下载文档原格式
模糊数学论文姓名：张益群学号：2015111165学院：经济管理学院专业：应用经济学摘要: 自从有了模糊数学，人们总习惯于追求精确性和清晰性。
随着科学技术的发展，人们对客观世界存在的大量模糊现象产生了越来越浓厚的兴趣，希望也能用数学的方法清楚地表述和处理模糊现象。
以下简要介绍模糊数学是怎样产生的，模糊数学的发展以及模糊数学的应用，并以模糊数学在土地资源评价中的应用为例介绍模糊数学的实际应用。
关键字: 模糊数学；起源；实际应用1 模糊数学的起源和发展1.1 传统数学的局限性我们都知道，利用传统数学的精确性，人们可以设计远程炮弹，甚至洲际导弹，将误差压缩在很小的范围内; 电子计算机能在几个小时内将圆周率计算到小数点后十万位; 电子计算机能在几小时内将圆周率计算到小数点后十万位，能在几分钟内解出含有1000 个未知数的方程组，其速度之快令人惊叹,, 一句话，传统数学的精确性有目共睹，它的广泛应用举不胜举。
但是，客观世界还存在着另一个普遍现象——模糊现象。
例如从倾盆大雨到绵绵细雨，这一自然现象的变化是逐渐的，什么叫大雨? 什么叫中雨? 什么叫小雨?没有明确的界限。
又比如老师们常常用“优”、“良”、“差”诸等级来评定学生的学习成绩，但什么是优? 什么是良? 什么是差呢? 彼此的界限又在哪里呢? 如果90 分以上（含90 分）为优，那么89 分就是良。
90 分与89 分仅有一分之差，而概念“优”与“良” 却差别很大，这样的评分显然不科学。
模糊现象反映到人们的思维中，便形成了没有明确的内涵和外延的模糊概念，如“一堆”、“老年人”、“中等”“附近”、“高”与“矮”、“很大”与“很小”、“浓” 与“淡”，“好看”与“难看”等等。
这些都是模糊的概念。
科学的发展，伴随着数学的全面渗透等等，一些过去与数学关系不大的学科，如教育学，语言学，管理学等人文学科，都迫切需要定量化和数学化。
但是，当人们应用传统数学的思想方法去处理客观现实中的模糊现象时却遇到了实质性的困难，比如讲，一个拥有2000 人的师范学校的门卫员，能够根据一些模糊印象判断进出门的人是否是本校的教职工或学生，可是，如果让计算机来识别进出门的是谁，那它就得按照精确的数学方法，测量来人的身高，体重，胖瘦，手臂摆动的角度，走路的速度及声音频率等一大堆数据，而且还要精确到小数点后几十位才行。
模糊数学综合评价总结第一篇：模糊数学综合评价总结模糊综合评判1、概念及基本知识1965年，美国著名自动控制专家查德（L.A.Zadeh）教授提出了模糊（fuzzy）的概念，并发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文“模糊集合”（fuzzy set）。
他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。
并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。
而模糊综合评价是根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价的一种综合评价方法。
它具有结果清晰，系统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以量化的问题，适合各种非确定性问题的解决。
在决策中，对于方案、人才、成果的评价，人们的考虑往往是从多种因素出发的，而且这些考虑一般只能用模糊语言来描述。
例如，评价者从考虑问题的诸因素出发，参照有关的数据和情况，根据他们的判断对复杂问题分别作出“大、中、小”；“高、中、低”；“优、良、可、劣”；“好、较好、一般、较差、差”等程度的模糊评价。
然后通过模糊数学提供的方法进行运算，就能得出定量的综合评价结果。
2、模糊综合评价的基本原理首先确定被评价对象的因素（指标）集合评价（等级）集；再分别确定各个因素的权重及它们的隶属度向量，获得模糊评判矩阵；最后把模糊评判矩阵与因素的权向量进行模糊运算并进行归一化，得到模糊综合评价结果。
其特点在于评判逐对象进行，对被评价对象有唯一的评价值，不受被评价对象所处对象集合的影响。
综合评价的目的是要从对象集中选出优胜对象，所以还需要将所有对象的综合评价结果进行排序。
3、模糊综合评判方法步骤1、确定评价对象的因素论域2、确定评语等级论域3、进行单因素评价，建立模糊关系矩阵R4、确定评价因素的模糊权向量5、多因素模糊评价6、对模糊综合评价结果进行分析答案二：模糊综合评价的一般步骤如下：ϖ（1）确定评价对象的因素集ϖ（2）确定评语集；ϖ（3）作出单因素评价ϖ（4）综合评价1、确定评价对象的因素集U={u1,u2,L,um}1也就是说有m个评价指标，表明我们对被评价对象从哪些方面来进行评判描述。
模糊数学结课论文模糊集合所含的元素是模糊的，它只能由其隶属函数来表示。
然而，在研究和处理实际问题时我们总希望对模糊概念有个明确的认识和判定，即给定一个标准之后希望能知道某个元素，即模糊集合的明确归属问题。
为此我们需要知道模糊集合与经典集合之间的相互转化关系。
本论文简单介绍表现定理及其应用。
截集概念在模糊集合与经典集合的互相转化中起着重要的桥梁作用，在解决实际问题中也经常用到。
定义1 设()A X ∈F,对任意[]0,1λ∈，记()(){}ddA A x A x λλλ==≥，称A λ为A 的λ-截集，λ称为置信水平。
又记()(){}d dA A x A x λλλ••==>，称A λ•为A 的λ-强截集。
用经典子集的集合套来表现模糊集，进一步阐明模糊集是由经典集扩充而成的。
定义2 令[]()():0,1,H X H λλ→P满足：()()1212H H λλλλ<⇒⊇,称H 为X 上一个集合套，全体集合套组成的集合记作()X U .定义3 在()X U 中规定运算并，交，补如下：1212121212121):()()()(),2):()()()(),3):()()(),4):()()(),5):()(1).ddddH H H H x H x H x H H H H x H x H x H H H H H H H H H γγγγγγγγγγγγλλλλλλ∈∈∈∈∈∈=====-ΓΓΓΓΓΓ定理1 （表现定理Ⅰ）设H 为X 上的任何一个集合套，则[0,1]()A H λλλ∈=是X 上的一个模糊集，且[0,1]∀∈λ，有(1)();A H αλα•>=λ (2)().A H λαλα<=证明 因[0,1]λ∀∈，()()H X λ∈P ，而()()H X λλ∈F ，故()[]()0,1H X λλλ∈∈F，记[0,1]()A H λλλ∈=.根据分解定理欲证(1),(2)，只须证[0,1],()A H A λλλλ•∀∈⊆⊆即可。
模糊综合评价法评价某河流水质摘要：根据水环境发展现状和发展情况，采用模糊数学综合评价法根据有关规定和实测数据建立评价因素集、评语集，确定权向量，组合因素评价矩阵，确定隶属度，对河流的水质情况进行客观的评价，取隶属程度最大值所对应的等级作为河流的水质等级。
关键词：模糊综合评价 因素评价矩阵 隶属度本题目只是采用了部分水污染因子来代表整体对河水进行评价。
待测河流取样所得数据SS含量79，DO7.04，CDOMN4.92,N NH 30.51,单位均为L mg /。
试确定该河流的水质情况属于哪一个等级？根据有关规定，水质分级标准如下表所示：水质分级标准表（mg/L ）1、 建立评价对象因素数集),,,,,(54321u u u u u U =,水质等级评价集合）（,,,,,v V 54321v v v v =，通过比较实测数据与等级划分标准，只取前四个等级来判别，得到的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 1.5 1 0.5 0.158 6 4 23 5 6 7.5350 250 15050A 评价对象T B )51.0,92.4,04.7,79(=2、对数据进行标准化。
这里采用单个只占总体的比值来进行标准化，评价集合A 进行标准化：∑==41ij c j ijijaa 得到标准化矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4761905.03174603.01587302.0047619.04.03.02.01.04.024.02.01600.04375.03125.01875.00.0625C 按照这种方法对B 进行标准化得T D )1619.0,246.0,1705.0,09875.0(= 3、贴近度的计算。
矩阵D 与矩阵C 某列的贴近度显示了该样本与某种等级的接近程度，程度高的可近似归为该等级。
这里采用相对距离贴近度：),4,3,2,1,4,3,2,1()min()max(1==---=j i c c d c r ij ij iij ij 由此可以得到贴近度矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0.2666556 0.6370259 0.9926037 0.7333440.4866667 0.82 0.8466667 0.5133330.04375 0.7104167 0.8770833 0.956250.0966667 0.43 0.7633333 0.903333R 4、权向量的计算。
《模糊数学》小论文我初次接触模糊数学是在最优化方法这门课程中，由于课程需要老师向我们简单介绍了模糊数学研究的内容，当时脑子里面就有了对模糊数学的映像，下面简单介绍一下我对这门课程的认识与收获。
经典集合论中，在确定一个元素是否属于某集合时，只能有两种回答：“是”或者“不是”。
这时一个元素是否属于集合，不能光用0和1两个数字表示，而可以取0和1之间的任何实数。
例如对1.75米的身高，可以说具有70%属于高个子集合的程度。
有些现象本质上就是模糊的，如果硬要使之精确，自然难以符合实际。
精确与模糊，有本质区别，但又有内在联系，两者相互矛盾、相互依存也可相互转化。
所以，精确性的另一半是模糊。
我通过网络和和相关书籍总结了模糊数学研究的主要内容有以下三个方面：第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。
在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。
比如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属程度为 0，按照扎德给出的公式，55岁属于“老”的程度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度0.8。
扎德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。
当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。
第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。
人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。
为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建立和是的模糊数学模型，这是运用数学方法的关键。
扎德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量化、形式化。
如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他文法稍有错误，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。
模糊数学论文模糊数学理论在证券投资分析中的应用一、引言本文主要针对我国的A股市场，由于单个股票价格受多种因素影响，波动较大，易受人为操控，而股票指数相对更客观，因此，本人利用模糊数学理论中综合评判方法，将基本面分析、技术面分析和经典理论分析三者结合起来对股票指数未来走向进行分析，为证券投资者买卖决策提供一种新思路。
二、模糊数学理论模糊数学是一门新兴学科，是研究和处理模糊性现象的数学理论和方法，它不是让数学变成模糊，而是让数学研究进入到模糊现象这样的领域。
1965年美国控制论学者扎德(L.A.Zadeh)发表论文《模糊集合》，标志着这门新学科的诞生。
该学科发展的主流是在它的应用方面,由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊性数学的方法来描述。
例如模糊聚类分析、模糊综合评判、模糊决策、模糊控制等。
这些方法构成了一种模糊性系统理论，它已经广泛应用于计算机科学、人工智能、信息处理、控制工程、经济与管理科学、气象预报等领域。
三、模糊综合评判目前证券投资分析方法很多，大体可分为基本面分析和技术面分析二种。
其中，基本面分析指的是根据证券基本面的情况(包括:公司财务状况、市场消息面、宏观政策等等)进行分析，从而判断证券未来中长期市场价格的总体发展方向。
技术面分析是依据市场价格以前的走势，借助指标、成交量等数据，推测证券短期内的涨跌和买入点卖出点。
为进一步提高分析结论的准确率，本人再结合K线理论、道氏理论、波浪理论、江恩理论、股市心理博弈等经典理论分析方法，将以上三大类分析方法进行综合，细化基本面分析、技术面分析和经典理论分析的各个指标要素，根据要素之间关系的紧密程度对每个要素设定权重系数,能后借助模糊数学理论中综合评判方法进行分析得出结论，其数学模型如下: (一)模糊综合评判特点。
根据确定标准:对事物按单因素进行评价，称为“单一评判”;对事物按多因素进行评价，称为“综合评判”。
《模糊集合理论及其应用》论文
《模糊集合理论及其应用》
模糊集合（Fuzzy Set,FS）是属于模糊数学（Fuzzy Mathematics）领域的一门研究，它以广义的语言和表述形式描述客观事物。
该理论可以处理模糊不确定性和词语本身的模糊性，为表达模糊语义提供新的方法。
模糊集合理论最早由美国著名数学家Zadeh提出，1967年提出了模糊集合的概念，认为“实数集的元素可以不是绝对明确的，而可能有不同的模糊性，即模糊的真实值”。
从而为模糊0和1的综合计算提供了基础。
模糊集合理论应用于不确定领域，被用来处理决策分析，尤其是处理决策者所面临的大量模糊信息。
随着深度学习技术的发展，模糊集合理论已被广泛用于知识挖掘和分类算法，帮助企业把握客户的行为趋势。
此外，模糊集合理论也可以应用于智能控制，医疗诊断，信息服务，市场营销，证券投资等多种领域，为智能决策提供强有力的支持。
模糊集合理论的发展和应用，将推动未来智能决策、智能管理和智能控制，为构建智能社会做出更大贡献。
总之，模糊集合理论是一种可以用来处理不确定领域的理论，它为解决模糊不确定领域提供了许多有用的思维方法和工具，已经在许多领域如决策分析、知识挖掘和智能控制等中得到了
广泛的应用，并且在未来的智能决策、智能管理和智能控制方面发挥着重要作用。
模糊数学在毕业论文评定中的应用毕业论文摘要：随着现代科学技术的不断发展，模糊数学理论在各个领域中都得到了广泛的应用。
模糊数学理论的特点是，它可以处理不确定性和模糊性的信息，有效地解决问题。
本文从模糊集合、模糊关系、模糊逻辑等多个方面分析了在毕业论文评定中的应用，其中涉及到的所有要素都是不确定的或模糊的。
通过对毕业论文的评定，发现模糊数学能够很好地解决评定过程中存在的不确定性，提高了评定的准确性和可靠性。
关键词：模糊数学；毕业论文；评定；不确定性；模糊性一、背景介绍毕业论文是高等教育的重要组成部分。
它是指在本科或研究生阶段为了完成学业而写的一篇较为完整的学术性论文。
毕业论文的评定是学院或学校授予学位的重要环节之一。
传统的评定方法通常是根据规定的评价指标进行量化评定，最终将结果汇总得出评价结果。
然而，在实际评定过程中，评价指标的权重往往并不确定，评价标准也可能存在模糊性。
而模糊数学理论具有处理不确定性和模糊性信息的能力，因此可以很好地应用于毕业论文评定中。
二、模糊数学理论简介2.1 模糊集合模糊集合是指那些元素不必完全满足集合定义中的所有特征，而是只需满足一个程度上的特征即可被包含在集合中的一类集合。
模糊集合可以通过隶属函数来描述，该函数用于描述元素与集合之间的关系。
2.2 模糊关系模糊关系是一种反映元素之间关系的数学对象。
它与传统的关系不同之处在于，它允许元素之间的关系不是非黑即白的，而是一种程度上的关系。
2.3 模糊逻辑模糊逻辑是一种能够处理模糊性信息的逻辑。
与传统的逻辑不同，模糊逻辑可以允许命题的真假度不是只有两种取值（真或假），而是在0到1这个区间上取值。
因此，对于那些具有一定程度的不确定性或模糊性的情况，模糊数学可以提供更为准确有效的处理方法。
三、模糊数学在毕业论文评定中的应用在毕业论文评定中，模糊数学可以应用于多个方面，其中包括：3.1 评价指标权重的确定评价指标权重的确定是毕业论文评定中的一个关键步骤。
理学硕士学位论文模糊数学在综合评价中的应用张晓慧哈尔滨工业大学2004年7月国内图书分类号：TP183国际图书分类号：681.518.5理学硕士学位论文模糊数学在综合评价中的应用硕 士 研究生：张晓慧导 师：冯英浚 教授申请学位级别：理学硕士学 科、专 业：运筹学与控制论所 在 单 位 ：数学系答 辩 日 期 ：2004年7月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index: TP183U.D.C: 681.518.5Dissertation for the Master Degree in ScienceTHE APPLICATION OF FUZZYMATHEMATIC IN POLY-INDEXEV ALUATIONCandidate: Zhang XiaohuiSupervisor: Prof. Feng YingjunAcademic Degree Applied for:Master of ScienceSpeciality: Operational Research and Cybernetics Date of Oral Examination: July, 2004University: Harbin Institute of Technology哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘要评价已经深入到人们生活的各个方面，因此对评价方法的研究显得至关重要。
我们认为评价是人的一种智能活动，由于被评对象往往受各种不确定性因素的影响，而模糊性又是其中最为主要的。
因此将模糊数学这种人工智能的工具应用于评价就显得非常自然和必要。
本文一方面将模糊数学应用于一种常用的评价方法——数据包络分析（DEA），提出了一类DEA模型（BCC模型）的一般形式，解决了以往DEA模型只能面向输入或面向输出这一局限性，建立了一种能够测算决策单元同时面向输入和输出时的相对有效性的DEA模型。
并且选择不同的隶属函数可使模型具有不同的侧重点，使模型能更好地反映评价的实际。
模糊数学期末论文针对北京、天津、河北、山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江，我国北方的8个省或直辖市省级行政区农村人口的食品消费数据进行模糊聚类分析。
第一步：数据标准化 一、数据矩阵设论域},,,{821x x x U =表示我国这8个省市的样本数据，每个样本用6个指标表示其性状，即)8,,2,1(},,{621 ==i x x x x i i i i原始数据如下【1】：样本编号行政区 粮食 蔬菜 猪牛羊肉家禽 蛋类 水产品1 北京 99.37 96.25 18.2 3.29 10.88 5.65 2天津140.9262.8712.61.2311.69.623 河北 180.1553.66 7.21 0.89 7.22 2.614 山西 177.6570.56 5.71 0.69 6.05 0.85 内蒙古 187.0470.9 27.96 2.79 5.36 2.066 辽宁 179.36167.9218.52 2.36 2.06 1.017 吉林 153.2699.25 11.32 3.55 8.56 4.048 黑龙江 156.2383.67 10.1 3.41 6.22 4.29二、 数据标准化令)6,,2,1;8,,2,,1('==-=k i s x x x kkik ik ,消除量纲的影响，利用matlab 程序（见附件一）得到样本标准化矩阵R ：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0.1442 0.2451- 1.8626 0.1656- 0.0079- 0.0082-0.0762 0.3152 2.0926 0.1132- 0.0197 0.0162-0.7482- 1.2411- 0.1376 0.1964 0.1417 0.05440.4625- 0.4510- 0.8440 0.6023 0.0306- 0.0751 0.8053- 0.2858- 2.6060- 0.3544- 0.0312- 0.0497 0.3129- 0.0057- 2.2774- 0.2899- 0.0612- 0.0565 1.5944 1.0430 1.7189- 0.0582- 0.0449- 0.0495-0.5142 0.8706 1.6655 0.1826 0.0144 0.1619-R 其中，.)(81;8181281∑∑==-==i k ik k i ik k x x s x x第二步：标定——建立模糊相似矩阵采用欧式距离法建立相似矩阵R ，令∑=-∙-=612)(1k jk ik ij x x C r 为了使10≤≤ij r ，选取31=C （在这里，我首先计算了各样本间的欧式距离，发现最大的距离为2.7893，所以选择了31=C ），利用matlab 程序（见附件二）得模糊相似矩阵R 如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 1.0000 0.9992 0.8673 0.9387 0.8497 0.9652 0.6495 0.9772 0.9992 1.0000 0.8867 0.9516 0.8705 0.9748 0.6158 0.9680 0.8673 0.8867 1.0000 0.9864 0.9995 0.9684 0.0854 0.7344 0.9387 0.9516 0.9864 1.0000 0.9804 0.9963 0.2949 0.8410 0.8497 0.8705 0.9995 0.9804 1.0000 0.9596 0.0402 0.7098 0.9652 0.9748 0.9684 0.9963 0.9596 1.0000 0.3937 0.8860 0.6495 0.6158 0.0854 0.2949 0.0402 0.3937 1.0000 0.8055 0.9772 0.9680 0.7344 0.8410 0.7098 0.8860 0.8055 1.0000R 第三步：聚类一、用平方法求传递闭包16161616842;:)(R R R R R R R R R t =→→→→ ,经过4次平方法得到传递闭包矩阵)(R t ，即模糊矩阵16)(R R t =。
模糊数学结课论文模糊集合所含的元素是模糊的，它只能由其隶属函数来表示。
然而，在研究和处理实际问题时我们总希望对模糊概念有个明确的认识和判定，即给定一个标准之后希望能知道某个元素，即模糊集合的明确归属问题。
为此我们需要知道模糊集合与经典集合之间的相互转化关系。
本论文简单介绍表现定理及其应用。
截集概念在模糊集合与经典集合的互相转化中起着重要的桥梁作用，在解决实际问题中也经常用到。
定义1 设()A X ∈F,对任意[]0,1λ∈，记()(){}ddA A x A x λλλ==≥，称A λ为A 的λ-截集，λ称为置信水平。
又记()(){}d dA A x A x λλλ••==>，称A λ•为A 的λ-强截集。
用经典子集的集合套来表现模糊集，进一步阐明模糊集是由经典集扩充而成的。
定义2 令[]()():0,1,H X H λλ→P满足：()()1212H H λλλλ<⇒⊇,称H 为X 上一个集合套，全体集合套组成的集合记作()X U .定义3 在()X U 中规定运算并，交，补如下：1212121212121):()()()(),2):()()()(),3):()()(),4):()()(),5):()(1).ddddH H H H x H x H x H H H H x H x H x H H H H H H H H H γγγγγγγγγγγγλλλλλλ∈∈∈∈∈∈=====-ΓΓΓΓΓΓ定理1 （表现定理Ⅰ）设H 为X 上的任何一个集合套，则[0,1]()A H λλλ∈=是X 上的一个模糊集，且[0,1]∀∈λ，有(1)();A H αλα•>=λ (2)().A H λαλα<=证明 因[0,1]λ∀∈，()()H X λ∈P ，而()()H X λλ∈F ，故()[]()0,1H X λλλ∈∈F，记[0,1]()A H λλλ∈=.根据分解定理欲证(1),(2)，只须证[0,1],()A H A λλλλ•∀∈⊆⊆即可。
因为[0,1][()]()x A H x λαααλ•∈∈⇒∧>∨ 0[0,1]λ⇒∃∈，使00()()H x λλλ∧> 0λλ⇒>，且0()()1H x λλ= 0()().x H H λλ⇒∈⊆另一方面，()()()1x H H x λλ∈⇒= [0,1][()]()()()H x H x αααλλλ∈⇒∧≥∧=∨ ().A x x A λλ⇒≥⇒∈ 所以(),[0,1].A H A λλλλ•⊆⊆∀∈证毕。
注 表现定理Ⅰ为我们提供一种构造模糊集的有效方法，即设(),H X ∈U 则()()[0,1]A H X λλ∈=∈λF ，其隶属函数为[](){}()0,1,.A x x H x X λλ=∨∈∈∈ (1)例 设{}12345,,,,X x x x x x =，给定X 上一个集合套H 如下：()()()()();(,,,,);;(,,,,);;(,,,,);;(,,,,);;(,,,,).H H H H H λλλλλλλλλλ=<<=≤≤=<≤=<≤==0 1111100.2 011110.20.5 010110.50.8 010100.81 01010 则由式(1)可得[](){}[](){}[][](){}[]11220,0.8330,0.2()0,10,()0,10.8,()0,10.2,A x x H A x x H A x x H λλλλλλλλλλ∈∈=∨∈∈==∨∈∈=∨==∨∈∈=∨=同理可得45()10,()0.5,A x A x ==故由所给集合套H 得到的模糊集合为(0,0.8,0.2,1,0.5).A =证明 对于任意()H X ∈U 及[0,1],λ∀∈有(1)()();H H βααλαλαβ<>>=(2)()().H H βααλαβαβ><<=证明 （1）因对于任意βα<，()()H H αβ⊆，从而有()().H H βααβ<⊆故()().H H βααλαλαβ<>>⊆反之，对于任意αλ>，存在γ使αγλ>>.若()x H βαβ<∈，则()()x H H αλγα**>∈⊆，从而有()(H H βααλβα**<>⊆，故()()().H H H βααλαλαλβαα**<>>>⊆=所以()().H H βααλαλαβ<>>=（2）类似可证。
定理2 （表现定理Ⅱ）令()()()()[]0,1:,dT X X H T H H λλλ∈→=U F ,那么，T 是()(),,,X U 到()(),,,X F 上的同态满射，且()()()T H H T H λλλ•⊆⊆ []()0,1λ∈,()()a T H H λλα<=[]()0,1λ∈，()()a T H H λλα•>=[]()0,1λ∈.证明 1）()()()[]()0,1,H X T H H X λλλ∈∀∈=∈U F唯一确定，所以T 是()X U 到()X F 的映射。
2）()A X ∀∈F，令()[](0,1),H A λλλ=∈得(),H X ∈U 使()[]0,1,T H A A λλλ∈==所以T 是()X U 到()X F 的满射。
3）往证()()()T H H T H λλλ•⊆⊆ []()0,1λ∈.()()()1x H H x λλ∈⇒=[0,1]()()[()]()()()T H x H x H x αααλλλ∈⇒=∧≥∧=∨ (),x T H λ⇒∈ 于是()().H T H λλ⊆ 又()()()0,()()0x H H x H x λλαλα∉⇒=⇒∀≥=[0,1][0,][0,1]()()[()]()[()]())T H x H x H x ααλααααααλ∈∈∈⇒=∧=∧≤=∨∨∨(),x T H λ•⇒∉于是()()T H H λλ•⊆.4）由于()()()([0,1]),T H H T H a ααα•⊆⊆∀∈由分解定理，我们有()()a T H H λλα<=[]()0,1λ∈，()()a T H H λλα•>=[]()0,1λ∈.5）(]0,1λ∀∈，()()()(())T H H H γλγγαλαλγγγαα<<∈∈∈==ΓΓΓ(())()H T H γγγαλγγα<∈∈==ΓΓ(()),T H γγγ∈=Γ由分解定理知()().T H T H γγγγ∈∈=ΓΓ6）[)0,1,λ∀∈()()()(())T H H H γλγγαλαλγγγαα•>>∈∈∈==ΓΓΓ(())()H T H γγλαλγγα•>∈∈==ΓΓ(()),T H γλγ•∈=Γ由分解定理知()().T H T H γγγγ∈∈=ΓΓ7）(]0,1λ∀∈，()()(1)T H H H λαλαλαα<<==-111(1)(())H T H λαλα-->-=-=(()),T H λ=由分解定理知()().T H T H =5）~7）说明T 保持运算，因此T 是()X U 到()X F 的同态满射。
利用表现定理证明 ()()()().A A AA γγγγ∈∈=ΓΓ证明 令()(),,(),()(,[0,1]),H H X H A H A γγλγλλλγλ∈==∈∈ΓU 则()(),()T H A T H A γγ==，于是()()()(())A A T H T H γγγγ∈∈=ΓΓ()()T H T H γγ∈=Γ(())T HH γγ∈=Γ.()(()())AA T H T H γγγγ∈∈=()ΓΓ()T HH γγ∈=Γ(())T HH γγ∈=Γ.因此只需证()().H H HH γγγγ∈∈=ΓΓ对[0,1]λ∀∈，有())()()(())H H H H γγγγλλλ∈∈=ΓΓ(()())H H γγλλ∈=Γ()()HH γλ∈=γΓ(())().HH γλ∈=γΓ于是()().H H HH γγγγ∈∈=ΓΓ所以()()()().A A AA γγγγ∈∈=ΓΓ。
