2020-2021学年甘肃省武威二中高二上学期期末文科数学试卷

2020-2021学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 若a<b<0，那么下列不等式中正确的是（）A.ab<b2B.ab>a2C.1a <1bD.1a>1b2. 抛物线y=−4x2的准线方程为（）A.y=−116B.y=116C.x=−1D.x=13. 下列求导结果正确的是()A.(cosπ6)′=−sinπ6B.(3x)′=x⋅3x−1C.(log2x)′=log2exD.(sin2x)′=cos2x4. 已知命题p:∃x0∈(1, +∞)，使得；命题q:∀x∈R，2x2−3x+5> 0．那么下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.(￢p)∨qC.p∨(￢q)D.(￢p)∧(￢q)5. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则B＝（）A. B. C. D.6. 若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为（）A. B.6 C. D.47. 等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n＝4(a1+a3+...+a2n−1)(n∈N∗)，a1a2a3＝−27，则a5＝（）A.81B.24C.−81D.−248. 已知a>0，b>0，且3a+2b＝ab，则a+b的最小值为（）A. B. C. D.9. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，且该双曲线的一个焦点在直线l上，则此双曲线的方程为（）A. B. C. D.10. 若函数f(x)＝e x−2ax2+1有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，把正确答案的选项涂在答题卡上.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）)11. 已知在数列{a n}中，a5=4，其前n项和为S n，下列说法正确的是（）A.若{a n}为等差数列，a2=1，则S10=45B.若{a n}为等比数列，a1=1，则a3=±2C.若{a n}为等差数列，则a1a9≤16D.若{a n}为等比数列，则a2+a8≥812. 已知曲线C:mx2+ny2＝1，下列说法正确的是（）A.若m＝n>0，则C是圆，其半径为．B.若m>0，n＝0，则C是两条直线．C.若n>m>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上．D.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为．三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）)13. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a5＝a3+4，则S13＝________．14. 设点P是曲线上的任意一点，曲线在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是________．（用区间表示）15. 若△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的内切圆半径等于________．16. 设椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆C相交于A，B两点．当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为b2，则椭圆C的离心率e＝________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）)17. 设命题p：实数x满足x2−4mx+3m2<0(m>0)；命题q：实数x满足．若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3a n−3．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；a n，，求数列{c n}的前n项和T n．(Ⅱ)设b n＝log319. 已知函数f(x)=x3−2x2+x．(1)求曲线y=f(x)在点(−1, −4)处的切线方程；(2)求曲线y=f(x)过点(1, 0)的切线方程．20. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+b+c＝12．(Ⅰ)若a＝2，b＝5，求cos A的值；(Ⅱ)若sin A cos2＝2sin C，且△ABC的面积为10sin C，试判断△ABC的形状并说明理由．21. 已知椭圆经过如下四个点中的三个，，P2(0, 1)，，．(Ⅰ)求椭圆M的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过椭圆M的右顶点C （A，B均不与点C重合），证明：直线l过定点．22. 已知函数f(x)＝ln x+ax2+(2a+1)x+1．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)当a<0时，证明：f(x)≤−−1．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】利用不等式的基本性质即可判断出．2.【答案】B【解析】利用抛物线的标准方程及其性质即可得出．3.【答案】C【解析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式对每个选项的函数求导即可．4.【答案】B【解析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．5.【答案】A【解析】利用正弦定理以及同角三角函数的关系式，直接求角B的大小6.【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．7.【答案】C【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由S2n＝4(a1+a3+...+a2n−1)(n∈N∗)，令n＝1，则S2＝4a1，可得a2＝3a1，根据a1a2a3＝−27，可得a23=−27，解得a2．利用等比数列的通项公式即可得出．8.【答案】B【解析】将3a+2b＝ab变形为，再由“乘1法”，即可得解．9.【答案】B【解析】根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出a2、b2，代入双曲线的方程即可．10.【答案】C【解析】由导数与极值的关系知可转化为方程f′(x)＝0在R上有两个不同根，结合函数的性质可求．二、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，把正确答案的选项涂在答题卡上.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）11.【答案】A,C【解析】对于A，利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1＝0，d＝1，由此能求出S10；对于B，利用等比数列能通项公式求出q2＝2，进而能求出a3；对于C，利用等差数列通项公式得a1+a9＝2a5＝8，当a1，a9一正一负时，a1a9≤16成立，当a1，a9均大于0时，则a1a9≤（）2＝16；对于D，{a n}为等比数列时，a2a8＝＝16，当a2，a8均大于0时，a2+a8≥2＝8，当a2，a8均小于0时，a2+a8＝−(−a2−a8)≤−2＝−(8)12.【答案】A,B,D【解析】通过m，n的取值，判断曲线的形状，即可判断选项．三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【答案】52【解析】利用等差数列{a n}的通项公式列方程求得a1+6d＝4，再由S13＝＝13(a1+6d)，能求出结果．14.【答案】【解析】求出原函数的导函数，利用配方法求得导函数的值域，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值，即可求得曲线在点P处的切线的倾斜角α的范围．15.【答案】【解析】由已知结合余弦定理可求C，易得三角形的面积，所以内切圆半径满足关系：S＝(a+b+c)r．16.【答案】【解析】判断三角形周长取得最大值时，求出m的值，利用三角形的面积，列出方程，求解椭圆的离心率即可．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】由x2−4mx+5m2<0，得(x−m)(x−5m)<0，又m>0，所以m<x<3m，由，得0<4−x<5因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件．设A＝(3, m)B＝(2，则B是A的真子集，故或即．【解析】求出命题p，q为真命题的等价条件，根据￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件，进行转化求解即可．18.【答案】（1）当n＝1时，2a6＝2S1＝2a1−1，∴a8＝1当n≥2时，8a n＝2S n−2S n−2＝(3a n−3)−(8a n−1−3)即：，∴数列{a n}为以3为首项，4为公比的等比数列．∴（2）由(Ⅰ)知，a n＝n，所以b n＝log3故．即①所以②①②得所以．【解析】(Ⅰ)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(Ⅱ)利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．19.【答案】解：(1)由题意得f′(x)=3x2−4x+1，∴f′(−1)=8，∴曲线y=f(x)在点(−1, −4)处的切线方程为y+4=8(x+1)，即8x−y+4=0.(2)设切点为(x0, y0)，∵切点在函数图象上，∴y0=x03−2x02+x0，故曲线在该点处的切线为y −(x 03−2x 02+x 0)=(3x 02−4x 0+1)(x −x 0).∵ 切线过点(1, 0)，∴ 0−(x 03−2x 02+x 0)=(3x 02−4x 0+1)(1−x 0)即(x 0−1)2(2x 0−1)=0，解得x 0=1或x 0=12，当x 0=1时，切点为(1,0)，∵ f ′(1)=0，∴ 切线方程为y −0=0⋅(x −1)即y =0.当x 0=12时，切点为(12,18)， ∵ f ′(12)=−14， ∴ 切线方程为y −0=−14(x −1)即x +4y −1=0.综上可得，切线方程为y =0或x +4y −1=0．【解析】(Ⅰ)求出原函数的导函数，得到函数在x ＝−1处的导数，再由直线方程的点斜式得答案；(Ⅱ)设出切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，代入已知点的坐标，求得切点坐标，进一步求解过点(1, 0)的切线方程．利用导数研究某一点的切线方程问题（含参问题）.20.【答案】（1）∵ a +b +c ＝12，a ＝2，∴ c ＝5． ∴ -（2）∵ △ABC 为直角三角形，， ∴，即sin A +sin B +sin A cos B +cos A sin B ＝4sin C ，∴ sin A +sin B +sin (A +B)＝4sin C ，∵ A +B +C ＝π，A +B ＝π−C ．∴ sin A +sin B ＝3sin C ，由正弦定理得a +b ＝3c ，∵ a +b +c ＝12，可得8c ＝12．从而a +b ＝9．又∵ △ABC 的面积为10sin C ，∴．即ab＝20，∴a＝5，b＝5，又∵c＝6，可得cos B＝＝，可得B为直角，∴△ABC为直角三角形．【解析】（1）由题意可求c的值，进而根据余弦定理即可求解cos A的值．（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin A+sin B＝3sin C，由正弦定理得a+b＝3c，解得c，可得a+b＝9，利用三角形的面积公式可求ab＝20，解得a，b的值，即可判断得解．21.【答案】（1）；由题意，点与点，根据椭圆的对称性且椭圆过其中的三个点可知，点和点，又因为点与点，即椭圆过点，P3（，），P7(0, 1)，所以，且，故a6＝4，b2＝3，所以，椭圆M的方程为．（2）证明：直线l恒过点．由题意，可设直线AB的方程x＝ky+m(m≠2)，联立消去x2+4)y2+2kmy+m2−4＝0，设A(x1, y8)，B(x2, y2)，则有，①又以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，∴，由，，得(x2−2)(x2−8)+y1y2＝5，将x1＝ky1+m，x6＝ky2+m代入上式得，将①代入上式求得或m＝2（舍），则直线l恒过点．【解析】(Ⅰ)由椭圆的对称性可得椭圆过点，，P2(0, 1)，代入椭圆的方程，列方程组，解得a，b，进而可得椭圆的方程．(Ⅱ)设直线AB的方程x＝ky+m(m≠2)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线AB与椭圆的方程可得关于y的一元二次方程，由韦达定理可得y1+y2，y1y2，由线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，得，用坐标表示，可得m，进而可得答案．22.【答案】（1）因为f(x)＝ln x+ax2+(2a+5)x+1，所以，当a≥7时，f′(x)≥0恒成立，+∞)上单调递增；当a<0时，令f′(x)>5，所以，令f′(x)<0，则2ax+2<0，所以f(x)的增区间为，减区间为．综上：当a≥3时，f(x)的增区间为(0；当a<0时，f(x)的增区间为．（2）证明：由(Ⅰ)知，当a<0时max＝f(−），，令g(t)＝ln t−t+3(t>0)，则，令g′(t)>0，则5<t<1，则t>1，所以g(t)在(6, 1)上单调递增，+∞)上单调递减，故g(t)max＝g(1)＝0，所以ln t−t+3≤0又因为，所以则，从而，所以．【解析】(Ⅰ)对f(x)求得，对a分类讨论，利用导数与单调性的关系求解即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)max＝f(−），，令g(t)＝ln t−t+1(t>0)，利用导数可得g(t)的最大值为0，可得，从而可得．。

高二数学上学期期末考试试题 文第I 卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

）1.已知椭圆C:22195x y +=，点(1,1)A ，则点A 与椭圆C 的位置关系是（ ）． A ．点A 在椭圆C 上 B ．点A 在椭圆C 外 C ．点A 在椭圆C 内 D ．无法判断 2.不在323x y +>表示的平面区域内的点是（ ） A ．（0，0） B ．（1，1） C ．（0，2） D ．（2，0） 3.不等式2230x x +-<的解集为（ ） A ．{}13x x -<<B ．{}31x x -<<C ．{}31x x x -<>或D ．{}313x x -<->或4.已知x 、y 满足约束条件503x y x y x -+≥+≥≤⎧⎪⎨⎪⎩，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．-10B ．5C ．10D ．-65.设x ∈R ，则“05x <<”是“()211x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.命题:,||0R p x x x ∀∈+≥，则p ⌝（ ） A ．:,||0R p x x x ⌝∃∈+> B ．:,||0R p x x x ⌝∃∈+≥ C ．:,||0R p x x x ⌝∃∈+<D ．:,||0R p x x x ⌝∃∈+≤7.已知椭圆22110036x y +=上的一点P 到左焦点1F 的距离为6，则点P 到右焦点2F 的距离为（ ） A ．4B ．6C ．7D ．148.椭圆的焦距为8，且椭圆的长轴长为10，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．221259x y +=B ．221259x y +=或221259y x +=C ．22110036x y +=D ．22110036x y +=或22110036y x +=9.若实数,x y 满足421x y x y x +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则11y x ++的最小值是（ ）A ．34B ．12C ．711D ．3210.不等式102xx -≥+的解集为（ ）. A ．[]2,1- B ．(]2,1-C ．[)2,1-D ．(][),21,-∞-+∞11.如图所示，1F ，2F 分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，则椭圆的离心率为（ ） A ．53B ．23C ．13 D ．4512.若0ab >，则下列不等式不一定能成立的是（ ）. A ．222a b ab +≥ B ．222a b ab +≥- C ．2b aa b +≥ D ．2a bab +≥ 第II 卷高二年级 数学(文科) 座位号_____二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.)1. 命题“对任意的x∈R，x3−2x+1≤0”的否定是（）A.不存在x∈R，x3−2x+1≤0B.存在x∈R，x3−2x+1≤0C.存在x∈R，x3−2x+1>0D.对任意的x∈R，x3−2x+1>02. “p或q为真”是“非p为假”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 若=a+bi(a, b∈R)，则a2019+b2020＝（）A.−1B.0C.1D.24. 与双曲线的焦点相同，且长轴长为的椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.5. 已知函数f(x)＝x3−2x2，x∈[−1, 3]，则下列说法不正确的是（）A.最大值为9B.最小值为−3C.函数f(x)在区间[1, 3]上单调递增D.x＝0是它的极大值点6. 双曲线x2a2−y23=1(a>0)有一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为（）A.y＝±12x B.y＝±2x C.y＝±√33x D.y＝±√3x7. 函数y＝x cos x−sin x在下面哪个区间内是减函数（）A. B.(π, 2π) C.D.(2π, 3π)8. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）A.f(e)<f(π)<f(2.7)B.f(π)<f(e)<f(2.7)C.f(e)<f(2.7)<f(π)D.f(2.7)<f(e)<f(π)9. 已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l:3x −4y =0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.(0, √32] B.(0, 34]C.[√32, 1)D.[34, 1)10. 已知函数f(x)＝ax 3−3x 2+1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是（ ） A.(2, +∞) B.(−∞, −2)C.(1, +∞)D.(−∞, −1)11. 如图所示点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆x 2+y 2−4x −12＝0的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是( )A.(6, 10)B.(8, 12)C.[6, 8]D.[8, 12]12. 设f(x)是定义在R 上的函数，其导函数为f′(x)，若f(x)−f′(x)<1，f(0)＝2021，则不等式f(x)>2020⋅e x +1（e 为自然对数的底数）解集为（ ） A.(−∞, 0)∪(0, +∞) B.(2020, +∞)C.(0, +∞)D.(−∞, 0)∪(2020, +∞)二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）)13. 已知复数z=11+i+i（i为虚数单位），则|z|＝________．14. 命题“∃x0∈R，满足不等式”是假命题，则m的取值范围为________．15. 如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为________米．16. 已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x−a)，若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是________．三、解答题（共6小题，共70分）)17. （1）已知椭圆的离心率为，点(2，）在C上．求椭圆C的方程； 17.（2）求与椭圆4x2+5y2＝20有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程．18. 设关于x的不等式x2≤5x−4的解集为A，不等式x2−(a+2)x+2a≤0(a≥2)的解集为B．（1）求集合A，B；（2）若x∈A是x∈B的必要条件，求实数a的取值范围．19. 已知m∈R，命题p：方程x2m−1+y27−m=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：“方程x2+y2−2x+(2m−6)y+m2−14m+26＝0表示圆心在第一象限的圆”．（1）若命题p是真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和q均为假命题，求实数m的取值范围．20. 函数．（1）求曲线y＝f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程；（2）求f(x)在区间上的最大值．21. 已知中心在原点的椭圆的一个焦点为F1(3, 0)，点M(4, y)(y>0)为椭圆上一点，△MOF1的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A、B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．22. 已知f(x)=ax−ln x，x∈(0, e],g(x)=ln x，其中e是自然常数，a∈R．x（1）讨论a=1时，函数f(x)的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f(x)>g(x)+1；2（3）是否存在实数a使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1.【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，任意改存在，结论否定，写出对应的命题即可．2.【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．3.【答案】D【解析】化简复数，利用复数的相等即可得出a，b．再进行乘方运算即可．4.【答案】B【解析】求出双曲线的半焦距，利用椭圆长轴长，求解短半轴的长，即可得到椭圆方程．5.【答案】C【解析】对f(x)求导，分析f′(x)的正负，进而得f(x)的单调区间，极值可判断C错误，D正确，再计算出极值，端点处函数值f(1)，f(3)，可得函数f(x)的最大值，最小值，进而可判断A正确，B正确．6.【答案】D【解析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的几何性质求解渐近线方程即可．7.【答案】D【解析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断，易用求其导数的方法来判断其在那个区间上是减函数．8.【答案】D【解析】求出函数的导数，得到函数的单调性求出答案即可．9.【答案】A【解析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M(0, b)，由点M到直线l的距离不小于45，可得√32+42≥45，解得b≥1．再利用离心率计算公式e=ca=√1−b2a2即可得出．10.【答案】B【解析】(i)当a＝0时，f(x)＝−3x2+1，令f(x)＝0，解得x＝±√33，两个解，舍去．(ii)当a≠0时，f′(x)＝3ax2−6x＝3ax(x−2a )，令f′(x)＝0，解得x＝0或2a．对a分类讨论：①当a<0时，由题意可得关于a的不等式组；②当a>0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．11.【答案】B【解析】由抛物线定义可得|AF|＝x A+2，从而△FAB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+2+(x B−x A)+4＝6+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．12.【答案】C【解析】构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】√22【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．14.【答案】[−4, 4]【解析】利用含有一个量词的命题的否定，将命题转化为“∀x∈R，x2+mx+4≥0”是真命题，然后利用一元二次不等式恒成立求解即可．15.【答案】【解析】先建立适当坐标系，设抛物线方程为x2＝−2py(p>0)，把点B(10, −4)代入抛物线方程，求得p，得到抛物线方程，进而把x＝2代入抛物线方程求得y，可得最高支柱的高度．16.【答案】(−1, 0)【解析】讨论a的正负，以及a与−1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，从而确定是否在x=a处取到极大值，从而求出所求．三、解答题（共6小题，共70分）17.【答案】由已知可得：，解得a＝2，所以椭圆C的方程为；已知椭圆的标准方程为：，所以c＝，则其焦点坐标分别为(−1, 0)，5)，当抛物线的焦点坐标为(1, 0)时，此时抛物线开口向右5＝4x，当抛物线的焦点坐标为(−1, 8)时，此时抛物线开口向左2＝−4x，综上，抛物线的方程为：y4＝±4x．【解析】（1）根据已知建立等式关系即可求解；（2）先求出椭圆的焦点坐标，然后对抛物线的开口方向讨论即可求解．18.【答案】不等式x2≤5x−8，化为x2−5x+8≤0，因式分解为(x−1)(x−3)≤0，解得1≤x≤6，∴解集A＝[1, 4]；不等式x3−(a+2)x+2a≤5，化为(x−2)(x−a)≤0，当a>2时，解集M＝[2；当a＝2时，解集M＝{6}；综上，不等式x2−(a+2)x+8a≤0(a≥2)的解集B＝{x|5≤x≤a}．∵x∈A是x∈B的必要条件，∴B⊆A，∴2≤a≤4，∴实数a的取值范围是[3, 4]．【解析】先求解二元一次不等式解集，再根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．19.【答案】方程x 2m−1+y27−m=1表示焦点在y轴上的椭圆，可得7−m>m−1>0，解得1<m<4，则命题p是真命题，实数m的取值范围为(1, 4)；方程x2+y2−2x+(2m−6)y+m2−14m+26＝0表示圆心在第一象限的圆，可得3−m>0且4+(2m−6)2−4(m2−14m+26)>0，即m<3且m>2，解得2<m<3，命题p和q均为假命题，可得{m≥4m≤1m≥3m≤2，解得m≥4或m≤1．则m的取值范围是(−∞, 1]∪[4, +∞)．【解析】（1）由方程表示焦点在y轴的椭圆可得7−m>m−1>0，可得所求范围；（2）由方程表示圆心在第一象限的圆，可得3−m>0且4+(2m−6)2−4(m2−14m+26)>0，解不等式可得m的范围，再由p，q均为假命题可得m的不等式组，解不等式可得所求范围．20.【答案】f(x)＝+ln，x∈(0，所以f′(x)＝-+＝，x∈(0．因此f′(2)＝，即曲线y＝f(x)在点(7．又f(2)＝ln2−，所以曲线y＝f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程为y−(ln2−(x−2)，即x−4y+3ln2−4＝5．因为f′(x)＝-+＝，x∈(6，所以函数f(x)在(0, 1)上减少，+∞)上增加．所以函数f(x)在区间）或f(e)其中，f（，f(e)＝，【解析】（1）求出函数的导数，求解切线的斜率，求解切线方程即可．（2）判断函数的单调性，然后转化求解函数的最大值即可．21.【答案】由MOF1的面积为，则，得y＝1，5)，又点M在椭圆上，①因为F1是椭圆的焦点，所以a5＝b2+9②由①②解得：a2＝18，b2＝9，所以椭圆的方程为：；假设存在直线l满足题意，因为OM的斜率k＝，设l的方程为y＝，联立方程组，整理得9y5−16my+8m2−8＝0，△＝(16m)2−5×9×(8m4−9)>0，解得m，设A，B两点的坐标为(x7, y1)，(x2, y7)，则y，y，以AB为直径的圆的方程为(x−x1)(x−x2)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)(y−y5)＝0，该圆经过原点，所以x1x4+y1y2＝3，又x1x2＝(5y1−4m)(7y2−4m)＝16y，所以x1x2+y1y2＝17y6y2−16m(y1+y4)+16m2＝，解得m＝，经检验满足题意，所以存在直线l满足题意，此时直线l的方程为y＝．【解析】（1）由已知三角形的面积即可求出点M的纵坐标，把点M的坐标代入椭圆方程再由a，b，c的关系即可求解；（2）先假设存在，然后由OM的斜率设出直线l的方程，联立直线l与椭圆的方程，利用韦达定理以及以AB为直径的圆过原点满足的等式即可求解．22.【答案】解：（1）因为f(x)=x−ln x,f′(x)=1−1x =x−1x，所以当0<x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减．当1<x≤e时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的极小值为f(1)=1．（2）因为函数f(x)的极小值为1，即函数f(x)在(0, e]上的最小值为1．又g′(x)=1−ln xx2，所以当0<x<e时，g′(x)>0，此时g(x)单调递增．所以g(x)的最大值为g(e)=1e <12，所以f(x)min−g(x)max>12，所以在（1）的条件下，f(x)>g(x)+12．（3）假设存在实数a，使f(x)=ax−ln x，x∈(0, e]，有最小值3，则f′(x)=a−1x=ax−1x，①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0, e]上单调递减，f(x)min=f(e)=ae−1=3，a=4e，（舍去），此时函数f(x)的最小值不是3．②当0<1a <e时，f(x)在(0, 1a]上单调递减，f(x)在(1a, e]上单调递增．所以f(x)min=f(1a)=1+ln a=3，a=e2，满足条件．③当1a ≥e时，f(x)在(0, e]上单调递减，f(x)min=f(e)=ae−1=3，a=4e，（舍去），此时函数f(x)的最小值是不是3．综上可知存在实数a=e2，使f(x)的最小值是3．【解析】（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．（2）利用（1）的结论，求函数f(x)的最小值以及g(x)的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．（3）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．试卷第11页，总11页。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

2021年高二上学期期末考试数学（文科）试题含答案一、选择题(每小题5分,共60分)1．对抛物线，下列描述正确的是( C )A. 开口向下，焦点为（0，-3）B. 开口向上，焦点为（0，-3）C. 开口向左，焦点为（-3,0）D. 开口向右，焦点为（3,0）2. 命题“对任意的，都有x2-3=0”的否定为是( C )A. 存在，使x2-3=0 C. 对任意的，都有x2-3≠0B. 存在,使x2-3≠0 D. 存在,使x2+3≠03．复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（C ）A.（2，-1）B.（-2，-1）C. （-1， -2）D.（-1,2）4．命题P：“A=30０”是命题Q：“sinA=”的（ D ）条件A．充要C．充分不必要B．必要不充分D．既不充分也不必要5.设是等比数列的前项和，，则的值是（A）A．28 B．32 C．35 D．496.现需要把A,B两件玉石原料各加工为一件工艺品，师父甲带领徒弟乙完成这件事，每件原料徒弟先粗加工，再由师父精加工，然后完成制作，两件原料每道工序所需时间（单位：小时）如下：则最短交货日期为（ B ）个小时A.36.B .42 C.45 D.517.在△ABC中，若60°，°，，则(B)A．B．C．D．8．若直线2ax-by+2=0 (a>0,b>0)恰过（-1,1），则的最小值为（ D ）A. B. C. 2 D.49.已知直线bx+ay+2=0与曲线y=x3-1在点P（1,0）处的切线平行，则= ( B )A. B. C. D.10．在等差数列{}中，，则数列{}的前11项和（ C ）A．24 B．48 C．66 D．13211．过焦点F的直线交抛物线于A，B，若|BF|=，|AF|=，则抛物线方程( B )A. B. C. D .12．已知A，B，P是上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则的离心率 ( B ) A．B．C．D．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x,y满足条件，则的最大值为 814.设，若函数f(x)= -,则=__1____15.已知双曲线的渐近线是y=±x,,则该双曲线的离心率请根据所级5组数据，求出y关于x的线性回归方程=________三、解答题(本大题6小题,共70分,)17.已知等差数列{}的前项和为，，.⑴求数列{}的通项公式；⑵设，求数列{}的前项和18.△ABC中，a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，2b=c+2acosC .（1）求A（2）S△=，a=,求b+c.19.已知函数f(x)=mx3-nx(m0)在x=1时取得极值，且f(1)=-1.（1）求常数m,n的值；（2）求函数的单调区间.20、P（,1）是双曲线上的一点，且，若抛物线的顶点是双曲线的中心，焦点是双曲线的右顶点.（1）求双曲线与抛物线的标准方程；（2）若直线l过点交抛物线于两点，是否存在直线l，使得恰为弦的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.21.长轴长2，离心率（1）求椭圆的方程；（2）若y=kx+m与x2＋y2=相切，与椭圆交于A，B两点，当A,B两点横坐标不相等时，证明以AB为直径的圆恰过原点O。

2021-2022学年甘肃省武威市高二（上）期末数学模拟试卷二（文科）一、单选题（本大题共12小题，共48.0分）1.命题“∀x∈R，x2-x≥0”的否定是（）A. ∀x∈R，x2-x≥0B. ∃x∈R，x2-x≥0C. ∀x∈R，x2-x＜0D. ∃x∈R，x2-x＜02.下列求导运算正确的是（）A. （cos x）′=sin xB.C. （2x）′=2x log2eD.3.若a，b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的（）条件A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件4.曲线y=-x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（）A. y=3x-1B. y=-3x+5C. y=3x+5D. y=2x5.从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（）A. B. C. D.6.过定点P（0，2）作直线l，使l与曲线y2=4x有且仅有1个公共点，这样的直线l共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7.函数的导数是( )A. B. C. D.8.某天，由重庆八中渝北校区发往沙坪坝校区的三辆校车分别在，，发车，何老师在至之间到达乘车地点乘坐校车，且何老师到达乘车地点的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ )A. B. C. D.9.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A. B. 2 C. D. 410.设函数，f'（x）为f（x）的导函数，若函数g（x）=f（x）+f'（x）的图象关于原点对称，则cosθ的值是（）A. B. C. D.11.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. B. C. D.12.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时xf′（x）＞f（x），且f（3）=0，则不等式f（x）≥0的解集为（）A. （-∞，-3]∪[3，+∞）B. [-3，3]C. （-∞，-3]∪[0，3]D. [-3，0]∪[3，+∞）二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）13.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率______ ．14.若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是______ （写出所有正确命题的编号）①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3.②直线l：y=x-1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=ln x.③直线l：y=-x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y=sin x.④直线l：y=x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y=e x.15.已知过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的焦点的直线l与C交于A，B两点，且使|AB|=4a的直线l恰好有3条，则双曲线C的离心率为______．16.函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a，b∈R）在x=1处有极值为10，则b的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共56.0分）17.若双曲线C与曲线x2-3y2=3有相同的渐近线，且过点（-6，3），试求C的方程．18.设函数f（x）=ln x-x（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．19.某商场举行抽奖活动,从装有编号为0,1,2,3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球,两个小球号码相加之和等于5中一等奖,等于4中二等奖,等于3中三等奖.(1)求中三等奖的概率;(2)求中奖的概率.20.袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“a＋b＝2”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．21.已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点F交椭圆于A、B两点，（1）求焦点F的坐标及其离心率（2）求弦AB的长．22.（Ⅰ）设函数f（x）定义域为I，叙述函数f（x）在定义域I内某个区间D上是减函数的定义；（Ⅱ）用单调性的定义证明函数f（x）=在x∈[2，6]的单调性；（Ⅲ）当x∈[2，6]时，求函数f（x）=的值域．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查全称命题的否定形式，属于基础题目．全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x∈M，￢p（x）”．【解答】解：命题“∀x∈R，x2-x≥0”的否定是“∃x∈R，x2-x＜0”．故选：D．2.【答案】B【解析】解：（cos x）′=-sin x，，（2x）′=2x ln2，．故选：B．根据基本初等函数和复合函数的导数的求导公式求导即可．本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵|a|+|b|≥|a+b|，∴若|a+b|＞1，则|a|+|b|＞1成立，即必要性成立，反之不一定成立，即充分性不成立即|a|+|b|＞1是|a+b|＞1必要不充分条件，故选：B．根据绝对值不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合绝对值不等式的性质是解决本题的关键．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．【解答】解：∵y=-x3+3x2，∴y'=-3x2+6x，∴y'|x=1=（-3x2+6x）|x=1=3，∴曲线y=-x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y-2=3（x-1），即y=3x-1，故选：A．5.【答案】C【解析】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）．其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）．故所求事件的概率P==，故选：C．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个，其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）．据此可得出答案．把所有的基本事件一一列举出来，再找出所要求的事件包含的基本事件个数即可．6.【答案】C【解析】解：由题意可知过点p与x轴平行时直线与抛物线有一个交点；当过点p与x轴不平行时设直线方程为y=kx+2，与抛物线方程联立消去y得k2x2+（4k-4）x+4=0要使直线与曲线有且仅有1个公共点需△=（4k-4）2-16k2=0，解得k=，同时抛物线与y轴也只有一个交点，故y轴也符合；故选：C．通过图象可知当直线与抛物线相切时，与x轴平行时和y轴时直线与抛物线有且仅有1个公共点．本题主要考查了抛物线的应用．本题可采用数形结合方法解决．7.【答案】C【解析】试题分析：考点：函数求导公式点评：本题考查的是幂函数的导数：若则8.【答案】C【解析】【分析】本题考查与长度有关的几何概型,求出何老师等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设何老师到达时间为y，当y在17：50至18：00，或18：20至18：30时，何老师等车时间不超过10分钟，故.故选C .9.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆及抛物线的简单几何性质，考查转化思想，属于基础题．求得椭圆的焦点坐标，由题意可得=2，即可求得p的值．【解答】解：由椭圆a=，b=，c2=a2-b2=4，则椭圆的焦点右焦点F（2，0），由抛物线y2=2px的焦点为，则=2，则p=4，故选：D．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查了导数的运法和三角函数的化简，属于中档题．先求导，再利用两角差的正弦公式可得可得g（x）=-4sin（x+θ-），再根据函数的性质即可求出θ=，问题得以解决．【解答】解：f（x）=2cos（x+θ），（0＜θ＜π）∴f′（x）=-2sin（x+θ），∴g（x）=f（x）+f'（x）=2cos（x+θ）-2sin（x+θ）=-4sin（x+θ-），∵函数g（x）=f（x）+f'（x）的图象关于原点对称，∴θ-=kπ，k∈Z，∵0＜θ＜π，∴θ=，∴cosθ=，故选：D．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想，属于基础题.先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为-1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得．【分析】解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2-a2=ac，即e2-e-1=0，所以或（舍去）.故选D .12.【答案】D【解析】解：根据题意，设g（x）=，（x＞0），则其导数g′（x）=，而当x＞0时xf′（x）＞f（x），必有g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数，又由f（3）=0，则g（3）==0，在区间（0，3）上，g（x）＜0，在区间（3，+∞）上，g（x）＞0，而g（x）=，则在区间（0，3）上，f（x）＜0，在区间（3，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，f（-3）=-f（3）=0，且在区间（-∞，-3）上，f（x）＜0，在区间（-3，0）上，f（x）＞0，综合可得：不等式f（x）≥0的解集为[-3，0]∪[3，+∞）；故选：D．根据题意，设g（x）=，（x＞0），求出其导数，分析可得g（x）在（0，+∞）上为增函数，又由f（3）=0可得g（3）=0，分析可得g（x）的符号，进而分析f（x）在（0，+∞）上的符号规律，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数的单调性与导数的应用，涉及函数的奇偶性、单调性的综合应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共6×6=36个，满足条件的事件是点数和为4的可以列举出有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，∴故答案为：本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共6×6个，满足条件的事件是点数和为4的可以列举出有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，根据古典概型概率公式得到结果．本题考查古典概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型．14.【答案】①③【解析】解：①，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，故命题①正确；②由y=ln x，得y′=，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x-1，由g（x）=x-1-ln x，得g′（x）=1-，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．则g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．即y=x-1恒在y=ln x的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，故命题②错误，③由y=sin x，得y′=cos x，则y′|x=π=-1，直线y=-x+π是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈（-，0）时x＜sin x，x∈（0，）时x＞sin x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=-x+π两侧，故命题③正确；④函数y=e x的导数f′（x）=y=e x，则f′（0）=1，则切线方程为y=x+1，设g（x）=e x-（x+1），则g′（x）=e x-1，当x＞0，g′（x）＞0，函数g（x）递增，当x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，则当x=0时，函数取得极小值同时也是最小值g（0）=1-1=0，则g（x）≥g（0）=0，即e x≥x+1，则曲线不在切线的两侧，故④错误．故答案为：①③分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P出的导数值，求出曲线在点P 处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求．本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，综合考查导数的应用．15.【答案】【解析】解：由|AB|=4a的直线1恰好有3条，由双曲线的对称性可得，必有一条与x轴垂直，另两条关于x轴对称，令x=c，代入双曲线C：=1（a＞0，b＞0），可得y=±b=±，即有此时|AB|==4a，即为b2=2a2=c2-a2，e＞1，可得e=．故答案为：．由|AB|=4a的直线1恰好有3条，由双曲线的对称性可得，必有一条与x轴垂直，另两条关于x轴对称，令x=c，代入双曲线方程，计算即可得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的对称性，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】-11【解析】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+a2，则f'（x）=3x2+2ax+b，因为f（x）在x=1处有极值为10，则，解得a=4，b=-11或a=-3，b=3，当a=4，b=-11时，f'（x）=3x2+8x-11，Δ=64+132＞0，所以函数有极值点；当a=-3，b=3时，f'（x）=3（x-1）2≥0，所以函数无极值点．综上所述，b的值为-11．故答案为：-11．利用极值以及极值点的定义，列出方程组，求出a，b的值，然后进行检验即可．本题考查了利用导数研究函数极值的理解与应用，函数极值点的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：设所求双曲线方程为x2-3y2=λ，λ≠0，把点（-6，3）代入，得：36-27=λ，即λ=9，∴双曲线C的方程为．【解析】设所求双曲线方程为x2-3y2=λ，λ≠0，把点（-6，3）代入，能求出双曲线C的方程．本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要注意双曲线性质的合理运用．18.【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）在x=1处取得极大值，f（x）极大值=f（1）=-1．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的极值即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．19.【答案】解：从袋中同时抽两个小球共有（0，1）,（0，2）,（0，3）,（1，2）,（1，3）,（2，3）六种情况.（1）设抽出两个球的号码之和为3为事件A，事件A共包含（0，3）（1，2）两种情况,∴.（2）设抽出两球的号码之和为5为事件B，两球的号码之和为4为事件C，由上知,.∴中奖概率为P=.【解析】本题考查古典概型及其计算，互斥事件的概率，属于基础题.求古典概型事件的概率，首先要求出各个事件包含的基本事件，求基本事件个数的常用方法有：列举法、排列、组合法、图表法．（1）先列举出从袋中同时抽两个小球的所有情况，得到号码之和为3的所有情况，据古典概型概率公式求出中三等奖的概率．（2）先列举出从袋中同时抽两个小球的所有情况，得到号码之和为4，5的所有情况，据古典概型概率公式求出中一等奖，中二等奖的概率，利用互斥事件的概率公式求出中奖概率．20.【答案】(1)n＝2(2) 1－【解析】(1)由题意可得＝，解得n＝2.(2)①由于是不放回抽取，事件A只有两种情况：第一次取0号球，第二次取2号球；第一次取2号球，第二次取0号球．所以P(A)＝.②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4恒成立”．(x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y2>4，(x，y)∈Ω}，所以P(B)＝＝1－.21.【答案】（1）解：∵a2=4，b2=1∴…（2分）∴…（4分）离心率e==…（6分）（2）解：由斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点F得直线l的方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），…（7分）由得：…（8分）∴…（9分）所以：…（10分）=…（11分）=…（12分）【解析】（1）利用椭圆的标准方程，求出a，b，c即可求出椭圆的焦点坐标，以及椭圆的离心率．（2）设出AB坐标，求出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理以及弦长公式求解即可．本题考查椭圆的标准方程的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】解：（Ⅰ）减函数的定义为：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．（Ⅱ）证明：设2≤x1＜x2≤6，==，∵2≤x1＜x2≤6，∴x2-x1＞0，x1-1＞0，x2-1＞0，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；则f（x）在x∈[2，6]上单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）f（x）在x∈[2，6]上单调递减，则，f max（x）=f（2）=5，故f（x）在x∈[2，6]上的值域为[，5]．【解析】（Ⅰ）根据题意，由减函数的定义可得答案；（Ⅱ）根据题意，由作差法分析可得结论，（Ⅲ）根据题意，利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，即可得答案．本题考查函数单调性的判断以及性质的应用，注意函数单调性的定义，属于基础题．。

2020-2021学年甘肃省武威市凉州区高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列抛物线中，焦点到准线距离最小的是()A. y2=−xB. y2=2xC. 2x2=yD. x2=−4y2.在区间[−3,3]上随机选取一个数X，则|X|≤1的概率为()A. 16B. 13C. 12D. 233.命题“∀x∈R，x2−x≥0”的否定是()A. ∀x∈R，x2−x≥0B. ∃x∈R，x2−x≥0C. ∀x∈R，x2−x<0D. ∃x∈R，x2−x<04.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+lnx，则f′(1)=()A. −eB. −1C. 1D. e5.已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时xf′(x)>f(x)，且f(3)=0，则不等式f(x)≥0的解集为()A. (−∞,−3]∪[3,+∞)B. [−3,3]C. (−∞,−3]∪[0,3]D. [−3,0]∪[3,+∞)6.从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是()A. 16B. 14C. 13D. 127.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. √3+12D. √5+128.曲线y=−x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为()A. y=3x−1B. y=−3x+5C. y=3x+5D. y=2x9.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x26+y22=1的右焦点重合，则p的值为()A. −2B. 2C. −4D. 410.已知函数f(x)=x4+ax2+bx，且f′(0)=−13，f′(−1)=−27，则a+b=()A. 18B. −18C. 8D. −811.若f(x)=xcosx，则函数f(x)的导函数f′(x)等于()A. 1−sinxB. x−sinxC. sinx+xcosxD. cosx−xsinx12.“x=30°”是“sinx=12”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）13.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率______ ．14.已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好分别是椭圆x216+y27=1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程是______ ．15.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=12x+2，则f(1)+ f′(1)=______．16.函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a,b∈R)在x=1处有极值为10，则b的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共56.0分）17.双曲线C与椭圆x28+y24=1有相同的焦点，直线y=√3x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．18.如图：区域A是正方形OABC(含边界)，区域B是三角形ABC(含边界)．(Ⅰ)向区域A随机抛掷一粒黄豆，求黄豆落在区域B的概率；(Ⅱ)若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x,y)落在区域B的概率．19.某商场举行抽奖活动，从装有编号为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．(1)求中三等奖的概率;(2)求中奖的概率．20.设函数f(x)=lnx−x(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)求函数y=f(x)的极值．21.已知斜率为1的直线l过椭圆x2+y2=1的右焦点F交椭圆于A、B两点，4(1)求焦点F的坐标及其离心率(2)求弦AB的长．22.已知函数f(x)=x2+ax+4(x≠0)．x(1)若f(x)为奇函数，求a的值；(2)若f(x)在[3,+∞)上恒大于0，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：y2=−x的P=12，y2=2x的p=1，2x2=y的P=14，x2=−4y的p=2．可知，选项C正确．故选：C．求出选项抛物线的P的大小，半径即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．2.【答案】B【解析】解：不等式|X|≤1的解为−1≤X≤1，则在区间[−3,3]上随机选取一个数X，满足|X|≤1的概率为P=1−(−1)3−(−3)=13．故选：B．求出不等式的解集，根据几何概型的概率公式计算即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查全称命题的否定形式，属于基础题目．全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定为特称命题“∃x∈M，￢p(x)”．【解答】解：命题“∀x∈R，x2−x≥0”的否定是“∃x∈R，x2−x<0”．故选：D．4.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+ln x ，(x >0) ∴f′(x)=2f′(1)+1x ，把x =1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1，解得f′(1)=−1， 故选：B ．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，利用求导公式对f(x)进行求导，再把x =1代入，即可求解；此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f(x)进行正确求导，把f′(1)看成一个常数，就比较简单了；5.【答案】D【解析】解：根据题意，设g(x)=f(x)x，(x >0)，则其导数g′(x)=xf′(x)−f(x)x 2，而当x >0时xf′(x)>f(x)，必有g′(x)>0，即g(x)在(0,+∞)上为增函数， 又由f(3)=0，则g(3)=f(3)3=0，在区间(0,3)上，g(x)<0，在区间(3,+∞)上，g(x)>0， 而g(x)=f(x)x，则在区间(0,3)上，f(x)<0，在区间(3,+∞)上，f(x)>0，又由f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(0)=0，f(−3)=−f(3)=0， 且在区间(−∞,−3)上，f(x)<0，在区间(−3,0)上，f(x)>0， 综合可得：不等式f(x)≥0的解集为[−3,0]∪[3,+∞)； 故选：D ． 根据题意，设g(x)=f(x)x，(x >0)，求出其导数，分析可得g(x)在(0,+∞)上为增函数，又由f(3)=0可得g(3)=0，分析可得g(x)的符号，进而分析f(x)在(0,+∞)上的符号规律，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数的单调性与导数的应用，涉及函数的奇偶性、单调性的综合应用，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． 其中两个数的和为5的共有两个(1,4)，(2,3)． 故所求事件的概率P =26=13， 故选：C ．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个，其中两个数的和为5的共有两个(1,4)，(2,3).据此可得出答案．把所有的基本事件一一列举出来，再找出所要求的事件包含的基本事件个数即可．7.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想，属于基础题．先设出双曲线方程，则F ，B 的坐标可得，根据直线FB 与渐近线y =ba x 垂直，得出其斜率的乘积为−1，进而求得b 和a ，c 的关系式，进而根据双曲线方程a ，b 和c 的关系进而求得a 和c 的等式，则双曲线的离心率可得． 【分析】解：设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)， 则F(c,0)，B(0,b)直线FB ：bx +cy −bc =0与渐近线y =ba x 垂直， 所以−bc ⋅ba =−1，即b 2=ac 所以c 2−a 2=ac ，即e 2−e −1=0， 所以e =1+√52或e =1−√52(舍去)．故选D ．8.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．【解答】解：∵y=−x3+3x2，∴y′=−3x2+6x，∴y′|x=1=(−3x2+6x)|x=1=3，∴曲线y=−x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为y−2=3(x−1)，即y=3x−1，故选：A．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆及抛物线的简单几何性质，考查转化思想，属于基础题．求得椭圆的焦点坐标，由题意可得p2=2，即可求得p的值．【解答】解：由椭圆a=√6，b=√2，c2=a2−b2=4，则椭圆的焦点右焦点F(2,0)，由抛物线y2=2px的焦点为(p2,0)，则p2=2，则p=4，故选：D．10.【答案】D【解析】解：∵y′=4x3+2ax+b，∴−1、0是4x3+2ax+b=0的两根，∴{b=−13−4−2a+b=−27∴a=5，b=−13．则a+b=−8．故选：D．由题意知，函数有二个极值点，说明导函数有两个零点，根据方程的根即可求出a，b的值．本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：f(x)=xcosx，则函数f(x)的导函数f′(x)=cosx−xsinx，故选：D根据导数的运算法则计算即可．本题考查了导数的运算法则，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：因为“x=30°”⇒“sinx=12”正确，但是sinx=12解得x=k⋅360°+30°或x=k⋅360°+150°，k∈Z，所以后者推不出前者，所以“x=30°”是“sinx=12”的充分而不必要条件．故选A．通过前者推出后者，后者推不出前者，利用充要条件的判断方法，得到结果．本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的应用．13.【答案】112【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共6×6=36个，满足条件的事件是点数和为4的可以列举出有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，∴P=36×6=112故答案为：112本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共6×6个，满足条件的事件是点数和为4的可以列举出有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，根据古典概型概率公式得到结果．本题考查古典概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型．14.【答案】y=±√73x【解析】【分析】本题考查椭圆与双曲线得简单性质，属于基础题．利用椭圆的性质可得其长轴的端点、焦点，进而得到双曲线的c，a，b，即可得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：椭圆长轴端点为(−4,0)，(4,0)，焦点为(−3,0)，(3,0)，∴对于双曲线中，c=4，a=3，得b=√7，∴双曲线的渐近线方程为：y=±√73x，故答案为y=±√73x．15.【答案】3【解析】解：∵点M(1,f(1))是切点，∴点M在切线上，∴f(1)=12+2=52，∵函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线的方程是y=12x+2，∴切线斜率是12，即f′(1)=12，∴f(1)+f′(1)=52+12=3．故答案为：3．因为切点坐标一定满足切线方程，所以据此可以求出f(1)的值，又因为切线的斜率是函数在切点处的导数，就可求出f′(1)的值，把f(1)和f′(1)代入即可．本题主要考查函数的切线斜率与导数的关系，属于导数的几何意义的应用，属于基础题．16.【答案】−11【解析】解：函数f(x)=x 3+ax 2+bx +a 2，则f′(x)=3x 2+2ax +b ，因为f(x)在x =1处有极值为10，则{f′(1)=3+2a +b =0f′(1)=1+a +b +a 2=10，解得a =4，b =−11或a =−3，b =3， 当a =4，b =−11时，f′(x)=3x 2+8x −11，Δ=64+132>0，所以函数有极值点； 当a =−3，b =3时，f′(x)=3(x −1)2≥0，所以函数无极值点．综上所述，b 的值为−11．故答案为：−11．利用极值以及极值点的定义，列出方程组，求出a ，b 的值，然后进行检验即可． 本题考查了利用导数研究函数极值的理解与应用，函数极值点的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)(1分) 由椭圆x 28+y 24=1，求得两焦点为(−2,0)，(2,0)，(3分)∴对于双曲线C ：c =2.(4分)又y =√3x 为双曲线C 的一条渐近线，∴b a =√3 (6分)解得a =1，b =√3，(9分)∴双曲线C 的方程为x 2−y 23=1.(10分)【解析】求出椭圆的焦点坐标；据双曲线的系数满足c 2=a 2+b 2；双曲线的渐近线的方程与系数的关系列出方程组，求出a ，b ，写出双曲线方程．本题考查利用待定系数法求圆锥曲线的方程其中椭圆中三系数的关系是：a 2=b 2+c 2；双曲线中系数的关系是：c 2=a 2+b 2．18.【答案】解：(Ⅰ)向区域A 随机抛掷一枚黄豆，黄豆落在区域B 的概率P =S B S A =12； (Ⅱ)甲、乙两人各掷一次骰子，占(x,y)共36种结可能．其中落在B内的有26种可能，即(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，点(x,y)落在区B的概率p=2636=1318．【解析】(Ⅰ)根据三角形和正方形的面积之比求出满足条件的概率即可；(Ⅱ)求出落在B内的可能，从而求出满足条件的概率即可．本题考查了几何概型问题，考查列举法求概率问题，是一道基础题．19.【答案】解：从袋中同时抽两个小球共有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)六种情况．(1)设抽出两个球的号码之和为3为事件A，事件A共包含(0,3)(1,2)两种情况，∴P(A)=26=13．(2)设抽出两球的号码之和为5为事件B，两球的号码之和为4为事件C，由上知P(B)=16，P(C)=16．∴中奖概率为P=P(A)+P(B)+P(C)=13+16+16=23．【解析】本题考查古典概型及其计算，互斥事件的概率，属于基础题.求古典概型事件的概率，首先要求出各个事件包含的基本事件，求基本事件个数的常用方法有：列举法、排列、组合法、图表法．(1)先列举出从袋中同时抽两个小球的所有情况，得到号码之和为3的所有情况，据古典概型概率公式求出中三等奖的概率．(2)先列举出从袋中同时抽两个小球的所有情况，得到号码之和为4，5的所有情况，据古典概型概率公式求出中一等奖，中二等奖的概率，利用互斥事件的概率公式求出中奖概率．20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=1−x x ，令f′(x)>0，解得：0<x <1，令f′(x)<0得x >1，∴f(x)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减；(Ⅱ)由(Ⅰ)得：f(x)在x =1处取得极大值，f(x)极大值=f(1)=−1．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)根据函数的单调性求出函数的极值即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．21.【答案】(1)解：∵a 2=4，b 2=1∴a =2,c =√a 2−b 2=√3…(2分) ∴焦点F 的坐标为(√3,0)…(4分)离心率 e =c a =√32…(6分) (2)解：由斜率为1的直线l 过椭圆x 24+y 2=1的右焦点F 得直线l 的方程为y =x −√3设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，…(7分) 由{y =x −√3x 24+y 2=1得：5x 2−8√3x +8=0…(8分) ∴x 1+x 2=8√35,x 1⋅x 2=85…(9分)所以：|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2…(10分)=√2⋅√19225−325…(11分) =85…(12分)【解析】(1)利用椭圆的标准方程，求出a ，b ，c 即可求出椭圆的焦点坐标，以及椭圆的离心率．(2)设出AB 坐标，求出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理以及弦长公式求解即可．本题考查椭圆的标准方程的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】解：(1)由题意知，f(x)的定义域关于原点对称，若f(x)为奇函数，则f(−x)=x 2−ax+4−x =−f(x)， 即x 2−ax+4−x =−x 2+ax+4x ，解得a =0．(2)由f(x)=x 2+ax+4x 得，f′(x)=1−4x 2，∴在[3,+∞)上f′(x)>0，∴f(x)在[3,+∞)上单调递增，∴f(x)在[3,+∞)上恒大于0只要f(3)大于0即可，即3a +13>0，解得a >−133，故a 的取值范围为a >−133．【解析】(1)根据奇函数对应的关系式f(−x)=−f(x)，列出方程化简后求出a 的值；(2)由函数的解析式求出导数，根据导数的解析式和区间[3,+∞)，判断出f′(x)>0，进而判断出函数的单调性，求出函数的最小值，只要此最小值大于0即可．本题是有关函数的综合题，利用函数的奇偶性的关系式进行求值，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的最值，解决恒成立问题，考查了转化思想和逻辑思维能力。

高二上学期期末考试 数学（文）试题一、选择题（每小题5分,共60分） 1.在△ABC 中，若A=π3，B=π4，，则AC=( )A.2【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理，化简得sin sin BC BAC A⋅=，即可求解.【详解】由正弦定理可得:BC sinA =AC sinB ,即有AC=BC?sinBsinA=πsin 4πsin 3【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中合理使用正弦定理的变形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知命题：“若2a >，则24a >”，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B 【解析】 【分析】写出逆命题、否命题、逆否命题,判断三个命题的真假即可. 【详解】若2a >,则24a >逆命题为: 若24a >,则2a >;解不等式24a >可得2a >或2a <-,所以该命题为假命题; 否命题为: 若2a ≤,则24a ≤,解不等式24a ≤可得22a -≤≤,所以该命题为假命题; 逆否命题为: 若24a ≤,则2a ≤,解不等式24a ≤可得22a -≤≤,所以该命题为真命题. 综上可知,正确命题为逆否命题,只有1个故选:B【点睛】本题考查了命题与逆命题、否命题、逆否命题的关系,命题真假的判断,属于基础题. 3.已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A. 138 B. 135C. 95D. 23【答案】C 【解析】 试题分析：∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=， ∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=． 考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．4.在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A.25B.35C.45D. 85【答案】A 【解析】试题分析：由3cos 5A =得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.考点：同角关系式、正弦定理．5.设x ∈R ，则“38x >”是“2x ” 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式38x >可得2x >， 求解绝对值不等式2x可得2x >或2x <-，据此可知：“38x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.在等比数列{}n a 中，若n a >0且3764a a =，则5a 的值为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D 【解析】试题分析：由等比数列性质可知，237564a a a ==，又因为0n a >，所以58a =，故选D.考点：等比数列的性质.7.若变量x,y 满足约束条件1{325x y x x y ≥-≥+≤则z=2x+y 的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】作出满足约束条件的可行域如图所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ，经过点A 时，z 取得最大．由得A (1,1)．∴z max ＝2×1＋1＝3.8.已知F 1、F 2为椭圆221259x y +=的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若2212F A F B +=，则|AB |= ( )A. 6B. 7C. 5D. 8【答案】D 【解析】 【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF 2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB 的长．【详解】椭圆22259x y +=1的a=5， 由题意的定义，可得，|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a ， 则三角形ABF 2的周长为4a=20， 若|F 2A|+|F 2B|=12， 则|AB|=20﹣12=8． 故答案为D【点睛】本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．9.已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A. 34yx B. 43y x =±C. 3y x =± D. 4y x =±【答案】B 【解析】根据题意,双曲线的方程为2219x y m-=，则其焦点在x 轴上，直线5x y +=与x 轴交点的坐标为()5,0， 则双曲线的焦点坐标为()5,0， 则有925m +=， 解可得，16m =，则双曲线的方程为：221916x y -=，其渐近线方程为：43y x =±， 故选B. 10.若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A. 6 B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】【详解】因为直线()10,0x y a b a b+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此114(4)(+)5+59b a a b a b a b +=+≥+= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，以O 为圆心，短半轴长为半径作圆O ，过椭圆的右焦点2F 作圆O 的切线，切点分别为,A B ，若四边形2F AOB 为正方形，则椭圆的离心率为( ) A.13B.3C.12D.2【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知圆的半径为b ,2OF c =,由正方形性质即可求得椭圆的离心率. 【详解】以O 为圆心,短半轴长为半径作圆O 则圆O 的半径为b ,且2OF c =四边形2F AOB 为正方形,由正方形性质可得2OF =即c =,椭圆中满足222a b c =+代入化简可得2232a c =所以2633c a ==故选:B【点睛】本题考查了椭圆的标准方程与简单的几何性质应用,椭圆离心率的求法,属于基础题.12.已知点F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点,点E 是该双曲线的左顶点,过F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于,?A B 两点,若AEB ∠是钝角,则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A. ()12,++∞B. ()1,12+C. ()2,+∞D.()212+, 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得为双曲线的通径，其长度为，因为,所以；则,即，即，即，解得.考点：双曲线的几何性质.二、填空题（每小题5分，共20分）13.命题“()00,12x R f x ∃∈<≤”的否定是________． 【答案】()1x R f x ∀∈≤，或()2f x > 【解析】 【分析】根据含存在量词的否定,即可得解. 【详解】由含有存在量词的否定,可得命题“()00,12x R f x ∃∈<≤”的否定为()1x R f x ∀∈≤，或()2f x > 故答案为: ()1x R f x ∀∈≤，或()2f x >【点睛】本题考查了含有存在量词命题的否定,属于基础题.14.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若3A π=，2cos b a B =，1c =，则ABC ∆的面积等于________．【解析】 【分析】把条件2cos b a B =用正弦定理转化为角的关系后结合A 角已知可求得B 角，从而也得到C 角，得出三角形是等边三角形，面积易求．【详解】∵2cos b a B =，∴sin 2sin cos B A B =，∴tan 2sin 2sin 3B B π===，∴3B π=，从而3C π=，即ABC ∆是等边三角形，2S ==【点睛】本题考查求三角形面积，考查正弦定理．解题关键是用正弦定理进行边角互化．对于一个等式中如果是三角形三边的齐次或三角正弦的齐次式，则可用正弦定理进行边角关系的互化，方便变形求解．15.曲线ln y a x =(0)a >在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a = .【答案】8 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到曲线在x=1处的切线的斜率，由直线方程的点斜式得到切线方程，求出切线在两坐标轴上的截距，由切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4列式求得a 的值． 【详解】由y =a ln x ，得ay x'=， 1x y a =∴'=又x =1时，y =0，∴曲线y =a ln x (a >0)在x =1处的切线方程为：y =ax −a . 当x =0时，y =−a .当y =0时，x =1.∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于1142a ⨯⨯=. 解得：a =8. 故答案为：8.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.16.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.”请问前三天走了______里. 【答案】336 【解析】 【分析】由等比数例前n 项和公式即可求解. 【详解】由题意得等比数列{}n a ，公比12q =，6378S =， ∴16112378112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，解得1192a =，∴33119212336112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-. 故答案为：336【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.三、解答题 （本题共6道小题,第17题12分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题10分 ,共70分）17.已知等差数列{}n a 为递增数列，其前三项和为3-，前三项的积为8 （1）求等差数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 是的前n 项和n S .【答案】(1) 37n a n =- (2) (311)2n n n S -= 【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >，根据题设条件，建立方程组，解方程组可得1a 和d 的值，进而求得等差数列{}n a 的通项公式；（2）利用等差数列的求和公式即可求出数列{}n a 是的前n 项和n S .试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 0d >∵等差数列{}n a 的前三项的和为3-，前三项的积为8，∴()()111133328a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩，∴123a d =⎧⎨=-⎩或143a d =-⎧⎨=⎩，∵0d >，∴14,3a d =-= ∴37n a n =-；（2）∵37n a n =-，∴1374a =-=-，∴()()43731122n n n n n S -+--==.18.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos c a b A -=. （1）求角B 的大小；（2）若2,a b ==c .【答案】（1）3π； （2）3. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理,将边化为角的表达式.集合正弦的和角公式,化简即可求得角B .（2）由余弦定理,代入2,a b ==即可求得c .【详解】（1）由已知及正弦定理,得2sin sin 2sin cos C A B A -=. ∵()C A B π=-+, ∴()2sinsin 2sin cos A B A B A +-=,化简得()sin 2cos 10A B ⋅-=∵()0,A π∈, ∴sin 0A ≠, ∴1cos 2B =. ∵0B π<<, ∴3B π=.（2）由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-．∵2,a b ==∴2742c c =+-, 即2230c c --=,解得3c =或1c =- (不合题意,舍去)． ∴3c =.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中应用,边角转化的应用,属于基础题.19.已知()()2366f x x a a x =-+-+. (1)解关于a 的不等式()10f >；(2)若不等式()f x b >的解集为()1,3-，求实数,a b 的值． 【答案】（1）{|33a a -<<+；（2）33a b ⎧=±⎪⎨=-⎪⎩【解析】【分析】(1)由f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，得a 2－6a －3<0，求解即可；（2）f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，由根与系数的关系求解即可.【详解】(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－<a <3＋∴原不等式的解集为{a |3－a <3＋(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于()61+3=3613=3a a b ⎧--⎪⎪⎨-⎪-⨯-⎪⎩解得33a b ⎧=±⎪⎨=-⎪⎩20.已知椭圆C 的长轴长为10，两焦点12,F F 的坐标分别为()3,0-和()3,0．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆C 上一点，2PF x ⊥轴，求12F PF ∆的面积．【答案】（1）2212516x y +=（2）485【解析】【分析】（1）根据椭圆的长轴即焦点坐标,可得,a c .由椭圆中满足222a b c =+,即可求得2b ,进而得椭圆的标准方程.（2）根据2PF x ⊥,可得P 点坐标,即可求得12F PF ∆的面积．【详解】（1）椭圆C 的长轴长为10,两焦点12,F F 的坐标分别为()3,0-和()3,0则210,3a c ==,且222a b c =+解得25,16a b == 所以椭圆的标准方程为2212516x y += （2）P 为椭圆C 上一点,2PF x ⊥轴所以点P 的横坐标为3x =,代入椭圆方程可求得点P 的纵坐标为165y =±不妨设点P 在x 轴上方,则163,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以121212F PF P S F F y ∆=⨯⨯ 161485562=⨯⨯= 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,椭圆的几何性质简单应用,焦点三角形面积求法,属于基础题.21.设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1；（2）y ＝x ＋7..【解析】【分析】（1）设,A B 两点坐标，代入抛物线方程 相减后可求得AB 的斜率；（2）由C 在M 处的切线与直线AB 平行，可求得切点M 坐标，设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，代入抛物线方程可得AB 中点为(2,2)N m +，AM ⊥BM 等价于12MN AB =，这样可求得m 值．【详解】解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，22121244x x y y ==，，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-. (2)由24x y =，得2x y '=. 设M (x 3，y 3)，由题设知312x =，解得x 3＝2，于是M (2，1)． 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入24x y =得x 2－4x －4m ＝0. 当Δ＝16(m ＋1)＞0，即m ＞－1时，1,2221x m =±+.从而12242(1)AB x x m =-=+.由题设知|AB |＝2|MN |，即42(1)2(1)m m +=+，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题时设直线方程方程为y ＝x ＋m 是解题关键．通过它与抛物线方程联立，可得AB 中点N 的横坐标，从而得MN ，而AM ⊥BM 等价于12MN AB =，因此可求得m ．本题解法中没有用到特殊方法，求切点坐标，求直线方程，求弦长等都是最基本的方法，务必牢固掌握．22.设函数()21 4.f x x x =+--（1）解不等式()0f x >；（2）若()34f x x m +-对一切实数x 均成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用零点分段法分别求出各段不等式的解集，取它们的交集即可；（2）首先利用绝对值三角不等式的性质的性质求得()34f x x +-的最小值，从而求得m 的取值范围． 试题解析：（1）当4x ≥时()21(4)50f x x x x =+--=+＞得 5x >--，所以，4x ≥时，不等式成立； 当142x -≤<时，214330f x x x x =++-=->（），得1x >，所以，14x <<时，不等式成立； 当12x <-时，()50f x x =-->，得 5x <--，所以， 5x <--成立． 综上，原不等式的解集为：{15}x x x <-或．（2）()34212421(28)9f x x x x x x +-=++-≥+--=，当且仅当142x -≤≤时，取等号， 所以，()34f x x +-的最小值为9，故9m <．考点：1、绝对值不等式的解法；2、绝对值三角不等式的性质． 【技巧点睛】形如x a x b c ≥－＋－(或c ≤)型的不等式主要方法为分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(](]()a a b b -∞+∞，，，，，(此处设a b <)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．。

2019-2020学年甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）命题“∀x＞0都有x2﹣x+3＞0”的否定是（）A．∃x＞0，使得x2﹣x+3＞0 B．∃x＞0，使得x2﹣x+3≤0C．∀x＞0，都有x2﹣x+3≥0 D．.∀x≤0，都有x2﹣x+3＞02．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）3．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．x2=4yC．y2=﹣4x或x2=4y D．y2=4x或x2=﹣4y5．（5分）已知f （x ）=x+﹣2（x ＜0），则f （x ）有（ ） A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为﹣4 D ．最小值为﹣46．（5分）若k ∈R ，则“k＞1”是方程“”表示双曲线的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）过抛物线y 2=4x 焦点F 做直线l ，交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若线段AB 中点横坐标为3，则|AB|=（ ） A ．6B ．8C ．10D ．129．（5分）若a ＞1，则双曲线﹣y 2=1的离心率的取值范围是（ ）A ．（，+∞）B ．（，2） C ．（1，） D ．（1，2）10．（5分）设f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如图所示，则导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D．11．（5分）若椭圆的离心率，则实数m的值为（）A．2 B．8 C．2或8 D．6或12．（5分）设a∈R，若函数y=e x+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（）A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）若双曲线﹣=1（b＞0）的渐近线方程式为y=，则b等于．14．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a= ．15．（5分）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是．16．（5分）下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；③若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1，则”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确的命题序号都填上）．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好；单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计，具体数据如表：雷锋精神是否有关？（2）请说明是否有97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？（n=a+b+c+d）参考公式：，18．（12分）已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px，且点P（1，2）在抛物线上．（1）求p的值（2）直线l过焦点且与该抛物线交于A、B两点，若|AB|=10，求直线l的方程．20．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a（1）求函数y=f（x）的单调递减区间（2）函数y=f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值是20，求它在该区间上的最小值．21．（12分）已知圆，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交OQ于点M，设点M的轨迹为E．（I）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过点P（1，0）的直线l交轨迹E于两个不同的点A、B，△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程．22．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程；（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．2019-2020学年甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）命题“∀x＞0都有x2﹣x+3＞0”的否定是（）A．∃x＞0，使得x2﹣x+3＞0 B．∃x＞0，使得x2﹣x+3≤0C．∀x＞0，都有x2﹣x+3≥0 D．.∀x≤0，都有x2﹣x+3＞0【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x＞0都有x2﹣x+3＞0”的否定是“∃x＞0都有x2﹣x+3≤0”，故选B．2．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）【解答】解：由f′（x）=3x2﹣6x＜0，得0＜x＜2∴函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（0，2）．故答案为D．3．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环，第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3；满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4；满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5；满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7；K≤6不成立，退出循环输出S的值为3．故选：B．4．（5分）顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．x2=4yC．y2=﹣4x或x2=4y D．y2=4x或x2=﹣4y【解答】解：∵抛物线的顶点在原点，且过点（﹣4，4），∴设抛物线的标准方程为x2=2py（p＞0）或y2=﹣2px（p＞0），将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程x2=2py（p＞0）得：16=8p，∴p=2，∴此时抛物线的标准方程为x2=4y；将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程y2=﹣2px（p＞0），同理可得p=2，∴此时抛物线的标准方程为y2=﹣4x．综上可知，顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是x2=4y或y2=﹣4x．故选C．5．（5分）已知f（x）=x+﹣2（x＜0），则f（x）有（）A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为﹣4 D．最小值为﹣4【解答】解：∵x＜0，∴﹣x＞0，∴x+﹣2=﹣（﹣x+）﹣2≤﹣2﹣2=﹣4，等号成立的条件是﹣x=，即x=﹣1．故选C．6．（5分）若k∈R，则“k＞1”是方程“”表示双曲线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程“”表示双曲线，则（k﹣1）（k+1）＞0，解得k＞1或k＜﹣1．∴“k＞1”是方程“”表示双曲线的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：抛物线y 2=4x 的焦点F （1，0），双曲线的方程为故选D8．（5分）过抛物线y 2=4x 焦点F 做直线l ，交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若线段AB 中点横坐标为3，则|AB|=（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12【解答】解：∵y 2=4x 焦点F 做直线l ，交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点， ∴根据抛物线的定义可得：|AB|=x 1+x 2+2， ∵线段AB 中点横坐标为3， ∴x 1+x 2=6，∴∴|AB|=x 1+x 2+2=8， 故选：B9．（5分）若a＞1，则双曲线﹣y2=1的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）【解答】解：a＞1，则双曲线﹣y2=1的离心率为：==∈（1，）．故选：C．10．（5分）设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B故选D11．（5分）若椭圆的离心率，则实数m的值为（）A ．2B ．8C ．2或8D ．6或【解答】解：当椭圆椭圆的焦点在x 轴上时，a=，b=2，c=，由e=，得=，即m=8．当椭圆椭圆的焦点在y 轴上时，a=2，b=，c=由e=，得，即m=2．综上实数m 的值为：2或8． 故选：C ．12．（5分）设a ∈R ，若函数y=e x +ax ，x ∈R ，有大于零的极值点，则（ ） A ．a ＜﹣1 B ．a ＞﹣1 C ． D ．【解答】解：∵y=e x +ax ， ∴y'=e x +a ．由题意知e x +a=0有大于0的实根，令y 1=e x ，y 2=﹣a ，则两曲线交点在第一象限， 结合图象易得﹣a ＞1⇒a ＜﹣1， 故选A ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．（5分）若双曲线﹣=1（b ＞0）的渐近线方程式为y=，则b 等于 1 ．【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程为y=±，又双曲线的渐近线方程式为y=，∴，解得b=1．故答案为114．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a= ．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．15．（5分）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是 3 ．【解答】解：设椭圆的右焦点为E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；此时△FAB的高为：EF=2．此时直线x=m=c=1；把x=1代入椭圆的方程得：y=±．∴AB=3．=×3×EF=×3×2=3．所以：△FAB的面积等于：S△FAB故答案为：3．16．（5分）下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；③若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1，则”是真命题．其中正确命题的序号是②③．（把所有正确的命题序号都填上）．【解答】解：（1）命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”，因此不正确；（2）若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0，正确；（3）若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，则命题p是假命题，q一定是真命题，正确；（4）∵0＜a＜1，则a+1＜1+．则“loga （a+1）＞loga（1+）”是假命题，不正确．其中真命题的有2个．故答案为：②③．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好；单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计，具体数据如表：雷锋精神是否有关？（2）请说明是否有97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？（n=a+b+c+d）参考公式：，【解答】解：（1）学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是=25%，=15%．由于两个百分比差距明显，故初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．（3）根据表格：根据题中的列联表得k2==6.25＞5.024，…（11分）由P（K2≥5.024）=0.025，有97.5%的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．18．（12分）已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程．【解答】解：由已知双曲线与椭圆共焦点，得双曲线c=4，椭圆离心率为，…（4分）它们的离心率之和为，则双曲线离心率为2，得a=2，故b2=12…（8分）故所求双曲线方程是3x 2﹣y 2=12（或=1）…（12分）19．（12分）已知抛物线C ：y 2=2px ，且点P （1，2）在抛物线上． （1）求p 的值（2）直线l 过焦点且与该抛物线交于A 、B 两点，若|AB|=10，求直线l 的方程． 【解答】解：（1）∵点P （1，2）在抛物线y 2=2px 上， ∴4=2p ，即p=2．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 若l ⊥x 轴，则|AB|=4，不适合．设l ：y=k （x ﹣1），代入抛物线方程得k 2x 2﹣2（k 2+2）x+k 2=0， △=16k 2+16＞0，∴．由，得，∴．∴直线l 的方程为．20．（12分）已知函数f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x+a （1）求函数y=f （x ）的单调递减区间（2）函数y=f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值是20，求它在该区间上的最小值． 【解答】解：（1）∵f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x+a ， ∴f′（x ）=﹣3x 2+6x+9， 由f′（x ）=﹣3x 2+6x+9＜0，即x 2﹣2x ﹣3＞0，解得x ＞3或x ＜﹣1，即函数的单调递减区间为（3，+∞），（﹣∞，﹣1）； （2）列表如下；最大值∴f （x ）最小值=f （﹣1）=﹣9 故函数的最小值是﹣9．21．（12分）已知圆，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交OQ 于点M ，设点M 的轨迹为E ． （I ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点P （1，0）的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A 、B ，△AOB （O 是坐标原点）的面积S=，求直线AB 的方程． 【解答】（1）解：（1）由题意，所以轨迹E 是以A ，O 为焦点，长轴长为4的椭圆，…（2分） 即轨迹E 的方程为．…（4分）（2）解：记A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由题意，直线AB 的斜率不可能为0， 故可设AB ：x=my+1，由，消x 得：（4+m 2）y 2+2my ﹣3=0，所以…（7分）．…（9分）由，解得m 2=1，即m=±1．…（10分）故直线AB 的方程为x=±y+1，即x+y ﹣1=0或x ﹣y ﹣1=0为所求．…（12分）22．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程；（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）g′（x）=3x2+2ax﹣1由题意3x2+2ax﹣1＜0的解集是即3x2+2ax﹣1=0的两根分别是．将x=1或代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1．∴g（x）=x3﹣x2﹣x+2．（4分）（II）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x2﹣2x﹣1，∴g′（﹣1）=4，∴点p（﹣1，1）处的切线斜率k=g′（﹣1）=4，∴函数y=g（x）的图象在点p（﹣1，1）处的切线方程为：y﹣1=4（x+1），即4x﹣y+5=0．（8分）（III）∵2f（x）≤g′（x）+2即：2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立可得对x∈（0，+∞）上恒成立设，则令h′（x）=0，得（舍）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0∴当x=1时，h（x）取得最大值﹣2∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．（13分）。

甘肃省武威市数学高二上学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）一个算法步骤如下：S1 ， S取值0，i取值1；S2 ，如果i≤10，则执行S3 ，否则执行S6；S3 ，计算S＋i并将结果代替S；S4 ，用i＋2的值代替i；S5 ，转去执行S2；S6 ，输出S.运行以上步骤后输出的结果S＝（）A . 16B . 25C . 36D . 以上均不对2. （2分）已知球O的直径为d，求球的表面积的一个算法分下列四步：①计算S=4πR2；②输入球的直径d的值；③计算半径；④输出表面积S的值，其中正确的顺序是（）A . ①②③④B . ②③①④C . ③②①④D . ②③④①3. （2分）运行如图所示的程序，输出的结果是（）A . 1B . 3C . 4D . m=44. （2分） (2019高二上·伊春期末) 如图，当输入的x值为5时，则输出的结果（）A . 5B . 4C . 3D . 25. （2分） (2019高三上·梅州月考) 下图是判断输入的年份是否是闰年的程序框图，若先后输入，，则输出的结果分别是（注：表示除以的余数）（）A . 是闰年，是闰年B . 是闰年，是平年C . 是平年，是闰年D . 是平年，是平年6. （2分）以下关于条件语句的说法，正确的是（）A . 条件语句的执行是按照程序中的先后顺序执行的B . 条件语句实现了程序框图中的条件结构C . 条件语句不能嵌套，即条件语句中不能再使用条件语句D . 条件语句一定要完整，即IF-THEN-ELSE-END IF中每一部分都不能少7. （2分）在下面的程序中，输出的结果应为（）A . 7B . 8C . 3,4,5,6,7D . 4,5,6,7,88. （2分）下列各数中最小的数是（）A .B .C .D .9. （2分）下列抽样实验中,最适宜用系统抽样的是（）A . 某市的4个区共有2000名学生,且4个区的学生人数之比为3: 2 :8 :2,从中抽取200人入样B . 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C . 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D . 从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样10. （2分）某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是（）A . y＝－10x＋200B . y＝10x＋200C . y＝－10x－200D . y＝10x－20011. （2分）抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“向上的点数是2的倍数”，事件D为“2点或4点向上”。

甘肃省武威市民勤第四中学2020-2021学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）第I 卷（选择题）一、单选题1．已知复数z 满足21z i -=（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．1B ．2C D 2．函数2cos y x x =的导数为（ ） A ．22cos sin y x x x x '=- B ．2sin y x x '=- C ．22cos sin y x x x x '=+D ．2cos sin y x x x x '=-3．下列关于命题的说法正确的是（ ） A ．若b c >，则22a b a c >；B ．“x R ∃∈，2220x x -+≥”的否定是“x R ∀∈，2220x x -+≥”；C ．“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题是真命题；D ．“若220a b +=，则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0，则220a b +≠” 4．抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） A ．()1,0B ．()0,1C ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭5．曲线y=3﹣2在点（1，﹣1）处的切线方程是（ ） A ．﹣y ﹣2=0B ．﹣y2=0C ．y2=0D ．y ﹣2=06．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴长为12，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．327．已知变量x 、y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且0.5ˆyx a =+，则实数a =（ ）8．双曲线2213y x -=的焦点到渐近线的距离是（ ）A B ．2C ．2D ．129．函数32()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞C ．(,0)-∞D ．(0,2)10．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测 A ．3B ．4C ．6D ．711．已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数12．函数()323922y x x x x =---<<有（ ） A ．极大值5，极小值27- B ．极大值5，极小值11- C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值 第II 卷（非选择题）二、填空题13．双曲线22124x y -=的渐近线方程为_______14．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是_________． 15．在极坐标系中，点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭到直线ρsin(θ−π6=1的距离是________16．已知12,F F 是椭圆22:1259x yC +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上一点，且12F P F P ⊥，则12F PF ∆的面积为 ． 三、解答题17．10分求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心为坐标原点，经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，(0,（2）以点1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点，经过点P ⎛ ⎝⎭18．（12分）我校对我们高二文科学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得如表数据．（2）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于的线性回归方程； （3）试根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为16的学生的判断力．参考公式：线性回归方程ˆˆy bx a =+中，()()()1111222(ˆˆ)i i i i i i nni i i i n nx x y y x y nxyb x x x n x a y bx ====⎧∑--∑-⎪==⎪⎨∑-∑-⎪⎪=-⎩．19．（12分）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上（1）求双曲线的焦点坐标； （2）求双曲线的标准方程20．（12分）江苏省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目，某校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，随机抽取了100名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到的2×2列联表（1）求m ，b （2）请你依据该列联表判断是否有%的把握认为选择科目与性别有关说明你的理由 附：对于2×2列联表有()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++21．（12物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图（1）求出直方图中m 的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到）；（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率 22．（12分）已知函数321()43f x x ax =-+，且2x =是函数()f x 的一个极小值点 （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[1,3]-上的最大值和最小值参考答案一、选择题1-5 DACDA 6-10 CAADB 11-12 AC 二、填空题13．y = 14．()4,+∞ 15．1 16．9 三、解答题17解：（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意有221914a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）设椭圆的标准方程为22221(0)x y m n m n+=>>，焦距为02c由题意有01c =，1PF ==，2PF ==，有125522PF PF m ++===，2n ==， 故椭圆的标准方程为22154x y +=18解：（1）散点图如图，（2）因为()168101294x =⨯+++=，()1235644y =⨯+++=， 所以41422314122450724940.73664100144694i ii i i x y x yb x x==-+++-⨯⨯===+++-⨯-∑∑， 则ˆˆ40.79 2.3ay bx =-=-⨯=- ， 所以y 关于x 的线性回归方程为；⋀y =（3）由（2）可知当16x =，得⋀y×16−2.3=8.9．所以预测记忆力为16的学生的判断力为8.9． 19因为抛物线224y x =的准线方程为6x =-， 则由题意得，点()16,0F -是双曲线的左焦点 （1）双曲线的焦点坐标()6,0F ± （2）由（1）得22236a b c +==，又双曲线的一条渐近线方程是y =，所以ba=29a =，227b =， 所以双曲线的方程为：221927x y -=20解：（1）随机抽取的100名学生中女生为40人，则男生有1004060-=人， 所以60,10,20m b c ===；（2）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：则K 2的观测值：2100(50201020)12.770306040K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为＞，所以有%的把握认为选择科目与性别有关21（1）由()100.0100.0150.0150.0250.051m ⨯+++++=， 得0.030m =（2）平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 设中位数为n ，则()0.10.150.15700.030.5n +++-⨯=，得22073.333n =≈ 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个记这3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e 共6种故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105P == 22（Ⅰ）2'()2f x x ax =-2x =是函数()f x 的一个极小值点，∴'(2)0f =即440a -=，解得1a =经检验，当1a =时，2x =是函数()f x 的一个极小值点∴实数a 的值为1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，321()43f x x x =-+ 2'()2(2)f x x x x x =-=-令'()0f x =，得0x =或2x =当x 在[1,3]-上变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下：当或2x =时，()f x 有最小值当0x =或()f x 时，()f x 有最大值。

2021年高二上学期期末考试数学试题（文科）word版一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1. 抛物线的焦点坐标为A. （1，0）B. （0，1）C. （2，0）D. （0，2）2. 若为异面直线，直线，则与的位置关系是A. 相交B. 异面C. 平行D. 异面或相交3. 设条件甲为“”，条件乙为“”，则甲是乙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若双曲线的离心率为2，则等于A. 2B.C.D. 15. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 2B. 1C.D.6. 已知△ABC的顶点B，C均在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是A. B. 6 C. D. 127. 过点（2，4），与抛物线有且仅有一个公共点的直线有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条8. 双曲线的一个焦点是（0，3），那么的值是A. －1B. 1C.D.9. 已知直线和平面，在下列命题中真命题是A. 若内有无数多条直线垂直于内的一条直线，则B. 若内有不共线的三点到的距离相等，则C. 若是两条相交直线，，，则D. 若10. 过抛物线的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p的值是A. 2B. 4C.D.11. 在正方体中，P是侧面内一动点，若点P到直线BC的距离与点P到直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线12. 直线与曲线有公共点，则的取值范围是A. B.C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13. 一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是________。

14. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________。

15. 已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M 的面积为，则球O的表面积等于___________。