高考数学 第七章 第二节 空间图形的基本关系与公理课件 文 北师大版

第二节空间图形的基本关系与公理错误!１．空间图形的基本关系（１）点和直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外．（２）点和平面的位置关系有两种：点在平面内和点在平面外．（３）空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线．（４）空间直线和平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线和平面相交、直线与平面平行．（５）空间两平面的位置关系有两种：两平面平行和两平面相交．２．空间图形的公理公理１：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）．公理２：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理３：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理４（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线平行．３．定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．４．异面直线所成的角如图所示，过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l１，l２（a∥l１，b∥l２），这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线a，b 所成的角，如果两条异面直线所成的角是直角，我们称这两条直线互相垂直，记作：a⊥b.１．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．２．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．[试一试]１．下列说法正确的是（）Ａ．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线Ｂ．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面Ｃ．若a，b不同在平面α内，则a与b异面Ｄ．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面解析：选D 由异面直线的定义可知选Ｄ．２．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是（）Ａ．b⊂αＢ．b∥αＣ．b⊂α或b∥αＤ．b与α相交或b⊂α或b∥α解析：选D b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．１．求异面直线所成角的方法（１）平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法．（２）补形法：即采用补形法作出平面角．２．证明共面问题的两种途径（１）首先由条件中的部分线（或点）确定一个平面，再证其他线（或点）在此平面内；（２）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．３．证明共线问题的两种途径（１）先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；（２）直接证明这些点都在同一条特定直线上．４．证明共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．[练一练]１．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（）解析：选D A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．２．已知正四棱柱ABCD—A１B１C１D１中，AA１＝２AB，E为AA１中点，则异面直线BE与CD１所成的角的余弦值为________．解析：如图连接BA１.∵BA １∥CD１，∴∠A１BE为所求．在△A１BE中，设AB＝１，则AA１＝２，∴A１B＝错误!，A１E＝１，BE＝错误!.∴cos∠A１BE＝错误!.答案：错误!错误!考点一平面的基本性质及应用公理的是（）１．（２0１３·安徽高考）在下列命题中，不是．．Ａ．平行于同一个平面的两个平面相互平行Ｂ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面Ｃ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内Ｄ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线解析：选A 选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．１经过三点确定一个平面；２梯形可以确定一个平面；３两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；４如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选C 对于１，未强调三点不共线，故１错误；２正确；对于３，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故３正确；对于４，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故４错误．３．（２0１３·南京模拟）如图，已知：E，F，G，H分别是正方体ABCD­A１B１C１D１的棱AB，BC，CC１，C１D１的中点，证明：EF，HG，DC三线共点．证明：连接C１B，HE，GF，如图所示．由题意知HC１綊EB，∴四边形HC１BE是平行四边形，∴HE∥C１B.又C１G＝GC，CF＝BF，故GF綊错误!C１B，∴GF∥HE，且GF≠HE，∴HG与EF相交，设交点为K，则K∈HG.又HG⊂平面D１C１CD，∴K∈平面D１C１CD.∵K∈EF，EF⊂平面ABCD，∴K∈平面ABCD.∵平面D１C１CD∩平面ABCD＝DC，∴K∈DC，∴EF，HG，DC三线共点．[类题通法]１．证明共点问题的关键是先确定点后，再证明此点在第三条直线上，这个第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理３证明．２．证明过程中要注意符号语言表达准确，公理成立的条件要完善．考点二空间两直线的位置关系[典例] （１）（２0１３·江西省七校联考）已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是（）Ａ．相交或平行Ｂ．相交或异面Ｃ．平行或异面Ｄ．相交、平行或异面[解析] 依据题意，b，c分别为a在α，β内的射影，可判断b，c相交、平行或异面均可．[答案] D（２）已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD的中点．１求证：BC与AD是异面直线；２求证：EG与FH相交．[证明] １假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α.所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．所以BC与AD是异面直线．２如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．又EG，FH是▱EFGH的对角线，所以EG与HF相交．[类题通法]１．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．２．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．[针对训练]若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）Ａ．α内的所有直线与l异面Ｂ．α内不存在与l平行的直线Ｃ．α内存在唯一的直线与l平行Ｄ．α内的直线与l都相交解析：选B 如图，设l∩α＝A，α内直线若经过A点，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l 异面．考点三异面直线所成的角[典例] （２0面的四棱柱ABCD­A１B１C１D１中，AA１＝２AB，则异面直线A１B与AD１所成角的余弦值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误![解析] 连接BC１，易证BC１∥AD１，则∠A１BC１即为异面直线A１B与AD１所成的角．连接A１C１，设AB＝１，则AA１＝２，A１C１＝错误!，A１B＝BC１＝错误!，故cos∠A１BC１＝错误!＝错误!.[答案] D在本例条件下，若点P在平面A１C１内且不在对角线B１D１上，过点P在平面A１C１内作一直线m，使m与直线BD成α角，且α∈错误!.这样的直线可作几条？解：在平面A１C１内作m，使m与B１D１相交成α角．∵BD∥B１D１，∴直线m与BD也成α角．即m为所求．且m与BD是异面直线，当α＝错误!时，m只有一条，当α≠错误!时，这样的直线有两条．[类题通法]用平移法求异面直线所成的角的三步法（１）一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；（２）二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；（３）三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．[针对训练]如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝２，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝错误!，则异面直线AD和BC所成的角为________．解析：如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.因为E，F分别是AB，CD的中点，故EG∥BC且EG＝错误!BC＝１，FG∥AD，且FG＝错误!AD＝１．即∠EGF为所求，又EF＝错误!，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.答案：90°错误![课堂练通考点]１．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）Ａ．a⊂α，b⊂αＢ．a⊂α，b∥αＣ．a⊥α，b⊥αＤ．a⊂α，b⊥α解析：选B 不相交的直线a，b的位置有两种：平行或异面．当a，b异面时，不存在平面α满足A，C；又只有当a⊥b时，D才可能成立．２．如图，ABCD­A１B１C１D１是长方体，O是B１D１的中点，直线A１C交平面AB１D１于点M，则下列结论正确的是（）Ａ．A，M，O三点共线Ｂ．A，M，O，A１不共面Ｃ．A，M，C，O不共面Ｄ．B，B１，O，M共面解析：选A 连接A１C１，AC，则A１C１∥AC，所以A１，C１，C，A四点共面，所以A１C⊂平面ACC１A１，因为M∈A１C，所以M∈平面ACC１A１，又M∈平面AB１D１，所以M在平面ACC１A１与平面AB１D１的交线上，同理O在平面ACC １A１与平面AB１D１的交线上，所以A，M，O三点共线．故选Ａ．３．如图是某个正方体的侧面展开图，l１，l２是两条侧面对角线，则在正方体中，l１与l２（）Ａ．互相平行Ｂ．异面且互相垂直Ｃ．异面且夹角为错误!Ｄ．相交且夹角为错误!解析：选D 将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合．故l １与l相交，连接AD，则△ABD为正三角形，所以l１与l２的夹角为错误!.故选Ｄ．２１若a⊥b，b⊥c，则a∥c；２若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；３若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；４若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________．解析：∵a⊥b，b⊥c，∴a与c可以相交、平行、异面，故１错．∵a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故２错．由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面、相交、平行，故３错．同理４错，故真命题的个数为0．答案：0５．（２0１３·银川模拟）如图所示，在正方体ABCD­A１B１C１D１中，（１）求A１C１与B１C所成角的大小；（２）若E，F分别为AB，AD的中点，求A１C１与EF所成角的大小．解析：（１）如图，连接AC，AB１，由ABCD­A１B１C１D１是正方体，知AA１C１C为平行四边形，所以AC∥A１C１，从而B１C与AC所成的角就是A１C１与B１C所成的角．由AB１＝AC＝B１C可知∠B１CA＝60°，即A１C１与B１C所成角为60°.（２）如图，连接BD，由AA１∥CC１，且AA１＝CC１可知A１ACC１是平行四边形，所以AC∥A１C.１即AC与EF所成的角就是A１C１与EF所成的角．因为EF是△ABD的中位线，所以EF∥BD.又因为AC⊥BD，所以EF⊥AC，即所求角为90°.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题１．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（）Ａ．一定平行Ｂ．一定相交Ｃ．一定是异面直线Ｄ．一定垂直解析：选D ∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.２．（２0１４·聊城模拟）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）Ａ．平行Ｂ．相交Ｃ．垂直Ｄ．互为异面直线解析：选C 不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l.３．（２0１３·广州模拟）若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选A 若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．４．（２0１３·新乡月考）已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定（）Ａ．与a，b都相交Ｂ．只能与a，b中的一条相交Ｃ．至少与a，b中的一条相交Ｄ．与a，b都平行解析：选C 若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理４，则a∥b，与a，b异面矛盾．５．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则（）Ａ．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行Ｂ．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直Ｃ．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交Ｄ．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解析：选B 对于A，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除A；对于B，由于l和m有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故B正确；易知C、D不正确．6．（２0１４·三亚模拟）如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝２，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：选A 延长CD至H.使DH＝１，连接HG、HF、则HF∥AD.HF＝DA＝错误!，GF＝错误!，HG＝错误!.∴cos ∠HFG＝错误!＝错误!.7．（２0１３·沧州模拟）如图所示，在三棱柱ABC—A１B１C１中，AA１⊥底面ABC，AB＝BC＝AA１，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB１的中点，则直线EF和BC１所成的角是（）Ａ．４５° Ｂ．60°Ｃ．90° Ｄ．１２0°解析：选B 连接AB １，易知AB１∥EF，连接B１C，B１C与BC１交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB１∥EF.设AB＝BC＝AA１＝a，连接HB，在三角形GHB中，易知GH＝HB＝GB＝错误!a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.8．（２0１３·临沂模拟）过正方体ABCD­A１B１C１D１的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA所成的角都相等，这样的直线l可以作（）１Ａ．１条Ｂ．２条Ｃ．３条Ｄ．４条解析：选D 如图，连接体对角线AC１，显然AC１与棱AB，AD，AA１所成的角都相等，所成角的正切值都为错误!.联想正方体的其他体对角线，如连接BD１，则BD与棱BC，BA，BB１所成的角都相等，１∵BB１∥AA１，BC∥AD，∴体对角线BD１与棱AB，AD，AA１所成的角都相等，同理，体对角线A１C，DB１也与棱AB，AD，AA１所成的角都相等，过A点分别作BD１，A１C，DB１的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作４条．9．如图，平行六面体ABCD­A １B１C１D１中既与AB共面又与CC１共面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC１都相交的棱有BC；与AB相交且与CC１平行有棱AA１，BB１；与AB平行且与CC１相交的棱有CD，C１D１.故符合条件的有５条．答案：５１0．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，１GH与EF平行；２BD与MN为异面直线；３GH与MN成60°角；４DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE ⊥MN.答案：２３４１１．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有３对．答案：３１２．如图所示，正方体的棱长为１，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．解析：∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊥OB，AB⊥平面BB′CC′，∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝错误!，AC＝错误!，sin∠OAC＝错误!＝错误!，∴∠OAC＝３0°.即AO与A′C′所成角的度数为３0°.答案：３0°第Ⅱ组：重点选做题１．A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，（１）求证：直线EF与BD是异面直线；（２）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解：（１）证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC 共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．（２）取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝错误!AC，求得∠FEG＝４５°，即异面直线EF与BD所成的角为４５°.２．（２0１３·许昌调研）如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊错误!AD，BE綊错误!FA，G，H分别为FA，FD的中点．（１）求证：四边形BCHG是平行四边形；（２）C，D，F，E四点是否共面？为什么？解：（１）证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綊错误!AD.又BC綊错误!AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形．（２）C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE綊错误!AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF綊BG.由（１）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．。

学 习 资 料 汇编第二节 空间图形的基本关系与公理[考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．1．空间图形的公理(1)公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． (2)公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a ，b 所成的角．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 4．定理(等角定理)空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( )(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )(4)若直线a不平行于平面α，且aα，则α内的所有直线与a异面．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编) 如图7­2­1所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )A．30°B．45°C．60° D．90°图7­2­1C[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]3．在下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线A[A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是公理．]4．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由题意知aα，bβ，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．]5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．b 与α相交或bα或b∥α11111(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．图7­2­2[证明] (1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1. 2分又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面. 5分(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD. 8分同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点. 12分[规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法： (1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上． [变式训练1] 如图7­2­3所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？【导学号：66482329】图7­2­3[解] (1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，得GH 綊12AD . 2分又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形. 5分 (2)C ，D ，F ，E 四点共面，理由如下：由BE 綊12AF ，G 为FA 的中点知BE 綊GF ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 8分 由(1)知BG ∥CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面. 12分121内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)(2017·郑州模拟)在图7­2­4中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．①②③④图7­2­4(1)D(2)②④[(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH 与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．][规律方法] 1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．[变式训练2] (2017·烟台质检)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为( ) A．①④B．②③C．③④D．①②A[对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b M，a ∥b，则a∥M或a M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．](1)如图7­2­5，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A.15B．25C.35D．45图7­2­5(2)(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )A.32B．22C．33D．13(1)D(2)A[(1)连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝45.(2)设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等，即∠CD1B1为m，n所成的角．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为32 .][规律方法] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．[变式训练3] 如图7­2­6，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB 的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．图7­2­62[取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.][思想与方法]1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了转化与化归思想．[易错与防范]1．异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．敬请批评指正。