GCT 一元函数微积分专题

GCT 数学.微积分部分主讲：刘庆华第11章函数的极限与连续11.1函数 一 函数1定义 设x 和y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个数D x ∈，变量y 按照一定的法则，总有一个确定的值与它对应，则称y 是x 的函数，记作)(x f y =，数集D 叫做这个函数的定义域，x 叫做自变量，y 叫做因变量。

2 表示法3 基本初等函数例11．1．1（1）C y =； （2）⎩⎨⎧<-≥==00x x x x x y ； （3）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=010001x x x y 。

（4）设x 是任一实数，[]x y =表示不超过x 的最大整数部分。

例11.1.2 下列函数是否相同？ （1） x x g x x f lg 2)(lg )(2==；（否） （2） 33341)(,)(-=-=x x x g x x x f ；（是） （3） 1)(,)1()(2-=-=x x g x x f 。

（否） 例11.1.3 求函数的定义域。

（1）x x y -=1； 答0<x（2） 设11)(1+=-x e f x ，求)(x f 的定义域.2->e x 二 特性1函数的有界性设函数)(x f 在区间I 上有定义，如果0>∃M ，使得对I x ∈∀，有M x f ≤)(，则称)(x f 在区间I 上有界，否则，称)(x f 在区间I 上无界。

2函数的单调性设函数)(x f 在区间I 上有定义,如果I x x ∈∀21,且21x x <时，有)()(21x f x f ≤（或 )()(21x f x f ≥）则称)(x f 在区间I 上是单调增（或单调减）的。

3函数的奇偶性设函数)(x f 的定义域X 关于原点对称，（即若∈x X ，则必有∈-x X ），如果∀∈x X ，有)()(x f x f =-成立，则称)(x f 为偶函数，如果∀∈x X ，有)()(x f x f -=-成立，则称)(x f 为奇函数。

微积分的基本内容可以分为三大块：一元函数微积分，多元函数微积分（主要是二元函数），无穷级数和常微分方程与差分方程。

一元函数微积分学的知识点是考研数学三微积分部分出题的重点，应引起重视。

多元函数微积分学的出题焦点是二元函数的微分及二重积分的计算。

无穷级数和常微分方程与差分方程考查主要集中在数项级数的求和、幂级数的和函数、收敛区间及收敛域、解简单的常微分方程等。

一、熟记基本内容事实上，数学三考微积分相关内容的题目都不是太难，但是出题老师似乎对基本计算及应用情有独钟，所以对基础知识扎扎实实地复习一遍是最好的应对方法。

阅读教材虽然是奠定基础的一种良方，但参考一下一些辅导资料，如《微积分过关与提高》等，能够有效帮助同学们从不同角度理解基本概念、基本原理，加深对定理、公式的印象，增加基本方法及技巧的摄入量。

对基本内容的复习不能只注重速度而忽视质量。

在看书时带着思考，并不时提出问题，这才是好的读懂知识的方法。

二、紧抓内容重点在看教材及辅导资料时要依三大块分清重点、次重点、非重点。

阅读数学图书与其他文艺社科类图书有个区别，就是内容没有那么强的故事性，同时所述理论有一定抽象性，所以在此再一次提醒同学们读书需要不断思考其逻辑结构。

比如在看函数极限的性质中的局部有界性时，能够联系其在几何上的表现来理解，并思考其实质含义及应用。

三大块内容中，一元函数的微积分是基础，定义一元函数微积分的极限及微积分的主要研究对象——函数及连续是基础中的基础。

这个部分也是每年必定会出题考查的，必须引起注意。

多元函数微积分，主要是二元函数微积分，这个部分大家需要记很多公式及解题捷径。

无穷级数和常微分方程与差分方程部分的重点很容易把握，考点就那几个，需要注意的是其与实际问题结合出题的情况。

三、检测学习效果大量做题是学习数学区别与其他文科类科目的最大区别。

在大学里，我们常常会看到，平时不断辗转于各自习室占坐埋头苦干的多数是学数学的，而那些平时总抱着小说看，还时不时花前月下的同学多半是文科院系的。

GCT工程硕士（一元函数微积分）数学历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题选择题（25题，每小题4分，共100分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．（2008年真题）设f(x)=则有[ ]。

A．f(f(x))=(f(x))。

B．f(f(x))=f(x)C．f(f(x))＞f(x)D．f(f(x))＜f(x)正确答案：B解析：本题主要考查函数的概念与函数求值的运算。

解法1由易知，当x≠0时，f(x)＞0。

又所以f(f(x))=f(x)。

故正确选项为B。

解法2特殊值代入法。

取x=2，则f(2)=2，f(f(2))=f(2)=2，这时选项A，C，D都不成立。

故正确选项为B。

知识模块：函数、极限、连续2．（2005年真题）函数f(x)=在(-∞，+∞)上有[ ]。

A．1条垂直渐近线，1条水平渐近线B．1条垂直渐近线，2条水平渐近线C．2条垂直渐近线，1条水平渐近线D．2条垂直渐近线，2条水平渐近线正确答案：D解析：本题考查求函数的极限和求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。

所以y=1是曲线y=f(x)的一条水平渐近线。

所以y=-1是曲线y=f(x)的一条水平渐近线，因此，曲线y=f(x)有2条水平渐近线。

所以x=1是曲线y=f(x)的一条垂直渐近线。

所以x=2是曲线y=f(x)的一条垂直渐近线，因此，曲线y=f(x)有2条垂直渐近线。

故正确选项为D。

知识模块：函数、极限、连续3．（2009年真题）设函数g(x)在x=0点的某邻域内有定义，若=1成立，则[ ]。

A．g(x)在x=0点连续B．g(x)在x=0点可导C．存在，但g(x)在x=0点不连续D．x→0时，g(x)是x的高阶无穷小量正确答案：D解析：本题考查了重要极限=1，极限运算法则及无穷小量阶的比较。

解法1故正确选项为D。

解法2利用排除法。

的存在与g(x)在x=0点是否有定义无关，因此，无法考查g(x)在x=0点的连续性和可导性，由此排除了A，B，C，从而选D。

一元函数微积分的基本原理与方法微积分是数学中非常重要的一门学科，是数学中的一种基础理论，又是现代科学的一种重要工具。

一元函数微积分是微积分中最基本的部分之一，掌握一元函数微积分的基本原理与方法是学习微积分的第一步。

一、导数与微分导数是微积分的核心概念之一，是函数在一个点上的变化率或斜率。

在一元函数微积分中，导数有多种不同的定义方式，但它们都是等价的。

设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当 $x$ 充分接近$x_0$ 时，$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$如果这个极限存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并把它的导数记为 $f'(x_0)$。

导数的几何意义是曲线在 $x_0$ 点处的斜率。

对于一元函数 $y=f(x)$，如果在某一点 $x_0$ 处导数$f'(x_0)$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。

函数在 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 也可以表示为$$\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}$$它表示在点 $x_0$ 处函数 $y=f(x)$ 的每单位 $x$ 的变化量，也就是函数的瞬时变化率。

微分是导数的一种应用。

设 $y=f(x)$，$x$ 发生一个无限小的增量 $\Delta x$，相应地 $y$ 也发生了一个无限小的增量 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$，则称 $dy=f'(x)dx$ 为 $y=f(x)$ 的微分。

它表示在 $x$ 处函数值的微小增量与 $x$ 的微小增量之比。

在微积分中，微分是一种将无限小的变化转换为实际的数值计算的技术方法。

二、函数的基本性质函数是微积分的基础，掌握函数的基本性质对学习微积分非常重要。

1. 连续性一个函数如果在某一点连续，则表明函数在该点的值可以通过函数在该点的极限来确定。

GCT工程硕士（一元函数微积分）数学历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题选择题（25题，每小题4分，共100分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．（2005年真题）设函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数g(x)=.f(1+cosπx)的定义域是[ ]。

A．|x|≤1B．0≤x≤1C．|x|≤0．5D．0．5≤x≤1正确答案：D解析：本题主要考查函数定义域的概念和求法。

为使有意义，则得因函数f(x)的定义域是[0，1]，对于f(sinπx)有0≤sinπx≤1；又-1≤x≤1，故可得0≤πx ≤≤x≤1，同理，对于f(1+cosπx)有0≤1+cosπx≤1，即-1≤cosπx≤0；而0≤x≤1，故可得≤x≤1，从而0．5≤x≤1。

故正确选项为D。

知识模块：函数、极限、连续2．（2009年真题）若，则函数f(x)的最小值等于[ ]。

A．0B．C．1D．2正确答案：C解析：本题考查了用分段函数表示绝对值函数、简单函数的图形及求函数的交点。

由知f(x)的定义域为x≥0．当x≥0时|x-2|与的草图如图4．1所示，显然，f(x)的最小值点是y=2-x与y=在[0，2]上交点的横坐标。

x2-5x+4=0，即(x-4)(x-1)=0，因此有x=1∈[0，2]，f(1)==1是f(x)的最小值。

故正确选项为C。

注：(1)因y=是单调递增函数，f(x)的最小值点一定是x=1，而不是x=4。

(2)f(x)的分段表达式为知识模块：函数、极限、连续3．（2007年真题）若=4，则必定有[ ]。

A．f(1)=4B．f(x)在x=1处无定义C．在x=1的某邻域(x≠1)中，f(x)＞2D．在x=1的某邻域(x≠1)中，f(x)≠4正确答案：C解析：本题考查函数极限的保号性质。

解法1因为=4＞2，由极限的保号性质，在x=1的某邻域(x≠1)中，f(x)＞2，故正确选项为C。

解法2特殊值代入法。

2021年8月联考gct数学考查知识点总结范文算数数的概念和性质，四则运算与运用。

代数代数等式和不等式的变换和运算。

包括：实数和复数;乘方和开方;代数表达式和因式分解;方程的解法;不等式;数学归纳法，数列;二项式定理，排列，组合和概率等。

几何三角形、四边形、圆形以及多边形等平面几何图形的角度、周长、面积等运算和运用;长方体、正方体以及圆柱体等各种规范立体图形的表面积和体积的运算和运用;三角学;以及解析几何方面的知识。

一元微积分函数及其图形：集合，映射，函数，函数的应用。

极限与连续：数列的极限，函数的极限，极限的运算法则，极限存在的两个准则与两个重要极限，连续函数，无穷小和无穷大。

导数与微分：导数的概念，求导法则及差不多求导公式，高阶导数，微分。

微分中值定理与导数应用：中值定理，导数的应用。

积分：不定积分和定积分的概念，牛顿―莱布尼兹公式，不定积分和定积分的运算，定积分的几何应用。

线性代数行列式：行列式的概念和性质，行列式按行展开定理，行列式的运算。

矩阵：矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵，矩阵的初等变换。

向量：n维向量，向量组的线性相关和线性无关，向量组的秩和矩阵的秩。

线性方程组：线性方程组的克莱姆法则，线性方程组解的判别法则，齐次和非齐次线性方程组的求解。

特点值问题：特点值和特点向量的概念，相似矩阵，特点值和特点向量的运算，n阶矩阵可化为对角矩阵的条件和方法。

为了提高学生的国防意识，增强学生爱党、爱国、爱军的情感，激发学生长大建设祖国，献身国防的光荣感、责任感和使命感，我班以全民国防教育日为契机，开展了形式多样、内容丰富的国防教育活动，取得了良好的教育成效。

12。

/JM/GCT 数学解题必知公式（第四章）第四章 一元函数微积分这部分主要考查极限与连续 ，导数的概念，求导法则及基本求导公式，高阶导数，微分的概念即微分中值定理与导数应用，不定积分和定积分的概念，牛顿-莱布尼兹公式，不定积分和定积分的计算，定积分的简单应用等。

第一节 极限与连续【备考要点】函数是数学研究中一个非常重要的对象， 为了清楚地了解函数，求极限是考察函数性质的一个基本的方法。

因此要求考生学习和掌握一些常见函数的基本定义，极限的求法。

同时掌握函数连续性的定义、熟练掌握极限的运算法则并能够求一些初等函数和数列的极限。

【解题技巧】（一）必知公式1．极限四则运算法则lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x ±=±。

lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x =⋅2．两个基本极限公式第二节0sin lim 1x x x →=， 10lim(1)x x x e →+=一元函数微分学 【备考要点】 这一节要求考生学习和掌握导数的基本概念和定义，求导法则及基本求导公式，高阶导数，微分。

同时还需要掌握微分中值定理与导数初等应用。

【解题技巧】（一）必知公式1．初等函数求导公式c y =0'=y x y a = x a y a 1'-=a y x = a a y x ln '=x y a log =a x x e y a ln 1log '== x y sin = x y cos '=x y cos =x y sin '-=tgx y = x x y cos 1sec '22==ctgx y =x x y sin 1csc '22-=-=x y sec =tgx x x y ⋅==sec )'cos 1('x y csc =ctgx x y ⋅-=csc ' x y arcsin = x y 211'-=x y arccos = x y 211'--= arctgx y =x y 211'+=arcctgx y = x y 211'+-=2．导数四则运算法则（1）(“数乘”)对任意常数C ，()y Cx Cx C '''===。

GCT 一元函数微积分专题第一节 映射与函数一. 基本概念二. 映射 三. 函数概念 四. 函数的特性 五. 反函数六. 复合函数，初等函数七. 小结 一. 基本概念(1)【区间】:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点。

..,,b a R b a <∈∀且 开区间{}b x a x b a <<=),(闭区间{}b x a x b a ≤≤=],[X半开区间{} ),[b x a x b a <≤=, {}],(b x a x b a ≤<= 有限区间无限区间{}x a x a ≤=∞+),[{}b x x b ≤=-∞],({} R ),(∈=∞+-∞x x 无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. ⑵【邻域】点a 的δ 邻域：{}{}δδδδ<-=+<<-=a x x a x a x a ),(去心δ 邻域：{}0 ),(U δδ<-<=a x x a，其中,a 称为邻域中心,δ 称为邻域半径 . 左δ 邻域 : ,),(a a δ-右δ 邻域 : .),(δ+a a 0 a x a x ≠-<意味着注意， 二. 映射1. 【映射的概念】 【引例1】某校学生的集合 按一定规则查号 学号的集合某班学生的集合 按一定规则入座 某教室座位的集合【引例2】R ∈∀x x x y sin += R ∈y【引例3】{}1|),(22=+=y x y x C 点集{}11),0(≤≤-=y y YC P ∈∀点 向y 轴投影 Y Q ∈投影点(1)【定义】设X ,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则f ,使得, X x ∈∀有唯一确定的Y y ∈与之相对应,则称f 为从X 到Y 的映射，记作Y X f → : 元素y 称为元素x 在映射f 下的像,记作).(x f y = 元素x 称为元素y 在映射 f 下的原像 . 集合X 称为映射 f 的定义域，记作D f =XY 的子集X}|)({)(∈==x x f X f R f 称为f 的值域 【注意的问题】 ①映射具备三要素X D a f = .定义域 Y R X f b f ⊂=)( .值域 .f c 对应法则②映射的特点①中都有像在任一Y X x ∈必须唯一的像 ②y x 不一定唯一的原像 ③x y)( ④Y R Y R f f =⊂不一定值域(2)【定义】对映射Y X f →: ①满射若Y X f =)(,则称 f 为满射; 引例2, 3 ②单射若,,,2121x x X x x ≠∈∀有)()(21x f x f ≠,则称f 为单射; 引例2③双射若f 既是满射又是单射,则称f 为双射或一一映射. 引例2【例1】R D x x x f R R f f =∈∀=→，，，R )(:2{}R y y R f ⊆≥=0)( 非满射外原像都不唯一除0=y 非单射【例2】Y X f →:,其中{}1),(22=+=y x y x X ,{}1)0,(≤=x x YY X f X D f ==)(, 满射但非单射 ,【例3】[]x x f f sin )(,1,12,2:=-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ，[]1,1,2,2-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=f f R D ππ一一映射单射、满射⇔【注意】①定义域到值域的映射必为满射.Y X f →:即是映射但不一定是满射.必是满射但 )(Rf X f X =→②对单射 f 而言，元素 y 的原像 x 一定唯一. ③单射、满射前提条件首先是映射.【说明】映射 f (算子)在不同数学分支中的惯用名称: ①泛函：X (≠ ∅ ) f Y (数集) 例如： «实变函数与泛函分析»②变换：X (≠ ∅ ) f X例如：« 线性代数»中的线性变换、矩阵变换、变换群等. ③函数:X (数集或点集 ) f R 例如： « 高等数学»中的函数。

第一章 函数 极限 连续第一节 极限 一、数列极限 1.数列极限的定义设数列{}n a ，当项数n 无限增大时，如果n a 无限趋近于某个常数A ，则称A 为数列{}n a 的极限，记作lim nn aA →∞=2.数列极限的四则运算法则 若n →∞时，,n n x a y b →→，则 （1）n n x y a b ±→±；(2) n n x y ab →; (3) n n x ay b→(0)b ≠ 3.数列极限存在准则（1）单调递增有上界的数列必有极限 （2）单调递减有下界的数列必有极限（3）夹逼法则：若n y a →，n z a →，且n n n y x z ≤≤，则n x a → 例.求22212(...)lim n nn n n→∞+++ 二、函数极限1.函数极限的定义 （1）()lim x f x A →∞=，指的是x →∞时，()f x 的函数值无限趋于常数A ；()lim x f x A →∞=的充分必要条件是()()lim lim x x f x f x A →+∞→-∞==比如，arctan lim x x →∞，lim xx e-→∞不存在。

（2）()0lim n x f x A →=，是指当x 无限趋于0x0()x x ≠时，()f x 的函数值无限趋于常数A ；比如，函数()24,220,2x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩，当2x →时，极限是4，与2x =处的函数值无关。

（3）左极限()0lim x x f x -→，右极限()0lim x x f x +→()0lim n x f x A →=的充分必要条件是()()00lim lim x x x x f x f x A -+→→==极限不存在的三种情形：① 左、右极限都存在，但不相等；比如，0limx x x→ ② 左、右极限有一个不存在；比如，111lim x x e-→③ 左、右极限都不存在；比如，1sinlim x x→2.函数极限的性质 （1）唯一性 （2）局部有界性：若()0lim x x f x A →=，则()f x 在0x附近有界（3）局部保号性：若()00(0)lim x x f x A →=><，则在0x附近()0(0)f x ><3.运算法则（1）四则运算法则 （2）夹逼法则（3）复合函数的极限法则 设()()y f x ϕ=，若()0lim x x x a ϕ→=，()lim u af u b →=，则()()0lim x x f x b ϕ→=；比如，x →=4.两个重要极限 （1）sin 1lim x xx →= （2）()1111lim lim yx y x x e y →∞→⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭5. 洛比达法则例1.（1） 求2203223lim x x x x x →-++-（2）求x →例2.求0tan lim x xx → 例3例4.xx xππsin )1(1lim -→＝（ ）A 、-πB 、-1C 、0D 、1 例5.例6.∞∞型，有理、无理分式求极限例7. 1∞，（利用()1111lim lim yx y x x e y →∞→⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭）（1）()1013lim xx x →-（2）11lim xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭三、无穷小量与无穷大量 1.无穷小量的定义 若()00lim x x f x →=，则称当0x x →时()f x 是无穷小量；若()0lim x f x →∞=，则称当x →∞时()f x 是无穷小量。

一元函数积分学精讲在微积分学中，积分是导数的逆运算。

一元函数积分学是微积分学中的一个重要内容，它研究的是单变量函数的积分。

通过学习一元函数积分学，我们可以更好地理解函数与曲线的关系，解决曲线下面积等实际问题。

本文将系统介绍一元函数积分学的基本概念、性质和计算方法。

一、不定积分1. 定义不定积分是对函数的积分常见形式之一，表示为$\\int f(x)dx$，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。

不定积分的本质是求函数的一个原函数。

具体地，若F(x)是f(x)的原函数，则$\\int f(x)dx = F(x) + C$，其中C为常数。

2. 基本积分公式常数积分公式： $\\int kdx = kx + C$，其中k为常数。

幂函数积分公式： $\\int x^n dx = \\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$，其中n eq−1，n为常数。

二、定积分1. 定义定积分是积分学另一重要形式，表示为$\\int_{a}^{b} f(x)dx$，表示对f(x)从a到b的积分。

定积分可以看做是曲线下面积的计算，是实际问题中常用的工具。

2. 定积分性质•定积分线性性质：$\\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)]dx = \\int_{a}^{b} f(x)dx + \\int_{a}^{b} g(x)dx$•定积分区域性质：$\\int_{a}^{b} f(x)dx = -\\int_{b}^{a} f(x)dx$三、积分的应用一元函数积分学在各个领域有着广泛的应用，主要包括但不限于以下几个方面：•曲线下面积的计算•物理学中的功与能量计算•统计学中的概率密度函数与累积分布函数•工程学中的中心质心和惯性矩计算四、积分计算技巧与方法积分计算是一门深奥的学问，有许多技巧和方法可以简化计算过程，常见的包括：•换元积分法•分部积分法•三角代换法•分式分解法细致理解这些计算方法对提高积分计算效率至关重要。

十月联考GCT数学考查知识点总结5篇第1篇示例：十月联考GCT数学考查知识点总结十月联考GCT数学考试是许多学生备战的重要考试之一，对于备考的同学来说，掌握考试重点知识点是至关重要的。

下面我们就来总结一下十月联考GCT数学考查的知识点，希望对大家备考有所帮助。

1. 解方程与不等式解方程与不等式是数学中的基础知识点，在十月联考GCT数学考试中也是必考的内容。

同学们需要掌握一元一次方程和一元一次不等式的解法，包括用消元法、代入法、加减法等方法进行求解。

2. 几何在十月联考GCT数学考试中，几何也是一个重要的考察点。

同学们需要掌握平面几何和空间几何的知识，包括角的性质、直线和圆的性质、三角形的性质、四边形的性质等内容。

掌握这些几何知识点可以帮助同学们更好地解决几何问题。

3. 概率与统计概率与统计也是十月联考GCT数学考试的考查内容之一。

同学们需要了解概率的基本概念和计算方法，包括排列组合、事件的概率计算等内容。

统计学也是一个重要的知识点，同学们需要了解统计描述、频数分布、均值、中位数、众数等统计概念。

4. 函数在十月联考GCT数学考试中，函数也是一个重要的知识点。

同学们需要掌握函数的基本概念、性质、定义域、值域、判别法等内容。

同学们还需要了解一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见函数的性质和图像。

十月联考GCT数学考试涵盖了多个知识点，同学们在备考时需要系统地复习各个知识点，掌握解题技巧。

在备考过程中，同学们可以多做一些练习题，巩固知识点，提高解题能力。

希望以上总结的知识点对同学们备考有所帮助，祝同学们取得优异的成绩！第2篇示例：十月联考GCT数学考查知识点总结GCT（Graduate Certificate Test）是为了评估考生在数学领域的能力和水平而设计的考试。

在十月联考中，数学是考试的一个重要科目之一。

在这篇文章中，我们将汇总十月联考GCT数学考查的知识点，帮助考生更好地备战考试。

一、基础知识1. 整数、有理数和无理数的性质和运算规律2. 代数式的展开、因式分解和合并3. 质因数分解4. 一次函数和二次函数的性质和图像，以及解一元一次方程和一元二次方程二、几何知识1. 点、线、面、几何体的性质和关系2. 直线、射线和线段的性质3. 角的概念和相关性质4. 三角形和四边形的性质和分类5. 圆的性质和相关定理6. 相似三角形和全等三角形的判定三、概率与统计1. 随机事件的概念和性质2. 概率的计算方法和规律3. 统计图的绘制和分析4. 样本调查和数据分析四、函数与图像1. 函数的基本概念和分类2. 函数的性质和图像3. 反比例函数、指数函数和对数函数的性质4. 函数的复合和反函数的求解五、导数与微积分1. 导数的概念和计算方法2. 函数的极值、拐点和曲线的凹凸性判定3. 定积分的概念和计算方法4. 微分方程和简单的微分方程求解六、解题技巧1. 熟练掌握解题步骤和思路2. 理清题意，理解题目要求3. 善于总结规律，灵活应用知识点4. 多练习，多做题，加深对知识点的理解和记忆七、考前复习1. 制定合理的复习计划，合理安排时间2. 复习重点知识点，加强薄弱环节3. 完整做一些模拟试题，检验复习效果4. 注意健康，保持良好的精神状态和体能状态通过以上总结，我们可以看到十月联考GCT数学考查的知识点涵盖了基础知识、几何知识、概率与统计、函数与图像、导数与微积分等多个方面。

第四部分 一元函数微积分⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧模拟练习典型例题内容综述基本内容样题考试要求一元函数微积分[考试要求]函数及其图形：集合，映射，函数，函数的应用（理解函数的概念，掌握函数的表示方法；了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形；会建立简单应用问题中的函数关系。

）极限与连续：数列的极限，函数的极限，极限的运算法则，极限存在的两个准则与两个重要极限，连续函数，无穷小与无穷大。

（理解极限的概念，理解函数的左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较，会用等价无穷小求极限。

理解函数连续性概念，会判断函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。

）导数与微分：导数的概念，求导法则及导数基本公式，高阶导数，微分。

（理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面的曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则，会求函数的微分；了解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数，会求复合函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

）微分中值定理与导数应用：中值定理，导数的应用。

（理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理；理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，掌握函数最大最小值的求法及简单应用；会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平和铅直渐近线；掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

第四部分 一元函数微积分第11章 函数极限与连续[内容提要]一、函数：(138-141页）1、函数的定义：对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。

2、函数分类：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的统称）；复合函数（[()]y f x ϕ=）；初等函数（由常数和基本初等函数构成的，且只能用一个式子表达的函数）；分段函数；隐函数；幂指函数（()()g x y f x =）；反函数。

3、函数的特性：奇偶性；单调性；周期性；有界性.二、极限：1、极限的概念：(141-142页)定义1：（数列极限）给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，其通项n x 无限趋向于某一个常数a ，即a x n -无限趋近于零，则称数列{}n x 以a 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞→lim ，若{}n x 没有极限，则称数列{}n x 发散。

定义2：（0x x →时函数)(x f 的极限）设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,)U x δo内有定义，当x 无限趋向于0x （0x x ≠）时，函数)(x f 的值无限趋向于A ，则称0x x →时， )(x f 以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0。

左极限：设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义，当0x x <且无限趋向于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的左极限为A ，记作00(0)lim ()x x f x f x A -→-==。

右极限：设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义，当0x x >且无限趋向于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的右极限为A ，记作00(0)lim ()x x f x f x A +→+==。

一、极限题12 1、求 lim (cos x) x.x 03、、limx arctan xxsin x 2(arctan x)(x t 2dt ) 2e5、 xlimxe 2 t2dtx 2e x)117、 lim (1cos xx 0(tanx )( e x2 1)9、 lim3x2 x ) ln( 1 x 2 )(sin111、 lim (2x1)(ex1)x13、 lime x 1 1x)x1sin 3(13x 2(e t 21)dt2、 求极限 lim 0sin x6。

xsin x1 4、 limx 2xx 016、 lim xln( e x1)x8、 limxx xxln xx1110、 lim( axbxcx1) x， (a, b, c 0, 1)x312、 lim (1cot 2x)xx214、 f ( x)1 2 x xx0 点连续，则 A=___________A x 在 x二、导数题1、 设 yx 2 sin x ，求 y .2、 已知方程 xye x e y0确定了隐函数 yy( x), 求 y .3、 求函数 f (x) x 3 ( x 5) 2 的单调区间与极值 .4、要造一圆柱形油罐，体积为 V ，问底半径 r 和高 h 等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？—5、 f ( x) (x 1)( x 2) (x n) .求 f ( n) ( x)6、 xxy y求 dy7、 F ( x)1x1sin t 2 dt 求 F ( x)sin x8、设 f ( x)e x 1 x 0求 a , b 使 f ( x) 在 x0 点可导 .4axb x 09、设f (x) 可导且 f (0)f (1)1 .若 yf (2sin2 x )2 f (sin 2 x)求dy x 010、设 yarctanex lne 2x, 求 y .1 e2 x11、设 xy y , 求 dy .12、设 f ( x)(1 xx 2x n )e xf (x) 的极值 . 2!n! ， n 为正整数，求13、设 f ( x) 在 x 0 点连续， f (0)0 ，又 f 2 ( x) 在 x0 点可导且 [ f 2 (x)] |x 0 f (0) ，求 f (0) .14、设 f (x) 在 [0,1] 上连续， (0,1)内可导， f (0) f (1) 0 ， f ( 1) 1. 证明：(0,1)2使 f ( ) 115、设函数 f ( x) 0 且二阶可导， yln f ( x) ，则 y __________16、 y sin x cos( xy) 0 ，则 dy__________17、 yx sin x ，求 y18、求函数 yx的极值x 2119、 ysin x yd 2 y，求dx 2 20、 ycos xdysin x，求dx21、求过原点且与曲线 x 9相切的切线方程。

第四部分 一元函数微积分本部分内容包括：考试要求、样题、重要问题、内容综述、典型例题．一、函数[考试要求]函数及其图形：集合，映射，函数，函数的应用（理解函数的概念，掌握函数的表示方法；了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形；会建立简单应用问题中的函数关系．） [内容综述] 1．函数概念（1）函数的定义；（2）函数的两要素；（3）函数的图形；（4）函数的表示法（5）分段函数；⎩⎨⎧⎩⎨⎧≤->+=≤>=.0,1,0,1)(,),(),()(0201x x x x x f x x x f x x x f x f （6）隐函数y y x +=sin 21，)(x y y = 2．函数的性质（1）奇偶性；（2）单调性；（3）周期性；（4）有界性 3．反函数与复合函数（1）反函数；（2）复合函数))((x g f y = 4．初等函数 （1）基本初等函数；常函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数．（2）初等函数： [典型例题]例1． 求下列函数的定义域 21ln 1xy -=，解：由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≠-≥-11,01,01222x x x 得函数的定义域为 )1,0()0,1( -；例2．已知函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)31()31()(-++=x f x f x g 的定义域．解：由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤1310,1310x x 得)(x g 的定义域为]32,31[．例3． (2005．16) 设函数()f x 的定义域是[]0,1，则函数()()()sin 1cos g x f x f x ππ=++的定义域是（ ）．（函数）A ． 1x ≤B ． 01x ≤≤C ． 0.5x ≤D ． 0.51x ≤≤分析：考虑⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤≤≤≥+≥-1cos 10,1sin 0,01,01x x x x ππ得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤-,0cos 1,1sin 0,11x x x ππ解得15.0≤≤x ．即正确选项为D ．例4． 研究下列函数的奇偶性 （1）（样题）)1ln()(2x x x f ++=，解：因为对任意的),(+∞-∞∈x ，)1ln()(2x x x f ++=都有定义，且,)()1ln(1)1(ln)1ln()(22222x f x x x x x x x x x f -++-++++-=++-=-所以)1ln()(2x x x f ++=是奇函数； （2）)(21)(x x e e x f -+=．偶函数例5． 已知函数)(x f 的周期是2，求函数)21()(+=x f x g 的周期． 解：因为 )4(]21)4([)221()21()(+=++=++=+=x g x f x f x f x g ，所以函数)21()(+=x f x g 的周期为4． 例6． 已知1)1(2+=+x x f , 求)(x f 的表达式．解：令t x =+1 得 221)1()(22+-=+-=t t t t f ，故22)(2+-=x x x f ． 例7．设0,3)1(2)(33≠=+x x xf x f ，求)(x f 的表达式． 解：根据0,3)1(2)(33≠=+x x x f x f 得 0,13)(2)1(33≠=+x x x f xf ，解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+x x f x f x x f x f 13)(2)1(,3)1(2)(3333得x xx f -=2)(3，令 t x =3得 332)(t tt f -=，所以332)(x xx f -=．例8．（样题） 已知)1(11)(≠-=x xx f ，求()[]⎪⎪⎭⎫⎝⎛)(1,)(x f f x f f f 的表达式．解：根据 )1(11)(≠-=x xx f 得 )0,1(11111)(11))((≠≠-=--=-=x x x x x x f x f f ，从而)0,1(111))((11))](([≠≠=--=-=x x x xx x f f x f f f ．)0,1(1)1(11)(111))(1(≠≠=--=-=x x xx x f x f f ． 例．（2008．16）设0,1,)(x ＜x ＞x x x f ⎩⎨⎧-=，则有（ ）．A ．2))(())((x f x f f =B ．)())((x f x f f =C ．)())((x ＞f x f fD ．)())((x ＜f x f f 分析：本题是简单函数题，考查了函数求值问题． 因为,0,()1,0,x x f x x x >⎧=⎨-<⎩ 易知()0f x >，所以(),()0,(())()1(),()0f x f x f f x f x f x f x >⎧==⎨-<⎩．故正确选项为B ．注：利用特殊值代入法与排除法更简单，取2x =，(2)2,((2))(2)2f f f f ===，这时选项A, C,Ｄ都不成立．故正确选项为B ．二、极限[考试要求] 数列的极限，函数的极限，极限的运算法则，极限存在的两个准则与两个重要极限，无穷小与无穷大． [内容综述] 1．数列的极限 （1）数列的概念； （2）数列极限的概念； （3）* 判断极限存在的两个准则单调有界有极限定理：例如：已知)1)(1(21,0110≥+=>--n a a a a n n n ，证明n n a ∞→lim 存在并求其值．提示 证明数列}{n a 单调下降有下界． 夹逼定理：例如： 求极限∑=∞→+nk n knk12l i m ．提示 根据∑∑∑===+<+<+nk nk nk n kkn knn k1212121，利用夹逼定理（21）．（4）数列极限的性质；唯一性、有界性、保序性 （5）数列极限的四则运算 2．函数极限（1）∞→x 时的极限；（2）0x x →时的极限；A x f x x =→)(lim 0（3）夹逼定理（4）函数极限的性质；唯一性、局部有界性、保序性 （5）函数极限的四则运算、复合函数的极限 3．两个重要极限e x x x x x x =+=∞→→)11(lim 1sin lim11lim 1)1ln(lim)11(lim 1sin lim 000=∆-=∆∆+=∆+=∆∆∆→∆→∆∆∞→∆→∆e e4．无穷大量、无穷小量 （1）无穷大量； （2）无穷小量； （3）几个关系；（4）无穷小的比较与等价无穷小代换c x g x f x x =→)()(lim 0 2121lim cos 1lim tan 1lim 220202cos 10==-=-→→-→xxx x x e x x xx ?sin lim3xx x x -→[典型例题]例1．求下列极限的值（1）122)22)(2(lim 28lim 22232=-++-=--→→x x x x x x x x ；（2）∞=--=-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→4lim 4)2(2lim 2142lim 222222x x x x x x x x x ；（3）()()0lim)(lim 22=++-+=-++∞→+∞→xa x x ax x a x x x ；（4）111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx xx x x ；（5）21cos 1sin lim cos sin 221sin lim 2sin 21sin lim203030=-=⨯-=-→→→xx x x x xx x x x x x x x ； （6）2213331321331lim 1323lim e x x x x x x x xx =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯--∞→∞→（7）22lim sin )21ln(lim00==+→→xxx x x x ；（8）22lim21limcos 1lim0200-===----→→→xxx x xx x x x ； （9）()3132313lim 321lim11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++∞→+∞→nn nn n nn n n ；例2．已知32lim e a x a x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→，求a 的值．解：因为332332231lim 2lim e e a x a a x a x a xa x aa a x x xx ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-∞→∞→，所以1-=a ．例3．已知0)12(lim 2=----∞→b ax x x x ，求b a ,的值．解：因为012)()1(lim )12(lim 22=-+--+-=----∞→∞→x bx b a x a b ax x x x x ，所以 ⎩⎨⎧=-=-,0,01b a a 解得1,1==b a ．例4．若0>k ， 0)tan(1limcos 10≠=--→a x e kx x π，求k 与a 的值．解：因为 021lim cos 1lim )tan(1lim 200cos 10≠==-=-→→-→a x xx x x e k x k x k xx πππ，所以π21,2==a k ． 例5．（样题）极限=→bxaxx sin sin lim 0[ ])0(≠b ．（极限运算）例6．（样题）=+∞→211limxx [ ]．（极限运算）例7．（2007．16）1lim()4x f x →=，则必定 ( C ) A ．(1)4f = B ．()f x 在1x =处无定义 C ．在1x =某邻域(1)x ≠，()2f x > D ．在1x =某邻域(1)x ≠，4)(≠x f 答：C ．分析：根据极限定义，1lim()4x f x →=存在不要求函数()f x 在点01x =有定义, 因此A, B 都不一定成立；根据极限定义可知，若有1lim ()4x f x →=, 则对任意的正数ε,在1x =某邻域(1x ≠)内，恒有4()4f x -ε<<+ε, 今取2ε=即可，因此C 成立, 由此亦可知D 不成立．三、函数的连续性[考试要求] 理解函数连续性概念，会判断函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质．[内容综述] 1．基本概念（1）连续及连续点；)()(lim 00x f x f x x =→（2）左、右连续；)()(lim ),()(lim 000x f x f x f x f x x x x ==+-→→定理：函数)(x f 在0x 处连续的充要条件是：)(x f 在0x 处既是左连续又是右连续． （3）间断点及其分类第一类：左、右极限都存在（可去型：左右极限相等；跳跃型：左、右极限不等）．第二类：非一类（左、右极限中至少有一个不存在）． 2．连续函数的运算 （1）四则运算； （2）反函数的连续性； （3）复合函数的连续性3．初等函数的连续性：初等函数在其定义域区间上连续．x x x x f +-=)1()( }0{),1[ +∞4．闭区间上连续函数的性质（1）有界性：若函数)(x f 在],[b a 上连续，则其在],[b a 上有界． （2）最大、最小值定理：若函数)(x f 在],[b a 上连续，则存在],[,b a ∈ηξ，使得)()()(ηξf x f f ≤≤对任意的],[b a x ∈都成立．（3）零点存在定理：设函数)(x f 在],[b a 上连续，且0)()(<b f a f ，则存在),(b a ∈ξ，使得0)(=ξf ．（4）介值定理：设函数)(x f 在],[b a 上连续，],[,21b a x x ∈满足)()(21x f x f <，则对任意的)()(21x f x f <<μ，都存在介于1x 与2x 之间的c ，使得μ=)(c f ． [典型例题]例1．研究下列函数的连续性，并说明间断点的类型（1）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,1,0,1sin )(x x xx x f 解：因为 )0(01sin lim )(lim 0f xx x f x x ≠==→→，所以0=x 是可去型间断点；（2）0,1lim)(≥+=∞→x xx x f nn n ，解：由于⎪⎩⎪⎨⎧<≤=>=10,0,1,21,1,1)(x x x x f ，所以,0)(lim ,1)(lim 11==-+→→x f x f x x 从而1=x 是跳跃型间断点； （3）xx e e x f 21321)(++=，解：因为21321lim)(lim ,0321lim)(lim 21002100=++==++=--++→→→→xx x x xx x x e e x f e e x f ，所以 0=x 是跳跃型间断点；例2．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,,2,24)(2x a x x x x f 在),(+∞-∞上连续，求a 的值． 解：424lim )(lim )2(222=--===→→x x x f f a x x ．例3．（2007．20）若函数2331(1),0(),xt e dt x f x xa x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0=x 点连续，则=a （ A ）A ．9-B ．3-C ．0D ．1答：A ．分析：显然，只需讨论0x =点函数的连续性，即要研究?a =时有lim ()(0)x f x f →=．233001lim ()lim(1)xt x x f x e dt x -→→=-⎰2923(1)lim3x x ex -→-=2209lim 9(0)x x f a x→-==-== 例9．（2003）甲乙两人百米赛跑成绩一样，那么 ．（连续函数性质）A ．甲乙两人每时刻的瞬时速度必定一样．B ．甲乙两人每时刻的瞬时速度都不一样．C ．甲乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样． *D ．甲乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样．四、导数与微分[考试要求] 导数的概念，求导法则及导数基本公式，高阶导数，微分．（理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面的曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则，会求函数的微分；了解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数，会求复合函数、隐函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数．） [内容综述]1．导数概念 （1）导数的定义； 导数：x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(000右导数：xx f x x f x x f ∆-∆++→∆=+')0()0(0lim)0( 左导数：xx f x x f x x f ∆-∆+-→∆=-')0()0(0lim )0(（2）导数的几何意义； 切线方程：))(()(000x x x f x f y -'+= 法线方程：)()(1)(000x x x f x f y -'-= （3）可导与连续的关系：可导必连续． 2．导数运算 （1）基本导数公式； （2）导数的四则运算； （3）复合函数的链导法 （4）隐函数的求导法、()y y y y y y y y y y x ''+''+'-='+'=+=]cos sin [210,cos 211,sin 212 反函数的求导法：1)())((,))((111='=---dyy df y ff y y f f幂指函数求导法：f fg f g y yx f x g y x f y x g '+'='==1ln 1),(ln )(ln ,)()( 3．微分概念（1）微分的定义：)()()()(000x o x x a x f x x f ∆+∆=-∆+，x x a x df ∆=)()(00 （2）可微与可导的关系—微分计算公式；定理：函数)(x f 在0x 处可微的充分必要条件是)(x f 在0x 处可导，且dx x f x df )()(00'=．（3）微分的几何意义：)())(()(0000x df x x x f x f y =-'=- 4．高阶导数（1）高阶导数的概念：])([)()1()('=-x f x f n n （2）常见的几个函数的高阶导数xn x ee =)()(，1)()1(!)1(11++-=⎪⎭⎫⎝⎛+n n n x n x ，nn n x n x )1()!1()1())1(ln(1)(+--=+-，)2cos()(cos ),2sin()(sin )()(ππn x x n x x n n +=+=（3）复合函数、隐函数二阶导数的求法 [典型例题]例1．研究函数⎪⎩⎪⎨⎧=>=0,0,0,1sin )(x x xx x f α在0=x 处的可导性． 解 因为 x x x f x f x x 1sin lim )0()(lim 100-→→++=-α，所以当01>-α，即1>α时，函数⎪⎩⎪⎨⎧=>=0,0,0,1sin )(x x xx x f α在0=x 处可导，且0)0(='+f ；当1≤α时，函数⎪⎩⎪⎨⎧=>=0,0,0,1sin )(x x xx x f α在0=x 处不可导． 例2．（样题）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,01sin )(2x x xx x f ，，则)(x f 在点0=x 处[ ]．（极限、连续、导数定义）例3． 已知函数⎩⎨⎧>+≤=.0,,0,)(2x b ax x x x f 在0=x 处可导，求b a ,的值．解：因为 b x f x f x x ==+-→→)(lim ,0)(lim 00，所以0=b ；又因为000lim )0(20=--='-→-x x f x ，a x ax f x =--='+→+00lim )0(0，所以0=a ． 例4． 设)(x f 在0=x 的某邻域内有定义，)()(x f x x F =，则)(x F 在0=x 处可导的充分必要条件是[ A ]（A ）)(lim )(lim 0x f x f x x -+→→-=． (B) )(lim 0x f x →存在．(C) )(x f 在0=x 处连续． (D) )(x f 在0=x 处可导．解：)(lim )(lim )0()(lim )0(000x f x x xf x F x F F x x x ---→→→--=-=-='，)(lim )(lim )0()(lim )0(000x f x x xf x F x F F x x x +++→→→+==-='．例5． 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,0,1sin )(4x x xx x f ，求)0(f ''． 解：因为 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=',0,0,0,1cos 1sin 4)(23x x xx x x x f 所以01cos 1sin4lim)0()(lim)0(2300=-='-'=''→→xx x x x x f x f f x x ． 例6．（2003）如果)(x f 在0x 处可导，)()()(000x f x x f x f -∆+=∆，则极限xx df x f x ∆-∆→∆)()(lim000 ．（微分概念）A ．等于)(0x f '．B ．等于1．C ．等于0．*D ．不存在．例7．（2006．16）设0)(>x f ，且导数存在，则=+∞→)()1(ln lima f n a f n n （ ）． A ． 0 B ． ∞ C ． )(ln a f ' D ． )()(a f a f ' 答：D分析：（本题是一元函数微分学题目．考查导数概念与复合函数的求导公式）根据导数定义，极限na f n a f a f n a f n n n )(ln )1(ln )()1(ln lim lim-+=+∞→∞→是复合函数)(ln x f y =在a 点的导数，所以其值为)()(a f a f '． 例8．（2008．17）若函数)(x f 可导，且2)0()0(='=f f ，则hh f h 2)(lim 20-→=（ ）．A ．0B ．1C ．22D ．4 分析：本题是微分学题，考查了连续概念和导数定义．2000()2()lim lim ()()(0)lim (()(0)((0) 4.h h h f h f h f h h hf h f f h hf f →→→--=+-='=+== 故正确选项为Ｄ．注：特殊值代入法．取()1)f x x =+，则(0)(0)f f '==，且22000()22lim 2lim 4h h h f h h h h h→→→-+===．故正确选项为Ｄ． 例9． 求下列函数的导数 （1）x x xx y ++=1，x xx xy 232121+-=' （2）)1ln(2x x y ++=,22211)1221(11xxx xx y +=++++='（3）)ln(arctan x y =，211arctan 1xx y +=' （4）)sin(y x y +=，)cos()1(y x y y +'+='，)cos(1)cos(y x y x y +-+='例10． 求下列函数的高阶导数（1）)(x e f y =，x x x x e e f e e f y )()(2'+''=''（2）0sin 21=+-y y x ， 3)cos 211(sin 21y yy --=''例11． 已知函数)(x y y =由0=+--xy e e x y 确定，求曲线)(x y y =在0=x 处的切线方程与法线方程．解：由 0=+--xy e e x y 得0='+++'-y x y e y e x y ，当 0=x 时，得 1)0(,0)0(-='=y y ，所以要求的切线与法线方程分别为x y x y =-=,．例．（样题）设函数ax e y =，则=)(n y [ ]．（求导运算） 例．（样题）设函数)1ln(2x y +=，则='')0(y [ ]．（求导运算） 例．（2004．16）如图，)(),(x g x f 是两个逐段线性的连续函数，设))(()(x g f x u =，则)1(u '的值为（ A ）． （函数求值、复合函数求导法、导数的几何意义）A ．43*B ．43-C ．121-D ．121分析：由)1())1(()1(g g f u ''='，41)3())1((,3)1(,3)1(-='='-='=f g f g g ，所以43)1(='u ．例．（2007．17）设1ln tan ln 22x y =-, 则 2y π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ B ）A ．1-B ．1C ．2D ．2816+π答：B ． 分析：211sec 22tan 2x y x'=⋅, 211sec 1242tan 4y πππ⎛⎫'=⋅= ⎪⎝⎭ 例．（2007．21）曲线1y x x=+上的点与单位圆221x y +=上的点之间的最短距离为d ，则（ ） A ．1d = B ．()0,1d ∈ C．d D．(d ∈ 答：D ．分析：因为该曲线上的点与单位圆周221x y +=上的点之间的最短距离, 等于原点到曲线的最短距离减圆的半径(常数)，而原点到曲线的最短距离的平方为： 题21图2222222211()22l x k x kx k x kx k x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭22≥=;其最小值*1l =<． 所求的最短距离为d ,满足条件：*1d l =-五、中值定理与导数应用[考试要求] 中值定理，导数的应用．（理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理；理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，掌握函数最大最小值的求法及简单应用；会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平和铅直渐近线；掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．） [内容综述] 1．中值定理（1）Fermat 定理：极值，极值点；可导极值点导数为零． （2）Rolle 定理：若),()(],,[)(b a D x f b a C x f ∈∈，且)()(b f a f =，则存在),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf ．（3）Lagrange 中值定理：若),()(],,[)(b a D x f b a C x f ∈∈，则存在),(b a ∈ξ，使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ2．洛必达法则 （1）00型：)()(lim )()(lim00x g x f x g x f x x x x ''=→→ （2）∞∞型：)()(lim)()(lim00x g x f x g x f x x x x ''=→→ （3）其他不定式（000,,1,,0∞∞-∞∞⋅∞） 3．函数的单调性与极值 （1）函数单调性的判别法步1 求出0)(='x f 和)(x f '不存在的点k x ；步2 利用点k x 将函数)(x f 的定义域分成几个小区间；步 3 在每个小区间上利用)(x f '的符号给出函数)(x f 的单调性结论．（2）函数极值点的求法注：不等式、等式、方程根的个数及最值问题． 4．函数的凹凸性和拐点（1）函数的凹凸性和拐点的概念 （2）函数凹凸性的判别法步1 求出0)(=''x f 和)(x f ''不存在的点k x ；步2 利用点k x 将函数)(x f 的定义域分成几个小区间；步3 在每个小区间上利用)(x f ''的符号给出函数)(x f 的凹凸性结论． （3）函数拐点的求法 5．曲线的渐近线（1）水平渐近线：A x f x =+∞→)(lim ，A y =（2）铅直渐近线：∞=→)(lim 0x f x x ，0x x =（3）斜渐近线：b ax y b ax x f a x x f x x +==-=+∞→+∞→,])([lim ,)(lim[典型例题] 例1．求下列极限 （1）xx xx x x sin cos lim0--→，3（2）xx x x sin 1sin lim20→，0（3）⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x x ln 11lim 1，21（4）x x x +→0lim ， 1（5）()1lim 12xx x →-，2e -（6）)1(2sin 21cos 1lim2220---→x x e x xx x ，31例2．（样题）极限=----→xx xe e x x x sin 2lim 0[ ]．（极限运算） 例3． 求函数212xx y +=的单调区间和极值点．解 222)1()1(2x x y +-='，由0='y 得1,121=-=x x ．单增区间为)1,1(-，单减区间为)1,(--∞和),1(+∞．11-=x 是极小值点，12=x 是极大值点．例4．（2003）设⎰-=x dt t t x f 02)1()(，则)(x f 的极值点的个数是 ．（导数应用）A ．0．B ．1．*C ．2．D ．3．例5．（2006．18）设正圆锥母线长为5，高为h ，底面圆半径为r ，在正圆锥的体积最大时，=hr （ ）． A ．221B ． 1C ． 2D ． 3 答：C分析：（本题是一元函数微分学与几何的简单综合题．考查了勾股定理、圆锥体积公式和比区间上函数的最值问题） 圆锥体积为 )5(3131222h h h r V -==ππ，所以由0)35(3122=-=h dh dV π得3252=h （易知这时体积最大），从而3505222=-=h r ，故2=hr ．例6． 当b a ,为何值时，点)3,1(可能为23bx ax y +=的拐点，此时函数的凹凸性如何？解 由点)3,1(在曲线上和拐点处的二阶导数为零，得⎩⎨⎧=+=+,026,3b a b a 解得 29,23=-=b a ．由于 )1(9x y -=''，所以)1,(-∞为函数的下凸区间，),1(+∞为函数的上凸区间，点)3,1(是23bx ax y +=的拐点．例7．（2006．20）如右图，曲线)(t f P =表示某工厂十年期间的产值变化情况，设)(t f 是可导函数，从图形上可以看出该厂产值的增长速度是（ ）．A ． 前两年越来越慢，后五年越来越快B ．前两年越来越快，后五年越来越慢C ．前两年越来越快，后五年越来越快D ．前两年越来越慢，后五年越来越慢 答：A分析：（本题是一元微分学题．考查了函数凹凸性与一阶导数单调性的关系）由图可知，前两年)(t f P =的图像上凸，二阶导小于零，一阶导单减；后五年)(t f P =的图像下凸，二阶导大于零，一阶导单增． 例．（2005．17）函数()12x xf x x x =--在(),-∞+∞上有（ ）．（渐近线）A ．1条垂直渐进线，1条水平渐进线B ．1条垂直渐进线，2条水平渐进线C ．2条垂直渐进线，1条水平渐进线D ．2条垂直渐进线，2条水平渐进线分析：因为1)(lim ,1)(lim ,)(lim ,)(lim 21-==∞=∞=-∞→+∞→→→x f x f x f x f x x x x ，所以曲线)(x f y =在(),-∞+∞上有2条垂直渐进线，2条水平渐进线．即正确选项为D ．例． 证明2arccos arcsin π=+x x ．简证 令2arccos arcsin )(π-+=x x x f ，则0)(≡'x f ，且0)0(=f ，所以0)(≡x f ，即2arccos arcsin π=+x x ．例．（2004．18）如下不等式成立的是（ B ）．（导数的应用：利用导数符号判断函数的单调性） A ．在)0,3(-区间上，)3ln(3ln x x +<- B ．在)0,3(-区间上，)3ln(3ln x x +>-* C ．在),0(+∞区间上，)3ln(3ln x x +>- D ．在),0[+∞区间上，)3ln(3ln x x +<-分析：令 3ln )3ln()(-++=x x x f ，则)3(034131)(->>++=++='x xxxx f ，又0)0(=f ，所以在)0,3(-区间上，有0)0()(=<f x f ，即)3l n (3ln x x +>-． 注：特殊值代入．例．（2003）方程x x x x cos sin 2+=的实根个数是 ．（导数应用） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答：B ．分析：本题是2003年的一道考题，主要考查了讨论方程实根个数的一般方法．记x x x x x f cos sin )(2--=，则)cos 2(sin cos sin 2)(x x x x x x x x f -=+--='．所以当)0,(-∞∈x 时，0)(<'x f ；当),0(+∞∈x 时，0)(>'x f ，故01)0(<-=f 是)(x f 的最小值．又因为+∞=+∞→)(lim x f x ，+∞=-∞→)(lim x f x ，所以方程0)(=x f 分别在)0,(-∞和),0(+∞上有且仅有一个实根．故正确选项为B ．例．（2006．19）设0>a ，则在[0，a]上方程041422022=-+-⎰⎰dt ta dt t a xa x 根的个数为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 答：B分析：（本题是一元微积分题．主要考查变限定积分的性质和连续函数的零点存在定理） 记dt t a dt t a x f xax⎰⎰-+-=22022414)(，则04)(,041)0(022022>-=<-=⎰⎰aadt t a a f dt t a f ，所以 0)(=x f 至少有一个根． 又因为 0414)(2222>-+-='xa x a x f ，所以0)(=x f 只有一个根．例．（2005．19）若()f x 的二阶导数连续，且()lim 1x f x →+∞''=，则对任意常数a 必有()()lim x f x a f x →+∞''+-⎡⎤⎣⎦=（ ）．（拉格朗日中值定理） A ． a B ．1 C ．0 D ． a ()f a ''分析：根据微分中值定理可知，存在介于x 和a x +之间的ξ使得af x f a x f )()()(ξ''='-+'．由于()li m 1x f x →+∞''=，所以a a f x f a x f x x =''='-+'+∞→+∞→)(lim )]()([lim ξ．即正确选项为A ．例．（2008．18）函数)(x f 在[]+∞,1上具有连续导数，且0)(lim='+∞→x f x ，则（ ）．A ．)(x f 在[]+∞,1上有界B ．)(limx f x +∞→存在 C ．))()2((lim x f x f x -+∞→存在 D ．0))()1((lim =-++∞→x f x f x 分析：本题是微分学题，考查了微分中值定理．根据拉格朗日中值定理得 lim[(1)()]lim ()0x x f x f x f ξ→+∞→+∞'+-==．故正确选项为Ｄ．注：特殊值代入法与排除法．取()f x '=，则l i m ()0x f x →+∞'=，且()f x =．易知选项Ａ，Ｂ不成立，又lim[(2)()]lim limx x x f x f x →+∞→+∞-===+∞，即选项Ｃ也不成立．故正确选项为Ｄ．六、不定积分[考试要求]理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质、基本积分公式；掌握不定积分的换元积分法与分部积分法． [内容综述]1．原函数与不定积分（1）原函数的定义；I x x f x F ∈=')()( （2）原函数的构造；（3）不定积分的定义：C x F dx x f +=⎰)()( （4）不定积分的性质； （5）基本积分公式 2．不定积分的换元积分法 （1）第一换元积分法（凑法）；Cx h G C u G du u g x h d x h g dx x h x h g dx x f +=+==='=⎰⎰⎰⎰))(()()())(())(()())(()(Cx xd x dx xxxdx +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰cos ln cos cos 1cos sin tan （2）第二换元积分法 例如：令 t a x sin =，则C x a x axa C x a a x a x a C t t t a dt t a tdta dx x a +-+=+-+=++=+==-⎰⎰⎰)arcsin (21)(arcsin 2)cos sin (2)2cos 1(2cos 22222222222223．不定积分的分部积分法：⎰⎰'-='dx x g x f x g x f dx x g x f )()()()()()( [典型例题]例1．已知)(x f 的一个原函数为2x e ，求⎰'dx x f x f )()(，⎰'dx x f x )(．解 C e x C x f dx x f x f x +=+='⎰22222)(21)()(C e e x dx x f x xf dx x f x x x +-=-='⎰⎰2222)()()(例3．（2005．20）设2ln x x 是()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '⎰=（ ）．（原函数概念、分部积分） A ． 3321ln 39x x x C ++ B ． 22ln x x x C -+C ． 22ln x x x C ++D ．322ln x x x C ++分析：由于()C x x dx x f x x x x x x f +=+='=⎰ln )(,ln 2ln )(22，所以C x x x dx x f x xf dx x f x ++=-='⎰⎰22ln )()()(．即正确选项为C ．例5． 设C x dx x xf +=⎰arctan )(，求⎰dx x f )(1． 解 因为 C x dx x xf +=⎰arctan )(， 所以 211)(xx xf +=．因此 C x x dx x x dx x f ++=+=⎰⎰4224121)1()(1 例6． dx xx x⎰-cos sin 2cos解Cx x dx x x dxx x x x dx x x x +-=+-=--=-⎰⎰⎰sin cos )cos (sin cos sin sin cos cos sin 2cos 22例8． dx xx ⎰-21arccos解 C x x d x dx x x+-=-=-⎰⎰22)(arccos 21)(arccos arccos 1arccos例9． ⎰dx xxsin ln cot 解 ⎰⎰=dx x x xdx x x )ln(sin sin cos sin ln cot ⎰=x x d sin ln )sin (ln C x +=sin ln ln例10． ⎰dx x xln 1解 C x x x d x dx x x +==⎰⎰ln ln 32)(ln ln ln 1 例11． ⎰+-dx e xx ln 23解 C e x d e dx e x dx e x x x xx+-=--==---+-⎰⎰⎰333331)(3132ln 2 例12． dx xx⎰+-11 解 dx x x ⎰+-11⎰--=dx xx211⎰--+=221)1(21arcsin x x d x C x x +-+=21arcsin例13． ⎰+xedx 1解 ⎰+xedx 1⎰+-+=dx e e e xx x 11⎰+-=dx ee x x )11(⎰++-=xx ee d x 1)1(C e x x ++-=)1ln(或⎰⎰⎰⎰+-=+=+xxxxx x x x e dee dee e dxe e dx1)1(1C e x x ++-=)1ln(例14． ⎰+dx xx 231解C x x dx x x dx x x dx x x ++-=+-+=+=+⎰⎰⎰))1ln((211112112112222222223例15⎰+241x x dx解 令 t x tan =，则 ⎰+241xxdx ⎰=dt tt 43sin cos⎰-=)(sin sin sin 142t d ttC tt ++-=sin 1sin 1313C x x xx ++++-=23321)1(31 例16． ⎰dx e x 3解 令 t x =3，则 dt e t dx et x⎰⎰=233[]⎰-=dt te e t t t 232C e te e t t t t ++-=6632C x x e x++-=)22(331323例17． ⎰dx xx )ln(ln 解 ⎰⎰+-==C x x x x d x dx xx ln )ln(ln ln )(ln )ln(ln )ln(ln例18． ⎰dx x )sin(ln解 因为⎰⎰-=dx xx x x x dx x 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰--=dx xx x x x x x 1)sin(ln )cos(ln )sin(ln 所以 C x x x dx x +-=⎰))cos(ln )(sin(ln 2)sin(ln七、定积分[考试要求] 理解定积分的概念、基本性质及定积分中值定理；理解变上限定积分函数及其求导公式，掌握牛顿-莱布尼兹公式；掌握定积分的换元积分法和分部积分法；掌握用定积分表达和计算一些几何量，如平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、截面面积已知的立体体积等． [内容综述] 1．定积分的概念（1）定积分的定义：∑⎰=-→-=n k k k k ba x x x f dx x f 110))((lim )(λ（2）定积分的几何意义；（3）函数可积的必要条件和充分条件：可积函数有界；连续函数可积．2．定积分的性质⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-是偶函数是奇函数)(,)(2)(,0)()()()()()()]()([)()()()(02121x f dx x f x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f k dx x f k dx x g k x f k dt t f dx x f dx x f dx x f aa abcc a b a ba b a b a ba b a ab b afab dxx f f a b f dx x f ba ba=-=-=⎰⎰)()())(()(ξξ 3．变限定积分函数（1）变限定积分函数的定义：⎰=xa dt t f x F )()( （2）变限定积分函数的性质① 连续性：)()()(lim )(lim 000x F dt t f dt t f x F xa x a xx x x ===⎰⎰→→② 可导性：)()()(x f dt t f x F x a ='⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎰)())(()()(,)()()()(x g x g f dt t f x F dt t f x F x g a x g a '='⎪⎭⎫ ⎝⎛='=⎰⎰ )())(()())(()()()()(,)()()()()()()()(x h x h f x g x g f dt t f dt t f dt t f x F dt t f x F x g a a x h x g x h x g x h '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛='=⎰⎰⎰⎰4．定积分的计算---牛顿-莱布尼兹公式：)()()(a F b F dx x f ba -=⎰ 5．定积分的换元积分法和分部积分法⎰⎰⎰⎰=='=)()()())(())(()())(()(b h a h b a b a b a du u g x h d x h g dx x h x h g dx x f ；⎰⎰'-='b a b a b adx x g x f x g x f dx x g x f )()()()()()(． 6．定积分的几何应用 （1）平面图形的面积 （2）旋转体的体积 （3）平面曲线的长度 [典型例题]例1．利用定积分的几何意义求： （1）⎰10xdx ， （2）⎰--a adx x a 22解 211=⎰xdx ，22221a dx x a a a π=-⎰- 例2．⎰--+2224)2(dx x x解 ππ4404244)2(222222222=+=-+-=-+⎰⎰⎰---dx x dx x x dx x x 例3．（2005．21）设连续函数()y f x =在[]0,a 内严格单调递增，且()00f =，()f a a =，若()g x 是()f x 的反函数，则()()()0af xg x dx +⎰=( )．（反函数概念、定积分几何意义） A ． ()()22f a g a + B ． ()2f a C ． ()02a f x dx ⎰ D ． ()02ag x dx ⎰分析：如图，根据定积分的几何意义可知：B dx x g dy y g A dx x f aa a ===⎰⎰⎰000)()(,)(，所以 )()]()([220a f a B A dx x g x f a==+=+⎰．即正确选项为B ．例4． 比较⎰10dx e x 与⎰102dx e x ，dx x x ⎰+101与dx x ⎰+10)1ln(的大小．解 因为当10≤≤x 时，2x x e e ≥，)1ln(1x xx+≤+， 所以≥⎰10dx e x ⎰102dx e x ，≤+⎰dx xx 101dx x ⎰+10)1ln(．例5． 求下列函数的导数 （1）⎰+=x dt ttx F 0cos 2sin )(， （2）⎰+=2cos 2sin )(x dt ttx F ，（3）⎰+=xdt txx F 0cos 2sin )(， （4）⎰-=202)()(x dt t x f x F ， （5）⎰+=32cos 2sin )(x x dt ttx F ， 解 （1）x x x F cos 2sin )(+='， （2）22cos 2sin 2)(xx x x F +='， （3）xxdt t x x F xcos 2sin cos 21cos )(0+++='⎰， （4）⎰⎰⎰=-=-=2220002)())(()()(x x x du u f du u f dt t x f x F ， )(2)(2x xf x F ='． （5）22332cos 2sin 2cos 2sin 3)(xx x xx x x F +-+='，（6）⎰+='2cos 2sin 2)(x dt ttx x F ， （7）⎰⎰==2001)()()(x xdu xu f dt xt f x F ， )(2)(1)(2022x f du u f xx F x +⎰-='．例7． 讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>--=⎰0,cos 10,30,1)1(2sin )(202x tdt x x x e e x f x xx 在0=x 处的连续性． 解 因为 21)1(2sin lim )(lim 0=--=++→→xx x x e e x f ，2)2(cos 2lim cos 1lim)(lim 2020200===---→→→⎰x tdt x x f x xx x ，所以 2)(lim 0=→x f x ，但3)0(=f ，因此)(x f 在0=x 处不连续，0=x 是它的一个可去型间断点．例8． 已知x dt t f x =⎰-)(103，求)7(f ．解 因为 x dt t f x =⎰-)(13，所以 1)1(332=-x f x ，取2=x ，得121)7(=f ． 例9． 已知21sin 1lim 220-=+-⎰→dt t t ax x x b x ，求b a ,的值． 解 因为0)(sin lim 0=-→ax x x ，21sin 1lim 220-=+-⎰→dt tt ax x x b x 所以 01lim 220=+⎰→dt tt xbx ，因此0=b ．又 a x x a x dt t tax x x x b x -=+-=+-=-→→⎰101cos 1lim 1sin 1lim 2220220， 所以 1=a ．例10．（样题）如果函数)(x f 在区间]1,0[上连续，且a dx x f =⎰1)(，则=⎰1)(1dx x f x[ ]．（积分运算）例11．（2006．21）如右图所示，函数)(x f 是以2为周期的连续周期函数，它在[0，2]上的图形为分段直线，)(x g 是线性函数，则⎰=2))((dx x g f （）．A ．1B ． 1C ． 2D ． 3答：B分析：（本题是一元函数积分题．考查了定积分的换元积分公式、定积分的几何意义和周期函数定积分的性质）根据图形可知 x x g 31)(+=，1)(20=⎰dx x f ，且函数)(x f 在每个长度为2的区间上的积分值相等，所以11331)(33131)())((20712=⨯⨯=⨯==⎰⎰⎰dx x f du u f dx x g f ． 例12．（2007．18）设函数()f x 可导，且()01f =，()ln f x x '-=，则()1f =（ A ）A ．12e --B ．11e --C ．11e -+D ．1e -答：A ．分析：由()ln f x x '-=, 利用变量置换ln t x =-得, ()t f t e -'=;11110(1)(0)()1tt f f f t dt e dt ee ---'-===-=-⎰⎰,再由()01f =, 求出11(1)(0)12f f e e --=+-=-． 法2：令ln t x =-, dxd t x=-, 10(1)(0)()f f f t dt '=+⎰11(0)(ln )e d xf f x x--'=+-⎰()11111112e d xxe e x---=-=--=-⎰例13．（2008．21）若x e -是)(x f 的一个原函数，则=⎰dx x f x )(ln 1212（ ）． A ．41- B ．-1 C ．41 D ．1 分析：本题是积分学题，考查了原函数概念和牛顿—莱布尼兹公式． 由于1()()x x x f x e e e --'==-=-，所以ln 11(ln )xf x e x =-=-，从而21232111111111(ln )2424f x dx dx x x x =-==-=-． 故正确选项为Ａ．例14．（2008．19）当0≥x 时，函数)(x f 可导，有非负的反函数)(x g ，且恒等式⎰-=)(121)(x f x dt t g 成立，则函数)(x f =（ ）． A ．12+x B ．12-x C ．12+x D ．2x分析：本题是积分学题，考查了变限定积分求导、反函数概念和定积分性质． 由()21()1f x g t dt x =-⎰，得()(())2f x gfx x '=，又(())gfx x =，所以()2f x '=，即()2f x x C =+． 又由()21()1f x g t dt x =-⎰知(1)21()110f g t dt =-=⎰，即(1)1f =，所以1C =-，故()21f x x =-．所以正确选项为Ｂ．注：本题也可以利用选项验证法求得正确选项． 若()21f x x =+，则1()(1)2g x x =-，所以211()212221111()(1)(1)124x f x x g t dt t dt t x x ++=-=-=≠-⎰⎰； 若()21f x x =-，则1()(1)2g x x =+，所以211()21221111()(1)(1)124x f x x g t dt t dt t x --=+=+=-⎰⎰．故正确选项为Ｂ． 例15． 计算下列定积分的值（1）⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=⎰]3,2(,21]2,1[,)(,)(31x x x x x f dx x f ．解 （1）411452321)(322131=+=+=⎰⎰⎰xdx xdx dx x f ．例16． 已知⎰-=221)(x t dt e x f ，求⎰10)(dx x xf．解111)(21)(21)(13102102104'-=⎰⎰-dxx f x x f x dx x xf x记住结论：⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f 例17． 求函数dt t t x f x )1()(2-=⎰的单调区间和极值点．解 由 0)1(2)(2=-='x x x x f ，得1,0,1321==-=x x x ． 当1-<x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调减小， 当01<<-x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调增加，11-=x 是)(x f 的一个极小值点，当10<<x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调减小，02=x 是)(x f 的一个极大值点，当1>x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调增加，1=x 是)(x f 的一个极小值点．例18． 求曲线22y y x -=与直线0=+y x 所围图形的面积．解 曲线22y y x -=与直线0=+y x 的交点为），33(),0,0(-，所以29)]()2[(302=---=⎰dy y y y S ． 例19． 求曲线2x y =及其在点)1,1(处的切线与x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V ．解 曲线2x y =在点)1,1(处的切线方程为 12)1(21-=-+=x x y ，此切线与x 轴的交点是)0,21(，所以所求的体积为πππ301)12(1212104=--=⎰⎰dx x dx x V ． 由 0)(0='x S ，得40=x ．由于当4<x 时，0)(<'x S ；当4>x 时，0)(>'x S ， 所以)4(S 最例20．（2004．17）过点)sin ,(p p 作曲线x y sin =的切线，设该曲线与切线及y 轴所围成的面积为1S ，曲线与直线p x =及x 轴所围成的面积为2S ，则（ D ）．（导数的几何意义、定积分的几何意义、洛必达法则） A ．31lim 2120=++→S S S p B ．21lim2120=++→S S S p C ．32lim2120=++→S S S p D ．1lim2120=++→S S S p *分析：由于2101[(sin cos ())sin ]sin cos cos 12pS p p x p x dx p p p p p =+--=-+-⎰， 20sin 1cos pS xdx p ==-⎰，所以200022121cos sin lim lim lim 111sin cos sin sin 22p p p S p pS S p p p p p p p +++→→→-===+-+．例21．（2004．20）如图，抛物线2)12(x y -=把曲线)0()(>-=b x b x y 与x 轴所构成的区域面积分为A S 与B S 两部分，则（ B ）．（定积分的几何意义）A ．B A S S < B ．B A S S =*C ．B A S S >D ．A S 与B S 的大小关系与b 的数值有关分析：解)()12(2x b x x -=-得2,021b x x ==．由于3202121])12()([(b dx x x b x S bA =---=⎰， 32202121)()12(b dx x b x dx x S b b bB =-+-=⎰⎰，所以B A S S =．。

第七章：微分方程主讲-----姜进进教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。

2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4．会用降阶法解下列微分方程：()()ny f x=，(,)y f x y'''+和(,)y f y y'''=5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。

9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。

教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程()()ny f x=，(,)y f x y'''+和(,)y f y y'''=3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

4、欧拉方程§7. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程.含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程。

专题3 一元函数积分学一、不定积分的有关概念1.原函数的定义如果)()(x f x F ='或dx x f x dF )()(=，则称)(x F 为)(x f 的一个原函数。

2.原函数存在定理如果)(x f 是连续函数，则它一定存在原函数。

3.原函数的性质若原函数存在，则原函数有无穷多个，且任意两个原函数之间相差一个常数。

4.不定积分的定义函数)(x f 的全体原函数C x F +)(称为)(x f 的不定积分，记作C x F dx x f +=⎰)()(。

5.不定积分的几何意义C x F dx x f +=⎰)()(表示一簇积分曲线，且横坐标相同的点切线平行，切线斜率为)()(x f x F k ='=。

二、不定积分的性质1.⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([；2.⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(；3.C x f dx x f +='⎰)()(或C x f x df +=⎰)()(； 4.)(])([x f dx x f ='⎰或dx x f dx x f d )(])([=⎰；例1 设)10(,tan 2cos )(sin 22<<+='x x x x f ，求)(x f 。

（答案：C x x x f +---=)ln()(12）例2 已知x 2csc 是)(x f 的一个原函数，求⎰dx x xf )(。

（答案：C x x x ++⋅cot csc 2）练习1 已知)(x f 的一个原函数是)1ln(2x x ++，求⎰'dx x f x )(。

练习2 设)(x F 是2x sin 的一个原函数，求)(2x dF 。

练习3 设xx xe e f -=')(，且01=)(f ，求)(x f 。

答案：练习1：C x x xx+++-+)ln(2211； 练习2：dx x x 42sin ⋅； 练习3：x 221ln 。