初三数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析
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初三数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析
一、锐角三角函数
1．某地是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40o，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60o，5CBm＝,2.7CDm＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：400.64400.77400.84sincostan，，.21.41,31.73）
【答案】AB的长约为0.6m．
【解析】
【分析】
作BFCE于F，根据正弦的定义求出BF，利用余弦的定义求出CF，利用正切的定义求出DE，结合图形计算即可．
【详解】
解：作BFCE于F，
在RtBFC中，3.20BFBCsinBCF＝，
3.85CFBCcosBCF＝，
在RtADEE中，331.73tan3ABDEADE，
0.200.58BHBFHFAHEFCDDECF＝﹣＝，＝＝﹣＝
由勾股定理得，22BHAH0.6(m)AB，
答：AB的长约为0.6m．
【点睛】
考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．如图，△ABC内接于⊙O，2,BCABAC，点D为»AC上的动点，且10cos10B.
(1)求AB的长度；
(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由.
(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BHCDDH.
【答案】(1) 10AB=；(2) 10ADAE；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB即可求得AB长；
（2）连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明△DAG∽△FAE，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG，连接BG，求得AF=3，FG=13，继而即可求得AD•AE的值；
（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD.
【详解】（1)过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，
∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=12BC=1，
在RtΔAFB中，BF=1，∴AB=110cos1010BFB；
（2）连接DG，
∵AF⊥BC，BF=CF，∴AG为⊙O的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，
又∵∠DAG=∠FAE，∴△DAG∽△FAE，
∴AD：AF=AG：AE，
∴AD•AE=AF•AG，
连接BG，则∠ABG=90°，∵BF⊥AG，∴BF2=AF•FG，
∵AF=22ABBF=3， ∴FG=13，
∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×103=10；
（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，
∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，
∴∠ADC=∠ADN，
∵AD=AD，CD=ND，
∴△ADC≌△ADN，
∴AC=AN，
∵AB=AC，∴AB=AN，
∵AH⊥BN，
∴BH=HN=HD+CD.
【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
3．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）
【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.
【解析】
【分析】 （1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可．
【详解】
（1）在ABC△中，180180375390ACBBBAC.
在RtABCV中，sinACBAB，所以3sin3725155ACAB（海里）.
答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里.
（2）过点C作CMAB，垂足为M，由题意易知，DCM、、在一条直线上.
在RtACMV中，4sin15125CMACCAM，3cos1595AMACCAM.
在RtADM△中，tanMDDAMAM，
所以tan7636MDAM.
所以222293691724ADAMMDCDMDMC，.
设缉私艇的速度为v海里/小时，则有2491716v，解得617v.
经检验，617v是原方程的解.
答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
4．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．
(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
(2) 求证：∠ACF=90°； (3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.
图1 图2
【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析
（2）证明见解析
（3）=2π
【解析】
试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH
（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明
（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长
试题解析：（1）BE=FH．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=90°，
∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°
又∵∠AEF=90° ∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°
∴∠HEF=∠BAE ∴ ∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF
∴△ABE≌△EHF（SAS）
∴BE=FH
(2)∵△ABE≌△EHF
∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"
∴CH=FH
∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°
∵AC是正方形对角线，∴ ∠ACD=45°
∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°
（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°
过E作EN⊥AC于点N
Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=
Rt△ENA中，EN =
又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）
∴∠EAC=30°
∴AE=
Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8
AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°
=2π·4·（90°÷360°）=2π
考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数
5．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形
（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH的长，从而可求tan∠ADP
试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC
∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF
∵AD//BC
∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF
∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF
∴AB=BE AB=AF
∴AF=AB=BE
∵AD//BC
∴ABEF为平行四边形
又AB=BE
∴ABEF为菱形
