SAS学习系列37.时间序列分析报告Ⅰ—平稳性及纯随机性检验
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时序—序列平稳、纯随机性检验
上机练习一上机时间： 2012年09月28日学号 200930980106 姓名何斌年级专业 10统计1班数据：问题1：以下数据是1975-1980年某火山每月释放的CO2330.45 330.97 331.64 332.87 333.61 333.55331.90 330.05 328.58 328.31 329.41 330.63331.63 332.46 333.36 334.45 334.82 334.32333.05 330.87 329.24 328.87 330.18 331.50332.81 333.23 334.55 335.82 336.44 335.99334.65 332.41 331.32 330.73 332.05 333.53334.66 335.07 336.33 337.39 337.65 337.57336.25 334.39 332.44 332.25 333.59 334.76335.89 336.44 337.63 338.54 339.06 338.95337.41 335.71 333.68 333.69 335.05 336.53337.81 338.16 339.88 340.57 341.19 340.87339.25 337.19 335.49 336.63 337.74 338.36（1）绘制该序列时序图，并判断该序列是否平稳。
（2）绘制该样本自相关图，并解释该图形。
SAS程序代码如下：data co2;input num @@;time=intnx('month','01jan1975'd,_n_-1);format time monyy.;cards;330.45 330.97 331.64 332.87 333.61 333.55 331.90 330.05 328.58 328.31 329.41 330.63 331.63 332.46 333.36 334.45 334.82 334.32 333.05 330.87 329.24 328.87 330.18 331.50 332.81 333.23 334.55 335.82 336.44 335.99 334.65 332.41 331.32 330.73 332.05 333.53 334.66 335.07 336.33 337.39 337.65 337.57 336.25 334.39 332.44 332.25 333.59 334.76 335.89 336.44 337.63 338.54 339.06 338.95 337.41 335.71 333.68 333.69 335.05 336.53 337.81 338.16 339.88 340.57 341.19 340.87 339.25 337.19 335.49 336.63 337.74 338.36 ;proc gplot data=co2;plot num*time;symbol i=join v=star cv=red ci=green;proc arima data=co2;identify var=num nlag=24;run;得到该序列的时序图如下：结果分析：该序列有周期波动且有单调上升趋势，故初步判断该序列为非平稳序列。
时间序列数据的平稳性检验
（对全部t）
▪ 方差 var( yt ) E( yt )2 2（对全部t）
▪ 协方差 k E[( yt )( ytk )]（对全部t）
▪ 其中 k 即滞后k旳协方差[或自(身)协方差]，yt 是
和 ytk ，也就是相隔k期旳两值之间旳协方差。
6
▪ 三、伪回归现象 ▪ 将一种随机游走变量（即非平稳数据）对另一种
14
▪ I (1)过程在金融、经济时间序列数据中是最普遍 旳，而I (0)则表达平稳时间序列。
▪ 从理论与应用旳角度，DF检验旳检验模型有如下
旳三个：
Yt (1 )Yt1 ut 即 Yt Yt1 ut
（5.7）
Yt 1 (1 )Yt1 ut 即 Yt 1 Yt1 ut
（5.8）
随机游走变量进行回归可能造成荒唐旳成果，老 式旳明显性检验将告知我们变量之间旳关系是不 存在旳。 ▪ 有时候时间序列旳高度有关仅仅是因为两者同步 随时间有向上或向下变动旳趋势，并没有真正旳 联络。这种情况就称为“伪回归”（Spurious Regression）。
7
第二节 平稳性检验旳详细措施
一、单位根检验 ▪ （一）单位根检验旳基本原理 ▪ David Dickey和Wayne Fuller旳单位根检验
34
▪ Johansen协整检验有两个检验统计量：
▪ ①迹检验统计量trace ：
g
▪ trace=-T ln(1-ˆi)，其中r为假设旳协整关系旳 i=r+1 个数，ˆi 为 旳第i个特征值旳估计值（下同）。 相应旳零假设是：H0：协整关系个数不不小于等
于r；被择Байду номын сангаас设：H1：协整关系个数不小于r。
yt yt-k+1yt-1+2yt-2+...k-1yt-(k-1)+ut （5.12）
时间序列平稳性检验
时间序列平稳性检验分析姓名xxx学院xx学院专业xxxx学号xxxxxxxxxx时间序列平稳性分析检验时间序列是一个计量经济学中的概念，时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列数据的平稳性问题。
一、时间序列平稳性的定义假定某个时间序列是由某一随机过程(stochasticprocess)生成的，即假定时间序列{Xt}(t=1,2,•)•的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：1)均值E(Xt)=u是与时间t无关的常数；2)方差Var(Xt)=o2是与时间t无关的常数；3)协方差Cov(Xt,Xt+k尸条是只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数。
则称该随机时间序列是平稳的(stationary),而该随机过程是一平稳随机过程(stationary stochasticprocess)。
eg:一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：Xt=Mt,Mt~N(0,o2)该序列常被称为是一个白噪声。
由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零，由定义，一个白噪声序列是平稳的。
eg:另一个简单的随机时间列序被称为随机游走，该序列由如下随机过程生成：Xt=Xt-1+」t这里，出是一个白噪声。
容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的初值为X0,则易知X1=X0+」1X2=X1+」2=X0+J1+J2xt=X0+出+也++M由于X0为常数，%是一个白噪声，因此Var(Xt)=to2即Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列二、时间序列平稳性检验的方法对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。
但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关(autocorrelation),导致DF检验无效。
时间序列的平稳性及其检验.ppt
（b）
图形表示出：该序列具有相同的均值， 但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速 下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波 动且呈发散趋势。
样本自相关系数显示：r1=0.48，落在 了区间[-0.4497, 0.4497]之外，因此在5% 的显著性水平上拒绝1的真值为0的假设。
该随机游走序列是非平稳的。
(2)
(Xi X)2 / n
依概率收敛：Plim((X i X )2 / n) Q n
第（1）条是OLS估计的需要
第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致
性”特性： P lim(ˆ) n
注意：在双变量模型中：
ˆ xiui xiui / n
xi2
xi2 / n
因此：
Xt=Xt-1+t 生成的一随机游走时间序列样本。 其中，第0项取值为0， t是由Random1表示的白噪声。
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 RANDOM2
（a）
1.2
0.8
0.4
0.0
-0.4
-0.8 2 4 6 8 10 12 14 16 18 RANDOM2AC
2 4 6 8 10 12 14 16 18 RANDOM1AC
（b）
由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存 在序列相关性，因此该序列为一白噪声。
• 根据Bartlett的理论：k~N(0,1/19)
因此任一rk(k>0)的95%的置信区间都将是
[Z0.025 • , Z0.025 • ] [1.96 1/19 ,1.96 1/19 ] [0.4497 ,0.4497 ]
P lim
图形表示出：该序列具有相同的均值， 但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速 下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波 动且呈发散趋势。
样本自相关系数显示：r1=0.48，落在 了区间[-0.4497, 0.4497]之外，因此在5% 的显著性水平上拒绝1的真值为0的假设。
该随机游走序列是非平稳的。
(2)
(Xi X)2 / n
依概率收敛：Plim((X i X )2 / n) Q n
第（1）条是OLS估计的需要
第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致
性”特性： P lim(ˆ) n
注意：在双变量模型中：
ˆ xiui xiui / n
xi2
xi2 / n
因此：
Xt=Xt-1+t 生成的一随机游走时间序列样本。 其中，第0项取值为0， t是由Random1表示的白噪声。
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 RANDOM2
（a）
1.2
0.8
0.4
0.0
-0.4
-0.8 2 4 6 8 10 12 14 16 18 RANDOM2AC
2 4 6 8 10 12 14 16 18 RANDOM1AC
（b）
由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存 在序列相关性，因此该序列为一白噪声。
• 根据Bartlett的理论：k~N(0,1/19)
因此任一rk(k>0)的95%的置信区间都将是
[Z0.025 • , Z0.025 • ] [1.96 1/19 ,1.96 1/19 ] [0.4497 ,0.4497 ]
P lim
SAS讲义 第四十课平稳时间序列分析
第四十课 平稳时间序列分析对时间序列数据的分析，首先要对它的平稳性和纯随机性进行检验。
根据检验的结果可以将序列分为不同的类型，对不同类型的序列将会采用不同的分析方法。
如果一个时间序列被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴涵着相关信息的平稳序列。
在统计上，我们通常是建立一个线性模型来拟合该序列的发展，借此提取该序列中被蕴涵着有用信息。
目前，最常用的拟合平稳序列的模型是ARMA （Auto Regression Moving Average ）模型。
一、 平稳性检验1. 严平稳和宽平稳平稳时间序列有两种定义，根据限制条件的严格程度，分为:● 严平稳时间序列（strictly stationary ）—指序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化。
● 宽平稳时间序列（week stationary ）—指序列的统计性质只要保证序列的二阶矩平稳就能保证序列的主要性质近似稳定。
如果在任取时间t 、s 和k 时，时间序列t X 满足如下三个条件：∞<2t EX(40.1) μ=t EX(40.2) ))(())((t s k t s k k k s s t t X X E X X E -+-+--=--μμμμ(40.3)则称为宽平稳时间序列。
也称为弱平稳或二阶平稳。
对于正态随机序列而言，由于联合概率分布仅由均值向量和协方差阵决定，即只要二阶矩平稳，就等于分布平稳了。
2. 平稳时间序列的统计性质根据平稳时间序列的定义，可以推断出两个重要的统计性质： ● 常数均值。
即式(40.2)的条件。
● 自协方差只依赖于时间的平均长度。
即式(40.3)的条件。
如果定义自协方方差函数（autocovariance function ）为：))((),(s s t t X X E s t μμγ--=(40.4)那么它可由二维函数简化为一维函数)(t s -γ，由此引出延迟k 自协方差函数：),()(k t t k +=γγ(40.5)容易推断出平稳时间序列一定具有常数方差：)0(),()(2γγμ==-=t t X E Dx t t t (40.6)如果定义时间序列自相关函数（autocorrelation function ），简记为ACF ：st s s t t DX DX X X E s t ⋅--=))((),(μμρ(40.7)由延迟k 自协方差函数的概念可以等价得到延迟k 自相关函数的概念：)0()()0()0()())(()(r k r k DX DX X X E k kt t k t k t t t ==⋅--=+++γγγμμρ (40.8)容易验证自相关函数具有几个基本性质： ● 1)0(=ρ； ●)()(k k ρρ=-；● 自相关阵为对称非负定阵； ● 非惟一性。
时间序列的预处理(平稳性检验和纯随机性检验)
自相关图、白噪声检验等。
1、时序图的绘制
在SAS系统中，使用GPLOT程序可以绘 制多种精美的时序图。
可以设置坐标轴、图形颜色、观察值点 的形状及点之间的连线方式等
例2-1
data example2_1;
input price1 price2;
time=intnx('month','01jul2004'd,_n_-1);
format time date.;
cards;
12.85 15.21
13.29 14.23
12.41 14.69
15.21 13.27
14.23 16.75
13.56 15.33
;
proc gplot data= example2_1; \\绘图过程开始
plot price1*time=1 price2*time=2/overlay; //确定纵横轴，按两种
时间序列分析之
试验二
时间序列的预处理 （平稳性检验和纯随机性检验）
一、平稳性检验
时序图检验
根据平稳时间序列的均值、方差
及周期特征。
自相关图检验
根据平稳时间序列的短期相关性， 其自相关图中随着延迟期数 的增加，自相关系数会很快 地衰减向零。
cards;
97 154 137.7 149 164 157 188 204 179 210 202 218 209
204 211 206 214 217 210 217 219 211 233 316 221 239
215 228 219 239 224 234 227 298 332 245 357 301 389
平稳时间序列的时序图与自相关图
1、时序图的绘制
在SAS系统中，使用GPLOT程序可以绘 制多种精美的时序图。
可以设置坐标轴、图形颜色、观察值点 的形状及点之间的连线方式等
例2-1
data example2_1;
input price1 price2;
time=intnx('month','01jul2004'd,_n_-1);
format time date.;
cards;
12.85 15.21
13.29 14.23
12.41 14.69
15.21 13.27
14.23 16.75
13.56 15.33
;
proc gplot data= example2_1; \\绘图过程开始
plot price1*time=1 price2*time=2/overlay; //确定纵横轴，按两种
时间序列分析之
试验二
时间序列的预处理 （平稳性检验和纯随机性检验）
一、平稳性检验
时序图检验
根据平稳时间序列的均值、方差
及周期特征。
自相关图检验
根据平稳时间序列的短期相关性， 其自相关图中随着延迟期数 的增加，自相关系数会很快 地衰减向零。
cards;
97 154 137.7 149 164 157 188 204 179 210 202 218 209
204 211 206 214 217 210 217 219 211 233 316 221 239
215 228 219 239 224 234 227 298 332 245 357 301 389
平稳时间序列的时序图与自相关图
平稳性检验与纯随机性检验综述
Barlett定理
如果一个时间序列是纯随机的，得到一 个观察期数为n 的观察序列，那么该序列 的延迟非零期的样本自相关系数将近似 服从均值为零，方差为序列观察期数倒 数的正态分布
ˆ k
~
N (0, 1 ) n
,k 0
假设条件
原假设：延迟期数小于或等于m 期的序列 值之间相互独立
H 0：1 2 m 0, m 1
3) (t, s) (k, k s t)，t, s, k且k s t T
严平稳与宽平稳的关系
一般关系
严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下，严平 稳（低阶矩存在）能推出宽平稳成立，而宽平稳序 列不能反推严平稳成立
特例
不存在低阶矩的严平稳序列不满足宽平稳条件，例 如服从柯西分布的严平稳序列就不是宽平稳序列
标准正态白噪声序列时序图
白噪声序列的性质
纯随机性
(k) 0，k 0
各序列值之间没有任何相关关系，即为 “没有记 忆”的序列
方差齐性(平稳)
DX t (0) 2
根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用 最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有 效的
纯随机性检验
检验原理 假设条件 检验统计量 判别原则
时序图检验
根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质， 平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在 一个常数值附近随机波动，而且波动的范围 有界、无明显趋势及无周期特征
自相关图检验
平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自 相关系数来描述就是随着延迟期数的增加， 平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零
例题
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Sunday, October 25, 202025-
实验一：时间序列平稳性检验实验报告
课程论文
（2016 / 2017学年第 1 学期）
课程名称应用时间序列分析
指导单位经济学院
指导教师易莹莹
学生姓名班级学号
学院(系) 经济学院专业经济统计学
实验一时间序列数据平稳性检验实验指导
一、实验目的：
理解经济时间序列存在的不平稳性，掌握对时间序列平稳性检验的步骤和各种方法，认识利用不平稳的序列进行建模所造成的影响。
二、基本概念：
如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数，并且在任何两时期的协方差值仅依赖于该两个时期间的间隔，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，就称它是宽平稳的。
时序图
ADF检验
PP检验
三、实验任务：
1、实验内容：
用Eviews来分析1964年到1999年中国纱产量的时间序列，主要内容：
（1）通过时序图看时间序列的平稳性，这个方法很直观，但比较粗糙；
（2）通过计算序列的自相关和偏自相关系数，根据平稳时间序列的性质观察其平稳性；（3）进行纯随机性检验；
（4）平稳性的ADF检验；
（5）平稳性的PP检验。
2、实验要求：
（1）理解不平稳的含义和影响；
（2）熟悉对序列平稳化处理的各种方法；
（2）对相应过程会熟练软件操作，对软件分析结果进行分析。
四、实验要求：
实验过程描述（包括变量定义、分析过程、分析结果及其解释、实验过程遇到的问题及体会）。
实验题：试对1964-1999年中国纱年产量序列（单位：万吨）来判断其是否平稳。
间序列的平稳性及其检验
因此： P li m ˆP li m xiui/n0
n
P lim xi2/n Q
▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势）， 则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基 于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
⒊ 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” 问题
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却 有很高的相关性（有较高的R2)：
Xt
Xt
t
t
(a)
(b)
图9.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图
• 进一步的判断: 检验样本自相关函数及其图形
定义随机时间序列的自相关函数（autocorrelation function, ACF）如下：
k=k/0 分子是时间序列之后K期的协方差，分母是方差， 因此自相关函数是关于滞后期k的递减函数(Why）
间序列的平稳性及其检验
§9.1 时间序列的平稳性及其检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归 模型
二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的图示判断 四、平稳性的单位根检验 五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
一、问题的引出：非平稳变量与经典 回归模型
⒈常见的数据类型
到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有： • 时间序列数据（time-series data)； • 截面数据(cross-sectional data) • 平行/面板数据（panel data/time-series cross-section
Xt= 1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k +t 该随机过程平稳性条件将在第二节中介绍。
三、平稳性检验的图示判断
• 给出一个随机时间序列，首先可通过该 序列的时间路径图来粗略地判断它是否 是平稳的。
SAS学习系列37.时间序列分析报告Ⅰ—平稳性及纯随机性检验
37. 时间序列分析Ⅰ—平稳性及纯随机性检验（一）基本概念一、什么是时间序列？为了研究某一事件的规律，依据时间发生的顺序将事件在多个时刻的数值记录下来，就构成了一个时间序列。
对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的发展趋势就是时间序列分析。
例如，国家或地区的年度财政收入，股票市场的每日波动，气象变化，工厂按小时观测的产量等等。
注：随温度、高度等变化而变化的离散序列，也可以看作时间序列。
二、时间序列的特点（1）顺序性；（2）随机性；（3）前后时刻（不一定相邻）的依存性；（4）整体呈趋势性和周期性。
三、时间序列的分类按研究对象的数目：一元时间序列、多元时间序列；按序列统计特性：平稳时间序列、非平稳时间序列；按分布规律：高斯时间序列、非高斯时间序列。
四、研究方法1. 平稳时间序列分析；2. 非平稳时间序列分析（确定性分析、随机性分析）。
五、其它任何时间序列经过合理的函数变换后都可以被认为是由下列三部分叠加而成：（1）趋势项部分；（2）周期项部分；（3）随机项部分（随机信号、随机噪声）图1. 四种趋势：线性、二次、指数增长、S型例如，手机销售的月记录按年增长（趋势项）；按季节周期波动（周期项）；随机信号和随机噪声。
时间序列分析的主要任务就是：上面三部分分解出来，是研究平稳随机过程的变化规律，建立特定的ARIMA 模型（要求大体平稳、可能含有周期但不能有规则性的线性指数等类型趋势项）。
六、方法性工具1. 差分运算 （1）k 步差分间隔k 期的观察值之差：Δk =x t -x t-k （2）p 阶差分Δx t =x t -x t-1称为一阶差分；1110(1)ppp p i i t t t p t p i i x x x C x ---+-=∆=∆-∆=-∑称为p 阶差分；SAS 函数实现：diff n (x ) 2. 延迟算子延迟算子作用于时间序列，时间刻度减小1个单位（序列左移一位）： B x t =x t-1, ……, B p x t =x t-p .SAS 函数实现：lag n (x )用延迟算子表示k 步差分和p 阶差分为：Δk =x t -x t-k =(1-B k ) x t0()(1)pppp i t p t i i x I B C x -=∆=-=-∑（二）平稳时间序列一、概念平稳时间序列按限制条件的严格程度，分为严平稳时间序列：序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化；宽平稳时间序列：序列的主要性质近似稳定，即统计性质只要保证序列的二阶矩平稳，即对任意的时间t ，s ，k ，序列X t 满足：二、平稳时间序列的统计性质（1）均值为常数；（2）自协方差只依赖于时间跨度； 若定义自协方差函数为γ(t ,s ) = E(X t -μt )( X s -μs )则可由二元函数简化为一元函数γ(t -s )，得延迟k 自协方差函数：γ(k )= γ(t ,t +k )由此易知平稳时间序列必具有常数方差：D(X t )= E(X t -μt )2=γ(t ,t )= γ(0)时间序列自相关函数：(,)t s ρ=延迟k 自相关函数：()()(0)k k γργ===基本性质： （1）ρ(0)=1;（2）ρ(-k)= ρ(k);（3）自相关阵为对称负定阵；（4）非唯一性。
数据的平稳性及其检验
时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内
容，并广泛应用于经济分析与预测当中。
.
8
二、时间序列数据的平稳性
.
9
时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列
数据的平稳性问题。
假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic
process）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …） 的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果
Xt= 1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k 该随机过程平稳性条件将在第二节中介绍。
.
14
三、平稳性检验的图示判断
.
15
• 给出一个随机时间序列，首先可通过该 序列的时间路径图来粗略地判断它是否 是平稳的。
• 一个平稳的时间序列在图形上往往表现 出一种围绕其均值不断波动的过程；
• 而非平稳序列则往往表现出在不同的时 间段具有不同的均值（如持续上升或持 续下降）。
不难验证:1)||>1时，该随机过程生成的时间序列是
发散的，表现为持续上升(>1)或持续下降(<-1)，
因此是非平稳的；
.
13
2)=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。
第二节中将证明:只有当-1<<1时，该随机过程 才是平稳的。
• 1阶自回归过程AR(1)又是如下k阶自回归AR(K)过 程的特例：
(2)
(Xi X)2/n
依概率收敛： P li(m (X iX )2/n )Q n
.
5
第（1）条是OLS估计的需要
第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致
性”特性P：lim(ˆ) n
注意：在双变量模型中：
ˆxiui xiui/n
容，并广泛应用于经济分析与预测当中。
.
8
二、时间序列数据的平稳性
.
9
时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列
数据的平稳性问题。
假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic
process）生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …） 的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果
Xt= 1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k 该随机过程平稳性条件将在第二节中介绍。
.
14
三、平稳性检验的图示判断
.
15
• 给出一个随机时间序列，首先可通过该 序列的时间路径图来粗略地判断它是否 是平稳的。
• 一个平稳的时间序列在图形上往往表现 出一种围绕其均值不断波动的过程；
• 而非平稳序列则往往表现出在不同的时 间段具有不同的均值（如持续上升或持 续下降）。
不难验证:1)||>1时，该随机过程生成的时间序列是
发散的，表现为持续上升(>1)或持续下降(<-1)，
因此是非平稳的；
.
13
2)=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。
第二节中将证明:只有当-1<<1时，该随机过程 才是平稳的。
• 1阶自回归过程AR(1)又是如下k阶自回归AR(K)过 程的特例：
(2)
(Xi X)2/n
依概率收敛： P li(m (X iX )2/n )Q n
.
5
第（1）条是OLS估计的需要
第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致
性”特性P：lim(ˆ) n
注意：在双变量模型中：
ˆxiui xiui/n
数据的平稳性及其检验
1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数；
3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关， 与时间t 无关的常数；
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该 随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
（b）
图形表示出：该序列具有相同的均值， 但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速 下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波 动且呈发散趋势。
样本自相关系数显示：r1=0.48，落在 了区间[-0.4497, 0.4497]之外，因此在5% 的显著性水平上拒绝1的真值为0的假设。
该随机游走序列是非平稳的。
不难验证:1)||>1时，该随机过程生成的时间序列是 发散的，表现为持续上升(>1)或持续下降(<-1)， 因此是非平稳的；
2)=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。
第二节中将证明:只有当-1<<1时，该随机过程 才是平稳的。
• 1阶自回归过程AR(1)又是如下k阶自回归AR(K)过 程的特例：
0.059 3.679 4.216 6.300 7.297 11.332 12.058 15.646 17.153 18.010 22.414 22.481 24.288 25.162 26.036 26.240 26.381
-0.031 0.157 0.264 -0.191 -0.616 -0.229 -0.385 -0.181 -0.521 -0.364 -0.136 -0.451 -0.828 -0.884 -0.406 -0.162 -0.377 -0.236 0.000
1.000 0.480 0.018 -0.069 0.028 -0.016 -0.219 -0.063 0.126 0.024 -0.249 -0.404 -0.284 -0.088 -0.066 0.037 0.105 0.093
3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关， 与时间t 无关的常数；
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该 随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
（b）
图形表示出：该序列具有相同的均值， 但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速 下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波 动且呈发散趋势。
样本自相关系数显示：r1=0.48，落在 了区间[-0.4497, 0.4497]之外，因此在5% 的显著性水平上拒绝1的真值为0的假设。
该随机游走序列是非平稳的。
不难验证:1)||>1时，该随机过程生成的时间序列是 发散的，表现为持续上升(>1)或持续下降(<-1)， 因此是非平稳的；
2)=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。
第二节中将证明:只有当-1<<1时，该随机过程 才是平稳的。
• 1阶自回归过程AR(1)又是如下k阶自回归AR(K)过 程的特例：
0.059 3.679 4.216 6.300 7.297 11.332 12.058 15.646 17.153 18.010 22.414 22.481 24.288 25.162 26.036 26.240 26.381
-0.031 0.157 0.264 -0.191 -0.616 -0.229 -0.385 -0.181 -0.521 -0.364 -0.136 -0.451 -0.828 -0.884 -0.406 -0.162 -0.377 -0.236 0.000
1.000 0.480 0.018 -0.069 0.028 -0.016 -0.219 -0.063 0.126 0.024 -0.249 -0.404 -0.284 -0.088 -0.066 0.037 0.105 0.093
时间序列数据的平稳性检验
23
▪ （4）如果Xt~ I (0)，Yt~ I (1)，则aXt+bYt是I (1)， 即I (1)具有占优势的性质。
▪ （5）如果Xt和Yt都是I (1)，则aXt+bYt一般情况下 是I (1)，但不保证一定是I (1)。如果该线性组合是 I (0)，Xt和Yt就是协整的，a、b就是协整参数。
第五章 时间序列数据的平稳性检验
1
本章要点
▪ 平稳性的定义 ▪ 平稳性的检验方法（ADF检验） ▪ 伪回归的定义 ▪ 协整的定义及检验方法（AEG方法） ▪ 误差修正模型的含义及表示形式
2
第一节 随机过程和平稳性原理
▪ 一、随机过程
▪ 一般称依赖于参数时间t的随机变量集合{ y t }为随
机过程。 ▪ 例如，假设样本观察值y1，y2…,yt是来自无穷随机
18
▪ （1）渐进t检验。该种方法是首先选择一个较 大的m值，然后用t检验确定系数是否显著，如 果是显著的，则选择滞后项数为m;如果不显著， 则减少m直到对应的系数值是显著的。
▪ （2）信息准则。常用的信息准则有AIC信息准 则、SC信息准则，一般而言，我们选择给出了 最小信息准则值的m值
19
▪ 二、非平稳性数据的处理 ▪ 一般是通过差分处理来消除数据的不平稳性。
变量序列…y-2, y-1,y0 ,y1 ,y2 …的一部分，则这个 无穷随机序列称为随机过程。
3
▪ 随机过程中有一特殊情况叫白噪音，其定义
如下：如果随机过程服从的分布不随时间改
变，且
E(yt ) 0
（对所有t）
v a r(y t) E (y t2 )y 2 常 数（对所有t）
c o v (y t,y s) E (y t*y s) 0 （ t s ）
▪ （4）如果Xt~ I (0)，Yt~ I (1)，则aXt+bYt是I (1)， 即I (1)具有占优势的性质。
▪ （5）如果Xt和Yt都是I (1)，则aXt+bYt一般情况下 是I (1)，但不保证一定是I (1)。如果该线性组合是 I (0)，Xt和Yt就是协整的，a、b就是协整参数。
第五章 时间序列数据的平稳性检验
1
本章要点
▪ 平稳性的定义 ▪ 平稳性的检验方法（ADF检验） ▪ 伪回归的定义 ▪ 协整的定义及检验方法（AEG方法） ▪ 误差修正模型的含义及表示形式
2
第一节 随机过程和平稳性原理
▪ 一、随机过程
▪ 一般称依赖于参数时间t的随机变量集合{ y t }为随
机过程。 ▪ 例如，假设样本观察值y1，y2…,yt是来自无穷随机
18
▪ （1）渐进t检验。该种方法是首先选择一个较 大的m值，然后用t检验确定系数是否显著，如 果是显著的，则选择滞后项数为m;如果不显著， 则减少m直到对应的系数值是显著的。
▪ （2）信息准则。常用的信息准则有AIC信息准 则、SC信息准则，一般而言，我们选择给出了 最小信息准则值的m值
19
▪ 二、非平稳性数据的处理 ▪ 一般是通过差分处理来消除数据的不平稳性。
变量序列…y-2, y-1,y0 ,y1 ,y2 …的一部分，则这个 无穷随机序列称为随机过程。
3
▪ 随机过程中有一特殊情况叫白噪音，其定义
如下：如果随机过程服从的分布不随时间改
变，且
E(yt ) 0
（对所有t）
v a r(y t) E (y t2 )y 2 常 数（对所有t）
c o v (y t,y s) E (y t*y s) 0 （ t s ）
平稳时间序列分析
平稳时间序列分析平稳时间序列分析是一种常用的时间序列分析方法，它旨在研究时间序列在均值和方差上的稳定性，并将其用于预测未来的数据走势。
本文将详细介绍平稳时间序列分析的基本概念、建模方法和预测技术。
首先，让我们来了解什么是时间序列。
时间序列是按照一定的时间间隔收集到的一系列数据点的有序集合，它可以是连续的或离散的。
时间序列分析的目的是通过对过去的数据进行统计分析，揭示出时间序列中的内在规律和趋势，并预测未来的数据走势。
平稳时间序列是指在统计意义上具有稳定性的时间序列，即其均值和方差保持恒定不变。
平稳时间序列具有以下特点：1）均值是常数，不随时间变化；2）方差是常数，不随时间变化；3）协方差只与时间间隔有关，与具体的时间点无关。
为了实现平稳时间序列分析，我们需要进行以下几个步骤：1. 数据准备：收集所需的时间序列数据，并将其整理成适合分析的格式。
通常，我们会绘制时间序列图以直观地查看数据的趋势和模式。
2. 时间序列分解：时间序列通常包含趋势、季节性和随机成分。
我们需要对时间序列进行分解，将其分解为这些组成部分。
常用的分解方法有经典的加性模型和乘性模型。
3. 平稳性检验：对于时间序列分析，我们需要确保数据是平稳的。
平稳性检验的目的是判断时间序列的均值和方差是否是稳定的。
常用的平稳性检验方法有ADF检验、KPSS检验等。
4. 模型建立：如果时间序列被证实是平稳的，我们可以根据数据的模式和趋势选择适当的模型。
常用的模型包括自回归滑动平均模型（ARMA模型）、自回归积分滑动平均模型（ARIMA模型）等。
5. 模型识别与估计：在模型建立的基础上，我们需要对模型进行识别和估计。
模型识别的目的是选择最适合数据的模型阶数，常用的方法有自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的分析。
模型的估计通常使用最大似然估计方法。
6. 模型检验：建立模型后，我们需要对模型进行检验，验证其拟合程度和预测准确度。
常用的模型检验方法有残差分析、DW检验、Ljung-Box检验等。
SAS 时间序列分析
试验六时间序列分析一、实验目的：学习时间序列数据分析技巧，了解ARIMA模型。
二、实验内容：47年1季度到96年3季度美国国民生产总值的季度数据。
三、实验要求：写出分析报告。
四、实验软件：SAS系统。
一般实验流程：1）平稳性检验方法：时序图、自相关系数和自相关图检验、单位根检验2）模型识别方法：利用自相关系数、偏相关系数图进行模型识别；计算扩展的样本自相关函数并利用其估计值进行模型识别；利用最小信息准则进行模型识别；利用典型相关系数平方估计值进行模型识别；3）模型的参数估计及检验检验拟合性、参数估计显著性、残差项无自相关性（残差项白噪声检验）4）模型的预测例题实验步骤：1）建立数据集data exp3;input gnp@@;date=intnx('qtr','1jan47'd,_n_-1);format date yyqc.;cards;227.8 231.7 236.1 246.3 252.6 259.9 266.8 268.1 263.0 259.5 261.2 258.9 269.6 279.3 296.9 308.4 323.2 331.1337.9 342.3 345.3 345.9 351.7 364.2 371.0 374.5 373.7368.7 368.4 368.7 373.4 381.9 394.8 403.1 411.4 417.8420.5 426.0 430.8 439.2 448.1 450.1 457.2 451.7 444.4448.6 461.8 475.0 499.0 512.0 512.5 516.9 530.3 529.2532.2 527.3 531.8 542.4 553.2 566.3 579.0 586.9594.1597.7 606.8 615.3 628.2 637.5 654.5 663.4 674.3 679.9701.2 713.9 730.4 752.6 775.6 785.2 798.6 812.5 822.2828.2 844.7 861.2 886.5 910.8 926.0 943.6 966.3 979.9999.3 1008.0 1020.3 1035.7 1053.8 1058.4 1104.2 1124.9 1144.41158.8 1198.5 1231.8 1256.7 1297.0 1347.9 1379.4 1404.4 1449.71463.9 1496.8 1526.4 1563.2 1571.3 1608.3 1670.6 1725.3 1783.51814.0 1847.9 1899.0 1954.5 2026.4 2088.7 2120.4 2166.8 2293.72356.2 2437.0 2491.4 2552.9 2629.7 2687.5 2761.7 2756.1 2818.82941.5 3076.6 3105.4 3197.7 3222.8 3221.0 3270.3 3287.8 3323.83388.2 3501.0 3596.8 3700.3 3824.4 3911.3 3975.6 4022.7 4100.44158.7 4238.8 4306.2 4376.6 4399.4 4455.8 4508.5 4573.1 4655.54731.4 4845.2 4914.5 5013.7 5105.3 5217.1 5329.2 5423.9 5501.35557.0 5681.4 5767.8 5796.8 5813.6 5849.0 5904.5 5959.4 6016.66138.3 6212.2 6281.1 6390.5 6458.4 6512.3 6584.8 6684.5 6773.66876.3 6977.6 7062.2 7140.5 7202.4 7293.4 7344.3 7426.6 7537.57593.6;run;注：Intnx函数按间隔递增日期，Intnx函数计算某个区间经过若干区间间隔之后的间隔的开始日期或日期时间值，其中开始间隔内的一个日期或日期时间值给出。
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37.时间序列分析I—平稳性及纯随机性检验（一）基本概念一、什么是时间序列？为了研究某一事件的规律，依据时间发生的顺序将事件在多个时刻的数值记录下来，就构成了一个时间序列。
对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的发展趋势就是时间序列分析。
例如，国家或地区的年度财政收入，股票市场的每日波动，气象变化，工厂按小时观测的产量等等。
注：随温度、高度等变化而变化的离散序列，也可以看作时间序列。
二、时间序列的特点（1）顺序性；（2）随机性；（3）前后时刻（不一定相邻）的依存性；（4）整体呈趋势性和周期性。
三、时间序列的分类按研究对象的数目：一元时间序列、多元时间序列；按序列统计特性：平稳时间序列、非平稳时间序列；按分布规律：高斯时间序列、非高斯时间序列。
四、研究方法1. 平稳时间序列分析；2. 非平稳时间序列分析（确定性分析、随机性分析）。
五、其它任何时间序列经过合理的函数变换后都可以被认为是由下列三部分叠加而成：（1）趋势项部分；（2）周期项部分；（周期项）；随机信号和随机噪声。
时间序列分析的主要任务就是：上面三部分分解出来，是研究平稳随机过程的变化规律，建立特定的ARIMA模型（要求大体平稳、可能含有周期但不能有规则性的线性指数等类型趋势项）。
六、方法性工具1. 差分运算(1)k步差分间隔k期的观察值之差：△ k二x t-x t-k(2)p阶差分△ X t=X t- X t-i称为一阶差分；p厶p x t-汀,- 二'(-1)、C P x t卩」称为p阶差分；i =0SAS函数实现：diff n(x )2. 延迟算子延迟算子作用于时间序列，时间刻度减小1个单位(序列左移一位) : B x t二X t-i, ................ , B p x t=x t-p.SAS函数实现：lag n(x)用延迟算子表示k步差分和p阶差分为：△ k=X t-X t-k =(1-B ) X tp：p x t=(l - B)p八(-1)0心i -0(二)平稳时间序列一、概念平稳时间序列按限制条件的严格程度，分为严平稳时间序列：序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化;宽平稳时间序列：序列的主要性质近似稳定，即统计性质只要保证序列的二阶矩平稳，即对任意的时间t，s，k,序列X满足：EX：< g +EX：—zEg -再）（兀-儿）-E（X十从）（兀心-从"）二、平稳时间序列的统计性质（1）均值为常数；（2）自协方差只依赖于时间跨度；若定义自协方差函数为丫（t,s） = E（X- t）（X s- a s）则可由二元函数简化为一元函数丫（t-s），得延迟k自协方差函数：丫（k）二丫（t’t+k）由此易知平稳时间序列必具有常数方差：D（X）二 E（X- a t）2=Y （t,t）= Y （0）时间序列自相关函数：jDX t DX s延迟k自相关函数：E（X t」t）（X tk」t k）二（k）一（k）.DX t DX t k . （0）（0）（0）基本性质：(1) p(0)=1;(2) p (-k)= p (k);（3） 自相关阵为对称负定阵； （4） 非唯一性。
注意：协方差函数和相关函数——度量两个不同事件（ X , Y t ） 彼此之间的相互影响的程度。
自协方差函数和自相关函数一一度量用一事件（X ）在两个不同 时期之间的相互影响的程度。
三、样本估计值总体均值的估计值:延迟k 自协方差函数的估计值:n-k力（旺-壬）（兀斗—壬）7間=旦 ---------- -------总体方差的估计值：£ （兀苗 久0）-胡一—延迟k 自相关函数的估计值:四、平稳性检验童)（1）时序图检验若无明显的趋势性和周期性，则平稳；（2）自相关图检验零均值平稳序列的自相关函数要么截尾要么拖尾；若时间序列零均值化后出现缓慢衰减或周期性衰减，则说明存在趋势性和周期性（非平稳）；（3）单位根检验就是通过检验时间序列自回归特征方程的特征根是在单位圆内（平稳）还是在单位圆及单位圆外（非平稳）。
通常用ADF检验法。
Dickey和Fuller （1979）利用如下的广义自回归模型其中，△ X j,t表示x的一阶差分；X j,t- 1表示延迟一期；△ X j,t-k表示延迟k期再一阶差分；£ k,t表示扰动项。
上述回归模型生成的X j,t- 1的t值正好对应ADF统计量，做假设检验：H0:非平稳；H:平稳。
t值在1%, 5%, 10%置信水平的临界值分别为：-3.524233,-2.902358,-2.588587. 以此判断序列是否平稳。
注：若X不平稳，可以依次对X做一阶、二阶…差分，直到序列平稳例1.平稳性检验一一ADF检验的SAS实现。
代码:data simulati on; do i= 1 to 100; x=ra nn or( 1234); output ;end;run;data timeseries; set simulati on;x_1st_lag= Iag1(x);x_1st_diff= dif1(x); x_1st_diff_1st_lag= dif1(lag1(x)); x_1st_diff_2 nd」ag= dif1(lag2(x)); x_1st_diff_3rd」ag= dif1(lag3(x)); x_1st_diff_4th」ag=dif1(lag4(x)); x_1st_diff_5th」ag= dif1(lag5(x)); run;proc reg data =timeseries; model x 1st diff = x 1st lag x 1st diff 1st lag x 1st diff 2nd lagx 1st diff 3rd lagx 1st diff 4th lagx_1st_diff_5th」ag; run;运行结果:参数估计值变量自由度参数估计值标准误差t值Pr> |t|In tercept1-0.016340.11418 -0.140.8866 x_1st_lag1-0.709750.20949 -3.390.0011 x 1st diff 1st lag1-0.262170.19212 -1.360.1759 x 1st diff 2nd lag1-0.157800.17907 -0.880.3806 x 1st diff 3rd lag1-0.019730.16308 -0.120.9040 x 1st diff 4th lag10.070670.13938 0.510.6134 x 1st diff 5th lag10.003400.10591 0.030.9745 x_1st_lag 的t值二-3.39 < t 0.05 =-2.902358,（或从P值二0.0011 < 0.05判断）故拒绝原假设H0,即序列平稳五、纯随机性检验若序列值彼此之间没有任何相关性，即过去的行为对未来的发展没有丝毫影响，此时称为纯随机序列。
从统计分析的角度而言，纯随机序列是没有任何分析价值的序列。
因此，为了确保平稳序列还值不值得分析，还需要对平稳序列进行纯随机性检验。
1. 纯随机序列（白噪声序列）若对任取的时间t和s,时间序列X t满足:（1）E（X t）=卩；（常数均值）（2）r（t,s） = （T2,若t=s ;（方差齐性）（3）r（t,s） =0 ,若t工s.（纯随机性）则称X t为纯随机序列或白噪声序列（白光具有该特性），简记为X ~ WN@ ,（T2）。
白噪声序列是最简单的平稳时间序列。
随机生成的1000个服从标准正态分布的白噪声序列观察值：标准正态分布白噪声序列Xt2. 纯随机性检验Barlett 证明：n个观察值的纯随机时间序列，延迟为k （工0）的自相关函数P（k）近似服从正态分布N（0,1/n）.由此可以构造Q B P统计量（适合样本数n》50）和Q B统计量（适合小样本）来检验序列的纯随机性：Q BP-吃门讥）~才帥）t=lQis = «（« + 2）g （性~ *（桝）再做假设检验：H0: p (1)= p (2)=…二p (m)，即延迟w m的序列之间相互独立;H:至少有一个p (k)半0,即延迟w m的序列之间有相关性。
注：m —般取值为6、12。
这是因为平稳序列通常具有短期相关性，只要序列时期足够长，自相关系数都会收敛于零。
例2.数据如下表，时间间隔为天，起始时间自定义(1) 判断该序列x t的平稳性及纯随机性；(2) 判断x t的一阶差分y t的平稳性及纯随机性。
代码:data datasl;in put x_t @@;time=intnx( 'day' , '01jan2014'd ,_n_- 1);format time monyy.;cards;10151010121077101481714183911106121410252933331219161919123415362926211719132024126146129 11171281414125810316887126108105run;proc gplot data = datas1;plot x_t*time;symbol i =join v=star cv=red ci =green;run;proc arima data = datasl;identify var =x_t nlag =24;run;data datas2;set datas1;y_t = dif1(x_t);run;proc gplot data = datas2;plot y_t*time;symbol i =join v=star cv=red ci =green; run;proc arima data = datas2;identify var =y_t nlag =24;run;运行结果:从时序图看，X有明显的周期性和递增递减趋势，故不平稳"x_r?的毎势和根关分析从ACF图看，X的自相关系数递减到零的速度相当缓慢，在很长的延迟时期里，自相关系数一直为正，而后又一直为负，故判断该序列非平稳白噪声的自相关检查至滞后卡方自由度Pr ＞卡方自相关664.026<.00010.506 0.5390.374 0.2910.2580.1481288.9812<.00010.270 0.1860.178 0.2580.2070.2261896.3218<.00010.138 -0.027 -0.053 -0.112 -0.139 -0.15524137.2624<.0001-0.145 -0.284 -0.229 -0.306 -0.211 -0.313延迟为6、12的检验P值均小于0.05，故拒绝原假设，认为X为非纯随机序列（非白噪声序列）y_-t w___________________________________________________________________________ Ii I I p r*JAHTi Jiri FXJ14 rtlli WilltintY的时序图波动范围有界且没有明显的周期性、递增（递减）趋势，故可以初步判断该序列平稳。