6-标准解-2

初中数学如何求解一元二次方程的小数解要求解一元二次方程的小数解，我们可以使用配方法、求根公式或图像法。

下面将详细介绍这三种方法的步骤和应用。

方法一：配方法配方法是一种通过变换方程的形式来求解一元二次方程的方法。

它的基本思想是将方程转化为完全平方形式，然后求解。

步骤：1. 将方程表示成标准形式：ax² + bx + c = 0，其中a，b和c是已知的实数常数，且a ≠ 0。

2. 如果方程的系数a不为1，则将方程两边都除以a，使得方程的首项系数为1。

3. 将方程的常数项c分解为两个数的乘积，这两个数的和等于方程的一次项系数b。

假设这两个数为m和n。

4. 重新排列方程，将一次项bx拆分为mx + nx。

5. 将方程按照完全平方的形式进行重新组合，即(x + m)(x + n) = 0。

6. 使用零乘法，将方程拆分为两个线性因式，即x + m = 0和x + n = 0。

7. 解这两个方程，得到x的值。

这些值即为方程的小数解。

举例来说，考虑方程2x² + 5x - 3 = 0。

1. 将方程表示成标准形式，得到2x² + 5x - 3 = 0。

2. 系数a为2，不为1，所以我们将方程两边都除以2，得到x² + (5/2)x - 3/2 = 0。

3. 将常数项-3/2分解为两个数的乘积，这两个数的和等于5/2。

我们可以将-3/2分解为1/2和-2，因为1/2 + (-2) = 5/2。

4. 重新排列方程，得到x² + (1/2)x - 2x - 3/2 = 0。

5. 将方程按照完全平方的形式进行重新组合，即(x + 1/2)(x - 2) = 0。

6. 使用零乘法，将方程拆分为两个线性因式，即x + 1/2 = 0和x - 2 = 0。

7. 解这两个方程，得到x = -1/2和x = 2。

这两个值即为方程的小数解。

方法二：求根公式求根公式是一种通过直接计算方程的根的公式来求解一元二次方程的方法。

6.2 古典概型及条件概率（精练）（基础版）题组一古典概型1．（2022·山东滨州）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求a；(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率.2．（2022·青海西宁）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表.分组频数频率[)6,6.550.10[)6.5,780.16[)7,7.5x0.14[)7.5,812y(1)求该校学生总数及频率分布表中实数,,x y z 的值；(2)已知日睡眠时间在区间[)6,6.5的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.3．（2022·河北张家口）英才中学为普及法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，并随机抽出100名学生进行法律常识考试，并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100人的平均成绩；(2)若成绩在[]90,100的学生中恰有两位是男生，现从成绩在[]90,100的学生中抽取3人去校外参加社会法律知识竞赛，求其中恰有一位男生的概率.4．（2022·河南·商丘市）蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱，某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题： (1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率； (2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润；(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取3人进一步了解情况，求抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次的概率． 5．（2022·广西柳州）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[)0,20，第二组[)20,40，第三组[)40,60，第四组[)60,80，第五组[]80,100，得到频率分布直方图如图所示.(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. 1．（2022·吉林）先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数．在第一次向上的点数为奇数的条件下，两次点数和不大于7的概率为（ ） A ．1318B ．712C ．310D ．232（2022·江西·高三阶段练习（理））从1，2，…，6这六个数字中随机抽取2个不同的数字，记事件A =“恰好抽取的是2，4”，B =“恰好抽取的是4，5”，C =“抽取的数字里含有4”．则下列说法正确的是（ ） A ．()()()P AB P A P B =B ．1()6P C =C ．()()P C P AB = D ．(|)(|)P A C P B C =3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ） A ．()25P A =B ．()3|5P B A =C ．()1325P B =D ．()1|2P A B =题组二 条件概型4．（2022·山东济宁）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ） A ．128B ．110 C ．19D ．275．（2022·黑龙江）已知()12P AB =，()35P A =，则()P B A 等于（ ）．A ．56B ．910C ．310D ．1106．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h ，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ） A ．716B ．38C ．516 D ．147．（2022·河北张家口·高二期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为34，连续闯过前两关的概率为12，连续闯过前三关的概率为13，且各关相互独立.事件A 表示小明第一关闯关成功，事件C 表示小明第三关闯关成功，则()|P C A =（ ）A ．18B ．23C ．13D ．498．（2022·山东济宁）（多选）设M 、N 是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ）A ．()()()P M N P M P N ⋃=+ B ．()()1P MN P MN =- C ．()()()|P MN P M P N M =D ．()()()()||P N M P M P M N P N =9．（2022·福建福州）（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ） A ．事件B 与事件3A 相互独立 B ．()159P A B =C ．()2655P A B =D ．()922P B =题组三 古典与条件综合运用1．（2022·河南）从标有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出两张卡片，则4号卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（）A．14，14，12B．14，14，14C．13，13，12D．14，13，122．（2023·全国·高三专题练习（理））一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A BRP A B P A B=⋅；（ⅰ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，3．（2022·全国·高三专题练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.6.2 古典概型及条件概率（精练）（基础版）1．（2022·山东滨州）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求a ；(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率.【答案】(1)0.020a =(2)74.4分钟(3)310【解析】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=，解得0.020a =.（2）因为(0.0100.020)100.30.5+⨯=<，(0.0100.0200.045)100.750.5++⨯=>.则中位数位于区间[70,80)内，设中位数为x ，则0.3(70)0.0450.5x +-⨯=，解得74.4x ≈，所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约为74.4分钟.（3）由题意，阅读时间位于[50,60)的人数为1000.110⨯=，阅读时间位于[60,70)的人数为1000.220⨯=，阅读时间位于[80,90)的人数为1000.220⨯=，所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为515010=，则抽取的5人中位于区间[50,60)有1人，设为a ，位于区间[60,70)有2人，设为1b ，2b ，位于区间[80,90)有2人，设为1c ，2c .则从5人中任取3人，样本空间()()()(){12111221Ω,,,,,,,,,,,,a b b a b c a b c a b c =()()()()()()}2212121122112212,,,,,,,,,,,,,,,,,a b c a c c b b c b b c b c c b c c .含有10个样本点.设事件A 为“恰有2人每天阅题组一 古典概型读时间在[80,90)”，()()(){}12112212,,,,,,,,A a c c b c c b c c =，含有3个样本点.所以3()10P A =，所以恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率为310. 2．（2022·青海西宁）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h ）的频率分布表.(1)求该校学生总数及频率分布表中实数,,x y z 的值；(2)已知日睡眠时间在区间[)6,6.5的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.【答案】(1)1800人，7,0.24,8x y z ===(2)35【解析】(1)设该校学生总数为n ，由题意1501505045660n --=，解得1800n =， ∴该校学生总数为1800人.由题意0.1450x=，解得127,0.2450x y ===，()505812108.z x =-----= (2)记“选中的2人恰好为一男一女”为事件A ，记5名高二学生中女生为12,F F ，男生为123,,M M M ， 从中任选2人有以下情况：()()()()()()()12111213212223,,,,,,,,,,,,,F F F M F M F M F M F M F M ，()()()121323,,,,,M M M M M M ，基本事件共有10个，其中事件A 包含的基本事件有6个，故()63105P A ==， 所以选中的2人恰好为一男一女的概率为35.3．（2022·河北张家口）英才中学为普及法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，并随机抽出100名学生进行法律常识考试，并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100人的平均成绩；(2)若成绩在[]90,100的学生中恰有两位是男生，现从成绩在[]90,100的学生中抽取3人去校外参加社会法律知识竞赛，求其中恰有一位男生的概率.【答案】(1)73分(2)35【解析】(1)由频率分布直方图可知()0.0050.040.030.005101a ++++⨯=，解得0.02a =， 所以这100人的平均成绩为：()550.005650.04750.03850.02950.0051073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， 即这100人的平均成绩为73分.(2)依题意可知成绩在[]90,100的有1000.005105⨯⨯=人，其中2位男生、3位女生，设3位女生分别为a 、b 、c ，2位男生为A 、B ，从中任取3人的取法有(),,a b c 、(),,a b A 、(),,a b B 、(),,a c A 、(),,a c B ，(),,a A B ，(),,b c A ，(),,b c B ，(),,b A B ，(),,c A B 共10种取法，其中恰有一个男生的有(),,a b A 、(),,a b B 、(),,a c A 、(),,a c B ，(),,b c A ，(),,b c B 共6种， 所以恰有一位男生的概率63105P ==. 4．（2022·河南·商丘市）蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱，某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题： (1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率； (2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润；(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取3人进一步了解情况，求抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次的概率．【答案】(1)25(2)23（元）(3)35【解析】(1)随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有20105540+++=（位）， 所以该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率4021005P == (2)第1次消费时，蹦床主题公园获取的利润为603030-=（元）， 第2次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.953027⨯-=（元）， 第3次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.903024⨯-=（元）， 第4次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.853021⨯-=（元）， 第5次或第6次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.803018⨯-=（元） 所以这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润为302724211818236+++++=（元）(3)由题意知，从消费次数为3次和4次的会员中抽取的人数分别为4人，2人， 这6人中，将消费3次的会员分别记为a ，b ，c ，d ，消费4次的会员分别记为e ，f 从6人中随机抽取3人的情况有(,,),(,,),(,,),(,,)a b c a b d a b e a b f ;(,,),(,,),(,,)a c d a c e a c f ;(,,),(,,)a d e a d f ;(,,)a e f ;(,,),(,,),(,,)b c d b c e b c f ;(,,),(,,)b d e b d f ；(,,)b e f ；(,,),(,,)(,,)c d e c d f c e f ；(,,)d e f ，共20种设“抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次”为事件A ，则事件A 包含的情况有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b e a b f a c e a c f a d e a d f b c e b c f b d e b d f c d e c d f ，共12种．根据古典概型的概率计算公式可得，()123205P A ==5．（2022·广西柳州）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[)0,20，第二组[)20,40，第三组[)40,60，第四组[)60,80，第五组[]80,100，得到频率分布直方图如图所示.(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. 【答案】(1)众数为70，平均数为65；(2)815【解析】(1)由频率分布直方图可知，众数为6080=702+； 5个组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.35，0.3，所以平均数为 100.05300.1500.2700.35900.365⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(2)由频率分布直方图可知第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.1， 则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人， 所以按分层抽样的方法抽到的6人中，第一组抽2人，记为12、a a ；第二组抽4人，记为1234b b b b 、、、，则121112131421222324121314232434{,,,,,,,,,,,,,,}a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b b b b b b b Ω=， 设事件A 为抽到的2人来着不同的组，则1112131421222324{,,,,,,,}A a b a b a b a b a b a b a b a b =，所以8()15P A =. 1．（2022·吉林）先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数．在第一次向上的点数为奇数的条件下，两次点数和不大于7的概率为（ ） A ．1318B ．712C ．310D ．23【答案】D【解析】设事件A 表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数为奇数”，题组二 条件概型事件B 表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，两次点数和不大于7”， 则1()2P A =，121()363P AB ==,所以1()23()1()32P AB P B A P A ===.故选：D. 2（2022·江西·高三阶段练习（理））从1，2，…，6这六个数字中随机抽取2个不同的数字，记事件A =“恰好抽取的是2，4”，B =“恰好抽取的是4，5”，C =“抽取的数字里含有4”．则下列说法正确的是（ ） A ．()()()P AB P A P B = B ．1()6P C =C ．()()P C P AB =D ．(|)(|)P A C P B C =【答案】D【解析】由题知，从6个数中随机抽取2个数，共有2615C =种可能情况，则1()15P A =，1()15P B =．对于A 选项，“恰好抽取的是2，4”和“恰好抽取的是4，5”为互斥事件，()0P AB =，()()0≠P A P B ，故A 错误；对于B 选项，1526C 1()C 3P C ==，故B 错误； 对于C 选项，()0P AB =，故C 错误；对于D 选项，由于1()()15P AC P BC ==，故由条件概率公式得()()()()(|)(|)P AC P BC P A C P B C P C P C ===，故D正确． 故选:D ．3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ） A ．()25P A =B ．()3|5P B A =C ．()1325P B = D ．()1|2P A B =【答案】C 【解析】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以()25P A =，故选项A 正确； 因为236()5525P AB =⨯=，所以()()()6325|255P AB P B A P A ===，故选项B 正确； 因为()233212555525P B =⨯+⨯=，故选项C 错误；因为()2365525P AB =⨯=，所以()()()6125|12225P AB P A B P B ===，故选项D 正确. 故选：C .4．（2022·山东济宁）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ） A ．128B ．110 C ．19D ．27【答案】D【解析】当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为27.故选：D 5．（2022·黑龙江）已知()12P AB =，()35P A =，则()P B A 等于（ ）．A ．56B ．910C ．310D ．110【答案】A【解析】()()()152365P AB P B A P A ===.故选：A. 6．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h ，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ） A ．716B ．38C ．516 D ．14【答案】A【解析】令事件1A =“玩手机时间超过1h 的学生”，2A =“玩手机时间不超过1h 的学生”，B =“任意调查一人，此人近视”，则样本空间12ΩA A =⋃，且12,A A 互斥，()()()()1210.2,0.8,0.5,0.45P A P A P B A P B ====∣， 依题意，()()()()()()112220.20.50.80.45P B P A P B A P A P B A P B A =+=⨯+⨯=∣∣∣， 解得()2716P BA =∣，所以所求近视的概率为716. 故选：A .7．（2022·河北张家口·高二期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为34，连续闯过前两关的概率为12，连续闯过前三关的概率为13，且各关相互独立.事件A 表示小明第一关闯关成功，事件C 表示小明第三关闯关成功，则()|P C A =（ ）A ．18B ．23C ．13D ．49【答案】D【解析】设事件B 表示小明第二关闯关成功，可得()()P AC P ABC =， 由条件概率的计算公式，可得()()()143394P ABC P CA P A ===∣.故选：D. 8．（2022·山东济宁）（多选）设M 、N 是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ） A ．()()()P M N P M P N ⋃=+B ．()()1P MN P MN =-C ．()()()|P MN P M P N M =D ．()()()()||P N M P M P M N P N =【答案】CD【解析】对A ，当,M N 不互斥时，()()()P M N P M P N ⋃=+不成立，故A 错误；对B ，当,M N 为对立事件时，()()0P MN P MN ==，则()()1P MN P MN =-不成立，故B 错误； 对C ，当()0P M =时，()()()|0P MN P M P N M ==成立，当()0P M ≠时，根据条件概率的公式()()()|P MN P N M P M =可得()()()|P MN P M P N M =成立，故C 正确；对D ，根据条件概率的公式，结合C 选项可得()()()()()()||P MN P N M P M P M N P N P N ==成立，故D 正确；故选：CD 9．（2022·福建福州）（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ） A ．事件B 与事件3A 相互独立 B ．()159P A B =C ．()2655P A B = D ．()922P B =【答案】BD【解析】由题意知：()151102P A ==，()221105P A ==，()3310P A =，()1511P B A =，()2411P B A =，()3411P B A =， ()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A ∴=++1514349211511101122=⨯+⨯+⨯=，D 正确；()()()()()()11111552119922P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====，B 正确；()()()22214451155P A B P A P B A ==⨯=，C 错误；()()()333346101155P A B P A P B A ==⨯=，()()339271022220P A P B =⨯=， ()()()33P A B P A P B ∴≠，∴事件B 与事件3A 不相互独立，A 错误.故选：BD. 1．（2022·河南）从标有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出两张卡片，则4号卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（ ）A ．14，14，12B ．14，14，14C ．13，13，12D ．14，13，12【答案】A【解析】4号卡片“第一次被抽到的概率”114P =， “第二次被抽到的概率”2311434P =⨯=，“在整个抽样过程中被抽到的概率”313114432P =+⨯=． 故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习（理））一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？题组三 古典与条件综合运用(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；（ⅰ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】(1)答案见解析 (2)（i ）证明见解析；(ii)6R =；【解析】（1）由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯，又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅，(ii) 由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =，所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅3．（2022·全国·高三专题练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.【答案】(1)23(2)25(3)35【解析】(1)设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB ，从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为()26A 30n Ω==，根据分步计数原理有()1145A A 20n A ==，所以()()()202303n A P A n Ω===.(2)由(1)知，()24A 12n AB ==，所以()()()122305n AB P AB n Ω===. (3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 ()()()235253P AB P B A P A ===.。

2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.题型一 求双曲线的标准方程【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)或x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －bA 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．题型二 双曲线定义的应用【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ，则点M 到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝ 36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．设P 为双曲线x 216－y29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．②①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．3.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0，|m |－3<0解得－3<m <2，∴m 的取值范围是{m |－3<m <2}．只考虑焦点在x 轴上，忽视了焦点在y 轴上的情况．[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}． 答案 {m |－3<m <2或m >3}方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m >n >0或n >m >0，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn <0，当m >0，n <0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c =3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56解析：如图，||||s i n s i n ||||222||sin ||21262BC AB A C BC AB a R R AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y-上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。

习 题 二 解 答1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31102-⨯。

分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。

解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。

由34311*1022222n n n n n n b a b a x x -----≤===<⨯ 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。

x *≈x 11=3.632。

指出：（1）注意精确度的不同表述。

精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。

（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。

如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。

1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。

解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+-当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有12223,x x =-=。

函数单调区间列表分析如下：因为214902150327(),()y y -=-<=-<，所以方程在区间223(,)-上无根； 因为21490327()y -=-<，而函数在23(,)-∞-上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。

所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。

2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于41102-⨯的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。

高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知点，，直线上有两个动点，始终使，三角形的外心轨迹为曲线为曲线在一象限内的动点，设，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意设，的外心为，则有即，又由得即，将代入化简得即，在中，由余弦定理可得即展开整理得即也就是，将、代入可得，整理可得，即的外心轨迹方程为设，则即，而又，所以所以，故选C.【考点】1.动点的轨迹；2.直线的斜率；3.两角和的正切公式.2.若点P到点的距离与它到直线y+3=0的距离相等，则P的轨迹方程为 () A．B．C．D．【答案】C【解析】根据抛物线的定义可知，条件为以为焦点的抛物线，所以轨迹为.【考点】抛物线的定义.3.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且在直线上的射影分别是，则的大小为 .【答案】.【解析】如图，由抛物线的定义可知：,∴；根据内错角相等知；同理可证而,∴.【考点】抛物线的定义.4.已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为；为椭圆上的四个点。

(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若，且，求四边形的面积的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 2，【解析】(Ⅰ)依题意可得椭圆C的一个焦点为知，在代入点即可得得到一个关于的等式从而可求出的值，即可得椭圆的标准方程.(Ⅱ) 由于，所以直线都过F点，从而又因为所以直线与直线相互垂直.所以四边形的面积为.故关键是求出线段的长度.首先要分类存在垂直于轴的情况，和不垂直于轴的情况两种.前者好求.后者通过假设一条直线联立椭圆方程写出弦长的式子，类似地写出另一条所得到的弦长.通过利用基本不等式即可求得面积的范围.从而再结合垂直于轴的情况，求出最大值与最小值.试题解析：（Ⅰ）由题椭圆C的一个焦点为知故可设椭圆方程为，过焦点且与长轴垂直的直线方程为，设此直线与椭圆交于A,B两点则，又，所以，又，联立求得，，故椭圆方程为.（Ⅱ）由，知，点共线，点共线，即直线经过椭圆焦点。

又知，（i）当斜率为零或不存在时，（ii）当直线存在且不为零时，可设斜率为，则由知，的斜率为所以：直线方程为：。