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5.3 微积分基本定理(1-30)

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53微积分基本公式

53微积分基本公式

5.3 微积分基本公式
一、引言
积分学 要解决 两问题
①不定积分的求法问题 找原函数； 方法比较成熟.
②定积分的计算问题 积分和的极限. 按定义来计算定积 分,是十分困难的.
微积分基本定理
牛顿-莱布尼茨 公式
二、积分上限函数及其导数
定义 设函数 f ( x) 在区间[a,b]上连续, x 为[a,b]
例3
求 lim x→ 0
cos x
x2
.
分析:
这是
0 0
型不定式,
应用洛必达法则.
∫ ∫ 解
d dx
1 e −t 2 dt
cos x
=
−
d dx
cos x e −t 2 dt
1
= −e−cos2x⋅ (cos x)′
= sin x ⋅ e−cos2x ,
∫ ∴
lim
x→0
1 e −t 2 dt
cos x
注:本例的结论是对积分中值定理的改进. 从其证明 中不难看出积分中值定理与微分中值定理的联系.
x 0
cos2
tdt
⎤ ⎥⎦
= cos2 x.
﹟
∫ 例2
求
d dx
⎡ ⎢⎣
x 1
3
e
t
2
dt
⎤ ⎥⎦
.
∫ 解
∵
d dx
ϕ(x)
a
f (t)dt
=
f [ϕ ( x)]ϕ'( x).
∫ ∴
d⎡ dx ⎣⎢
x 1
3
e
t
2
dt
⎤ ⎥⎦
= e( x3 )2 ⋅ ( x3 )′
= 3x2e x6 ⋅ ﹟
《微积分的基本定理》课件

《微积分的基本定理》课件


物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
微积分基本定理

微积分基本定理

1.当对应的曲边梯形位于x轴上方是，定积分的值 取正值，且等于曲边梯形的面积；
2.当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值 取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
3.当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方 的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于 x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边 梯形的面积。
经过昨天的学习，
你能用定义计算
21
1
dx x
吗?
温故： •利用定义进行计算,分四步:
①分割;②近似代替,③作和;④取极限.
你能用定义计算
2 1 dx
1x
吗?
解：（1）分割 在时间区间[1,2]上等间隔地插入n-1个分 点，将区间等分成n个小区间：
[1,1 1 ],[1 1 ,1 2],,[1 i 1,1 i ],,[1 n 1, 2],
n nn
nn
n
记第i个区间为
[1 i ,1 i 1](i 1, 2,3,L , n) 每个区间的长度为 nn
x (1 i ) (1 i 1) 1
n
nn
分别过上述n 1个分点做x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，
它们的面积分别记作： S1, S2 ,, Si ,, Sn .
n
显然， S Si i 1
这样，在区间
1+
i
1 n
, 1+
i n
上，用小矩形的面积近似地代
替 Si
Si
f (1+
i
1)x n
n g1 n+i-1 n
n
1 i
1
（3）求和 由①得，
Sn
n
Si
i 1
n i 1
高数上5.3 微积分基本公式

高数上5.3 微积分基本公式


yi (dy)i F'( xi )xi
n
F (b) F (a) yi
i 1
n
n
(dyi ) F'( xi )xi
i 1
i 1
牛顿－莱布尼茨公式的几何猜想
n
n
n
F (b) F (a) yi (dyi ) F'( xi )xi
积分上限函数
定义 设函数 f ( x) 在区间[a,b]上连续, x为[a,b]
上的变量, 则
( x)
x a
f
(t
)dt
变上限定积分
是为定义在区间[a,b]上的函数, 称其为积分上限
函数.
由积分的几何意义知:
x a
f
(
x)dx
x a
f
(t )dt
因此为区别,我们通常所取的积分变量 t 应区别
于积分的上限变量 x
积分上限函数的导数
设函数 f ( x) 在区间[a,b]上连续, 定义积分上限
函数
x
( x) f (t)dt, x [a,b]
求 '( x).
a
(1)
注意到当 x x [a,b]时
( x x) ( x)
xx
x
a f (t)dt a f (t)dt
xx
x f (t)dt
a
牛顿－莱布尼茨公式
证 已知 F ( x)是 f ( x)的一个原函数,
又 ( x) x f (t)dt 也是 f ( x) 的一个原函数, a F( x) ( x) C, x [a,b]
令 x a得 F(a) (a) C,
(a)
a
f (t)dt 0,
F(a) C,
微积分基本定理

微积分基本定理


GMmh W R( R h )
其中 G 是地球引力常数， M 是地球的质量， R 是地球的半径．
例 2：一物体从 5000m 高空落下， ．其下落速度为
g －1 2 kt v(t ) (1 e ) ，其中 g＝9.8m/s ，k＝0.2s k 问经过大约多少秒后该物体将接触到地面？
定积分在物理中的应用
例 3：证明：把质量为 m(单位：kg)的物体从地球 表面升高 h(单位：m)所作的功为
2
例 3：计算由曲线 y x 5 ，直线 y＝x
2
－7 以及 x 轴所围图形的面积 S．
定积分在几何中的应用
例 3：直线 y＝kx 分抛物线 y＝x－x 与 x 轴 所围成图形为面积相等的两部分， 求 k 的值．
y
2
x
O
定积分在物理中的应用
例 1：有一个质量非均匀分布的细棒，已知其线密度 为 ( x ) (2 x 1)( x 1) (取细棒所在直线为 x 轴， 细棒的一端为原点)，棒长为 l，求细棒的质量 m．
微积分基本定理
微积分基本定理
定理： 对于被积函数 f(x)， 如果 F’(x)＝f(x)， 则 f ( x )dx F (b) F (a ) ．
a b
这里 f(x)是 F(x)的导函数，我们把 F(x) 叫做 f(x)的原函数．
例1 计算定积分
(1)

3
1
2 dx(2)Biblioteka | x|3 2
x 1 (3) e 2 dx 1 x
2
(2 x 1)(2 x 3) dx 2x 1
cos 2 x (4) 2 dx 0 cos x sin x
微积分基本公式和基本定理

微积分基本公式和基本定理


x
sec2
xdx
tan
x
C
(9)
d sin
x
2
x
csc 2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
ln a
(14) sh xdx ch x C
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证
明2 e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式 二、微积分基本定理 三、不定积分
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
例10
1 et2 dt
求
lim
x0
cos x
x2
.
解 d 1 et2dt d cos x et2dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
1 et2 dt
lim
x0
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
x
或 arccot x C
微积分基本定理

微积分基本定理


0 f (t )dt
加函数.
证
d dx
x
0
tf
(t )dt
xf
( x),
dx
dx 0
f (t)dt
f ( x),
F(x)
xf
x
( x)0
f
(t )dt
x
f
x
( x)0 tf
2
(t )dt
0 f (t )dt
x
F(x)
f
(
x
)0 (
x
x
t
)
f (t
2
)dt
,
0 f (t)dt
f ( x) 0, ( x 0)
设 x>0, 求
x1
1 t dt
微积分基本定理应用 例2
设 x>0,
x 1dt ln t x ln x ln1 ln x
1t
1
x 1 dt ln x
1t
微积分基本定理应用 例3
回忆
y
1 1 x2
微积分基本定理应用 例3
求蓝色部分面积
y
1 1 x2
微积分基本定理应用 例3
蓝色部分面积
则F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F ( x) 为 a( x)
F( x) d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
例1
1 et2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是
0 0
型不定式，应用洛必达法则.
解 d 1 et2 dt d cos x et2 dt,
微积分基本定理

微积分基本定理

2 2 2π π 3π 2π
3 / 15
同步课程˙微积分基本定理
y
1
O
2 x
【答案】 | cos x | dx 2 cos xdx π2 ( cos x)dx 3π cos xdx
0 0 2 2
2π
π
3π
2π
【例5 】 图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（ A． f ( x)dx
a b
【例1 】 根据定义计算积分 x dx ．
1
1
1 1 【解析】所求定积分为两个全等的等腰直角三角形的面积，故 x dx 2 1 1 1 ． 1 2
【答案】1
2
【例2 】 根据定义计算积分
0
4 x 2 dx ．
2
【解析】所求定积分为圆 x2 y 2 4 在 x 轴上半部的半圆的面积，故 【答案】 2π
2 / 15
同步课程˙微积分基本定理 四、微积分基本定理 如果 F ( x) f ( x) ， 且 f ( x) 在 [a , b] 上可积， 则 f ( x)dx F (b) F (a) ， 其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的
a b
一个原函数． 由于 [ F ( x) c] f ( x) ， F ( x) c 也是 f ( x) 的原函数，其中 c 为常数． 一般地，原函数在 [a , b] 上的改变量 F (b) F (a) 简记作 F ( x) b ， a 因此，微积分基本定理可以写成形式： f ( x)dx F ( x) b a F (b) F ( a) ．
【答案】
4 3
【例11】 (2 x 1)dx ______ ．
0
《微积分学基本定理》课件

《微积分学基本定理》课件


解决微分方程
通过微积分学基本定理，我们可以将复杂的微分方 程转化为易于处理的积分方程，从而找到微分方程 的解。
分析函数的极值
利用微积分学基本定理，可以分析函数的极 值条件，这对于优化问题、经济模型等实际 问题具有重要意义。
在实数理论中的应用
实数完备性
微积分学基本定理在实数理论中发挥了关键作用，它证明了实数系 的完备性，为实数理论的发展奠定了基础。
PART 02
微积分学基本定理的表述
REPORTING
定理的数学表达
总结词
简洁明了地表达了微积分学基本定理的数学形式。
详细描述
微积分学基本定理通常用积分形式和微分形式两种方式表达。积分形式表述为 ：∫(f(x))dx = F(b) - F(a)，其中∫代表积分，f(x)是待积分的函数，F(x)是f(x)的 原函数；微分形式表述为：∫(dy/dx) dx = y。
详细描述
02 习题一主要考察学生对微积分学基本定理的基础概念
理解，包括定理的表述、公式记忆以及简单应用。
解答
03
通过解析和证明，帮助学生深入理解微积分学基本定
理，并掌握其应用方法。
习题二及解答
总结词：复杂应用
详细描述：习题二涉及微积分学基本定理的复杂应用，包括多步骤推导、 不同定理的综合运用等，旨在提高学生的解题能力和思维灵活性。
揭示函数性质
通过应用微积分学基本定理，我 们可以研究函数的积分与函数的 性质之间的关系，从而深入了解 函数的特性。
证明积分不等式
利用微积分学基本定理，可以证 明各种积分不等式，这些不等式 在数学分析和实际问题中都有广 泛的应用。
在微分学中的应用
导数的定义
微积分学基本定理实际上给出了导数的定义 ，它描述了函数值随自变量变化的规律，是 研究函数局部行为的关键。
《微积分基本定理》 知识清单

《微积分基本定理》 知识清单

《微积分基本定理》知识清单一、微积分基本定理的引入在微积分的发展历程中，微积分基本定理的出现具有里程碑式的意义。

为了更好地理解它，我们先来思考一个简单的问题。

假设我们知道一个物体的速度随时间的变化函数，那么如何求出这个物体在一段时间内移动的距离呢？或者反过来，如果我们知道物体移动的距离与时间的关系，如何求出它在某一时刻的瞬时速度呢？这就是微积分要解决的核心问题之一，而微积分基本定理为我们提供了一种强大的工具和方法。

二、微积分基本定理的内容微积分基本定理，也被称为牛顿莱布尼茨公式，它表明：如果函数＼（F(x)＼）是连续函数＼（f(x)＼）在区间＼（ a, b ＼）上的一个原函数，那么＼（＼int_{a}＾｛b}f(x)dx ＝ F(b) F(a)＼）。

简单来说，就是定积分的值等于被积函数的某个原函数在区间端点处的值的差。

这里要解释几个关键概念。

原函数，是指如果在区间＼（I\）上，＼（F'（x) ＝ f(x)＼），那么＼（F(x)＼）就称为＼（f(x)＼）在区间＼（I\）上的一个原函数。

三、微积分基本定理的证明要证明微积分基本定理，需要用到一些较为复杂的数学知识和方法。

首先，通过分割区间、近似求和、取极限等步骤，将定积分的定义与原函数的概念联系起来。

然后，利用导数和极限的性质，经过一系列严谨的推导和计算，最终得出微积分基本定理的结论。

这个证明过程虽然复杂，但它展示了数学的严密性和逻辑性。

四、微积分基本定理的应用微积分基本定理在数学和其他领域都有广泛的应用。

在数学中，它可以用于计算各种复杂的定积分，简化计算过程。

例如，计算曲线围成的面积、旋转体的体积等。

在物理学中，它可以用于求解位移、速度、加速度之间的关系，以及计算功、能量等物理量。

在工程学中，它可以用于分析电路、力学系统等。

在经济学中，它可以用于计算成本、收益等经济指标。

五、利用微积分基本定理计算定积分的步骤第一步，确定被积函数＼（f(x)＼）。

微积分学基本定理

微积分学基本定理

b a b b a a
(4)性质 : 1) Cf ( x )dx C f ( x )dx 2) f ( x ) g ( x )dx
a b

b
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
3) f ( x )dx
a
b

c
a
f ( x )dx f ( x )dx
x ln x x (7 ) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x

b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
b a
计算定积分的方法: f ( x )dx
aபைடு நூலகம்
b
(1)定义法 ( 2)面积法(曲边梯形面积 ) ( 3)公式法( 微积分基本定理 )F ( x ) f ( x )
/

b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 间间隔[T1 , T2 ]上 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )

Chapter5-3原函数与基本定理


解 d x2 et2 dt d x2 et2 dt sin x et2 dt .
dx sin x
dx 0
0
2xex4 cos xesin2 x .
一般地, 有
d dx
h(x)
f (t)dt
g(x)
f (h(x))h'(x) f (g(x))g'(x).
x2
arctan tdt
(12)
dx arcsin x C (a 0);
a2 x2
a
(13)
dx a2 x2
1 arctan x
a
a
C
(a 0);
(14) dx 1 ln x a C (a 0);
x2 a2 2a x a
另外补充以下4个公式
(15) sec xdx ln | sec x tan x | C,
f (x)dx F(x) C.
定理 1) 设f (x)在I上存在原函数, 则
'
f (x)dx
f (x),
即d( f (x)dx) f (x)dx.
2) 若f (x)在I上存在原函数, 则 f '(x)dx f (x) C.
即 df (x) f (x) C.
④ 不定积分与微分运算是互逆的.
a
a
a
证 不妨设a < b. 令
F(x)
x a
2
f (t)g(t)dt
x f 2 (t)dt
a
x g 2 (t)dt,
a
则F'(x)
2
x a
f (t)g(t)dt
f
(
x)g
(
x)
f
2 (x)

微积分中的基本定理和导数初步

微积分中的基本定理和导数初步微积分是一门基础而重要的数学学科，其应用涉及到许多领域，包括物理、化学、工程等等。

微积分的基本理论包括导数、积分、微分方程等等，其中基本定理和导数是微积分的基础，并且在微积分中有着重要的地位。

本文将会介绍微积分中的基本定理和导数初步。

一、基本定理基本定理是微积分中的重要概念之一，其涉及到导数和积分之间的关系。

基本定理包括第一基本定理和第二基本定理。

第一基本定理：如果f(x)在区间[a,b]上连续，那么函数F(x)=∫(a到x)f(t) dt在[a,b]上可导，并且其导数为f(x)。

这个定理告诉我们，积分和导数之间是有一种对应关系的，也就是说，对于一个函数来说，其积分函数的导数就是原函数。

这个定理在实际应用中有着广泛的用途，比如求一些定积分。

第二基本定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)为其一个原函数，那么∫(a到b)f(x) dx=F(b)-F(a)。

这个定理告诉我们，如果知道一个函数的导数，我们就可以通过求积分来求解函数的值。

这个定理在实际应用中也有着广泛的用途，比如说求解一个区间内的面积。

二、导数初步导数是微积分中另一个基础概念，其涉及到函数的变化率。

在微积分中，导数的求法有好几种，比较常见的包括利用极限、利用定义式、利用微积分基本公式等等。

1、利用极限在微积分中，导数的定义式是f’(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h。

我们可以通过这个定义式来求解导数。

例如，如果要求解函数y=x^2+2x+1在点x=2的导数，我们可以这样计算：f’(2)=lim(h->0)[f(2+h)-f(2)]/h=lim(h->0)[(2+h)^2+2(2+h)+1-(2^2+2(2)+1)]/h=lim(h->0)(4h+1)=1。

因此，函数y=x^2+2x+1在点x=2的导数为1。

2、利用定义式另一种求导数的方法是利用导数的定义式进行计算。

微积分基本公式和基本定理

题目
利用泰勒公式展开函数$f(x) = sin x$在$x = frac{pi}{2}$处的幂级数。
答案
根据泰勒公式，得到$sin x = sum_{n=0}^{infty} (1)^n cdot frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$。代入$x = frac{pi}{2}$，得到$sin frac{pi}{2} = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n cdot frac{(frac{pi}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} = 1$。
求函数$f(x) = ln(x + sqrt{1 + x^2})$的导数。
利用链式法则和基本导数公式 ，得到$f'(x) = frac{1}{sqrt{1 + x^2}} cdot frac{x}{sqrt{1 + x^2}} = frac{x}{1 + x^2}$。
积分习题及答案
题目
计算$int_0^1 (x^2 + 1) dx$。
泰勒公式是一个重要的微积分定理，它可以用来近似计算复杂的函数。通过泰勒公式，可以将一个复 杂的函数展开成多项式的和，从而简化计算。
泰勒公式在近似计算中广泛应用于数值分析、物理、工程等领域。例如，在计算物理现象的近似解时 ，可以使用泰勒公式来逼近真实解。此外，泰勒公式还可以用于求解函数的极限、证明不等式等数学 问题。
牛顿-莱布尼兹定理
总结词
牛顿-莱布尼兹定理是计算定积分的 核心定理，它提供了计算定积分的简 便方法。
详细描述
牛顿-莱布尼兹定理表述为：对于任意 在[a, b]区间上连续的函数f(x)，F(x)是f(x)的一个原函数。这个定理大大 简化了定积分的计算过程，是微积分学 中的重要内容。

微积分基本定理


（3）
d 2 ( x )


f
(
t
)d
tபைடு நூலகம்

f
(

(
x
))

(
x
)

f
(

(
x
))

(
x
)
2
2
1
1
dx 1 ( x )
例1 求下列函数的导数：
1 =

‫׬‬0 cos 3;
2 y=
0
‫׬‬
1 + 2
解： 1 ′ = cos 3
0

2 因为 න
1 + 2 = − න
2
2
∙

′
例2 计算下列各式：
1t
x
a (1 t ) dt
(1)lim
x
x

(2)lim
x 0
1
cos x
t 2
e dt
x2
【练习】计算.
（1）
（2）
（3）
定理（微积分基本定理） 若函数()是连续函数()在区间[, ]
上的一个原函数，则
积分变上限函数Φ 是连续函数()的一个原函数，因此可
得原函数存在定理.
推论（原函数存在定理） 若函数()在区间[，]上连续，
则积分上限函数就是函数()在区间［, ］上的一个原函数.
重
要
意
义
(1) 肯定了连续函数的原函数是存在的;
(2) 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。
定理 若函数()在区间[，]上连续，则积分变上限函数

微积分基本定理_图文_图文

微积分基本定理_图文_图文.ppt
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)

(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分

微积分的基本定理

微积分的基本定理微积分是数学中非常重要的一个分支，它的基本定理是微积分学习的核心内容之一。

微积分的基本定理包括牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理，这两个定理在微积分的发展过程中起到了重要的作用。

牛顿-莱布尼茨公式是微积分中最基本的定理之一。

它给出了积分和微分之间的关系。

根据牛顿-莱布尼茨公式，如果一个函数F(x)是另一个函数f(x)的原函数，那么f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为F(b)减去F(a)，即∫[a, b]f(x)dx = F(b) -F(a)。

这个公式的推导过程相对简单，但它的意义却非常重大。

它将微积分中的两个基本运算——微分和积分联系了起来，为后续的微积分理论奠定了基础。

牛顿-莱布尼茨公式的推导过程可以通过微分和积分的定义来完成。

首先，我们可以通过微分的定义将函数f(x)在点x处的微分表示为df = f'(x)dx，其中f'(x)是f(x)的导数。

然后，我们可以通过积分的定义将函数f(x)在区间[a, b]上的定积分表示为∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σ(i=1 to n)f(xi)Δx，其中Σ(i=1 to n)f(xi)Δx是将区间[a, b]划分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx，xi是每个小区间的中点。

接下来，我们可以将Σ(i=1 to n)f(xi)Δx表示为Σ(i=1 to n)f(xi)dx，其中dx是Δx的极限形式。

最后，我们可以将Σ(i=1 to n)f(xi)dx表示为F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。

因此，我们得到了牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式的重要性体现在它将微积分中的两个基本运算联系了起来。

通过这个公式，我们可以通过求导来求解积分，或者通过积分来求解导数。

这为微积分的应用提供了很大的便利。

例如，在物理学中，我们经常需要求解速度、加速度等与时间相关的物理量，通过牛顿-莱布尼茨公式，我们可以将这些物理量与位移之间的关系表示为积分形式，从而更方便地进行计算。

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根据求导公式可得以下不定积分公式 根据求导公式可得以下不定积分公式: 不定积分公式
(sinx)'= cos x ⇒ (−cos x)'= sinx ⇒
2 (tan x)'= sec x ⇒
(1) ∫ cos xdx = sinx + c
(2) ∫ sinxdx = −cos x + c
(3) ∫ sec2 xdx = tan x + c
表达式 F(x) + c 称为 f (x) 在 [ a , b ] 上的不定积分 , 上的不定积分 记为 ∫ f ( x)dx , 即
∫ f ( x)dx = F( x) + c
其中 F(x)是 f (x) 在 [ a , b ]上的某一原函数 , c 为 是 上的某一原函数 任意常数
说明: 说明 (1) ∫ F'( x)dx = ∫ dF( x) = F( x) + c
A(x) 具有性质 具有性质:
A'( x) = f ( x)
b
自然要问: 自然要问 对一般的积分 ∫ f ( x)dx 是否成立
a
∫ f ( x)dx = F(b) − F(a) ?
b a
其中 F'( x) = f ( x)
问题一: 问题一 能否求一个函数 F(x)使在 [a , b]上成立 使在 上成立
0 1
2 1 31 1 2 = x + [ x − x] 1 3 0 2
1 1 5 = + = 3 2 6
变上限积分函数的进一步讨论: 变上限积分函数的进一步讨论 变限积分函数既然是一函数 , 就可讨论其一系列 的函数性质 ( 例如 , 单调性 , 最值 , 凹凸性等 ) 是连续函数， 是连续函数 ， 均为可微 例 设 f (x)是连续函数，而α(x)，β(x)均为可微 证明: 函数 , 若记 F( x) = ∫ f (t )dt , 证明
x0
x
的重要手段 ( 许多工程中的重要函数用积分 形式表示 ) , 它以公式 (1) 作为求导公式
30 原函数和不定积分 问题 如何计算 F( x) = ∫ f (t )dt ?
a x
先讨论满足 F'( x) = f ( x) 的函数的性质
定义 设 f (x) 在 [ a , b ] 上有定义 , 如果对任意
d ∫ f ( x)dx = f ( x)dx
与微分运算 即不定积分运算 “ ∫ ” 与微分运算 “ d ” 在相差一 常数的意义下是 “ 互逆 ” 的 (2) 不定积分 ∫ f ( x)dx 表示一族函数 , 它涵 盖了f 盖了 (x) 在 [ a , b ] 上原函数的全体 现若 f (x) 在 [ a , b ] 上连续 , 则变上限积分函数
= x − 2arctan x + c
取函数 F(x) = x− 2arctanx , 则 F(x) 在 [ 0 , 1] 上是
x2 −1 f ( x) = 2 的一个原函数 , x +1
1
x2 −1 1 dx = ( x − arctan x) 0 ∫ 2 0 x +1
= 1− 2arctan(1) −
= 1− 2⋅
π
4
=1−
π
2
例 计算 ∫ f ( x)dx ,
0
2
x2 , 0 ≤ x ≤ 1 其中 f ( x) = x −1 , 1 < x ≤ 2
解
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
0 1 0 2 1
2
1
2
= ∫ x2dx + ∫ ( x −1)dx
F ( x) = F2 ( x) + c 1
即 f (x) 的任意两个原函数之间最多相差一个常数
证明 (2) 设 F( x) = F ( x) − F2 ( x) , 则由 F1(x) , 1 F 2 (x) 都为 f (x) 在 [ a , b ] 上的原函数知
F'( x) = F '( x) − F2'( x) 1
a
∫ f (t )dt = F(b) − F(a)
F( x) a
b
定理( 定理 微积分第二基本定理 ) 设 f (x) 在 [a , b] 上连续 , F(x) 是 f (x) 在 [a , b] 上 的任意一个原函数 , 则
a b
∫ f ( x)dx = F( x) a
b
(牛顿 莱布尼兹公式 牛顿—莱布尼兹公式 牛顿 莱布尼兹公式)
s'(t ) = v(t )
S(t) 具有性质 具有性质:
(2) 设 y=f (x) 在 [ a , b ] 上连续 , y 对任意 x∈[ a , b ] , 面积函数 ∈ A(x) 如图所示 , 则有 o
d
y = f (x)
c
A(x)
a
∫ f ( x)dx = A(b) − A(a)
a
b
x b x
x0 x0 x0
x
x
x
x d x 由式 (1) ∫ f (t )dt = f ( x) ⇒d ∫ f (t )dt = f ( x)dx dx x0 x0
从而可知: 从而可知
微分运算 “ d ” 与变上限积分运算 “
∫ ” 是互逆的运算
x0
x
(2) 变上限积分函数 F( x) = ∫ f (t )dt 是表示函数
xα 1 ( xα+1)'= xα ⇒ (7) ∫ xα dx = + c (α ≠ −1) 1+ α 1+ α 1 1 (ln x)'= ⇒ (8) ∫ dx = ln x + c x x
(e x )'= e x ⇒ ax ( )'= a x ⇒ lna (shx)'= chx ⇒
(9) ∫ e xdx = e x + c ax (10) ∫ a xdx = +c lna (11) ∫ chxdx = shx + c
定理说明: 问题一有解 有解, 定理说明 当 f (x) 在 [ a , b ] 上连续时 , 问题一有解 就是问题一 问题一的解 函数 F( x) = ∫ f (t )dt 就是问题一的解
x0 x
说明: 说明 (1)
F( x) = ∫ f (t )dt = ∫ F'(t )dt = ∫ dF(t )
F'( x) = ( ∫ f (t )dt)'= f ( x)
x0
x
(1)
证明: 证明 任取 x ∈[a , b], ∆x ≠ 0 , 使 x +∆x∈[a , b] , ∈
由于 F( x + ∆x) − F( x) = ∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt
x0
x+∆x x
x+∆x
x
x0
的 x∈[ a , b ] , 都有 ∈
F'( x) = f ( x) 或 dF( x) = f ( x)dx
则称 F(x) 为 f (x) ( 或 f (x)dx ) 在 [a , b] 上的一个 原函数
原函数存在定理) 定理 (原函数存在定理 如果 f (x) 在 [ a , b ] 上连续 , 原函数存在定理 则 F( x) = ∫ f (t )dt 是 f (x) 在 [ a , b ] 上的一个原函数 ,
(c)'= 0 ⇒
下面研究问题二 下面研究问题二 上满足 问题二: 问题二 对于求得的在 [ a , b ]上满足
F'( x) = f ( x)
F(x) 的函数 F( ) , 是否有等式
∫ f ( x)dx = F(b) − F(a)
a
b
成立? 成立
40 微积分第二基本定理 设 f (x) 在 [a , b]上连续 , 若能计算出不定积分 上连续
之间) = ∫ f (t )dt = f (ξ )∆x (ξ介于 x 与 x+∆x 之间 介于 上连续, 注意到 ,当 ∆x→0 时 , ξ→ x 及 f (x) 在 [a , b] 上连续 当 → → 故有
F( x + ∆x) − F( x) F'( x) = lim = lim f (ξ ) = f ( x) ∆x→0 ∆x→0 ∆x
b
说明:(1)牛顿 莱布尼兹公式 把 ∫ f ( x)dx 的计算问题 牛顿—莱布尼兹公式 说明 牛顿
上的一个原函数的计算问题 在 不定积分 ∫ f ( x)dx的计算问题 , 从而回避 从定义计算定积分
(2) 前述的问题一 , 问题二得到解决 前述的问题一 问题二得到解决
§5.3 微积分基本定理
问题: 问题 研究不从定义出发计算定积分的简便方法 10 两个问题 (1) 在时间段 [ T1 , T2 ] 内, 物体经过的路程 物体经过的路程:
s = ∫ v(t )dt
T 1 T2
若物体的位置函数 s=s(t) , 则
T2 T 1
∫ v(t )dt = s(T2 ) − s(T ) 1
例
x2 −1 dx 计算 ∫ 2 0 x +1
1
x2 −1 解 首先计算 f ( x) = 2 在[0 , 1]上的原函数 上的原函数 x +1
x2 −1 dx 为此计算 ∫ 2 x +1
2 由于 f ( x) = 1− , 所以 2 1+ x
x2 −1 2 )dx ∫ 2 dx = ∫ (1− 2 x +1 1+ x
(−cot x)'= csc2 x ⇒
1 (arctan x)'= 1+ x2