝DF ， 在Rt △ADF 和Rt △ADG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，DF ＝DG ，∴Rt △ADF ≌Rt △ADG (HL)， 同理可得Rt △CDF ≌Rt △BDG ，∴BG ＝CF ＝2，AG ＝AF ＝AC ＋CF ＝6＋2＝8， ∴AB ＝AG ＋BG ＝8＋2＝10， ∴⊙O 的半径为12AB ＝5.4．(2018·苏州)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AD 垂直于过点C 的切线，垂足为D ，CE 垂直AB ，垂足为E .延长DA 交⊙O 于点F ，连接FC ，FC 与AB 相交于点G ，连接OC .(1)求证：CD ＝CE ；(2)若AE ＝GE ，求证：△CEO 是等腰直角三角形． 证明：(1)连接AC .∵CD 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CD .∵AD ⊥CD ，∴∠DCO ＝∠D ＝90°， ∴AD ∥OC ，∴∠DAC ＝∠ACO .∵OC ＝OA ， ∴∠CAO ＝∠ACO ，∴∠DAC ＝∠CAO . ∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝90°，在△CDA 和△CEA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠CEA ，∠DAC ＝∠EAC ，AC ＝AC ，∴△CDA ≌△CEA (AA S)，∴CD ＝CE . (2)连接BC .∵△CDA ≌△CEA ， ∴∠DCA ＝∠EC A.∵CE ⊥AG ，AE ＝EG ， ∴CA ＝CG ，∴∠ECA ＝∠ECG .∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B.∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG.∵∠D＝90°，∴∠DCF＋∠F＝90°，∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°，∴∠AOC＝2∠F＝45°，∴△CEO是等腰直角三角形．类型2 与相似三角形相关证明与计算1．(2018·玉林适应考试)如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB 的延长线交于点P，点C在OP上，且BC＝PC.(1)求证：直线BC是⊙O的切线；(2)若OA＝3，AB＝2，求BP的长．(1)证明：如答图，连接OB.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OB A.又∵BC＝PC，∴∠P＝∠CBP.∵OP⊥AD，∴∠A＋∠P＝90°，∴∠OBA＋∠CBP＝90°，∴∠OBC＝180°－(∠OBA＋∠CBP)＝90°.∵点B在⊙O上，直线BC是⊙O的切线．(2)解：如答图，连接DB.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴Rt △ABD ∽Rt △AOP ，∴AB AO ＝AD AP ，即23＝6AP，解得AP ＝9， ∴BP ＝AP －BA ＝9－2＝7.2．(2018·贺州)如图，AB 是⊙O 的弦，过AB 的中点E 作EC ⊥OA ，垂足为C ，过点B 作直线BD 交CE 的延长线于点D ，使得DB ＝DE .(1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)若AB ＝12，DB ＝5，求△AOB 的面积． (1)证明：∵OA ＝OB ，DB ＝DE ，∴∠A ＝∠OBA ，∠DEB ＝∠DBE .∵EC ⊥OA ，∠DEB ＝∠AEC ， ∴∠A ＋∠DEB ＝90°，∴∠OBA ＋∠DBE ＝90°，∴∠OBD ＝90°. ∵OB 是⊙O 的半径，∴BD 是⊙O 的切线．(2)解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，连接OE ，如答图．∵点E 是AB 的中点，AB ＝12， ∴AE ＝EB ＝6，OE ⊥AB . 又∵DE ＝DB ，DF ⊥BE ， ∴DE ＝DB ＝5，∴EF ＝BF ＝3，∴DF ＝DE 2－EF 2＝4. ∵∠AEC ＝∠DEF ，∴∠A ＝∠EDF .∵OE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠AEO ＝∠DFE ＝90°， ∴△AEO ∽△DFE ，∴EO FE ＝AEDF，即EO 3＝64，得EO ＝92， ∴S △AOB ＝12AB ·OE ＝12×12×92＝27.3．(2018·随州)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CN 为⊙O 的切线，OM ⊥AB 于点O ，分别交AC ，CN 于D ，M 两点．(1)求证：MD ＝MC ；(2)若⊙O 的半径为5，AC ＝45，求MC 的长． (1)证明：如答图，连接OC .∵CN 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CM ，∠OCA ＋∠ACM ＝90°. ∵OM ⊥AB ，∴∠OAC ＋∠ODA ＝90°. ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ， ∴∠ACM ＝∠ODA ＝∠CDM ，∴MD ＝MC .(2)解：由题意可知AB ＝5×2＝10，AC ＝4 5. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴BC ＝102－52＝2 5.∵∠AOD ＝∠ACB ，∠OAD ＝∠CAB ，∴△AOD ∽△ACB, ∴OD BC ＝AO AC ，即OD 25＝545，可得OD ＝52.设MC ＝MD ＝x ，在Rt △OCM 中，由勾股定理得(x ＋52)2＝x 2＋52，解得x ＝154，即MC ＝154.4．(2016·来宾)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，DE ⊥AD ，交AB 于点E ，AE 为⊙O 的直径．(1)判断BC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(2)求证：△ABD ∽△DBE ； (3)若cos B ＝223，AE ＝4，求CD .(1)解：结论：BC 与⊙O 相切． 证明：如答图，连接OD .∵OA ＝OD ， ∴∠OAD ＝∠OD A. ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠DAB ，∴∠CAD ＝∠ADO ， ∴AC ∥OD .∵AC ⊥BC ，∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线． (2)证明：∵BC 是⊙O 的切线，∴∠ODB ＝90°， ∴∠BDE ＋∠ODE ＝90°.∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°，∴∠DAE ＋∠AED ＝90°. ∵OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED ， ∴∠DAB ＝∠BDE .∵∠ABD ＝∠DBE ， ∴△ABD ∽△DBE .(3)解：在Rt △ODB 中，∵cos B ＝BD OB ＝223，∴设BD ＝22k ，OB ＝3k .∵OD 2＋BD 2＝OB 2， ∴4＋8k 2＝9k 2，∴k ＝2，∴BO ＝6，BD ＝4 2. ∵DO ∥AC, ∴BD CD ＝BO AO ，∴42CD ＝62，∴CD ＝423.类型3 与锐角三角函数相关证明与计算1．(2018·毕节)如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AC 于点E ，过点E 作AB 的垂线交AB 于点F ，交CB 的延长线于点G ，且∠ABG ＝2∠C .。

题型三圆的相关证明与计算类型1 圆的基本性质证明与计算题1．（2019·四川资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A．5πB．6πC．20πD．24π2．（2019·遂宁）如图，△ABC内接于△O，若△A=45°，△O的半径r=4，则阴影部分的面积为（）A.4π-8B.2πC.4πD.8π-83．（2019·河北）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A B C D 4．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是AB的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m.则这段弯路所在圆的半径为A.25mB.24mC.30mD.60m5．（2019·山东省泰安市）如图，将△O 沿弦AB 折叠，AB 恰好经过圆O ，若△O 的半径为3，则AB 的长为( )A.12π B.πC.2πD.3π6．（2019·连云港）如图，点A 、B 、C 在△O 上，BC ＝6，△BAC ＝30°，则△O 的半径为 ．7．(2019·衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是_______. 8．（2019·黄石）如图，Rt中，A ∠=90°，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ,O 是BC 上一点，经过C 、D 两点的△O 分别交AC 、BC 于点E 、F ,3AD =ADC ∠=60°，则劣弧CD 的长为_______________9．（2019·天水）如图，在平面直角坐标系中，已知△D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，B 点坐标为（0，23，OC 与△D 相交于点C ，△OCA =30°，则图中阴影部分的面积为 ．10．（2019·宜宾）如图，△O 的两条相交弦AC 、BD ，△ACB=△CDB=60°，AC=23，则△O 的面积是 .11．（2019·包头）（本小题满分10分）如图，在△O 中，B 是△O 上一点，△ABC ＝120°，弦AC =23，弦BM 平分△ABC 交AC 于点D，连接MA ，MC ． （1）求△O 半径的长． （2）求证：AB +BC =BM ．12．（2019·杭州）如图，已知锐角三角形ABC 内接于△O ，OD △BC 于点D ，连接OA ． （1）若△BAC ＝60°， △求证：OD12OA ． △当OA ＝1时，求△ABC 面积的最大值．（2）点E 在线段OA 上，OE ＝OD .连接DE ，设△ABC ＝m △OED ，△ACB ＝n △OED （m ，n 是正数），若△ABC ＜△ACB ，求证：m ﹣n +2＝0．OE DCBA类型2 与切线有关的证明与计算 1．（2019·青岛）如图，线段 AB 经过△O 的圆心， AC ， BD 分别与△O 相切于点 C ， D ．若 AC ＝BD ＝4 ，△A ＝45 °，则弧CD 的长度为（ ） A ．π B ．2π C ．π D ．4π2．(2019·无锡)如图，P A 是△O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交△O 于点B ，若△P ＝40°，则△B 的度数为 ( ) A ．20° B ．25° C ．40° D ．50°3．（2019·重庆）如图，AB 是△O 的直径，AC 是△O 的切线，A 为切点，BC 与△O 交于点D ，连结OD ．若︒=∠50C ，则△AOD 的度数为（ ）A.︒40 B ．︒50 C ．︒80D ．︒1004．（2019·浙江省舟山）如图，已知△O 上三点A ，B ，C ，半径QC ＝1，△ABC ＝30°，切线P A 交OC 延长线于点P ，则P A 的长为 （ ） A ．2B C D ．125．（2009·烟台）如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，垂足为点D ，E ，连接AC ，B C ． 若AD ＝3，CE ＝3，则AC 的长为 A ．233 B ．33π C ．32π D ．233πxyO-6OOBCAABE F6．(2019·广西北部湾经济区)如图，AB 为O 的直径，BC 、CD 是O 的切线，切点分别为点B 、D ，点E 为线段OB 上的一个动点，连接OD ，CE ，DE ，已知25AB ,BC ＝2，当CE ＋DE 的值最小时，则CEDE的值为 （ ） A ．910 B ．23C ．53D ．557．（2019·山东滨州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的△O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF△AC ，垂足为点F ． （1）求证：直线DF 是△O 的切线； （2）求证：BC 2＝4CF•AC ；（3）若△O 的半径为4，△CDF ＝15°，求阴影部分的面积．8．（2019·玉林）如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，以AB 为直径作△O 分别交于AC ，BC 于点D ，E ，过点E 作O 的切线EF 交AC 于点F ，连接BD ． （1）求证：EF 是△CDB 的中位线； （2）求EF 的长．EDCBOAOA DCEB9．（2019·天津）已经PA,PB分别与△O相切于点A，B，△APB=80°，C为△O上一点.如图△，求△ACB的大小；（II）如图△，AE为△O的直径，AE与BC相交于点D，若AB=AD，求△EAC的大小.图△ 图△题型三 圆的相关证明与计算类型1 圆的基本性质证明与计算题 1．A 2．A 3．C 4．A 5．C 6．67．8．43π9．2π- 10．33．11．解：（1）△△ABC =120°，BM 平分△ABC ，△△MBA =△MBC =21△ABC =60°．△△ACM =△ABM =60°，△MAC =△MBC =60°． △在△AMC 中，△AMC ＝60°． △△AMC 是等边三角形 连接OA 、OC ，△AO =CO ，△AOC =2△AMC =120°． △△OAC =△OCA =30°，作OH △AC 于点H ． △AH =CH =21AC =3， △在Rt△AOH 中，cos △OAH =AOAH， △233=AO ，△AO =2， △△O 的半径为2．（4分） （2）证明：在BM 上截取BE ＝BC ，连接CE ，△△MBC =60°．△BE =BC ， △△EBC 为等边三角形， △CE =CB =BE ，△BCE =60°．△△BCD +△DCE =60°，△△ACM =60°，△△ECM +DCE =60°，，△△ECM =△BCD ，△△AMC 为等边三角形，△AC =MC ，△△ACB △△MCE ，△AB =ME ， △ME +EM =BM ，△AB +BC =BM ．(10分)12．解：（1）△证明：如图1，连接OB ，OC ，因为OB =OC ，OD △BC ， 所以△BOD =12△BOC =12×2△BAC =60°，△cos △BOD =OD OB =12,所以OD =12OB =12OA ；△作AF △BC ，垂足为点F ，所以AF ≤AD ≤AO +OD =32，等号当点A ，O ，D 在同一直线上时取到由△知，BC =2BD ，所以△ABC 的面积113222BC AF =⋅≤=，即△ABC （2）如图2，连接OC ，设△OED ＝x ，则△ABC ＝mx ，△ACB ＝nx ， 则△BAC ＝180°﹣△ABC ﹣△ACB ＝180°﹣mx ﹣nx=12△BOC ＝△DOC ， △△AOC ＝2△ABC ＝2mx ，△△AOD ＝△COD +△AOC ＝180°﹣mx ﹣nx +2mx ＝180°+mx ﹣nx ， △OE ＝OD ，△△AOD ＝180°﹣2x ，即：180°+mx ﹣nx ＝180°﹣2x ， 化简即可得：m ﹣n +2＝0．类型2 与切线有关的证明与计算1．B2．B3．C4．B5．D6．A7．解：（1）如图所示，连接OD，△AB＝AC，△△ABC＝△C，而OB＝OD，△△ODB＝△ABC＝△C，△DF△AC，△△CDF+△C＝90°，△△CDF+△ODB＝90°，△△ODF＝90°，△直线DF是△O的切线；（2）连接AD，则AD△BC，则AB＝AC，则DB＝DC＝，△△CDF+△C＝90°，△C+△DAC＝90°，△△CDF＝△DCA，而△DFC＝△ADC＝90°，△△CFD△△CDA，△CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；（3）连接OE，△△CDF＝15°，△C＝75°，△△OAE＝30°＝△OEA，△△AOE＝120°，S△OAE＝AE×OE sin△OEA＝×2×OE×cos△OEA×OE sin△OEA＝4，S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×42﹣4＝﹣4．8．解：（1）连结AE，△AB为O的直径，△△AEB=90，又AB=AC，△BE=EC，即E为BC 中点，连结OE，可得OE为△ABC的中位线，△OE△AC，△△DFE=△OEF=90°，△AB为直径△△，ADB=90°，△EF△BD，△E为BC中点，△F为DC中点，△EF为△BDC的中位线．（2）在Rt△ABE中，AE==4，S△ACE=12AC×EF=12EC×AE，△12×5×EF=12×3×4，△EF=125．9．解：（△）连接OA、OB，△P A，PB是△O的切线，△OA△PA，OB△PB，△△OAP=△OBP=90°，△△APB=80°，△在四边形OAPB中，△AOB=360°-△OAP-△OBP-△APB=100°，△△ACB=1 2△AOB=50°；图△ 图△（II ）如图△，△P A ，PB 是△O 的切线，△PA=PB ，△△APB=80°，△△PAB=△PBA=50°，由（△）知△PAD=90°，△ACB=50°，△△BAD=△PAD-△PAB=40°，△AB=AD ，△△ADB=△B=70°，△△ADB=△EAC+△ACB ，△△EAC=△ADB-△ACB=20°.。

2019-2020年中考数学复习专题三圆的证明与计算试题类型一 切线的判定判定某直线是圆的切线，首先看是否有圆的半径过直线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直．(xx·黄石)如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上(异于A ，B)，AD⊥CD， (1)若BC ＝3，AB ＝5，求AC 的值；(2)若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．【分析】 (1)根据直径所对的圆周角为直角，利用勾股定理求AC 的长；(2)连接OC ，利用AC 是∠DAB 的平分线，证得∠OAC＝∠CAD，再结合半径相等，可得OC∥AD，进而结论得证．1．(xx ·六盘水)如图，在⊙O 中，AB 为直径，D ，E 为圆上两点，C 为圆外一点，且∠E＋∠C＝90°. (1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)若sin A ＝35，BC ＝6，求⊙O 的半径．2．(xx·济宁)如图，已知⊙O 的直径AB ＝12，弦AC ＝10，D 是BC ︵的中点，过点D 作DE⊥AC，交AC 的延长线于点E.(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)求AE 的长．类型二 切线的性质已知某条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质解题． (xx·资阳)如图，在⊙O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线，切点为D ，连接BD. (1)求证：∠A＝∠BDC；(2)若CM 平分∠ACD，且分别交AD ，BD 于点M ，N ，当DM ＝1时，求MN 的长．【分析】 (1)连接OD ，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB 是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC ＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根据勾股定理求得MN 的长．3．(xx·南平)如图，PA ，PB 是⊙O 切线，A ，B 为切点，点C 在PB 上，OC∥AP，CD⊥AP 于点D. (1)求证：OC ＝AD ；(2)若∠P＝50°，⊙O 的半径为4，求四边形AOCD 的周长(精确到0.1，参考数据sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)．4．(xx·长沙)如图，AB 与⊙O 相切于点C ，OA ，OB 分别交⊙O 于点D ，E ，CD ︵＝CE ︵. (1)求证：OA ＝OB ；(2)已知AB ＝43，OA ＝4，求阴影部分的面积．类型三 圆与相似的综合圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合切线的判定及性质综合考查，求线段长或半径．一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径．(xx·荆门)如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，点F 是DA 延长线的一点，AC 平分∠FAB 交⊙O 于点C ，过点C 作CE⊥DF，垂足为点E. (1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．【分析】 (1)连接CO，证得∠O CA＝∠CAE，由平行线的判定得到OC∥FD，再证得OC⊥CE即可；(2)连接BC，由圆周角定理得到∠BCA＝90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可求得半径．5．(xx·德州)如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点．以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．6．(xx·黄冈)如图，已知MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN.求证：(1)DE是⊙O的切线；(2)ME2＝MD·MN.7．(xx·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：∠BDC＝∠A；(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长．参考答案【例1】 (1)∵AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝AB 2－BC 2＝4. (2)如图，连接OC ，∵AC 平分∠DAB， ∴∠OAC＝∠CAD.∵OA＝OC ，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠CAD， ∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.∵O C 是⊙O 的半径，∴直线CD 是⊙O 的切线． 【变式训练】1．(1)证明：∵∠A 与∠E 所对的弧都是BD ︵， ∴∠A＝∠E.∵∠E＋∠C＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝90°.即AB⊥BC. ∵AB 是直径，∴BC 为⊙O 的切线．(2)解：∵sin A ＝BC AC ＝35，BC ＝6，∴AC＝10.在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝8，∴AO＝12AB ＝4，即⊙O 的半径是4.2．(1)证明：如图，连接OD.∵D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝DC ︵， ∴∠BOD＝∠BAE，∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°. ∴OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的切线．(2)解：如图，过点O 作OF⊥AC 于点F.∵AC＝10，∴AF＝CF ＝12AC ＝12×10＝5.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED 是矩形， ∴FE＝OD ＝12AB ＝6，∴AE＝AF ＋FE ＝5＋6＝11. 【例2】 (1)如图，连接OD ，∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠ODC＝90°，∴∠BDC＋∠ODB＝90°. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A＋∠ABD＝90°. ∵OB＝OD ，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC. (2)∵CM 平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM. ∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM. 即∠DMN＝∠DNM.∵∠ADB＝90°，DM ＝1，∴DN＝DM ＝1， ∴MN＝DM 2＋DN 2＝ 2. 【变式训练】3．(1)证明：∵PA 是⊙O 的切线，A 为切点， ∴OA⊥PA，即∠OAD＝90°. ∵OC∥AP，∴∠COA＝180°－∠OAD＝180°－90°＝90°. ∵CD⊥PA，∴∠CDA＝∠OAD＝∠COA＝90°， ∴四边形AOCD 是矩形，∴OC＝AD.(2)解：∵PB 切⊙O 于点B ，∴∠OBP＝90°. ∵OC∥AP，∴∠BCO＝∠P＝50°. 在Rt △OBC 中，sin ∠BCO＝OBOC ，OB ＝4，∴OC＝4sin 50°≈5.22，∴矩形OADC 的周长为2(OA ＋OC)＝2×(4＋5.22)≈18.4. 4．(1)证明：如图，连接OC.∵AB 与⊙O 相切于点C ， ∴∠ACO＝90°. ∵CD ︵＝CE ︵，∴∠AOC＝∠BOC， ∴∠A＝∠B， ∴OA＝OB.(2)解：由(1)可知△OAB 是等腰三角形， ∴BC＝12AB ＝23，∴sin ∠COB＝BC OB ＝32，∴∠COB＝60°，∴∠B＝30°，∴OC＝12OB ＝2，∴S 扇形OCE ＝60π×4360＝2π3，S △OCB ＝12×23×2＝23，∴S 阴影＝S △OCB －S 扇形OCE ＝23－2π3. 【例3】 (1)如图，连接CO ， ∵OA＝OC ，∴∠OCA＝∠OAC.∵AC 平分∠FAB，∴∠OAC＝∠FAC， ∴∠OCA＝∠FAC，∴OC∥FD.∵CE⊥FD，∴CE⊥OC.∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 的切线． (2)如图，连接BC ，在Rt △ACE 中，AC ＝AE 2＋EC 2＝ 5. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA＝90°， ∴∠BCA＝∠CEA.∵∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC， ∴CA AB ＝AE AC ，即5AB ＝15，∴AB＝5， ∴AO ＝12AB ＝2.5即⊙O 的半径是2.5.【变式训练】5．(1)证明：如图，连接OE ，CE.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°.∴ED＝12BC ＝DC ，∴∠1＝∠2.∵OE＝OC ，∴∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACD. ∵∠ACD＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥DE. 又∵E 是⊙O 上一点， ∴DE 是⊙O 的切线．(2)解：由(1)知∠BEC＝90°.在Rt △BEC 与Rt △BCA 中，∠B 为公共角， ∴△BEC∽△BCA， ∴BE BC ＝BC BA， 即BC 2＝BE·BA.∵AE∶EB＝1∶2，设AE ＝x ，则BE ＝2x ，BA ＝3x. 又∵BC＝6，∴62＝2x·3x.∴x＝6，即AE ＝ 6. 6．证明：(1)∵ME 平分∠DMN，∴∠OME＝∠DME. ∵OM＝OE ，∴∠OME＝∠OEM， ∴∠DME＝∠OEM，∴OE∥DM. ∵DM⊥DE，∴OE⊥DE.∵OE 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线． (2)如图，连接EN ，∵DM⊥DE，MN 为⊙O 的直径， ∴∠MDE＝∠MEN＝90°， ∵∠NME＝∠DME， ∴△MDE∽△MEN， ∴ME MD ＝MN ME， ∴ME 2＝MD·MN.7．(1)证明：如图，连接OD ，∴∠ODC＝90°.即∠ODB＋∠BDC＝90°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.即∠ODB＋∠ADO＝90°.∴∠BDC＝∠ADO.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A.(2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC.∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE.又∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴CEDE＝AECE，∴CE2＝DE·AE，即16＝2(2＋AD)．∴AD＝6.。

圆的综合题类型一 与全等结合1. 如图,⊙O 的直径AB ＝4,C 为⊙O 上一点,AC ＝2.过点C 作⊙O 的切线DC ,P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合). (1)求∠APC 与∠ACD 的度数；(2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时,求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时,求证：△APC 与△ABC 全等.第1题图(1)解：∵AC ＝2,OA ＝OB ＝OC ＝12AB ＝2,∴AC ＝OA ＝OC , ∴△ACO 为等边三角形,∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°,∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°, 又∵DC 与⊙O 相切于点C , ∴OC ⊥DC , ∴∠DCO ＝90°,∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；第1题解图(2)证明：如解图,连接PB ,OP ,∵AB 为直径,∠AOC ＝60°, ∴∠COB ＝120°,当点P 移动到CB ︵的中点时,∠COP ＝∠POB ＝60°, ∴△COP 和△BOP 都为等边三角形, ∴OC ＝CP ＝OB ＝PB , ∴四边形OBPC 为菱形； (3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径,∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°, 在Rt △ABC 与Rt △CP A 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CP AC ＝AC , ∴Rt △ABC ≌Rt △CP A (HL).2. 如图,AB 为⊙O 的直径,CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ,CO 的延长线交⊙O 于点M ,连接BD 、DM . (1)求证：AC ＝DC ； (2)求证：BD ∥CM ；(3)若sin B ＝45,求cos ∠BDM 的值.第2题图(1)证明：如解图,连接OD ,∵CA 、CD 分别与⊙O 相切于点A 、D , ∴OA ⊥AC ,OD ⊥CD , 在Rt △OAC 和Rt △ODC 中,⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD OC ＝OC , ∴Rt △OAC ≌Rt △ODC (HL), ∴AC ＝DC ；(2)证明：由(1)知, △OAC ≌△ODC ,∴∠AOC ＝∠DOC , ∴∠AOD ＝2∠AOC , ∵∠AOD ＝2∠OBD , ∴∠AOC ＝∠OBD , ∴BD ∥CM ； (3)解：∵BD ∥CM ,∴∠BDM ＝∠M ,∠DOC ＝∠ODB ,∠AOC ＝∠B , ∵OD ＝OB ＝OM ,∴∠ODM ＝∠OMD ,∠ODB ＝∠B ＝∠DOC , ∵∠DOC ＝2∠DMO , ∴∠DOC ＝2∠BDM , ∴∠B ＝2∠BDM ,如解图,作OE 平分∠AOC ,交AC 于点E ,作EF ⊥OC 于点F ,第2题解图∴EF ＝AE ,在Rt △EAO 和Rt △EFO 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OE AE ＝EF, ∴Rt △EAO ≌Rt △EFO (HL), ∴OA ＝OF ,∠AOE ＝12∠AOC , ∴点F 在⊙O 上,又∵∠AOC ＝∠B ＝2∠BDM , ∴∠AOE ＝∠BDM , 设AE ＝EF ＝y , ∵sin B ＝45,∴在Rt △AOC 中,sin ∠AOC ＝AC OC ＝45,∴设AC ＝4x ,OC ＝5x ,则OA ＝3x , 在Rt △EFC 中,EC 2＝EF 2＋CF 2, ∵EC ＝4x －y ,CF ＝5x －3x ＝2x , ∴(4x －y )2＝y 2＋(2x )2, 解得y ＝32x ,∴在Rt △OAE 中,OE ＝OA 2＋AE 2 ＝（3x ）2＋（32x ）2＝352x ,∴cos ∠BDM ＝cos ∠AOE ＝OA OE ＝3x 352x＝255.3. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AC 为直径,AB ︵＝BD ︵,BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E .(1)求证：∠1＝∠BCE ； (2)求证：BE 是⊙O 的切线； (3)若EC ＝1,CD ＝3,求cos ∠DBA .第3题图(1)证明：如解图,过点B 作BF ⊥AC 于点F ,∵AB ︵＝BD ︵, ∴AB ＝BD在△ABF 与△DBE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠BDE ∠AFB ＝∠DEB AB ＝DB, ∴△ABF ≌△DBE (AAS), ∴BF ＝BE , ∵BE ⊥DC ,BF ⊥AC , ∴∠1＝∠BCE ； (2)证明：如解图,连接OB ,∵AC 是⊙O 的直径,∴∠ABC ＝90°,即∠1＋∠BAC ＝90°, ∵∠BCE ＋∠EBC ＝90°,且∠1＝∠BCE , ∴∠BAC ＝∠EBC , ∵OA ＝OB ,∴∠BAC ＝∠OBA , ∴∠EBC ＝∠OBA ,∴∠EBC ＋∠CBO ＝∠OBA ＋∠CBO ＝90°, ∴∠EBO ＝90°, 又∵OB 为⊙O 的半径, ∴BE 是⊙O 的切线；第3题解图(3)解：在△EBC 与△FBC 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠CFB ，∠ECB ＝∠FCB ，BC ＝BC ，∴△EBC ≌△FBC (AAS), ∴CE ＝CF ＝1.由(1)可知：AF ＝DE ＝1＋3＝4, ∴AC ＝CF ＋AF ＝1＋4＝5,∴cos ∠DBA ＝cos ∠DCA ＝CD CA ＝35. 类型二 与相似结合4. 如图,△ABC 内接于⊙O ,AB ＝AC ,∠BAC ＝36°,过点A 作AD ∥BC ,与∠ABC 的平分线交于点D ,BD 与AC 交于点E ,与⊙O 交于点F . (1)求∠DAF 的度数； (2)求证：AE 2＝EF ·ED ； (3)求证：AD 是⊙O 的切线.第4题图(1)解：∵AB ＝AC ,∠BAC ＝36°,∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°, ∴∠AFB ＝∠ACB ＝72°, ∵BD 平分∠ABC , ∴∠DBC ＝36°, ∵AD ∥BC ,∴∠D＝∠DBC＝36°,∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D,∠AEF＝∠AED,∴△EAF∽△EDA,∴AEDE＝EFEA,∴AE2＝EF·ED；(3)证明：如解图,过点A作BC的垂线,G为垂足,∵AB＝AC,∴AG垂直平分BC,∴AG过圆心O,∵AD∥BC ,∴AD⊥AG ,∴AD是⊙O的切线.第4题解图5. 如图,AB 为半圆的直径,O 为圆心,OC ⊥AB ,D 为BC ︵的中点,连接DA 、DB 、DC ,过点C 作DC 的垂线交DA 于点E ,DA 交OC 于点F . (1)求证：∠CED ＝45°； (2)求证：AE ＝BD ； (3)求AOOF 的值.第5题图(1)证明：∵∠CDA ＝12∠COA ＝12×90°＝45°,又∵CE ⊥DC ,∴∠DCE ＝90°, ∴∠CED ＝180°－90°－45°＝45°； (2)解：如解图,连接AC ,∵D 为BC ︵的中点,∴∠BAD ＝∠CAD ＝12×45°＝22.5°, 而∠CED ＝∠CAE ＋∠ACE ＝45°, ∴∠CAE ＝∠ACE ＝22.5°,∴AE ＝CE ,∵∠ECD ＝90°,∠CED ＝45°, ∴CE ＝CD , 又∵CD ︵＝BD ︵, ∴CD ＝BD ,∴AE ＝CE ＝CD ＝BD , ∴AE ＝BD ；第5题解图(3)解：设BD ＝CD ＝x ,∴AE ＝CE ＝x ,由勾股定理得,DE ＝2x ,则AD ＝x ＋2x , 又∵AB 是直径,则∠ADB ＝90°, ∴△AOF ∽△ADB ,∴AO OF ＝AD DB ＝x ＋2xx ＝1＋ 2.6. 如图,AB 为⊙O 的直径,P 点为半径OA 上异于点O 和点A 的一个点,过P 点作与直径AB 垂直的弦CD ,连接AD ,作BE ⊥AB ,OE //AD 交BE于E 点,连接AE 、DE ,AE 交CD 于点F . (1)求证：DE 为⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3,sin ∠ADP ＝13,求AD ； (3)请猜想PF 与FD 的数量关系,并加以证明.第6题图(1)证明：如解图,连接OD ,∵OA ＝OD , ∴∠OAD ＝∠ODA , ∵OE ∥AD ,∴∠OAD ＝∠BOE ,∠DOE ＝∠ODA , ∴∠BOE ＝∠DOE , 在△BOE 和△DOE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ∠BOE ＝∠DOE OE ＝OE,∴△BOE ≌△DOE (SAS), ∴∠ODE ＝∠OBE , ∵BE ⊥AB , ∴∠OBE ＝90°, ∴∠ODE ＝90°, ∵OD 为⊙O 的半径, ∴DE 为⊙O 的切线； (2)解：如解图,连接BD ,∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADB ＝90°, ∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°, ∵AB ⊥CD ,∴∠ADP ＋∠BAD ＝90°, ∴∠ABD ＝∠ADP ,∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝sin ∠ADP ＝13, ∵⊙O 的半径为3,∴AB =6,∴AD ＝13AB ＝2；第6题解图(3)解：猜想PF ＝FD ,证明：∵CD ⊥AB ,BE ⊥AB , ∴CD ∥BE , ∴△APF ∽△ABE , ∴PF BE ＝AP AB , ∴PF ＝AP ·BEAB , 在△APD 和△OBE 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠APD ＝∠OBE ∠P AD ＝∠BOE , ∴△APD ∽△OBE ,∴PD BE ＝AP OB , ∴PD ＝AP ·BEOB , ∵AB ＝2OB , ∴PF ＝12PD , ∴PF ＝FD .7. 如图①,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,OD ∥AC ,OD 交⊙O 于点E ,且∠CBD ＝∠COD . (1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)若点E 为线段OD 的中点,求证：四边形OACE 是菱形. (3)如图②,作CF ⊥AB 于点F ,连接AD 交CF 于点G ,求FGFC 的值.第7题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径,∴∠BCA ＝90°,∴∠ABC＋∠BAC＝90°,∵OD∥AC,∴∠ACO＝∠COD.∵OA＝OC,∴∠BAC＝∠ACO,又∵∠COD＝∠CBD,∴∠CBD＝∠BAC,∴∠ABC＋∠CBD＝90°,∴∠ABD＝90°,即OB⊥BD,又∵OB是⊙O的半径,∴BD是⊙O的切线；(2)证明：如解图,连接CE、BE,∵OE＝ED,∠OBD＝90°,∴BE＝OE＝ED,∴△OBE为等边三角形,∴∠BOE＝60°,又∵AC∥OD,∴∠OAC＝60°,又∵OA＝OC,∴△OAC为等边三角形,∴AC＝OA＝OE,∴AC∥OE且AC＝OE,∴四边形OACE是平行四边形,而OA＝OE, ∴四边形OACE是菱形；第7题解图(3)解：∵CF⊥AB,∴∠AFC＝∠OBD＝90°,而AC∥OD,∴∠CAF＝∠DOB,∴Rt△AFC∽Rt△OBD,∴FCBD＝AFOB,即FC＝BD·AFOB,又∵FG∥BD,∴△AFG∽△ABD,∴FGBD＝AFAB,即FG＝BD·AFAB,∴FCFG＝ABOB＝2,∴FGFC＝12.8. 如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O、B重合),作EC⊥OB交⊙O于点C,作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB.(1)求证：AC平分∠F AB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB＝43且CFCP＝34时,求劣弧BD︵的长度.第8题图(1)证明：∵PF切⊙O于点C,CD是⊙O的直径,∴CD⊥PF,又∵AF⊥PC,∴AF∥CD,∴∠OCA＝∠CAF,∵OA＝OC,∴∠OAC＝∠OCA,∴∠CAF＝∠OAC,∴AC平分∠F AB；(2)证明：∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°,∵∠DCP＝90°,∴∠ACB＝∠DCP＝90°,又∵∠BAC＝∠D,∴△ACB∽△DCP,∴∠EBC＝∠P,∵CE⊥AB,∴∠BEC＝90°,∵CD是⊙O的直径,∴∠DBC＝90°,∴∠CBP ＝90°,∴∠BEC ＝∠CBP ,∴△CBE ∽△CPB ,∴BC PC ＝CE CB ,∴BC 2＝CE ·CP ；(3)解：∵AC 平分∠F AB ,CF ⊥AF ,CE ⊥AB ,∴CF ＝CE ,∵CF CP ＝34,∴CE CP ＝34,设CE ＝3k ,则CP ＝4k ,∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2,∴BC ＝23k ,在Rt △BEC 中,∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝32,∴∠EBC ＝60°,∴△OBC 是等边三角形,∴∠DOB ＝120°,∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.类型三 与全等相似结合9. 如图,四边形ABCD 内接于圆O ,∠BAD ＝90°,AC 为直径,过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点E ,过AC 的三等分点F (靠近点C )作CE 的平行线交AB 于点G ,连接CG .(1)求证：AB ＝CD ；(2)求证：CD 2＝BE ·BC ；(3)当CG ＝3,BE ＝92,求CD 的长.第9题图(1)证明：∵AC 为直径,∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°, ∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°,∴BC∥AD,∴∠BCA＝∠CAD,又∵AC＝CA,∴△ABC≌△CDA(AAS),∴AB＝CD；(2)证明：∵AE为⊙O的切线且O为圆心,∴OA⊥AE,即CA⊥AE,∴∠EAB＋∠BAC＝90°,而∠BAC＋∠BCA＝90°,∴∠EAB＝∠BCA,而∠EBA＝∠ABC,∴△EBA∽△ABC,∴EBAB＝BABC,∴AB2＝BE·BC, 由(1)知AB＝CD,∴CD 2＝BE ·BC ；(3)解：由(2)知CD 2＝BE ·BC ,即CD 2＝92BC ①,∵FG ∥BC 且点F 为AC 的三等分点,∴G 为AB 的三等分点,即CD ＝AB ＝3BG ,在Rt △CBG 中,CG 2＝BG 2＋BC 2,即3＝(13CD )2＋BC 2②,将①代入②,消去CD 得,BC 2＋12BC －3＝0,即2BC 2＋BC －6＝0,解得BC ＝32或BC ＝－2(舍)③,将③代入①得,CD ＝332.10.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为圆外一点,AC 交⊙O 于点D ,BC 2＝CD ·CA ,ED ︵＝BD ︵,BE 交AC 于点F .(1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15,CD ＝9,∠BAC ＝36°,求BD ︵的长度(结果保留π).第10题图(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ,∴BC CA ＝CD BC ,∵∠C ＝∠C ,∴△CBD ∽△CAB ,∴∠CBD ＝∠BAC ,又∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB ＝90°,即∠BAC ＋∠ABD ＝90°,∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°,即AB ⊥BC ,又∵AB 为⊙O 的直径,∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形.证明如下：∵ED ︵＝BD ︵,∴∠DAE ＝∠BAC ,又∵△CBD ∽△CAB ,∴∠BAC ＝∠CBD ,∴∠CBD ＝∠DAE ,∵∠DAE ＝∠DBF ,∴∠DBF ＝∠CBD ,∵∠BDF ＝90°,∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°,∵BD ＝BD ,∴△BDF ≌△BDC ,∴BF ＝BC ,∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知,BC 为⊙O 的切线,∴∠ABC ＝90°∵BC 2＝CD ·CA ,∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25,由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20,∴⊙O 的半径为r ＝AB 2＝10,∵∠BAC ＝36°,∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.。

专题二 圆的证明与计算类型一 圆基本性质的证明与计算1.如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． (1)求证：P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)若P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．第1题图2. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是AB ︵的中点，连接P A ，PB ，PC .(1)如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AC ＝3AP ； (2)如图②，若sin ∠BPC ＝2425，求tan ∠P AB 的值．第2题图3. 已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ，tan ∠ACD ＝32. (1)如图①，若AB 为⊙O 的直径，BE ＝8，求AC 的长；(2)如图②，若AB 不为⊙O 的直径，BE ＝4，F 为BC ︵上一点，BF ︵＝BD ︵，且CF ＝7，求AC 的长．第3题图4.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，连接AD 、DE .(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若 DE ＝3，BD －AD ＝2，求⊙O 的半径； (3)在(2)的条件下，求弦AE 的长．第4题图5.如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点， ∠APC ＝∠CPB ＝60°.(1)判断△ABC 的形状：________；(2)试探究线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．第5题图 备用图类型二与切线有关的证明与计算(一、与三角函数结合1.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD 交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与⊙O相切；(2)当BD＝6，sin C＝35时，求⊙O的半径．第1题图2.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.(1)求证：∠PCA＝∠ABC；(2)过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE.若sin ∠P ＝35，CF ＝5，求BE 的长．第2题图3. 如图①，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，点P 在BA 的延长线上，且满足∠PDA ＝∠ADC .(1)判断直线PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)延长DO 交⊙O 于M (如图②)，当M 恰为BC ︵的中点时，试求DE BE 的值；(3)若P A ＝2，tan ∠PDA ＝12，求⊙O 的半径．第3题图二、与相似三角形结合1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连接DE . (1)求证：△ABC ∽△CBD ； (2)求证：直线DE 是⊙O 的切线．第1题图2. 如图，⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上，⊙O 经过C 、D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO 、ED ，有BO ∥ED ，作弦EF ⊥AC 于G ，连接DF .(1)求证：CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠DFE ＝35，求EF 的长．第2题图3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠ADE ＝45，求BF 的长．第3题图4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.(1)若∠B＝30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形；(2)若AC＝6，AB＝10，连接AD，求⊙O的半径和AD的长．第4题图5.已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD ＝DC，延长CB交⊙O于点E.(1)图①的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)第5题图6.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，OF延长线交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求证：CE2＝EH·EA；(3)若⊙O 的半径为5，sin A ＝35，求BH 的长．第6题图7.如图①，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E (BE ＞EC )，且BD ＝2 3.过点D 作DF ∥BC ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若∠BAC ＝60°，DE ＝7，求图中阴影部分的面积；(3)若AB AC ＝43，DF ＋BF ＝8，如图②，求BF 的长．第7题图三、与全等三角形结合1.如图，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A 、B 两点． (1)求证：PN 与⊙O 相切；(2)如果∠MPC ＝30°，PE ＝23，求劣弧BE ︵的长．第1题图2.如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC ＝60°.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O 的半径为2.试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．第2题图3. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE.(1)求证：AE与⊙O相切；(2)连接BD，若ED∶DO＝3∶1，OA＝9，求AE的长和tan B的值．第3题图4. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O 交于点C，连接BC，AF.(1)求证：直线P A为⊙O的切线；(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；(3)若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．第4题图5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD ，交CA 的延长线于点P ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F . (1)求证：PD ∥AB ； (2)求证：DE ＝BF ；(3)若AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，求线段PC 的长．第5题图6.如图，点P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D . (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若PD ＝163，AC ＝8，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．第6题图7. 如图①，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与半径OB相交于点F，连接BD，过圆心O作OG∥BD，过点A作⊙O的切线，与OG 相交于点G，连接GD，并延长与AB的延长线交于点E.(1)求证：GD＝GA；(2)求证：△DEF是等腰三角形；(3)如图②，连接BC，过点B作BH⊥GE，垂足为点H，若BH＝9，⊙O的直径是25，求△CBF的周长．第7题图专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接AD，BC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠P AD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，∴△P AD ∽△PCB ， ∴P A PD ＝PC PB ， ∴P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)解：如解图，连接OD ，过O 点作OE ⊥DC 于点E ， ∵P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，∴PB ＝P A ＋AB ＝16，PC ＝PD ＋DC ＝2DC ＋2， ∵P A ·PB ＝PD ·PC ，∴454×16＝(DC ＋2)(2DC ＋2)， 解得DC ＝8或DC ＝－11(舍去)， ∴DE ＝12DC ＝4， ∵OD ＝5，∴在Rt △ODE 中，OE ＝OD 2－DE 2＝3， 即点O 到PC 的距离为3.2. (1)证明：∵∠BAC 与∠BPC 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°， 又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB ＝60°， ∵点P 是AB ︵的中点， ∴P A ︵＝PB ︵，∴∠ACP ＝∠BCP ＝12∠ACB ＝30°，而∠APC ＝∠ABC ＝60°， ∴△APC 为直角三角形， ∴tan ∠APC ＝AC AP ， ∴AC ＝AP tan60°＝3AP ；(2)解：连接AO 并延长交PC 于点E ，交BC 于点F ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，连接OC ，BO ，如解图，∵AB ＝AC ， ∴AF ⊥BC ， ∴BF ＝CF ， ∵点P 是AB ︵中点， ∴∠ACP ＝∠PCB ， ∴EG ＝EF .∵∠BPC ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝∠FOC ， ∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC ＝2425， 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ，∴OF ＝OC 2－FC 2＝7a ，AF ＝25a ＋7a ＝32a ， 在Rt △AFC 中，∵AC 2＝AF 2＋FC 2， ∴AC ＝（32a ）2＋（24a ）2＝40a ， ∵∠EAG ＝∠CAF ， ∴△AEG ∽△ACF ， ∴EG CF ＝AE AC ，又∵EG ＝EF ，AE ＝AF －EF ，第2题解图∴EG 24a ＝32a －EG 40a ， 解得EG ＝12a ，在Rt △CEF 中，tan ∠ECF ＝EF FC ＝12a 24a ＝12， ∵∠P AB ＝∠PCB ，∴tan ∠P AB ＝tan ∠PCB ＝tan ∠ECF ＝12. 3. 解：(1)如解图①，连接BD ， ∵直径AB ⊥弦CD 于点E ， ∴CE ＝DE ，∵∠ACD 与∠ABD 是同弧所对的圆周角， ∴∠ACD ＝∠ABD ， ∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝32， ∴ED EB ＝AE CE ＝32，即ED 8＝32， ∴ED ＝12， ∴CE ＝ED ＝12， 又∵AE ＝32CE ＝18， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝613；(2)连接CB ，过B 作BG ⊥CF 于G ，如解图②， ∵BF ︵＝BD ︵， ∴∠BCE ＝∠BCG ， 在△CEB 和△CGB 中第3题解图①⎩⎪⎨⎪⎧∠BCE ＝∠BCG ∠BEC ＝∠BGC BC ＝BC， ∴△CEB ≌△CGB (AAS)， ∴BE ＝BG ＝4，∵四边形ACFB 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠CFB ＝180°， 又∵∠CFB ＋∠BFG ＝180°， ∴∠BFG ＝∠A ， ∵∠FGB ＝∠AEC ＝90°， ∴△BFG ∽△CAE ， ∴FG BG ＝AE CE ＝32， ∴FG ＝32BG ＝6， ∴CE ＝CG ＝13， ∴AE ＝32CE ＝392，∴AC ＝AE 2＋CE 2＝13213. 4. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， 即AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴等腰△ABC ，AD 为BC 边上的垂线， ∴BD ＝DC ， ∴D 是BC 的中点； (2)解：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵∠ABC 和∠AED 是同弧所对的圆周角， ∴∠ABC ＝∠AED ， ∴∠AED ＝∠C ， ∴CD ＝DE ＝3， ∴BD ＝CD ＝3， ∵BD －AD ＝2， ∴AD ＝1，在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋12＝10， ∴AB ＝10，∴⊙O 的半径＝12AB ＝102； (3)解：如解图，连接BE ， ∵AB ＝10， ∴AC ＝10，∵∠ADC ＝∠BEA ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△CDA ∽△CEB ， ∴AC BC ＝CD CE ，由(2)知BC ＝2BD ＝6，CD ＝3， ∴106＝3CE ， ∴CE ＝9510，∴AE ＝CE －AC ＝9510－10＝4510. 5. 解：(1)等边三角形．第4题解图【解法提示】∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，又∵∠BAC 和∠CPB 是同弧所对的圆周角，∠ABC 和∠APC 是同弧所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ＝60°，∠ABC ＝∠APC ＝60°， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°， ∴AC ＝BC ，又∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴△ABC 是等边三角形． (2)P A ＋PB ＝PC .证明如下：如解图①，在PC 上截取PD ＝P A ，连接AD ， ∵∠APC ＝60°， ∴△P AD 是等边三角形， ∴P A ＝AD ＝PD ，∠P AD ＝60°， 又∵∠BAC ＝60°， ∴∠P AB ＝∠DAC ， 在△P AB 和△DAC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AD ∠P AB ＝∠DAC ，AB ＝AC ∴△P AB ≌△DAC (SAS)， ∴PB ＝DC ， ∵PD ＋DC ＝PC ， ∴P A ＋PB ＝PC ，(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大． 理由如下：如解图②，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，第5题解图①第5题解图②过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ， ∵S △P AB ＝12AB ·PE ，S △ABC ＝12AB ·CF ， ∴S 四边形APBC ＝12AB ·(PE ＋CF )．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径， 此时四边形APBC 的面积最大， 又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝ 3 ， ∴四边形APBC 的最大面积为12×2×3＝ 3 . 类型二 与切线有关的证明与计算 一、与三角函数结合 针对演练1. (1)证明：连接OE ，如解图， ∵AB ＝BC 且D 是AC 中点， ∴BD ⊥AC ， ∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠DBE ， ∵OB ＝OE ， ∴∠OBE ＝∠OEB ， ∴∠OEB ＝∠DBE ， ∴OE ∥BD ，第1题解图∵BD ⊥AC ， ∴OE ⊥AC ， ∵OE 为⊙O 半径， ∴AC 与⊙O 相切；(2)解：∵BD ＝6，sin C ＝35，BD ⊥AC ， ∴BC ＝BDsin C ＝10， ∴AB ＝BC ＝10.设⊙O 的半径为r ，则AO ＝10－r ， ∵AB ＝BC ， ∴∠C ＝∠A ， ∴sin A ＝sin C ＝35， ∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC ，∴sin A ＝OE OA ＝r 10－r ＝35，∴r ＝154， 即⊙O 的半径是154.2. (1)证明：连接OC ，如解图， ∵PC 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PC ， ∴∠PCO ＝90°， ∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°， ∵AB 为⊙O 的直径，第2题解图∴∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠OAC ＝90°， ∵OC ＝OA ， ∴∠OCA ＝∠OAC ， ∴∠PCA ＝∠ABC ； (2)解：∵AE ∥PC ， ∴∠PCA ＝∠CAF ， ∵AB ⊥CG ， ∴AC ︵＝AG ︵， ∴∠ACF ＝∠ABC ， ∵∠PCA ＝∠ABC ， ∴∠ACF ＝∠CAF ， ∴CF ＝AF ， ∵CF ＝5， ∴AF ＝5， ∵AE ∥PC ， ∴∠F AD ＝∠P ， ∵sin ∠P ＝35， ∴sin ∠F AD ＝35，在Rt △AFD 中，AF ＝5，sin ∠F AD ＝35， ∴FD ＝3，AD ＝4， ∴CD ＝CF ＋FD ＝8， 在Rt △OCD 中，设OC ＝r ， ∴r 2＝(r －4)2＋82，∴r ＝10， ∴AB ＝2r ＝20， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，sin ∠EAD ＝35， ∴BE AB ＝35， ∵AB ＝20， ∴BE ＝12.3. 解：(1)直线PD 与⊙O 相切， 理由如下：如解图①，连接DO ，CO ， ∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDC ＝2∠ADC ， ∵∠AOC ＝2∠ADC ， ∴∠PDC ＝∠AOC ， ∵直径AB ⊥CD 于点E ， ∴∠AOD ＝∠AOC ， ∴∠PDC ＝∠AOD ， ∵∠AOD ＋∠ODE ＝90°， ∴∠PDC ＋∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥PD ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴直线PD 与⊙O 相切； (2)如解图②，连接BD ， ∵M 恰为BC ︵的中点，第3题解图①∴∠CDM ＝∠BDM ， ∵OD ＝OB ， ∴∠BDM ＝∠DBA ， ∴∠CDM ＝∠DBA ， ∵直线PD 与⊙O 相切， ∴∠PDA ＋∠ADO ＝90°， 又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠ADO ＋∠BDM ＝90°， ∴∠PDA ＝∠BDM ， ∴∠PDA ＝∠DBA ＝∠CDM ， 又∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDM ＝3∠CDM ＝90°， ∴∠CDM ＝30°， ∴∠DBA ＝30°， ∴DE BE ＝tan30°＝33； (3)如解图③，∵tan ∠PDA ＝12，∠PDA ＝∠ADC ， ∴AE DE ＝12，即DE ＝2AE ，在Rt △DEO 中，设⊙O 的半径为r ， DE 2＋EO 2＝DO 2， ∴(2AE )2＋(r －AE )2＝r 2， 解得r ＝52AE ，在Rt △PDE 中，DE 2＋PE 2＝PD 2，第3题解图②第3题解图③∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝PD 2， ∵直线PD 与⊙O 相切，连接BD ， 由(2)知∠PDA ＝∠DBA ，∠P ＝∠P ， ∴△P AD ∽△PDB ， ∴PD PB ＝P A PD ，∴PD 2＝P A ·PB ，即PD 2＝2×(2＋2r )， ∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝2×(2＋2r )， 化简得5AE 2＋4AE ＝4r ， ∵r ＝52AE ， 解得r ＝3. 即⊙O 的半径为3. 二、与相似三角形结合 针对演练1. 证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CDB ＝90°， 又∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠CDB ， 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBD ； (2)连接DO ，如解图，∵∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点， ∴DE ＝CE ＝BE ， ∴∠EDC ＝∠ECD ，第1题解图又∵OD ＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD ，而∠OCD ＋∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠EDC ＋∠ODC ＝90°，即∠EDO ＝90°， ∴DE ⊥OD ， ∵OD 为⊙O 的半径， ∴DE 与⊙O 相切．2. (1)证明：连接CE ，如解图， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴∠CED ＝90°， ∵∠BCA ＝90°， ∴∠CED ＝∠BCO ， ∵BO ∥DE ， ∴∠BOC ＝∠CDE ， ∴△CBO ∽△ECD ， ∴CO DE ＝BO CD ， ∴CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)解：∵∠DFE ＝∠ECO ，CD ＝2·OC ＝10，∴在Rt △CDE 中，ED ＝CD ·sin ∠ECO ＝CD ·sin ∠DFE ＝ 10×35＝6，∴CE ＝CD 2－ED 2＝102－62＝8， 在Rt △CEG 中，EG CE ＝sin ∠ECG ＝35， ∴EG ＝35×8＝245，第2题解图根据垂径定理得：EF ＝2EG ＝485. 3. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC ，即DC ＝DB ， ∴OD 为△BAC 的中位线， ∴OD ∥AC . 而DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠DAC ＝∠DAB ，且∠AED ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠ABD ，在Rt △ADB 中，sin ∠ADE ＝sin ∠ABD ＝AD AB ＝45，而AB ＝10， ∴AD ＝8，在Rt △ADE 中，sin ∠ADE ＝AE AD ＝45， ∴AE ＝325， ∵OD ∥AE ， ∴△FDO ∽△FEA ，∴OD AE ＝FO F A ，即5325＝BF ＋5BF ＋10，第3题解图∴BF ＝907.4. (1)证明：如解图①，连接OD 、OE 、ED . ∵BC 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥BC ，∴∠ODB ＝90°＝∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°， ∵OA ＝OE ，∴△AOE 是等边三角形， ∴AE ＝AO ＝OD ，∴四边形AODE 是平行四边行， ∵OA ＝OD ，∴平行四边形AODE 是菱形； (2)解：设⊙O 的半径为r . ∵OD ∥AC ， ∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC ＝OBAB ，即10r ＝6(10－r )． 解得r ＝154， ∴⊙O 的半径为154.如解图②，连接OD 、DF 、AD . ∵OD ∥AC ， ∴∠DAC ＝∠ADO ，第4题解图①∵OA ＝OD ， ∴∠ADO ＝∠DAO ， ∴∠DAC ＝∠DAO ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°＝∠C ， ∴△ADC ∽△AFD ， ∴AD AC ＝AF AD ， ∴AD 2＝AC ·AF ，∵AC ＝6，AF ＝154×2＝152， ∴AD 2＝152×6＝45，∴AD ＝45＝3 5.(9分) 5. 解：(1)存在，AE ＝CE . 理由如下：如解图①，连接AE ，ED ， ∵AC 是△ABC 的斜边， ∴∠ABC ＝90°， ∴AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， 又∵D 是AC 的中点， ∴ED 为AC 的中垂线， ∴AE ＝CE ；(2)①如解图②，∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠AEF ＝90°.第5题解图①由(1)可知∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°，∵∠AED＋∠DEF＝90°，∴∠EAD＝∠DEF.又∵∠ADE＝∠EDF＝90°∴△AED∽△EFD，∴ADED＝EDFD，∴ED2＝AD·FD.又∵AD＝DC＝CF，∴ED2＝2AD·AD＝2AD2，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2＋ED2＝3AD2，由(1)知∠AED＝∠CED，又∵∠CED＝∠CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠AED＝ADAE＝13＝33.②sin∠CAB＝a＋2 a＋2.【解法提示】由(2)中的①知ED2＝AD·FD，∵CF＝aCD(a＞0)，∴CF＝aCD＝aAD，∴ED2＝AD·DF＝AD(CD＋CF)＝AD(AD＋aAD)＝(a＋1)AD2，在Rt△AED中，AE2＝AD2＋ED2＝(a＋2)AD2，∴sin ∠CAB ＝sin ∠AED ＝ADAE ＝1a ＋2＝a ＋2a ＋2. 6. (1)证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ABC ， ∵OF ⊥BC ， ∴∠BFD ＝90°，∴∠ODB ＋∠DBF ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DBF ＝90°， 即∠OBD ＝90°， ∴BD ⊥OB ， ∵OB 为⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：连接AC ，如解图①所示： ∵OF ⊥BC ， ∴BE ︵＝CE ︵， ∴∠ECH ＝∠CAE ， ∵∠HEC ＝∠CEA ， ∴△CEH ∽△AEC ， ∴CE EH ＝EA CE ， ∴CE 2＝EH ·EA ；(3)解：连接BE ，如解图②所示： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35，第6题解图①第6题解图②∴AB ＝10，BE ＝AB ·sin ∠BAE ＝10×35＝6， 在Rt △AEB 中，EA ＝AB 2－BE 2＝102－62＝8， ∵BE ︵＝CE ︵， ∴BE ＝CE ＝6， ∵CE 2＝EH ·EA ， ∴EH ＝CE 2EA ＝628＝92，在Rt △BEH 中，BH ＝BE 2＋EH 2＝62＋（92）2＝152.7. (1)证明：连接OD ，如解图①， ∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ， ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴BD ︵＝CD ︵， ∴OD ⊥BC ， ∵BC ∥DF ， ∴OD ⊥DF ， ∴DF 为⊙O 的切线；(2)解：连接OB ，连接OD 交BC 于P ，作BH ⊥DF 于H ，如解图①，∵∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BAD ＝60°， 又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠ODB ＝60°，OB ＝BD ＝23，第7题解图①∴∠BDF ＝30°， ∵BC ∥DF ， ∴∠DBP ＝30°，在Rt △DBP 中，PD ＝12BD ＝3，PB ＝3PD ＝3， 在Rt △DEP 中， ∵PD ＝3，DE ＝7，∴PE ＝（7）2－（3）2＝2， ∵OP ⊥BC ， ∴BP ＝CP ＝3，∴CE ＝CP －PE ＝3－2＝1， 易证得△BDE ∽△ACE ， ∴BE AE ＝DE CE ，即5AE ＝71， ∴AE ＝577. ∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ，∴BE DF ＝AE AD ，即5DF ＝5771277，解得DF ＝12，在Rt △BDH 中，BH ＝12BD ＝3， ∴S 阴影＝S △BDF －S 弓形BD ＝S △BDF －(S 扇形BOD －S △BOD )＝12·12·3－60·π·（23）2360＋34·(23)2＝93－2π；(7分)(3)解：连接CD ，如解图②，由AB AC ＝43可设AB ＝4x ，AC ＝3x ，BF ＝y ， ∵BD ︵＝CD ︵， ∴CD ＝BD ＝23， ∵DF ∥BC ，∴∠F ＝∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ， ∴△BFD ∽△CDA ， ∴BD AC ＝BF CD ，即233x ＝y 23，∴xy ＝4，∵∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ＝∠F AD ， 而∠DFB ＝∠AFD ， ∴△FDB ∽△F AD ， ∴DF AF ＝BF DF ， ∵DF ＋BF ＝8， ∴DF ＝8－BF ＝8－y ， ∴8－y y ＋4x ＝y 8－y ， 整理得：16－4y ＝xy ， ∴16－4y ＝4，解得y ＝3， 即BF 的长为3.(10分) 三、与全等三角形结合第7题解图②针对演练1. (1)证明：连接OE ，过点O 作OF ⊥PN ，如解图所示， ∵PM 与⊙O 相切， ∴OE ⊥PM ，∴∠OEP ＝∠OFP ＝90°， ∵PC 平分∠MPN ， ∴∠EPO ＝∠FPO ， 在△PEO 和△PFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EPO ＝∠FPO ∠OEP ＝∠OFP OP ＝OP， ∴△PEO ≌△PFO (AAS)， ∴OF ＝OE ，∴OF 为圆O 的半径且OF ⊥PN, 则PN 与⊙O 相切；(2)解：在Rt △EPO 中，∠MPC ＝30°，PE ＝23， ∴∠EOP ＝60°，OE ＝PE ·tan30°＝2， ∴∠EOB ＝120°，则劣弧BE ︵的长为120π×2180＝4π3.2. (1)证明：如解图①，连接BO 并延长交⊙O 于点N ，连接CN ， ∵∠BMC ＝60°， ∴∠BNC ＝60°， ∵∠BNC ＋∠NBC ＝90°， ∴∠NBC ＝30°，又∵△ABC 为等边三角形，第1题解图∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABN ＝30°＋60°＝90°， ∴AB ⊥BO ，即AB 为⊙O 的切线．(2)解：BE ＋CF ＝3，是定值． 理由如下：如解图②，连接D 与AC 的中点P ， ∵D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC ， ∴PD ＝PC ＝12AC ， 又∵∠ACB ＝60°，∴PD ＝PC ＝CD ＝BD ＝12AC ， ∴∠DPF ＝∠PDC ＝60°， ∴∠PDF ＋∠FDC ＝60°， 又∵∠EDF ＝120°， ∴∠BDE ＋∠FDC ＝60°， ∴∠PDF ＝∠BDE ， 在△BDE 和△PDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠DPF BD ＝PD∠BDE ＝∠PDF， ∴△BDE ≌△PDF (ASA)， ∴BE ＝PF ，∴BE ＋CF ＝PF ＋CF ＝CP ＝BD ， ∵OB ⊥AB ，∠ABC ＝60°，第2题解图②∴∠OBC ＝30°， 又∵OB ＝2，∴BD ＝OB ·cos30°＝2×32＝3， 即BE ＋CF ＝ 3.3. (1)证明：连接OC ，如解图①， ∵OD ⊥AC ，OC ＝OA ， ∴∠AOD ＝∠COD . 在△AOE 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOE ＝∠COE OE ＝OE， ∴△AOE ≌△COE (SAS)， ∴∠EAO ＝∠ECO . 又∵EC 是⊙O 的切线， ∴∠ECO ＝90°， ∴∠EAO ＝90°. ∴AE 与⊙O 相切；(2)解：设DO ＝t ，则DE ＝3t ，EO ＝4t ， 在△EAO 和△ADO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA ＝∠AOD ∠EAO ＝∠ADO， ∴△EAO ∽△ADO ， ∴AO DO ＝EO AO ，即9t ＝4t 9， ∴t ＝92，即EO ＝18.第3题解图①∴AE ＝EO 2－AO 2＝182－92＝93；延长BD 交AE 于点F ，过O 作OG ∥AE 交BD 于点G ， 如解图②， ∵OG ∥AE ， ∴∠FED ＝∠GOD 又∵∠EDF ＝∠ODG ， ∴△EFD ∽△OGD ， ∴EF OG ＝ED OD ＝31，即EF ＝3GO . 又∵O 是AB 的中点， ∴AF ＝2GO ，∴AE ＝AF ＋FE ＝5GO ， ∴5GO ＝93， ∴GO ＝935， ∴AF ＝1835， ∴tan B ＝AF AB ＝35.4. (1)证明：如解图，连接OB ， ∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠PBO ＝90°，∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于点D ， ∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ， 又∵PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO (SAS)， ∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，第3题解图②第4题解图∴OA ⊥P A ，∴直线P A 为⊙O 的切线；(2)解：线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系为EF 2＝4OD ·OP . 证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°，∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A ，∴ OD OA ＝OA OP ，即OA 2＝OD ·OP ，又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3，设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝12，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝FD －OD ＝2x －3，在Rt △AOD 中，由勾股定理，得(2x －3)2＝x 2＋32，解之得，x 1＝4，x 2＝0(不合题意，舍去)，∴AD ＝4，OA ＝2x －3＝5，∵AC 是⊙O 直径，∴∠ABC ＝90°，又∵AC ＝2OA ＝10，BC ＝6，∴ cos ∠ACB ＝610＝35.∵OA 2＝OD ·OP ，∴3(PE ＋5)＝25，∴PE ＝103.5. (1)证明：连接OD ，如解图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∴∠DAB ＝∠ABD ＝45°，∴△DAB 为等腰直角三角形，∴DO ⊥AB ，∵PD 为⊙O 的切线，∴OD ⊥PD ，∴PD ∥AB ；(2)证明：∵AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 于点F ，∴AE ∥BF ，∴∠FBO ＝∠EAO ，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴∠EDA ＋∠FDB ＝90°，∵∠FBD ＋∠FDB ＝90°，∴∠FBD ＝∠EDA ，在△FBD 和△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD ＝∠DEA ∠FBD ＝∠EDA BD ＝DA， ∴△FBD ≌△EDA (AAS)，∴DE ＝BF ；第5题解图(3)解：在Rt △ACB 中，∵AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，∴BC ＝6×43＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴AD ＝AB 2＝52， ∵AE ⊥CD ，∴△ACE 为等腰直角三角形，∴AE ＝CE ＝AC 2＝62＝32， 在Rt △AED 中，DE ＝AD 2－AE 2＝（52）2－（32）2＝42，∴CD ＝CE ＋DE ＝32＋42＝72，∵AB ∥PD ，∴∠PDA ＝∠DAB ＝45°，∴∠PDA ＝∠PCD ，又∵∠DP A ＝∠CPD ，∴△PDA ∽△PCD ，∴PD PC ＝P A PD ＝AD DC ＝5272＝57， ∴P A ＝57PD ，PC ＝75PD ，又∵PC ＝P A ＋AC ，∴57PD ＋6＝75PD ，解得PD ＝354，∴PC ＝57PD ＋6＝57×354＋6＝254＋6＝494.6. (1)证明：如解图①，连接OC ，∵P A 切⊙O 于点A ，∴∠P AO ＝90°，∵BC ∥OP ，∴∠AOP ＝∠OBC ，∠COP ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠AOP ＝∠COP ，在△P AO 和△PCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOP ＝∠COP OP ＝OP， ∴△P AO ≌△PCO (SAS)，∴∠PCO ＝∠P AO ＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 为⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；(2)解：由(1)得P A ，PC 都为圆的切线，∴P A ＝PC ，OP 平分∠APC ，∠ADO ＝∠P AO ＝90°， ∴∠P AD ＋∠DAO ＝∠DAO ＋∠AOD ，又∵∠ADP ＝∠ADO ，∴∠P AD ＝∠AOD ，∴△ADP ∽△ODA ，∴AD PD ＝DO AD ，第6题解图①∴AD 2＝PD ·DO ，∵AC ＝8，PD ＝163， ∴AD ＝12AC ＝4，OD ＝3，在Rt △ADO 中，AO ＝AD 2＋OD 2＝5，由题意知OD 为△ABC 的中位线，∴BC ＝6，AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∴S 阴影＝12S ⊙O －S △ABC ＝12·π·52－12×6×8＝25π2－24；(3)解：如解图②，连接AE 、BE ，作BM ⊥CE 于点M ， ∴∠CMB ＝∠EMB ＝∠AEB ＝90°，∵点E 是AB ︵的中点，∴AE ＝BE ，∠EAB ＝∠EBA ＝45°，∴∠ECB ＝∠CBM ＝∠ABE ＝45°，CM ＝MB ＝BC ·sin45°＝32，BE ＝AB ·cos45°＝52，∴EM ＝BE 2－BM 2＝42，则CE ＝CM ＋EM ＝7 2.7. (1)证明：连接OD ，如解图①所示，∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠OBD .∵OG ∥BD ，∴∠AOG ＝∠OBD ，∠GOD ＝∠ODB ，∴∠DOG ＝∠AOG ，在△DOG 和△AOG 中，第6题解图②第7题解图①⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OA ∠DOG ＝∠AOG OG ＝OG， ∴△DOG ≌△AOG (SAS)，∴GD ＝GA ；(2)证明：∵AG 切⊙O 于点A ，∴AG ⊥OA ，∴∠OAG ＝90°，∵△DOG ≌△AOG ，∴∠OAG ＝∠ODG ＝90°，∴∠ODE ＝180°－∠ODG ＝90°，∴∠ODC ＋∠FDE ＝90°，∵OC ⊥AB ，∴∠COB ＝90°，∴∠OCD ＋∠OFC ＝90°，∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∴∠FDE ＝∠OFC ，∵∠OFC ＝∠EFD ，∴∠EFD ＝∠EDF ，∴EF ＝ED ，∴△DEF 是等腰三角形；(3)解：过点B 作BK ⊥OD 于点K ，如解图②所示： 则∠OKB ＝∠BKD ＝∠ODE ＝90°，∴BK ∥DE ，∴∠OBK ＝∠E ，∵BH ⊥GE ，∴∠BHD ＝∠BHE ＝90°， ∴四边形KDHB 为矩形， ∴KD ＝BH ＝9，∴OK ＝OD －KD ＝72，在Rt △OKB 中，∵OK 2＋KB 2＝OB 2，OB ＝252， ∴KB ＝12，∴tan ∠E ＝tan ∠OBK ＝OK KB ＝724，sin ∠E ＝sin ∠OBK ＝OK OB ＝725，∵tan ∠E ＝OD DE ＝724，∴DE ＝3007，∴EF ＝3007，∵sin ∠E ＝BH BE ＝725，∴BE ＝2257，∴BF ＝EF －BE ＝757，∴OF ＝OB －BF ＝2514，在Rt △COF 中，∠COB ＝90°， ∴OC 2＋OF 2＝FC 2，∴FC ＝125214，在Rt △COB 中，∵OC 2＋OB 2＝BC 2，OC ＝OB ＝252， ∴BC ＝2522，∴BC ＋CF ＋BF ＝1502＋757， ∴△CBF 的周长＝1502＋757.。

与圆相关的计算与证明专题练习卷1. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交B C于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线D M，使∠BDM＝∠D A C．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE 2＝D F·D A．解：证明：（1）如图1，连接D O，并延长交⊙O于点G，连接BG；∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠D A C．∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°．∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直线DM是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE．∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠C A D．∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠C A D．∴∠EBD＝∠BED，∴D B＝D E．∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BD 2＝D F·D A．∴DE 2＝D F·D A．12. 如图，AB 是⊙O的直径，PB 与⊙O 相切于点B ，连接PA 交⊙O 于点C . 连接BC .（1）求证：BAC CBP ；（2）求证：PB 2 PC PA ；（3）当AC 6, CP 3 时，求sin PAB 的值.【解】（1）∵AB 是⊙O的直径∴∠ACB=90°∴∠A+∠ABC=90°∵PB 与⊙O相切于点B∴∠CBP+∠ABC=90°∴BAC CBP(2) ∵BAC CBP，∠P=∠P∴△P B∽C△ABPPB PC∴AP BP2∴PB PC PA（3）∵AC 6, CP 3∴AP=9∵PB2 PC PA2∴PB 3 3PB 9∴sin PAB = 3AP 3 33. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC, BD 相交于点O，AC 12cm, BD 16cm，动点N 从点D 出发，沿线段DB以2cm / s的速度向点B 运动，同时动点M 从点B 出发，沿线段BA以1cm / s的速度向点A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止. 设运动时间为t (s)(t 0) ，以点M 为圆心，MB 为半径的⊙M 与射线BA ，线段BD 分别交于点E,F ，连接EN .（1）求BF 的长（用含有t 的代数式表示），并求出t 的取值范围；（2）当t 为何值时，线段EN 与⊙M 相切？（3）若⊙M 与线段EN 只有一个公共点，求t 的取值范围.85 【答案】（1）BF= t （0＜t ≤8）．（2）t=327s 时，线段EN与⊙M相切．（3）当0＜t ≤327或409＜t ＜8 时，⊙M与线段EN只有一个公共点．4. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥C D，垂足为点E．（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）若BC=3，CD=3 2，求弦AD的长．【答案】(1) 证明见解析；（2）AD= 30 3．试题解析：（1）证明：连结O C，如图，3∵AD平分∠EAC，∴∠1=∠3，∵OA=O，D∴∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴O D∥A E，∵A E⊥DC，∴O D⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠CDO∠= ADB=90°，∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，∴△CDB∽△CAD，∴C D CB BDCA CD AD，∴CD 2=CB?C，A ∴（3 2 ） 2=3CA，∴CA=6，∴AB=CA﹣BC=3，B DAD3 2 26 2, 设BD= 2 K，AD=2K，在Rt△ADB中，2k 2 2 +4k =5，∴k= 30 6，∴AD= 30 3．5. 如图，已知RtΔABC,∠C=90°，D为BC的中点. 以AC为直径的圆O交AB于点E. （1）求证：DE是圆O的切线.(2) 若AE:EB=1:2,BC=6，求AE的长.4【答案】（1）证明见解析；（2）6 .试题解析：(1) 如图所示，连接O E，CE∵AC是圆O的直径∴∠AEC=∠BEC=90°∵D是BC的中点∴E D＝12BC＝DC∴∠1=∠2∵OE=OC∴∠3=∠4∴∠1+∠3=∠2+∠4, 即∠OED=∠ACD∵∠ACD=90°∴∠OED=9°0 , 即O E⊥DE又∵E 是圆O上的一点∴DE是圆O的切线.6. 如图，ABC内接于e O，AB AC, CO 的延长线交AB 于点D ．5（1）求证AO平分BAC；（2）若3BC BAC ，求AC 和CD 的长．6,sin5【答案】（1）证明略；（2）3 10 ；90 13.7．如图，A B是⊙O的直径，AB= 4 3，点E为线段O B上一点（不与O，B重合），作C E⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径C D，过点C的切线交DB的延长线于点P，A F⊥P C于点F，连接C B．（1）求证：C B是∠ECP的平分线；（2）求证：C F=C E；（3）当C FCP 34时，求劣弧?BC 的长度（结果保留π）试题解析：（1）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，C E⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∴BC平分∠PCE．（2）证明：连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE，∴C F=C E．（3）解：作BM⊥PF于M．则C E=C M=C F，设C E=CM=C F=4a，PC=4a，PM=a，∵△BMC∽△PMB，∴BM CMPM BM，∴BM 2=C M?PM=3a2=C M?PM=3a2，∴BM= 3a，∴tan ∠BCM= BM 3 ，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∴?BC 的长CM 36= 60 2 3 180 =2 33 ．8．如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交C A、C B延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）求证：BD 2=AC?BQ；（3）若AC、BQ的长是关于x 的方程x 4 mx 的两实根，且tan ∠PCD=13，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2 10 ．解析：（1）证明：∵PQ∥AB，∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，∵∠ACD=∠BCD，∴∠BDQ=∠ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，∴2∠ODB+2∠O=180°，∴∠ODB+∠O=90°，∴PQ是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知P Q是⊙O的切线，∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，∴AD=BD，∵∠DBQ=∠ACD，∴△BDQ∽△ACD，∴A D ACBQ BD2=AC?BQ；，∴BD（3）解：方程4x mx2﹣mx+4=0，∵AC、BQ的长是关于x 的方程x 4 m可化为xx的两实根，∴AC?BQ=4，由（2）得BD 2=AC?BQ，∴BD2=4，∴BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴OD⊥PQ，∵PQ∥AB，∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，∵tan ∠PCD= 13，∴tan∠ABD=13，∴BE=3D E，∴DE 2+（3D E）2=BD2+（3D E）2=BD2=4，∴D E= 2 105，∴BE=6 105，设OB=OD=R，∴OE=R﹣2 105，∵OB 2=OE2+BE2，∴R2=OE2+BE2，∴R2=（R﹣2 105）2+（6 105 ）2，解得：R=2 10，∴⊙O的半径为2 10 ．9. 如图，与e 相切于点，C 为e 的弦，C ，与C 相交于点；（1）求证：；（2）若4，3，求线段的长．7【答案】(1) 略；（2）BP=6 55.10. 如图，已知C 内接于e ，是直径，点D 在e 上，D// C ，过点D 作D ，垂足为，连接CD 交边于点F．（1）求证：D ∽C ；（2）求证：DF D ；（3）连接C ，设D 的面积为S ，四边形C D 的面积为1 S ，若2S1S227 ，求sin 的值．【答案】（1）略；（2）详见解析；（3）sin 2A38。

2019届初三数学中考复习 圆的相关证明及计算 专题训练题1. 若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为( ) A ．3 B ．9 C ．2 3 D ．3 22. 如图，在矩形ABCD 中，CD ＝1，∠DBC ＝30°.若将BD 绕点B 旋转后，点D 落在DC 延长线上的点E 处，点D 经过的路径DE ︵，则图中阴影部分的面积是( )A.π3－ 3B.π3－32C.π2－ 3D.π2－323. 如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是( )A ．12πB ．24πC ．6πD ．36π4. 如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4∶5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为( )A ．288°B ．144°C ．216°D ．120°5. 如图，用一张半径为24 cm 的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计)，如果圆锥形帽子的底面半径为10 cm ，那么这张扇形纸板的面积是( )A ．240πcm 2B ．480πcm 2C ．1200πcm 2D ．2400πcm 26. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB ︵于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作CD ︵交OB 于点D.若OA ＝2，则阴影部分的面积为__________．7. 如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度等于______．8. 如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧CD ，弧DE 、弧EF 的圆心依次是A ，B ，C ，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是_________．9. 在半径为6的⊙O 中，60°圆心角所对的弧长是10. 已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为11. 如图，用一个半径为30 cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为 cm.12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别于与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F.(1) 求证：DF是⊙O的切线；(2) 若⊙O的半径为2，BC＝22，求DF的长．13. 如图，BD是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果BO＝65 cm，DO＝15 cm，当BD绕点O旋转90°时，求刮雨刷BD扫过的面积14. 如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C.(1) 求证：BC是⊙O的切线；(2) 若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．15. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，点D 是BC ︵的中点，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F.(1) 求证：DE 是⊙O 的切线； (2) 若OF ＝2，求AC 的长度．16. 如图，AB 是⊙O 直径，点C 在⊙O 上，AD 平分∠CAB，BD 是⊙O 的切线，AD 与BC 相交于点E (1) 求证：BD ＝BE ；(2) 若DE ＝2，BD ＝5，求CE 的长．17. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1) 求证：PO平分∠APC；(2) 连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥A C.18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F.(1) 求证：DE⊥AC；(2) 若AB＝10，AE＝8，求BF的长．19. 现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40 cm ，小红同学为了在六一儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，求剪去的扇形纸片的圆心角度数．参考答案： 1---5 DBBAA 6. π12＋327. 5π 8. 4π 9. 2π 10. 3 3 11. 1012.(1) 证明：连接OD ，如解图，∵OB ＝OD ，∴∠ABC ＝∠ODB，∵AB ＝AC ，∴∠ABC＝∠ACB， ∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴DF ⊥OD ， ∴DF 是⊙O 的切线；(2) 解：连接AD ，如解图，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，又∵AB＝AC ，∴BD ＝DC ＝2， ∴AD ＝AB 2－BD 2＝42－（2）2＝14， ∵DF ⊥AC ，∴△ADC∽△DFC， ∴AD DF ＝AC DC ，∴14DF ＝42，∴DF ＝72. 13. 解：在△AOC 和△BOD 中，∵OC ＝OD ，AC ＝BD ，OA ＝OB ，∴△AOC ≌△BOD ，∴阴影部分的面积为扇环的面积，即S 阴影＝S 扇形AOB －S 扇形COD ＝14π(OA 2－OC 2)＝14π×(652－152)＝1000π(cm 2)14. (1) 证明：连接OB ，如解图所示，∵E 是弦BD 的中点，∴BE ＝DE ，OE ⊥BD ，BF ︵＝DF ︵＝12BD ︵，∴∠BOE ＝∠BAD，∠OBE ＋∠BOE＝90°，∵∠DBC ＝∠BAD，∴∠BOE ＝∠DBC， ∴∠OBE ＋∠DBC＝90°，∴∠OBC ＝90°， 即BC⊥OB，∴BC 是⊙O 的切线；(2) 解：∵OB＝6，BC ＝8，BC ⊥OB ，∴OC ＝OB 2＋BC 2＝10， ∵S △OBC ＝12OC·BE＝12OB·BC，∴BE ＝OB·BC OC ＝6×810＝4.8，∴BD ＝2BE ＝9.6，即弦BD 的长为9.6. 15.图①(1)证明：如解图①，连接OD 、AD ， ∵点D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝CD ︵，∴∠DAO ＝∠DA C ， ∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ODA， ∴∠DAC ＝∠ODA，∴OD ∥AE ， ∵DE ⊥AE ，∴∠AED ＝90°， ∴∠AED ＝∠ODE＝90°， ∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线；图②(2) 解：如解图②，连接BC ，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥AE，∴∠DOB＝∠EAB，∵∠DFO＝∠ACB＝90°，∴△DFO∽△BCA，∴OFAC＝ODAB＝12，即2AC＝12，∴AC＝4.16. (1) 证明：设∠BAD＝α，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝α，∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－2α，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴∠DBE＝2α，∠BED＝∠BAD＋∠ABC＝90°－α，∴∠D＝180°－∠DBE－∠BED＝90°－α，∴∠D＝∠BED，∴BD＝BE；(2) 解：设AD交⊙O于点F，CE＝x，则AC＝2x，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵BD ＝BE ，DE ＝2，∴FE ＝FD ＝1，∵BD ＝5，∴BF ＝2，∵∠BAD ＋∠D＝90°，∠D ＋∠FBD＝90°，∴∠FBD＝∠BAD＝α，∴tan α＝FD BF ＝12， ∴AB ＝BF sin α＝255＝25， 在Rt △ABC 中，由勾股定理可知(2x)2＋(x ＋5)2＝(25)2，∴解得x ＝－5(舍去)或x ＝355，∴CE ＝355. 17. 证明：(1) 如解图，连接OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，又OA ＝OB ，∴PO 平分∠APC；(2) ∵OA⊥AP，OB ⊥BP ，∴∠CAP ＝∠OBP＝90°，∵∠C ＝30°，∴∠APC ＝90°－30°＝60°，∵PO 平分∠APC，∴∠OPC ＝12∠APC＝12×60°＝30°，∴∠POB ＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°，又∵OD＝OB ，∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD ＝60°，∴∠DBP ＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，∴∠DBP ＝∠C，∴DB ∥AC.18. 解：(1) 如解图，连接OD 、AD ，∵DE 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥DE ，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵AB ＝AC ，∴D 是BC 的中点，又∵O 是AB 中点，∴OD ∥AC ，∴DE ⊥AC ；(2) ∵AB＝10，∴OB ＝OD ＝5，由(1)得OD∥AC，∴△ODE ∽△AEF ，∴OD AE ＝OF AF ＝BF ＋OB BF ＋AB ，设BF ＝x ，AE ＝8，∴58＝x ＋5x ＋10，解得：x ＝103，经检验x ＝103是原分式方程的根，且符合题意，∴BF ＝10319. 解：∵圆锥的母线长为40，底面半径为10，∴圆锥展开图的圆心角＝2040×180°＝90°，∴剪去扇形纸片的圆心角度数＝360°×30%－90°＝108°－90°＝18°。

圆的证明与计算题类型一与全等三角形有关1.如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE 于点F.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若BC＝10，AB＝16，求OF的长．第1题图(1)证明：∵OC⊥AB，AB∥CD，∴OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：如解图，连接BO.设OB＝x，∵AB＝16，OC⊥AB，∴HA＝BH＝8，∵BC＝10，∴CH＝6，∴OH＝x－6.在Rt△BHO中，∵OH 2＋BH 2＝OB 2，∴(x -6)2＋82＝x 2，解得x ＝253， ∵CB ∥AE ，∴∠CBH ＝∠F AH ， 在△CHB 和△FHA 中，∴△CHB ≌△FHA ，∴CH ＝HF ， ∴CF ＝2CH ＝12，∴OF ＝CF －OC ＝12－253＝113.第1题解图2.已知，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，DE ＝EC ，以AE 为直径的⊙O 与边CD 相切于点D ，B 点在⊙O 上，连接OB . (1)求证：DE ＝OE ；(2)若CD ∥AB ，求证：四边形ABCD 是菱形．第2题图证明：(1)如解图，连接OD ，第2题解图∵CD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥CD ， ∴∠2＋∠3＝∠1＋∠COD ＝90°， 又∵DE ＝EC ，∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠COD ，∴DE ＝OE ； (2)∵OD ＝OE ，∴OD ＝DE ＝OE ， ∴∠3＝∠COD ＝∠DEO ＝60°， ∴∠2＝∠1＝30°，∵OA ＝OB ＝OE ，OE ＝DE ＝EC ， ∴OA ＝OB ＝DE ＝EC ， ∵CD ∥AB ，∴∠4＝∠1， ∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA ＝30°， ∴△ABO ≌△CDE (AAS)， ∴AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵∠DAE ＝12∠DOE ＝30°， ∴∠1＝∠DAE ，∴CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F . (1)若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长； (2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (3)求证：2CE 2＝AB ·EF .第3题图(1)解：如解图，连接OD ，∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°， ∵BC 是⊙O 的直径，且BC ＝10，∴l BD ︵＝72π×5180＝2π.第3题解图(2)解：DE 是⊙O 的切线；理由如下：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°， 又∵点E 是线段AC 的中点，∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，在△DOE 与△COE 中，∵∴△DOE ≌△COE (SSS) ，∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线； (3)证明：∵△DOE ≌△COE ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线，DE ＝CE ， ∴点F 是线段CD 的中点，∵点E 是线段AC 的中点，则EF ＝12AD ， 在△ACD 与△ABC 中，＝＝ ∴△ACD ∽△ABC ，则AC AB ＝ADAC ，即AC 2＝AB ·AD ，而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ， ∴(2CE )2＝AB ·2EF ， 即4CE 2＝AB ·2EF ， ∴2CE 2＝AB ·EF .类型二 与相似三角形有关4.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E . (1)求证：∠BDC ＝∠A ；(2)若CE＝23，DE＝2，求AD的长．第4题图(1)证明：如解图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A;第4题解图(2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝∠ADB＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE，∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴CEDE ＝AECE，∴EC2＝DE·AE，∴(23)2＝2(2＋AD)，∴AD＝4.5.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD 是⊙O的切线，AD与BC相交于点E.第5题图(1)求证：BD＝BE；(2)若DE＝2，BD＝5，求CE的长．(1)证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∴∠DAB＋∠D＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠CEA＝90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAE＝∠DAB，∴∠CEA＝∠D.∵∠CEA＝∠DEB，∴∠D＝∠DEB，∴BD ＝BE ；(2)解：如解图，设AD 与⊙O 交于点F ，连接BF ，第5题解图∵BD ＝BE ，BF ⊥AD ， ∴DF ＝EF ＝1，BE ＝BD ＝5， 在Rt △BDF 中，由勾股定理得BF ＝2. ∵∠DFB ＝90°， ∴∠D ＋∠DBF ＝90°， ∵∠D ＋∠DAB ＝90°， ∴∠DBF ＝∠DAB ， ∵∠D ＝∠D ， ∴△DBF ∽△DAB ， ∴DB DF ＝DA DB ， ∴DB 2＝DF ·DA ，即(5)2＝1·DA ，解得DA ＝5， ∴AE ＝DA －DE ＝3.∵∠C ＝∠BFE ，∠AEC ＝∠BEF ， ∴△AEC ∽△BEF ，∴AE BE ＝CE FE ，即35＝CE 1，解得CE ＝355.6.如图，P A 与以AC 为直径的圆相切于点A ，PBC 为割线，∠APC 的平分线交AB 于点D ，交AC 于点E . 求证:(1)AD ＝AE ； (2) AB ·AE ＝AC ·DB .第6题图证明：(1)∵P A 为圆的切线，AC 为直径， ∴∠P AE =∠ABC=90°，∴∠P AD+∠BAC=∠C+∠BAC=90°， ∴∠P AD =∠C ， ∵PE 平分∠APC ， ∴∠APD ＝∠CPE ，∵∠ADE ＝∠APD ＋∠P AD ，∠AED ＝∠CPE ＋∠C ， ∴∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ; (2)∵∠APB ＝∠CP A ，∠P AB ＝∠C ， ∴△APB ∽△CP A ，得AB CA ＝PB P A .∵∠APE ＝∠BPD ， ∠AED ＝∠ADE ＝∠PDB ， ∴△PBD ∽△P AE ， 得PB P A ＝DB EA . ∴AB AC ＝DB AE . ∴AB ·AE ＝AC ·DB .7.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AE ︵上一点，且∠BDE ＝∠CBE ，BD 与AE 交于点F .(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2＝DF ·DB ;(3)在(2)的条件下，延长ED 、BA 交于点P ，若P A ＝AO ，DE ＝2，求PD 的长．第7题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， ∴∠EAB ＋∠EBA ＝90°， ∵∠BDE ＝∠EAB ，∠BDE ＝∠CBE ， ∴∠EAB ＝∠CBE ，∴∠EBA ＋∠CBE ＝90°，∴CB ⊥AB ， ∴BC 是⊙O 的切线；(2)证明：∵BD 平分∠ABE ，∴∠ABD ＝∠DBE ，AD ︵＝DE ︵， ∴∠ABD ＝∠DEA ， ∴∠DEA ＝∠DBE ， ∵∠EDB ＝∠BDE ， ∴△DEF ∽△DBE ， ∴DE DB ＝DF DE ， ∴DE 2＝DF ·DB ；(3)解：如解图，连接DO ，第7题解图∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ， ∵∠EBD ＝∠OBD ， ∴∠EBD ＝∠ODB ， ∴OD ∥BE ，∴PD PE ＝PO PB ，∵P A ＝AO ，∴P A ＝AO ＝OB ， ∴PO PB ＝23，∴PD PE ＝23， ∴PD PD ＋DE＝23， ∵DE ＝2，∴PD ＝4.类型三 与锐角三角函数有关8.如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，点E 是BC 的中点，连接BD 、DE . (1)若AD AB ＝13，求sin C ; (2)求证：DE 是⊙O 的切线．第8题图(1) 解：∵AB 是圆O 的直径，∴∠ADB ＝90°， 又∵∠ABC ＝90°，∠A 为公共角， ∴△ABD ∽△ACB ， ∴AB AC ＝AD AB ＝13，在Rt △ABC 中，sin C ＝AB AC ＝13;(2)证明:如解图，连接OD ，由(1)知，∠ADB ＝90°， ∴∠CDB ＝90°，∴△BCD 是直角三角形．∵E是△BCD斜边BC的中点，∴DE是斜边BC上的中线，∴BE＝DE＝CE，∴∠DBE＝∠BDE，又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＋∠DBE＝∠ODB＋∠BDE，即∠OBC＝∠ODE.∵∠ABC＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD为圆O的半径，∴DE是圆O的切线．第8题解图9.已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC 于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.第9题图(1)求证：BD 是⊙O 的切线； (2)求证：CE 2＝EH ·EA ；(3)若⊙O 的半径为52，sin A ＝35，求BH 的长． (1)证明：∵∠ODB ＝∠AEC ， ∠AEC ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ABC ， ∵OF ⊥BC ，∴∠BFD ＝90°， ∴∠ODB ＋∠DBF ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DBF ＝90°， 即∠OBD ＝90°，∴BD ⊥OB ， ∵OB 是⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：如解图①，连接AC ，第9题解图①∵OF ⊥BC ，∴BE ︵＝CE ︵， ∴∠CAE ＝∠ECB ， ∵∠CEA ＝∠HEC ，∴△CEH ∽△AEC ， ∴CE AE ＝EH EC ， ∴CE 2＝EH ·EA ；(3)解：如解图②，连接BE ，第9题解图②∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为52，sin ∠BAE ＝35， ∴AB ＝5，BE ＝AB ·sin ∠BAE ＝5×35＝3， ∴在Rt △ABE 中，EA ＝AB 2－BE 2＝4，∵BE ︵＝CE ︵，∴BE ＝CE ＝3， ∵CE 2＝EH ·EA ，∴EH ＝94，∴在Rt △BEH 中，BH ＝BE 2＋EH 2＝32＋（94）2＝154.10.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，连接AC ，过BD ︵上一点E 作EG ∥AC 交CD 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点F ，且EG ＝FG ，连接CE . (1)求证：△ECF ∽△GCE ； (2)求证：EG 是⊙O 的切线；(3)延长AB 交GE 的延长线于点M ，若tan G ＝34，AH ＝33，求EM 的值．第10题图(1) 证明：∵AC ∥EG ， ∴∠G ＝∠ACG ， ∵AB ⊥CD ，∴AD ︵＝AC ︵， ∴∠CEF ＝∠ACD ， ∴∠G ＝∠CEF ， ∵∠ECF ＝∠ECG ， ∴△ECF ∽△GCE ； (2)证明：如解图，连接OE ， ∵FG ＝EG ，∴∠GFE ＝∠GEF ＝∠AFH ， ∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA ，∵∠AFH ＋∠F AH ＝90°， ∴∠GEF ＋∠AEO ＝90°， ∴∠GEO ＝90°，即GE ⊥OE ， 又∵OE 是⊙O 的半径， ∴EG 是⊙O 的切线；第10题解图(3)解：如解图，连接OC ，设⊙O 的半径为r .在Rt △AHC 中，AH ＝33，tan ∠ACH ＝tan ∠G ＝AH HC ＝34， ∴HC ＝43，在Rt △HOC 中，OC ＝r ， OH ＝r －33，∴(r －33)2＋(43)2＝r 2， 解得r ＝2536，∵EG ∥AC ，∴∠CAH ＝∠M ， ∵∠OEM ＝∠AHC ， ∴△AHC ∽△MEO ， ∴AH EM ＝HC OE ，∴33EM ＝432536，253∴EM＝8.。

中考数学习题精选：圆的有关计算与证明解答题1.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=11cm，BC=16cm，CA=15cm，求AF、BD、CE的长？2.如图，在4×4 的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，求扇形OAB 的弧长，周长和面积．（结果保留根号及π）．3.如图,直线y=与x轴、y 轴分别相交于A,B两点,圆心P的坐标为(1,0),圆P 与y轴相切于点O.若将圆P沿x 轴向左移动,当圆P与该直线相交时,求横坐标为整数的点P的个数.4.如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是弧BF 的中点，AD⊥BC于点D，求证：AD= BF．5.如图，△在ABC中，BE 是它的角平分线，∠C=90°，点D 在AB边上，以DB为直径的半圆O 经过点E，交BC于点F（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知sinA=，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积6.如图，已知是△的外角的平分线，交的延长线于点，延长交△的外接圆于点，连接，．（1）求证：．（2）已知，若△是外接圆的直径，，求的长．7.已知：如图，△在ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD 的长；（3）在（2）的条件下，△求DPE的面积．8.如图，AB是半圆O的直径，AD 为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O 的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD 的长．9.如图1，在正方形ABCD 中，以BC为直径的正方形内，作半圆O，AE切半圆于点F交CD 于点E，连接OA、OE．（1）求证：AO⊥EO；（2）如图2，连接DF 并延长交BC于点M，求的值．10.如图，AD 是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O 于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD 于点D．连接AO并延长交BC 于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．（1）判断直线PC 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=9，BC=6．求PC的长．11.如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP 交⊙O于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O 于点B，连接PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PC=9，AB=6，①求图中阴影部分的面积；12.如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC 于E，连接AD．（1）求证△：CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．13.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O是一点，过点B作⊙O的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，OE//BC 交⊙O 于点E，连接BE 交AC于点H．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）连接OD，若BH=BD=2，求OD的长．14.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（2，8），且与x 轴相切于点B.图①图②（1）当x＞0，y=5时，求x的值；（2）当x =6 时，求⊙P的半径；（3）求y关于x的函数表达式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象（不必列表，画草图即可）.15.如图△，OAB的底边经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若D为OA 的中点，阴影部分的面积为，求⊙O的半径r．16.如图，△在ABC中，∠C=90°，∠ABC 的平分线交AC于点E，过点E 作BE的垂线交AB 于点F，⊙O△是BEF 的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）若CD=1，EH=3，求BF 及AF长．17.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．（1）求AB 的长；（2）求⊙O的半径．18.如图，△在ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA 为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=2CD•OE；（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE 的长．19.如图，AB 为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O 的切线交AB的延长线于点D，已知∠D＝30°.（1）求∠A的度数；（2）若点F在⊙O 上，CF⊥AB，垂足为E，CF＝，求图中阴影部分的面积.20.如图，在 △R t ABC 中，∠C=90°，点 D ，E ，F 分别在 AC ，BC ，AB 边上，以 AF 为直径的⊙O 恰好经过 D ， E ，且 DE=EF ．（1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）若∠B=40°，求∠CDE 的度数；（3）若 CD=2，CE=4，求⊙O 的半径及线段 BE 的长．21.如图，⊙的圆心在反比例函数的图像上，且与轴、轴相切于点、 ，一次函数的图像经过点 ，且与轴交于点，与⊙的另一个交点为点.（1）求（2）求的值及点长及的坐标；的大小；（3）若将⊙沿轴上下平移，使其与轴及直线均相切，求平移的方向及平移的距离.参考答案解答题1.解：∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC ，CA ，AB 分别相切于点 D 、E 、F ， ∴AF=AE ，BF=BD ，CD=CE ．设 AF=AE=x ，则 BF=BD=11﹣x ，EC=DC=15﹣x ．根据题意得 11﹣x+15﹣x=16．解得；x=5cm ．∴AF=5cm ．BD=11﹣x=11﹣5=6cm ，EC=15﹣x=10cm ．∴AF=5cm ，BD=6cm ，EC=10cm ．2.解：由图形可知，∠AOB=90°，∴OA=OB==2，∴= =，扇形 OAB 的面积= =2π．弧 AB 的长是：= π∴周长=弧 AB 的长+2OA=π+4综上所述，扇形 OAB 的弧长是．π，周长是π+4，面积是 2π．3.解:∵直线 y=与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点,∴A 点的坐标为(-3,0),B 点的坐标为(0,),∴AB=2.如图,将圆 P 沿 x 轴向左移动,当圆 P 与该直线相切于 C 时,连结 P C ,则 P C =1,易 △知AP C ∽△ABO,∴=,∴AP =2,∴P 的坐标为(-1,0),同理可得 P 的坐标为(-5,0).-5 与-1 之间的整数(不含-5 和-1)有:-4,-3,-2,故满足题意的点 P 的个数是 31 1 1 1 1 1 1 1 1 24.证明：连接OA，交BF 于点E，∵A是弧BF 的中点，O为圆心，∴OA⊥BF，∴BE=BF，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADO=∠BEO=90°，在△OAD△与OBE中，∴△OAD≌△OBE（AAS），∴AD=BE，∴AD=BF5. （1）证明：连结OE，[MISSING IMAGE:,]∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠AOE=∠OEB+∠OBE=2∠ABE，∴∠ABC=∠AOE，又∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠A+∠AOE=90°，∵∠AEO=90°，即OE⊥AC，∴AC为⊙O 的切线.，（2）解：连结 OF ， ∵sinA= ,∴∠A=30°，由（1）知 OE ⊥AC ，∴∠AOE=∠ABC=60°， ∵⊙O 半径为 3，∴OD=OE=OF=OB=BF=3，∴∠BOF=∠EOF=∠ABC=60°, ∴S= 扇形在 △R t AOE 中，，∴AO=6，AE=3在 △R tACB 中，，∴AB=9，BC= ， AC=∴CE=AC-AE=-3，， CF=BC-BF= -3= ，∴S= ==梯形，∴S =S-S=阴梯形扇形6.（1）解：∵四边形 ∴∵-.内接于圆，，，∴∵△是，的外角平分线，∴∴又∵∴，，，，（2）解：由（ ）得，OEFOFCEOFCE OEF又∵，∴△∴∽△，，∴，∴又∵∴∵，，，是直径，，∴，∴BD=又∵∠D=∠D，∴△DBF∽△DAC，，∴∴，CD=24，解得：CD=.7.（1）解：∵AB 是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC∵AB=BC，∴△ABD≌CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O 中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD 所对的弦∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，，∴CD=；（3）解：延长EF交⊙O于M，在 △R tABD 中，AD=，AB=10，∴BD=3，∵EM ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴ ，∴∠BEP=∠EDB ，∴△BPE ∽△BED ，∴ ∴BP=，，∴DP=BD-BP=，∴ ： =DP ：BP=13：32，∵ △S BCD= × ×3 =15， ：=BE ：BC=4：5，∴ △S BDE=12，∴ △S DPE=．8.（1）证明：∵AB 是半圆 O 的直径∴∠D=90°∴∠A+∠DBA=90°∵∠DBC=∠A∴∠DBC+∠DBA=90°∴BC ⊥AB∴BC 是半圆 O 的切线（2）解：∠BEC=∠D=90∘，∵BD ⊥AD ，BD=6，∴BE=DE=3， △S DPE △S BPE△S BDE △S BCD∵∠DBC=∠A，∴△BCE∽△BAD，∴，即∴AD=4.59.（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=90°，AB∥CD，∴AB和CD 为⊙O的切线，∵AE切半圆于点F，∴OA平分∠BAE，OE平分∠AEC，而AB∥CD，∴∠BAE+∠AEC=180°，∴∠OAE+∠OEA=90°，∴∠AOE=90°，∴OA⊥OE（2）解：作FH⊥CD于H，如图，设正方形ABCD的边长为4a，则AF=AB=4a，OB=OC=2a，∵∠AOE=90°，∴∠AOB+∠COE=90°，∵∠AOB+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠EOC，∴△R tABO∽△R t OCE，∴AB：OC=OB：CE，即4a：2a=2a：CE，解得CE=a，∴EF=EC=a，∴EA=5a，ED=3a，∵FH∥AD，∴△EFH∽△EAD，∴==，即==，∴FH=a，EH=a，∴DH=3a﹣∴CH=4a﹣∵FH∥CM，a=a，a=a，∴==．10.（1）解：PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，∵CE为直径，∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC，∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．∴∠E=∠BCP，∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切；（2）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM=CM=BC=3，∴AC=AB=9，在△R tAMC 中，AM==6，设⊙O 的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6﹣r，在△R t OCM中，2，即32+（6﹣r）2=r2，解得r=，OM2+CM2=OC∴CE=2r=，OM=6﹣=，∴BE=2OM=，∵∠E=∠MCP，∴△R t PCM∽△R t CEB，∴=，即=，∴PC=．11.（1）证明：如图1，连接OB，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴AC=BC，∴OP垂直平分AB，∴AP=BP，∵OA=OB，OP=OP，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO=∠PBO，∵PA切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠PAO=90°，∴∠PBO=∠PAO=90°，∴OB⊥BP，又∵点B在⊙O 上，∴PB与⊙O相切于点B；（2）解：如图1，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴BC=AB=3，∵∠PBO=∠BCO=90°，∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°，∴∠PBC=∠BOC，∴△PBC∽△BOC，∴∴OC===3，∴在△R t OCB中，OB=∴∠COB=60°，==6，tan∠COB==，∴△SOPB=×OP×BC=×=18，S扇DOB==6π，∴S阴影△=SOPB﹣S扇DOB=18﹣6π；②若点E 是⊙O上一点，连接AE，BE，当AE=6时，BE=．3﹣3或3 +312.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O 的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在△R t AOC 中，AC=2∴OC=，=3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴，即=．∴CE=∴AE=AC﹣CE=2﹣==，．13.（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OE//BC，∴OE⊥AC，∴=，∴∠1=∠2，∴BE平分∠ABC（2）解：∵BD 是⊙O的切线，∴∠ABD=90°，∵∠ACB=90°，BH=BD=2，∴∠CBD=∠2，∴∠1=∠2=∠CBD，∴∠CBD=30°，∠ADB=60°，∵∠ABD=90°，∴AB=2，OB=，∵OD2=OB2+BD．∴OD=2，14.（1）解: 由y=5，得到P（x，5），连接AP，PB，∵圆P与x 轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=5，由AP=PB，由勾股定理得，x=2+=2+4=6，∴x=6（2）解: 由x=6，得到P（6，y），连接AP，PB，∵圆P 与x 轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=y，由AP=PB，得到=y，解得：y=5，则圆P的半径为5（3）解:同（2），由AP=PB，得到（x﹣2）2+（8﹣y）2=y2 ，整理得：=，即图象为抛物线，画出函数图象，如图②所示；15.（1）证明：连OC，如图，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵D为OA的中点，OD=OC=r，∴OA=2OC=2r，∴∠A=30°，∠AOC=60°，AC=∴∠AOB=120°，AB=2r ，r ，∴S 阴影部分 △=S OAB﹣S 扇形 ODE •OC •AB ﹣=﹣ ， ∴•r •2 r ﹣ r 2=﹣ ， ∴r=1，即⊙O 的半径 r 为 116. （1）证明：如图，连接OE ． ∵BE ⊥EF ，∴∠BEF=90°，∴BF 是圆 O 的直径．∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE=∠OBE ，∵OB=OE ，∴∠OBE=∠OEB ，∴∠OEB=∠CBE ，∴OE ∥BC ，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC 是⊙O 的切线；（2）证明：如图，连结 DE ．∵∠CBE=∠OBE ，EC ⊥BC 于 C ，EH ⊥AB 于 H ， ∴EC=EH ．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE ． =在△CDE△与HFE中，，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF（3）由（2）得CD=HF，又CD=1，∴HF=1，在△R t HFE 中，EF=∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠EHF=∠BEF=90°，∵∠EFH=∠BFE，∴△EHF∽△BEF，=，∴=，即=，∴BF=10，∴OE=BF=5，OH=5﹣1=4，∴△R tOHE中，cos∠EOA=∴△R t EOA 中，cos∠EOA=，=，∴∴OA=∴AF==，，﹣5=17.（1）解：∵∴，在中∴∴∵,∴∵是∴∴（2）解：∵∴∵,∴∵的直径，是,.，的半径，,∴又∵∴∴即的半径是18.（1）证明：连接OD，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，在△R tBDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=∴∠C=∠CDE，BC，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD 为圆的半径，∴DE为圆O的切线；（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB 的中点，∴OE△是ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE（3）解：∵cos∠BAD=∴sin∠BAC==，，又∵BE=∴AC=，E是BC的中点，即BC=．，又∵AC=2OE，∴OE=AC=19.（1）解：连接OC，∵CD切⊙O于点C∴∠OCD=90°∵∠D=30°∴∠COD=60°∵OA=OC∴∠A=∠ACO=30°；（2）解：∵CF ⊥直径 AB ，CF=4∴CE=2∴在 △R t OCE 中，tan ∠COE=，OE=∴OC=2OE=4=2，∴S =扇形， △S EOC ×2×2 =2 ∴S =S 阴影 扇形 BOC △-S EOC-2 ．20.（1）证明：连接 OD 、OE 、DF ，如图，∵AF 为直径，∴∠ADF=90°，而∠C=90°，∴DF ∥BC ，∵DE=EF ，∴=∴OE ⊥DF ，∴OE ⊥BC ，∴BC 为⊙O 的切线（2）解：∵∠OEB=90°，∠B=40°，∴∠BOE=90°﹣40°=50°，BOC = =∴∠OFE=（180°﹣50°）=65°，∴∠CDE=∠AFE=65°（3）解：易得四边形CDHE为矩形，∴HE=CD=2，DH=CE=4，设⊙O 的半径为r，则OH=OE﹣HE=r﹣2，OD=r，在△R tOHD中，（r﹣2）2，解得r=5，2+42=r∵OH⊥DF，∴HF=DH=4，∵HF∥BE，∴△OHF∽△OEB，∴HF：BE=OH：OE，即4：BE=3：5，∴BE=21.（1）解：如图1中，连接AC、AB．∵⊙A 与x轴、y轴相切于点B、C，∴AC⊥OC，AB⊥OB，AC=AB，四边形ABOC是正方形，设A（m，m），∵点A在y=上，∴m2=3，∵m＞0，∴点A坐标（，），∴OC=，∴点C坐标（0，），∵一次函数y=x+b的图象经过点C，∴b=，∴一次函数的解析式为y=，令y=0得x=-3，∴D（-3，0），b=（2）解：如图2中，连接BC、BE，作AM⊥CE于M．在△R t DOC 中，∵tan∠CDO=，∴∠CDO=30°，∵AC∥BD，∴∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°，∵AM⊥CE，∴∠CAM=∠EAM=60°，∴∠CAE=120°，在△R tAMC 中，CM=AC•cos30°=（3）解：如图3中，，∴CE=2CM=3，∴∠CBE=∠CAE=60°①当⊙A″与直线y=∵AB∥OC，相切于点E，AB与直线CD交于点K，∴∠A″KE=∠DKB=∠DCO=60°，在△R tA″EK中，A″E= AK=CA•tan30°=1，∴AA″=A″K+AK=1+2=3，∴⊙A 向上平移3的单位⊙A与y轴及直线y=，A″K=A″E÷cos30°=2，在△R tCKA中，均相切．②同理可得⊙A 向下平移1个单位⊙A与y轴及直线y=均相切。

圆中证明及计算问题【例1】如图,⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB•CP＝BD•CD；（3）当AB＝5 cm,AC＝12 cm时，求线段PC的长．【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接OD．∵∠BAD＝∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PA，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，即OD⊥PA，∴PD是⊙O的切线．(2）证明:∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD,∴△BAD∽△CDP,∴AB BD,CD CP∴AB•CP＝BD•CD．（3）∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝5，AC＝12，由勾股定理得：BC＝13,由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD＝∵AB•CP＝BD•CD．．∴PC＝16910【变式1-1】如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC,延长BC 到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．(1）求证：△ABE≌△CDE；(2）填空：①当∠ABC的度数为时,四边形AOCE是菱形;②若AE=6，BE=8，则EF的长为．。

【答案】（1)见解析；（2）60；92【解析】（1）证明：连接CE，∵AB=AC，CD=CA,∴∠ABC=∠ACB,AB=CD，∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°,∴∠ECD=∠BAE，同理，∠CED=∠ABC，∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE；（2）①60；连接AO、OC，∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ABC+∠AEC=180°,∵∠ABC =60，∴∠AEC =∠AOC =120°,∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA =30°，∵AB =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∵∠ACB =∠CAD +∠D ，AC =CD ,∴∠CAD =∠D =30°，∴∠ACE =30°，∴∠OAE =∠OCE =60°，即四边形AOCE 是平行四边形，∵OA =OC ,∴四边形AOCE 是菱形；②由(1)得：△ABE ≌△CDE ，∴BE =DE =8，AE =CE =6，∠D =∠EBC ,由∠CED =∠ABC =∠ACB ，得△ECD ∽△CFB ， ∴CE CF DE BC==68, ∵∠AFE =∠BFC ，∠AEB =∠FCB ，∴△AEF ∽△BCF ， ∴EF CF AE BC=， 即668EF =，∴EF=9．2【例2】如图，AB为⊙O的直径,点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．(1）求证：△CDE≌△CBE;（2）若AB＝4,填空：①当弧CD的长度是时，△OBE是等腰三角形；②当BC＝时，四边形OADC为菱形．;2．【答案】(1)见解析；（2)2【解析】（1）证明:延长AD交直线l于点F,∵AD垂直于直线l，∴∠AFC＝90°，∵直线l为⊙O切线，∴∠OCF＝90°,∴∠AFC＝∠OCF＝90°,∴AD∥OC,∵AB为⊙O直径,∴∠ADB ＝90°，∴∠OEB ＝90°，∴OC ⊥DB ,∴DE ＝BE ,∠DEC ＝∠BEC ＝90°，∵CE ＝CE ，∴△CDE ≌△CBE ；（2)①如图2，连接OD ，由（1）知∠OEB ＝90°,当△OBE 是等腰三角形时，则△OEB 为等腰直角三角形,∴∠BOE ＝∠OBE =45°，∵OD ＝OB ，OE ⊥BD ，∴∠DOC ＝∠BOE ＝45°,∵AB ＝4,∴OD ＝2，∴弧CD 的长=452180π⨯=2π;②当四边形OADC 为菱形时，则AD ＝DC ＝OC ＝AO ＝2，由(1）知，BC ＝DC ，∴BC ＝2.【变式2—1】(2019·河南南阳一模）如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,⊙O 的半径为2，∠B =135°，则弧AC 的长为（ ）A. 2πB. π C 。

第二部分 专题三类型1 与圆有关的角平分线问题1．(2018·衡阳)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 分别交AC ，AB 的延长线于点E ，F .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若AC ＝4，CE ＝2，求BD ︵的长度．(结果保留π) (1)证明：如答图，连接OD ，答图∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ． ∵AD 平分∠EAF ， ∴∠DAE ＝∠DAO ， ∴∠DAE ＝∠ADO ， ∴OD ∥AE .∵AE ⊥EF ，∴OD ⊥EF ， ∴EF 是⊙O 的切线．(2)解：如答图，作OG ⊥AE 于点G ，则AG ＝CG ＝12AC ＝2，∠OGE ＝∠E ＝∠ODE ＝90°，∴四边形ODEG 是矩形，∴OA ＝OD ＝GE ＝CG ＋CE ＝2＋2＝4，∠DOG ＝90°， 在Rt △AOG 中，∵OA ＝2AG ， ∴∠AOG ＝30°，∴∠BOD ＝60°， 则BD ︵的长度为60·π·4180＝4π3.2．(2018·赤峰)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O在AB 上，⊙O 经过A ，D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F .(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径是2 cm ，E 是AD ︵的中点，求阴影部分的面积．(结果保留π和根号) (1)证明：如答图，连接OD ，答图∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ． ∵AD 平分∠BAC ，∠OAD ＝∠DAC ， ∴∠ODA ＝∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠C ＝90°， ∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线． (2)解：连接OE ，OE 交AD 于K ， ∵AE ︵＝DE ︵，∴OE ⊥AD ．∵∠OAK ＝∠EAK ，AK ＝AK ，∠AKO ＝∠AKE ＝90°， ∴△AKO ≌△AKE (ASA)，∴AO ＝AE ＝OE ， ∴△AOE 是等边三角形，∴∠AOE ＝60°，∴S 阴影＝S 扇形OAE －S △AOE ＝60·π·22360－34×22＝2π3－ 3.3．(2018·咸宁)如图，以△ABC 的边AC 为直径的⊙O 恰为△ABC 的外接圆，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若AB ＝25，BC ＝5，求DE 的长． (1)证明：如答图，连接OD ， ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°.答图∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝45°，∴∠AOD ＝90°. ∵DE ∥AC ，∴∠ODE ＝∠AOD ＝90°， ∴DE 是⊙O 的切线．(2)解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝25，BC ＝5， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝5，∴OD ＝52.∵DE ∥AC ，∴∠CEG ＝∠ACB ， ∴tan ∠CEG ＝tan ∠ACB ，∴CG GE ＝AB BC ，即2.5GE ＝255， 解得GE ＝54，∴DE ＝DG ＋GE ＝154.4．(2018·莱芜)如图，已知A ，B 是⊙O 上两点，△OAB 外角的平分线交⊙O 于另一点C ，CD ⊥AB 交AB 的延长线于D ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)E 为AB ︵ 的中点，F 为⊙O 上一点，EF 交AB 于G ，若tan ∠AFE ＝34，BE ＝BG ，EG ＝310，求⊙O 的半径．(1)证明：连接OC ，如答图，答图∵BC 平分∠OBD ，∴∠OBC ＝∠CBD ．∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ， ∴∠OCB ＝∠CBD ，∴OC ∥AD ， 而CD ⊥AB ，∴OC ⊥CD ， ∴CD 是⊙O 的切线．(2)解：连接OE 交AB 于H ，如答图， ∵E 为AB ︵的中点，∴OE ⊥AB ． ∵∠ABE ＝∠AFE ，∴tan ∠ABE ＝tan ∠AFE ＝34，∴在Rt △BEH 中，tan ∠HBE ＝EH BH ＝34，∴设EH ＝3x ，BH ＝4x ，∴BE ＝5x . ∵BG ＝BE ＝5x ，∴GH ＝x ，在Rt △EHG 中，x 2＋(3x )2＝(310)2，解得x ＝3， ∴EH ＝9，BH ＝12，设⊙O 的半径为r ，则OH ＝r －9，在Rt △OHB 中，(r －9)2＋122＝r 2，解得r ＝252，即⊙O 的半径为252.类型2 与圆有关的双切线问题1．(2018·北京)如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ，CD ．(1)求证：OP ⊥CD ；(2)连接AD ，BC ，若∠DAB ＝50°，∠CBA ＝70°，OA ＝2，求OP 的长． (1)证明：如答图，设PO 与DC 交于点Q ， ∵PC ，PD 与⊙O 相切于C ，D ， ∴PC ＝PD ，OP 平分∠CPD ，在等腰△PCD 中，PC ＝PD ，PQ 平分∠CPD ， ∴PQ ⊥CD 于Q ，即OP ⊥CD ．(2)解：如答图，连接OC ，OD ，答图∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ＝50°， ∴∠AOD ＝180°－∠OAD －∠ODA ＝ 80°.同理：∠BOC ＝40°，∴∠COD ＝180°－∠AOD －∠BOC ＝60°， 在等腰△COD 中，OC ＝OD ，OQ ⊥CD ， ∴∠DOQ ＝12∠COD ＝30°.∵PD 与⊙O 相切于D ，∴OD ⊥DP ， ∴∠ODP ＝90°，在Rt △ODP 中，∠ODP ＝90°，∠POD ＝30°， ∴OP ＝ODcos ∠POD ＝OA cos30°＝232＝433.2．(2018·黔西南)如图，CE 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点C ，连接OB ，作ED ∥OB 交⊙O 于点D，BD 的延长线与CE 的延长线交于点A ．(1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为1，tan ∠DEO ＝2，tan ∠A ＝14，求AE的长．(1)证明：连接OD ，如答图，答图∵ED ∥OB ，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3， ∵OD ＝OE ，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.在△DOB 与△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC ，∠1＝∠2，OB ＝OB ，∴△DOB ≌△COB (SAS)， ∴∠ODB ＝∠OCB ．∵BC 切⊙O 于点C ，∴∠OCB ＝90°， ∴∠ODB ＝90°，∴AB 是⊙O 的切线． (2)解：∵∠DEO ＝∠2. ∴tan ∠DEO ＝tan ∠2＝ 2.∵⊙O 的半径为1，∴OC ＝1，∴BC ＝ 2.∵tan ∠A ＝BC AC ＝14，∴AC ＝4BC ＝42，∴AE ＝AC －CE ＝42－2.3．(2018·武汉)如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接PB ，PC ，PC 交AB 于点E ，且PA ＝PB ．(1)求证：PB 是⊙O 的切线； (2)若∠APC ＝3∠BPC ，求PE CE的值． (1)证明：如答图，连接OP ，OB ．答图∵PA 是⊙O 的切线， ∴PA ⊥OA ，∴∠PAO ＝90°.在△PAO 和△PBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PB ，PO ＝PO ，OA ＝OB ，∴△PAO ≌△PBO (SSS)． ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°， ∴PB ⊥OB ，∴PB 是⊙O 的切线． (2)解：设OP 交AB 于K . ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC ． ∵PA ，PB 都是⊙O 的切线， ∴PA ＝PB ，∠APO ＝∠BPO . ∵OA ＝OB ，∴OP 垂直平分线段AB ， ∴OK ∥BC ．∵AO ＝OC ，∴AK ＝BK ，∴BC ＝2OK ，设OK ＝a ，则BC ＝2a . ∵∠APC ＝3∠BPC ，∠APO ＝∠OPB ， ∴∠OPC ＝∠BPC ＝∠PCB ， ∴BC ＝PB ＝PA ＝2a .∵△PAK ∽△POA ，∴PA 2＝PK ·PO ，设PK ＝x ， 则有x 2＋ax －4a 2＝0， 解得x ＝17－12a (负根舍去)， ∴PK ＝17－12a . ∵PK ∥BC ，∴PE EC ＝PK BC ＝17－14.4．(2018·襄阳)如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，E 为⊙O 上一点，过点E 作直线DC 分别交AM ，BN 于点D ，C ，且CB ＝CE .(1)求证：DA ＝DE ；(2)若AB ＝6，CD ＝43，求图中阴影部分的面积． (1)证明：如答图，连接OE ，OC ，BE . ∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB ． ∵BC ＝EC ，∴∠CBE ＝∠CEB ， ∴∠OBC ＝∠OEC ．∵BC 为⊙O 的切线，∴∠OEC ＝∠OBC ＝90°. ∵OE 为⊙O 的半径，∴CD 为⊙O 的切线． ∵AD 切⊙O 于点A ，∴DA ＝DE .(2)解：如答图，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，则四边形ABFD 是矩形，答图∴AD ＝BF ，DF ＝AB ＝6， ∴DC ＝BC ＋AD ＝4 3. ∵FC ＝DC 2－DF 2＝23，∴BC ＋AD ＝BF ＋FC ＋AD ＝AD ＋FC ＋AD ＝2AD ＋23＝43，∴AD ＝3， ∴BC ＝BF ＋FC ＝AD ＋FC ＝3＋23＝33， 在Rt △OBC 中，tan ∠BOC ＝BC BO ＝333＝3， ∴∠BOC ＝60°，在△OEC 和△OBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OB ，OC ＝OC ，CE ＝CB ，∴△OEC ≌△OBC (SSS)， ∴∠BOE ＝2∠BOC ＝120°，∴S 阴影＝S 四边形BCEO －S 扇形OBE ＝2×12BC ·OB －120·π·OB2360＝93－3π.5．(2018·新疆)如图，PA 与⊙O 相切于点A ，过点A 作AB ⊥OP ，垂足为C ，交⊙O 于点B ．连接PB ，AO ，并延长AO 交⊙O 于点D ，与PB 的延长线交于点E .(1)求证：PB 是⊙O 的切线； (2)若OC ＝3，AC ＝4，求sin E 的值． (1)证明：如答图，连接OB ．答图∵PO ⊥AB ，∴AC ＝BC ，∴PA ＝PB ，在△PAO 和△PBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PB ，AO ＝BO ，PO ＝PO ，∴△PAO ≌△PBO (SSS)， ∴∠OBP ＝∠OAP ＝90°， ∴PB 是⊙O 的切线． (2)解：连接BD ， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ABD ＝90°. ∵∠ACO ＝90°，∴BD ∥PO ，且BD ＝2OC ＝6，在Rt △ACO 中，OC ＝3，AC ＝4，∴AO ＝5， 在Rt △ACO 和Rt △PAO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOP ＝∠AOC ，∠PAO ＝∠ACO ，∴△ACO ∽△PAO ， ∴AO CO ＝PO AO ，AC PA ＝CO AO ，∴PO ＝253，PA ＝203，∴PB ＝PA ＝203，在△EPO 与△EBD 中，∵BD ∥PO ， ∴△EPO ∽△EBD ，∴BD PO ＝EBEP， 解得EB ＝1207，PE ＝50021，∴sin E ＝PA EP ＝725.类型3 与圆有关的弦切角问题1．(2018·金华)如图，在Rt △ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与BC ，AB 相交于点D ，E ，连接AD ．已知∠CAD ＝∠B ．(1)求证：AD 是⊙O 的切线．(2)若BC ＝8，tan B ＝12，求⊙O 的半径．(1)证明：如答图，连接OD ，答图∵OB ＝OD ，∴∠3＝∠B ． ∵∠B ＝∠1，∴∠1＝∠3.∵在Rt △ACD 中，∠1＋∠2＝90°，∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝90°，∴OD ⊥AD ， ∴AD 是⊙O 的切线． (2)解：设⊙O 的半径为r ， 在Rt △ABC 中，AC ＝BC ·tan B ＝4， 根据勾股定理得AB ＝42＋82＝45， ∴OA ＝45－r .在Rt △ACD 中，∵tan ∠1＝tan B ＝12，∴CD ＝AC ·tan∠1＝2，根据勾股定理得AD 2＝AC 2＋CD 2＝16＋4＝20，在Rt △ADO 中，OA 2＝OD 2＋AD 2，即(45－r )2＝r 2＋20，解得r ＝352.即⊙O 的半径为352.2．(2018·玉林)如图，在△ABC 中，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，∠DAC ＝∠B ．(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)点E 是AB 上一点，若∠BCE ＝∠B ，tan ∠B ＝12，⊙O 的半径是4，求EC 的长． (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠B ＋∠BAD ＝90°.∵∠DAC ＝∠B ，∴∠DAC ＋∠BAD ＝90°，∴∠BAC ＝90°，∴BA ⊥AC ，∴AC 是⊙O 的切线．(2)解：∵∠BCE ＝∠B ，∴EC ＝EB ，设EC ＝EB ＝x ，在Rt △ABC 中，∵tan ∠B ＝AC AB ＝12，AB ＝8，∴AC ＝4. 在Rt △AEC 中，∵EC 2＝AE 2＋AC 2，∴x 2＝(8－x )2＋42，解得x ＝5，∴CE ＝5.3．(2018·齐齐哈尔)如图，以△ABC 的边AB 为直径画⊙O ，交AC 于点D ，半径OE ∥BD ，连接BE ，DE ，BD ，设BE 交AC 于点F ，若∠DEB ＝∠DBC ．(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BF ＝BC ＝2，求图中阴影部分的面积．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠A ＋∠ABD ＝90°.∵∠A ＝∠DEB ，∠DEB ＝∠DBC ，∴∠A ＝∠DBC ，∴∠DBC ＋∠ABD ＝90°，∴BC 是⊙O 的切线．(2)解：如答图，连接OD ，∵BF ＝BC ＝2，且∠ADB ＝90°，答图∴∠CBD ＝∠FBD ．∵OE ∥BD ，∴∠FBD ＝∠OEB ．∵OE ＝OB ，∴∠OEB ＝∠OBE ，∴∠CBD ＝∠DBE ＝∠OBE ＝13∠ABC ＝13×90°＝30°，∴∠C ＝60°，∴AB ＝3BC ＝23，∴⊙O 的半径为3，∠BOD ＝60°，∴S 阴影＝S 扇形DOB －S △DOB ＝16π×3－34×3＝π2－334.。

专题二：圆的证明与计算题研究【题型导引】题型一：与圆的性质有关的证明与计算（1）与圆内三角形、四边形为背景研究形状及其线段、周长面积等问题；（2）圆内多边形关于角的问题；（3）已知圆内特殊三角形背景下线段的长度计算等。

题型二：与圆的切线有关的证明与计算（1）已知圆的切线与特殊三角形的关系，计算半径、线段等问题；（2）已知圆与特殊三角形相关条件判定圆的切线及其线段计算等问题；（3）已知圆与特殊四边形相关条件判定圆的切线及其线段计算等问题。

题型三：与扇形、弧长等有关的计算（1）根据圆的性质及其相关条件进行计算弧长、扇形面积等问题；（2）根据圆的性质及其相关条件进行计算圆锥等问题； 【典例解析】类型一：与圆的性质有关的证明与计算例题1：（2019•湖北省荆门市•10分）已知锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ． （1）求证：sin ACB＝2R ； （2）若△ABC 中∠A ＝45°，∠B ＝60°，AC ＝3，求BC 的长及sin C 的值．【解答】解：（1）如图1，连接AO 并延长交⊙O 于D ，连接CD ， 则∠CD ＝90°，∠ABC ＝∠ADC ， ∵sin ∠ABC ＝sin ∠ADC ＝AC AD ＝2ACR∴sin ACB＝2R ； （2）∵sin ACB＝2R ，同理可得：sin AC B －sin AB C ＝sin BCA＝2R ，∴2R ＝3sin 60︒＝2，∴BC ＝2R •sin A ＝2sin45°＝2， 如图2，过C 作CE ⊥AB 于E ， ∴BE ＝BC •cos B ＝2cos60°＝22，AE ＝AC •cos45°＝62， ∴AB ＝AE ＋BE ＝622+， ∵AB ＝AR •sin C ，∴sin C ＝＝624+．技法归纳：圆的性质综合运用题中，经常用到的重要性质及技法：①运用圆是轴对称图形也是中心对称图形可以对相关结论作合理的猜测；②利用垂径定理，通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形，运用勾股定理或锐角三角函数进行计算；③在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距等量对等量关系，可以转化相等关系；④由直径所对的圆周角是直角构造直角三角形；⑤相似三角形、锐角三角函数、勾股定理是计算线段长度及其线段数量关系的重要手段． 类型二：与圆的位置关系有关的证明与计算例题2：(2018·娄底中考)如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵，弦CD 交AB 于点E . (1)当PB 是⊙O 的切线时， 求证：∠PBD ＝∠DAB ； (2)求证：BC 2－CE 2＝CE ·DE ；(3)已知OA ＝4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长．【解析】 (1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°. ∵PB 是⊙O 的切线，∴∠ABP ＝90°，∴∠PBD ＋∠ABD ＝90°， ∴∠BAD ＝∠PBD .(2)∵∠A ＝∠DCB ，∠AED ＝∠CEB ， ∴△ADE ∽△CBE ， ∴DE BE ＝AECE，即DE ·CE ＝AE ·BE . 如图，连接OC .设圆的半径为r ， 则OA ＝OB ＝OC ＝r ，则DE ·CE ＝AE ·BE ＝(OA －OE )(OB ＋OE )＝r 2－OE 2. ∵AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝∠BOC ＝90°， ∴CE 2＝OE 2＋OC 2＝OE 2＋r 2， BC 2＝BO 2＋CO 2＝2r 2，则BC 2－CE 2＝2r 2－(OE 2＋r 2)＝r 2－OE 2， ∴BC 2－CE 2＝DE ·CE .(3)∵OA ＝4，∴OB ＝OC ＝OA ＝4， ∴BC ＝OB 2＋OC 2＝4 2. 又∵E 是半径OA 的中点， ∴AE ＝OE ＝2，则CE ＝OC 2＋OE 2＝42＋22＝2 5. ∵BC 2－CE 2＝DE ·CE ， ∴(42)2－(25)2＝DE ·25，解得DE ＝655.技法归纳：与切线有关的证明与计算，最常用的辅助线是连接经过切点的半径，利用直径构造直角三角形，利用圆周角相等转移角的位置等．运用三角形全等、三角形相似、勾股定理、锐角三角函数等知识进行证明与计算．类型三：与扇形面积有关的证明与计算例题3：（2019•湖北武汉•8分）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN 于D .C 两点． （1）如图1，求证：AB 2＝4AD •BC ；（2）如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OC .OD ，如图1所示： ∵AM 和BN 是它的两条切线， ∴AM ⊥AB ，BN ⊥AB ， ∴AM ∥BN ，∴∠ADE ＋∠BCE ＝180° ∵DC 切⊙O 于E ， ∴∠ODE ＝12∠ADE ，∠OCE ＝12∠BCE ， ∴∠ODE ＋∠OCE ＝90°， ∴∠DOC ＝90°， ∴∠AOD ＋∠COB ＝90°， ∵∠AOD ＋∠ADO ＝90°， ∴∠AOD ＝∠OCB ， ∵∠OAD ＝∠OBC ＝90°， ∴△AOD ∽△BCO ，∴AD OA BO BC=,∴OA2＝AD•BC，∴（12AB）2＝AD•BC，∴AB2＝4AD•BC；（2）解：连接OD，OC，如图2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD垂直平分OF，∴OD＝DF，在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA＋∠CDO＋∠CDF＝180°，∴∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在Rt△DAO，AD 3 OA，Rt△BOC中，BC3OB，∴AD：BC＝1：3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB3∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×12×332120(3)π⨯3π．技法归纳：求与圆有关的阴影部分的面积时，常常是通过把不规则图形的面积，用扇形的面积和三角形的面积的和差来解决．特别地，对于旋转图形，要利用旋转的性质，确定旋转的中心(扇形的圆心)和旋转半径(相应的线段)的位置的变化，常常运用三角形全等进行面积的割补．【变式训练】1. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，其内切圆⊙O与边BC，AC，AB分别切于点D，E，F.(1)求证：BF＝CE；(2)若∠ACB＝30°，CE＝2 3，求AC的长．【解析】：(1)证明：连结AO并延长，∵AB＝AC，∴AO的延长线交BC于切点D，则BD＝CD.又由切线长定理，得BF＝BD，CD＝CE，∴BF＝CE.(2)∵CE＝2 3，∴CD＝2 3.又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.又∵∠ACB＝30°，∴AC＝CDcos∠ACB＝2 3cos30°＝2 332＝4.2. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•8分）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠COA＝60°，∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OA⊥AD，即CD是⊙O的切线；（2）解：∵BC＝4，∴OA＝OC＝2，在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，∴OD＝2OA＝4，AD＝2，所以S△OAD＝OA•AD＝×2×2＝2，因为∠COA＝60°，所以S扇形COA＝＝π，所以S阴影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．3. （2018辽宁抚顺）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD ＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．【解答】（1）证明：连接O C．∵CB ＝CD ，CO ＝CO ，OB ＝OD ， ∴△OCB ≌△OCD ， ∴∠ODC ＝∠OBC ＝90°， ∴OD ⊥DC ， ∴DC 是⊙O 的切线． （2）解：设⊙O 的半径为r ． 在Rt △OBE 中，∵OE 2＝EB 2＋OB 2， ∴（8﹣r ）2＝r 2＋42， ∴r ＝3， ∵tan ∠E ＝＝，∴＝，∴CD ＝BC ＝6， 在Rt △ABC 中，AC ＝22AB BC +＝ 2266+＝62．4. （2019•甘肃庆阳•8分）已知：在△ABC 中，AB ＝A C ．（1）求作：△ABC 的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若△ABC 的外接圆的圆心O 到BC 边的距离为4，BC ＝6，则S ⊙O ＝ ．【解答】解：（1）如图⊙O 即为所求．（2）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ． 由题意OE ＝4，BE ＝EC ＝3， 在Rt △OBE 中，OB ＝2234 ＝5， ∴S 圆O ＝π•52＝25π． 故答案为25π．5. （2018云南昆明）如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点C ，AD 交⊙O 于点F ，∠AC 平分∠BAD ，连接BF ．（1）求证：AD ⊥ED ；（2）若CD ＝4，AF ＝2，求⊙O 的半径．【解答】（1）证明：连接OC ，如图， ∵AC 平分∠BAD ， ∴∠1＝∠2， ∵OA ＝OC ， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴OC ∥AD ，∵ED 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥DE ， ∴AD ⊥ED ；（2）解：OC 交BF 于H ，如图， ∵AB 为直径， ∴∠AFB ＝90°，易得四边形CDFH 为矩形， ∴FH ＝CD ＝4，∠CHF ＝90°， ∴OH ⊥BF ， ∴BH ＝FH ＝4， ∴BF ＝8，在Rt △ABF 中，AB ＝ 22AF BF +＝ 2228+＝217，∴⊙O 的半径为17．6. （2019•四川省凉山州•8分）如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点C ，E 是BC 的中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）若OB ＝BF ，EF ＝4，求AD 的长．【解答】解：（1）如图，连接OD ，BD ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠1＝∠3，∵BC是⊙O的切线，∴∠3＋∠4＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠1＋∠2＝90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OD，∴∠F＝30°，∵∠FBE＝90°，∴BE＝EF＝2，∴DE＝BE＝2，∴DF＝6，∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝60°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，∴∠A＝∠F，∴AD＝DF＝6．7. （2019•山东省德州市•12分）如图，∠BPD＝120°，点A.C分别在射线PB.PD上，∠P AC＝30°，AC ＝3．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A.C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段P A .PC 围成的封闭图形的面积．【解答】解：（1）如图，（2）已知：如图，∠BPD ＝120°，点A .C 分别在射线PB .PD 上，∠P AC ＝30°，AC ＝3过A .C 分别作PB .PD 的垂线，它们相交于O ，以OA 为半径作⊙O ，OA ⊥PB ，求证：PB .PC 为⊙O 的切线；证明：∵∠BPD ＝120°，P AC ＝30°，∴∠PCA ＝30°，∴P A ＝PC ，连接OP ，∵OA ⊥P A ，PC ⊥OC ，∴∠P AO ＝∠PCO ＝90°，∵OP ＝OP ，∴Rt △P AO ≌Rt △PCO （HL ）∴OA ＝OC ，∴PB .PC 为⊙O 的切线；（3）∵∠OAP ＝∠OCP ＝90°﹣30°＝60°，∴△OAC 为等边三角形，∴OA ＝AC ＝3AOC ＝60°，∵OP 平分∠APC ，∴∠APO ＝60°，∴AP 33＝2，∴劣弧AC 与线段P A .PC 围成的封闭图形的面积＝S 四边形APCO ﹣S 形AOC ＝2×12×3×2260(23)360＝3﹣2π．8. （2019湖北省鄂州市）（10分）如图，P A是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O 于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，P B．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△P AB的内心；（3）若cos∠P AB＝1010，BC＝1，求PO的长．【解答】（1）证明：连结OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP ＝∠OAP ，∵P A 为⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°，∴∠OBP ＝90°，∴PB 是⊙O 的切线；（2）证明：连结AE ，∵P A 为⊙O 的切线，∴∠P AE ＋∠OAE ＝90°，∵AD ⊥ED ，∴∠EAD ＋∠AED ＝90°，∵OE ＝OA ，∴∠OAE ＝∠AED ，∴∠P AE ＝∠DAE ，即EA 平分∠P AD ，∵P A 、PD 为⊙O 的切线，∴PD 平分∠APB∴E 为△P AB 的内心；（3）解：∵∠P AB ＋∠BAC ＝90°，∠C ＋∠BAC ＝90°，∴∠P AB ＝∠C ，∴cos ∠C ＝cos ∠P AB在Rt △ABC 中，cos ∠C ＝BC AC ＝1AC ，∴AC AO ∵△P AO ∽△ABC ， ∴PO AO AC BC，∴PO ＝AO AC BC 5．9. 已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若＝，如图1，．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF＝2FC＝4，求AM的长．【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形，∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，∴∠CFE＝∠CEF＝∠BDO＝∠BEO＝90°，∵四边形内角和为360°，∴∠EOF＋∠C＝180°，∠DOE＋∠B＝180°，∵＝，∴∠EOF＝∠DOE，∴∠B＝∠C，AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形；（2）连接OB、OC、OD、OF，如图，∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，∴E是BC中点，BE＝CE，∵在Rt△AOF和Rt△AOD中，，∴Rt△AOF≌Rt△AOD，∴AF＝AD，同理Rt△COF≌Rt△COE，CF＝CE＝2，Rt△BOD≌Rt△BOE，BD＝BE，∴AD＝AF，BD＝CF，∴DF∥BC，∴＝，∵AE＝＝4，∴AM＝4×＝．10. （2019•山东威海•12分）（1）方法选择如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝A C．求证：BD＝AD＋C D．小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝A C．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论．【探究2】如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，B D．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，B D．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．【解答】解：（1）方法选择：∵AB＝BC＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，如图①，在BD上截取DEMAD，连接AM，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴AM＝AD，∵∠ABM＝∠ACD，∵∠AMB＝∠ADC＝120°，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM＋DM＝CD＋AD；（2）类比探究：如图②，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，过A作AM⊥AD交BD于M，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，∴DM2AD，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，∵∠ABM＝∠ACD，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD ＝BM ＋DM ＝CD AD ；【探究2】如图③，∵若BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，∠ACB ＝60°，过A 作AM ⊥AD 交BD 于M ，∵∠ADB ＝∠ACB ＝60°，∴∠AMD ＝30°，∴MD ＝2AD ，∵∠ABD ＝∠ACD ，∠AMB ＝∠ADC ＝150°，∴△ABM ∽△ACD ，∴BM CD ＝AB AC ，∴BM ，∴BD ＝BM ＋DM ＋2AD ；故答案为：BD CD ＋2AD ；（3）拓展猜想：BD ＝BM ＋DM ＝b c CD ＋ba AD ； 理由：如图④，∵若BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，过A 作AM ⊥AD 交BD 于M ，∴∠MAD ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAC ，∴△ABM ∽△ACD ， ∴BM CD ＝AB AC ＝bc ， ∴BM ＝b c CD ， ∵∠ADB ＝∠ACB ，∠BAC ＝∠NAD ＝90°，∴△ADM ∽△ACB ， ∴AD DM ＝AC BC ＝b a， ∴DM ＝b a AD ，∴BD ＝BM ＋DM ＝b c CD ＋v A D ． 故答案为：BD ＝b c CD ＋b a AD。

圆中的计算与证明1.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=2CD•OE；（3）若cos∠BAD= ，BE= ，求OE的长．3.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，已知∠D＝30°.（1）求∠A的度数；（2）若点F在⊙O上，CF⊥AB，垂足为E，CF＝，求图中阴影部分的面积.4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E，F分别在AC，BC，AB边上，以AF为直径的⊙O恰好经过D，E，且DE=EF．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若∠B=40°，求∠CDE的度数；（3）若CD=2，CE=4，求⊙O的半径及线段BE的长．5.如图，⊙的圆心在反比例函数的图像上，且与轴、轴相切于点、，一次函数的图像经过点，且与轴交于点，与⊙的另一个交点为点.（1）求的值及点的坐标；（2）求长及的大小；（3）若将⊙沿轴上下平移，使其与轴及直线均相切，求平移的方向及平移的距离.6.如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2 ，求AE的长．7.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=11cm，BC=16cm，CA=15cm，求AF、BD、CE 的长？8.如图，在4×4的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，求扇形OAB的弧长，周长和面积．（结果保留根号及π）．9.如图,直线y= 与x轴、y轴分别相交于A,B两点,圆心P的坐标为(1,0),圆P与y轴相切于点O.若将圆P 沿x轴向左移动,当圆P与该直线相交时,求横坐标为整数的点P的个数.10.如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是弧BF的中点，AD⊥BC于点D，求证：AD= BF．11.如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，点D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知sinA= ，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积12.如图，已知是△的外角的平分线，交的延长线于点，延长交△的外接圆于点，连接，．（1）求证：．（2）已知，若是△外接圆的直径，，求的长．13.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O是一点，过点B作⊙O的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，OE//BC交⊙O于点E，连接BE交AC于点H．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）连接OD，若BH=BD=2，求OD的长．14.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（2，8），且与x轴相切于点B.图①图②（1）当x＞0，y=5时，求x的值；（2）当x = 6时，求⊙P的半径；（3）求y关于x的函数表达式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象（不必列表，画草图即可）.15.如图，△OAB的底边经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若D为OA的中点，阴影部分的面积为，求⊙O的半径r．16.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF长．17.已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．18.如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．19.如图1，在正方形ABCD中，以BC为直径的正方形内，作半圆O，AE切半圆于点F交CD于点E，连接OA、OE．（1）求证：AO⊥EO；（2）如图2，连接DF并延长交BC于点M，求的值．20.如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD ∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=9，BC=6．求PC的长．21.如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP交⊙O于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O 于点B，连接PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PC=9，AB=6 ，①求图中阴影部分的面积；参考答案1.（1）解：∵，∴在中∴∴∵,∴∵是的直径，∴∴（2）解：∵是的半径，,∴,∵,∴.∵，∴又∵∴∴即的半径是2.（1）证明：连接OD，BD，∵AB 为圆O 的直径，∴∠ADB=90°，在Rt △BDC 中，E 为斜边BC 的中点，∴CE=DE=BE= BC ，∴∠C=∠CDE ，∵OA=OD ，∴∠A=∠ADO ，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE ⊥OD ，又OD 为圆的半径，∴DE 为圆O 的切线；（2）证明：∵E 是BC 的中点，O 点是AB 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴AC=2OE ，∵∠C=∠C ，∠ABC=∠BDC ，∴△ABC ∽△BDC ，∴ ，即BC 2=AC•CD ．∴BC 2=2CD•OE（3）解：∵cos ∠BAD= ，∴sin ∠BAC= = ，又∵BE= ，E 是BC 的中点，即BC= ，∴AC= ．又∵AC=2OE ，∴OE= AC=19.（1）解：连接OC ，∵CD切⊙O于点C∴∠OCD=90°∵∠D=30°∴∠COD=60°∵OA=OC∴∠A=∠ACO=30°；（2）解：∵CF⊥直径AB，CF=4∴CE=2∴在Rt△OCE中，tan∠COE= ，OE= =2，∴OC=2OE=4∴S扇形BOC= ，S△EOC= ×2×2 =2∴S阴影=S扇形BOC-S△EOC= -2 ．4.（1）证明：连接OD、OE、DF，如图，∵AF为直径，∴∠ADF=90°，而∠C=90°，∴DF∥BC，∵DE=EF，∴=∴OE⊥DF，∴OE⊥BC，∴BC为⊙O的切线（2）解：∵∠OEB=90°，∠B=40°，∴∠BOE=90°﹣40°=50°，∴∠OFE= （180°﹣50°）=65°，∴∠CDE=∠AFE=65°（3）解：易得四边形CDHE为矩形，∴HE=CD=2，DH=CE=4，设⊙O的半径为r，则OH=OE﹣HE=r﹣2，OD=r，在Rt△OHD中，（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，∵OH⊥DF，∴HF=DH=4，∵HF∥BE，∴△OHF∽△OEB，∴HF：BE=OH：OE，即4：BE=3：5，∴BE=5.（1）解：如图1中，连接AC、AB．∵⊙A与x轴、y轴相切于点B、C，∴AC⊥OC，AB⊥OB，AC=AB，四边形ABOC是正方形，设A（m，m），∵点A在y= 上，∴m2=3，∵m＞0，∴点A坐标（，），∴OC= ，∴点C坐标（0，），∵一次函数y= x+b的图象经过点C，∴b= ，∴一次函数的解析式为y= ，令y=0得x=-3，∴D（-3，0），b=（2）解：如图2中，连接BC、BE，作AM⊥CE于M．在Rt△DOC中，∵tan∠CDO= ，∴∠CDO=30°，∵AC∥BD，∴∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°，∵AM⊥CE，∴∠CAM=∠EAM=60°，∴∠CAE=120°，在Rt△AMC中，CM=AC•cos30°= ，∴CE=2CM=3，∴∠CBE= ∠CAE=60°（3）解：如图3中，①当⊙A″与直线y= 相切于点E，AB与直线CD交于点K，∵AB∥OC，∴∠A″KE=∠DKB=∠DCO=60°，在Rt△A″EK中，A″E= ，A″K=A″E÷cos30°=2，在Rt△CKA中，AK=CA•ta n30°=1，∴AA″=A″K+AK=1+2=3，∴⊙A向上平移3的单位⊙A与y轴及直线y= 均相切．②同理可得⊙A向下平移1个单位⊙A与y轴及直线y= 均相切6.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在Rt△AOC中，AC=2 ，∴OC= =3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴= ，即= ，∴CE= ．∴AE=AC﹣CE=2 ﹣= ．7.解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，∴AF=AE，BF=BD，CD=CE．设AF=AE=x，则BF=BD=11﹣x，EC=DC=15﹣x．根据题意得11﹣x+15﹣x=16．解得；x=5cm．∴AF=5cm．BD=11﹣x=11﹣5=6cm，EC=15﹣x=10cm．∴AF=5cm，BD=6cm，EC=10cm．8.解：由图形可知，∠AOB=90°，∴OA=OB==2，∴==，扇形OAB的面积==2π．弧AB的长是：=π∴周长=弧AB的长+2OA=π+4．综上所述，扇形OAB的弧长是π，周长是π+4，面积是2π．9.解:∵直线y= 与x轴、y轴分别相交于A,B两点,∴A点的坐标为(-3,0),B点的坐标为(0, ),∴AB=2 . 如图,将圆P沿x轴向左移动,当圆P与该直线相切于C1时,连结P1C1,则P1C1=1,易知△AP1C1∽△ABO,∴= ,∴AP1=2,∴P1的坐标为(-1,0),同理可得P2的坐标为(-5,0).-5与-1之间的整数(不含-5和-1)有:-4,-3,-2,故满足题意的点P的个数是310.证明：连接OA，交BF于点E，∵A是弧BF的中点，O为圆心，∴OA⊥BF，∴BE= BF，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADO=∠BEO=90°，在△OAD与△OBE中，，∴△OAD≌△OBE（AAS），∴AD=BE，∴AD= BF11. （1）证明：连结OE，[MISSING IMAGE: , ]∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠AOE=∠OEB+∠OBE=2∠ABE，∴∠ABC=∠AOE，又∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠A+∠AOE=90°，∵∠AEO=90°，即OE⊥AC，∴AC为⊙O的切线.（2）解：连结OF，∵sinA=,∴∠A=30°，由（1）知OE⊥AC，∴∠AOE=∠ABC=60°，∵⊙O半径为3，∴OD=OE=OF=OB=BF=3，∴∠BOF=∠EOF=∠ABC=60°,∴S扇形OEF=，在Rt△AOE中，∴AO=6，AE=3，在Rt△ACB中，∴AB=9，BC=，AC=，∴CE=AC-AE=-3，CF=BC-BF=-3=，∴S梯形OFCE===，∴S阴=S梯形OFCE-S扇形OEF=-.12.（1）解：∵四边形内接于圆，∴，∵，∴，∵是△的外角平分线，∴，，∴，又∵，∴（2）解：由（）得，又∵，∴△∽△，∴，∴，∴，又∵，∴，，∵是直径，∴，∴BD= ，又∵∠D=∠D，∴△DBF∽△DAC，∴，∴CD=24，解得：CD= .13.（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OE//BC，∴OE⊥AC，∴= ，∴∠1=∠2，∴BE平分∠ABC（2）解：∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD=90°，∵∠ACB=90°，BH=BD=2，∴∠CBD=∠2，∴∠1=∠2=∠CBD，∴∠CBD=30°，∠ADB=60°，∵∠ABD=90°，∴AB=2 ，OB= ，∵OD2=OB2+BD2，∴OD= ．14.（1）解: 由y=5，得到P（x，5），连接AP，PB，∵圆P与x轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=5，由AP=PB，由勾股定理得，x=2+ =2+4=6，∴x=6（2）解: 由x=6，得到P（6，y），连接AP，PB，∵圆P与x轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=y，由AP=PB，得到=y，解得：y=5，则圆P的半径为5（3）解: 同（2），由AP=PB，得到（x﹣2）2+（8﹣y）2=y2，整理得：= ，即图象为抛物线，画出函数图象，如图②所示；15.（1）证明：连OC，如图，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵D为OA的中点，OD=OC=r，∴OA=2OC=2r，∴∠A=30°，∠AOC=60°，AC= r，∴∠AOB=120°，AB=2 r，∴S阴影部分=S△OAB﹣S扇形ODE= •OC•AB﹣= ﹣，∴•r•2 r﹣r2= ﹣，∴r=1，即⊙O的半径r为116. （1）证明：如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：如图，连结DE．∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE．在△CDE与△HFE中，，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF（3）由（2）得CD=HF，又CD=1，∴HF=1，在Rt△HFE中，EF= = ，∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠EHF=∠BEF=90°，∵∠EFH=∠BFE，∴△EHF∽△BEF，∴= ，即= ，∴BF=10，∴OE= BF=5，OH=5﹣1=4，∴Rt△OHE中，cos∠EOA= ，∴Rt△EOA中，cos∠EOA= = ，∴= ，∴OA= ，∴AF= ﹣5=17.（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC∵AB=BC，∴△ABD≌CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴，∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，∴CD= ；（3）解：延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，AD= ，AB=10，∴BD=3 ，∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，∴，∴∠BEP=∠EDB，∴△BPE∽△BED，∴，∴BP= ，∴DP=BD-BP= ，∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，∴S△BDE=12，∴S△DPE= ．18.（1）证明：∵AB是半圆O的直径∴∠D=90°∴∠A+∠DBA=90°∵∠DBC=∠A∴∠DBC+∠DBA=90°∴BC⊥AB∴BC是半圆O的切线（2）解：∠BEC=∠D=90∘，∵BD⊥AD，BD=6，∴BE=DE=3，∵∠DBC=∠A，∴△BCE∽△BAD，∴，即∴AD=4.519.（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=90°，AB∥CD，∴AB和CD为⊙O的切线，∵AE切半圆于点F，∴OA平分∠BAE，OE平分∠AEC，而AB∥CD，∴∠BAE+∠AEC=180°，∴∠OAE+∠OEA=90°，∴∠AOE=90°，∴OA⊥OE（2）解：作FH⊥CD于H，如图，设正方形ABCD的边长为4a，则AF=AB=4a，OB=OC=2a，∵∠AOE=90°，∴∠AOB+∠COE=90°，∵∠AOB+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠EOC，∴Rt△ABO∽Rt△OCE，∴AB：OC=OB：CE，即4a：2a=2a：CE，解得CE=a，∴EF=EC=a，∴EA=5a，ED=3a，∵FH∥AD，∴△EFH∽△EAD，∴= = ，即= = ，∴FH= a，EH= a，∴DH=3a﹣a= a，∴CH=4a﹣a= a，∵FH∥CM，∴= = ．20.（1）解：PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，∵CE为直径，∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC，∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．∴∠E=∠BCP，∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切；（2）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，∴AM⊥BC，∴BM=CM= BC=3，∴AC=AB=9，在Rt△AMC中，AM= =6 ，设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r，在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，即32+（6 ﹣r）2=r2，解得r= ，∴CE=2r= ，OM=6 ﹣= ，∴BE=2OM= ，∵∠E=∠MCP，∴Rt△PCM∽Rt△CEB，∴= ，即= ，∴PC= ．21.（1）证明：如图1，连接OB，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴AC=BC，∴OP垂直平分AB，∵OA=OB，OP=OP，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO=∠PBO，∵PA切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠PAO=90°，∴∠PBO=∠PAO=90°，∴OB⊥BP，又∵点B在⊙O上，∴PB与⊙O相切于点B；（2）解：如图1，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴BC= AB=3 ，∵∠PBO=∠BCO=90°，∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°，∴∠PBC=∠BOC，∴△PBC∽△BOC，∴∴OC= = =3，∴在Rt△OCB中，OB= = =6，tan∠COB= = ，∴∠COB=60°，∴S △OPB = ×OP×BC= × =18 ，S 扇DOB = =6π，∴S 阴影=S △OPB ﹣S 扇DOB =18 ﹣6π；②若点E 是⊙O 上一点，连接AE ，BE ，当AE=6时，BE= ．3 ﹣3 或3 +3。