高中数学 第1章1.2.4第一课时知能优化训练 苏教版必修2

1.2.1 平 面 的 基 本 性 质

课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 1．空间物体的三视图：_______、_______、 ．空间物体的三视图： 正视图 、 左视图 、 俯视图 _______． _______． 2．斜二测画法： ．斜二测画法： 45°或135°； ° ° (1)斜：∠x′O′y′＝ ____________； 斜 ′ ′ ′ (2)二测：横_____，纵_____． 二测： 不变 ， 折半 ． 二测
3.平面的基本性质 平面的基本性质 (1)公理 ： 公理1： 公理 文字语言： ①文字语言：如果一条直线上的两点在一个 平面内，那么这条直线上_________都在这 平面内，那么这条直线上 所有的点 都在这 个平面内． 个平面内． ⊂ 符号语言： ②符号语言：若A∈α，B∈α，则______. ∈ ， ∈ ， AB⊂α (2)公理 ： 公理2： 公理 文字语言：如果两个平面有一个公共点， ①文字语言：如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他公共点，这些公共点的集 那么它们还有其他公共点， 合是_________________________． 合是 经过这个公共点的一条直线 ．
思考感悟 2．“线段AB在平面 内，直线 不全在平面 ． 线段 在平面 在平面α内 直线AB不全在平面 α内”这一说法是否正确，为什么？ 内 这一说法是否正确，为什么？ 提示：不正确． 提示：不正确． 在平面α内 ∵线段AB在平面α内， 线段AB在平面 上的所有点都在平面α内 ∴线段AB上的所有点都在平面 内， 线段 上的所有点都在平面 上的A、 两点一定在平面 两点一定在平面α内 ∴线段AB上的 、B两点一定在平面 内， 线段 上的 在平面α内 公理 公理1) ∴直线AB在平面 内．(公理 直线 在平面

1．下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( )2．若f (1x )＝11＋x，则f (x )等于( ) A.11＋x(x ≠－1) B.1＋x x (x ≠0) C.x 1＋x(x ≠0且x ≠－1) D ．1＋x (x ≠－1) 3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( )A ．3x ＋2B ．3x －2C ．2x ＋3D ．2x －34．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________.1．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( )A. x 非负数 非正数y 1 －1B. x 奇数 0 偶数y 1 0 －1C.x 有理数 无理数y 1 －1D. x 自然数 整数 有理数y 1 0 －12．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于( ) A ．1 B ．3C ．15D ．303．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋74．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合此学生走法的是( )5．如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－16．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的函数解析式为( )A ．y ＝12x (x >0)B ．y ＝24x (x >0) C ．y ＝28x (x >0) D ．y ＝216x (x >0) 7．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________．8. 如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f (3)]的值等于________． 9．将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝x 2的图象，则函数f (x )的解析式为__________________．10．已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )．11．已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x2＋1x ，求f (x )．12．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，对于x ∈R 恒成立，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．。

1．已知直线分析：由于l 1， l 2，平面l 1平行于平面α，且l1∥l2，l1∥α，则α，因此在α 内存在直线l 2与b 与α 的地点关系是l 1平行．由于________．l 2∥ l 1，因此l 2∥b，因此 l 2∥α或 l 2?α.答案： l 2∥α或 l 2?α2．能保证直线 a 与平面α平行的条件是________(填序号)．①b?α， a∥ b；② b?α， c∥α， a∥ b，a∥ c；③b?α， A、 B∈ a， C、 D∈ b，且 AC＝ BD；④ a?α， b?α， a∥ b.分析：①错误，若 b?α， a∥ b，则 a∥α或 a?α；②错误，若 b?α， c∥α， a∥ b，a∥ c，则 a∥α或 a?α；③错误，若知足此条件，则 a∥α或 a?α，a 与α订交；④正确．答案：④3．以下两个命题，在“ ________”处都缺乏一个条件，补上这个条件使其组成真命题( 其中 l 、 m为直线，α、β为平面)，则此条件为________．?l ∥mm α①l ∥ m? l∥α②m∥α? l∥α分析：①表现的是线面平行的判断定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”即“l ? α”，它相同也合适②. 故填l ?α.答案： l ?αl ?α4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的地点关系是 ________．分析：如图，取D1B1的中点 O，连接 OF， OB.1 1∵OF 2B1C1， BE 2B1C1，∴OF BE，四边形 OFEB为平行四边形，∴ EF∥ BO.∵ EF?平面 BB1D1D，BO?平面 BB1D1D，∴EF∥平面 BB1D1D.答案：平行一、填空题1．下边命题中正确的选项是________( 填序号 ) ．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线 l 上有无数个点不在平面α 内，则l∥α；③若直线 l 与平面α订交，则 l 与平面α内的随意直线都是异面直线；④假如两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条必定与该平面订交；⑤若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的直线平行或异面；⑥若三个平面两两订交，则有三条交线．分析：①正确；若直线与平面订交，直线上也有无数个点不在平面内，故②不正确；直线 l 与平面 α 订交，则 l 与平面 α 内过交点的直线不是异面直线， 故③不正确； 两条异面直线中的一条与一个平面平行，另一条可能与该平面平行或在平面内或订交，故④不正确；直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 无公共点，因此 l 与平面 α 内的直线也无公共点，两直线无公共点，即两直线平行或异面，故⑤正确；三个平面两两订交，可能有三条交线， 也可能有一条交线，故⑥不正确．答案：①⑤2．正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 中， E 为 DD 1的中点，则 BD 1 与过 A ，C ，E 三点的平面的地点关系是 ________．分析：如下图，连接BD交AC 于点O . 在正方体中简单获得点O为BD 的中点，又由于E为DD 1的中点，因此OE ∥BD 1.又∵ OE ? 平面 ACE ， 答案：平行 3．过正方体 ABCD － BD 1?平面 ACE ，∴ BD 1∥平面 ACE .A 1B 1C 1D 1 随意两条棱的中点作直线，此中与平面DBB 1D 1 平行的直线共有________条．分析：如图，在面 EFGH 与面 MNPQ 中分别有 6 条直线知足题意， 故共有 12 条切合要求． 答案： 124．(2020 年南通调研 ) 梯形 ABCD 中， AB ∥CD ，AB ? 平面 α，CD ?平面 α，则直线 CD 与 平面 α 的地点关系是 ________．分析：由于 AB ∥ CD ， AB ? 平面 α， CD ?平面 α，由线面平行的判断定理可得 CD ∥α. 答案： CD ∥ α ， 是 1 1 的中点， 是 上的点且∶ ＝1∶ 2， 5．正方体－ 1 1 1 1 的棱长为NABCD A B CD a M A B AB AN NB过 D 1、 M 、 N 的平面交 AD 于点 G ，则 NG ＝________.分析：过 D 1、 M 、 N 的平面与 AD 的交点 G 地点如图，此中 A G ∶2 1GD ＝ 2∶ 1，AG ＝ 3a ， AN ＝ 3a ，在 Rt △ AGN 中，＝2 2＋ 12＝ 5 .NG3a3a3 a5a答案：36．在正方体 ABCD －A 1B 1 C 1D 1 中， E 、 F 是对角线A 1D 、B 1D 1 的中点，则正方体六个面中有________个面与直线 EF 平行．分析：连接 DC 1，∵ E 、 F 分别为 A 1D 、 A 1C 1 的中点，∴ EF ∥DC 1，又 EF ?平面 DC 1，DC 1? 平面 DC 1，∴ EF ∥平面 DC 1.同理可证 EF ∥平面 AB 1. 答案： 27．如图， 一块矩形木板 ABCD 的一边 AB 在平面 α 内，把这块矩形木板绕 AB 转动，在转动的过程中， AB 的对边 CD 与平面 α 的地点关系是 ________．CD ∥ AB . ∵ AB ? α， CD ?α，分析：不论如何转动，都有∴ CD ∥α. 当木板转到平铺在平面 α 上时， CD ? α. 答案： CD ∥ α 或 CD ? α8．如图， a ∥ α ，A 是 α 的另一侧的点， B 、C 、D ∈ a ，线段 AB 、 、 分别交 α 于 、、. 若 ＝ 4， ＝ 4， ＝5，则 ＝ ________.AC ADE F G BD CFAF EG分析：∵ a ∥ α，平面 α∩平面 ABD ＝ EG ，∴ a ∥ EG ，即 BD ∥ EG ，EF FG AF EF ＋ FG EGAF∴＝＝＝＝＝，BC CD AC BC ＋CD BD AF ＋ FCAF · BD 5×4 20∴EG ＝ AF ＋ FC ＝5＋ 4＝ 9.20答案：99．设 m 、 n 是平面 α 外的两条直线，给出三个论断：① m ∥ n ；② m ∥ α；③ n ∥ α. 以此中的两个为条件， 余下的一个为结论， 结构三个命题，写出你以为正确的一个命题： ________( 用序号表示 ) ．分析：设过 m 的平面 β 与 α 交于 l ，∵ m ∥α ，∴ m ∥l ，∵ m ∥n ，∴ n ∥l ， ∵ n ?α， l ? α，∴ n ∥ α.答案：①② ? ③( 或①③ ? ② )二、解答题10．如图，四边形 ABCD ， ADEF 都是正方形， M ∈ BD ， N ∈ AE ，且BM ＝ AN . 求证： MN ∥平面 CED .证明：如图，连接AM ，并延伸交 CD 于 G ，连接 GE .AM BM∵ AB ∥CD ，∴ ＝ .MG MDAM BM∴ ＋＝＋ ，MG AM BM MD即 AM BM＝ .AG BD又∵ BD ＝ AE 且 AN ＝ BM ， AM AN∴＝ ，AG AE ∴ MN ∥EG .又 EG ? 平面 CDE ， MN ?平面 CDE ， ∴ MN ∥平面 CDE .11．如图， 四边形 ABCD 是矩形， P ?平面 ABCD ，过 BC 作平面 BCFE 交 AP 于 E ，交 DP 于 F . 求证：四边形 BCFE 是梯形．证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD?平面 PAD，∴ BC∥平面PAD.∵面 BCFE∩面 PAD＝ EF，∴ BC∥EF.∵AD＝BC， AD≠EF，∴ BC≠ EF，∴四边形 BCFE为梯形．12．(2020 年常州质检 ) 如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，1面 CDE是等边三角形，棱EF2BC.求证： FO∥平面 CDE.证明：如图，取CD中点 M，连接 OM.1在矩形 ABCD中， OM2BC，1又 EF 2BC，则 EF OM.连接 EM，于是四边形EFOM为平行四边形．∴FO∥EM.又∵ FO?平面 CDE，且 EM?平面 CDE，∴FO∥平面 CDE.。

1.2.3
直线与平面的位置关系
第一课时 直线与平面平行
学习目标 1．了解空间线面平行的有关概念； ．了解空间线面平行的有关概念； 2．能正确地判断空间线面的平行关系； ．能正确地判断空间线面的平行关系； 3．理解关于空间中线面平行的判定定理和性 ． 质定理． 质定理．
第 一 课 时 直 线 与 平 面 平 行
思考感悟 2．若直线a与平面 平行，是不是平面 内所 ．若直线 与平面 平行，是不是平面α内所 与平面α平行 有直线都与a平行？ 有直线都与 平行？ 平行 提示：不是． a∥α，则平面α内的直线可 提示：不是．若a∥α，则平面α内的直线可 能与a平行，也可能与 异面 异面． 能与 平行，也可能与a异面． 平行 3．“若a∥b，a∥α，则b∥α”一定正确吗 ． ∥ ， ∥ ， ∥ ”一定正确吗? 提示：不一定正确．有可能 ⊂ 提示：不一定正确．有可能b⊂α.
【答案】 答案】
0 借助几何模型(如长方体、 借助几何模型 如长方体、 如长方体
【名师点评】 名师点评】
正方体、三棱锥等)是解决此类位置关系判 正方体、三棱锥等 是解决此类位置关系判 断题的有效方法． 断题的有效方法．
变式训练1 变式训练 填序号)． 填序号 ．
下列说法中正确的是________( 下列说法中正确的是
【思路点拨】 思路点拨】
要证线面平行， 要证线面平行，可以将其转
化为线线平行， 化为线线平行，即在平面内找到一条平行于 EF的直线，又E、F分别为 、SC的中点， 的直线， 分别为AB、 的中点 的中点， 的直线 、 分别为 就容易找到直线的平行关系， 就容易找到直线的平行关系，故可以考虑作 辅助线，构成平行四边形， 辅助线，构成平行四边形，从而找到平行于 EF并且在平面 并且在平面SAD内的直线． 内的直线． 并且在平面 内的直线

1．下列各组对象中不能构成集合的是()A．水浒书业的全体员工B．《优化方案》的所有书刊C．2010年考入清华大学的全体学生D．美国NBA的篮球明星2．(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1B．2C．3 D．43．集合A＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素()A．2个B．3个C．4个D．无数个4．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．1．若以正实数x，y，z，w四个元素构成集合A，以A中四个元素为边长构成的四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形2．设集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A3．给出以下四个对象，其中能构成集合的有()①教2011届高一的年轻教师；②你所在班中身高超过1.70米的同学；③2010年广州亚运会的比赛项目；④1,3,5.A．1个B．2个C．3个D．4个4．若集合M＝{a，b，c}，M中元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形5．下列各组集合，表示相等集合的是()①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{3,2}，N＝{2,3}；③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．A．①B．②C．③D．以上都不对6．若所有形如a＋2b(a∈Q、b∈Q)的数组成集合M，对于x＝13－52，y＝3＋2π，则有()A．x∈M，y∈M B．x∈M，y∉MC．x∉M，y∈M D．x∉M，y∉M7．已知①5∈R；②13∈Q；③0＝{0}；④0∉N；⑤π∈Q；⑥－3∈Z.其中正确的个数为________．8．对于集合A＝{2,4,6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的取值是________．9．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则|a|a＋|b|b的可能取值组成的集合中元素的个数为________．10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．11．集合A是由形如m＋3n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，试判断12－3是不是集合A 中的元素？12．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，试求a与b的值．。

例1
已知棱长为a的正方体 已知棱长为 的正方体ABCD－ 的正方体 －
A′B′C′D′中，M，N分别为 ，AD的 ′ ′ ′ ′ 分别为CD， 的 ， 分别为 中点，求证四边形 中点，求证四边形MNA′C′是梯形． ′ ′是梯形． 【思路点拨】 思路点拨】 要证明一个四边形是梯形， 要证明一个四边形是梯形，
3．异面直线 ． (1)定义：_____________________的两条直 定义： 定义 不同在任何一个平面内 的两条直 线叫做异面直线． 线叫做异面直线． (2)画法：图形表示为如图所示(通常用一个 画法：图形表示为如图所示 通常用一个 画法 或两个平面衬托)． 或两个平面衬托 ．
(3)判定定理：过平面内一点与平面外一点 判定定理： 判定定理 的直线，与这个平面内 不经过该点 的直线 的直线，与这个平面内___________的直线 是异面直线． 是异面直线． 符号表示：若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则 符号表示： ⊂ ， ∉ ， ∈ ， ∉ ， 直线AB与 是异面直线 是异面直线． 直线 与l是异面直线．
求异面直线所成的角 求异面直线所成的角， 求异面直线所成的角，关键是寻找出相应的 平行线所成的角，进而构造出某个三角形， 平行线所成的角，进而构造出某个三角形， 看作求此三角形一内角的问题． 看作求此三角形一内角的问题．
例3
(本题满分 分)在正方体 本题满分14分 在正方体 在正方体ABCD－A1B1 本题满分 －
综上， 和 不是异面直线不成立 不是异面直线不成立． 综上，AE和DF不是异面直线不成立． 是异面直线． 故AE和DF是异面直线． 和 是异面直线 名师点评】 【名师点评】 证明两条直线为异面直线， 证明两条直线为异面直线，
方法主要有两种： 方法主要有两种： (1)定理法，即：a⊂α，线a与 是异面直线 是异面直线． 反证法 反证法． 直线 与AB是异面直线．(2)反证法．

1.1.4
直观图画法
学习目标 1．了解斜二测画法的概念； ．了解斜二测画法的概念； 2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形 ． 和立体图形的直观图； 和立体图形的直观图； 3．通过观察三视图和直观图，了解空间图 ．通过观察三视图和直观图， 形的不同表示形式及不同形式间的联系． 形的不同表示形式及不同形式间的联系．
【名师点评】 名师点评】
利用斜二测画法画空间图形
的直观图应遵循的基本原则： 的直观图应遵循的基本原则： (1)画空间图形的直观图在要求不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ严格的情 画空间图形的直观图在要求不太严格的情 况下，长度和角度可适当选取． 况下，长度和角度可适当选取． (2)画法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖 画法规则可简记为：两轴夹角为 ° 画法规则可简记为 轴垂直仍不变，平行不变，长度变， 轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不 变，纵折半． 纵折半．
2 3 2 2 1 a. ∴S 梯形 A′B′C′D′＝ (a＋2a)× a＝ ＋ × ＝ 2 4 2 在平面图形中， ＝ ， ＝ ， 在平面图形中，AB＝2a，CD＝a，高 AD＝2a. ＝ 1 ∴S 梯形 ABCD＝ (a＋2a)·2a＝3a2. ＋ ＝ 2 3 2 2 a S直观图 4 2 ∴ ＝ ＝ . 3a2 4 S平面图形
变式训练2 变式训练
用斜二测画法画长、 用斜二测画法画长、宽、高分
别是4 的长方体ABCD－ 别是 cm、3 cm、2 cm的长方体 、 、 的长方体 － A′B′C′D′的直观图． ′ ′ ′ ′的直观图． 解：(1)画轴．如图所示，画x轴、y轴、z轴, 画轴．如图所示， 轴 轴 轴 画轴 三轴相交于点O， 三轴相交于点 ，使∠xOy＝45°，∠xOz ＝ ° ＝90°. °

1．下列说法正确的是________(填序号)．①二面角是两个平面相交所组成的图形；②二面角是指角的两边分别在两个平面内的角；③角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角是二面角的平面角；④二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱．解析：二面角是指一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形，其构成要素是：两个半平面和一条直线(即它的棱)，其本质是一个空间图形，所以①、②均错误．二面角的平面角是指以二面角的棱上任意一点为端点，分别与位于两个半平面内且垂直于棱的两条射线所成的角．它的两边必须满足三个条件：(a)分别在两个半平面内；(b)相交于棱上一点；(c)都和棱垂直．故③错误．二面角的平面角的两条边都和棱垂直，所以二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱．答案：④2．二面角的平面角所在的平面和二面角的棱的位置关系是________，和二面角的两个半平面的位置关系是________．答案：垂直垂直3．下列说法中正确的是________(填序号)．①若平面α和平面β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；②若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β；③若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.解析：本题考查的是对垂直关系的定义的理解，同学们要走出“无数”的误区，如④中，可举反例如两平面相交、平行等．答案：③4．锐二面角α－l－β，直线AB⊂α，AB与l所成的角为45°，AB与平面β成30°角，则二面角α－l－β的大小为________．解析：如图，作AO⊥l于O，作AC⊥β于C，连结BC，OC.∴在Rt△AOB中，设AB＝1，则AO＝22，∵在Rt△ACB中，∠ABC＝30°，∴AC＝12AB＝12，∴在Rt△ACO中，sin∠AOC＝ACAO＝1222＝22，∴∠AOC＝45°.答案：45°一、填空题1．在空间中，下列结论正确的是________(填序号)．①平行直线的平行投影重合②平行于同一直线的两个平面平行 ③垂直于同一平面的两个平面平行 ④垂直于同一平面的两条直线平行解析：由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合，所以①不正确；平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，所以②不正确；垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行，所以③不正确；由于垂直于同一平面的两条直线平行，所以④正确．答案：④2．(2020年高考湖北卷改编)用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列说法：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b . 其中正确说法的序号为________．解析：由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a ∥c ；③不正确，a 与b 有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．答案：①④3．已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面(如图)，则图中互相垂直的平面有________对． 解析：面PAD ⊥面ABCD ，面PAB ⊥面ABCD ，面PAB ⊥面PBC ，面PDC ⊥面PAD ，面PAD ⊥面PAB .答案：54．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________(填序号)．①AB ∥m ②AC ⊥m ③AB ∥β ④AC ⊥β 解析：如图所示：AB ∥l ∥m ；AC ⊥l ，m ∥l ⇒AC ⊥m ；AB ∥l ⇒AB ∥β.答案：④5．如图所示，在边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC ，沿AD 将△ABD 折起，若折起后点B ，C 间的距离为12a ，则二面角B －AD －C 的大小为________．解析：因为△ABC 是正三角形，AD ⊥BC ，所以AD ⊥BD ，AD ⊥CD .所以∠BDC 是二面角B－AD －C 的平面角．在△BCD 中，BD ＝CD ＝BC ＝12a ，所以∠BDC ＝60°，即二面角B －AD －C的大小为60°.答案：60°6．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角； ④AB 与CD 所成的角为60°.其中正确结论的序号是________．(写出所有你认为正确的结论的序号)解析：如图，连结对角线AC 、BD ，交于点O ，则AO ⊥BD ，CO ⊥BD . ∴BD ⊥平面OAC ，∴BD ⊥AC ，OA ＝OC ＝OD ，且两两垂直， ∴AC ＝CD ＝AD ，△ACD 是等边三角形． ∠ABO ＝45°为AB 与平面BCD 所成的角，取AD 、AC 的中点E 、F ，易证OE ＝EF ＝OF ＝12CD .△OEF 为等边三角形，∴AB 与CD 成60°角．∴①②④正确． 答案：①②④7．把锐角A 为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角．则折叠后AC 的长为________．解析：如图，取BD 中点O ， 连结A ′O ，CO . ∴A ′O ⊥BD ，CO ⊥BD ，∴∠A ′OC 即为二面角A ′－BD －C 的平面角．∴∠A ′OC ＝60°，又∵A ′O ＝CO ＝12AC ，∴A ′C ＝12AC ＝32a .答案：32a 8．等边△ABC 边长为1，BC 边上高为AD ，沿AD 折成直二面角，则A 到BC 的距离为________．解析：如图，AD ⊥BD 、AD ⊥CD 得∠BDC 为直二面角B －AD －C 的平面角．则∠BDC ＝90°，在Rt △BDC 中，BD ＝DC ＝12，∴BC ＝22.∵AB ＝AC ＝1，设E 是BC 的中点，则AE ⊥BC .在Rt△ABE中，AB＝1，BE＝BC2＝24，∴AE＝144.即A到BC的距离是144.答案：1449．(2020年高考四川卷)如图，二面角αlβ的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，过点A作AC⊥l，垂足为C，AD⊥β，垂足为D，连结CD、BD.由题意知∠ACD＝60°，∠ABC＝30°，∠ABD即为AB与平面β所成的角．设AC＝a，则AB＝2a，AD＝32a，∴sin∠ABD＝32a2a＝34.答案：34二、解答题10．过点S引不共面的直线SA，SB，SC，如图，∠BSC＝90°，∠ASC＝∠ASB＝60°，若截取SA＝SB＝SC＝a.求证：平面ABC⊥平面BSC.证明：法一：∵SA＝SB＝SC＝a，∠ASC＝∠ASB＝60°，∴△ASB和△ASC都是等边三角形．∴AB＝AC＝a.取BC的中点为H，连结AH，SH.∴AH⊥BC，SH⊥BC.在Rt△BSC中，BS＝CS＝a，∴BC＝2a.∴AH2＝AC2－CH2＝a 2－(22a )2＝a22.∴SH 2＝SC 2－CH 2＝a 2－(22a )2＝a22.在△SHA 中，∵AH 2＝a 22，SH 2＝a 22，SA 2＝a 2， ∴SA 2＝SH 2＋AH 2.∴AH ⊥SH .∴AH ⊥平面SBC .又∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面SBC . 法二：∵SA ＝AC ＝AB ，∴顶点A 在平面SBC 上的射影为△SBC 的外心． 又△SBC 为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点． ∴AH ⊥平面SBC .∵AH ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面SBC .11．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，求截面A 1BD 和EBD 所成二面角的大小．解：如图，连结AC 交BD 于点O ，分别连结EO 、A 1O 、A 1C 1、A 1E . 由EB ＝ED ，A 1B ＝A 1D 知EO ⊥BD ，A 1O ⊥BD ， 故∠EOA 1为所求二面角的平面角． 设正方体的棱长为a ，则在Rt △A 1AO 、Rt △ECO 、Rt △A 1C 1E 中分别求出A 1O ＝62a ，EO ＝32a ，A 1E ＝32a ， 因为A 1O 2＋EO 2＝A 1E 2. 所以∠EOA 1＝90°.即截面A 1BD 和EBD 所成二面角的大小为90°.12．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面EAC ；(2)若AD ＝2AB ＝2，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值．解：(1)证明：连结BD交AC于O，连结EO，因为O、E分别为BD、PD的中点，所以EO ∥PB，EO⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，所以PB∥平面EAC.(2)设N为AD中点，连结PN，则PN⊥AD.又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD，所以∠PBN为直线PB与平面ABCD所成的角，又AD＝2AB＝2，则PN＝3，NB＝2，所以tan∠PBN＝32＝62，即PB与平面ABCD所成角的正切值为62.。

第 垂 直 及 二 面 角 二 课 时 平 面 与 平 面 知能优化训练 课前自主学案 课堂互动讲练
课前自主学案
温故夯基 1．空间中平面与平面的位置关系：平行 、 ． 空间中平面与平面的位置关系： ____、 相交 ； ____； 2 ． 平面与平面平行的判定定理 ： a ⊂ α， ， ∩ ＝ b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β. ⊂ ，_______， ∥ ， ∥ ， ∥ 3．两个平面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝ ．两个平面平行的性质定理： ∥ ， ＝ a∥b a，β∩γ＝b，则______. ∥ ， ＝ ，
第二课时 平面与平面垂直及二面角
学习目标 1.了解面面垂直的有关概念，能正确判断空 了解面面垂直的有关概念， 了解面面垂直的有关概念 间面与面的垂直关系； 间面与面的垂直关系； 2．理解空间中面面垂直的判定定理和性质 ． 定理； 定理； 3．了解二面角及其平面角的概念． ．了解二面角及其平面角的概念．
2 1 AB＝ ， BE＝ 在△ABD 中， ＝a， ＝ BD＝ a， ＝ ， 2 2 2 2 2 ∴AE＝ AB －BE ＝ a. ＝ 2 2 同理， ＝ 同理，CE＝ a. 2 2 在△AEC 中，AE＝CE＝ a，AC＝a， ＝ ＝ ， ＝ ， 2 ∴AC2＝AE2＋CE2， ∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，即二面角 ⊥ ， ＝ ， A-BD-C 的平面角为 90°， ， ∴平面 ABD⊥平面 BCD. ⊥
二面角的求法 求二面角大小的关键是根据不同问题给出的 几何背景，选择恰当的方法， 几何背景，选择恰当的方法，从而作出二面 角的平面角，化归为求三角形的内角． 角的平面角，化归为求三角形的内角． 已知ABCD是正方形，V是平面 是正方形， 是平面 是平面ABCD 已知 是正方形 外一点， 外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角 ＝ ＝ ＝ ，求二面角A 的余弦值． －VB－C的余弦值． － 的余弦值

1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是( )2．(2011年葫芦岛高一检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3 (x ＞10)f (f (x ＋5)) (x ≤10)，则f (5)的值是( ) A ．24 B ．21C ．18D ．163．函数y ＝x ＋|x |x 的图象为( )4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x ＋1，x ＜11x， x ＞1的值域是________．1．设f ：A →B 是集合A 到B 的映射，其中A ＝{x |x ＞0}，B ＝R ，且f ：x →x 2－2x －1，则A 中元素1＋2的像和B 中元素－1的原像分别为( )A.2，0或2 B ．0,2C ．0,0或2D ．0,0或 22．某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km 为1.6元(不足1 km ，按1 km 计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为( )3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －x 2(0≤x ≤3)x 2＋6x (－2≤x ≤0)的值域是( ) A ．R B ．[－9，＋∞)C ．[－8,1]D ．[－9,1] 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1＜x ＜2)2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32C ．1，32或±3 D. 35．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1， x 为有理数，0， x 为无理数， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， x 为有理数，1， x 为无理数，当x ∈R 时，f (g (x ))，g (f (x ))的值分别为( ) A ．0,1 B ．0,0C ．1,1D ．1,06．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2 (x ≤－1)，2(x ＋1) (－1<x <1)，1x －1 (x ≥1)，已知f (a )>1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－12，12 C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，1 D.⎝⎛⎭⎫－12，12∪(1，＋∞) 7．设A ＝B ＝{a ，b ，c ，d ，…，x ，y ，z }(元素为26个英文字母)，作映射f ：A →B 为A 中每一个字母与B 中下一个字母对应，即：a →b ，b →c ，c →d ，…，z →a ，并称A 中的字母组成的文字为明文，B 中相应的字母为密文，试破译密文“nbuj ”：________.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，f (x －2)， x ＞0，则f (4)＝________. 9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)·f (x ＋2)≤5的解集是________． 10．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2 (－1≤x ≤1)1 (x ＞1或x ＜－1)， (1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．11．某汽车以52千米/小时的速度从A地到260千米远的B地，在B地停留112小时后，再以65千米/小时的速度返回A地．试将汽车离开A地后行驶的路程s(千米)表示为时间t(小时)的函数．12.如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y与x的函数解析式，并画出大致图象．。

1．下列命题中，真命题是( )A ．函数y ＝1x是奇函数，且在定义域内为减函数B ．函数y ＝x 3(x －1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C ．函数y ＝x 2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数D ．函数y ＝ax 2＋c (ac ≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数2．奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)的值为( )A ．10B ．－10C ．－15D ．153．f (x )＝x 3＋1x 的图象关于( ) A ．原点对称 B ．y 轴对称 C ．y ＝x 对称 D ．y ＝－x 对称4．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f (x )为奇函数，那么a ＝________.1．函数f (x )＝x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 2．下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝|x |＋x B ．f (x )＝x 2＋1xC ．f (x )＝x 2＋xD ．f (x )＝|x |x23．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )f (－x )是奇函数 B ．f (x )|f (－x )|是奇函数 C ．f (x )－f (－x )是偶函数 D ．f (x )＋f (－x )是偶函数4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，那么g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数5．奇函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象必过点( ) A ．(a ，f (－a )) B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a ))D ．(a ，f (1a ))6．f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )≥2，则当x ≤0时( )A ．f (x )≤2B ．f (x )≥2C ．f (x )≤－2D ．f (x )∈R7．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________.8．下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③f(x)＝0(x∈R)既是奇函数，又是偶函数；④偶函数的图象关于y轴对称．其中正确的命题是________．9．①f(x)＝x2(x2＋2)；②f(x)＝x|x|；③f(x)＝3x＋x；④f(x)＝1－x2x.以上函数中的奇函数是________．10．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x－1) 1＋x1－x；(2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x(x＜0)－x2＋x(x＞0).11．判断函数f(x)＝1－x2|x＋2|－2的奇偶性．12．若函数f(x)的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立．试判断f(x)的奇偶性．。

1．以下说法：①公义 1 可用会合符号表达为：若∈，∈且∈α，∈α，则必有l ∈α；A lB l A B②四边形的两条对角线必订交于一点；③用平行四边形表示的平面以平行四边形的四条边作为平面的界限限；④梯形是平面图形．此中正确的说法个数为________．分析：关于①，直线 l 在α内应表示为 l ?α；关于②，当四边形的四个极点不共面时，对角线不交于一点；关于③，平面拥有无穷延展性，无界限；关于④，由平行的两条边确立平面，再由公义 1 知，梯形的腰也在这个平面内．故④正确．答案： 12．在图中，A________平面ABC；A________平面BCD；BD________平面 ABD； BD________平面ABC；平面 ABC∩平面ACD＝______；________∩________＝BC.分析：表示点在平面内或点在直线上用“∈”，表示点在平面外或点在直线外用“ ?”，表示直线在平面内用“ ? ”，表示直线不在平面内用“ ?”．BCD答案：∈? ??AC平面ABC平面3．两个平面的公共点的个数为________．分析：两个平面平行时，无公共点；两个平面订交时，有无数个公共点．答案： 0 或无数4．空间有四个点，假如此中随意三点都不共线，那么经过此中三个点的平面有________个．1 个；四点不共面时，经过此中的三点可画四分析：当四点共面时，经过三点的平面有个平面．答案：一或四一、填空题1．以下说法中正确的个数为________．①过三点起码有一个平面；②过四点不必定有一个平面；③不在同一平面内的四点最多可确立 4 个平面．分析：①正确，此中三点不共线时，有且仅有一个平面．三点共线时，有无数个平面；②正确，四点不必定共面；③正确．答案： 32．①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线相互均分的四边形是平行四边形．空间中，上述四个结论必定建立的是________( 填上全部你以为正确的命题的序号) ．分析：空间中，两组对边分别相等的四边形不必定是平行四边形，如下图．答案：①②④3．设平面α与平面β订交于l，直线a? α，直线b? β，a∩b＝M，则M________l .分析：由于 a∩b＝ M， a?α， b?β，因此 M∈α，M∈β，又由于α∩β＝l，因此M∈l.答案：∈4．在四周体ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，假如EF∩GH ＝P，则点 P 必定在直线______上．分析：∵ EF∩ GH＝ P， EF?平面 ABC，∴ P∈平面 ABC.又 GH?平面 ACD，∴ P∈平面 ACD.∵平面 ABC∩平面 ACD＝ AC，∴ P∈AC.答案： AC5．正方体各面所在的平面可将空间分红________个部分．分析：正方体的各个面所在平面将空间分红三层，且每层被分红9 部分，故共分红27 部分．答案： 276．A、B、C、D为不共面的四点，E、 F、 G、H分别在 AB、 BC、CD、 DA上，(1)假如 EH∩ FG＝ P，那么点 P 在________上；(2)假如 EF∩ GH＝ Q，那么点 Q在________上．分析： (1) 如图，由AB、AD确立平面α.∵ E、H在 AB、 DA上，∴ E∈α， H∈α，∴直线 EH?α，又∵ EH∩ FG＝ P，∴P∈ EH， P∈α.设 BC、 CD确立平面β，同理可证， P∈β，∴ P 是平面α，β的公共点，∵α∩β＝BD，∴点P在直线BD上．同理可证 (2) 的结论．答案： (1) BD所在的直线(2) AC所在的直线7．已知平面α、β，直线l，点A、B、C，它们知足：α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β，且 ? ，又直线∩＝，、、三点确立的平面为γ，则平面β与平面γ的C αAB l DABC交线是 ________．分析：∵ ∈，?β，∴ ∈，又∈β，γ由、、三点确立，∴?γ，∈D l l D β C A B C AB C γ，又D∈AB，∴D∈γ，∴CD是β 与γ 的交线．答案：直线CD8．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈β，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.分析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β， C∈ AB，∴AB∩β＝ C.答案： C9．在如下图的正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图是________( 填序号 ) ．分析： (1) 图中PS∥QR，∴P、Q、R、S四点共面；(3)图中 SR∥ PQ，∴ P、 Q、 R、 S 四点共面．答案： (1)(3)二、解答题10．如图，用符号表示以下图形中点、直线、平面之间的地点关系．解：题图 (1) 中，α∩β＝，∩＝，∩＝ .l a α A a β B题图 (2) 中，α∩β＝l，a? α，b? β，a∩l＝P，b∩l＝P.11．已知A、B、C是平面α外不共线的三点，且AB、 BC、 CA分别与α交于点 E、 F、G，求证： E、 F、 G三点共线．证明：如图，过A、 B、 C作一平面β，则 AB?β， AC?β， BC?β.∴ E∈β， F∈β， G∈β.设α∩β＝l，∵AB、BC、CA分别与α 订交于点E、F、G，∴E∈α， F∈α， G∈α.∴E、 F、 G必在α与β的交线上．∴E、 F、 G三点共线．12．如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证： AA1、 BB1、 CC1交于一点．证明：如下图，∵A1B1∥ AB，∴ A1B1与 AB确立一平面α，同理， B1C1与 BC确立一平面β，C1A1与CA确立一平面γ.易知β∩γ ＝C1C.又△ABC与△A1B1C1不全等，∴AA1与 BB1订交，设交点为 P，P∈ AA1， P∈BB1.而 AA1?γ， BB1?β，∴ P∈γ， P∈β，∴P 在平面β与平面γ的交线上．又β∩γ＝C1C，依据公义2知，P∈C1C，∴ AA1、 BB1、 CC1交于一点．。

（新课程）2013高中数学 第一章1.2.1知能优化训练1．已知α的终边过点P (4，－3)，则下面各式中正确的是________．(只填序号)①sin α＝45；②cos α＝－45；③tan α＝－34；④tan α＝－43. 解析：易知x ＝4，y ＝－3，r ＝5，所以sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34. 答案：③2．对三角函数线，下列说法正确的是________．①对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线；②有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在；③任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在；④任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在．答案：④3．设θ是三角形的内角且θ≠π2，则下列各组数中均取正值的是________．(只填序号) ①tan θ与cos θ；②cos θ与sin θ；③sin θ与tan θ；④tan θ2与sin θ； 解析：∵θ是三角形的内角且θ≠π2，∴0＜θ＜π且θ≠π2，∴sin θ＞0，tan θ2＞0. 答案：④4．已知cos α＝－513，且α是第二象限角，则tan α＝________. 解析：∵cos α＝－513， ∴sin α＝±1－cos 2α＝±1213. 又∵α又是第二象限角，∴sin α＞0，∴sin α＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝－125. 答案：－125一、填空题1．下列说法中，正确的个数为________．①终边相同的角的同名三角函数值相等；②终边不同的角的同名三角函数值不全相等；③若sin α＞0，则α是第一、二象限角；④若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边上的一点，则cos α＝－x x 2＋y 2 .解析：三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系故①②都是正确的；当α的终边与y 轴的非负半轴重合时，sin α＝1＞0，故③是不正确的；无论α在第几象限，cos α＝xx 2＋y 2，故④也是不正确的．因此只有2个正确．答案：22．用不等号(＞或＜)填空： (1)sin 4π5·cos 5π4·tan 5π3________0； (2)tan100°sin200°·cos300°________0. 解析：(1)∵4π5在第二象限，5π4在第三象限，5π3在第四象限， ∴sin 4π5＞0，cos 5π4＜0，tan 5π3＜0. ∴sin 4π5·cos 5π4·tan 5π3＞0. (2)∵100°在第二象限，200°在第三象限，300°在第四象限，∴tan100°＜0，sin200°＜0，cos300°＞0，∴tan100°sin200°·cos300°＞0. 答案：(1)＞ (2)＞3．若A 是第三象限角，且|sin A 2|＝－sin A 2，则A 2是第________象限角． 解析：∵A 是第三象限角，∴2k π＋π＜A ＜2k π＋3π2(k ∈Z)，∴k π＋π2＜A 2＜k π＋3π4(k ∈Z)，∴A 2是第二、四象限角． 又∵|sin A 2|＝－sin A 2，∴sin A 2＜0，∴A2是第四象限角． 答案：四4．已知MP ，OM ，AT 分别为60°角的正弦线、余弦线和正切线，则一定有________．(只填序号)①MP ＜OM ＜AT ；②OM ＜MP ＜AT ；③AT ＜OM ＜MP ；④OM ＜AT ＜MP . 解析：sin60°＝32，cos60°＝12，tan60°＝ 3. 答案：②5．若0＜x ＜π2，则下列命题中正确的是______．(只填序号) ①sin x ＜3πx ；②sin x ＞3πx ；③sin x ＜4π2x 2；④sin x ＞4π2x 2. 解析：令x ＝π6，则sin π6＝12，3π·x ＝12，4π2·x 2＝19.故④正确． 答案：④6．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在________象限．解析：∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0，∴角α的终边在第二象限．答案：第二7．若sin αcos α＜0，则函数y ＝sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|的值域为________． 解析：由sin αcos α＜0，知α在第二象限或第四象限．当α在第二象限时，sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，则：y ＝－1；当α在第四象限时，sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0，则：y ＝－1.综上可得，值域为{－1}．答案：{－1}8．已知点P (1，y )是角α的终边上的一点，且cos α＝36，则y ＝________. 解析：由三角函数定义知：cos α＝11＋y 2， ∴1y 2＋1＝36，∴y ＝±11. 答案：±11二、解答题9．判断下列各式的符号：(1)α是第四象限角，sin α·tan α；(2)sin3·cos4·tan(－23π4)． 解：(1)∵α是第四象限角，∴sin α＜0，tan α＜0，∴sin α·tan α＞0.(2)∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，∴sin3＞0，cos4＜0. ∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan(－23π4)＞0， ∴sin3·cos4·tan(－234π)＜0. 10．已知角α的终边与函数y ＝32x 的图象重合，求α的正弦、余弦、正切值． 解：函数y ＝32x 的图象是过原点和一、三象限的直线，因此α的终边在第一或第三象限．当α的终边在第一象限时，在终边上取点P (2,3)，则r ＝22＋32＝13，于是sin α＝313＝31313，cos α＝213＝21313，tan α＝32；当α的终边在第三象限时，在终边上取点P ′(－2，－3)，则r ′＝－22＋－32＝13，于是sin α＝－313＝－31313，cos α＝－213＝－21313，tan α＝－3－2＝32. 11．求证：当α∈(0，π2)时，sin α＜α＜tan α. 证明：如图，设角α的终边与单位圆相交于点P ，单位圆与x 轴正半轴交点为A ，过点A 作圆的切线交OP 的延长线于T ，过P 作PM ⊥OA 于M ，连接AP ，则：在Rt△POM 中，sin α＝MP ；在Rt△AOT 中，tan α＝AT ；又根据弧度制的定义，有AP ＝α·OP ＝α，易知S △POA ＜S 扇形POA ＜S △AOT ，即12OA ·MP ＜12AP ·OA ＜12OA ·AT ， 可得sin α＜α＜tan α.。

第 一 课 时 平 面 与 平 面 平 行 知能优化训练 课堂互动讲练 课前自主学案
课前自主学案
温故夯基 1．直线与平面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b， ．直线与平面垂直的判定定理： ⊥ ， ⊥ ， ＝ a⊂α，b⊂α，_______⇒l⊥α. ⊂ ， ⊂ ， a∩b＝P ⇒ ⊥ 2．直线与平面垂直的性质定理：l⊥α， ．直线与平面垂直的性质定理： ⊥ ， ⊥ a⊂α⇒____. ⊂ ⇒ l⊥a
【名师点评】 构造相关图形，利用空间图形 名师点评】 构造相关图形， 的形象、直观来说明两个平面的位置关系， 的形象、直观来说明两个平面的位置关系，说 服力强，令人信服， 服力强，令人信服，需要注意的是在作图时必 须把问题涉及的各种情况都考虑清楚， 须把问题涉及的各种情况都考虑清楚，而无遗 利用正方体(或长方体 这个“百宝箱 或长方体)这个 百宝箱”能有 漏．利用正方体 或长方体 这个 百宝箱 能有 效地判定与两个平面的位置关系有关命题的真 因此我们要灵活地运用这个“百宝箱 百宝箱”来判 假，因此我们要灵活地运用这个 百宝箱 来判 定两个平面的位置关系．另外， 定两个平面的位置关系．另外，像判定直线与 直线、直线与平面的位置关系一样， 直线、直线与平面的位置关系一样，反证法也 是判定两个平面的位置关系的有效方法． 是判定两个平面的位置关系的有效方法．
解析： 正确，任何直线包括两条相交直线， 解析：②正确，任何直线包括两条相交直线， 故能判定两平面平行． 正确， 故能判定两平面平行．③正确，由面面平行 的定义可得知． 的定义可得知． 答案： 答案：②③
平面与平面平行的判定 两个平面平行的判定或证明是将其转化为一 个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 的问题．即“若线面平行，则面面平行”． 的问题． 若线面平行，则面面平行 ． 若线面平行

（新课程）2013高中数学 第一章1.1.2知能优化训练1．下列常见角0°，30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，180°，将它们用弧度制分别表示为________．答案：0，π6，π4，π3，π2，2π3，3π4，5π6，π 2．α＝－2 rad ，则α的终边在________．解析：－2 rad ＝－2×(180π)°≈－57.30°×2＝－114.60°， ∴α为第三象限角．答案：第三象限3．已知圆内1 rad 的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为________．解析：首先求出圆的半径r ＝1sin 12，再利用弧长公式求弧长． 答案：1sin 124．设集合M ＝{α|α＝k π2－π3，k ∈Z}，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________. 解析：分别取k ＝－1,0,1,2，得α＝－5π6，－π3，π6，2π3. 答案：{－5π6，－π3，π6，2π3}一、填空题1．下列结论不正确的是________．(只填序号)①π3rad ＝60°；②10°＝π18rad ；③36°＝π5rad ；④5π8rad ＝115°. 解析：5π8 rad ＝5π8×(180π)°＝112.5°，所以④错． 答案：④2．集合A ＝{x |x ＝k π＋π2，k ∈Z}与集合B ＝{x |x ＝2k π±π2，k ∈Z}之间的关系是________．解析：因为角的集合{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z}与{x |x ＝2k π－π2，k ∈Z}分别表示终边落在y 轴的正、负半轴上的角的集合，所以B 表示终边落在y 轴上的角的集合，所以A ＝B .答案：A ＝B3．已知A ，B 是半径为2的圆O 上两点，∠AOB ＝2弧度，则劣弧AB 的长度是________． 解析：根据弧长公式l ＝|α|·r 知劣弧AB 的长度为2×2＝4.答案：44．若长为30 cm 的弧所对圆心角为72°，则这条弧所在的圆的半径为________．(精确到1 cm)解析：∵72°＝72×π180＝2π5，∴这条弧所在的圆的半径为30÷2π5＝75π≈24 (cm)． 答案：24 cm5．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.解析：∵角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，∴α＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴角α的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z}．∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2k π＋π3＜4π，k ∈Z ，∴－136＜k ＜116.∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1，∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π3. 答案：－11π3，－5π3，π3，7π36．在(－4π，4π)内与－58π7角的终边相同的角是________． 解析：首先写出与－587π角的终边相同的角的集合{α|α＝2k π－587π，k ∈Z}．然后再写出(－4π，4π)内的角α. 答案：－16π7，－2π7，12π7，26π77．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数为________．解析：设圆的半径为r ，这段弧所对的圆心角为α，则正方形边长为2r ，则2r ＝r ·α，即α＝ 2.答案： 28．已知一扇形的圆心角为π3rad ，半径为R ，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．解析：先求出圆的半径r 与扇形半径R 的比为1∶3，再求它们的面积的比． 答案：2∶3二、解答题9．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积．解：(1)∵120°＝120180π＝23π， ∴l ＝|α|·r ＝6×23π＝4π， ∴AB 的长为4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π， 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，于是有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos30°×3＝9 3. ∴弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.∴弓形的面积是12π－9 3.10．一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形面积是多少？解：设弧长为l ，所对圆心角为α，则l ＋2r ＝πr ，即l ＝(π－2)r .∵|α|＝l r ＝π－2，|α|＝(π－2)·(180π)°≈65.41°. ∴α的弧度数是π－2，度数为65.41°.从而S 扇形＝12lr ＝12(π－2)r 2. 11．设集合A ＝{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z}，B ＝{x |x 2≤36}，试求集合A ∩B . 解：由集合A ＝{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z}，可知A ＝…∪[－9π4，－7π4]∪[－5π4，－3π4]∪[－π4，π4]∪[3π4，5π4]∪[7π4，9π4]∪….由B ＝{x |x 2≤36}，可得B ＝{x |－6≤x ≤6}，在数轴上将两个集合分别作出，如图．可得集合A ∩B ＝[－6，－7π4]∪[－5π4，－3π4]∪[－π4，π4]∪[3π4，5π4]∪[7π4，6]．。