新初中数学锐角三角函数的专项训练及答案(2)

新初中数学锐角三角函数的专项训练及答案(2)

一、选择题

1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，与x轴另一交点为A，顶点为B，若△AOB为等边三角形，则b的值为（ ）

A．﹣3 B．﹣23 C．﹣33 D．﹣43

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知求出B（﹣2,24bbaa），由△AOB为等边三角形，得到2b4a＝tan60°×（﹣2ba），即可求解；

【详解】

解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，

∴c＝0，

B（﹣2,24bbaa），

∵△AOB为等边三角形，

∴2b4a＝tan60°×（﹣2ba），

∴b＝﹣23；

故选B．

【点睛】

本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键．

2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tanABC（ ）

A．39 B．36 C．33 D．32

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用ECtanABCBE 得出答案．

【详解】

解:连接DC，交AB于点E．

由题意可得:∠AFC=30°, DC⊥AF,

设EC=x,则EF=x=3xtan30,

∴BFAF2EF23x

ECx13tanABCBE923x3x33∠,

故选:A

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF的长是解题关键．

3．如图，在ABC中，4AC，60ABC，45C，ADBC，垂足为D，ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）

A．22 B．223 C．423 D．322

【答案】C

【解析】

【分析】

在Rt△ADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在Rt△ADB中，由AD的长度及∠ABD的度数可求出BD的长度，在Rt△EBD中，由BD的长度及∠EBD的度数可求出DE的长度，再利用AE=AD−DE即可求出AE的长度．

【详解】

∵AD⊥BC

∴∠ADC=∠ADB=90

在Rt△ADC中，AC=4，∠C=45

∴AD=CD=22

在Rt△ADB中，AD=22，∠ABD=60

∴BD=33AD=263．

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBD=30°．

在Rt△EBD中，BD=263，∠EBD=30°

∴DE=33BD=223

∴AE=AD−DE=22-223=423

故选：C

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．

4．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )

A．(543+10) cm B．(542+10) cm C．64 cm D．54cm

【答案】C

【解析】

【分析】

过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．

【详解】

如图所示，

过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则

Rt△ACE中，AE=12AC=12×54=27（cm），

同理可得，BF=27cm，

又∵点A与B之间的距离为10cm，

∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），

故选C．

【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．

5．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）

A． B．2 C．3 D．(31)

【答案】C

【解析】

【分析】

由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积．

【详解】

解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．

∴正三角形的边长32sin60．

∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，

∴底面周长为2

∴侧面积为12222，∵底面积为2r，

∴全面积是3．

故选：C．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

6．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，则tan∠DEC的值是（ ）

A．1 B．12 C．32 D．33

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据题意过点C作CF⊥BD与点F可求得△AEB≌△CFD（AAS），得到AE＝CF＝1，EF＝323-=333，即可求出答案

【详解】

过点C作CF⊥BD与点F．

∵∠BAE＝30°，

∴∠DBC＝30°，

∵BC＝2，

∴CF＝1，BF＝3 ，

易证△AEB≌△CFD（AAS）

∴AE＝CF＝1，

∵∠BAE＝∠DBC＝30°，

∴BE＝33 AE＝33，

∴EF＝BF﹣BE＝3 ﹣33＝233 ，

在Rt△CFE中，

tan∠DEC＝132332CFEF，

故选C．

【点睛】

此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等

7．如图，四边形ABCD内接于Oe，AB为直径，ADCD，过点D作DEAB于点E，连接AC交DE于点F.若3sin5CAB，5DF，则AB的长为( )

A．10 B．12 C．16 D．20

【答案】D

【解析】 【分析】

连接BD，如图，先利用圆周角定理证明ADEDAC得到5FDFA，再根据正弦的定义计算出3EF，则4AE，8DE，接着证明ADEDBE∽，利用相似比得到16BE，所以20AB．

【详解】

解：连接BD，如图，

ABQ为直径，

90ADBACB，

ADCDQ，

DACDCA，

而DCAABD，

DACABD，

DEAB∵⊥，

90ABDBDE，

而90ADEBDE，

ABDADE，

ADEDAC，

5FDFA，

在RtAEF中，3sin5EFCABAFQ，

3EF，

22534AE，538DE，

ADEDBEQ，AEDBED，

ADEDBE∽，

::DEBEAEDE，即8:4:8BE，

16BE，

41620AB．

故选：D．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．

8．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（ ）

A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2

【答案】C

【解析】

分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．

详解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BA=BC，AC⊥BD，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵点A（1，1），

∴OA=，

∴BO=，

∵直线AC的解析式为y=x，

∴直线BD的解析式为y=-x，

∵OB=，

∴点B的坐标为（−，），

∵点B在反比例函数y=的图象上，

∴，

解得，k=-3，

故选C．

点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．

9．如图，Oe是ABCV的外接圆，AD是Oe的直径，若Oe的半径是4，1sin4B，则线段AC的长是（ ）．

A．2 B．4 C．32

D．6

【答案】A

【解析】

【分析】

连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD＝90，∠D＝∠B，则sinD＝sinB＝14，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．

【详解】

连结CD，如图，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90，

∵∠D＝∠B，

∴sinD＝sinB＝14，

在Rt△ACD中，∵sinD＝ACAD＝14，

∴AC＝14AD＝14×8＝2．

故选A．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．