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§4逻辑联结词“且”“或”“非”学习目标 1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p或q”“p且q”命题的真假规律(重点).2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的綈p命题(重、难点).知识点一“且”(1)定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p且q.(2)命题p且q的真假判定(3)合A与B的交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.知识点二“或”(1)定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p或q.(2)命题p或q的真假判定(3)逻辑联结词“或”与集合中的“并集”含义相同，可以用“或”来定义集合A 与B的并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.【预习评价】(正确的打√，错误的打×)(1)48是16与12的公倍数.()(2)方程x2＋x＋3＝0没有实数根.()(3)相似三角形的周长相等或对应角相等.()提示(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：48是16的倍数，是真命题；q：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题.(2)这个命题是“綈p”的形式，其中p：方程x2＋x＋3＝0有实数根，是假命题，所以命题“方程x2＋x＋3＝0没有实数根”是真命题.(3)这个命题是“p∨q”的形式.其中p：相似三角形的周长相等，是假命题；q：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题.答案(1)√(2)√(3)√知识点三“非”(1)定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作綈p，读作非p.(2)命题綈p的真假判定(3)可以用“非”来定义集合A 在全集U中的补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}.(4)命题“p且q”与“p或q”的否定命题：①綈(p且q)＝綈p或綈q；②綈(p或q)＝綈p且綈q.【预习评价】1.x∈A∪B的含义是什么？提示x∈A或x∈B，有三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A并且x∈B.2.綈p是命题p的否命题吗？提示不是，设命题p为：若m则n，那么命题p的否命题是若綈m则綈n，而綈p是若m则綈n.即：命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论.3.用“充分、必要、充要”填空：(1)p∨q为真命题是p∧q为真命题的________条件.(2)綈p为假命题是p∨q为真命题的________条件.解析因为或命题为真，则一真即真，且命题为真，必须都为真，因此第一个命题中，条件是结论成立的必要条件，而(2)中，非p为假，说明p为真，则或命题为真，因此(2)中，条件是结论成立的充分条件.答案(1)必要(2)充分题型一p且q命题及p或q命题【例1】分别写出下列命题构成的“p且q”“p或q”的形式，并判断它们的真假.(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：3是无理数，q：3是实数；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等.解(1)p且q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；∵p真，q假，∴p且q为假.p或q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；∵p真，q假，∴p或q为真.(2)p且q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p或q为真.(3)p且q：3是无理数且是实数；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：3是无理数或是实数；∵p真，q真，∴p或q为真.(4)p且q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p或q为真.规律方法(1)判断“p且q”形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断.(2)判断“p或q”形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定“p或q”形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题“p 或q”为假命题，可简记为：有真则真，全假为假.【训练1】指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)李明是男生且是高一学生；(2)方程2x2＋1＝0没有实数根；(3)12能被3或4整除.解(1)是“p且q”形式.其中p：李明是男生；q：李明是高一学生.(2)是“非p”形式.其中p：方程2x2＋1＝0有实根.(3)是“p或q”形式.其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.题型二綈p命题【例2】写出下列命题的否定形式.(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零.(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.规律方法綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p且q”的否定是“綈p或綈q”等.【训练2】写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：3＜2；(3)p：空集是集合A的子集；(4)p ：5不是75的约数.解 (1)綈p ：y ＝ sin x 不是周期函数.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (2)綈p ：3≥2.命题p 是假命题，綈p 是真命题；(3)綈p ：空集不是集合A 的子集.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (4)綈p ：5是75的约数.命题p 是假命题，綈p 是真命题.【探究1】 已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1(a ≠0)在(0，1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a 在(0，＋∞)上是减函数.若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题意，命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1＋8a ＞0，a ＞0，f （0）·f （1）＝（－1）·（2a －2）＜0， 解得a ＞1. 命题q ：2－a ＜0，得a ＞2，所以綈q ：a ≤2，故由p 且綈q 为真命题，得1＜a ≤2. 答案 (1，2]【探究2】 已知c ＞0，且c ≠1.设命题p ：函数f (x )＝log c x 为减函数，命题q ：当x ∈[12，2]时，函数g (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立.如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数c 的取值范围为________.解析 由f (x )＝log c x 为减函数得0＜c ＜1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，由基本不等式可得g (x )＝x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值为g (1)＝2.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，由函数g (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立，得2＞1c ，解得c ＞12，又c ≠1，所以c ＞12且c ≠1. 如果p 真q 假，则0＜c ≤12；如果p 假q 真，则c ＞1，所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞).答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)【探究3】 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p 或q ”与“綈q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围.解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，（x 1＋1）（x 2＋1）>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，， 解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎨⎧a >0，Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4， 所以0≤a <4.因为“p 或q ”与“綈q ”同时为真命题，即p 真且q 假， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1].规律方法 由真值表可判断p 或q 、p 且q 、綈p 命题的真假，反之，由p 或q ，p 且q ，綈p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集.。
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作§4逻辑联结词“且”“或”“非”（北京师大版选修2-1）一、选择题（本题共5小题，每小题6分，共30分）1.已知命题所有有理数都是实数；命题:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是（）A.﹁B.C.﹁﹁D.﹁﹁2.（2012·山东青岛一模）设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，mα,nβ，有两个命题：p：若m∥n，则α∥β；q：若m⊥β，则α⊥β,那么( )A.“p或q”是假命题B.“p且q”是真命题C.“非p或q”是假命题D.“非p且q”是真命题3.（2012·北京高考预测）已知:命题p：“a=1是x＞0,x+≥2的充分必要条件”；命题q：“x∈R,+x－2＞0”,则下列结论正确的是( )A.命题“p∧q”是真命题B.命题“（p）∧q”是真命题C.命题“p∧（q）”是真命题D.命题“（p）∧（q）”是真命题4.“p且q是真命题”是“非p为假命题”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知命题p：函数y=的值域为R，命题q：函数y=－是减函数.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，p为真命题，则实数a的取值范围是( )A.a≤1B.1＜a＜2C.a＜2D.a≤1或a≥2二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）6.已知命题：函数（）的定义域为（）；命题:若，则函数在（）上是减函数,则下列结论:①命题“且”为真；②命题“或﹁”为假；③命题“或”为假；④命题“﹁且﹁”为假，其中错误的是＿＿＿＿＿＿＿.7.设函数在区间（）上单调递增；.如果“非”是真命题，“或”也是真命题，那么实数的取值范围是．8.已知命题p：x∈[0,π],sin x＜x，那么命题﹁是.9.已知命题p:x∈R,+≤2，命题q是命题p的否定，则命题p，q，p∧q，p∨q中是真命题的是. 三、解答题（本题共4小题,共46分）10.（本小题满分10分）已知“”,“”,若“且”为真命题，试求的取值范围.11.（本小题满分12分）分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题，并判断真假.(1)相似三角形周长相等或对应角相等；(2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.12.（本小题满分12分）写出由下列各组命题构成的“或”“且”“非”形式的新命题，并判断其真假．（1）：2是4的约数，：2是6的约数；（2）：矩形的对角线相等，：矩形的对角线互相平分；（3）：方程的两个实数根的符号相同，：方程的两个实数根的绝对值相等．13.（本小题满分12分）已知命题方程在上有且仅有一解；命题：只有一个实数满足不等式.若命题“或”是假命题，求的取值范围．答题纸得分：＿＿＿一、选择题二、填空题6.7.8.＿＿＿＿＿9.＿＿＿＿＿三、解答题10.解：11.解：12.解：13.解：答案一、选择题1.D解析：不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而只有（）为真命题．2.D解析：显然命题p是假命题，则非p为真命题.由面面垂直的判定定理知命题q为真命题，所以非p且q是真命题.3.B解析：对于命题p，当a=1时，由均值不等式知，若x＞0,则x+≥2，显然成立.但当x＞0,x+≥2时，a未必取1，所以a=1是x＞0,x+≥2的充分不必要条件，故p为假命题，p为真命题.对于命题q，取x=2，显然成立，所以q为真命题，q为假命题.故命题“（p）∧q”是真命题.4. A解析：“p且q是真命题”，则p和q均为真命题，所以“非p为假命题”；反之，由“非p为假命题”可得p为真命题，命题q真假未知，不能推出“p且q是真命题”.5.B解析：因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p,q一真一假.又p为真命题，故p假q真.p真时，需4－4a≥0，即a≤1；q真时，需5－2a＞1，即a＜2.所以如果p假q真，需1＜a＜2.二、填空题6.①②③解析：由，得，故命题为真，﹁为假．又由，得函数在（）上是增函数，命题为假，﹁为真,所以命题“且”为假，命题“或﹁”为真，命题“或”为真，命题“﹁且﹁”为假．7.（）解析：由题意知：为假命题，为真命题．当1时，由为真命题得；由为假命题结合图像可知：.当时，无解．所以.8.x∈[0,π],sin x≥x解析：把全称量词变为存在量词，再把“＜”变为“≥”,得x∈[0,π],sin x≥x.9.p，p∨q解析：当x=1或x=－1时，p成立，所以p真q假，p∨q真，p∧q假.三、解答题10.解：若成立，则.若成立，则或若“且”为真命题，则真真，所以的取值范围是或11.解：(1)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：相似三角形周长相等，q：相似三角形对应角相等.因为p假q真，所以“p∨q”为真.(2)这个命题是“p”的形式，其中p：9的算术平方根是－3.因为p假，所以“p”为真.(3)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦，q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧.因为p真q真，所以“p∧q”为真.12.解：（1）或：2是4的约数或2是6的约数，真命题；且：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非：2不是4的约数，假命题.（2）或：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；且：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非：矩形的对角线不相等，假命题.（3）或: 方程的两个实数根的符号相同或绝对值相等，假命题；且 : 方程 的两个实数根的符号相同且绝对值相等，假命题； 非 ：方程 的两个实数根的符号不相同，真命题. 13.解：由 ，得（ ）（ ） . 显然 ,所以或.因为方程 在 上有且仅有一解,故，，或，，所以 或 .因为只有一个实数 满足不等式 ， 所以 ,解得 或 .因为命题“ 或 ”是假命题，所以命题 和 都是假命题,所以 的取值范围是 或 或 或 .。
