最新北师版数学八年级上勾股定理测试题

勾股定理一．选择题（每小题4分，共40分) 1、下列说法中，正确的是（ ）.A 若a b c 、、是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=.B 若a b c 、、是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c += .C 若a b c 、、是ABC ∆的三边，则222a b c +=.D 若a b c 、、是Rt ABC ∆的三边，90B ∠=︒，则222a b c +=2、如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用,x y 表示直角三角形的两直角边()x y >，下列四个说法：①2249x y +=，②2x y -=，③2449xy +=，④9x y +=．其中说法正确的是（ ）A 、①②B 、①②③C 、①②④D 、①②③④3、如图，强台风“麦莎”过后，一棵大树在离地面3.6米处折断倒下，倒下部分与地面接触点离树的底部为4.8米，则该树的原高度为( )A ．6米B ．8.4米 C. 6.8米 D ．9.6米4、 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形（如图4所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2()a b +的值为（ ）A ．13B ．19C ．25 D.169 5.如果ABC ∆的三边a b c 、、满足222()()0ab a bc ，则ABC 一定是（ ）A.等腰直角三角形；B.等腰三角形；C.直角三角形；D.等腰三角形或直角三角形.6.在下列说法中是错误的（ ）A ．在ABC ∆中，C AB ∠=∠-∠，则△ABC 为直角三角形.B ．在ABC ∆中，若::5:2:3A B C ∠∠∠=，则△ABC 为直角三角形. C ．在ABC ∆中，若34,55ac b c ，则△ABC 为直角三角形. D ．在ABC ∆中，若::2:2:4a b c =，则△ABC 为直角三角形.7、 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在AB,AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′（ ）． A ．小于1m B ．大于1m C ．等于1m D ．小于或等于1m9.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A.B.C.D 的边长分别是3.5.2.3，则最大正方形E 的面积是( ) A.13 B.26 C.47 D.9410.已知：如图，在Rt △ABC 中，两直角边AC 、BC 的长分别为6和8，现将直角边AC 沿AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 （ ）A.2B.3C.4D.5二．填空题（每小题5分，共20分）1、△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长为_________.2、已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三条边长的平方是__________．3、如图，等边ABC ∆的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AC 边上一点。

北师大版初二数学勾股定理测试题一、选择题（每题 3 分，共 6 分）1. 已知直角三角形的两直角边长分别为3 和4，则斜边长为（）-解析：根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

3²+4²=9+16=25，斜边长为5。

2. 若一个三角形的三边长分别为6、8、10，则这个三角形是（）-解析：6²+8²=36+64=100，10²=100，满足勾股定理逆定理，所以这个三角形是直角三角形。

二、填空题（每题 4 分，共8 分）1. 在直角三角形中，一条直角边为5，斜边为13，则另一条直角边为____。

-解析：根据勾股定理，设另一条直角边为x，则x²+5²=13²，x²=169 - 25 = 144，x = 12。

2. 一个直角三角形的两条直角边分别为3 和4，则斜边上的高为____。

-解析：先求斜边，3²+4²=9+16=25，斜边长为5。

设斜边上的高为h，根据三角形面积相等，可得3×4÷2 = 5×h÷2，解得h = 12/5。

三、解答题（每题8 分，共 6 分）1. 已知在△ABC 中，AB = 15，BC = 14，AC = 13，求△ABC 的面积。

-解析：设BC 边上的高为AD，设BD = x，则CD = 14 - x。

在直角三角形ABD 和ACD 中，根据勾股定理可得：AB² - BD² = AC² - CD²，即15² - x² = 13² - (14 - x)²，225 - x² = 169 - (196 - 28x + x²)，225 - x² = 169 - 196 + 28x - x²，28x = 225 + 196 - 169，28x = 252，x = 9。

《第1章勾股定理》一、选择题1．如图字母B所代表的正方形的面积是（）A．12 B．13 C．144 D．1942．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ②13，5，12 ③1，2，3 ④9，40，41 ⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（）组．A．2 B．3 C．4 D．53．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形4．下列数据中是勾股数的有（）组（1）3，5，7 （2）5，15，17 （3）1.5，2，2.5 （4）7，24，25 （5）10，24，26．A．1 B．2 C．3 D．45．已知直角三角形的两直角边之比是3：4，周长是36，则斜边是（）A．5 B．10 C．15 D．206．若等腰三角形的腰长为10cm，底边长为16cm，那么底边上的高为（）A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm7．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形8．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．D．9．下列三角形一定不是直角三角形的是（）A．三角形的三边长分别为5，12，13B．三角形的三个内角比为1：2：3C．三角形的三边长之比为1：2：3D．三角形的两内角互余10．放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明和小华行走的速度都是50米/分，小明用10分到家，小华用24分到家，小明和小华家的距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．1300米11．下面说法正确的是（）A．在Rt△ABC中，a2+b2=c2B．在Rt△ABC中，a=3，b=4，那么c=5C．直角三角形两直角边都是5，那么斜边长为10D．直角三角形中，斜边最长12．在△ABC中，AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，下列关系成立的是（）A．∠B+∠C＞∠A B．∠B+∠C=∠A C．∠B+∠C＜∠A D．以上都不对二、填空题13．一长为13m的木梯，架在高为12m的墙上，这时梯脚与墙的距离是m．14．如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2= ．15．一根电线杆在一次台风中于地面3米处折断倒下，杆顶端落在离杆底端4米处，电线杆在折断之前高米．16．如果直角三角形的三条边分别为4、5、a，那么a2的值等于．三、解答题（共52分）17．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，该河流的宽度为多少？18．求下列图形中阴影部分的面积．（1）如图1，AB=8，AC=6；（2）如图2，AB=13，AD=14，CD=2．19．某校校庆，在校门AB的上方A处到教学楼C的楼顶E处拉彩带，已知AB高5m，EC高29m，校门口到大楼之间的距离BC为10m，求彩带AE的长是多少？20．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？21．（10分）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F 处，折痕为MN，求线段CN长．22．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？参考答案与试题解析一、选择题1．如图字母B所代表的正方形的面积是（）A．12 B．13 C．144 D．194【考点】勾股定理．【专题】换元法．【分析】由图可知在直角三角形中，已知斜边和一直角边，求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．【解答】解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方=169，一直角边的平方=25，根据勾股定理知，另一直角边平方=169﹣25=144，即字母B所代表的正方形的面积是144．故选C．【点评】此题比较简单，关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．2．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ②13，5，12 ③1，2，3 ④9，40，41 ⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（）组．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：因为①62+82=102，②132=52+122，④92+402=412，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形的有三组．故选B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理．【解答】解：A、根据三角形内角和定理，可求出角C为90度，故正确；B、解得应为∠B=90度，故错误；C、化简后有c2=a2+b2，根据勾股定理，则△ABC是直角三角形，故正确；D、设三角分别为5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90度，36度，54度，则△ABC是直角三角形，故正确．故选B．【点评】本题考查了直角三角形的判定．4．下列数据中是勾股数的有（）组（1）3，5，7 （2）5，15，17 （3）1.5，2，2.5 （4）7，24，25 （5）10，24，26．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】勾股数．【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【解答】解：（1）3，5，7 不是勾股数，因为32+52≠72；（2）5，15，17 不是勾股数，因为52+152≠172；（3）1.5，2，2.5不是勾股数，因为1.5，2，2.5不是正整数；（4）7，24，25 是勾股数，因为72+242=252，且7、24、25是正整数；（5）10，24，26是勾股数，因为102+242=262，且10，24，26是正整数．故选B．【点评】本题考查了勾股数的概念：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…5．已知直角三角形的两直角边之比是3：4，周长是36，则斜边是（）A．5 B．10 C．15 D．20【考点】勾股定理．【分析】设直角三角形的两直角边分别为3k，4k，则斜边为5k，列出方程求出k，即可解决问题．【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为3k，4k，则斜边为5k．由题意3k+4k+5k=36，解得k=3，所以斜边为5k=15．故选C．【点评】本题考查勾股定理、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活于勾股定理解决问题，学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．6．若等腰三角形的腰长为10cm，底边长为16cm，那么底边上的高为（）A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】可以先作出BC边上的高AD，根据等腰三角爱哦形的性质可得BD的长，在Rt△ADB中，利用勾股定理就可以求出高AD．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=BC=8cm，∴AD==6cm，故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，关键是掌握勾股定理和等腰三角形三线合一的性质．7．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形【考点】勾股定理的逆定理．【分析】对等式进行整理，再判断其形状．【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．8．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．D．【考点】勾股定理．【分析】首先根据勾股定理，得：斜边==13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．【解答】解：由题意得，斜边为=13．所以斜边上的高=12×5÷13=．故选D．【点评】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．9．下列三角形一定不是直角三角形的是（）A．三角形的三边长分别为5，12，13B．三角形的三个内角比为1：2：3C．三角形的三边长之比为1：2：3D．三角形的两内角互余【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【分析】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义一一判断即可．【解答】解：A、正确．∵52+122=132，∴三角形为直角三角形．B、正确．∵三角形的三个内角比为1：2：3，∴三个内角分别为30°，60°，90°，∴三角形是直角三角形．C、错误．∵12+22≠32，∴三角形不是直角三角形．D、正确．∵三角形的两内角互余，∴第三个角是90°，∴三角形是直角三角形．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．10．放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明和小华行走的速度都是50米/分，小明用10分到家，小华用24分到家，小明和小华家的距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．1300米【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示，∵小明用10分到家，小华用24分到家，∴OA=10×50=500（米），OB=24×50=1200（米），∴AB==1300（米）．答：小明和小华家的距离为1300米．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．11．下面说法正确的是（）A．在Rt△ABC中，a2+b2=c2B．在Rt△ABC中，a=3，b=4，那么c=5C．直角三角形两直角边都是5，那么斜边长为10D．直角三角形中，斜边最长【考点】勾股定理．【分析】利用直角三角形勾股定理进行解题．【解答】解：A，B：直角三角形直角是哪个，未知，故不能得出a2+b2=c2，c=5C：斜边长为5；D：由勾股定理知显然正确．故选D．【点评】考查了直角三角形相关知识以及勾股定理的应用．12．在△ABC中，AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，下列关系成立的是（）A．∠B+∠C＞∠A B．∠B+∠C=∠A C．∠B+∠C＜∠A D．以上都不对【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到三角形的形状，则不难求得其各角的关系．【解答】解：因为122+92=152，所以三角形是直角三角形，则∠B+∠C=∠A．故选B．【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理逆定理的应用．二、填空题13．一长为13m的木梯，架在高为12m的墙上，这时梯脚与墙的距离是 5 m．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意可知，梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．【解答】解：∵梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，∴梯脚与墙角的距离==5（m）．故答案为：5．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键．14．如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2= 7 ．【考点】勾股定理．【分析】连续运用勾股定理即可解答．【解答】解：由勾股定理可知OB=，OC=，OD=∴OD2=7．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．15．一根电线杆在一次台风中于地面3米处折断倒下，杆顶端落在离杆底端4米处，电线杆在折断之前高8 米．【考点】勾股定理的应用．【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．【解答】解：由勾股定理得斜边为=5米，则原来的高度为3+5=8米．即电线杆在折断之前高8米．故答案为8．【点评】此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．此题也可以直接用算术的算法求解．16．如果直角三角形的三条边分别为4、5、a，那么a2的值等于9或41 ．【考点】勾股定理．【分析】此题有两种情况，一是当这个直角三角形的斜边的长为5时；二是当这个直角三角形两条直角边的长分别为4和5时，由勾股定理分别求出此时的a2值即可．【解答】解：当这个直角三角形的斜边的长为5时，a2=52﹣42=9；当这个直角三角形两条直角边的长分别为4和5时，a2=52+42=41．故a的值为9或41．故答案为：9或41．【点评】本题考查勾股定理的知识，解答此题的关键是直角三角形的斜边没有确定，所以要进行分类讨论，注意不要漏解，难度一般．三、解答题（共52分）17．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，该河流的宽度为多少？【考点】勾股定理的应用．【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．【解答】解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB===480m，答：该河流的宽度为480m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．18．求下列图形中阴影部分的面积．（1）如图1，AB=8，AC=6；（2）如图2，AB=13，AD=14，CD=2．【考点】勾股定理．【分析】（1）首先利用勾股定理计算出BC的长，进而得到圆的半径BO长，再利用半圆的面积减去直角三角形面积即可；（2）首先计算出AC的长，再利用勾股定理计算出BC的长，然后利用矩形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵AB=8，AC=6，∴BC===10，∴BO=5，∵S=AB×AC=×8×6=24，△ABCS=π×52=，半圆∴S=﹣24；阴影（2）∵AD=14，CD=2，∴AC=12，∵AB=13，∴CB===5，【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．19．某校校庆，在校门AB的上方A处到教学楼C的楼顶E处拉彩带，已知AB高5m，EC高29m，校门口到大楼之间的距离BC为10m，求彩带AE的长是多少？【考点】勾股定理的应用．【专题】探究型．【分析】过点A作AF⊥CE于点F，由AB=5m，EC=29m可求出EF的长，再由BC=10m可知AE=BC=10m，在Rt△AEF中利用勾股定理即可求出AE的长．【解答】解：过点A作AF⊥CE于点F，∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴四边形ABCF是矩形，∵AB=5m，EC=29m，∴EF29﹣5=24m，∵BC=10m，∴AE=BC=10m，在Rt△AEF中，∵AF=10m，EF=24m，∴AE===26m．答：彩带AE的长是23米．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20．（10分）（2016春•石家庄期末）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？【考点】勾股定理的逆定理．【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD 与△ABC 均为直角三角形，进而可求解其面积．【解答】解：∵42+32=52，52+122=132，即AB 2+BC 2=AC 2，故∠B=90°，同理，∠ACD=90°∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD=×3×4+×5×12=6+30=36．【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的运用，会求解三角形的面积问题．21．如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，求线段CN 长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质，只要求出DN 就可以求出NE ，在直角△CEN 中，若设CN=x ，则DN=NE=8﹣x ，CE=4cm ，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN 的长．【解答】解：设CN=xcm ，则DN=（8﹣x ）cm ，由折叠的性质知EN=DN=（8﹣x ）cm ，而EC=BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8﹣x）2=16+x2，整理得16x=48，解得：x=3．即线段CN长为3．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，通常用勾股定理解决折叠问题．22．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？【考点】轴对称-最短路线问题．【专题】计算题；作图题．【分析】此题的关键是确定点M的位置，需要首先作点A的对称点A′，连接点B和点A′，交l于点M，M即所求作的点．根据轴对称的性质，知：MA+MB=A′B．根据勾股定理即可求解．【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点CD于M，点M即为所求作的点，则可得：DK=A′C=AC=10千米，∴BK=BD+DK=40千米，∴AM+BM=A′B==50千米，总费用为50×3=150万元．【点评】此类题的重点在于能够确定点M的位置，再运用勾股定理即可求解．。

北师大版八年级勾股定理练习题(含答案)勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边,则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边,则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠A ,则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠C ,则a 2＋b 2＝c 2．2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ,则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1,2k （k >1）,那么它的斜边长是（ ）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+1 4. 已知a,b,c 为△ABC 三边,且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0,则它的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 5． 直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定 6． △ABC 中,AB ＝15,AC ＝13,高AD ＝12,则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 7.※直角三角形的面积为S ,斜边上的中线长为d ,则这个三角形周长为（ ）（A 2d （B d（C ）2d （D ）d8、在平面直角坐标系中,已知点P 的坐标是(3,4),则OP 的长为（ ）A ：3B ：4C ：5D ：79．若△ABC 中,AB=25cm,AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长,如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形 11．斜边的边长为cm 17,一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．12. 等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为＿＿. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10,则按角分类它是 三角形． 15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13,它的周长为60,则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中,斜边AB=4,则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1,最短边长为cm 1,最长边长为cm 2,则这个三角形三个角度数分别是 ,另外一边的平方是 ． 18．如图,已知ABC∆中,︒=∠90C ,15=BA ,12=AC ,以直角边BC 为直径作半圆,则这个半圆的面积是 ．19． 一长方形的一边长为cm 3,面积为212cm ,那么它的一条对角线长是 ．ACB二、综合发展:1．如图,一个高4m 、宽3m 的大门,需要在对角线的顶点间加固一个木条,求木条的长．2、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15,cm 20,cm 25,这个三角形最长边上的高是多少？4．如图,要修建一个育苗棚,棚高h=3m,棚宽a=4m,棚的长为12m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜？AECDB5．如图,有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢,它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处,过了2s 后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗？A小汽车小汽车BC观测点答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3． 解析：设另一条直角边为x,则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程,可以求出x ．然后再求它的周长. 答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来,作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部,有两种情况,分别求解. 答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-,另一条直角边是15,所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+,c ,直角,斜,直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理,即是直角三角形．答案：直角． 8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90,3． 9． 解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ,所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽,即12长×3,长4=,所以一条对角线长为5． 答案：cm 5． 二、综合发展11． 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+,所以这三角形是直角三角形,设最长边（斜边）上的高为xcm ,由直角三角形面积关系,可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅,∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积,需要求出它的另一边的长是多少,可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中,由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形,利用勾股定理求斜边的值是13m,也就是两树树梢之间的距离是13m,两再利用时间关系式求解. 答案：6.5s ．15．解析：本题和14题相似,可以求出BC的值,再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米,时间是2s,可得速度是20m/s=72km/h＞70km/h．答案：这辆小汽车超速了．。

第1章检测卷勾股定理(时间:100分钟满分:120分)题号一二三总分得分一、选择题(每小题3分，共30分)1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 ( )A.∠A+∠B=∠CB.∠A:∠B:∠C=1:2:3C.a²=c²−b²D. a:b:c=3:4:62.下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是 ( )A.3,4,5B.5,12,13C.7,24,25D.7,9,133.若直角三角形的三边长为6，8，m，则m²的值为 ( )A.10B.100C.25D.100 或284.如图,D为△ABC的边BC上一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,则BC的长为( )A.13B.14C.15D.165.将一根长为25 cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为h cm，则 h的取值范围是 ( )A.12≤h≤13B.11≤h≤12C.11≤h≤13D.10≤h≤126.如图,高速公路上有A,B两点相距10km,点 C,D 为两村庄,已知DA=4km,CB=6km. DA⊥AB于点A,CB ⊥AB于点B,现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是( )A. 4kmB. 5kmC.6kmD.7 km7.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草( )A.1B.2C.3D.48.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 ( )A.0.7 米B.1.5米C.2.2 米D.2.4米9.在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何?”意思是：如图，推开两扇门(AD 和BC)，门边缘 D，C 两点到门槛AB的距离是1 尺(1尺=10寸)，两扇门的间隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门的宽度和)AB为 ( )A.101 寸B.100寸C.52寸D.96寸10.如图，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B 处的最短距离为( )A.13cmB.12 cmC.16 cmD.20cm二、填空题(每小题3分，共15 分)11.三个正方形如图摆放，其中两个正方形的面积分别为S₁=25,S₂=144,则第三个正方形的面积为S₃=.12.如图,∠C=90°,AB=12,BC=3,CD=4,AD=13,则∠ABD=.13.一直角三角形的两边长分别为4和5，明明以第三边为正方形的一边，画了个正方形，则明明画的这个正方形的面积等于 .14.如图，每个小正方形的边长都为1，则△ABC的三边长a，b，c的大小关系是 .(用“>”连接)15.如图为一个三级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别是50cm，30cm，10cm，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到 B 点，最短路线的长是 cm.三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16.(8分)有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺?17.(8分)如图所示的一块草坪，已知AD=12m,CD=9m,∠ADC=90°,AB=39m,BC=36m,求这块草坪的面积.18.(8 分)如图,在长方形ABCD 中,AB=3cm,AD=9cm,，将此长方形折叠,使点 B 与点 D 重合,折痕为 EF,求△ABE的面积.19.(9 分)如图,在△ABC中,D 是BC 上一点,若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17.(1)求 DC 的长;(2)求△ABC的面积.20.(9分)如图,长方体中AB=BB′=2,AD=3,，一只蚂蚁从A点出发，在长方体表面爬到C′点，求蚂蚁怎样走最短，最短路径是多少.21.(10分)如图，牧童在A 处放羊，其家在B 处，A，B 到河岸的距离分别为AC=400m,BD=200m,C，D间的距离为800 m，牧童从A处把羊牵到河边饮水后再回家，试问：羊在何处饮水所走路程最短?在图中画出最短路径并求出最短路径的长度是多少.22.(11 分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm..若点 P 从点 A出发，以每秒2cm的速度沿A→C→B→A运动，设运动时间为ts(t⟩0).(1)当点P在AC上,且满足.PA=PB时，求t的值；(2)若点 P 恰好在∠BAC的平分线上，求t的值.23.(12分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图1 证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图1所示的方式摆放，其中∠DAB=90°.试说明：a²+b²=c².解：连接DB，过点D作DF⊥BC,，交 BC的延长线点于点 F，则DF=EC=b−a.因为S四边形ADCB =SACD+SABC=12b2+12ab,S四边形ADCB =SABD+SDCB=12c2+12a(b−a).所以12b2+12ab=12c2+12a(b−a).所以a²+b²=c².请参照上述方法，回答下面的问题.将两个全等的直角三角形按图2所示的方式摆放，其中∠DAB=90°.试说明：a²+b²=c².第1章检测卷勾股定理1. D2. D3. D4. B5. A6. C7. D8. C9. A 10. D 11.16912.90° 13.41或9 14. c>a>b 1 5.13016.解：设水深x尺，那么荷花径的长为(x+1)尺.由勾股定理得x²+3²=(x+1)².解得x=4.答：水池的水深有4 尺.17.解:如图,连接AC,则在Rt△ADC中,AC²=AD²+CD²=12²+9²=225,所以AC=15.在△ABC中,.AB²=1521.因为AC²+BC²=15²+36²=1521,所以AB²=AC²+BC².所以△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.所以SABC −SAcD=12AC⋅BC−12AD⋅CD=12×15×36−12×12×9=270-54=216(m²).答：这块草坪的面积是216平方米.18.解:因为四边形ABCD 是长方形,所以∠A=90°.设BE=x cm.由折叠的性质可得DE=BE=x cm.所以AE=AD-DE=(9-x) cm.在Rt△ABE中,BE²=AE²+AB²,所以x²=(9−x)²+3².解得x=5.所以DE=BE=5cm,AE=4 cm.所以SABE =12AB⋅AE=12×3×4=6(cm2).19.解:(1)因为在△ABD中,.AB=10,BD=6,AD=8,所以AB²=100,BD²+AD²=36+64=100.所以AB²=BD²+AD².所以△ABD是直角三角形.所以AD⊥BC,即∠ADC=90°.在Rt△ADC中,AD=8,AC=17,由勾股定理得DC²=17²−8²=225,所以DC=15.(2)SABC =12AD⋅BC=12AD⋅(BD+DC)=84.20.解:①如图1,把长方体沿.A→A′→D′→C′→C→D→A剪开，则成长方形ACC'A',宽为AA′=BB′=2,长为AD+DC=AD+AB=5.连接AC'，则点A，C，C'构成直角三角形，由勾股定理得AC′²= (AD+DC)²+DD′²=5²+2²=29.②如图2，把长方体沿. A→A ′→B ′→C ′→D ′→D→A 剪开，则成长方形ADC'B',宽为AD=3,长为 DD ′+D ′C ′=BB ′+AB =4.连接AC',则点A,D,C'构成直角三角形,由勾股定理得 AC ′²=AD²+(DD ′+D ′C ′)=3²+4²=25.因为25<29，所以最短路径是5.21.解:作点 B 关于 CD 的对称点 B',连接AB'交 CD 于点 P,连接PB,此时PA+PB 的值最小，最小值为AB'的长.过点 A 作AE⊥B'B 交B'B 的延长线于点 E.在 Rt△AED'中,因为AE=CD=800 m,B'E=AC +B'D =AC +BD=400+200=600(m),所以 AB ′²=AE²+B ′E²=800²+600².所以 AB ′=1000m.即最短路程的长度是1 000 m.22.解:(1)因为AB=5cm,BC =3cm,∠C=90°,所以由勾股定理得 AC²=AB²−BC²=5²−3²=16,所以 A C=4 cm.当PA=PB =2t cm 时,PC=(4-2t) cm.在 Rt△PCB 中,由勾股定理得 PC²+BC²=PB².即 (4−2t )²+3²=(2t )².解得 t =2516.所以PA=PB 时,t 的值为 2516.(2)当点 P 在∠BAC 的平分线上时,如图,过点 P 作 PE⊥AB 于点 E.此时BP=(7-2t) cm,PE=PC=(2t-4) cm,BE=5-4=1(cm),其中0<t<3.5.在 Rt△BEP 中,由勾股定理得 PE²+BE²=BP².即 (2t−4)²+1²=(7−2t )²,解得 t =83.当t=6时，点P 与点A 重合，也符合条件.所以点 P 恰好在∠BAC 的平分线上时，t 的值为 83或6.23.解:连接BD,过点B 作BF⊥DE,交DE 的延长线于点 F,易知BF=b-a.因为S CBED =S ABC +S ABD +S BDE =12ab +12c 2+ 12a (b−a ),S ACBED =S ACBE +S ADE =12b (a +b )+12ab,所以12ab +12c 2+12a (b−a )=12b (a +b )+12ab.所以 a²+b²=c².。

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如果梯子的底端离建筑物5m，那么13m长的梯子可以达到建筑物的高度是( )A.10mB.11mC.12mD.13m2、如图，有两棵树，一棵高5米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树飞到另一棵树的树梢，至少飞了( )米。

A. 米B.5 米C.4米D. 米3、如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（）A. B. C. D.4、在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（）A.a＝，b＝，c＝B.a＝b，∠C＝45°C.∠A：∠B：∠C＝3：4：5D.a＝，b＝，c＝25、在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A.13B.12C.4D.106、如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（）A.5B.7C.9D.117、如图，一艘船由A港沿北偏西60°方向航行10海里至B港，然后再沿北偏东30°方向航行10海里至C港．则下列说法正确的是（）A.C港在A港的南偏西30°方向上B.C港在A港的北偏西30°方向上 C.C港在A港的北偏西15°方向上 D.C港在A港的南偏西15°方向上8、以下列各组数据中，能构成直角三角形的是（）A.2，3，4B.3，4，7C.5，12，13D.1，2，39、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（）A.10B.8C.5D.310、已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是（）A.5B.C.D. 或511、已知△ABC的三边分别长为a,b,c，且满足，则△ABC是（）.A.以a为斜边的直角三角形B.以b为斜边的直角三角形C.以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形12、已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（）A.24cm 2B.30cm 2C.40cm 2D.48cm 213、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）A. B. C. D.14、将直角三角形的三条边长同时扩大为原来的2倍，得到的三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.无法确定15、如图，顺次连接矩形ABCD各边中点,得到四边形EFGH，若AD＝2AB，则下列结论错误的是( )A.四边形EFGH为菱形B.S四边形ABCD ＝2S四边形EFGHC.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形中，点分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点恰好落在上的同一点，记为点F.若，，则________.17、直角三角形两直角边长分别为，，则斜边长为________．18、如图，矩形AOBC的边OA，OB分别在x轴，y轴上，点C的坐标为（﹣2，4），将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为________．19、如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB=________．20、某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要________元．21、如图，在 3×3 的正方形网格中标出了∠1 和∠2，则∠2－∠1=________°22、如图,已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD 的长为________cm.23、菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2014秒时，点P的坐标为________．24、如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为4，则弦AB的长为________．25、如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是________ cm．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．27、深圳市民中心广场上有旗杆如图①所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图②，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为16米，落在斜坡上的影长CD为8米，AB⊥BC；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°。

最新北师版数学八年级上勾股定理测试题最新北师版数学八年级上勾股定理测试题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号得分一、选择题（题型注释）1．若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（）a．60b、 30c．20d、 322．△abc的三边分别为下列各组值,其中不是直角三角形三边的是()a．a=\．a=\一，二，三，四，五总分第一卷（多项选择题）C.A=，B=，C=D.A=，B=，C=13．在rt△abc中，∠c＝90°，ac＝9，bc＝12，则点c到ab的距离是()a、不列颠哥伦比亚省。

4．如图，矩形oabc的边oa长为2，边ab长为1，oa在数轴上，以原点o为圆心，对角线ob的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是()a、 2.5b.2c.d。

5．一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分,又沿南北马路向南走了19.2分到家,则他的家离公司距离为（）米.a．100a．20cmb、 500b.50cmc．1240c．40cmd、 1000d.45cm6．一个圆桶底面直径为24cm,高32cm,则桶内所能容下的最长木棒为（）7．下列说法不正确的是（）a、三个角的度数比为1:3:4的三角形是直角三角形B。

三个角的度数比为3:4:5的三角形是直角三角形c。

三条边的长度比为3:4:5的三角形是直角三角形D。

三条边的长度比为5:12:13的三角形是直角三角形b．直角三角形c、钝角三角形d．等腰三角形满足，则这个三9.如图所示，圆柱体高8cm，底部半径为（）cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程a、 6cma。

1xb．8cmb．2倍c、 10cmc。

3倍d．12cmd．4倍10.如果直角三角形的两个直角边的长度同时增加一倍，则斜边的长度将扩展到原来的长度（）第ii卷（非选择题）11.已知RT的周长△ ABC是4+2_____12．如图所示，在△abc中，∠b=90o，ab=3，ac=5，将△abc折叠，使点c与点a重合，折痕为de，则△abe的周长为.，斜面AB的长度为2，则rt△abc的面积为13.如图所示，地毯应铺设在楼梯表面，高度为3M，距离斜坡段5m，地毯长度至少为5m14．等边三角形的边长为4,则其面积为_______________.15.如图所示，学校里有一个长方形的花坛。

八年级数学上册第一章勾股定理单元测试卷（北师版2024年秋）八年级数学上(BS版)时间：90分钟满分：120分一、选择题(每题3分，共30分)1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a2＝5，b2＝12，则c2的值为()A．13B．17C．7D．1692.(2024重庆江津区期末)已知△ABC的三边分别是a，b，c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是()A．a2＋b2＝c2B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C．∠A＝∠C－∠B D．a＝8，b＝15，c＝173.（教材P7习题T2变式)历史上对勾股定理的一种验证方法采用了如图所示的图形，其中两个全等直角三角形的边AE，EB在一条直线上，验证勾股定理用到的面积相等的关系式是()A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为()A．5B．6C．7D．85.（2023日照)已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则()A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．S1，S2大小无法确定6.（2023天津)如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接A D.若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB 的长为()A．9B．8C．7D．67.（2023泸州)《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝12(m2－n2)，b＝mn，c＝12(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是()A．3，4，5B．5，12，13C．6，8，10D．7，24，25 8.（新考向数学文化）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为()A．2x2＝(x－4)2＋(x－2)2B．x2＝(x－4)2＋(x－2)2C．x2＝(x－4)2＋22D．x2＝42＋(x－2)29．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．一个身高1.5m的学生刚走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生头顶C到门铃A的距离为()(第9题)A．7m B．6m C．5m D．4m10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是()A．1.5B．1.8C．2D．2.5二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，那么AC＝________．12．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2－c2－b2)2＋|c－b|＝0，则△ABC的形状为____________________．13.（2023东营)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为________km. 14.如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离的平方为________．(第14题)15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径向外作半圆，半圆形的面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值为________．(第15题)(第16题)16．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE 沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为________．17.（新情境环境保护）如图，这是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB(∠ACB＝90°)，于是在草坪内走出了一条捷径A B.某学习实践小组通过测量可知，AC的长为6米，BC的长为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌，则提示牌上的“多行数步”是指多行________米．(第17题)18.“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为________．三、解答题(每题11分，共66分)19.（2024合肥蜀山区期末)如图所示，在每个小正方形的边长为单位1的网格中，△ABC是格点图形，求△ABC中AB边上的高．20．某消防部队进行消防演练．在模拟演练现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12m，如图，即AD＝BC＝12m，此时建筑物中距地面12.8m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防车的车身高AB是3.8m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？21.（新视角新定义题）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．(1)已知点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝5，MN＝13，BN＝12，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．(2)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．22.（2024开封龙亭区期末)如图，一工厂位于点C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因从工厂C到取水点A的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点H(点A，H，B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB＝2.5km，CH＝2km，BH＝1.5km.(1)CH是否为从工厂C到河边最近的一条路(即CH与AB是否垂直)？请说明理由．(2)求AC的长．23.（教材P15习题T4变式)如图，长方体的底面(正方形)边长为3cm，高为5cm.若一只蚂蚁从点A开始经过四个侧面爬行一圈到达点B，求蚂蚁爬行的最短路径有多长．24．如图，在长方形ABCD中，DC＝5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设落点为F.若△ABF的面积为30cm2，求△ADE的面积．答案一、1.B 2.B 3.D4．B点拨：如图，连接ED交AC于点F.因为四边形ABCD是正方形，所以点B与点D关于AC对称．所以BF＝DF.所以△BFE的周长＝BF＋EF＋BE＝DE＋BE，此时△BFE的周长最小．根据勾股定理易求得DE＝5，所以△BFE的周长最小为DE＋BE＝5＋1＝6. 5．C点拨：因为直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，所以该直角三角形的斜边为c，所以c2＝a2＋b2，即c2－a2－b2＝0.所以S1＝c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc，因为S2＝b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc，所以S1＝S2.6．D点拨：由题意得MN是AC的垂直平分线，所以AC＝2AE＝8，DA＝DC，所以∠DAC＝∠C.因为BD＝CD，所以BD＝AD，所以∠B＝∠BAD，因为∠B＋∠BAD＋∠C ＋∠DAC＝180°，所以2∠BAD＋2∠DAC＝180°.所以∠BAD＋∠DAC＝90°，即∠BAC＝90°.在Rt△ABC中，BC＝BD＋CD＝2AD＝10，所以AB2＝BC2－AC2＝102－82＝62，所以AB＝6.7．C点拨：因为当m＝3，n＝1时，a＝12(m2－n2)＝12×(32－12)＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝12(m2＋n2)＝12×(32＋12)＝5，所以选项A不符合题意；因为当m＝5，n＝1时，a＝12(m2－n2)＝12×(52－12)＝12，b＝mn＝5×1＝5，c＝12(m2＋n2)＝12×(52＋12)＝13，所以选项B不符合题意；因为当m＝7，n＝1时，a＝12(m2－n2)＝12×(72－12)＝24，b＝mn＝7×1＝7，c＝12(m2＋n2)＝12×(72＋12)＝25，所以选项D不符合题意；因为没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10，所以选项C符合题意，故选C.8．B9.C10．A点拨：如图，连接DF，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.所以AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52，所以AB＝5.因为AD＝AC＝3，AF⊥CD，所以CE＝DE，BD＝AB－AD＝2，所以CF＝DF.在△ADF和△ACF中，＝AC，＝CF，＝AF，所以△ADF≌△ACF(SSS)，所以∠ADF＝∠ACF＝90°，所以∠BDF＝90°.设CF＝DF＝x，则BF＝4－x.在Rt△BDF中，由勾股定理得DF2＋BD2＝BF2，即x2＋22＝(4－x)2，解得x＝1.5，所以CF＝1.5.二、11.1212.等腰直角三角形13．5014.215.2π16.417.418．127点拨：因为第一代勾股树中正方形有1＋2＝3(个)，第二代勾股树中正方形有1＋2＋22＝7(个)，第三代勾股树中正方形有1＋2＋22＋23＝15(个)，……所以第六代勾股树中正方形有1＋2＋22＋23＋24＋25＋26＝127(个)．三、19.解：设AB边上的高为h，因为AB2＝32＋42＝52，所以AB＝5，所以12×5h＝12×3×3，解得h＝9 5，即AB边上的高是9 5 .20．解：由题意知PC＝12.8m，CD＝AB＝3.8m，所以PD＝PC－CD＝12.8－3.8＝9(m)．在Rt△ADP中，AP2＝AD2＋PD2，所以AP2＝122＋92.所以AP＝15m.故此消防车的云梯至少应伸长15m.21．解：(1)是．理由如下：因为AM2＋BN2＝52＋122＝169，MN2＝132＝169，所以AM2＋BN2＝MN2.所以以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形．故点M，N是线段AB的勾股分割点．(2)设BN＝x，则MN＝AB－AM－BN＝7－x，①当MN为最长线段时，MN2＝AM2＋BN2，即(7－x)2＝x2＋25，解得x＝12 7；②当BN为最长线段时，BN2＝AM2＋MN2，即x2＝25＋(7－x)2，解得x＝37 7 .综上所述，BN的长为127或377.22．解：(1)CH是从工厂C到河边最近的一条路．理由如下：在△CHB中，因为CH2＋BH2＝22＋1.52＝6.25，BC2＝2.52＝6.25，所以CH2＋BH2＝BC2，所以△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，所以CH与AB垂直，即CH是从工厂C到河边最近的一条路；(2)设AC＝x km，则AB＝AC＝x km.因为∠CHB＝90°，所以∠CHA＝90°.在Rt△ACH中，AH＝(x－1.5)km，CH＝2km，由勾股定理得AC2＝AH2＋CH2，所以x2＝(x－1.5)2＋22，解这个方程，得x＝25 12 .所以AC的长为2512km.23．解：将长方体的侧面展开如图所示，连接AB′.因为在Rt△AA′B′中，AA′＝12cm，A′B′＝5cm，所以AB′2＝AA′2＋A′B′2＝169.所以AB′＝13cm.所以蚂蚁爬行的最短路径长为13cm.24．解：由折叠可知AD＝AF，DE＝EF.由S△ABF＝12BF·AB＝30cm2，AB＝DC＝5cm，得BF＝12cm.在Rt△ABF中，由勾股定理得AF2＝AB2＋BF2＝52＋122＝169，所以AF＝13cm.所以BC＝AD＝AF＝13cm.设DE＝x cm，则EC＝(5－x)cm，EF＝x cm.在Rt△ECF中，FC＝13－12＝1(cm)，由勾股定理得EC2＋FC2＝EF2，即(5－x)2＋12＝x2，解得x＝135.所以DE＝135cm.所以△ADE的面积为12AD·DE＝12×13×135＝16.9(cm2)．。

图6北师大版八年级数学勾股定理测试题（1)一、填空题(每小题5分，共25分）:1．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为_________________． 2．．三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是_______．3．△ABC 中，AB=10，BC=16，BC 边上的中线AD=6，则AC=___________． 4．将一根长24cm 的筷子,置于底面直径为5cm,高为12cm 的圆柱形水杯中(如图1），设筷子露在杯子外面的长度是为hcm ，则h 的取值范围是_____________．5．如图2所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1。

5米,梯子滑动后停在DE 上的位置上，如图3，测得DB 的长0.5米，则梯子顶端A 下落了________米．二、选择题（每小题5分，共25分）:6．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是( ）． A ．a=9 b=41 c=40 B ．a=b=5 C=52C ．a:b:c=3:4:5D ．a=11 b=12 c=157．若△ABC 中，AB=13,AC=15，高AD=12，则BC 的长是（ ）． A ．14 B ．4 C ．14或4 D ．以上都不对 8． 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形（如图4所示），如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2)(b a +的值为( )．A ．13B ．19C ．25D ．1699． 如图5，四边形ABCD 中，AB=3cm,BC=4cm ，CD=12cm ，DA=13cm ，且∠ABC=900，则四边形ABCD 的面积是( ）． A ．84 B ．30 C ．251D ．无法确定10．如图6,已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C /处，B C /交AD 于E ，AD=8,AB=4，则DE 的长为（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6 三、解答题（此大题满分50分)：11．（7分）在ABC Rt ∆中,∠C=900．（1)已知15,25==b c ，求a; （2）已知060,12=∠=A a ，求b 、c ．12．（7分）阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且满足442222b a c b c a -=-，试判定△ABC 的形状．解:∵ 442222b a c b c a -=-, ①∴ ))(()(2222222b a b a b a c -+=-， ② ∴ 222b a c +=， ③∴ △ABC 为直角三角形．问：(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号______;(2)错误的原因是___________________________；(3）本题正确的结论是_______________________________． 13．（7分)细心观察图7，认真分析各式，然后解答问题： 21)1(2=+ 211=S 31)2(2=+ 222=S 41)3(2=+ 233=S ┉┉ ┉┉（1) 用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；图1 图2 图3 图4 图5图7（2)推算出OA 10的长;（3)求出210232221S S S S ++++ 的值．14．（7分)已知直角三角形的周长是62+,斜边长2，求它的面积．15．（7分)小东拿着一根长竹杆进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果杆比城门高1米,当他把杆斜着时,两端刚好顶着城门的对角，问杆长多少米？ 16．（7分）小明向西南方向走40米后，又走了50米，再走30米回到原地．小明又走了50米后向哪个方向走的？再画出图形表示17．（8分）如图8，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠QPN=300,点A 处有一所中学，AP=160米,假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响?说明理由．如果受影响,已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？图8北师大版八年级数学（勾股定理）自测题（2）一、选择题（共4小题，每小题4分,共16分.在四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求一项的字母代号填在题后括号内。

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》测试卷（含答案）一、选择题（共8 小题，4*8=32）1. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )A ．5B ．6C ．7D ．82. 在ΔABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是a，b，c，若∠A+∠C ＝90°,则下列等式中成立的是( )A ．a2＋b2 ＝2c2B ．b2＋c2 ＝a2C ．a2＋c2 ＝b2D ．c2－a2 ＝b23. 若ΔABC 的三边a ，b，c 满足(a－b)2＋|a2＋b2－c2 | ＝0，则ΔABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形4. 如图，在某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O 同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12 海里/小时的速度航行，二号舰以16 海里/小时的速度航行，离开港口 1.5 小时后它们分别到达相距30 海里的A ，B 两点，则二号舰航行的方向是( )A ．南偏东30°B ．北偏东30°C ．南偏东60°D ．南偏西60°5. 一架250cm 的梯子斜靠在墙上，这时梯足与墙的终端距离为70cm，如果梯子顶端沿墙下滑40cm，那么梯足将向外滑动( )A. 150cmB. 90cmC. 80cmD. 40cm6. 如图，长为12 cm 的橡皮筋放置在直线l 上，固定两端A 和B ，把中点C 竖直向上拉升4.5 cm 至点D 处，则拉长后橡皮筋的长为( )A ．20 cmB ．18 cmC ．16 cmD ．15 cm67. 如图所示，圆柱高8 cm，底面圆的半径为π cm，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃蜂蜜，则要爬行的最短路程是( )A ．20 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．无法确定8. 有下面的判断：①△ABC 中，a2＋b2≠c2 ，则ΔABC 不是直角三角形。