浙教版初中数学七年级上册实数(基础)知识讲解

第三章：实数
知识点：平方根、立方根、实数及其运算
1、平方根：
·如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或者a的二次方根（平方=二次方）。

a 叫做被开方根
·正数的平方根：正平方根（算术平方根）、负平方根，且正负平方根互为相反数
·负数的平方根：负数没有平方根（平方根*平方根=一个正数）
·0的平方根是0（算术平方根）
·求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方是平方运算的逆运算
2、实数：
·有理数和无理数统称为实数
·无理数：无限不循环小数称为无理数（根号二、根号三、π），无理数也可分为正无理数和负无理数
·有理数：如果把整数看做小数部分为0的有限小数，那么有理数便是有限小数（不循环）和无限循环小数的统称。

有理数可分为正有理数、负有理数、0
·在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大
3、立方根：
·如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，或者a的三次方根（立方=三次方）
·正数的立方根：正的立方根
·负数的立方根：负的立方根
·0的立方根是0
·求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方是立方运算的逆运算
4、实数的运算：
实数运算的顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算。

2024年浙教版七年级数学上册授课课件322实数一、教学内容本节课选自2024年浙教版七年级数学上册第322页，主要内容包括实数的概念、分类和运算。

具体章节为第四章第三节：实数的性质与运算。

详细内容包括：1. 实数的定义及分类（有理数、无理数）；2. 实数的性质（大小比较、相反数、倒数、绝对值等）；3. 实数的运算（加减乘除、乘方、开方等）。

二、教学目标1. 理解并掌握实数的定义、分类及性质；2. 能够正确进行实数的运算；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：实数的性质与运算；2. 教学重点：实数的定义、分类及运算。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：练习本、铅笔、直尺。

五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入实数的概念，例如温度计上的温度值；2. 讲解：介绍实数的定义、分类及性质，通过例题讲解实数的运算；3. 随堂练习：让学生练习实数的运算，并及时给予反馈；5. 课堂小结：对本节课的内容进行回顾，巩固所学知识。

六、板书设计1. 实数的定义、分类；2. 实数的性质；3. 实数的运算；4. 例题及解答；5. 课堂小结。

七、作业设计1. 作业题目：① 2.5 + 3.14；② 1/2 × √3；③ (3/4)²；④ √9 √16。

2. 答案：（1）0，3/4，5/3为有理数；π，2.5，√3为无理数；（2）① 5.64；② √3/2；③ 9/16；④ 1。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对实数的定义、分类及运算掌握情况较好，但部分学生对无理数的理解仍有困难，需要在课后加强辅导；2. 拓展延伸：引导学生了解实数在生活中的应用，如科学计算、工程技术等领域。

同时，预习下一节课内容：实数的乘方与开方。

重点和难点解析1. 实数的定义及分类；2. 实数的性质与运算；3. 教学过程中的实践情景引入；4. 例题及随堂练习的选取与讲解；5. 作业设计的难度与答案的解析；6. 课后反思与拓展延伸的指导。

浙教版-7年级-上册-数学-第3章《实数》分节知识点一、平方根知识点一、平方根和算术平方根的概念1、算术平方根的定义（1）如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.要点诠释：（1）当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2、平方根的定义（1）如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1、区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2、联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质（1）（2）知识点四、平方根小数点位数移动规律（1）被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.二、立方根要点一、立方根的定义（1）如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：（1）一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征（1）立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：（1）任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质（1）（2）（3）要点诠释：（1）第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四、立方根小数点位数移动规律（2）被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.三、实数要点一、有理数与无理数（1）有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.要点二、实数（1）有理数和无理数统称为实数.1、实数的分类（1）按定义分：实数（2）按与0的大小关系分：实数2、实数与数轴上的点一一对应.（2）数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较（1）对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.（2）正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算（1）有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.（2）当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.。

2024年浙教版七年级数学上册32《实数》教案一、教学内容本节课选自2024年浙教版七年级数学上册第32章《实数》。

教学内容包括：实数的定义，无理数的概念，实数的分类，以及实数在数轴上的表示。

二、教学目标1. 理解并掌握实数的定义，知道实数包括有理数和无理数。

2. 能够判断一个数是否为无理数，并了解无理数的特点。

3. 学会实数在数轴上的表示方法，并能运用实数解决实际问题。

三、教学难点与重点重点：实数的定义，无理数的概念，实数在数轴上的表示。

难点：无理数的理解和判断，实数在数轴上的准确表示。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、实数教学挂图。

2. 学具：练习本、铅笔、直尺。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，如测量物体长度、计算面积等，引导学生认识到实数的意义。

2. 教学新课：（1）讲解实数的定义，让学生明确实数包括有理数和无理数。

（2）介绍无理数的概念，通过π、√2等例子，让学生了解无理数的特点。

（3）实数分类，让学生将有理数和无理数进行归类。

3. 例题讲解：（1）判断一个数是否为无理数。

（2）在数轴上表示给定的实数。

4. 随堂练习：让学生独立完成判断无理数和在数轴上表示实数的练习题。

六、板书设计1. 实数的定义2. 无理数的概念3. 实数分类4. 实数在数轴上的表示方法七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：（1）无理数：π，√5。

（2）数轴表示见附图。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：关注学生在判断无理数和实数在数轴上表示方面的掌握情况，针对问题进行课后辅导。

2. 拓展延伸：让学生课后了解无理数在生活中的应用，如黄金分割比例等，提高学生的数学素养。

重点和难点解析1. 实数的定义及无理数的概念。

2. 无理数的判断方法。

3. 实数在数轴上的表示方法。

4. 作业设计中的题目与答案。

一、实数的定义及无理数的概念实数定义为包括有理数和无理数的数集。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，如分数、整数等；无理数则不能表示为两个整数之比，其小数部分是无限不循环的，如π、√2等。

浙教版七年级(上)第三章《实数》教材分析本章的主要内容是有理数的开方、平方根、立方根，无理数和实数及其运算。

本章教材主要从以下七个方面进行分析：1、新“课标”下的本章教学目标根据《数学课程标准》中的陈述，我们得到本章的教学目标如下：（1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。

（2）了解开方与乘方互逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。

（3）了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。

（4）能用有理数估计一个无理数的大致范围。

（5）会进行简单的实数四则运算，进一步认识近似数与有效数字的概念，能用计算器进行近似计算，并根据问题的要求对结果取近似值。

（6）能运用实数的运算解决一些简单的实际问题。

2、本章的知识结构3、本章的数学思想方法数学思想方法是数学知识的主要组成部分，也是数学教学的主要内容，通过分析，本章的数学思想方法主要有：（1）数形结合思想。

本章为数与形的转换提供了一个基本支撑点——数轴。

有了数轴这个基础，把数与形有机的联系起来了，这样就可以用数形结合思想解决问题了，如解释了“实数与数轴上的点的一一对应关系”及“实数的大小比较”。

（2）分类讨论的思想。

本章中关于实数的分类，就利用了这一思想。

（3）对立统一思想。

由于本章引入了无理数、实数的概念，把开方、平方及有理数运算和实数运算统一起来，所以，在这一章中，有利于对学生进行“对立统一”思想方法的教育。

（4）转化的思想。

本章中，通过“开方”的概念及计算器的应用，把有理数的运算转化为实数的运算。

这是非常重要的思想方法，对它的学习不仅解决了实数的运算，而且对进一步学习数学提供了一种重要的思想方法。

4、对本章教材的理解与处理本章教材注意突出学生的自主探索，通过一些熟悉的具体事物，让学生在观察、思考、探索中体会实数的意义，探索数量关系，掌握实数的运算，其教育价值体现在以下几个方面：（1）能使学生体会到数学与观察生活的紧密联系，认识到数、符号是刻画现实世界数量关系的重要语言。

浙教版七年级数学上册32《实数》教案一、教学内容1. 实数的定义及分类2. 实数的运算规则3. 实数与数轴的关系二、教学目标1. 理解实数的概念，掌握实数的分类。

2. 学会实数的运算规则，并能熟练地进行计算。

3. 了解实数与数轴的关系，能将实数在数轴上表示出来。

三、教学难点与重点1. 教学难点：实数的概念及分类，实数的运算规则。

2. 教学重点：实数与数轴的关系，实数的计算方法。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、实数教学挂图。

2. 学具：练习本、铅笔、直尺。

五、教学过程1. 导入：通过数轴上的点来引入实数，让学生思考数轴上的点与实数之间的关系。

2. 新课导入：讲解实数的定义及分类，让学生理解实数的概念。

3. 实例讲解：通过例题讲解实数的运算规则，让学生学会实数的计算方法。

4. 随堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

5. 知识拓展：讲解实数与数轴的关系，引导学生将实数在数轴上表示出来。

六、板书设计1. 实数的定义及分类2. 实数的运算规则3. 实数与数轴的关系4. 例题及解答过程七、作业设计1. 作业题目：3.14 + √2，5 2/3，4 × (3/2)，8 ÷ √3。

2. 答案：（1）正确。

（2）结果分别为：3.14 + √2，4.67，6，8/√3。

（3）数轴上分别对应点A(1), B(2/3), C(√3), D(0.5)。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：关注学生对实数概念的理解程度，以及实数运算的掌握情况。

2. 拓展延伸：引导学生探索实数在生活中的应用，如测量、计算等，提高学生的实践能力。

重点和难点解析1. 实数的定义及分类2. 实数的运算规则3. 实数与数轴的关系4. 作业设计的题目及答案一、实数的定义及分类实数的定义：实数包括有理数和无理数，是数学中一种非常重要的数集。

分类：有理数：整数和分数，可以表示为两个整数的比，如1/2、3、4/5等。

无理数：无法表示为两个整数比的数，如π（圆周率）、√2（根号2）等。

七年级数学上册实数知识点在七年级数学上册中，实数是重要的知识点之一。

实数的概念是数学中极其基础的知识之一，也是日常生活中最常用的数学概念之一。

在本文中，我们将介绍实数基本概念、实数的种类、实数的运算等知识点。

一、实数的基本概念实数是数学中最常用的概念之一，它包括有理数和无理数两种，而有理数又包括整数、分数和正负数三种。

实数的概念可以用几何图像表示，即实数可以表示为实轴上的一个点，如图一所示。

图一在图一中，实数0表示实轴的原点，正数和负数分别在0的右侧和左侧。

对于两个实数a和b(a≠0)，它们的乘积ab可以表示为一条长度为|a|的线段和一条长度为|b|的线段所组成的矩形面积。

二、实数的种类实数主要分为有理数和无理数两种。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，例如分数、整数和正负数均为有理数。

其中，整数有正整数、负整数及零；分数有正分数、负分数和零；正数和负数则只是不包括零的整数的集合。

而无理数则是不能用有理数形式表示的数。

例如，根号2是一个无理数，无理数可以表示为以0为根和1为顶的不可终止的连分数，如下所示：√2 = [1;2,2,2,…]实数在数轴上分布不均，有理数和无理数也分别分布在数轴的不同部位。

三、实数的运算实数有四则运算，即加法、减法、乘法和除法。

具体运算规则如下：1.加法：对于任意实数a和b，它们的和为a+b，如负数加正数、两个负数相加、分数相加等。

2.减法：对于任意实数a和b，它们的差为a-b，如正数减负数、负数减正数、分数减分数等。

3.乘法：对于任意实数a和b，它们的积为ab，如正数乘负数、两个负数相乘、分数相乘等。

4.除法：对于任意实数a和b(b≠0)，它们的商为a÷b，如分数相除、正数除以负数、负数除以正数等。

总之，实数作为数学中的基础概念，是非常常用的数学工具之一。

掌握实数的基本概念、种类和运算规则是数学学习的基础，也是我们日常生活中计算和理解问题的必要工具。

浙教版七年级数学上册32《实数》教案一、教学内容本节课我们将学习浙教版七年级数学上册第32讲《实数》。

详细内容包括：1. 实数的定义及性质；2. 有理数与实数的关系；3. 无理数的概念及表示方法；4. 实数的四则运算法则。

二、教学目标1. 理解实数的定义，掌握实数的性质；2. 了解有理数与实数的关系，理解无理数的概念；3. 学会实数的四则运算，并能解决实际问题。

三、教学难点与重点重点：实数的定义，实数的四则运算法则。

难点：无理数的理解，实数运算的熟练运用。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、实数教学挂图；2. 学具：练习本、铅笔、直尺。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如测量长度、面积等，引出实数的概念；2. 新课：讲解实数的定义、性质，以及有理数与实数的关系，介绍无理数的概念；3. 例题讲解：讲解实数运算的例题，包括加减乘除、乘方等；4. 随堂练习：布置实数运算的练习题，让学生独立完成；6. 课堂互动：提问、讨论实数的相关问题，巩固所学知识。

六、板书设计1. 实数的定义、性质；2. 有理数与实数的关系；3. 无理数的概念；4. 实数的四则运算法则；5. 例题及解答；6. 随堂练习题目。

七、作业设计1. 作业题目：（1）计算：$\sqrt{2}+\sqrt{3}\sqrt{8}$；（2）判断：下列数中哪些是实数？$\frac{1}{2}, 3.14,\sqrt{16}, \pi$；（3）应用题：已知一个正方形的边长为$\sqrt{5}$，求其面积。

2. 答案：（1）$\sqrt{2}+\sqrt{3}\sqrt{8}=\sqrt{2}+\sqrt{3}2\sqrt{2}=\sqrt{3 }\sqrt{2}$；（2）实数：$\frac{1}{2}, 3.14, \sqrt{16}$；非实数：$\pi$；（3）面积为$(\sqrt{5})^2=5$。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对实数的定义、性质掌握情况，以及对实数运算的熟练程度；2. 拓展延伸：介绍实数在数学、科学等领域的应用，激发学生的学习兴趣，提高实数在实际问题中的应用能力。

期末复习三 实数 要求 知识与方法了解 平方根、算术平方根、立方根的概念无理数的概念实数的概念、实数与数轴上的点一一对应理解 实数的分类用有理数估计无理数，实数的大小比较实数的运算运用用计算器进行简单的混合运算用实数的运算解决一些简单的实际问题一、必备知识：1．一个正数a 有____________个平方根，正平方根用____________表示，负平方根用____________表示.0的平方根等于____________，____________没有平方根．2．一个正数有一个____________的立方根；一个负数有一个____________的立方根；0的立方根是____________．3．____________叫做无理数．常见的无理数有三种形式：①带π的，②开不尽的方根，③不是循环规律的无限小数．4．在数轴上表示两个实数，____________的数总比____________的数大．数轴上的点与____________一一对应．二、防范点：1．区分平方根和算术平方根的概念，注意一个正数的平方根必有两个．2．不要把无限小数都认为是无理数．如227，0.31等无限小数都是有理数．平方根、算术平方根及立方根例1 (1)14的算术平方根是________，16的平方根是________，64的立方根是________．(2)下列说法中正确的是( ) A ．9的立方根是3B ．－9的平方根是－3C ．±4是64的立方根D ．4是16的算术平方根【反思】注意一个正数的平方根有两个，立方根只有一个．算术平方根的双重非负性例2 (1)已知实数x ，y 满足|x －5|＋y ＋6＝0，求(x ＋y)2017的值；(2)对于有理数x ，2017－x ＋x －2017＋1x的值是( ) A ．0 B ．2017 C .12017D ．－2017 【反思】算术平方根具有双重非负性，第一，被开方数是一个非负数，第二，算术平方根的本身也是一个非负数．无理数、实数的概念及实数的分类例3 (1)在－4，3.14，π，10，1.51，27中，无理数的个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个(2)在0，3.14，13，2π，－8，81，－0.4，－9，4.262262226…(每两个”6”之间依次多一个”2”)中，属于有理数的有 ；属于无理数的有 ；属于正实数的有 ；属于负实数的有．【反思】无理数常见形式有三种：①开不尽的方根，②带π的，③不是循环规律的无限小数．所以不要把所有无限小数都认为是无理数．用有理数估计无理数，实数的大小比较例4(1)估计11的值在()A．1与2之间B．2与3之间C．4与5之间D．3与4之间(2)10的整数部分是________，37的小数部分是________．(3)把下列实数表示在数轴上，并将它们用”<”连接起来：－1.5，－3，3，0，π【反思】在数轴上表示无理数，往往取无理数的近似值表示在数轴上即可．实数与数轴相关问题例5(1)如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是________；点B表示的数是________．(2)如图所示，数轴上表示2，5的点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是________．【反思】实数与数轴相关问题，往往是利用数轴上两点间的距离公式，并结合方程思想求解．实数的运算例6计算下列各题：(1)16－(3－27＋4)；(2)9－(－3)2＋3（－8）2－（－2）2；(3)用计算器计算3＋(－3)×(2－3)(结果精确到0.001)．【反思】实数的运算过程中，要弄清”a ”与”3a ”的区别，不要混淆．计算时往往要保留根号进行运算，到最后一步才借助计算器等取近似值．运用实数的运算解决一些简单的实际问题例7 将一个半径为10cm 的圆柱体容器里的药液，倒进一个底面是正方形的长方体容器内，如果药液在两个容器里的高度是一样的，那么长方体容器的底面边长是多少？(结果精确到0.1)．【反思】关于实数运算的实际问题，往往与求体积、面积相关，注意体积、面积公式不要搞错．1．已知3≈1.732，30≈5.477，那么30000≈( )A ．173.2B ．±173.2C ．547.7D ．±547.72．请写出两个无理数，使它们的和是有理数____________．3．若a ＜14＜b ，且a ，b 为连续正整数，则a 2－b 2＝____________.4．计算：(1)4－144＋||－16－5116＝____________； (2)()－22＋||2－1－(2＋1)＝____________.5．在如图所示的数轴上，点B 与点C 到点A 的距离相等，A 、B 两点对应的实数分别是1和－3，则点C 对应的实数是____________．第5题图6．计算： (1)9－169＋|－4|－614；(2)（－3）2＋|3－1|－(3＋1)．7．当运动中的汽车撞击到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用”撞击影响”来衡量．某种型号的汽车的撞击影响可以用公式I ＝2v 2来表示，其中v(千米/分)表示汽车撞击时的行驶速度．假设这种型号的汽车在一次撞车实验中测得撞击影响为17，试求出撞击时该车的行驶速度(精确到1千米/分)．参考答案期末复习三 实数【必备知识与防范点】1．正、负两a －a 0 负数 2.正 负 0 3.无限不循环小数 4.右边 左边实数【例题精析】例1 (1)12±2 2 (2)D 例2 (1)－1 (2)C 例3 (1)A (2)有理数有：0，3.14，13，81，－0.4，－9；无理数有：2π，－8，4.262262226…(每两个“6”之间依次多一个“2”)；正实数有：3.14，13，2π，81，4.262262226…(每两个“6”之间依次多一个“2”)；负实数有：－8，－0.4，－9.例4 (1)D (2)3 37－6 (3)画图略 －3<－1.5<0<3<π 例5 (1)2－2 2＋2 (2)4－ 5例6 (1)3 (2)2 (3)2.686例7 17.7cm【校内练习】1．A 2．答案不唯一，如：－π，π 3．－7 4．(1)－814(2)0 5．2＋ 3 6．(1)原式＝3－13＋2－52＝－1012. (2)原式＝3＋3－1－3－1＝1. 7．根据I ＝2v 2，I ＝17，∴v 2＝I 2＝172，∴v ＝172≈3千米/分． 答：撞击时该车的行驶速度约为3千米/分．。